U petom veku pne starogrčki filozof Zenon iz Eleje je formulisao svoje čuvene aporije, od kojih je najpoznatija aporija „Ahilej i kornjača“. Evo kako to zvuči:

Recimo Ahilej trči deset puta brže od kornjače i hiljadu koraka je iza nje. Za vrijeme koje je Ahileju potrebno da pretrči ovu udaljenost, kornjača će puzati stotinu koraka u istom smjeru. Kada Ahil pretrči stotinu koraka, kornjača puzi još deset koraka, i tako dalje. Proces će se nastaviti do beskonačnosti, Ahilej nikada neće sustići kornjaču.

Ovo razmišljanje je postalo logičan šok za sve naredne generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert... Svi su oni na ovaj ili onaj način smatrali Zenonove aporije. Šok je bio toliko jak da je " ...rasprave se nastavljaju u ovom trenutku, dođite opšte mišljenje naučna zajednica još nije uspjela razumjeti suštinu paradoksa... matematička analiza, teorija skupova, novi fizički i filozofski pristupi uključeni su u proučavanje problematike; nijedan od njih nije postao opšteprihvaćeno rešenje problema..."[Vikipedija, "Zenonova aporija". Svi razumiju da su prevareni, ali niko ne razumije u čemu se sastoji ta obmana.

Sa matematičke tačke gledišta, Zenon je u svojim aporijama jasno pokazao prelazak sa kvantiteta na . Ovaj prijelaz podrazumijeva primjenu umjesto stalnih. Koliko sam shvatio, matematički aparat primjene varijabilne jedinice mjerenje ili još nije razvijeno ili nije primijenjeno na Zenonove aporije. Primjena naše uobičajene logike vodi nas u zamku. Mi, zbog inercije mišljenja, primjenjujemo stalne jedinice vremena na recipročnu vrijednost. Sa fizičke tačke gledišta, ovo izgleda kao da se vrijeme usporava dok se potpuno ne zaustavi u trenutku kada Ahil sustigne kornjaču. Ako vrijeme stane, Ahil više ne može pobjeći od kornjače.

Ako okrenemo svoju uobičajenu logiku, sve dolazi na svoje mjesto. Ahil trči konstantnom brzinom. Svaki naredni segment njegovog puta je deset puta kraći od prethodnog. Shodno tome, vrijeme utrošeno na njegovo savladavanje je deset puta manje od prethodnog. Ako u ovoj situaciji primijenimo koncept „beskonačnosti“, tada bi bilo ispravno reći „Ahilej će beskonačno brzo sustići kornjaču“.

Kako izbjeći ovu logičnu zamku? Ostanite u konstantnim jedinicama vremena i ne prelazite na recipročne jedinice. Na Zenonovom jeziku to izgleda ovako:

Za vrijeme koje je Ahileju potrebno da pretrči hiljadu koraka, kornjača će puzati stotinu koraka u istom smjeru. Tokom sledećeg vremenskog intervala jednakog prvom, Ahilej će pretrčati još hiljadu koraka, a kornjača će puzati stotinu koraka. Sada je Ahil osam stotina koraka ispred kornjače.

Ovaj pristup na adekvatan način opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali ovo nije potpuno rješenje problema. Ajnštajnova izjava o neodoljivosti brzine svetlosti veoma je slična Zenonovoj aporiji „Ahilej i kornjača“. Ostaje nam da proučimo, preispitamo i riješimo ovaj problem. A rješenje se mora tražiti ne u beskonačno velikim brojevima, već u mjernim jedinicama.

Još jedna zanimljiva Zenonova aporija govori o letećoj streli:

Leteća strela je nepomična, pošto u svakom trenutku miruje, a pošto miruje u svakom trenutku, uvek miruje.

U ovoj aporiji logički paradoks može se savladati vrlo jednostavno - dovoljno je razjasniti da u svakom trenutku vremena leteća strijela miruje u različitim tačkama u prostoru, što je, u stvari, kretanje. Ovdje treba napomenuti još jednu stvar. Iz jedne fotografije automobila na cesti nemoguće je utvrditi ni činjenicu njegovog kretanja, ni udaljenost do njega. Da biste utvrdili da li se automobil kreće, potrebne su vam dvije fotografije snimljene iz iste tačke u različitim vremenskim trenucima, ali ne možete odrediti udaljenost od njih. Da biste odredili udaljenost do automobila, potrebne su vam dvije fotografije snimljene iz različitih tačaka u prostoru u jednom trenutku, ali iz njih ne možete utvrditi činjenicu kretanja (naravno, još su vam potrebni dodatni podaci za proračune, trigonometrija će vam pomoći ). Ono na šta želim da skrenem posebnu pažnju je da su dve tačke u vremenu i dve tačke u prostoru različite stvari koje ne treba mešati, jer pružaju različite mogućnosti za istraživanje.

Srijeda, 04.07.2018

Razlike između skupa i multiseta su vrlo dobro opisane na Wikipediji. da vidimo.

Kao što vidite, "ne mogu postojati dva identična elementa u skupu", ali ako postoje identični elementi u skupu, takav skup se naziva "multiset". Razumna bića nikada neće razumjeti takvu apsurdnu logiku. Ovo je nivo govornih papagaja i dresiranih majmuna, koji nemaju inteligenciju od riječi "potpuno". Matematičari se ponašaju kao obični treneri, propovijedajući nam svoje apsurdne ideje.

Nekada su inženjeri koji su gradili most bili u čamcu ispod mosta dok su testirali most. Ako bi se most srušio, osrednji inženjer je umro pod ruševinama svoje kreacije. Ako je most mogao izdržati opterećenje, talentirani inženjer je izgradio druge mostove.

Bez obzira na to koliko se matematičari kriju iza fraze „pamet, ja sam u kući“, odnosno „matematika proučava apstraktne pojmove“, postoji jedna pupčana vrpca koja ih neraskidivo povezuje sa stvarnošću. Ova pupčana vrpca je novac. Primjenjivo matematička teorija setove samim matematičarima.

Matematiku smo učili odlično i sada sjedimo na kasi i izdajemo plate. Dakle, matematičar dolazi kod nas po svoj novac. Odbrojavamo mu cijeli iznos i slažemo ga na našem stolu u različite hrpe, u koje stavljamo novčanice istog apoena. Zatim uzimamo po jedan račun sa svake gomile i dajemo matematičaru njegov „matematički skup plaće“. Objasnimo matematičaru da će preostale račune dobiti tek kada dokaže da skup bez identičnih elemenata nije jednak skupu sa identičnim elementima. Ovdje zabava počinje.

Prije svega, funkcionirat će logika poslanika: „Ovo se može primijeniti na druge, ali ne i na mene!“ Tada će nas početi uvjeravati da novčanice istog apoena imaju različite brojeve novčanica, što znači da se ne mogu smatrati istim elementima. Dobro, računajmo plate u kovanicama - na kovanicama nema brojeva. Ovdje će matematičar početi mahnito da se prisjeća fizike: on različite kovanice Postoji različita količina prljavštine, kristalna struktura i raspored atoma je jedinstven za svaki novčić...

A sada imam najviše interes Pitajte: gdje je linija iza koje se elementi multiskupa pretvaraju u elemente skupa i obrnuto? Takva linija ne postoji - o svemu odlučuju šamani, nauka ovdje nije ni blizu da leži.

