Kako pomnožiti cijeli broj sa decimalom. Množenje decimalnih razlomaka: pravila, primjeri, rješenja

§ 107. Sabiranje decimalnih razlomaka.

Sabiranje decimala se vrši na isti način kao i sabiranje cijelih brojeva. Pogledajmo ovo na primjerima.

1) 0,132 + 2,354. Potpišimo uslove jedan pod drugim.

Ovdje se od sabiranja 2 hiljaditih sa 4 hiljaditih dobije 6 hiljaditih;
od dodavanja 3 stotinke sa 5 stotinki, ispalo je 8 stotinki;
od dodavanja 1 desetine sa 3 desetinke -4 desetinke i
od sabiranja 0 cijelih brojeva sa 2 cijela broja - 2 cijela broja.

2) 5,065 + 7,83.

U drugom mandatu nema hiljaditih, tako da je važno da ne pogrešite pri potpisivanju uslova jedan pod drugim.

3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.

Ovdje, kada se zbrajaju hiljaditi dio, dobija se 21 hiljaditi dio; ispod hiljaditih smo napisali 1, a stotim dodali 2, pa smo na stotom mestu dobili sledeće pojmove: 2 + 3 + 6 + 8 + 0; u zbroju daju 19 stotinki, mi smo potpisali 9 pod stotinke, a 1 se računala kao desetina itd.

Dakle, pri sabiranju decimalnih razlomaka mora se poštovati sljedeći redoslijed: razlomci se potpisuju jedan ispod drugog tako da su u svim terminima iste cifre jedna ispod druge i svi zarezi u istoj vertikalnoj koloni; desno od decimalnih mjesta nekih pojmova, pripisuju, barem mentalno, toliki broj nula da svi pojmovi iza decimalnog zareza imaju isti broj cifara. Zatim se vrši sabiranje po ciframa, počevši od desne strane, a u dobijenom iznosu zarez se stavlja u istu okomitu kolonu kao i u ovim pojmovima.

§ 108. Oduzimanje decimalnih razlomaka.

Oduzimanje decimala vrši se na isti način kao i oduzimanje cijelih brojeva. Pokažimo to primjerima.

1) 9,87 - 7,32. Potpišimo oduzetak ispod minusa tako da jedinice iste cifre budu jedna ispod druge:

2) 16.29 - 4.75. Potpišimo oduzetak ispod minusa, kao u prvom primjeru:

Da bi se oduzele desetine, trebalo je uzeti jednu cijelu jedinicu od 6 i podijeliti je na desetine.

3) 14.0213-5.350712. Potpišemo oduzetak ispod minusa:

Oduzimanje je obavljeno na sledeći način: pošto od 0 ne možemo da oduzmemo 2 milionitinke, trebalo bi da se pozovemo na najbližu cifru levo, tj. na stotiljadinke, ali postoji i nula umesto stohiljaditih dela, pa uzimamo 1 desethiljaditi od 3 desetohiljaditinke i podijelimo ga na stotiljadnice, dobijemo 10 stohiljaditih, od kojih je 9 stohiljaditih ostalo u kategoriji stohiljaditih, a 1 stotiljadnjak je smrvljeno u milionitinke, dobijamo 10 milionitih delova. Tako smo u posljednje tri cifre dobili: milioniti dio 10, stohiljaditi dio 9, desethiljaditi dio 2. Radi veće jasnoće i pogodnosti (da ne zaboravimo), ovi brojevi su napisani na vrhu odgovarajućih razlomaka redukovanih cifara. Sada možemo početi sa oduzimanjem. Od 10 milionitih oduzmemo 2 milionitinke, dobijemo 8 milionitih delova; oduzmemo 1 stohiljaditi od 9 stohiljaditih, dobijemo 8 stohiljaditih itd.

Dakle, pri oduzimanju decimalnih razlomaka, uočava se sljedeći redoslijed: oduzeto se potpisuje ispod reduciranog tako da su iste cifre jedna ispod druge, a svi zarezi u istoj vertikalnoj koloni; na desnoj strani pripisuju, barem mentalno, u smanjenom ili oduzimanom toliko nula tako da imaju isti broj znamenki, zatim oduzimaju po ciframa, počevši od desne strane, i u nastaloj razlici stavljaju zarez u isti vertikalni stupac u kojem se nalazi u smanjenom i oduzetom.

§ 109. Množenje decimalnih razlomaka.

Razmotrite nekoliko primjera množenja decimalnih razlomaka.

Da bismo pronašli proizvod ovih brojeva, možemo zaključiti na sljedeći način: ako se faktor poveća za 10 puta, tada će oba faktora biti cijeli brojevi i onda ih možemo pomnožiti prema pravilima za množenje cijelih brojeva. Ali znamo da kada se jedan od faktora poveća nekoliko puta, proizvod se povećava za isti iznos. To znači da je broj koji proizlazi iz množenja cjelobrojnih faktora, odnosno 28 sa 23, 10 puta veći od pravog proizvoda, a da biste dobili pravi proizvod potrebno je pronađeni proizvod smanjiti za 10 puta. Dakle, ovdje morate jednom izvršiti množenje sa 10 i jednom dijeljenje sa 10, ali množenje i dijeljenje sa 10 se vrši pomicanjem zareza udesno i ulijevo za jedan znak. Stoga, trebate učiniti ovo: u množitelju pomaknite zarez udesno za jedan znak, od ovoga će biti jednako 23, a zatim morate pomnožiti rezultirajuće cijele brojeve:

Ovaj proizvod je 10 puta veći od pravog. Stoga se mora smanjiti za 10 puta, za šta pomičemo zarez za jedan znak ulijevo. Dakle, dobijamo

28 2,3 = 64,4.

U svrhu provjere, možete napisati decimalni razlomak sa nazivnikom i izvršiti radnju prema pravilu za množenje običnih razlomaka, tj.

2) 12,27 0,021.

Razlika između ovog i prethodnog primjera je u tome što su ovdje oba faktora predstavljena decimalnim razlomcima. Ali ovdje, u procesu množenja, nećemo obraćati pažnju na zareze, odnosno privremeno ćemo povećati množitelj za 100 puta, a množitelj za 1.000 puta, što će povećati proizvod za 100.000 puta. Dakle, množenjem 1227 sa 21, dobijamo:

1 227 21 = 25 767.

Uzimajući u obzir da je rezultirajući proizvod 100.000 puta veći od pravog, sada ga moramo smanjiti za 100.000 puta pravilnim stavljanjem zareza u njega, tada dobijamo:

32,27 0,021 = 0,25767.

provjerimo:

Dakle, da bi se pomnožila dva decimalna razlomka, dovoljno je, ne obraćajući pažnju na zareze, pomnožiti ih kao cijele brojeve i u proizvodu odvojiti zarezom na desnoj strani onoliko decimalnih mjesta koliko je bilo u množeniku i u faktor zajedno.

U posljednjem primjeru rezultat je proizvod sa pet decimalnih mjesta. Ako takva veća tačnost nije potrebna, tada se vrši zaokruživanje decimalnog razlomka. Prilikom zaokruživanja treba koristiti isto pravilo koje je naznačeno za cijele brojeve.

§ 110. Množenje pomoću tablica.

Množenje decimala se ponekad može obaviti pomoću tabela. U tu svrhu možete, na primjer, koristiti one tablice množenja dvocifrenih brojeva, čiji je opis dat ranije.

1) Pomnožite 53 sa 1,5.

53 ćemo pomnožiti sa 15. U tabeli je ovaj proizvod jednak 795. Našli smo proizvod 53 sa 15, ali je naš drugi faktor bio 10 puta manji, što znači da se proizvod mora smanjiti za 10 puta, tj.

53 1,5 = 79,5.

2) Pomnožite 5,3 sa 4,7.

Prvo, pronađimo umnožak 53 sa 47 u tabeli, to će biti 2491. Ali pošto smo množitelj i množilac povećali za ukupno 100 puta, onda je rezultirajući proizvod 100 puta veći nego što bi trebao biti; pa moramo smanjiti ovaj proizvod za faktor 100:

5,3 4,7 = 24,91.

3) Pomnožite 0,53 sa 7,4.

Prvo nalazimo u tabeli proizvod 53 sa 74; ovo će biti 3922. Ali pošto smo povećali množilac za 100 puta, a množilac za 10 puta, proizvod se povećao za 1000 puta; pa ga sada moramo smanjiti za faktor 1000:

0,53 7,4 = 3,922.

§ 111. Podjela decimala.

Decimalno dijeljenje ćemo pogledati ovim redoslijedom:

1. Podjela decimalnog razlomka cijelim brojem,

1. Podjela decimalnog razlomka cijelim brojem.

1) Podijelite 2,46 sa 2.

Podijelili smo sa 2 prva cijela broja, zatim desetine i na kraju stotinke.

2) Podijelite 32,46 sa 3.

32,46: 3 = 10,82.

Podijelili smo 3 desetice sa 3, zatim smo počeli dijeliti 2 jedinice sa 3; pošto je broj jedinica dividende (2) manji od djelitelja (3), morali smo staviti 0 u količnik; dalje, na ostatak smo srušili 4 desetine i podijelili 24 desetine sa 3; dobio privatno 8 desetina i na kraju podijelio 6 stotinki.

3) Podijelite 1,2345 sa 5.

1,2345: 5 = 0,2469.

Ovdje, u količniku na prvom mjestu, ispalo je nula cijelih brojeva, jer jedan cijeli broj nije djeljiv sa 5.

4) Podijelite 13,58 sa 4.

Posebnost ovog primjera je da kada smo privatno dobili 9 stotinki, onda se našao ostatak od 2 stotinke, podijelili smo taj ostatak na hiljaditi dio, dobili 20 hiljaditih i priveli podjelu kraju.

Pravilo. Dijeljenje decimalnog razlomka cijelim brojem vrši se na isti način kao i dijeljenje cijelih brojeva, a rezultirajući ostaci se pretvaraju u decimalne razlomke, sve manje; dijeljenje se nastavlja sve dok ostatak ne bude nula.

2. Podjela decimalnog razlomka decimalnim razlomkom.

1) Podijelite 2,46 sa 0,2.

Već znamo kako podijeliti decimalni razlomak cijelim brojem. Razmislimo da li se i ovaj novi slučaj podjele može svesti na prethodni? Svojevremeno smo smatrali izuzetnim svojstvom količnika, koje se sastoji u tome da ostaje nepromijenjen dok se dividendu i djelitelj povećava ili smanjuje za isti broj puta. Lako bismo izvršili dijeljenje ponuđenih brojeva da je djelitelj cijeli broj. Da biste to učinili, dovoljno ga je povećati 10 puta, a da biste dobili ispravan količnik, potrebno je dividendu povećati za isti broj puta, odnosno 10 puta. Tada će podjela ovih brojeva biti zamijenjena dijeljenjem takvih brojeva:

i nema potrebe za bilo kakvim amandmanima nasamo.

Uradimo ovu podjelu:

Dakle 2,46: 0,2 = 12,3.

2) Podijelite 1,25 sa 1,6.

