Aksiomi realnih brojeva. Aksiomatika realnih brojeva Aksiomatska definicija sistema cijelih brojeva

Za realne brojeve, označene sa (tzv. R chopped), uvodi se operacija sabiranja (“+”), odnosno za svaki par elemenata ( x,y) iz skupa realnih brojeva element se dodjeljuje x + y iz istog skupa, koji se zove zbir x I y .

Aksiomi množenja

Uvodi se operacija množenja („·“), odnosno za svaki par elemenata ( x,y) iz skupa realnih brojeva dodjeljuje se element (ili, ukratko, xy) iz istog seta, koji se naziva proizvod x I y .

Odnos između sabiranja i množenja

Aksiomi reda

Na datoj relaciji reda "" (manje ili jednako), odnosno za bilo koji par x, y iz najmanje jednog od uslova ili .

Odnos između reda i dodavanja

Odnos između reda i množenja

Aksiom kontinuiteta

Komentar

Ovaj aksiom znači da ako X I Y- dva neprazna skupa realnih brojeva tako da bilo koji element iz X ne prelazi nijedan element iz Y, tada se pravi broj može umetnuti između ovih skupova. Za racionalne brojeve ovaj aksiom ne vrijedi; klasičan primjer: razmotrite pozitivne racionalne brojeve i dodijelite ih skupu X oni brojevi čiji je kvadrat manji od 2, a ostali - do Y. Onda između X I Y Ne možete umetnuti racionalni broj (to nije racionalan broj).

Ovaj ključni aksiom obezbjeđuje gustinu i na taj način omogućava konstrukciju matematičke analize. Da bismo ilustrovali njegovu važnost, ukažimo na dvije fundamentalne posljedice iz toga.

Posljedice aksioma

Neka važna svojstva realnih brojeva slijede direktno iz aksioma, na primjer,

• jedinstvenost nule,
• jedinstvenost suprotnih i inverznih elemenata.

Književnost

• Zorich V. A. Matematička analiza. Tom I. M.: Phasis, 1997, poglavlje 2.

vidi takođe

Linkovi

Wikimedia fondacija. 2010.

Pogledajte šta je "Aksiomatika realnih brojeva" u drugim rječnicima:

Realan ili realan broj je matematička apstrakcija koja je nastala iz potrebe mjerenja geometrijskih i fizičkih veličina okolnog svijeta, kao i izvođenja operacija kao što su vađenje korijena, izračunavanje logaritama, rješavanje... ... Wikipedia

Realni ili realni brojevi su matematička apstrakcija koja služi, posebno, za predstavljanje i upoređivanje vrijednosti fizičkih veličina. Takav broj se intuitivno može predstaviti kao opis položaja tačke na pravoj.... ... Wikipedia

Realni ili realni brojevi su matematička apstrakcija koja služi, posebno, za predstavljanje i upoređivanje vrijednosti fizičkih veličina. Takav broj se intuitivno može predstaviti kao opis položaja tačke na pravoj.... ... Wikipedia

Realni ili realni brojevi su matematička apstrakcija koja služi, posebno, za predstavljanje i upoređivanje vrijednosti fizičkih veličina. Takav broj se intuitivno može predstaviti kao opis položaja tačke na pravoj.... ... Wikipedia

Realni ili realni brojevi su matematička apstrakcija koja služi, posebno, za predstavljanje i upoređivanje vrijednosti fizičkih veličina. Takav broj se intuitivno može predstaviti kao opis položaja tačke na pravoj.... ... Wikipedia

Realni ili realni brojevi su matematička apstrakcija koja služi, posebno, za predstavljanje i upoređivanje vrijednosti fizičkih veličina. Takav broj se intuitivno može predstaviti kao opis položaja tačke na pravoj.... ... Wikipedia

Realni ili realni brojevi su matematička apstrakcija koja služi, posebno, za predstavljanje i upoređivanje vrijednosti fizičkih veličina. Takav broj se intuitivno može predstaviti kao opis položaja tačke na pravoj.... ... Wikipedia

Wikirečnik ima članak „aksiom“ Aksiom (starogrčki ... Wikipedia

Aksiom koji se nalazi u različitim aksiomatskim sistemima. Aksiomatika realnih brojeva Hilbertova aksiomatika euklidske geometrije Kolmogorovljeva aksiomatika teorije verovatnoće ... Wikipedia

Aksiomatska metoda u matematici.

Osnovni pojmovi i odnosi aksiomatske teorije prirodnih nizova. Definicija prirodnog broja.

Sabiranje prirodnih brojeva.

Množenje prirodnih brojeva.

Svojstva skupa prirodnih brojeva

Oduzimanje i dijeljenje prirodnih brojeva.

Aksiomatska metoda u matematici

U aksiomatskoj konstrukciji bilo koje matematičke teorije poštuju se sljedeća pravila: određena pravila:

1. Neki koncepti teorije su odabrani kao main i prihvataju se bez definicije.

2. Formulisani su aksiome, koji su u ovoj teoriji prihvaćeni bez dokaza, otkrivaju svojstva osnovnih pojmova.

3. Dat je svaki koncept teorije koji nije sadržan u listi osnovnih definicija, objašnjava njegovo značenje uz pomoć glavnog i prethodnih pojmova.

4. Svaka tvrdnja teorije koja nije sadržana u listi aksioma mora biti dokazana. Takvi prijedlozi se nazivaju teoreme i dokazati ih na osnovu aksioma i teorema koje prethode razmatranoj.

Sistem aksioma bi trebao biti:

a) dosljedan: moramo biti sigurni da, izvodeći sve moguće zaključke iz datog sistema aksioma, nikada nećemo doći do kontradikcije;

b) nezavisni: nijedan aksiom ne bi trebao biti posljedica drugih aksioma ovog sistema.

V) pun, ako je u njegovim okvirima uvijek moguće dokazati ili dati iskaz ili njegovu negaciju.

Prvim iskustvom izgradnje aksiomatske teorije može se smatrati Euklidovo predstavljanje geometrije u njegovim „Elementima“ (3. vek pne). Značajan doprinos razvoju aksiomatske metode konstruisanja geometrije i algebre dao je N.I. Lobačevskog i E. Galoa. Krajem 19. vijeka. Italijanski matematičar Peano razvio je sistem aksioma za aritmetiku.

Osnovni pojmovi i odnosi aksiomatske teorije prirodnih brojeva. Definicija prirodnog broja.

Kao osnovni (nedefinisani) pojam u određenom skupu N je odabrano stav , a koristi i koncepte teorijske skupove, kao i pravila logike.