Pogledati ovdje. Mi biramo fudbalski stadioni sa istom površinom polja. Površine polja su iste - što znači da imamo višestruki skup. Ali ako pogledamo imena tih istih stadiona, dobijamo mnogo, jer su imena različita. Kao što vidite, isti skup elemenata je i skup i multiskup. Šta je tačno? I ovdje matematičar-šaman-oštrica izvlači keca aduta iz rukava i počinje nam pričati ili o setu ili o multisetu. U svakom slučaju, on će nas uvjeriti da je u pravu.

Da razumem kako moderni šamani operirati teorijom skupova, vezujući je za stvarnost, dovoljno je odgovoriti na jedno pitanje: kako se elementi jednog skupa razlikuju od elemenata drugog skupa? Pokazaću vam, bez ikakvog "zamislivog kao nijedna celina" ili "nezamislivog kao jedinstvene celine".

Nedjelja, 18.03.2018

Zbir cifara broja je ples šamana s tamburom, koji nema nikakve veze s matematikom. Da, na časovima matematike nas uče da pronađemo zbir cifara broja i da ga koristimo, ali zato su oni šamani, da svoje potomke uče svojim vještinama i mudrosti, inače će šamani jednostavno izumrijeti.

Treba li vam dokaz? Otvorite Wikipediju i pokušajte pronaći stranicu "Zbroj cifara broja." Ona ne postoji. U matematici ne postoji formula koja se može koristiti za pronalaženje zbira cifara bilo kojeg broja. Na kraju krajeva, brojevi su grafički simboli kojima pišemo brojeve, a na jeziku matematike zadatak zvuči ovako: „Pronađi zbir grafičkih simbola koji predstavljaju bilo koji broj. Matematičari ne mogu riješiti ovaj problem, ali šamani to mogu lako.

Hajde da shvatimo šta i kako radimo da bismo pronašli zbir brojeva dati broj. I tako, neka nam je broj 12345. Šta treba uraditi da bi se našao zbir cifara ovog broja? Razmotrimo redom sve korake.

1. Zapišite broj na komad papira. Šta smo uradili? Broj smo pretvorili u grafički simbol broja. Ovo nije matematička operacija.

2. Jednu rezultirajuću sliku izrežemo na nekoliko slika koje sadrže pojedinačne brojeve. Rezanje slike nije matematička operacija.

3. Pretvorite pojedinačne grafičke simbole u brojeve. Ovo nije matematička operacija.

4. Dodajte dobijene brojeve. Ovo je matematika.

Zbir cifara broja 12345 je 15. Ovo su „tečajevi krojenja i šivanja“ koje podučavaju šamani koje koriste matematičari. Ali to nije sve.

Sa matematičke tačke gledišta, nije bitno u kom sistemu brojeva zapisujemo broj. Dakle, unutra različiti sistemi U računanju, zbir cifara istog broja će biti različit. U matematici, sistem brojeva je označen kao indeks desno od broja. Sa velikim brojem 12345, ne želim da se zavaravam, razmislimo o broju 26 iz članka o. Zapišimo ovaj broj u binarnom, oktalnom, decimalnom i heksadecimalnom brojevnom sistemu. Nećemo svaki korak posmatrati pod mikroskopom, već smo to uradili. Pogledajmo rezultat.

Kao što vidite, u različitim brojevnim sistemima zbir cifara istog broja je različit. Ovaj rezultat nema nikakve veze sa matematikom. To je isto kao da odredite površinu pravokutnika u metrima i centimetrima, dobili biste potpuno drugačije rezultate.

Nula izgleda isto u svim brojevnim sistemima i nema zbir cifara. Ovo je još jedan argument u prilog činjenici da. Pitanje za matematičare: kako se u matematici označava nešto što nije broj? Šta, za matematičare ne postoji ništa osim brojeva? Mogu to dozvoliti za šamane, ali ne i za naučnike. Realnost nije samo u brojevima.

Dobijeni rezultat treba smatrati dokazom da su sistemi brojeva mjerne jedinice za brojeve. Uostalom, ne možemo porediti brojeve sa različitim mernim jedinicama. Ako iste radnje s različitim mjernim jedinicama iste količine dovode do različitih rezultata nakon poređenja, onda to nema nikakve veze s matematikom.

Šta je prava matematika? Tada je rezultat matematička operacija ne zavisi od veličine broja, merne jedinice koja se koristi i ko izvodi radnju.

Potpis na vratima Otvara vrata i kaže:

Oh! Nije li ovo ženski toalet?
- Mlada žena! Ovo je laboratorija za proučavanje nedefilske svetosti duša tokom njihovog uspona na nebo! Halo na vrhu i strelica gore. Koji drugi toalet?

Žensko... Oreol na vrhu i strelica dole su muški.

Ako vam takvo dizajnersko djelo bljesne pred očima nekoliko puta dnevno,

Onda nije iznenađujuće da iznenada nađete čudnu ikonu u svom automobilu:

Lično se trudim da vidim minus četiri stepena kod osobe koja kaki (jedna slika) (kompozicija od nekoliko slika: znak minus, broj četiri, oznaka stepeni). I ne mislim da je ova devojka budala koja ne zna fiziku. Ona samo ima jak stereotip o percepciji grafičkih slika. A matematičari nas tome stalno uče. Evo primjera.

1A nije "minus četiri stepena" ili "jedan a". Ovo je "čovjek koji kaka" ili broj "dvadeset i šest" u heksadecimalnom zapisu. Oni ljudi koji stalno rade u ovom brojevnom sistemu automatski percipiraju broj i slovo kao jedan grafički simbol.

Formule stepena koristi se u procesu redukcije i pojednostavljivanja složenih izraza, u rješavanju jednačina i nejednačina.

Broj c je n-ti stepen broja a Kada:

Operacije sa stepenom.

1. Množenjem stepeni sa istom osnovom, dodaju se njihovi indikatori:

a m·a n = a m + n .

2. Prilikom dijeljenja stupnjeva sa istom bazom, oduzimaju se njihovi eksponenti:

3. Snaga proizvoda 2 ili više faktori jednak je proizvodu snaga ovih faktora:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Stepen razlomka jednak je omjeru stupnjeva dividende i djelitelja:

(a/b) n = a n /b n .

5. Podižući stepen na stepen, eksponenti se množe:

(a m) n = a m n .

Svaka gornja formula je istinita u smjerovima s lijeva na desno i obrnuto.

Na primjer. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operacije s korijenima.

1. Korijen proizvoda nekoliko faktora jednak je proizvodu korijena ovih faktora:

2. Korijen omjera jednak je omjeru dividende i djelitelja korijena:

3. Prilikom podizanja korijena na stepen, dovoljno je podići radikalni broj na ovaj stepen:

4. Ako povećate stepen korijena u n jednom i istovremeno ugraditi u n th stepen je radikalan broj, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:

5. Ako smanjite stepen korijena u n istovremeno izvaditi korijen n-ti stepen radikalnog broja, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:

Stepen c negativan indikator. Potencija određenog broja s nepozitivnim (cjelobrojnim) eksponentom definira se kao jedinica podijeljena potencijom istog broja s eksponentom jednakim apsolutnoj vrijednosti nepozitivnog eksponenta:

Formula a m:a n =a m - n može se koristiti ne samo za m> n, ali i sa m< n.

Na primjer. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Za formulu a m:a n =a m - n postao pošten kada m=n, potrebno je prisustvo nultog stepena.