Povećavamo djelitelj (1.6) za 10 puta; da se količnik ne promijeni, dividendu povećavamo 10 puta; 12 cijelih brojeva nije djeljivo sa 16, pa upišemo u količnik 0 i podijelimo 125 desetina sa 16, dobijemo 7 desetina u količniku, a ostatak je 13. Podijelimo 13 desetina na stotinke dodjeljivanjem nule i podijelimo 130 stotinki sa 16 Obratite pažnju na sljedeće:

a) kada se u količniku ne dobijaju celi brojevi, tada se na njihovo mesto upisuju nula celi brojevi;

b) kada se nakon uzimanja cifre dividende u ostatak dobije broj koji nije djeljiv djeliteljem, tada se u količnik upisuje nula;

c) kada se nakon uklanjanja posljednje cifre dividende dijeljenje ne završi, tada se dodjeljujući nule ostatcima, dijeljenje nastavlja;

d) ako je dividenda cijeli broj, tada se prilikom dijeljenja decimalnim razlomkom njegovo povećanje vrši dodjeljivanjem nula.

Dakle, da biste broj podijelili decimalnim razlomkom, trebate odbaciti zarez u djelitelju, a zatim povećati dividendu onoliko puta koliko se djelitelj povećao kada je zarez u njemu ispušten, a zatim izvršiti dijeljenje prema pravilo dijeljenja decimalnog razlomka cijelim brojem.

§ 112. Približni količnik.

U prethodnom pasusu razmatrali smo dijeljenje decimalnih razlomaka, a u svim primjerima koje smo rješavali dijeljenje je dovedeno do kraja, odnosno dobijen je tačan količnik. Međutim, u većini slučajeva tačan količnik se ne može dobiti, ma koliko daleko proširili podjelu. Evo jednog takvog slučaja: Podijelite 53 sa 101.

Već smo dobili pet cifara u količniku, ali podjela još nije završena i nema nade da će ikada završiti, jer brojevi koje smo ranije upoznali počinju da se pojavljuju u ostatku. Brojevi će se također ponavljati u količniku: očito, nakon broja 7 pojavit će se broj 5, zatim 2, i tako dalje bez kraja. U takvim slučajevima, dijeljenje se prekida i ograničava na prvih nekoliko znamenki količnika. Ovo privatno se zove približno. Kako izvršiti dijeljenje u ovom slučaju, pokazat ćemo na primjerima.

Neka se traži da se 25 podijeli sa 3. Očigledno je da se tačan količnik, izražen kao cijeli broj ili decimalni razlomak, ne može dobiti iz takvog dijeljenja. Stoga ćemo tražiti približni količnik:

25: 3 = 8 i ostatak 1

Približni količnik je 8; to je, naravno, manje od tačnog količnika, jer postoji ostatak od 1. Da biste dobili tačan količnik, morate pronađenom približnom količniku, odnosno 8, dodati razlomak koji nastaje dijeljenjem ostatka , jednako 1, sa 3; to će biti razlomak 1/3. To znači da će tačan količnik biti izražen kao mješoviti broj 8 1 / 3 . Pošto je 1/3 pravi razlomak, tj. razlomak, manje od jedan, onda, odbacujući ga, pretpostavljamo greška, koji manje od jedan. Privatni 8 će približni količnik do jedan sa nedostatkom. Ako uzmemo 9 umjesto 8, tada dopuštamo i grešku manju od jedan, jer ćemo dodati ne cijelu jedinicu, već 2/3. Takva privatna volja približni količnik do jedan sa viškom.

Uzmimo sada još jedan primjer. Neka je potrebno podijeliti 27 sa 8. Pošto ovdje nećemo dobiti tačan količnik izražen kao cijeli broj, tražit ćemo približni količnik:

27: 8 = 3 i ostatak 3.

Ovdje je greška 3/8, manja je od jedan, što znači da se približni količnik (3) nalazi do jedan sa nedostatkom. Nastavljamo dijeljenje: ostatak od 3 podijelimo na desetine, dobijemo 30 desetina; Podijelimo ih sa 8.

Privatno smo dobili na licu mjesta desetine 3 a u ostatku b desetine. Ako se posebno ograničimo na broj 3.3, a ostatak 6 odbacimo, tada ćemo dopustiti grešku manju od jedne desetine. Zašto? Zato što bi se tačan količnik dobio kada bismo na 3,3 dodali rezultat dijeljenja 6 desetina sa 8; iz ove podjele bilo bi 6/80, što je manje od jedne desetine. (Provjeri!) Dakle, ako se ograničimo na desetine u količniku, onda možemo reći da smo pronašli količnik tačno do jedne desetine(sa nedostatkom).

Nastavimo dijeljenje kako bismo pronašli još jedno decimalno mjesto. Da bismo to učinili, podijelimo 6 desetina na stotinke i dobijemo 60 stotinki; Podijelimo ih sa 8.

Privatno na trećem mjestu ispalo je 7, a na ostatku 4 stotinke; ako ih odbacimo, onda dopuštamo grešku manju od jedne stotinke, jer je 4 stotinke podijeljeno sa 8 manje od jedne stotine. U takvim slučajevima se kaže da je količnik pronađen. tačno do jedne stotinke(sa nedostatkom).

U primjeru koji sada razmatramo, možete dobiti tačan količnik, izražen kao decimalni razlomak. Da biste to učinili, dovoljno je podijeliti posljednji ostatak, 4 stotinke, na hiljadite i podijeliti sa 8.

Međutim, u velikoj većini slučajeva nemoguće je dobiti tačan količnik i treba se ograničiti na njegove približne vrijednosti. Sada ćemo razmotriti takav primjer:

40: 7 = 5,71428571...

Tačke na kraju broja označavaju da podjela nije završena, odnosno da je jednakost približna. Obično se približna jednakost piše ovako:

40: 7 = 5,71428571.

Uzeli smo količnik sa osam decimalnih mjesta. Ali ako nije potrebna tako velika preciznost, može se ograničiti na cijeli dio količnika, tj. na broj 5 (tačnije, 6); za veću tačnost mogu se uzeti u obzir desetine i uzeti količnik jednak 5,7; ako je iz nekog razloga ta tačnost nedovoljna, onda se možemo zaustaviti na stotinkama i uzeti 5,71, itd. Ispišimo pojedinačne količnike i nazovimo ih.

Prvi približni količnik do jedan 6.

Drugi » » » do jedne desetine 5.7.

Treći » » » do stotke 5,71.

Četvrti » » » do hiljaditi dio od 5.714.

Dakle, da bi se pronašao približni količnik do nekog, na primjer, 3. decimale (tj. do jedne hiljaditinke), dijeljenje se prekida čim se pronađe ovaj znak. U ovom slučaju, morate zapamtiti pravilo navedeno u § 40.

§ 113. Najjednostavniji zadaci za interes.

Nakon proučavanja decimalnih razlomaka, riješit ćemo još nekoliko procentnih zadataka.

Ovi problemi su slični onima koje smo rješavali na odjelu običnih razlomaka; ali sada ćemo stotinke pisati u obliku decimalnih razlomaka, odnosno bez eksplicitno označenog nazivnika.

Prije svega, morate biti u mogućnosti lako se prebaciti s običnog razlomka na decimalni razlomak sa nazivnikom 100. Da biste to učinili, trebate podijeliti brojilac sa nazivnikom:

Donja tabela pokazuje kako se broj sa simbolom % (postotak) zamjenjuje decimalom s nazivnikom 100:

Razmotrimo sada nekoliko problema.

1. Pronalaženje postotaka datog broja.

Zadatak 1. U jednom selu živi samo 1.600 ljudi. Broj djece školskog uzrasta je 25% ukupne populacije. Koliko djece školskog uzrasta ima u ovom selu?

U ovom zadatku morate pronaći 25% ili 0,25 od 1600. Problem se rješava množenjem:

1.600 0,25 = 400 (djeca).

Dakle, 25% od 1.600 je 400.

Za jasno razumijevanje ovog zadatka, korisno je podsjetiti da na svaku stotinu stanovništva dolazi 25 djece školskog uzrasta. Stoga, da biste pronašli broj sve djece školskog uzrasta, prvo možete saznati koliko je stotina u broju 1600 (16), a zatim pomnožite 25 sa brojem stotina (25 x 16 = 400). Na ovaj način možete provjeriti valjanost rješenja.

Zadatak 2.Štedionice daju štedišama 2% prihoda godišnje. Koliki će prihod godišnje dobiti deponent koji je položio: a) 200 rubalja? b) 500 rubalja? c) 750 rubalja? d) 1000 rubalja?

U sva četiri slučaja, da bi se riješio problem, biće potrebno izračunati 0,02 od navedenih iznosa, odnosno svaki od ovih brojeva morat će se pomnožiti sa 0,02. uradimo to:

a) 200 0,02 = 4 (rublje),

b) 500 0,02 = 10 (rubalji),

c) 750 0,02 = 15 (rubalji),

d) 1.000 0,02 = 20 (rubalji).

Svaki od ovih slučajeva može se provjeriti sljedećim razmatranjima. Štedionice daju štedišama 2% prihoda, odnosno 0,02 iznosa uloženog u štednju. Ako je iznos bio 100 rubalja, onda bi 0,02 od toga bilo 2 rublje. To znači da svaka stota donosi deponentu 2 rublje. prihod. Stoga je u svakom od razmatranih slučajeva dovoljno izračunati koliko je stotina u datom broju i pomnožiti 2 rublje s ovim brojem stotina. U primjeru a) stotine 2, dakle

2 2 \u003d 4 (rublji).

U primjeru d) stotine su 10, što znači

2 10 \u003d 20 (rubalji).

2. Pronalaženje broja po procentu.

Zadatak 1. U proleće je škola završila 54 učenika, što je 6% od ukupnog broja učenika. Koliko je učenika bilo u školi tokom prošle školske godine?

Hajde da prvo razjasnimo značenje ovog problema. Školu je završilo 54 učenika, što je 6% od ukupnog broja učenika, odnosno 6 stotinki (0,06) svih učenika u školi. To znači da znamo dio učenika izražen brojem (54) i razlomkom (0,06), a iz tog razlomka moramo pronaći cijeli broj. Dakle, pred nama je običan problem pronalaženja broja po njegovom razlomku (§ 90, str. 6). Problemi ove vrste rješavaju se dijeljenjem:

To znači da je u školi bilo 900 učenika.

Korisno je takve probleme provjeriti rješavanjem inverznog zadatka, tj. nakon rješavanja zadatka treba, barem u mislima, riješiti problem prvog tipa (pronalaženje procenta datog broja): uzeti pronađeni broj ( 900) kao da je dato i iz njega pronađite procenat naveden u rešenom zadatku, i to:

900 0,06 = 54.

Zadatak 2. Porodica potroši 780 rubalja na hranu tokom mjeseca, što je 65% mjesečnog prihoda oca. Odredite njegov mjesečni prihod.

Ovaj zadatak ima isto značenje kao i prethodni. On daje dio mjesečne zarade, izražen u rubljama (780 rubalja), i ukazuje da taj dio iznosi 65%, odnosno 0,65, ukupne zarade. A željena je cjelokupna zarada:

780: 0,65 = 1 200.

Dakle, željena zarada je 1200 rubalja.

3. Pronalaženje procenta brojeva.

Zadatak 1.Školska biblioteka ima ukupno 6.000 knjiga. Među njima je 1.200 knjiga iz matematike. Koliki procenat knjiga iz matematike čini ukupan broj knjiga u biblioteci?

Već smo razmatrali (§97) ovu vrstu problema i došli do zaključka da za izračunavanje procenta dva broja morate pronaći omjer ovih brojeva i pomnožiti ga sa 100.

U našem zadatku trebamo pronaći postotak brojeva 1.200 i 6.000.