Element koji odmah slijedi element A, označiti A".

Odnos "direktno slijedi" zadovoljava sljedeće aksiome:

Peanovi aksiomi:

Aksiom 1. U izobilju N postoji element direktno ne sljedeći ne za bilo koji element ovog skupa. Hajde da ga pozovemo jedinica i označena simbolom 1 .

Aksiom 2. Za svaki element A od N postoji samo jedan element A" , odmah nakon toga A .

Aksiom 3. Za svaki element A od N postoji najviše jedan element koji je odmah praćen A .

Aksiom 4. Bilo koji podskup M setovi N poklapa se sa N , ako ima sljedeća svojstva: 1) 1 sadržano u M ; 2) iz činjenice da A sadržano u M , iz toga sledi A" sadržano u M.

Definicija 1. Gomila N , za čije se elemente uspostavlja relacija “direktno pratiti", koji zadovoljava aksiome 1-4, naziva se skup prirodnih brojeva, a njegovi elementi su prirodni brojevi.

Ova definicija ne govori ništa o prirodi elemenata skupa N . Tako da može biti bilo šta. Biranje u kompletu N neki specifičan skup na kojem je data specifična relacija "direktno slijedi", zadovoljavajući aksiome 1-4, dobijamo model ovog sistema aksiom.

Standardni model Peanoovog aksiomskog sistema je niz brojeva koji je nastao u procesu istorijskog razvoja društva: 1,2,3,4,... Prirodni niz počinje brojem 1 (aksiom 1); svaki prirodni broj je odmah praćen jednim prirodnim brojem (aksiom 2); svaki prirodan broj odmah slijedi najviše jedan prirodni broj (aksiom 3); počevši od broja 1 i krećući se prema prirodnim brojevima koji odmah slijede jedan za drugim, dobijamo cijeli skup ovih brojeva (aksiom 4).

Dakle, započeli smo aksiomatsku konstrukciju sistema prirodnih brojeva odabirom osnovnog "direktno pratiti" odnos i aksiome koji opisuju njegova svojstva. Dalja izgradnja teorije uključuje razmatranje poznatih svojstava prirodnih brojeva i operacija nad njima. One moraju biti otkrivene u definicijama i teoremama, tj. su izvedeni čisto logički iz relacije “direktno slijede” i aksioma 1-4.

Prvi koncept koji ćemo uvesti nakon definiranja prirodnog broja je stav "odmah prethodi" , koji se često koristi kada se razmatraju svojstva prirodnog niza.

Definicija 2. Ako je prirodan broj b direktno sledi prirodni broj A, taj broj A pozvao neposredno prethodi(ili prethodni) broj b .

Relacija “prethodi” ima niz nekretnina.

Teorema 1. Jedinica nema prethodni prirodni broj.

Teorema 2. Svaki prirodan broj A, osim 1, ima jedan prethodni broj b, takav da b"= A.

Aksiomatska konstrukcija teorije prirodnih brojeva ne razmatra se ni u osnovnim ni u srednjim školama. Međutim, ta svojstva relacije „direktno prate“, koja se ogledaju u Peanovim aksiomima, predmet su proučavanja u početnom kursu matematike. Već u prvom razredu, kada se razmatraju brojevi prve desetice, postaje jasno kako se svaki broj može dobiti. Koriste se koncepti “prati” i “prethodi”. Svaki novi broj djeluje kao nastavak proučavanog segmenta prirodnog niza brojeva. Učenici su uvjereni da iza svakog broja slijedi sljedeći i, osim toga, samo jedno, da je prirodni niz brojeva beskonačan.

Sabiranje prirodnih brojeva

Prema pravilima za konstruisanje aksiomatske teorije, definicija sabiranja prirodnih brojeva mora se uvesti koristeći samo relaciju "direktno pratiti", i koncepti "prirodni broj" I "prethodni broj".

Hajde da uvodimo definiciju sabiranja sa sljedećim razmatranjima. Ako na bilo koji prirodan broj A dodamo 1, dobijamo broj A", odmah nakon toga A, tj. A+ 1= a" i, prema tome, dobijamo pravilo za dodavanje 1 bilo kom prirodnom broju. Ali kako dodati broj A prirodni broj b, razlikuje od 1? Upotrijebimo sljedeću činjenicu: ako znamo da je 2 + 3 = 5, onda je zbir 2 + 4 = 6, koji odmah slijedi iza broja 5. To se događa jer je u zbiru 2 + 4 drugi član broj koji slijedi broj 3. Dakle, 2 + 4 =2+3 " =(2+3)". Generalno imamo , .

Ove činjenice čine osnovu za definiciju sabiranja prirodnih brojeva u aksiomatskoj teoriji.

Definicija 3. Sabiranje prirodnih brojeva je algebarska operacija koja ima sljedeća svojstva:

Broj a + b pozvao zbir brojeva A I b , i sami brojevi A I b - uslovi.

Cjelobrojni sistem

Podsjetimo se da je prirodni niz izgledao kao popis objekata. Ali ako želimo izvršiti neke radnje s objektima, onda će nam trebati aritmetičke operacije nad brojevima. Odnosno, ako želimo slagati jabuke ili podijeliti tortu, moramo te radnje prevesti na jezik brojeva.

Imajte na umu da je za uvođenje operacija + i * u jezik prirodnih brojeva potrebno dodati aksiome koji definiraju svojstva ovih operacija. Ali onda je i sam skup prirodnih brojeva širi se.

Pogledajmo kako se skup prirodnih brojeva širi. Najjednostavnija operacija, koja je bila jedna od prvih koja je bila potrebna, je zbrajanje. Ako želimo definirati operaciju sabiranja, moramo definirati njen inverz - oduzimanje. U stvari, ako znamo šta će biti rezultat sabiranja, na primjer, 5 i 2, onda bismo trebali biti u stanju riješiti probleme poput: šta treba dodati na 4 da dobijemo 11. To jest, problemi u vezi sa sabiranjem će definitivno zahtijevaju sposobnost izvođenja obrnute radnje - oduzimanja. Ali ako zbrajanje prirodnih brojeva ponovo daje prirodan broj, onda oduzimanje prirodnih brojeva daje rezultat koji se ne uklapa u N. Neki drugi brojevi su bili potrebni. Po analogiji sa razumljivim oduzimanjem manjeg broja od većeg broja, uvedeno je pravilo oduzimanja većeg broja od manjeg broja - tako su se pojavili negativni cijeli brojevi.

Dopunjavanjem prirodnog niza operacijama + i - dolazimo do skupa cijelih brojeva.