Diploma sa nultim indeksom. Potencija bilo kojeg broja koji nije jednak nuli sa nultim eksponentom jednaka je jedan.

Na primjer. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Stepen sa razlomkom eksponenta. Da podignem pravi broj A do stepena m/n, morate izdvojiti korijen n th stepen of m-ti stepen ovog broja A.

Eksponencijacija je operacija koja je usko povezana sa množenjem. Predstavimo to formulom: a1 * a2 * … * an = an.

Na primjer, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

Općenito, eksponencijacija se često koristi u različitim formulama u matematici i fizici. Ova funkcija ima naučniju svrhu od četiri glavne: zbrajanje, oduzimanje, množenje, deljenje.

Podizanje broja na stepen

Podizanje broja na stepen nije komplikovana operacija. Povezan je sa množenjem na sličan način kao i odnos između množenja i sabiranja. Oznaka an je kratka oznaka n-tog broja brojeva “a” pomnoženih jedan s drugim.

Uzmite u obzir eksponencijalnost najviše jednostavni primjeri, prelazeći na složene.

Na primjer, 42. 42 = 4 * 4 = 16. Četiri na kvadrat (na drugi stepen) jednako je šesnaest. Ako ne razumijete množenje 4 * 4, pročitajte naš članak o množenju.

Pogledajmo još jedan primjer: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Pet kubova (na treći stepen) jednako je sto dvadeset i pet.

Drugi primjer: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Devet kubika jednako je sedam stotina dvadeset devet.

Formule za eksponencijaciju

Da biste pravilno podigli na stepen, morate zapamtiti i znati formule date u nastavku. U tome nema ničeg ekstra prirodnog, najvažnije je razumjeti suštinu i tada će oni ne samo biti zapamćeni, već će izgledati i laki.

Podizanje monoma na stepen

Šta je monom? Ovo je proizvod brojeva i varijabli u bilo kojoj količini. Na primjer, dva je monom. A ovaj članak je upravo o podizanju takvih monoma na stepen.

Koristeći formule za eksponencijaciju, neće biti teško izračunati eksponencijaciju monoma.

Na primjer, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Ako monom podignete na stepen, onda se svaka komponenta monoma podiže na stepen.

Podizanjem varijable koja već ima moć na stepen, moći se množe. Na primjer, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6;

Podizanje na negativnu potenciju

Negativna snaga je recipročna vrijednost broja. Koji je recipročni broj? Recipročna vrijednost bilo kojeg broja X je 1/X. To jest, X-1=1/X. Ovo je suština negativnog stepena.

Razmotrimo primjer (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Žašto je to? Pošto u stepenu postoji minus, ovaj izraz jednostavno prenosimo na nazivnik, a zatim ga podižemo na treći stepen. Jednostavno, zar ne?

Povećanje na razlomak

Počnimo sa razmatranjem problema na konkretan primjer. 43/2. Šta znači stepen 3/2? 3 – brojilac, znači podizanje broja (u ovom slučaju 4) na kocku. Broj 2 je imenilac, to je ekstrakcija drugog korijena broja (u ovom slučaju, 4).

Tada dobijamo kvadratni korijen od 43 = 2^3 = 8. Odgovor: 8.

Dakle, imenilac razlomnog stepena može biti ili 3 ili 4 ili bilo koji broj do beskonačnosti, a ovaj broj određuje stepen kvadratni korijen, izdvojeno iz datog broja. Naravno, imenilac ne može biti nula.

Podizanje korijena na potenciju

Ako se korijen podigne na stepen jednak stepenu samog korijena, onda će odgovor biti radikalan izraz. Na primjer, (√x)2 = x. I tako u svakom slučaju, stepen korena i stepen podizanja korena su jednaki.

Ako je (√x)^4. Tada (√x)^4=x^2. Da bismo provjerili rješenje, pretvaramo izraz u izraz s razlomkom. Pošto je koren kvadrat, imenilac je 2. A ako se koren podigne na četvrti stepen, brojilac je 4. Dobijamo 4/2=2. Odgovor: x = 2.

U svakom slučaju najbolja opcija jednostavno pretvorite izraz u izraz s razlomkom. Ako se razlomak ne poništava, onda je ovo odgovor, pod uvjetom da korijen datog broja nije izoliran.

Dizanje kompleksnog broja na stepen

Šta je kompleksan broj? Kompleksni broj– izraz koji ima formulu a + b * i; a, b su realni brojevi. i je broj koji, kada se kvadrira, daje broj -1.

Pogledajmo primjer. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Prijavite se na kurs „Ubrzajte mentalnu aritmetiku, NE mentalna aritmetika"da naučite kako brzo i pravilno sabirati, oduzimati, množiti, dijeliti, kvadrirati brojeve, pa čak i uzimati korijene. Za 30 dana naučit ćete koristiti jednostavne tehnike za pojednostavljenje aritmetičkih operacija. Svaka lekcija sadrži nove tehnike, jasne primjere i korisne zadatke.

Eksponencijacija online

Koristeći naš kalkulator, možete izračunati podizanje broja na stepen:

Eksponencijal 7. razred

Školarci počinju da se uzdižu do moći tek u sedmom razredu.

Eksponencijacija je operacija koja je usko povezana sa množenjem. Hajde da to predstavimo formulom: a1 * a2 * … * an=an.

Na primjer, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Primjeri rješenja:

Eksponencijalna prezentacija

Prezentacija o podizanju na stepene, namenjena učenicima sedmog razreda. Prezentacija može razjasniti neke nejasne tačke, ali ove stvari vjerovatno neće biti razjašnjene zahvaljujući našem članku.

Zaključak

Pogledali smo samo vrh ledenog brijega, da bismo bolje razumjeli matematiku - prijavite se na naš kurs: Ubrzavanje mentalne aritmetike - NE mentalne aritmetike.

Sa kursa ne samo da ćete naučiti desetine tehnika za pojednostavljeno i brzo množenje, sabiranje, množenje, dijeljenje i izračunavanje postotaka, već ćete ih i uvježbati u specijalni zadaci i edukativne igre! Mentalna aritmetika također zahtijeva puno pažnje i koncentracije, koji se aktivno treniraju prilikom rješavanja zanimljivih zadataka.

Kao što znate, u matematici ne postoje samo pozitivni brojevi, već i negativni. Ako upoznavanje s pozitivnim moćima počinje određivanjem površine kvadrata, onda je s negativnim moćima sve nešto složenije.

Ovo bi trebalo da znate:

1. Podizanje broja na prirodni stepen je množenje broja (u članku ćemo razmotriti koncepte broja i cifre ekvivalentne) samo po sebi u količini kao što je eksponent (u budućnosti ćemo paralelno koristiti i jednostavno riječ eksponent). 6^3 = 6*6*6 = 36*6 =216. IN opšti pogled to izgleda ovako: m^n = m*m*m*…*m (n puta).
2. Mora se uzeti u obzir da kada se negativan broj podigne na prirodni stepen, on će postati pozitivan ako je eksponent paran.
3. Podizanjem broja na eksponent 0 daje se jedinica, pod uslovom da nije jednak nuli. Potencija od nule do nule smatra se nedefiniranom. 17^0 = 1.
4. Izdvajanje korijena određene snage iz broja je pronalaženje broja koji će, kada se podigne na odgovarajući eksponent, dati željenu vrijednost. Dakle, kubni korijen od 125 je 5, budući da je 5^3 = 125.
5. Ako želite podići broj na pozitivan razlomak, onda morate podići broj na eksponent nazivnika i iz njega izvući korijen brojnog eksponenta. 6^5/7 = sedmi korijen proizvoda 6*6*6*6*6.
6. Ako želite podići broj na negativan eksponent, onda morate pronaći inverznu vrijednost datog broja. x^-3 = 1/x^3. 8^-4 = 1/8^4 = 1/8*8*8*8 = 1/4096.