Prvo pronađemo njihov omjer, a zatim ga pomnožimo sa 100:

Dakle, procenat brojeva 1.200 i 6.000 je 20. Drugim riječima, knjige iz matematike čine 20% ukupnog broja svih knjiga.

Da bismo provjerili, rješavamo inverzni problem: nađi 20% od 6.000:

6 000 0,2 = 1 200.

Zadatak 2. Postrojenje bi trebalo da dobije 200 tona uglja. Već je isporučeno 80 tona.Koliki procenat uglja je isporučen u fabriku?

Ovaj problem pita koliki je postotak jedan broj (80) od drugog (200). Odnos ovih brojeva će biti 80/200. Pomnožimo to sa 100:

To znači da je 40% uglja isporučeno.

Decimalno množenje odvija se u tri faze.

Decimale se pišu u koloni i množe kao obični brojevi.

Brojimo broj decimalnih mjesta za prvu i drugu decimalu. Dodajemo njihov broj.

U dobivenom rezultatu brojimo s desna na lijevo onoliko cifara koliko se pokazalo u gornjem pasusu i stavljamo zarez.

Kako množiti decimale

Zapisujemo decimalne razlomke u stupac i množimo ih kao prirodne brojeve, zanemarujući zareze. To jest, smatramo 3,11 kao 311, a 0,01 kao 1.

Primljeno 311 . Sada brojimo broj znakova (cifara) nakon decimalnog zareza za oba razlomka. Prva decimala ima dvije znamenke, a druga dvije. Ukupan broj cifara iza zareza:

Brojimo s desna na lijevo 4 znaka (broja) rezultirajućeg broja. U rezultatu ima manje cifara nego što je potrebno odvojiti zarezom. U tom slučaju, trebate lijevo dodijeliti broj nula koji nedostaje.

Nedostaje nam jedna cifra, pa pripisujemo jednu nulu lijevo.

Prilikom množenja bilo kojeg decimalnog razlomka na 10; 100; 1000 itd. decimalna tačka se pomera udesno za onoliko cifara koliko ima nula iza jedinice.

70,1 10 = 701

0,023 100 = 2,3

5,6 1000 = 5600

Pomnožiti decimalu sa 0,1; 0,01; 0,001 itd., potrebno je pomaknuti zarez ulijevo u ovom razlomku za onoliko cifara koliko ima nula ispred jedinice.

Brojimo nula cijelih brojeva!

• 12 0,1 = 1,2
• 0,05 0,1 = 0,005
• 1.256 0.01 = 0.012 56

Da bismo razumjeli kako množiti decimale, pogledajmo konkretne primjere.

Pravilo decimalnog množenja

1) Množimo, zanemarujući zarez.

2) Kao rezultat, odvajamo onoliko cifara iza zareza koliko ih ima iza zareza u oba faktora zajedno.

Pronađite proizvod decimala:

Da bismo množili decimale, množimo ne obraćajući pažnju na zareze. Odnosno, ne množimo 6,8 i 3,4, već 68 i 34. Kao rezultat, odvojimo onoliko cifara nakon decimalnog zareza koliko ih ima iza zareza u oba faktora zajedno. U prvom množitelju nalazi se jedna cifra iza decimalnog zareza, u drugom također jedna. Ukupno odvajamo dvije cifre iza decimalnog zareza i tako smo dobili konačan odgovor: 6,8∙3,4=23,12.

Množenje decimala bez uzimanja u obzir zareza. To jest, u stvari, umjesto množenja 36,85 sa 1,14, množimo 3685 sa 14. Dobijamo 51590. Sada u ovom rezultatu moramo odvojiti onoliko cifara zarezom koliko ih ima u oba faktora zajedno. Prvi broj ima dvije cifre iza decimalnog zareza, drugi ima jednu. Ukupno, tri znamenke odvajamo zarezom. Pošto je na kraju unosa nakon decimalnog zareza nula, ne pišemo je kao odgovor: 36,85∙1,4=51,59.

Da bismo pomnožili ove decimale, množimo brojeve ne obraćajući pažnju na zareze. Odnosno, množimo prirodne brojeve 2315 i 7. Dobijamo 16205. U ovom broju četiri cifre moraju biti odvojene iza decimalnog zareza - onoliko koliko ih ima u oba faktora zajedno (po dva u svakom). Konačan odgovor: 23,15∙0,07=1,6205.

Množenje decimalnog razlomka prirodnim brojem vrši se na isti način. Brojeve množimo ne obraćajući pažnju na zarez, odnosno množimo 75 sa 16. U dobijenom rezultatu, iza zareza treba biti onoliko znakova koliko ih ima u oba faktora zajedno - jedan. Dakle, 75∙1.6=120.0=120.

Množenje decimalnih razlomaka počinjemo množenjem prirodnih brojeva, jer ne obraćamo pažnju na zareze. Nakon toga odvajamo onoliko cifara iza zareza koliko ih ima u oba faktora zajedno. Prvi broj ima dvije decimale, a drugi dva decimalna mjesta. Ukupno, kao rezultat, trebale bi biti četiri znamenke iza decimalnog zareza: 4,72∙5,04=23,7888.

I još par primjera za množenje decimalnih razlomaka:

www.for6cl.uznateshe.ru

Množenje decimalnih razlomaka, pravila, primjeri, rješenja.

Okrećemo se proučavanju sljedeće akcije s decimalnim razlomcima, sada ćemo sveobuhvatno razmotriti množenje decimala. Prvo, razgovarajmo o općim principima množenja decimalnih razlomaka. Nakon toga, prijeđimo na množenje decimalnog razlomka s decimalnim razlomkom, pokažimo kako se izvodi množenje decimalnih razlomaka stupcem, razmotrimo rješenja primjera. Zatim ćemo analizirati množenje decimalnih razlomaka prirodnim brojevima, posebno 10, 100 itd. U zaključku, razgovarajmo o množenju decimalnih razlomaka običnim razlomcima i mješovitim brojevima.

Recimo odmah da ćemo u ovom članku govoriti samo o množenju pozitivnih decimalnih razlomaka (vidi pozitivne i negativne brojeve). Preostali slučajevi su analizirani u člancima množenje racionalnih brojeva i množenje realnih brojeva.

Navigacija po stranici.

Opći principi za množenje decimala

Razgovarajmo o općim principima kojih se treba pridržavati pri obavljanju množenja s decimalnim razlomcima.

Budući da su zadnje decimale i beskonačni periodični razlomci decimalni oblik običnih razlomaka, množenje takvih decimala je u suštini množenje običnih razlomaka. Drugim riječima, množenje konačnih decimala, množenje konačnih i periodičnih decimalnih razlomaka, kao i množenje periodičnih decimala svodi se na množenje običnih razlomaka nakon pretvaranja decimalnih razlomaka u obične.

Razmotrimo primjere primjene zvučnog principa množenja decimalnih razlomaka.

Izvršite množenje decimala 1,5 i 0,75.

Zamijenimo pomnožene decimalne razlomke odgovarajućim običnim razlomcima. Pošto je 1,5=15/10 i 0,75=75/100, onda. Možete smanjiti razlomak, a zatim odabrati cijeli dio iz nepravilnog razlomka, a zgodnije je zapisati rezultirajući obični razlomak 1 125/1 000 kao decimalni razlomak 1,125.

Treba napomenuti da je zgodno množiti konačne decimalne razlomke u stupcu, o ovoj metodi množenja decimalnih razlomaka ćemo govoriti u sljedećem paragrafu.

Razmotrimo primjer množenja periodičnih decimalnih razlomaka.

Izračunajte proizvod periodičnih decimala 0,(3) i 2,(36) .

Pretvorimo periodične decimalne razlomke u obične razlomke:

Onda. Dobiveni obični razlomak možete pretvoriti u decimalni razlomak:


Ako među pomnoženim decimalnim razlomcima ima beskonačnih neperiodičnih razlomaka, onda sve pomnožene razlomke, uključujući konačne i periodične, treba zaokružiti na određenu cifru (vidi zaokruživanje brojeva), a zatim izvršite množenje konačnih decimalnih razlomaka dobijenih nakon zaokruživanja.

Pomnožite decimale 5,382… i 0,2.

Prvo, zaokružujemo beskonačan neperiodični decimalni razlomak, zaokruživanje se može izvršiti na stotinke, imamo 5.382 ... ≈5.38. Konačni decimalni razlomak 0,2 ne mora biti zaokružen na stotinke. Dakle, 5.382… 0.2≈5.38 0.2. Ostaje izračunati proizvod konačnih decimalnih razlomaka: 5,38 0,2 \u003d 538 / 100 2 / 10 \u003d 1,076/1,000 \u003d 1,076.

Množenje decimalnih razlomaka kolonom

Množenje konačnih decimalnih razlomaka može se izvesti kolonom, slično množenju kolonom prirodnih brojeva.

Hajde da formulišemo pravilo množenja decimalnih razlomaka. Da pomnožite decimalne razlomke kolonom, trebate:

• zanemarujući zareze, izvršite množenje prema svim pravilima množenja kolonom prirodnih brojeva;
• u rezultirajućem broju razdvojiti decimalnim zarezom onoliko cifara na desnoj strani koliko ima decimalnih mjesta u oba faktora zajedno, a ako nema dovoljno cifara u umnošku, onda se na lijevoj strani mora dodati potreban broj nula.

Razmotrite primjere množenja decimalnih razlomaka stupcem.

Pomnožite decimale 63,37 i 0,12.

Izvršimo množenje decimalnih razlomaka kolonom. Prvo, množimo brojeve, zanemarujući zareze:


Ostaje staviti zarez u rezultirajući proizvod. Ona treba da odvoji 4 cifre na desnoj strani, pošto u faktorima postoje četiri decimale (dva u razlomku 3,37 i dva u razlomku 0,12). Tamo ima dovoljno brojeva, tako da ne morate dodavati nule na lijevoj strani. Završimo zapis:


Kao rezultat, imamo 3,37 0,12 = 7,6044.

Izračunajte proizvod decimala 3,2601 i 0,0254.

Nakon što smo izvršili množenje stupcem bez uzimanja u obzir zareza, dobivamo sljedeću sliku:


Sada u proizvodu trebate odvojiti 8 znamenki s desne strane zarezom, jer je ukupan broj decimalnih mjesta pomnoženih razlomaka osam. Ali u proizvodu postoji samo 7 cifara, stoga morate dodijeliti što više nula na lijevoj strani tako da 8 cifara može biti odvojeno zarezom. U našem slučaju, moramo dodijeliti dvije nule:


Time se završava množenje decimalnih razlomaka kolonom.

Množenje decimala sa 0,1, 0,01 itd.

Često morate množiti decimale sa 0,1, 0,01 itd. Stoga je preporučljivo formulirati pravilo za množenje decimalnog razlomka ovim brojevima, koje proizlazi iz principa množenja decimalnih razlomaka o kojima smo gore govorili.

dakle, množenje date decimale sa 0,1, 0,01, 0,001 itd. daje razlomak, koji se dobija iz originalnog, ako se u njegovom unosu zarez pomeri ulevo za 1, 2, 3 i tako redom cifre, a ako nema dovoljno cifara za pomeranje zareza, onda potrebno je dodati potreban broj nula na lijevo.