Z=N+operacije(+-)

Sistem racionalnih brojeva kao jezik aritmetike

Razmotrimo sada sljedeću najsloženiju radnju - množenje. U suštini, ovo je ponovljeno dodavanje. A proizvod cijelih brojeva ostaje cijeli broj.

Ali inverzna operacija množenju je dijeljenje. Ali ne daje uvijek najbolje rezultate. I opet smo pred dilemom – ili prihvatiti kao dat da rezultat podjele možda „ne postoji“, ili doći do brojeva nekog novog tipa. Tako su se pojavili racionalni brojevi.

Uzmimo sistem cijelih brojeva i dopunimo ga aksiomima koji definiraju operacije množenja i dijeljenja. Dobijamo sistem racionalnih brojeva.

Q=Z+operacije(*/)

Dakle, jezik racionalnih brojeva nam omogućava da proizvodimo sve aritmetičke operacije preko brojeva. Jezik prirodnih brojeva nije bio dovoljan za ovo.

Hajde da damo aksiomatsku definiciju sistema racionalnih brojeva.

Definicija. Skup Q naziva se skup racionalnih brojeva, a njegovi elementi se nazivaju racionalni brojevi, ako je zadovoljen sljedeći skup uslova, nazvan aksiomatika racionalnih brojeva:

Aksiomi operacije sabiranja. Za svaki naručeni par x,y elementi iz Q neki element je definisan x+y OQ, zove se suma X I at. U ovom slučaju su ispunjeni sljedeći uslovi:

1. (Postojanje nule) Postoji element 0 (nula) takav da za bilo koji XÎQ

X+0=0+X=X.

2. Za bilo koji element X O Q postoji element - X O Q (suprotno X) takav da

X+ (-X) = (-X) + X = 0.

3. (Komutativnost) Za bilo koje x,y O Q

4. (Asocijativnost) Za bilo koje x,y,zO Q

x + (y + z) = (x + y) + z

Aksiomi operacije množenja.

Za svaki naručeni par x, y elemenata iz Q neki element je definiran xy O Q, nazvan proizvod X I u. U ovom slučaju su ispunjeni sljedeći uslovi:

5. (Postojanje jediničnog elementa) Postoji element 1 O Q takav da za bilo koji X O Q

X . 1 = 1. x = x

6. Za bilo koji element X O Q , ( X≠ 0) postoji inverzni element X-1 ≠0 takav da

X. x -1 = x -1. x = 1

7. (Asocijativnost) Za bilo koje x, y, z O Q

X . (g . z) = (x . y) . z

8. (Komutativnost) Za bilo koje x, y O Q

Aksiom veze između sabiranja i množenja.

9. (Distributivnost) Za bilo koje x, y, z O Q

(x+y) . z = x . z+y . z

Aksiomi reda.

Bilo koja dva elementa x, y, O Q ulazi u relaciju poređenja ≤. U ovom slučaju su ispunjeni sljedeći uslovi:

10. (X≤at)L ( at≤x) ó x=y

11. (X≤y) L ( y≤ z) => x≤z

12. Za bilo koga x, y O Q ili x< у, либо у < x .

Stav< называется строгим неравенством,

Relacija = naziva se jednakost elemenata iz Q.

Aksiom veze između sabiranja i reda.

13. Za bilo koje x, y, z OQ, (x £ y) Þ x+z £ y+z

Aksiom veze između množenja i reda.

14. (0 £ x)Ç(0 £ y) Þ (0 £ x´y)

Arhimedov aksiom kontinuiteta.

15. Za bilo koje a > b > 0, postoje m O N i n O Q takvi da je m ³ 1, n< b и a= mb+n.

*****************************************

Dakle, sistem racionalnih brojeva je jezik aritmetike.

Međutim, ovaj jezik nije dovoljan za rješavanje praktičnih računarskih problema.

Prilikom aksiomatske konstrukcije bilo koje matematičke teorije, sigurno pravila:

· neki koncepti teorije su izabrani kao osnovni i prihvaćeni bez definicije;

· svaki koncept teorije koji nije sadržan u listi osnovnih daje definiciju;

· formulišu se aksiomi - propozicije koje se u datoj teoriji prihvataju bez dokaza; otkrivaju svojstva osnovnih pojmova;

· svaki prijedlog teorije koji nije sadržan u listi aksioma mora biti dokazan; Takve tvrdnje se nazivaju teoremi i dokazuju se na osnovu aksioma i teorema.

U aksiomatskoj konstrukciji teorije, svi iskazi su izvedeni iz aksioma kroz dokaz.

Stoga se za sistem aksioma primjenjuju posebni zahtjevi. zahtjevi:

· konzistentnost (sistem aksioma se naziva konzistentnim ako se iz njega ne mogu logički izvesti dvije međusobno isključive tvrdnje);

· nezavisnost (sistem aksioma se naziva nezavisnim ako nijedan od aksioma ovog sistema nije posledica drugih aksioma).

Skup u kojem je specificirana relacija naziva se modelom datog aksiomskog sistema ako su u njemu zadovoljeni svi aksiomi datog sistema.

Postoji mnogo načina da se konstruiše sistem aksioma za skup prirodnih brojeva. Na primjer, zbir brojeva ili relacija poretka može se uzeti kao osnovni koncept. U svakom slučaju, morate definirati sistem aksioma koji opisuju svojstva osnovnih pojmova.

Hajde da damo sistem aksioma, prihvatajući osnovni koncept operacije sabiranja.

Neprazan skup N nazivamo ga skupom prirodnih brojeva ako je u njemu definirana operacija (a; b) → a + b, koji se zove zbrajanje i ima sljedeća svojstva:

1. sabiranje je komutativno, tj. a + b = b + a.

2. sabiranje je asocijativno, tj. (a + b) + c = a + (b + c).

4. u bilo kom setu A, koji je podskup skupa N, Gdje A postoji broj i takav da sve Ha, su jednaki a+b, Gdje bN.

Aksiomi 1 - 4 su dovoljni da se konstruiše celokupna aritmetika prirodnih brojeva. Ali s takvom konstrukcijom više nije moguće osloniti se na svojstva konačnih skupova koja se ne odražavaju u ovim aksiomima.

Uzmimo kao glavni koncept relaciju “direktno slijedi...”, definiranu na nepraznom skupu N. Tada će prirodni niz brojeva biti skup N, u kojem je definirana relacija "odmah slijede", a svi elementi N zvati će se prirodni brojevi, a vrijedi sljedeće: Peanovi aksiomi:

AKSIOM 1.

U izobiljuNpostoji element koji ne prati odmah nijedan element ovog skupa. Nazvat ćemo ga jedinstvom i označiti ga simbolom 1.