Podizanje broja po modulu nula na jedan na negativan stepen

Prvo treba da zapamtimo šta je modul. Ovo je udaljenost na koordinatnoj liniji od vrijednosti koju smo odabrali do ishodišta (nula koordinatne linije). Po definiciji nikada ne može biti negativan.

Vrijednost veća od nule

Kada je vrijednost cifre između nula i jedan, negativan indikator daje povećanje same cifre. To se događa zato što se nazivnik smanjuje dok ostaje pozitivan.

Pogledajmo primjere:

• 1/7^-3 = 1/(1/7^3) = 1/(1/343) = 343;
• 0,2^-5 = 1/0,2^5 = 1/0,2*0,2*0,2*0,2*0,2 = 1/0,00032 = 3125.

Štoviše, što je veći modul indikatora, broj aktivnije raste. Kako imenilac teži nuli, sam razlomak teži plus beskonačnosti.

Vrijednost manja od nule

Pogledajmo sada kako da se ugradi negativan stepen, ako je broj manji od nule. Princip je isti kao u prethodnom dijelu, ali ovdje je važan znak indikatora.

Pogledajmo još jednom primjere:

• -19 / 21^-4 = 1/(-19/21)^4 = 1/(-19)^4/21^4 = 21^4/(-19)^4 = 21*21*21*21/(-19)*(-19)*(-19)*(-19) = 194481/130321 = 1,4923228;
• -29/40^-5 = 1/(-29/40)^5 = 1/(-29)^5/40^5 = 40^5/(-29)^5 = 40*40*40*40*40/(-29)*(-29)*(-29)*(-29)*(-29) = 102400000/(-20511149) = -4,9924.

U ovom slučaju to vidimo modul nastavlja da raste, ali predznak zavisi od toga da li je indikator paran ili neparan.

Treba napomenuti da ako izgradimo jedinicu, ona će uvijek ostati sama. Ako trebate podići broj minus jedan, onda će se s parnim eksponentom pretvoriti u jedan, a s neparnim će ostati minus jedan.

Povećanje na negativan cijeli broj ako je modul veći od jedan

Za brojeve čiji je modul veći od jedan, ima svoje specifičnosti delovanja. Prije svega, trebate pretvoriti cijeli dio razlomka u brojilac, odnosno pretvoriti ga u nepravilan razlomak. Ako imamo decimalni, onda se mora pretvoriti u normalu. To se radi na sljedeći način:

• 6 cijelih brojeva 7/17 = 109/17;
• 2,54 = 254/100.

Pogledajmo sada kako podići broj na negativan stepen pod ovim uslovima. Već iz navedenog možemo pretpostaviti šta možemo očekivati ​​od rezultata proračuna. Pošto se dvostruki razlomak invertuje tokom pojednostavljivanja, modul figure će se smanjivati ​​brže, što je veći modul eksponenta.

Prvo, razmotrimo situaciju kada broj dat u zadatku je pozitivan.

Prije svega, postaje jasno da će konačni rezultat biti veći od nule, jer dijeljenje dva pozitivna uvijek daje pozitivan rezultat. Pogledajmo još jednom primjere kako se to radi:

• 6 cijelih brojeva 1/20 na minus peti stepen = 121/20^-5 = 1/(121/20)^5 = 1/121^5/20^5 = 20^5/121^5 = 3200000/25937424601 = 0 ,0001234;
• 2,25^-6 = (225/100)^-6 = 1/(225/100)^6 = 1/225^6/100^6 = 100^6/225^6 = 100*100*100*100*100*100/225*225*225*225*225*225 = 0,007413.

Kao što vidite, radnje ne predstavljaju posebne poteškoće, a sve naše početne pretpostavke su se pokazale tačnima.

Sada se okrenimo slučaju negativne znamenke.

Za početak, možemo pretpostaviti da ako je indikator paran, onda će rezultat biti pozitivan, ako je indikator neparan, onda će rezultat biti negativan. Svi naši prethodni proračuni u ovom dijelu sada će se smatrati važećim. Pogledajmo još jednom primjere:

• -3 cijeli 1/2 na minus šesti stepen = (-7/2)^-6 = 1/(-7/2)^6 = 1/(-7)^6/2^6 = 2*2* 2 *2*2*2/(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7) = 64/117649 = 0,000544;
• -1,25^-5 = (-125/100)^-5 = 1/(-125/100)^5 = 1/(-125)^5/100^5 = 100^5/(-125)^5 = 100*100*100*100*100/(-125)*(-125)*(-125)*(-125)*(-125) = 10000000000/(-30517578125) = -0.32768.

Tako se pokazalo da su sva naša razmišljanja tačna.

Konstrukcija u slučaju negativnog razlomka eksponenta

Ovdje morate imati na umu da takva konstrukcija postoji izdvajanje korena stepena nazivnika iz broja u stepen brojnika. Sva naša prethodna razmišljanja ovog puta ostaju tačna. Objasnimo naše postupke na primjeru:

• 4^-3/2 = 1/4^3/2 = 1/rad(4^3) = 1/rad64 = 1/8.

U ovom slučaju, morate imati na umu da vađenje korijena visoki nivo moguće je samo u posebno odabranom obliku i, najvjerovatnije, nećete se moći riješiti znaka radikala (kvadratni korijen, kubni korijen, itd.) Točnim proračunima.

Ipak, nakon što smo detaljno proučili prethodna poglavlja, ne biste trebali očekivati ​​poteškoće u školskim proračunima.

Treba napomenuti da opis ovog poglavlja takođe uključuje konstrukcija sa namjerno iracionalnim pokazateljem, na primjer, ako je indikator jednak minus PI. Morate se ponašati prema gore opisanim principima. Međutim, proračuni u takvim slučajevima postaju toliko složeni da to mogu učiniti samo moćni elektronski računari.

Zaključak

Akcija koju smo proučavali je jedan od naj najsloženijim zadacima u matematici(posebno u slučaju frakciono-racionalnog ili iracionalnog značenja). Međutim, detaljnim proučavanjem ovih uputstava korak po korak, možete naučiti kako to učiniti potpuno automatski bez ikakvih problema.

Prvi nivo

Stepen i njegova svojstva. Sveobuhvatan vodič (2019)

Zašto su potrebne diplome? Gdje će vam trebati? Zašto biste trebali odvojiti vrijeme da ih proučite?

Da naučite sve o diplomama, čemu služe, kako iskoristiti svoje znanje Svakodnevni život pročitajte ovaj članak.

I naravno, poznavanje diploma će vas približiti uspjehu prolazeći OGE ili Jedinstveni državni ispit i upis na univerzitet iz snova.

Idemo... (Idemo!)

Važna napomena! Ako vidite gobbledygook umjesto formula, obrišite keš memoriju. Da biste to učinili, pritisnite CTRL+F5 (na Windowsima) ili Cmd+R (na Macu).