Na primjer, da biste pomnožili decimalni razlomak 54,34 sa 0,1, trebate pomaknuti decimalni zarez ulijevo za 1 znamenku u razlomku 54,34 i dobit ćete razlomak 5,434, odnosno 54,34 0,1 \u003d 5,434. Uzmimo još jedan primjer. Pomnožite decimalni razlomak 9,3 sa 0,0001. Da bismo to učinili, trebamo pomaknuti zarez 4 znamenke ulijevo u pomnoženom decimalnom razlomku 9.3, ali zapis razlomka 9.3 ne sadrži toliki broj znakova. Stoga trebamo dodijeliti što više nula u zapisu razlomka 9,3 s lijeve strane kako bismo lako mogli prenijeti zarez na 4 znamenke, imamo 9,3 0,0001 = 0,00093.

Imajte na umu da najavljeno pravilo za množenje decimalnog razlomka sa 0,1, 0,01, ... važi i za beskonačne decimalne razlomke. Na primjer, 0,(18) 0,01=0,00(18) ili 93,938… 0,1=9,3938… .

Množenje decimale prirodnim brojem

U svojoj srži množenje decimala prirodnim brojevima se ne razlikuje od množenja decimale sa decimalom.

Najpogodnije je pomnožiti konačni decimalni razlomak prirodnim brojem kolonom, dok bi se trebali pridržavati pravila za množenje kolonom decimalnih razlomaka o kojima je bilo riječi u jednom od prethodnih paragrafa.

Izračunajte proizvod 15 2.27 .

Izvršimo množenje prirodnog broja s decimalnim razlomkom u stupcu:


Kada se periodični decimalni razlomak množi prirodnim brojem, periodični razlomak treba zamijeniti običnim razlomkom.

Pomnožite decimalni razlomak 0,(42) prirodnim brojem 22.

Prvo, pretvorimo periodičnu decimalu u običan razlomak:

Sada napravimo množenje: . Ovaj decimalni rezultat je 9,(3) .

A kada množite beskonačan neperiodični decimalni razlomak prirodnim brojem, prvo morate zaokružiti.

Uradite množenje 4 2,145….

Zaokružujući na stotinke prvobitni beskonačni decimalni razlomak, doći ćemo do množenja prirodnog broja i konačnog decimalnog razlomka. Imamo 4 2.145…≈4 2.15=8.60.

Množenje decimale sa 10, 100, ...

Često morate pomnožiti decimalne razlomke sa 10, 100, ... Stoga je preporučljivo da se detaljnije zadržimo na ovim slučajevima.

Hajde da se oglasimo pravilo za množenje decimale sa 10, 100, 1000 itd. Kada množite decimalni razlomak sa 10, 100, ... u njegovom unosu, trebate pomaknuti zarez udesno za 1, 2, 3, ... znamenke, odnosno odbaciti dodatne nule s lijeve strane; ako u zapisu pomnoženog razlomka nema dovoljno znamenki za prijenos zareza, potrebno je dodati potreban broj nula na desno.

Pomnožite decimalni broj 0,0783 sa 100.

Prenesimo razlomak 0,0783 dvije cifre desno u zapis, i dobićemo 007,83. Ispuštajući dvije nule lijevo, dobijamo decimalni razlomak 7,38. Dakle, 0,0783 100=7,83.

Pomnožite decimalni razlomak 0,02 sa 10.000.

Da pomnožimo 0,02 sa 10.000, trebamo pomaknuti zarez 4 znamenke udesno. Očigledno je da u zapisu razlomka 0,02 nema dovoljno cifara za prenošenje zareza na 4 cifre, pa ćemo dodati nekoliko nula na desno kako bi se zarez mogao prenijeti. U našem primjeru, dovoljno je dodati tri nule, imamo 0,02000. Nakon pomjeranja zareza, dobivamo unos 00200.0. Ispuštajući nule na lijevoj strani, imamo broj 200.0, koji je jednak prirodnom broju 200, rezultat je množenja decimalnog razlomka 0.02 sa 10.000.

Navedeno pravilo važi i za množenje beskonačnih decimalnih razlomaka sa 10, 100,... Prilikom množenja periodičnih decimalnih razlomaka treba biti oprezan sa periodom razlomka koji je rezultat množenja.

Pomnožite periodičnu decimalu 5,32(672) sa 1000.

Prije množenja, zapisujemo periodični decimalni razlomak kao 5,32672672672 ..., to će nam omogućiti da izbjegnemo greške. Sada pomjerimo zarez udesno za 3 cifre, imamo 5 326.726726 ... . Tako se nakon množenja dobije periodični decimalni razlomak 5 326, (726) .

5,32(672) 1000=5326,(726) .

Kada množite beskonačne neperiodične razlomke sa 10, 100, ..., prvo morate zaokružiti beskonačni razlomak na određenu znamenku, a zatim izvršiti množenje.

Množenje decimale običnim razlomkom ili mješovitim brojem

Da biste pomnožili konačni decimalni razlomak ili beskonačni periodični decimalni razlomak običnim ili mješovitim brojem, trebate decimalni razlomak predstaviti kao običan razlomak, a zatim izvršiti množenje.

Pomnožite decimalni razlomak 0,4 mješovitim brojem.

Pošto je 0,4=4/10=2/5 i onda. Dobijeni broj se može napisati kao periodični decimalni razlomak 1.5(3) .

Kada množite beskonačan neperiodični decimalni razlomak običnim ili mješovitim brojem, uobičajeni razlomak ili mješoviti broj treba zamijeniti decimalnim razlomkom, zatim zaokružiti pomnožene razlomke i završiti izračunavanje.

Budući da je 2/3 = 0,6666 ..., onda. Nakon zaokruživanja pomnoženih razlomaka na hiljadite, dolazimo do proizvoda dva konačna decimalna razlomka 3,568 i 0,667. Uradimo množenje u koloni:


Dobijeni rezultat treba zaokružiti na hiljaditinke, pošto su pomnoženi razlomci uzeti sa tačnošću od hiljaditih dela, imamo 2,379856≈2,380.

www.cleverstudents.ru

29. Množenje decimalnih razlomaka. Pravila




Nađite površinu pravougaonika sa jednakim stranicama
1,4 dm i 0,3 dm. Pretvorite decimetre u centimetre:

1,4 dm = 14 cm; 0,3 dm = 3 cm.

Sada izračunajmo površinu u centimetrima.

S = 14 3 = 42 cm 2.

Pretvorite kvadratne centimetre u kvadrat
decimetri:

d m 2 = 0,42 d m 2.

Dakle, S = 1,4 dm 0,3 dm \u003d 0,42 dm 2.

Množenje dvije decimale radi se na sljedeći način:
1) brojevi se množe bez uzimanja u obzir zareza.
2) zarez u proizvodu je stavljen tako da se odvaja na desnoj strani
onoliko znakova koliko je odvojeno u oba faktora
uzeti zajedno. Na primjer:

1,1 0,2 = 0,22 ; 1,1 1,1 = 1,21 ; 2,2 0,1 = 0,22 .

Primjeri množenja decimalnih razlomaka u koloni:



Umjesto množenja bilo kojeg broja sa 0,1; 0,01; 0,001
možete podijeliti ovaj broj sa 10; 100 ; odnosno 1000.
Na primjer:

22 0,1 = 2,2 ; 22: 10 = 2,2 .

Kada množimo decimalni razlomak prirodnim brojem, moramo:

1) pomnožiti brojeve, zanemarujući zarez;

2) u rezultirajućem proizvodu stavite zarez tako da je na desnoj strani
od nje je bilo onoliko cifara koliko i u decimalnom razlomku.

Pronađimo proizvod 3.12 10 . Prema gore navedenom pravilu
prvo pomnožite 312 sa 10. Dobijamo: 312 10 \u003d 3120.
A sada odvajamo dvije cifre na desnoj strani zarezom i dobijamo:

3,12 10 = 31,20 = 31,2 .

Dakle, kada smo množili 3,12 sa 10, pomjerili smo zarez za jedan
broj na desnoj strani. Ako pomnožimo 3,12 sa 100, dobićemo 312, tj
zarez je pomjeren za dvije cifre udesno.

3,12 100 = 312,00 = 312 .

Kada množite decimalni razlomak sa 10, 100, 1000, itd., morate
u ovom razlomku, pomaknite zarez udesno onoliko znakova koliko ima nula
je u množitelju. Na primjer:

0,065 1000 = 0065, = 65 ;

2,9 1000 = 2,900 1000 = 2900, = 2900 .

Zadaci na temu "Množenje decimalnih razlomaka"

school-assistant.ru

Zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje decimala

Sabiranje i oduzimanje decimala je slično sabiranju i oduzimanju prirodnih brojeva, ali uz određene uslove.

Pravilo. je napravljen od cifara celog broja i razlomaka kao prirodnih brojeva.

Kada je napisano sabiranje i oduzimanje decimala zarez koji odvaja cijeli broj od razlomka mora biti u terminima i zbroju ili minus, oduzeti dio i razlika u jednom stupcu (zarez ispod zareza od uslova do kraja izračunavanja).

Sabiranje i oduzimanje decimala na liniju:

243,625 + 24,026 = 200 + 40 + 3 + 0,6 + 0,02 + 0,005 + 20 + 4 + 0,02 + 0,006 = 200 + (40 + 20) + (3 + 4)+ 0,6 + (0,02 + 0,02) + (0,005 + 0,006) = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,04 + 0,011 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + (0,04 + 0,01) + 0,001 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,05 + 0,001 = 267,651

843,217 - 700,628 = (800 - 700) + 40 + 3 + (0,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + (1,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + (0,11 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,09 + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + (0,017 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + 0,009 = 142,589

Sabiranje i oduzimanje decimala u koloni:

Za dodavanje decimalnih razlomaka potreban je gornji dodatni red za pisanje brojeva kada zbir cifara prolazi kroz deseticu. Oduzimanje decimala zahtijeva gornji dodatni red da označi cifru u kojoj se 1 posuđuje.

Ako nema dovoljno cifara razlomaka desno od člana ili je smanjeno, onda se u razlomku desno može dodati onoliko nula nula (povećati dubinu razlomka) koliko ima cifara u drugom pojmu ili smanjena.

Decimalno množenje vrši se na isti način kao množenje prirodnih brojeva, po istim pravilima, ali se u proizvodu stavlja zarez prema zbiru cifara faktora u razlomku, računajući s desna na lijevo (zbir cifara faktora je broj cifara iza decimalnog zareza za faktore uzeti zajedno).

At množenje decimala u koloni, prva značajna znamenka na desnoj strani je potpisana ispod prve značajne znamenke na desnoj strani, kao u prirodnim brojevima:

Snimanje množenje decimala u koloni:

Snimanje decimalna podjela u koloni:

Podvučeni znakovi su zarezi jer djelitelj mora biti cijeli broj.

Pravilo. At podjela razlomaka djelitelj decimalnog razlomka se povećava za onoliko cifara koliko ima cifara u njegovom razlomku. Kako se razlomak ne bi promijenio, dividenda se povećava za isti broj cifara (u razdjelniku i djelitelju zarez se prenosi na isti broj znakova). Zarez se stavlja u količnik u fazi dijeljenja kada se dijeli cijeli dio razlomka.

Za decimalne razlomke, kao i za prirodne brojeve, čuva se pravilo: Ne možete podijeliti decimalu sa nulom!

U prošloj lekciji naučili smo kako sabirati i oduzimati decimalne razlomke (pogledajte lekciju "Dodavanje i oduzimanje decimalnih razlomaka"). Istovremeno su procijenili koliko su proračuni pojednostavljeni u odnosu na uobičajene razlomke na dva sprata.