AKSIOM 2.

Za svaki element a odNpostoji jedan element a odmah iza a.

AKSIOM 3.

Za svaki element a odNPostoji najviše jedan element odmah iza kojeg slijedi a.

AXOIMA 4.

Bilo koji podskup M skupaNpoklapa se saN, ako ima sljedeća svojstva: 1) 1 je sadržano u M; 2) iz činjenice da je a sadržano u M, slijedi da je i a sadržano u M.

Gomila N, za čije elemente je uspostavljena relacija “direktno slijede...” koja zadovoljava aksiome 1 - 4, naziva se skup prirodnih brojeva , a njegovi elementi su prirodni brojevi.

Ako u kompletu N izaberemo neki konkretan skup na kojem je data konkretna relacija “direktno slijedi...”, zadovoljavajući aksiome 1 - 4, tada dobijamo različite interpretacije (modeli) dato aksiomski sistemi.

Standardni model Peanoovog aksiomskog sistema je niz brojeva koji su nastali u procesu istorijskog razvoja društva: 1, 2, 3, 4, 5, ...

Model Peanoovih aksioma može biti bilo koji prebrojiv skup.

Na primjer, I, II, III, IIII, ...

oh oh oh oh oh...

jedan dva tri četiri, …

Razmotrimo niz skupova u kojem je skup (oo) početni element, a svaki sljedeći skup se dobija od prethodnog dodavanjem drugog kruga (slika 15).

Onda N postoji skup koji se sastoji od skupova opisanog oblika, a on je model Peanoovog aksiomskog sistema.

Zaista, u mnogima N postoji element (oo) koji ne prati odmah nijedan element datog skupa, tj. Aksiom 1 je zadovoljen za svaki skup A populacije koja se razmatra postoji jedan skup koji se dobija iz A dodavanjem jednog kruga, tj. Za svaki set vrijedi aksiom 2 A postoji najviše jedan skup iz kojeg se formira skup A dodavanjem jednog kruga, tj. Aksiom 3 vrijedi MN a poznato je da mnogi A sadržano u M, slijedi da je skup u kojem postoji jedan krug više nego u skupu A, takođe sadržan u M, To M =N, i stoga je aksiom 4 zadovoljen.

U definiciji prirodnog broja, nijedan od aksioma se ne može izostaviti.

Ustanovimo koji od skupova prikazanih na Sl. 16 su model Peanoovih aksioma.

1 a b d a G) Fig.16

Rješenje. Slika 16 a) prikazuje skup u kojem su zadovoljeni aksiomi 2 i 3. Zaista, za svaki element postoji jedinstveni element koji slijedi. Ali u ovom skupu, aksiom 1 nije zadovoljen (aksiom 4 nema smisla, jer ne postoji element u skupu koji ne slijedi odmah bilo koji drugi). Stoga ovaj skup nije model Peanoovih aksioma.

Slika 16 b) prikazuje skup u kojem su aksiomi 1, 3 i 4 zadovoljeni, ali iza elementa A odmah slijede dva elementa, a ne jedan, kako se zahtijeva u aksiomu 2. Dakle, ovaj skup nije model Peanoovih aksioma.

Na sl. 16 c) prikazuje skup u kojem su aksiomi 1, 2, 4 zadovoljeni, ali element With odmah slijedi dva elementa odmah. Stoga ovaj skup nije model Peanoovih aksioma.

Na sl. 16 d) prikazuje skup koji zadovoljava aksiome 2, 3, a ako uzmemo broj 5 kao početni element, onda će ovaj skup zadovoljiti aksiome 1 i 4. To jest, u ovom skupu za svaki element odmah postoji jedinstven slijedi ga, a postoji jedan element koji slijedi. Postoji i element koji ne prati odmah nijedan element ovog skupa, to je 5 , one. Prema tome, aksiom 1 će također biti zadovoljen.

Koristeći Peanoove aksiome, možemo dokazati niz tvrdnji, na primjer, dokazat ćemo da je za sve prirodne brojeve nejednakost x x.

Dokaz. Označimo sa A skup prirodnih brojeva za koje aa. Broj 1 pripada A, budući da ne slijedi nijedan broj iz N, što znači da ne slijedi samo po sebi: 1 1. Neka aa, Onda aa. Označimo A kroz b. Na osnovu aksioma 3, Ab, one. b b I bA.

OMSK DRŽAVNI PEDAGOŠKI UNIVERZITET
Ogranak Omskog državnog pedagoškog univerziteta u TAR-u
BBK Objavljeno odlukom redakcije i izdavačke kuće
22ya73 sektor Omskog državnog pedagoškog univerziteta u Tari
Ch67

Preporuke su namijenjene studentima pedagoških univerziteta koji izučavaju disciplinu "Algebra i teorija brojeva". U okviru ove discipline, u skladu sa državnim standardom, u 6. semestru se izučava dio „Numerički sistemi“. Ove preporuke predstavljaju materijal o aksiomatskoj konstrukciji sistema prirodnih brojeva (Peano sistem aksioma), sistema celih i racionalnih brojeva. Ova aksiomatika nam omogućava da bolje razumijemo šta je broj, što je jedan od osnovnih pojmova školskog predmeta matematike. Radi bolje asimilacije gradiva dati su zadaci na relevantne teme. Na kraju preporuka nalaze se odgovori, uputstva i rješenja problema.

Recenzent: doktor pedagoških nauka, prof. Dalinger V.A.

(c) Mozhan N.N.

Potpisano za objavljivanje - 22.10.98

Novinski papir
Tiraž 100 primjeraka.
Metoda štampanja je operativna
Omski državni pedagoški univerzitet, 644099, Omsk, emb. Tuhačevski, 14
ekspozitura, 644500, Tara, ul. Školna, 69

1. PRIRODNI BROJEVI.

U aksiomatskoj konstrukciji sistema prirodnih brojeva pretpostavićemo da su poznati pojam skupa, relacije, funkcije i drugi teorijski pojmovi skupova.