PRVI NIVO

Eksponencijacija je matematička operacija baš kao sabiranje, oduzimanje, množenje ili dijeljenje.

Sad ću sve objasniti ljudski jezik sa vrlo jednostavnim primjerima. Budi pazljiv. Primjeri su elementarni, ali objašnjavaju važne stvari.

Počnimo sa sabiranjem.

Nema tu šta da se objašnjava. Sve već znate: ima nas osam. Svaka osoba ima dvije boce kole. Koliko kole ima? Tako je - 16 boca.

Sada množenje.

Isti primjer sa colom može se napisati drugačije: . Matematičari su lukavi i lijeni ljudi. Prvo primjećuju neke obrasce, a zatim shvate način da ih brže "prebroje". U našem slučaju, primijetili su da svaki od osam ljudi ima isti broj boca kole i smislili tehniku ​​zvanu množenje. Slažem se, smatra se lakšim i bržim od.

Dakle, da biste brojali brže, lakše i bez grešaka, samo trebate zapamtiti tablica množenja. Naravno, sve možete raditi sporije, teže i sa greškama! Ali…

Evo tablice množenja. Ponovi.

I još jedna, ljepša:

Koje su još pametne trikove brojanja smislili lijeni matematičari? desno - podizanje broja na stepen.

Podizanje broja na stepen

Ako trebate pomnožiti broj sam po sebi pet puta, onda matematičari kažu da taj broj trebate podići na peti stepen. Na primjer, . Matematičari se sjećaju da je dva na peti stepen... I takve probleme rješavaju u glavi – brže, lakše i bez grešaka.

Sve što treba da uradite je zapamtite šta je istaknuto bojom u tabeli stepena brojeva. Vjerujte, ovo će vam mnogo olakšati život.

Usput, zašto se zove drugi stepen? kvadrat brojevi, a treći - kocka? Šta to znači? Veoma dobro pitanje. Sada ćete imati i kvadrate i kocke.

Primjer iz stvarnog života #1

Počnimo s kvadratom ili drugim stepenom broja.

Zamislite kvadratni bazen dimenzija metar puta jedan metar. Bazen je na vašoj dači. Vruće je i stvarno želim plivati. Ali... bazen nema dno! Dno bazena je potrebno pokriti pločicama. Koliko pločica vam treba? Da biste to utvrdili, morate znati područje dna bazena.

Možete jednostavno izračunati tako što ćete pokazati prstom da se dno bazena sastoji od kocki metar po metar. Ako imate pločice metar po jedan metar, trebat će vam komadi. Lako je... Ali gdje ste vidjeli takve pločice? Pločica će najvjerovatnije biti cm po cm, a onda ćete biti mučeni "brojanjem prstom". Onda morate množiti. Dakle, na jednu stranu dna bazena postavljamo pločice (komade), a na drugu takođe pločice. Pomnožite sa i dobit ćete pločice ().

Jeste li primijetili da smo za određivanje površine dna bazena pomnožili isti broj sam po sebi? Šta to znači? Budući da množimo isti broj, možemo koristiti tehniku ​​“eksponencijalnosti”. (Naravno, kada imate samo dva broja, i dalje ih trebate pomnožiti ili podići na stepen. Ali ako ih imate puno, onda je njihovo podizanje na stepen puno lakše i također je manje grešaka u računanju Za Jedinstveni državni ispit, ovo je veoma važno).
Dakle, trideset na drugi stepen će biti (). Ili možemo reći da će biti trideset na kvadrat. Drugim riječima, drugi stepen broja uvijek se može predstaviti kao kvadrat. I obrnuto, ako vidite kvadrat, to je UVIJEK drugi stepen nekog broja. Kvadrat je slika drugog stepena broja.

Primjer iz stvarnog života #2

Evo zadatka za vas: prebrojite koliko polja ima na šahovskoj tabli koristeći kvadrat broja... Na jednoj strani ćelija i na drugoj. Da biste izračunali njihov broj, trebate pomnožiti osam sa osam ili... ako primijetite da je šahovska tabla kvadrat sa stranicom, onda možete kvadratirati osam. Dobićete ćelije. () Pa?

Primjer iz stvarnog života #3

Sada kocka ili treći stepen broja. Isti bazen. Ali sada morate saznati koliko vode treba uliti u ovaj bazen. Morate izračunati zapreminu. (Usput, zapremine i tečnosti se mere u kubnih metara. Neočekivano, zar ne?) Nacrtajte bazen: dno veličine metar i dubinu od jednog metra i pokušajte izbrojati koliko kocki dimenzija metar sa metar će stati u vaš bazen.

Samo uperite prstom i brojite! Jedan, dva, tri, četiri...dvadeset dva, dvadeset tri...Koliko si dobio? Niste izgubljeni? Da li je teško brojati prstom? Tako da! Uzmite primjer od matematičara. Oni su lijeni, pa su primijetili da kako biste izračunali volumen bazena, morate pomnožiti njegovu dužinu, širinu i visinu jedno s drugim. U našem slučaju, zapremina bazena će biti jednaka kockama... Lakše, zar ne?

Sada zamislite koliko su matematičari lijeni i lukavi kada bi i ovo pojednostavili. Sve smo sveli na jednu akciju. Primetili su da su dužina, širina i visina jednake i da se isti broj množi sam sa sobom... Šta to znači? To znači da možete iskoristiti diplomu. Dakle, ono što ste jednom brojali prstom, oni rade u jednoj radnji: tri kocka je jednako. Piše se ovako: .

Ostaje samo zapamtite tabelu stepeni. Osim ako, naravno, niste lijeni i lukavi kao matematičari. Ako volite naporno raditi i griješiti, možete nastaviti da brojite prstom.

Pa da vas konačno uvjerim da su diplome izmislili oni koji odustaju i lukavi ljudi da rješavaju svoje životne probleme, a ne da vam stvaraju probleme, evo još par primjera iz života.

Primjer iz stvarnog života #4

Imate milion rubalja. Na početku svake godine, za svaki milion koji zaradite, zaradite još jedan milion. Odnosno, svaki vaš milion se udvostruči na početku svake godine. Koliko ćeš novca imati za godine? Ako sada sedite i „brojite prstom“, onda ste veoma vredna osoba i... glupa. Ali najvjerovatnije ćete dati odgovor za par sekundi, jer ste pametni! Dakle, prve godine - dva pomnožena sa dva... druge godine - šta je bilo, još dva, treće godine... Stani! Primijetili ste da se broj množi sam sa sobom puta. Dakle, dva na peti stepen je milion! Zamislite sad da imate takmičenje i onaj ko ume najbrže da broji dobiće ove milione... Vrijedi se sjetiti moći brojeva, zar ne?

Primjer iz stvarnog života #5

Imaš milion. Na početku svake godine zaradite dva više za svaki milion. Sjajno zar ne? Svaki milion je utrostručen. Koliko novca ćete imati za godinu dana? Hajde da brojimo. Prva godina - pomnoži sa, pa rezultat sa drugom... Već je dosadno, jer si već sve shvatio: tri se množi sam sa sobom puta. Dakle, na četvrti stepen je jednak milion. Samo morate zapamtiti da je tri na četvrti stepen ili.

Sada znate da ćete podizanjem broja na stepen učiniti svoj život mnogo lakšim. Pogledajmo dalje šta možete učiniti sa diplomama i šta trebate znati o njima.