Nažalost, kod množenja i dijeljenja decimalnih razlomaka ovaj efekat se ne javlja. U nekim slučajevima, decimalni zapis čak komplikuje ove operacije.

Prvo, uvedemo novu definiciju. Sretaćemo ga dosta često, i to ne samo na ovoj lekciji.

Značajan dio broja je sve između prve i posljednje cifre različite od nule, uključujući prikolice. Govorimo samo o brojevima, decimalni zarez se ne uzima u obzir.

Cifre uključene u značajan dio broja nazivaju se značajne cifre. Mogu se ponavljati i čak biti jednake nuli.

Na primjer, razmotrite nekoliko decimalnih razlomaka i napišite njihove odgovarajuće značajne dijelove:

1. 91,25 → 9125 (značajne brojke: 9; 1; 2; 5);
2. 0,008241 → 8241 (značajne brojke: 8; 2; 4; 1);
3. 15.0075 → 150075 (značajne brojke: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
4. 0,0304 → 304 (značajne brojke: 3; 0; 4);
5. 3000 → 3 (postoji samo jedna značajna cifra: 3).

Imajte na umu: nule unutar značajnog dijela broja ne idu nikuda. Već smo se susreli sa nečim sličnim kada smo naučili pretvarati decimalne razlomke u obične (pogledajte lekciju “Decimalni razlomci”).

Ovo je toliko važno, a greške se ovdje prave toliko često da ću objaviti test na ovu temu u bliskoj budućnosti. Obavezno vježbajte! A mi, naoružani konceptom značajnog dijela, preći ćemo, zapravo, na temu lekcije.

Decimalno množenje

Operacija množenja sastoji se od tri uzastopna koraka:

1. Za svaki razlomak zapišite značajan dio. Dobićete dva obična cijela broja - bez nazivnika i decimalnih zareza;
2. Pomnožite ove brojeve na bilo koji prikladan način. Direktno, ako su brojevi mali, ili u koloni. Dobijamo značajan dio željenog razlomka;
3. Saznajte gdje i za koliko znamenki se decimalna točka pomjera u originalnim razlomcima da biste dobili odgovarajući značajan dio. Izvedite obrnute pomake na značajnom dijelu dobivenom u prethodnom koraku.

Da vas još jednom podsjetim da se nule na stranama značajnog dijela nikada ne uzimaju u obzir. Zanemarivanje ovog pravila dovodi do grešaka.

1. 0,28 12,5;
2. 6,3 1,08;
3. 132,5 0,0034;
4. 0,0108 1600,5;
5. 5,25 10.000.

Radimo s prvim izrazom: 0.28 12.5.

1. Napišimo bitne dijelove za brojeve iz ovog izraza: 28 i 125;
2. Njihov proizvod: 28 125 = 3500;
3. U prvom množitelju, decimalna točka je pomaknuta za 2 znamenke udesno (0,28 → 28), au drugom - za još jednu cifru. Ukupno je potreban pomak ulijevo za tri znamenke: 3500 → 3.500 = 3,5.

Sada se pozabavimo izrazom 6.3 1.08.

1. Napišimo bitne dijelove: 63 i 108;
2. Njihov proizvod: 63 108 = 6804;
3. Opet, dva pomaka udesno: za 2 i 1 cifru, respektivno. Ukupno - opet 3 cifre udesno, tako da će pomak unazad biti 3 cifre ulijevo: 6804 → 6.804. Ovog puta nema nula na kraju.

Došli smo do trećeg izraza: 132,5 0,0034.

1. Značajni dijelovi: 1325 i 34;
2. Njihov proizvod: 1325 34 = 45,050;
3. U prvom razlomku decimalni zarez ide udesno za 1 cifru, a u drugom - za čak 4. Ukupno: 5 udesno. Izvodimo pomak za 5 ulijevo: 45050 → .45050 = 0,4505. Nula je uklonjena na kraju i dodata na prednju stranu kako ne bi ostala "gola" decimalna točka.

Sljedeći izraz: 0,0108 1600,5.

1. Pišemo značajne dijelove: 108 i 16 005;
2. Množimo ih: 108 16 005 = 1 728 540;
3. Brojimo brojeve iza decimalnog zareza: u prvom broju ima 4, u drugom - 1. Ukupno - opet 5. Imamo: 1.728.540 → 17.28540 = 17.2854. Na kraju je uklonjena “dodatna” nula.

Konačno, posljednji izraz: 5.25 10.000.

1. Značajni dijelovi: 525 i 1;
2. Množimo ih: 525 1 = 525;
3. Prvi razlomak je pomaknut za 2 znamenke udesno, a drugi razlomak je pomaknut za 4 znamenke ulijevo (10.000 → 1.0000 = 1). Ukupno 4 − 2 = 2 znamenke lijevo. Izvodimo obrnuti pomak za 2 cifre udesno: 525, → 52 500 (morali smo dodati nule).

Obratite pažnju na posljednji primjer: budući da se decimalni zarez kreće u različitim smjerovima, ukupni pomak je kroz razliku. Ovo je veoma važna tačka! Evo još jednog primjera:

Razmotrimo brojeve 1,5 i 12 500. Imamo: 1,5 → 15 (pomak za 1 udesno); 12 500 → 125 (pomak 2 ulijevo). “Koramo” 1 cifru udesno, a zatim 2 cifre ulijevo. Kao rezultat toga, zakoračili smo 2 − 1 = 1 znamenku ulijevo.

Decimalna podjela

Divizija je možda najteža operacija. Naravno, ovdje možete postupiti po analogiji s množenjem: podijeliti značajne dijelove, a zatim "pomjeriti" decimalni zarez. Ali u ovom slučaju postoje mnoge suptilnosti koje negiraju potencijalnu uštedu.

Pogledajmo generički algoritam koji je malo duži, ali mnogo pouzdaniji:

1. Pretvorite sve decimale u obične razlomke. Uz malo vježbe, ovaj korak će vam oduzeti nekoliko sekundi;
2. Dobivene razlomke podijelite na klasičan način. Drugim riječima, pomnožite prvi razlomak sa "obrnutim" drugim (pogledajte lekciju "Množenje i dijeljenje brojčanih razlomaka");
3. Ako je moguće, vratite rezultat kao decimalu. Ovaj korak je takođe brz, jer često imenilac već ima stepen deset.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

1. 3,51: 3,9;
2. 1,47: 2,1;
3. 6,4: 25,6:
4. 0,0425: 2,5;
5. 0,25: 0,002.

Razmatramo prvi izraz. Prvo, pretvorimo obi razlomke u decimale:

Isto radimo i sa drugim izrazom. Brojilac prvog razlomka ponovo se razlaže na faktore:

U trećem i četvrtom primjeru postoji važna stvar: nakon što se riješite decimalnog zapisa, pojavljuju se razlomci koji se mogu opozvati. Međutim, nećemo izvršiti ovo smanjenje.

Zadnji primjer je zanimljiv jer je brojnik drugog razlomka prost broj. Ovde jednostavno nema šta da se faktorizuje, pa ga smatramo „praznim kroz“:

Ponekad dijeljenje rezultira cijelim brojem (govorim o posljednjem primjeru). U ovom slučaju, treći korak se uopće ne izvodi.

Osim toga, prilikom dijeljenja često se pojavljuju „ružni“ razlomci koji se ne mogu pretvoriti u decimale. Tu se dijeljenje razlikuje od množenja, gdje se rezultati uvijek izražavaju u decimalnom obliku. Naravno, u ovom slučaju, posljednji korak se opet ne izvodi.

Obratite pažnju i na 3. i 4. primjer. U njima namjerno ne reduciramo obične razlomke dobivene iz decimala. U suprotnom, to će zakomplikovati inverzni problem – predstavljanje konačnog odgovora ponovo u decimalnom obliku.

Zapamtite: osnovno svojstvo razlomka (kao i bilo koje drugo pravilo u matematici) samo po sebi ne znači da se mora primjenjivati ​​svuda i uvijek, u svakoj prilici.

Kao obični brojevi.

2. Brojimo broj decimalnih mjesta za 1. decimalni razlomak i za 2.. Sabiramo njihov broj.

3. U konačnom rezultatu računamo s desna na lijevo onoliko cifara koliko se pokazalo u gornjem pasusu i stavljamo zarez.

Pravila za množenje decimala.

1. Pomnožite ne obraćajući pažnju na zarez.

2. U proizvodu odvajamo onoliko cifara nakon decimalnog zareza koliko ih ima iza zareza u oba faktora zajedno.

Množeći decimalni razlomak prirodnim brojem, morate:

1. Pomnožite brojeve, zanemarujući zarez;

2. Kao rezultat, stavljamo zarez tako da desno od njega ima onoliko cifara koliko u decimalnom razlomku.

Množenje decimalnih razlomaka kolonom.

Pogledajmo primjer:

Zapisujemo decimalne razlomke u stupac i množimo ih kao prirodne brojeve, zanemarujući zareze. One. Smatramo 3,11 kao 311, a 0,01 kao 1.

Rezultat je 311. Zatim brojimo broj decimalnih mjesta (cifara) za oba razlomka. Postoje 2 znamenke u 1. decimali i 2 u 2. Ukupan broj cifara iza decimalnih zareza:

2 + 2 = 4

Brojimo s desna na lijevo četiri znaka rezultata. U konačnom rezultatu, ima manje cifara nego što je potrebno odvojiti zarezom. U tom slučaju potrebno je dodati broj nula koji nedostaje na lijevoj strani.

U našem slučaju nedostaje 1. znamenka, pa dodajemo 1 nulu lijevo.

Bilješka:

Množenjem bilo kojeg decimalnog razlomka sa 10, 100, 1000 i tako dalje, zarez u decimalnom razlomku se pomjera udesno za onoliko mjesta koliko ima nula iza jedinice.

Na primjer:

70,1 . 10 = 701

0,023 . 100 = 2,3

5,6 . 1 000 = 5 600

Bilješka:

Pomnožiti decimalu sa 0,1; 0,01; 0,001; i tako dalje, trebate pomaknuti zarez ulijevo u ovom razlomku za onoliko znakova koliko ima nula ispred jedinice.

Brojimo nula cijelih brojeva!

Na primjer:

12 . 0,1 = 1,2

0,05 . 0,1 = 0,005

1,256 . 0,01 = 0,012 56

U ovom vodiču ćemo pogledati svaku od ovih operacija jednu po jednu.

Sadržaj lekcije

Dodavanje decimala

Kao što znamo, decimalni dio ima cijeli broj i razlomak. Prilikom zbrajanja decimala, cijeli broj i razlomak se zbrajaju odvojeno.

Na primjer, dodajmo decimale 3.2 i 5.3. Pogodnije je dodati decimalne razlomke u kolonu.

Prvo upisujemo ova dva razlomka u kolonu, pri čemu cjelobrojni dijelovi moraju biti ispod cijelih, a razlomci ispod razlomaka. U školi se ovaj uslov zove "zarez ispod zareza".