1.1 Peano aksiomski sistem i najjednostavnije posljedice.

Početni pojmovi u Peanovoj aksiomatskoj teoriji su skup N (koji ćemo nazvati skup prirodnih brojeva), posebni broj nula (0) iz njega i binarna relacija "slijedi" na N, označena S(a) (ili a()).
AKSIOMI:
1. ((a(N) a"(0 (Postoji prirodni broj 0 koji ne prati nijedan broj.)
2. a=b (a"=b" (Za svaki prirodni broj a postoji prirodni broj a" koji slijedi iza njega, i to samo jedan.)
3. a"=b" (a=b (svaki prirodni broj slijedi najviše jedan broj.)
4. (aksiom indukcije) Ako skup M(N i M) zadovoljava dva uslova:
A) 0(M;
B) ((a(N) a(M ® a"(M, zatim M=N.
U funkcionalnoj terminologiji, to znači da je preslikavanje S:N®N injektivno. Iz aksioma 1 slijedi da preslikavanje S:N®N nije surjektivno. Aksiom 4 je osnova za dokazivanje tvrdnji “metodom matematičke indukcije”.
Napomenimo neka svojstva prirodnih brojeva koja direktno slijede iz aksioma.
Svojstvo 1. Svaki prirodni broj a(0 slijedi jedan i samo jedan broj.
Dokaz. Neka M označi skup prirodnih brojeva koji sadrži nulu i sve te prirodne brojeve, od kojih svaki slijedi neki broj. Dovoljno je pokazati da je M=N, jedinstvenost proizlazi iz aksioma 3. Primijenimo indukcijski aksiom 4:
A) 0(M - konstrukcijom skupa M;
B) ako je a(M, onda a"(M, jer a" slijedi a.
To znači, prema aksiomu 4, M=N.
Svojstvo 2. Ako je a(b, onda a"(b).
Svojstvo se dokazuje kontradikcijom pomoću aksioma 3. Sljedeće svojstvo 3 se dokazuje na sličan način pomoću aksioma 2.
Svojstvo 3. Ako je a"(b", onda a(b.
Svojstvo 4. ((a(N)a(a). (Nijedan prirodni broj ne slijedi sam za sobom.)
Dokaz. Neka je M=(x(x(N, x(x")). Dovoljno je pokazati da je M=N. Pošto je prema aksiomu 1 ((x(N)x"(0, onda je posebno 0"(0) , i time je ispunjen uslov A) aksioma 4 0(M -. Ako je x(M, odnosno x(x), onda po svojstvu 2 x"((x")), što znači da je uslov B) x ( M ® x"(M. Ali tada, prema aksiomu 4, M=N.
Neka je ( neko svojstvo prirodnih brojeva. Činjenica da broj a ima svojstvo (, zapisaćemo ((a).).
Zadatak 1.1.1. Dokažite da je aksiom 4 iz definicije skupa prirodnih brojeva ekvivalentan sljedećoj tvrdnji: za bilo koje svojstvo (, ako ((0) i, onda.
Zadatak 1.1.2. Na skupu od tri elementa A=(a,b,c), unarna operacija ( je definirana na sljedeći način: a(=c, b(=c, c(=a. Koji od Peano aksioma je istinit na skupu A sa operacijom (?
Zadatak 1.1.3. Neka je A=(a) jednostruki skup, a(=a. Koji su od Peano aksioma tačni na skupu A sa operacijom (?
Zadatak 1.1.4. Na skupu N definiramo unarnu operaciju, uz pretpostavku za bilo koju. Saznajte da li će izjave Peanoovih aksioma formuliranih u terminima operacije biti istinite u N.
Problem 1.1.5. Neka bude. Dokažite da je A zatvoreno prema operaciji (. Provjerite istinitost Peanoovih aksioma na skupu A operacijom (.
Problem 1.1.6. Neka bude, . Definirajmo unarnu operaciju na A, postavljanje. Koji od Peanovih aksioma je istinit na skupu A sa operacijom?