Termini i pojmovi... da se ne zbunite

Dakle, prvo, hajde da definišemo koncepte. Šta ti misliš, šta je eksponent? Vrlo je jednostavno - to je broj koji je "na vrhu" snage broja. Nije naučno, ali jasno i lako pamtljivo...

Pa, u isto vreme, šta takvu osnovu diplome? Još jednostavnije - ovo je broj koji se nalazi ispod, u bazi.

Evo crteža za dobru meru.

Pa, generalno, radi generalizacije i boljeg pamćenja... Stepen sa osnovom “ ” i eksponentom “ ” čita se kao “do stepena” i piše se na sljedeći način:

Potencija broja s prirodnim eksponentom

Verovatno ste već pogodili: jer eksponent jeste prirodni broj. Da, ali šta je to prirodni broj? Osnovno! Prirodni brojevi su oni brojevi koji se koriste u brojanju pri popisivanju objekata: jedan, dva, tri... Kada brojimo predmete, ne kažemo: „minus pet“, „minus šest“, „minus sedam“. Takođe ne kažemo: „jedna trećina“, ili „nula zarez pet“. Ovo nisu prirodni brojevi. Šta mislite koji su to brojevi?

Brojevi poput "minus pet", "minus šest", "minus sedam" se odnose na cijeli brojevi. Općenito, cijeli brojevi uključuju sve prirodne brojeve, brojeve suprotne prirodnim brojevima (to jest, uzeti sa predznakom minus) i broj. Nulu je lako razumeti - to je kada nema ničega. Šta znače negativni ("minus") brojevi? Ali oni su izmišljeni prvenstveno za označavanje dugova: ako imate stanje na telefonu u rubljama, to znači da dugujete operateru rublje.

Svi razlomci su racionalnih brojeva. Šta mislite kako su nastali? Veoma jednostavno. Prije nekoliko hiljada godina naši preci su otkrili da im nedostaju prirodni brojevi za mjerenje dužine, težine, površine itd. I oni su smislili racionalnih brojeva... Zanimljivo, zar ne?

Postoje i iracionalni brojevi. Koji su to brojevi? Ukratko, to je beskonačan decimalni razlomak. Na primjer, ako podijelite obim kruga njegovim prečnikom, dobit ćete iracionalan broj.

Sažetak:

Definirajmo pojam stepena čiji je eksponent prirodan broj (tj. cijeli i pozitivan).

1. Bilo koji broj na prvi stepen jednak je samom sebi:
2. Kvadratirati broj znači pomnožiti ga sam sa sobom:
3. Kockati broj znači pomnožiti ga sam sa sobom tri puta:

Definicija. Podići broj na prirodni stepen znači pomnožiti broj sam sa sobom puta:
.

Svojstva stepeni

Odakle su ove nekretnine? Sada ću ti pokazati.

Da vidimo: šta je to I ?

A-prioritet:

Koliko množitelja ima ukupno?

Vrlo je jednostavno: faktorima smo dodali množitelje, a rezultat su množitelji.

Ali po definiciji, ovo je stepen broja sa eksponentom, to jest: , što je trebalo dokazati.

Primjer: Pojednostavite izraz.

Rješenje:

primjer: Pojednostavite izraz.

Rješenje: Važno je napomenuti da u našem pravilu Neophodno moraju postojati isti razlozi!
Stoga kombiniramo snage s bazom, ali ona ostaje zaseban faktor:

samo za proizvod moći!

Ni pod kojim okolnostima ne možete to napisati.

2. to je to stepen broja

Kao i kod prethodnog svojstva, okrenimo se definiciji stepena:

Ispada da se izraz množi sam sa sobom puta, odnosno, prema definiciji, ovo je th stepen broja:

U suštini, ovo se može nazvati „vađenjem indikatora iz zagrada“. Ali ovo nikada ne možete učiniti ukupno:

Prisjetimo se skraćenih formula za množenje: koliko puta smo htjeli napisati?

Ali to ipak nije istina.

Snaga sa negativnom bazom

Do sada smo samo razgovarali o tome kakav bi eksponent trebao biti.

Ali šta bi trebalo da bude osnova?

U ovlastima prirodni pokazatelj osnova može biti bilo koji broj. Zaista, možemo množiti bilo koje brojeve jedni s drugima, bilo da su pozitivni, negativni ili parni.

Razmislimo o tome koji će znakovi ("" ili "") imati moći pozitivnih i negativnih brojeva?

Na primjer, da li je broj pozitivan ili negativan? A? ? S prvim je sve jasno: bez obzira koliko pozitivnih brojeva pomnožimo jedan s drugim, rezultat će biti pozitivan.

Ali oni negativni su malo zanimljiviji. Sjećamo se jednostavnog pravila iz 6. razreda: „minus za minus daje plus“. To je, ili. Ali ako pomnožimo sa, radi.

Odredite sami koji znak će imati sljedeći izrazi:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Jeste li uspjeli?

Evo odgovora: U prva četiri primjera, nadam se da je sve jasno? Jednostavno gledamo bazu i eksponent i primjenjujemo odgovarajuće pravilo.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

U primjeru 5) sve također nije tako strašno kao što se čini: na kraju krajeva, nije važno čemu je baza jednaka - stepen je paran, što znači da će rezultat uvijek biti pozitivan.

Pa, osim kada je baza nula. Baza nije jednaka, zar ne? Očigledno nije, jer (jer).

Primjer 6) više nije tako jednostavan!

6 primjera za praksu

Analiza rješenja 6 primjera

Ako zanemarimo osmu potenciju, šta vidimo ovdje? Prisjetimo se programa za 7. razred. Pa, sećaš li se? Ovo je formula za skraćeno množenje, odnosno razliku kvadrata! Dobijamo:

Pogledajmo pažljivo imenilac. Mnogo liči na jedan od faktora brojila, ali šta nije u redu? Redoslijed termina je pogrešan. Ako su obrnuti, pravilo bi se moglo primijeniti.

Ali kako to učiniti? Ispostavilo se da je to vrlo lako: tu nam pomaže paran stepen nazivnika.

Magično su termini promijenili mjesta. Ovaj „fenomen“ se primjenjuje na bilo koji izraz u jednakom stepenu: lako možemo promijeniti znakove u zagradama.

Ali važno je zapamtiti: svi znakovi se mijenjaju u isto vrijeme!

Vratimo se na primjer:

I opet formula:

Cijeli nazivamo prirodne brojeve, njihove suprotnosti (tj. uzeti sa znakom " ") i broj.

pozitivan cijeli broj, i ne razlikuje se od prirodnog, onda sve izgleda baš kao u prethodnom odeljku.

Pogledajmo sada nove slučajeve. Počnimo s indikatorom jednakim.

Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan:

Kao i uvijek, zapitajmo se: zašto je to tako?

Razmotrimo neki stepen sa bazom. Uzmite, na primjer, i pomnožite sa:

Dakle, pomnožili smo broj sa, i dobili smo istu stvar kakva je bila - . Kojim brojem treba pomnožiti da se ništa ne promijeni? Tako je, na. Sredstva.

Isto možemo učiniti i sa proizvoljnim brojem:

Ponovimo pravilo:

Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan.

Ali postoje izuzeci od mnogih pravila. I ovdje je također tu - ovo je broj (kao osnova).