Zapišimo razlomke u stupac tako da je zarez ispod zareza:

Počinjemo sabirati razlomke: 2 + 3 \u003d 5. Zapisujemo pet u razlomku našeg odgovora:

Sada sabiramo cjelobrojne dijelove: 3 + 5 = 8. Zapisujemo osam u cjelobrojni dio našeg odgovora:

Sada odvajamo cijeli broj od razlomka zarezom. Da bismo to učinili, opet slijedimo pravilo "zarez ispod zareza":

Dobio odgovor 8.5. Dakle, izraz 3,2 + 5,3 jednak je 8,5

Zapravo, nije sve tako jednostavno kao što se čini na prvi pogled. I ovdje postoje zamke o kojima ćemo sada govoriti.

Mjesta u decimalama

Decimale, kao i obični brojevi, imaju svoje cifre. Ovo su deseta mesta, stota mesta, hiljaditi mesta. U ovom slučaju cifre počinju nakon decimalnog zareza.

Prva cifra iza decimalnog zareza je odgovorna za desetine, druga cifra iza decimale za stotinke, treća cifra iza decimalne zapete za hiljaditi.

Decimalne cifre pohranjuju neke korisne informacije. Konkretno, oni izvještavaju koliko je desetina, stotih i hiljaditih dionica u decimali.

Na primjer, uzmite u obzir decimalu 0,345

Pozicija na kojoj se nalazi trojka se zove deseto mjesto

Pozicija na kojoj se nalazi četvorka se zove stotinke mesto

Pozicija na kojoj se nalazi petorka se zove hiljaditih delova

Pogledajmo ovu cifru. Vidimo da je u kategoriji desetina trojka. Ovo sugerira da postoje tri desetine u decimalnom razlomku 0,345.

Ako zbrojimo razlomke, onda dobijemo originalni decimalni razlomak 0,345

Vidi se da smo u početku dobili odgovor, ali smo ga pretvorili u decimalni razlomak i dobili 0,345.

Prilikom sabiranja decimalnih razlomaka poštuju se isti principi i pravila kao i kod sabiranja običnih brojeva. Sabiranje decimalnih razlomaka se odvija po ciframa: desetine se dodaju desetinkama, stotinke stotim, hiljaditi i hiljadinim.

Stoga je kod zbrajanja decimalnih razlomaka potrebno slijediti pravilo "zarez ispod zareza". Zarez ispod zareza daje isti redoslijed kojim se desetine dodaju desetinkama, stotinke stotinke, hiljadinke i hiljadinke.

Primjer 1 Pronađite vrijednost izraza 1,5 + 3,4

Prije svega, dodajemo razlomke 5 + 4 = 9. Zapisujemo devet u razlomljeni dio našeg odgovora:

Sada sabiramo cjelobrojne dijelove 1 + 3 = 4. Zapisujemo četiri u cjelobrojni dio našeg odgovora:

Sada odvajamo cijeli broj od razlomka zarezom. Da bismo to učinili, opet poštujemo pravilo "zarez ispod zareza":

Dobio odgovor 4.9. Dakle, vrijednost izraza 1,5 + 3,4 je 4,9

Primjer 2 Pronađite vrijednost izraza: 3,51 + 1,22

Ovaj izraz zapisujemo u kolonu, poštujući pravilo "zarez ispod zareza"

Prije svega, dodajte razlomak, odnosno stotinke 1+2=3. Trojku upisujemo u stoti dio našeg odgovora:

Sada dodajte desetine 5+2=7. Zapisujemo sedam u desetom dijelu našeg odgovora:

Sada dodajte cijele dijelove 3+1=4. Zapisujemo četiri u cijeli dio našeg odgovora:

Odvajamo cijeli broj od razlomaka zarezom, poštujući pravilo "zarez ispod zareza":

Dobio odgovor 4,73. Dakle, vrijednost izraza 3,51 + 1,22 je 4,73

3,51 + 1,22 = 4,73

Kao i kod običnih brojeva, kada se zbrajaju decimalni razlomci, . U ovom slučaju, jedna cifra se upisuje u odgovor, a ostatak se prenosi na sljedeću cifru.

Primjer 3 Pronađite vrijednost izraza 2,65 + 3,27

Zapisujemo ovaj izraz u kolonu:

Dodajte stotinke 5+7=12. Broj 12 neće stati u stoti dio našeg odgovora. Stoga u stotom dijelu upisujemo broj 2 i prenosimo jedinicu na sljedeći bit:

Sada saberemo desetine 6+2=8 plus jedinicu koju smo dobili iz prethodne operacije, dobijemo 9. U desetinu našeg odgovora upisujemo broj 9:

Sada dodajte cijele dijelove 2+3=5. Zapisujemo broj 5 u celobrojni deo našeg odgovora:

Dobio odgovor 5,92. Dakle, vrijednost izraza 2,65 + 3,27 je 5,92

2,65 + 3,27 = 5,92

Primjer 4 Pronađite vrijednost izraza 9,5 + 2,8

Upišite ovaj izraz u kolonu

Zbrajamo razlomke 5 + 8 = 13. Broj 13 neće stati u razlomak našeg odgovora, pa prvo zapišemo broj 3, a jedinicu prenosimo na sljedeću cifru, odnosno u cijeli broj dio:

Sada dodajemo cijele dijelove 9+2=11 plus jedinicu koju smo dobili iz prethodne operacije, dobijamo 12. Zapisujemo broj 12 u cjelobrojni dio našeg odgovora:

Odvojite cijeli broj od razlomaka zarezom:

Dobio odgovor 12.3. Dakle, vrijednost izraza 9,5 + 2,8 je 12,3

9,5 + 2,8 = 12,3

Prilikom sabiranja decimalnih razlomaka, broj cifara iza decimalnog zareza u oba razlomka mora biti isti. Ako nema dovoljno znamenki, tada se ova mjesta u razlomku popunjavaju nulama.

Primjer 5. Pronađite vrijednost izraza: 12,725 + 1,7

Pre nego što zapišemo ovaj izraz u kolonu, učinimo da broj cifara iza decimalne tačke u oba razlomka bude isti. Decimalni razlomak 12,725 ima tri znamenke iza decimalne zareze, dok razlomak 1,7 ima samo jednu. Dakle, u razlomku 1,7 na kraju trebate dodati dvije nule. Tada dobijamo razlomak 1.700. Sada možete napisati ovaj izraz u stupac i početi računati:

Dodajte hiljadite od 5+0=5. Zapisujemo broj 5 u hiljaditom dijelu našeg odgovora:

Dodajte stotinke 2+0=2. Zapisujemo broj 2 u stoti dio našeg odgovora:

Dodajte desetine 7+7=14. Broj 14 neće stati u desetinu našeg odgovora. Stoga prvo zapisujemo broj 4 i prenosimo jedinicu na sljedeći bit:

Sada dodajemo cijele dijelove 12+1=13 plus jedinicu koju smo dobili iz prethodne operacije, dobijamo 14. Upisujemo broj 14 u cijeli broj našeg odgovora:

Odvojite cijeli broj od razlomaka zarezom:

Dobio odgovor 14,425. Dakle, vrijednost izraza 12,725+1,700 je 14,425

12,725+ 1,700 = 14,425

Oduzimanje decimala

Prilikom oduzimanja decimalnih razlomaka morate se pridržavati istih pravila kao i kod sabiranja: „zarez ispod zareza“ i „jednak broj znamenki iza decimalnog zareza“.

Primjer 1 Naći vrijednost izraza 2.5 − 2.2

Ovaj izraz zapisujemo u kolonu, poštujući pravilo “zarez ispod zareza”:

Računamo razlomak 5−2=3. Zapisujemo broj 3 u desetom dijelu našeg odgovora:

Izračunajte cijeli broj 2−2=0. Zapisujemo nulu u cijelom dijelu našeg odgovora:

Odvojite cijeli broj od razlomaka zarezom:

Dobili smo odgovor 0,3. Dakle, vrijednost izraza 2,5 − 2,2 jednaka je 0,3

2,5 − 2,2 = 0,3

Primjer 2 Naći vrijednost izraza 7.353 - 3.1

Ovaj izraz ima različit broj znamenki nakon decimalnog zareza. U razlomku 7.353 nalaze se tri cifre iza decimalnog zareza, a u razlomku 3.1 samo jedna. To znači da se u razlomku 3.1 moraju dodati dvije nule na kraju kako bi broj cifara u oba razlomka bio isti. Onda dobijemo 3,100.

Sada možete napisati ovaj izraz u kolonu i izračunati ga:

Dobio sam odgovor 4,253. Dakle, vrijednost izraza 7,353 − 3,1 je 4,253

7,353 — 3,1 = 4,253

Kao i kod običnih brojeva, ponekad ćete morati posuditi jedan iz susjednog bita ako oduzimanje postane nemoguće.

Primjer 3 Naći vrijednost izraza 3.46 − 2.39

Oduzmite stotinke 6−9. Od broja 6 nemojte oduzimati broj 9. Dakle, morate uzeti jedinicu od susjedne cifre. Pozajmivši jednu od susjedne cifre, broj 6 se pretvara u broj 16. Sada možemo izračunati stoti dio 16−9=7. Zapisujemo sedam u stotom dijelu našeg odgovora:

Sada oduzmite desetine. Kako smo uzeli jednu jedinicu u kategoriji desetinki, brojka koja se tu nalazila se smanjila za jednu jedinicu. Drugim riječima, deseto mjesto sada nije broj 4, već broj 3. Izračunajmo desetine od 3−3=0. U desetom dijelu našeg odgovora pišemo nulu:

Sada oduzmite cjelobrojne dijelove 3−2=1. Jedinicu upisujemo u cijeli broj našeg odgovora:

Odvojite cijeli broj od razlomaka zarezom:

Dobio odgovor 1.07. Dakle, vrijednost izraza 3,46−2,39 jednaka je 1,07

3,46−2,39=1,07

Primjer 4. Naći vrijednost izraza 3−1.2

Ovaj primjer oduzima decimalni broj od cijelog broja. Zapišimo ovaj izraz u stupac tako da cijeli broj decimalnog razlomka 1,23 bude ispod broja 3

Sada učinimo da broj cifara iza decimalnog zareza bude isti. Da biste to učinili, nakon broja 3 stavite zarez i dodajte jednu nulu:

Sada oduzmite desetine: 0−2. Ne oduzimajte od nule broj 2. Dakle, morate uzeti jedinicu od susjedne cifre. Pozajmivši jedan od susedne cifre, 0 se pretvara u broj 10. Sada možete izračunati desetine od 10−2=8. Zapisujemo osmicu u desetom dijelu našeg odgovora:

Sada oduzmite cijele dijelove. Ranije se broj 3 nalazio u cijelom broju, ali smo od njega posudili jednu jedinicu. Kao rezultat, pretvorio se u broj 2. Stoga oduzimamo 1 od 2. 2−1=1. Jedinicu upisujemo u cijeli broj našeg odgovora:

Odvojite cijeli broj od razlomaka zarezom:

Dobio odgovor 1.8. Dakle, vrijednost izraza 3−1.2 je 1.8

Decimalno množenje

Množenje decimala je jednostavno, pa čak i zabavno. Da biste pomnožili decimale, morate ih pomnožiti kao obične brojeve, zanemarujući zareze.

Nakon što dobijete odgovor, potrebno je odvojiti cijeli broj od razlomka zarezom. Da biste to učinili, morate izbrojati broj znamenki iza decimalne točke u oba razlomka, zatim prebrojati isti broj znamenki desno u odgovoru i staviti zarez.