1.2. Konzistentnost i kategoričnost sistema Peano aksioma.

Sistem aksioma se naziva konzistentnim ako je iz njegovih aksioma nemoguće dokazati teorem T i njegovu negaciju (T. Jasno je da kontradiktorni sistemi aksioma nemaju značenje u matematici, jer se u takvoj teoriji može dokazati bilo šta i takvo teorija ne odražava zakone stvarnog svijeta. Stoga je konzistentnost sistema aksioma apsolutno neophodan zahtjev.
Ako se teorema T i njene negacije (T) ne nalaze u aksiomatskoj teoriji, to ne znači da se takve teorije mogu pojaviti u budućnosti Najčešći način da se dokaže konzistentnost je metoda interpretacije, zasnovana na činjenici da ako postoji interpretacija aksiomskog sistema u očigledno konzistentnoj teoriji S, onda je sam aksiomski sistem konzistentan, zaista, ako je sistem aksioma nekonzistentan, tada bi teoreme T i (T) bile dokazive u njoj, ali bi tada ove teoreme bile validne iu njenoj interpretaciji, a to je u suprotnosti sa konzistentnošću teorije S. Metoda interpretacije omogućava da se dokaže samo relativna konzistentnost teorije. .
Mnogo različitih interpretacija može se konstruisati za Peano sistem aksioma. Teorija skupova je posebno bogata interpretacijama. Naznačimo jedno od ovih tumačenja. Skupove (, ((), ((()), (((())),... ćemo smatrati prirodnim brojevima; nulu ćemo smatrati posebnim brojem (. Relacija “sljedi” će tumačiti na sljedeći način: iza skupa M slijedi skup (M), čiji je jedini element sam M Dakle, ("=((), (()"=((()), itd. Izvodljivost aksiomi 1-4 se mogu lako proveriti, međutim, efikasnost takve interpretacije je mala: ona pokazuje da je Peano sistem aksioma konzistentan ako je teorija skupova konzistentna. Ali dokazivanje konzistentnosti sistema aksioma teorije skupova je još teže. zadatak Najubedljivija interpretacija Peanoovog aksiomskog sistema je intuitivna aritmetika, čiju doslednost potvrđuju vekovi njegovog razvoja.
Konzistentan sistem aksioma naziva se nezavisnim ako se svaki aksiom ovog sistema ne može dokazati kao teorema na osnovu drugih aksioma. Dokazati da aksiom (ne zavisi od drugih aksioma sistema
(1, (2, ..., (n, ((1)
dovoljno je dokazati da je sistem aksioma konzistentan
(1, (2, ..., (n, ((2)
Zaista, ako je (dokazano na osnovu preostalih aksioma sistema (1), onda bi sistem (2) bio kontradiktoran, jer u njemu teorema (i aksiom ((.
Dakle, da bi se dokazala nezavisnost aksioma (od ostalih aksioma sistema (1), dovoljno je konstruisati interpretaciju sistema aksioma (2).
Nezavisnost aksiomskog sistema je opcioni uslov. Ponekad se, kako bi se izbjeglo dokazivanje “teških” teorema, konstruira namjerno redundantni (zavisni) sistem aksioma. Međutim, “ekstra” aksiomi otežavaju proučavanje uloge aksioma u teoriji, kao i unutrašnje logičke veze između različitih dijelova teorije. Pored toga, konstruisanje interpretacija za zavisne sisteme aksioma je mnogo teže nego za nezavisne; Na kraju krajeva, moramo provjeriti valjanost “dodatnih” aksioma. Iz ovih razloga, pitanje zavisnosti između aksioma je od davnina pridavalo veliku važnost. Svojevremeno, pokušaji da se dokaže da postulat 5 u Euklidovim aksiomima "Postoji najviše jedna prava koja prolazi kroz tačku A paralelna pravoj (" je teorema (odnosno zavisi od preostalih aksioma) i dovela je do otkrića Lobačevskog geometrija.
Konzistentni sistem naziva se deduktivno potpun ako se bilo koja tvrdnja A date teorije može dokazati ili opovrgnuti, to jest ili A ili (A je teorema ove teorije. Ako postoji tvrdnja koja se ne može dokazati niti opovrgnuti, onda se sistem aksioma naziva deduktivno nepotpunim. polja, nemoguće je dokazati ili opovrgnuti propoziciju u ovim teorijama: "Grupa (prsten, polje) sadrži konačan broj elemenata."
Treba napomenuti da se u mnogim aksiomatskim teorijama (naime, u neformalizovanim) skup tvrdnji ne može smatrati precizno definisanim i stoga je nemoguće dokazati deduktivnu potpunost aksiomskog sistema takve teorije. Drugi osjećaj potpunosti naziva se kategoričnost. Sistem aksioma se naziva kategoričkim ako su bilo koje dvije njegove interpretacije izomorfne, odnosno postoji takva korespondencija jedan-na-jedan između skupova početnih objekata jedne i druge interpretacije koja je sačuvana pod svim početnim relacijama. Kategoričnost je takođe izborni uslov. Na primjer, aksiomski sistem teorije grupa nije kategoričan. Ovo proizilazi iz činjenice da konačna grupa ne može biti izomorfna beskonačnoj grupi. Međutim, kada se aksiomatizira teorija bilo kojeg numeričkog sistema, kategoričnost je obavezna; na primjer, kategorička priroda sistema aksioma koji definiraju prirodne brojeve znači da, do izomorfizma, postoji samo jedan prirodni niz.
Dokažimo kategoričku prirodu Peanoovog aksiomskog sistema. Neka su (N1, s1, 01) i (N2, s2, 02) bilo koje dvije interpretacije Peanoovog aksiomskog sistema. Potrebno je navesti bijektivno (jedan-na-jedan) preslikavanje f:N1®N2 za koje su ispunjeni sljedeći uvjeti:
a) f(s1(x)=s2(f(x)) za bilo koji x iz N1;
b) f(01)=02
Ako su obje unarne operacije s1 i s2 označene istim prostim brojem, tada će se uvjet a) prepisati u obliku
a) f(x()=f(x)(.
Definirajmo binarnu relaciju f na skupu N1(N2) slijedećim uvjetima:
1) 01f02;
2) ako je xfy, onda x(fy(.
Uvjerimo se da je ova relacija preslikavanje iz N1 u N2, odnosno za svaki x iz N1
(((y(N2) xfy (1)
Neka M1 označava skup svih elemenata x iz N1 za koje je zadovoljen uslov (1). Onda
A) 01(M1 zbog 1);
B) x(M1 ® x((M1 na osnovu 2) i svojstva 1 stava 1.
Odavde, prema aksiomu 4, zaključujemo da je M1=N1, a to znači da je relacija f preslikavanje N1 u N2. Štaviše, iz 1) slijedi da je f(01)=02. Uslov 2) je napisan u obliku: ako je f(x)=y, onda je f(x()=y(. Slijedi da je f(x()=f(x)(). Dakle, za prikaz f uvjeta a ) i b) su zadovoljeni. Ostaje dokazati da je preslikavanje f bijektivno.
Neka je M2 skup onih elemenata iz N2, od kojih je svaki slika jednog i samo jednog elementa iz N1 pod preslikavanjem f.
Pošto je f(01)=02, onda je 02 slika. Štaviše, ako je x(N2 i x(01), tada po svojstvu 1 stavke 1 x slijedi neki element c iz N1 i tada f(x)=f(c()=f(c)((02. To znači 02 je slika jedinog elementa 01, odnosno 02(M2.
Neka dalje y(M2 i y=f(x), gdje je x jedina inverzna slika elementa y. Zatim, po uvjetu a) y(=f(x)(=f(x()), tj. y(je slika elementa x (. Neka je c bilo koja inverzna slika elementa y(, tj. f(c)=y(. Pošto je y((02, onda je c(01 i za c) prethodni element, koji označavamo sa d. Tada je y(=f(c)=f(d()=f(d)(), odakle je aksiom 3 y=f(d). Ali pošto je y(M2, onda je d=). x, odakle c=d(=x(. Dokazali smo, da ako je y slika jedinstvenog elementa, onda je y(slika jedinstvenog elementa, to jest, y(M2 ® y((M2. Oba uslovi aksioma 4 su zadovoljeni i, prema tome, M2=N2, čime je završen dokaz kategoričnosti.
Sva predgrčka matematika bila je empirijske prirode. Pojedini elementi teorije utopljeni su u masu empirijskih metoda za rješavanje praktičnih problema. Grci su ovaj empirijski materijal podvrgli logičkoj obradi i pokušali pronaći veze između različitih empirijskih informacija. U tom smislu, Pitagora i njegova škola (5. vek pre nove ere) igrali su veliku ulogu u geometriji. Ideje aksiomatske metode jasno su se čule u djelima Aristotela (4. st. pne.). Međutim, praktičnu implementaciju ovih ideja izveo je Euklid u svojim Elementima (3. vek pne).