S jedne strane, ona mora biti jednaka bilo kojem stepenu - bez obzira koliko pomnožite nulu sa sobom, i dalje ćete dobiti nulu, ovo je jasno. Ali s druge strane, kao i svaki broj na nulti stepen, on mora biti jednak. Pa šta je od ovoga istina? Matematičari su odlučili da se ne miješaju i odbili su podići nulu na stepen nule. Odnosno, sada ne možemo ne samo podijeliti sa nulom, već ga ni podići na nulti stepen.

Idemo dalje. Osim prirodnih brojeva i brojeva, cijeli brojevi uključuju i negativne brojeve. Da bismo razumjeli što je negativan stepen, učinimo kao prošli put: pomnožimo neki normalan broj s istim brojem na negativan stepen:

Odavde je lako izraziti ono što tražite:

Proširimo rezultujuće pravilo na proizvoljan stepen:

Dakle, formulirajmo pravilo:

Broj sa negativnom potencijom recipročan je istom broju sa pozitivnim stepenom. Ali istovremeno Baza ne može biti null:(jer ne možete podijeliti po).

Hajde da rezimiramo:

I. Izraz nije definiran u slučaju. Ako onda.

II. Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan: .

III. Broj koji nije jednak nuli na negativan stepen je obrnut od istog broja pozitivnom stepenu: .

Zadaci za samostalno rješavanje:

Pa, kao i obično, primjeri za nezavisna rješenja:

Analiza problema za samostalno rješavanje:

Znam, znam, brojke su zastrašujuće, ali na Jedinstvenom državnom ispitu moraš biti spreman na sve! Riješite ove primjere ili analizirajte njihova rješenja ako ih niste mogli riješiti i naučit ćete se lako nositi s njima na ispitu!

Nastavimo širiti raspon brojeva „prikladnih“ kao eksponent.

Sada razmotrimo racionalnih brojeva. Koji se brojevi nazivaju racionalnim?

Odgovor: sve što se može predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi, i.

Da razumem šta je to "razlomak stepena", uzmi u obzir razlomak:

Podignimo obje strane jednadžbe na stepen:

Sada se prisjetimo pravila o "stepen do stepena":

Koji broj se mora podići na stepen da se dobije?

Ova formulacija je definicija korena th stepena.

Da vas podsjetim: korijen th stepena broja () je broj koji je, kada se podigne na stepen, jednak.

To jest, korijen th stepena je inverzna operacija podizanja na stepen: .

Ispostavilo se da. Očigledno ovo poseban slučaj može se proširiti: .

Sada dodajemo brojilac: šta je to? Odgovor je lako dobiti pomoću pravila snage-na-pone:

Ali može li baza biti bilo koji broj? Na kraju krajeva, korijen se ne može izdvojiti iz svih brojeva.

Nijedan!

Podsjetimo se pravila: svaki broj podignut na paran stepen je pozitivan broj. Odnosno, nemoguće je izvući čak i korijene iz negativnih brojeva!

To znači da se takvi brojevi ne mogu podići na razlomak sa parnim nazivnikom, odnosno izraz nema smisla.

Šta je sa izrazom?

Ali ovdje nastaje problem.

Broj se može predstaviti u obliku drugih, reducibilnih razlomaka, na primjer, ili.

I ispostavilo se da postoji, ali ne postoji, ali to su samo dva različita zapisa istog broja.

Ili drugi primjer: jednom, onda možete to zapisati. Ali ako drugačije zapišemo indikator, opet ćemo upasti u nevolje: (odnosno, dobili smo potpuno drugačiji rezultat!).

Da bismo izbjegli takve paradokse, smatramo samo pozitivan osnovni eksponent sa razlomanim eksponentom.

Sta ako:

• - prirodni broj;
• - cijeli broj;

primjeri:

Racionalni eksponenti su vrlo korisni za transformaciju izraza s korijenima, na primjer:

5 primjera za praksu

Analiza 5 primjera za obuku

Pa, sada dolazi najteži dio. Sada ćemo to shvatiti stepen sa iracionalnim eksponentom.

Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao za stepen sa racionalnim eksponentom, sa izuzetkom

Uostalom, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (to jest, iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih).

Prilikom proučavanja stepena sa prirodnim, celobrojnim i racionalnim eksponentima, svaki put smo kreirali određenu „sliku“, „analogiju“ ili opis u poznatijim terminima.

Na primjer, stepen sa prirodnim eksponentom je broj pomnožen sam sa sobom nekoliko puta;

...broj na nultu potenciju- ovo je, takoreći, broj pomnožen sam sa sobom jednom, odnosno, još ga nisu počeli množati, što znači da se sam broj još nije ni pojavio - stoga je rezultat samo određeni "prazan broj" , odnosno broj;

...negativan cjelobrojni stepen- kao da se desio neki „obrnuti proces“, odnosno broj nije pomnožen sam sa sobom, već podeljen.

Inače, u nauci se često koristi diploma sa složenim indikatorom, odnosno indikator nije paran pravi broj.

Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama, imaćete priliku da shvatite ove nove koncepte u institutu.

GDJE SMO SIGURNI DA ĆETE ITI! (ako naučiš rješavati takve primjere :))

Na primjer:

Odlučite sami:

Analiza rješenja:

1. Počnimo s uobičajenim pravilom za podizanje stepena na stepen:

Sada pogledajte indikator. Zar te on ni na šta ne podsjeća? Prisjetimo se formule za skraćeno množenje razlike kvadrata:

U ovom slučaju,

Ispada da:

odgovor: .

2. Razlomke u eksponentima svodimo na isti oblik: ili obje decimale ili obje obične. Dobijamo, na primjer:

Odgovor: 16

3. Ništa posebno, koristimo uobičajena svojstva stupnjeva:

NAPREDNI NIVO

Određivanje stepena

Stepen je izraz oblika: , gdje je:

• — osnova stepena;
• - eksponent.

Stepen sa prirodnim indikatorom (n = 1, 2, 3,...)

Povećanje broja na prirodni stepen n znači množenje broja samim sobom puta:

Stepen sa cjelobrojnim eksponentom (0, ±1, ±2,...)

Ako je eksponent pozitivan cijeli broj broj:

Izgradnja na nulti stepen:

Izraz je neodređen, jer, s jedne strane, u bilo kojem stepenu je ovo, a s druge strane, bilo koji broj do th stepena je ovo.

Ako je eksponent negativan cijeli broj broj:

(jer ne možete podijeliti po).

Još jednom o nulama: izraz nije definiran u slučaju. Ako onda.

primjeri:

Potencija s racionalnim eksponentom

• - prirodni broj;
• - cijeli broj;

primjeri:

Svojstva stepeni

Da bismo olakšali rješavanje problema, pokušajmo razumjeti: odakle su ova svojstva došla? Dokažimo ih.

Da vidimo: šta je i?

A-prioritet:

Dakle, na desnoj strani ovog izraza dobijamo sljedeći proizvod:

Ali po definiciji to je stepen broja sa eksponentom, to jest:

Q.E.D.

Primjer : Pojednostavite izraz.

Rješenje : .

Primjer : Pojednostavite izraz.

Rješenje : Važno je napomenuti da u našem pravilu Neophodno moraju postojati isti razlozi. Stoga kombiniramo snage s bazom, ali ona ostaje zaseban faktor:

Još jedna važna napomena: ovo pravilo - samo za proizvod moći!

Ni pod kojim okolnostima ne možete to napisati.