Primjer 1 Pronađite vrijednost izraza 2,5 × 1,5

Ove decimalne razlomke množimo kao obične brojeve, zanemarujući zareze. Da biste zanemarili zareze, možete privremeno zamisliti da su potpuno odsutni:

Dobili smo 375. U ovom broju potrebno je cijeli dio od razlomka odvojiti zarezom. Da biste to učinili, morate izbrojati broj znamenki iza decimalne točke u razlomcima od 2,5 i 1,5. U prvom razlomku je jedna cifra iza decimalnog zareza, u drugom razlomku takođe jedna. Ukupno dva broja.

Vraćamo se na broj 375 i počinjemo se kretati s desna na lijevo. Moramo izbrojati dvije cifre s desne strane i staviti zarez:

Dobio odgovor 3,75. Dakle, vrijednost izraza 2,5 × 1,5 je 3,75

2,5 x 1,5 = 3,75

Primjer 2 Pronađite vrijednost izraza 12,85 × 2,7

Pomnožimo ove decimale, zanemarujući zareze:

Dobili smo 34695. U ovom broju trebate odvojiti cijeli broj od razlomka zarezom. Da biste to učinili, morate izračunati broj znamenki nakon decimalne točke u razlomcima od 12,85 i 2,7. U razlomku 12,85 su dvije cifre iza decimalnog zareza, u razlomku 2,7 je jedna cifra - ukupno tri cifre.

Vraćamo se na broj 34695 i počinjemo se kretati s desna na lijevo. Moramo izbrojati tri cifre s desne strane i staviti zarez:

Dobio odgovor 34,695. Dakle, vrijednost izraza 12,85 × 2,7 je 34,695

12,85 x 2,7 = 34,695

Množenje decimale redovnim brojem

Ponekad postoje situacije kada trebate pomnožiti decimalni razlomak sa regularnim brojem.

Da biste pomnožili decimalni i običan broj, morate ih pomnožiti, bez obzira na zarez u decimali. Nakon što dobijete odgovor, potrebno je odvojiti cijeli broj od razlomka zarezom. Da biste to učinili, morate izbrojati broj znamenki nakon decimalnog zareza u decimalnom razlomku, a zatim u odgovoru izbrojati isti broj znamenki desno i staviti zarez.

Na primjer, pomnožite 2,54 sa 2

Pomnožimo decimalni razlomak 2,54 sa uobičajenim brojem 2, zanemarujući zarez:

Dobili smo broj 508. U ovom broju trebate odvojiti cijeli broj od razlomka zarezom. Da biste to učinili, morate izbrojati broj znamenki iza decimalne točke u razlomku 2,54. Razlomak 2,54 ima dvije cifre iza decimalnog zareza.

Vraćamo se na broj 508 i počinjemo se kretati s desna na lijevo. Moramo izbrojati dvije cifre s desne strane i staviti zarez:

Dobio odgovor 5.08. Dakle, vrijednost izraza 2,54 × 2 je 5,08

2,54 x 2 = 5,08

Množenje decimala sa 10, 100, 1000

Množenje decimala sa 10, 100 ili 1000 vrši se na isti način kao i množenje decimala redovnim brojevima. Potrebno je izvršiti množenje, zanemarujući zarez u decimalnom razlomku, a zatim u odgovoru odvojiti cijeli broj od razlomka, računajući isti broj cifara na desnoj strani koliko je bilo cifara iza decimalnog zareza u decimalnom dijelu frakcija.

Na primjer, pomnožite 2,88 sa 10

Pomnožimo decimalni razlomak 2,88 sa 10, zanemarujući zarez u decimalnom razlomku:

Dobili smo 2880. U ovom broju trebate odvojiti cijeli dio od razlomka zarezom. Da biste to učinili, morate izbrojati broj znamenki iza decimalne točke u razlomku 2,88. Vidimo da u razlomku 2,88 postoje dvije cifre iza decimalnog zareza.

Vraćamo se na broj 2880 i počinjemo se kretati s desna na lijevo. Moramo izbrojati dvije cifre s desne strane i staviti zarez:

Dobio odgovor 28.80. Odbacujemo zadnju nulu - dobijamo 28,8. Dakle, vrijednost izraza 2,88 × 10 je 28,8

2,88 x 10 = 28,8

Postoji drugi način množenja decimalnih razlomaka sa 10, 100, 1000. Ova metoda je mnogo jednostavnija i praktičnija. Sastoji se od činjenice da se zarez u decimalnom razlomku pomiče udesno za onoliko cifara koliko ima nula u množitelju.

Na primjer, riješimo prethodni primjer 2,88×10 na ovaj način. Bez davanja ikakvih proračuna, odmah gledamo faktor 10. Zanima nas koliko je nula u njemu. Vidimo da ima jednu nulu. Sada u razlomku 2,88 pomjerimo decimalni zarez udesno za jednu cifru, dobijemo 28,8.

2,88 x 10 = 28,8

Pokušajmo pomnožiti 2,88 sa 100. Odmah gledamo faktor 100. Zanima nas koliko je nula u njemu. Vidimo da ima dvije nule. Sada u razlomku 2,88 pomjerimo decimalni zarez udesno za dvije cifre, dobijemo 288

2,88 x 100 = 288

Pokušajmo pomnožiti 2,88 sa 1000. Odmah gledamo faktor 1000. Zanima nas koliko je nula u njemu. Vidimo da ima tri nule. Sada u razlomku 2,88 pomičemo decimalni zarez udesno za tri znamenke. Treće znamenke nema, pa dodajemo još jednu nulu. Kao rezultat, dobijamo 2880.

2,88 x 1000 = 2880

Množenje decimala sa 0,1 0,01 i 0,001

Množenje decimala sa 0,1, 0,01 i 0,001 radi na isti način kao i množenje decimale sa decimalom. Potrebno je pomnožiti razlomke kao obične brojeve, a u odgovor staviti zarez, računajući onoliko cifara na desnoj strani koliko ima cifara iza decimalnog zareza u oba razlomka.

Na primjer, pomnožite 3,25 sa 0,1

Ove razlomke množimo kao obične brojeve, zanemarujući zareze:

Dobili smo 325. U ovom broju trebate odvojiti cijeli dio od razlomka zarezom. Da biste to učinili, morate izračunati broj znamenki nakon decimalne točke u razlomcima od 3,25 i 0,1. U razlomku 3,25 nalaze se dvije cifre iza decimalnog zareza, u razlomku 0,1 je jedna cifra. Ukupno tri broja.

Vraćamo se na broj 325 i počinjemo se kretati s desna na lijevo. Trebamo izbrojati tri cifre na desnoj strani i staviti zarez. Nakon brojanja tri cifre, nalazimo da su brojevi gotovi. U ovom slučaju morate dodati jednu nulu i staviti zarez:

Dobili smo odgovor 0,325. Dakle, vrijednost izraza 3,25 × 0,1 je 0,325

3,25 x 0,1 = 0,325

Postoji drugi način za množenje decimala sa 0,1, 0,01 i 0,001. Ova metoda je mnogo lakša i praktičnija. Sastoji se u tome da se zarez u decimalnom razlomku pomiče ulijevo za onoliko cifara koliko ima nula u množitelju.

Na primjer, riješimo prethodni primjer 3,25 × 0,1 na ovaj način. Bez davanja ikakvih proračuna, odmah gledamo faktor 0,1. Zanima nas koliko je nula u njemu. Vidimo da ima jednu nulu. Sada u razlomku 3,25 pomičemo decimalni zarez ulijevo za jednu cifru. Pomerajući zarez za jednu cifru ulevo, vidimo da nema više cifara ispred tri. U ovom slučaju dodajte jednu nulu i stavite zarez. Kao rezultat, dobijamo 0,325

3,25 x 0,1 = 0,325

Pokušajmo pomnožiti 3,25 sa 0,01. Odmah pogledajte množitelj od 0,01. Zanima nas koliko je nula u njemu. Vidimo da ima dvije nule. Sada u razlomku 3,25 pomjerimo zarez ulijevo za dvije cifre, dobijemo 0,0325

3,25 x 0,01 = 0,0325

Pokušajmo pomnožiti 3,25 sa 0,001. Odmah pogledajte množitelj od 0,001. Zanima nas koliko je nula u njemu. Vidimo da ima tri nule. Sada u razlomku 3,25 pomjerimo decimalni zarez ulijevo za tri cifre, dobijemo 0,00325

3,25 × 0,001 = 0,00325

Nemojte brkati množenje decimala sa 0,1, 0,001 i 0,001 sa množenjem sa 10, 100, 1000. Uobičajena greška većine ljudi.

Kada se množi sa 10, 100, 1000, zarez se pomera udesno za onoliko cifara koliko ima nula u množitelju.

A kada se množi sa 0,1, 0,01 i 0,001, zarez se pomera ulevo za onoliko cifara koliko ima nula u množitelju.

Ako je u početku teško zapamtiti, možete koristiti prvu metodu, u kojoj se množenje izvodi kao kod običnih brojeva. U odgovoru ćete morati odvojiti cijeli broj od razlomka tako što ćete izbrojati onoliko cifara na desnoj strani koliko ima cifara iza decimalne točke u oba razlomka.

Deljenje manjeg broja većim. Napredni nivo.

U jednoj od prethodnih lekcija rekli smo da se dijeljenjem manjeg broja većim dobije razlomak u čijem je brojiocu dividenda, a u nazivniku djelitelj.

Na primjer, da biste podijelili jednu jabuku na dvije, morate u brojilac napisati 1 (jedna jabuka), a u nazivnik 2 (dva prijatelja). Rezultat je razlomak. Tako će svaki prijatelj dobiti jabuku. Drugim riječima, pola jabuke. Razlomak je odgovor na problem kako podijeliti jednu jabuku između dvije

Ispostavilo se da ovaj problem možete dalje riješiti ako podijelite 1 sa 2. Uostalom, razlomak u bilo kojem razlomku znači dijeljenje, što znači da je i ovo dijeljenje dozvoljeno u razlomku. Ali kako? Navikli smo na činjenicu da je dividenda uvijek veća od djelitelja. A ovdje je, naprotiv, dividenda manja od djelitelja.

Sve će postati jasno ako se sjetimo da razlomak znači drobljenje, dijeljenje, dijeljenje. To znači da se jedinica može podijeliti na onoliko dijelova koliko želite, a ne samo na dva dijela.

Prilikom dijeljenja manjeg broja većim dobiva se decimalni razlomak u kojem će cijeli broj biti 0 (nula). Razlomak može biti bilo šta.

Dakle, podijelimo 1 sa 2. Rešimo ovaj primjer uglom:

Ne može se samo tako podijeliti na dvoje. Ako postavite pitanje "koliko je dvojaka u jednom" , tada će odgovor biti 0. Stoga, privatno pišemo 0 i stavljamo zarez:

Sada, kao i obično, množimo količnik sa djeliteljem da izvučemo ostatak:

Došao je trenutak kada se jedinica može podijeliti na dva dijela. Da biste to učinili, dodajte još jednu nulu desno od primljene:

Dobili smo 10. Podijelimo 10 sa 2, dobijemo 5. Zapisujemo pet u razlomak našeg odgovora:

Sada izvlačimo posljednji ostatak da završimo proračun. Pomnožimo 5 sa 2, dobićemo 10

Dobili smo odgovor 0,5. Dakle, razlomak je 0,5

Pola jabuke se također može napisati pomoću decimalnog razlomka 0,5. Ako zbrojimo ove dvije polovine (0,5 i 0,5), opet ćemo dobiti originalnu jednu cijelu jabuku:

Ovu tačku možemo razumjeti i ako zamislimo kako je 1 cm podijeljen na dva dijela. Ako 1 centimetar podijelite na 2 dijela, dobit ćete 0,5 cm

Primjer 2 Naći vrijednost izraza 4:5

Koliko je petica u četiri? Ne sve. Pišemo privatno 0 i stavljamo zarez:

Pomnožimo 0 sa 5, dobijemo 0. Zapisujemo nulu ispod četiri. Odmah oduzmite ovu nulu od dividende:

Sada počnimo da delimo (delimo) četiri na 5 delova. Da bismo to učinili, desno od 4, dodamo nulu i podijelimo 40 sa 5, dobijemo 8. Osam pišemo privatno.