Trenutno se mogu razlikovati tri oblika aksiomatskih teorija.
1). Smislena aksiomatika, koja je bila jedina do sredine prošlog veka.
2). Poluformalna aksiomatika nastala u posljednjoj četvrtini prošlog stoljeća.
3). Formalna (ili formalizovana) aksiomatika, čijim se datumom rođenja može smatrati 1904. godina, kada je D. Hilbert objavio svoj čuveni program o osnovnim principima formalizovane matematike.
Svaki novi oblik ne negira prethodni, već je njegov razvoj i pojašnjenje, tako da je nivo strogosti svakog novog oblika veći od prethodnog.
Intenzivnu aksiomatiku karakterizira činjenica da početni pojmovi imaju intuitivno jasno značenje i prije nego što su aksiomi formulirani. Dakle, u Euklidovim elementima tačka znači upravo ono što mi intuitivno razumijemo pod ovim konceptom. U ovom slučaju se koristi običan jezik i obična intuitivna logika, koja datira još od Aristotela.
Poluformalne aksiomatske teorije također koriste običan jezik i intuitivnu logiku. Međutim, za razliku od smislene aksiomatike, originalnim konceptima nije dato nikakvo intuitivno značenje, oni se karakterišu samo aksiomima. To povećava strogost, jer intuicija u određenoj mjeri ometa strogost. Osim toga, općenitost se stječe jer će svaka teorema dokazana u takvoj teoriji vrijediti u bilo kojoj interpretaciji. Primjer poluformalne aksiomatske teorije je Hilbertova teorija, izložena u njegovoj knjizi “Osnove geometrije” (1899). Primjeri poluformalnih teorija su i teorija prstenova i niz drugih teorija predstavljenih u kursu algebre.
Primjer formalizirane teorije je propozicijski račun, koji se proučava na kursu matematičke logike. Za razliku od supstantivne i poluformalne aksiomatike, formalizirana teorija koristi poseban simbolički jezik. Naime, zadana je abeceda teorije, odnosno određeni skup simbola koji igraju istu ulogu kao slova u običnom jeziku. Svaki konačni niz znakova naziva se izraz ili riječ. Među izrazima se izdvaja klasa formula i naznačuje se tačan kriterijum koji omogućava svakom izrazu da sazna da li je reč o formuli. Formule igraju istu ulogu kao i rečenice u običnom jeziku. Neke od formula su proglašene aksiomima. Dodatno, specificirana su pravila logičkog zaključivanja; Svako takvo pravilo znači da određena formula direktno slijedi iz određenog skupa formula. Dokaz same teoreme je konačni lanac formula, u kojem je posljednja formula sama teorema i svaka formula je ili aksiom, ili prethodno dokazana teorema, ili direktno slijedi iz prethodnih formula lanca prema jednoj od pravila zaključivanja. Dakle, nema sumnje o strogosti dokaza: ili je dati lanac dokaz ili nije; U tom smislu, formalizirana aksiomatika se koristi u posebno suptilnim pitanjima potkrepljenja matematičkih teorija, kada obična intuitivna logika može dovesti do pogrešnih zaključaka, uglavnom zbog netočnosti i nejasnoća našeg običnog jezika.
Kako se u formaliziranoj teoriji za svaki izraz može reći da li je formula, onda se skup rečenica formalizirane teorije može smatrati određenim. S tim u vezi, može se, u principu, postaviti pitanje dokazivanja deduktivne potpunosti, kao i dokazivanja konzistentnosti, bez pribjegavanja tumačenju. U nekoliko jednostavnih slučajeva to se može postići. Na primjer, konzistentnost propozicionog računa se dokazuje bez tumačenja.
U neformaliziranim teorijama mnoge tvrdnje nisu jasno definirane, pa je besmisleno postavljati pitanje dokazivanja konzistentnosti bez pribjegavanja interpretacijama. Isto važi i za pitanje dokazivanja deduktivne potpunosti. Međutim, ako se naiđe na prijedlog neformalizirane teorije koji se ne može ni dokazati ni opovrgnuti, onda je teorija očito deduktivno nepotpuna.
Aksiomatska metoda se dugo koristi ne samo u matematici, već iu fizici. Prve pokušaje u ovom pravcu napravio je Aristotel, ali je aksiomatska metoda dobila svoju pravu primjenu u fizici tek u Newtonovim djelima o mehanici.
U vezi sa ubrzanim procesom matematizacije nauka, javlja se i proces aksiomatizacije. Trenutno se aksiomatska metoda čak koristi u nekim područjima biologije, na primjer, u genetici.
Ipak, mogućnosti aksiomatske metode nisu neograničene.
Prije svega, napominjemo da čak ni u formaliziranim teorijama nije moguće potpuno izbjeći intuiciju. Sama formalizovana teorija bez tumačenja nema smisla. Stoga se postavlja niz pitanja o odnosu između formalizirane teorije i njene interpretacije. Pored toga, kao iu formalizovanim teorijama, postavljaju se pitanja o konzistentnosti, nezavisnosti i potpunosti sistema aksioma. Ukupnost svih takvih pitanja čini sadržaj druge teorije, koja se naziva metateorijom formalizirane teorije. Za razliku od formalizirane teorije, jezik metateorije je običan svakodnevni jezik, a logičko razmišljanje se provodi po pravilima obične intuitivne logike. Tako se intuicija, potpuno izbačena iz formalizirane teorije, ponovo pojavljuje u njenoj metateoriji.
Ali to nije glavna slabost aksiomatske metode. Već smo spomenuli program D. Hilberta, koji je postavio osnovu za formalizovanu aksiomatsku metodu. Hilbertova glavna ideja bila je izraziti klasičnu matematiku kao formaliziranu aksiomatsku teoriju i zatim dokazati njenu konzistentnost. Međutim, ovaj program se u svojim glavnim tačkama pokazao utopijskim. Godine 1931. austrijski matematičar K. Gödel dokazao je svoje čuvene teoreme, iz kojih je slijedilo da su oba glavna problema koja je postavio Hilbert nemoguća. Koristeći svoju metodu kodiranja, uspio je izraziti neke istinite pretpostavke iz metateorije koristeći formule formalne aritmetike i dokazati da ove formule nisu deducibilne u formalnoj aritmetici. Tako se ispostavilo da je formalizirana aritmetika deduktivno nepotpuna. Iz Gödelovih rezultata slijedi da ako se ova nedokaziva formula uključi u broj aksioma, onda će postojati još jedna nedokaziva formula koja izražava neku istinitu tvrdnju. Sve je to značilo da se ne samo sva matematika, nego čak ni aritmetika – njen najjednostavniji dio – ne može u potpunosti formalizirati. Konkretno, Gödel je konstruisao formulu koja odgovara rečenici „Formalizovana aritmetika je konzistentna“ i pokazao da ova formula takođe nije izvodljiva. Ova činjenica znači da se konzistentnost formalizirane aritmetike ne može dokazati unutar same aritmetike. Naravno, moguće je konstruisati jaču formalizovanu teoriju i koristiti njena sredstva za dokazivanje konzistentnosti formalizovane aritmetike, ali tada se postavlja teže pitanje o konzistentnosti ove nove teorije.
Gödelovi rezultati ukazuju na ograničenja aksiomatske metode. Pa ipak, u teoriji znanja nema apsolutno nikakve osnove za pesimistične zaključke da postoje nespoznatljive istine. Činjenica da postoje aritmetičke istine koje se ne mogu dokazati u formalnoj aritmetici ne znači da postoje nespoznatljive istine i ne znači da je ljudsko razmišljanje ograničeno. To samo znači da mogućnosti našeg razmišljanja nisu ograničene na potpuno formalizirane procedure i da čovječanstvo tek treba da otkrije i izmisli nove principe dokaza.