Kao i kod prethodnog svojstva, okrenimo se definiciji stepena:

Hajde da pregrupišemo ovaj posao ovako:

Ispada da se izraz množi sam sa sobom puta, odnosno, prema definiciji, ovo je th stepen broja:

U suštini, ovo se može nazvati „vađenjem indikatora iz zagrada“. Ali ovo nikada ne možete učiniti ukupno: !

Prisjetimo se skraćenih formula za množenje: koliko puta smo htjeli napisati? Ali to ipak nije istina.

Snaga s negativnom bazom.

Do sada smo samo razgovarali o tome kako bi to trebalo da bude index stepeni. Ali šta bi trebalo da bude osnova? U ovlastima prirodno indikator osnova može biti bilo koji broj .

Zaista, možemo množiti bilo koje brojeve jedni s drugima, bilo da su pozitivni, negativni ili parni. Razmislimo o tome koji će znakovi ("" ili "") imati moći pozitivnih i negativnih brojeva?

Na primjer, da li je broj pozitivan ili negativan? A? ?

S prvim je sve jasno: bez obzira koliko pozitivnih brojeva pomnožimo jedan s drugim, rezultat će biti pozitivan.

Ali oni negativni su malo zanimljiviji. Sjećamo se jednostavnog pravila iz 6. razreda: „minus za minus daje plus“. To je, ili. Ali ako pomnožimo sa (), dobićemo - .

I tako u nedogled: svakim sljedećim množenjem predznak će se mijenjati. Možemo formulisati sljedeće jednostavna pravila:

1. čak stepen, - broj pozitivno.
2. Negativan broj, ugrađen odd stepen, - broj negativan.
3. Pozitivan broj u bilo kom stepenu je pozitivan broj.
4. Nula na bilo koji stepen jednaka je nuli.

Odredite sami koji znak će imati sljedeći izrazi:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Jeste li uspjeli? Evo odgovora:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

U prva četiri primjera, nadam se da je sve jasno? Jednostavno gledamo bazu i eksponent i primjenjujemo odgovarajuće pravilo.

U primjeru 5) sve također nije tako strašno kao što se čini: na kraju krajeva, nije važno čemu je baza jednaka - stepen je paran, što znači da će rezultat uvijek biti pozitivan. Pa, osim kada je baza nula. Baza nije jednaka, zar ne? Očigledno nije, jer (jer).

Primjer 6) više nije tako jednostavan. Ovdje trebate saznati šta je manje: ili? Ako se toga sjetimo, postaje jasno da je baza manja od nule. Odnosno, primjenjujemo pravilo 2: rezultat će biti negativan.

I opet koristimo definiciju stepena:

Sve je kao i obično - zapisujemo definiciju stupnjeva i dijelimo ih jedni s drugima, dijelimo ih u parove i dobivamo:

Prije nego ga rastavite poslednje pravilo, riješimo nekoliko primjera.

Izračunaj izraze:

Rješenja :

Ako zanemarimo osmu potenciju, šta vidimo ovdje? Prisjetimo se programa za 7. razred. Pa, sećaš li se? Ovo je formula za skraćeno množenje, odnosno razliku kvadrata!

Dobijamo:

Pogledajmo pažljivo imenilac. Mnogo liči na jedan od faktora brojila, ali šta nije u redu? Redoslijed termina je pogrešan. Ako bi bili obrnuti, pravilo 3 bi se moglo primijeniti? Ispostavilo se da je to vrlo lako: tu nam pomaže paran stepen nazivnika.

Ako to pomnožite sa, ništa se ne mijenja, zar ne? Ali sada ispada ovako:

Magično su termini promijenili mjesta. Ovaj „fenomen“ se primjenjuje na bilo koji izraz u jednakom stepenu: lako možemo promijeniti znakove u zagradama. Ali važno je zapamtiti: Svi znakovi se mijenjaju u isto vrijeme! Ne možete ga zamijeniti mijenjajući samo jedan nedostatak koji nam se ne sviđa!

Vratimo se na primjer:

I opet formula:

Dakle, sada poslednje pravilo:

Kako ćemo to dokazati? Naravno, kao i obično: proširimo pojam stepena i pojednostavimo ga:

Pa, otvorimo zagrade. Koliko ima ukupno slova? puta po množiteljima - na šta vas ovo podsjeća? Ovo nije ništa drugo do definicija operacije množenje: Tamo su bili samo množitelji. To jest, ovo je, po definiciji, stepen broja s eksponentom:

primjer:

Stepen sa iracionalnim eksponentom

Pored informacija o stepenima za prosečan nivo, analiziraćemo stepen sa iracionalnim eksponentom. Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao i za stepen sa racionalnim eksponentom, s izuzetkom - na kraju krajeva, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (tj. , iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih).

Prilikom proučavanja stepena sa prirodnim, celobrojnim i racionalnim eksponentima, svaki put smo kreirali određenu „sliku“, „analogiju“ ili opis u poznatijim terminima. Na primjer, stepen sa prirodnim eksponentom je broj pomnožen sam sa sobom nekoliko puta; broj na nulti stepen je takoreći broj pomnožen sam sa sobom jednom, odnosno još ga nisu počeli množiti, što znači da se sam broj još nije ni pojavio - dakle rezultat je samo određeni „prazni broj“, odnosno broj; stepen sa cjelobrojnim negativnim eksponentom - kao da se dogodio neki "obrnuti proces", odnosno broj nije pomnožen sam sa sobom, već podijeljen.

Izuzetno je teško zamisliti stepen sa iracionalnim eksponentom (baš kao što je teško zamisliti 4-dimenzionalni prostor). To je pre čisto matematički objekat koji su matematičari stvorili da prošire koncept stepena na čitav prostor brojeva.

Inače, u nauci se često koristi stepen sa kompleksnim eksponentom, odnosno eksponent nije čak ni realan broj. Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama, imaćete priliku da shvatite ove nove koncepte u institutu.

Dakle, šta da radimo ako vidimo iracionalni eksponent? Trudimo se da ga se riješimo! :)

Na primjer:

Odlučite sami:

1)

2)

3)

odgovori:

1. Prisjetimo se formule razlike kvadrata. Odgovor: .
2. Razlomke svodimo na isti oblik: ili obje decimale ili obje obične. Dobijamo, na primjer: .
3. Ništa posebno, koristimo uobičajena svojstva stupnjeva:

SAŽETAK ODJELJAKA I OSNOVNE FORMULE

Stepen naziva izraz oblika: , gdje je:

Stepen sa cjelobrojnim eksponentom

stepen čiji je eksponent prirodan broj (tj. cijeli broj i pozitivan).

Potencija s racionalnim eksponentom

stepen, čiji je eksponent negativan i razlomak.

Stepen sa iracionalnim eksponentom

stepen čiji je eksponent beskonačan decimalni razlomak ili korijen.

Svojstva stepeni

Karakteristike stepena.

• Negativan broj podignut na čak stepen, - broj pozitivno.
• Negativan broj podignut na odd stepen, - broj negativan.
• Pozitivan broj u bilo kom stepenu je pozitivan broj.
• Nula je jednaka bilo kojoj potenciji.
• Bilo koji broj na nulti stepen je jednak.

SADA IMATE RIJEČ...

Kako vam se sviđa članak? Napišite ispod u komentarima da li vam se sviđa ili ne.

Recite nam nešto o svom iskustvu korištenja svojstava diploma.

Možda imate pitanja. Ili sugestije.

Pišite u komentarima.

I sretno na ispitima!