Završavamo primjer množenjem 8 sa 5 i dobijemo 40:

Dobili smo odgovor 0,8. Dakle, vrijednost izraza 4:5 je 0,8

Primjer 3 Pronađite vrijednost izraza 5: 125

Koliko je brojeva 125 u pet? Ne sve. Privatno pišemo 0 i stavljamo zarez:

Pomnožimo 0 sa 5, dobijemo 0. Zapišemo 0 ispod pet. Odmah oduzmite od pet 0

Sada počnimo dijeliti (dijeliti) pet na 125 dijelova. Da bismo to učinili, desno od ove petice pišemo nulu:

Podijelite 50 sa 125. Koliko je brojeva 125 u 50? Ne sve. Dakle, u količnik ponovo upisujemo 0

Pomnožimo 0 sa 125, dobijemo 0. Ovu nulu zapišemo ispod 50. Odmah oduzmite 0 od 50

Sada dijelimo broj 50 na 125 dijelova. Da bismo to učinili, desno od 50 pišemo još jednu nulu:

Podijelite 500 sa 125. Koliko je brojeva 125 u broju 500. U broju 500 postoje četiri broja 125. Četiri pišemo privatno:

Završavamo primjer množenjem 4 sa 125 i dobijemo 500

Dobili smo odgovor 0,04. Dakle, vrijednost izraza 5:125 je 0,04

Dijeljenje brojeva bez ostatka

Dakle, stavimo zarez u kvocijent iza jedinice, čime pokazujemo da je podjela cijelih dijelova završena i prelazimo na razlomak:

Ostatku 4 dodajte nulu

Sada podijelimo 40 sa 5, dobijemo 8. Pišemo osam privatno:

40−40=0. Primljeno 0 u ostatku. Dakle, podjela je u potpunosti završena. Dijeljenjem 9 sa 5 dobije se decimala 1,8:

9: 5 = 1,8

Primjer 2. Podijelite 84 sa 5 bez ostatka

Prvo podijelimo 84 sa 5 kao i obično s ostatkom:

Privatno primljeno 16 i još 4 na saldu. Sada dijelimo ovaj ostatak sa 5. Stavljamo zarez u privatno i dodajemo 0 ostatku 4

Sada podijelimo 40 sa 5, dobijemo 8. Zapisujemo osam u količniku nakon decimalnog zareza:

i dovršite primjer provjerom da li još uvijek postoji ostatak:

Deljenje decimale redovnim brojem

Decimalni razlomak, kao što znamo, sastoji se od cijelog broja i razlomka. Kada dijelite decimalni razlomak redovnim brojem, prije svega trebate:

• podijeliti cijeli broj decimalnog razlomka ovim brojem;
• nakon što se cijeli broj podijeli, potrebno je odmah staviti zarez u privatni dio i nastaviti računanje, kao kod običnog dijeljenja.

Na primjer, podijelimo 4,8 sa 2

Zapišimo ovaj primjer kao ugao:

Sada podijelimo cijeli dio sa 2. Četiri podijeljeno sa dva je dva. Napišemo dvojku privatno i odmah stavimo zarez:

Sada pomnožimo količnik sa djeliteljem i vidimo postoji li ostatak od dijeljenja:

4−4=0. Ostatak je nula. Još ne pišemo nulu, jer rješenje nije završeno. Zatim nastavljamo računati, kao kod običnog dijeljenja. Skinite 8 i podijelite sa 2

8: 2 = 4. Zapisujemo četiri u količnik i odmah ga množimo s djeliteljem:

Dobio odgovor 2.4. Vrijednost izraza 4,8: ​​2 je 2,4

Primjer 2 Naći vrijednost izraza 8,43:3

Podijelimo 8 sa 3, dobijemo 2. Odmah stavite zarez iza dva:

Sada množimo količnik sa djeliteljem 2 × 3 = 6. Zapisujemo šest ispod osmice i nalazimo ostatak:

Podijelimo 24 sa 3, dobijemo 8. Osam pišemo privatno. Odmah ga množimo sa djeliteljem da nađemo ostatak dijeljenja:

24−24=0. Ostatak je nula. Nula još nije snimljena. Uzmite posljednja tri dividende i podijelite sa 3, dobićemo 1. Odmah pomnožite 1 sa 3 da dovršite ovaj primjer:

Dobio odgovor 2,81. Dakle, vrijednost izraza 8,43:3 jednaka je 2,81

Dijeljenje decimale sa decimalom

Da biste podijelili decimalni razlomak na decimalni razlomak, u dividendi i u djelitelju, pomaknite zarez udesno za isti broj cifara nakon decimalnog zareza u djelitelju, a zatim podijelite redovnim brojem.

Na primjer, podijelite 5,95 sa 1,7

Zapišimo ovaj izraz kao ugao

Sada, u dividendi i u djelitelju, pomičemo zarez udesno za isti broj cifara koliko ih ima nakon decimalnog zareza u djelitelju. Delitelj ima jednu cifru iza decimalnog zareza. Dakle, moramo pomaknuti zarez udesno za jednu cifru u dividendi i u djelitelju. Prijenos:

Nakon pomjeranja decimalnog zareza udesno za jednu cifru, decimalni razlomak 5,95 pretvorio se u razlomak 59,5. A decimalni razlomak 1,7, nakon pomjeranja decimalne točke udesno za jednu znamenku, pretvorio se u uobičajeni broj 17. I već znamo kako podijeliti decimalni razlomak uobičajenim brojem. Daljnji proračun nije težak:

Zarez se pomiče udesno radi lakšeg dijeljenja. To je dozvoljeno zbog činjenice da se pri množenju ili dijeljenju dividende i djelitelja istim brojem, količnik ne mijenja. Šta to znači?

Ovo je jedna od zanimljivih karakteristika podjele. To se zove privatno vlasništvo. Razmotrimo izraz 9: 3 = 3. Ako se u ovom izrazu dividenda i djelitelj pomnože ili podijele istim brojem, tada se količnik 3 neće promijeniti.

Pomnožimo dividendu i djelitelj sa 2 i vidimo šta će se dogoditi:

(9 × 2) : (3 × 2) = 18: 6 = 3

Kao što se može vidjeti iz primjera, količnik se nije promijenio.

Ista stvar se dešava kada nosimo zarez u deljeniku i u deljeniku. U prethodnom primjeru, gdje smo podijelili 5,91 sa 1,7, pomaknuli smo zarez za jednu cifru udesno u dividendi i djelitelju. Nakon pomjeranja zareza, razlomak 5,91 je pretvoren u razlomak 59,1, a razlomak 1,7 je pretvoren u uobičajeni broj 17.

Zapravo, unutar ovog procesa se dogodilo množenje sa 10. Evo kako je to izgledalo:

5,91 × 10 = 59,1

Dakle, broj cifara iza decimalnog zareza u djelitelju zavisi od toga čime će se pomnožiti dividenda i djelitelj. Drugim riječima, broj cifara iza decimalnog zareza u djelitelju će odrediti za koliko cifara u dividendi i u djelitelju će zarez biti pomaknut udesno.

Decimalno dijeljenje sa 10, 100, 1000

Dijeljenje decimale sa 10, 100 ili 1000 vrši se na isti način kao . Na primjer, podijelimo 2,1 sa 10. Riješimo ovaj primjer uglom:

Ali postoji i drugi način. Lakši je. Suština ove metode je da se zarez u dividendi pomjeri ulijevo za onoliko cifara koliko ima nula u djelitelju.

Riješimo prethodni primjer na ovaj način. 2,1: 10. Gledamo u razdjelnik. Zanima nas koliko je nula u njemu. Vidimo da postoji jedna nula. Dakle, u djeljivom 2.1, trebate pomaknuti zarez ulijevo za jednu cifru. Pomaknemo zarez ulijevo za jednu cifru i vidimo da nema više cifara. U ovom slučaju dodajemo još jednu nulu ispred broja. Kao rezultat, dobijamo 0,21

Pokušajmo podijeliti 2,1 sa 100. U broju 100 postoje dvije nule. Dakle, u deljivom 2.1, morate pomeriti zarez ulevo za dve cifre:

2,1: 100 = 0,021

Pokušajmo podijeliti 2,1 sa 1000. U broju 1000 postoje tri nule. Dakle, u deljivom 2.1, morate pomeriti zarez ulevo za tri cifre:

2,1: 1000 = 0,0021

Decimalno dijeljenje sa 0,1, 0,01 i 0,001

Dijeljenje decimale sa 0,1, 0,01 i 0,001 vrši se na isti način kao . U dividendi i u djelitelju morate pomaknuti zarez udesno za onoliko cifara koliko ih ima nakon decimalne točke u djelitelju.

Na primjer, podijelimo 6,3 sa 0,1. Prije svega, pomjerimo zareze u dividendi i u djelitelju udesno za isti broj cifara koliko ih ima nakon decimalne točke u djelitelju. Delitelj ima jednu cifru iza decimalnog zareza. Dakle, pomjerimo zareze u dividendi i u djelitelju udesno za jednu cifru.

Nakon pomjeranja decimalnog zareza udesno za jednu cifru, decimalni razlomak 6,3 pretvara se u uobičajeni broj 63, a decimalni razlomak 0,1, nakon pomjeranja decimalnog zareza udesno za jednu znamenku, pretvara se u jedan. A dijeljenje 63 sa 1 je vrlo jednostavno:

Dakle, vrijednost izraza 6,3:0,1 jednaka je 63

Ali postoji i drugi način. Lakši je. Suština ove metode je da se zarez u dividendi prenosi udesno za onoliko cifara koliko ima nula u djelitelju.

Riješimo prethodni primjer na ovaj način. 6.3:0.1. Pogledajmo razdjelnik. Zanima nas koliko je nula u njemu. Vidimo da postoji jedna nula. Dakle, u djeljivom 6.3, trebate pomjeriti zarez udesno za jednu cifru. Pomaknemo zarez udesno za jednu cifru i dobijemo 63

Pokušajmo podijeliti 6,3 sa 0,01. Delitelj 0,01 ima dvije nule. Dakle, u deljivom 6.3, morate pomeriti zarez udesno za dve cifre. Ali u dividendi postoji samo jedna znamenka iza decimalnog zareza. U ovom slučaju, na kraju se mora dodati još jedna nula. Kao rezultat, dobijamo 630

Pokušajmo podijeliti 6,3 sa 0,001. Delitelj 0,001 ima tri nule. Dakle, u deljivom 6.3, morate pomeriti zarez udesno za tri cifre:

6,3: 0,001 = 6300

Zadaci za samostalno rješavanje

Da li vam se dopala lekcija?
Pridružite se našoj novoj Vkontakte grupi i počnite primati obavijesti o novim lekcijama