1.3. Sabiranje prirodnih brojeva

Operacije sabiranja i množenja prirodnih brojeva nisu postulirane Peanoovim aksiomskim sistemom;
Definicija. Sabiranje prirodnih brojeva je binarna algebarska operacija + na skupu N, koja ima sljedeća svojstva:
1s. ((a(N) a+0=a;
2c. ((a,b(N) a+b(=(a+b)(.
Postavlja se pitanje: postoji li takva operacija, i ako postoji, da li je jedina?
Teorema. Postoji samo jedan dodatak prirodnih brojeva.
Dokaz. Binarna algebarska operacija na skupu N je preslikavanje (:N(N®N. Potrebno je dokazati da postoji jedinstveno preslikavanje (:N(N®N) sa svojstvima: 1) ((x(N) ( (x,0)=x 2) ((x,y(N) ((x,y()=((x,y)(). Ako za svaki prirodni broj x dokažemo postojanje preslikavanja); fx:N®N sa svojstvima 1() fx(0 )=x 2() fx(y()=fx(y)(), zatim funkcija ((x,y), definisana jednakošću ((x; ,y) (fx(y), će zadovoljiti uslove 1) i 2 ).
Na skupu N definišemo binarnu relaciju fx uslovima:
a) 0fxx;
b) ako je yfxz, onda y(fxz(.
Uvjerimo se da je ova relacija preslikavanje iz N u N, odnosno za svako y iz N
(((z(N) yfxz (1)
Neka M označi skup prirodnih brojeva y za koje je uslov (1) zadovoljen. Tada iz uslova a) sledi da je 0(M, a iz uslova b) i svojstva 1 klauzule 1 sledi da ako je y(M, onda y((M. Dakle, na osnovu aksioma 4, zaključujemo da je M = N , a to znači da je relacija fx preslikavanje iz N u N. Za ovo preslikavanje su ispunjeni sljedeći uvjeti:
1() fx(0)=x - zbog a);
2() fx((y)=fx(y() - na osnovu b).
Time je dokazano postojanje sabiranja.
Dokažimo jedinstvenost. Neka su + i ( bilo koje dvije binarne algebarske operacije na skupu N sa svojstvima 1c i 2c. Moramo dokazati da
((x,y(N) x+y=x(y
Popravimo proizvoljan broj x i označimo sa S skup onih prirodnih brojeva y za koje je jednakost
x+y=x(y (2)
izvedeno. Pošto prema 1c x+0=x i x(0=x, onda
A) 0(S
Neka je sada y(S, tj. jednakost (2) zadovoljena. Pošto je x+y(=(x+y)(, x(y(=(x(y))(i x+y=x(y), onda po aksiomu 2 x+y(=x(y(, odnosno uslov je zadovoljen
B) y(S ® y((S.
Dakle, prema aksiomu 4, S=N, čime je završen dokaz teoreme.
Dokažimo neka svojstva sabiranja.
1. Broj 0 je neutralni element sabiranja, odnosno a+0=0+a=a za svaki prirodni broj a.
Dokaz. Jednakost a+0=a proizlazi iz uslova 1c. Dokažimo jednakost 0+a=a.
Neka M označi skup svih brojeva za koje vrijedi. Očigledno, 0+0=0 i stoga 0(M. Neka je a(M, tj. 0+a=a. Tada je 0+a(=(0+a)(=a(i, stoga, a((M) To znači M=N, što je trebalo dokazati.
Zatim nam je potrebna lema.
Lemma. a(+b=(a+b)(.
Dokaz. Neka je M skup svih prirodnih brojeva b za koje je jednakost a(+b=(a+b) tačna za bilo koju vrijednost a. Tada:
A) 0(M, pošto a(+0=(a+0)(;
B) b(M ® b((M. Zaista, iz činjenice da su b(M i 2c), imamo
a(+b(=(a(+b)(=((a+b)()(=(a+b())(,
odnosno b((M. Ovo znači M=N, što je trebalo dokazati.
2. Sabiranje prirodnih brojeva je komutativno.
Dokaz. Neka je M=(a(a(N(((b(N)a+b=b+a). Dovoljno je dokazati da je M=N). Imamo:
A) 0(M - zbog svojstva 1.
B) a(M ® a((M. Doista, primjenom leme i činjenice da je a(M), dobijamo:
a(+b=(a+b)(=(b+a)(=b+a(.
To znači a((M, a po aksiomu 4 M=N.
3. Sabiranje je asocijativno.
Dokaz. Neka
M=(c(c(N(((a,b(N)(a+b)+c=a+(b+c))
Potrebno je dokazati da je M=N. Kako je (a+b)+0=a+b i a+(b+0)=a+b, onda je 0(M. Neka je c(M, odnosno (a+b)+c=a+(b+c ) Onda
(a+b)+c(=[(a+b)+c](=a+(b+c)(=a+(b+c().
To znači c((M i po aksiomu 4 M=N.
4. a+1=a(, gdje je 1=0(.
Dokaz. a+1=a+0(=(a+0)(=a(.
5. Ako je b(0, onda ((a(N)a+b(a.
Dokaz. Neka je M=(a(a(N(a+b(a). Pošto je 0+b=b(0), onda je 0(M). Dalje, ako je a(M, odnosno a+b(a).)) svojstvo 2 stavka 1 (a+b)((a(ili a(+b(a(. Dakle a((M i M=N.
6. Ako je b(0, onda ((a(N)a+b(0.
Dokaz. Ako je a=0, onda je 0+b=b(0, ali ako je a(0 i a=c(, onda je a+b=c(+b=(c+b)(0). Dakle, u svakom slučaju a + b(0.
7. (Zakon trihotomije sabiranja). Za bilo koje prirodne brojeve a i b, tačna je jedna i samo jedna od tri relacije:
1) a=b;
2) b=a+u, gdje je u(0;
3) a=b+v, gdje je v(0.
Dokaz. Popravimo proizvoljan broj a i označimo sa M skup svih prirodnih brojeva b za koje vrijedi barem jedna od relacija 1), 2), 3). Potrebno je dokazati da je M=N. Neka je b=0. Tada ako je a=0, onda je relacija 1 tačna), a ako je a(0, onda je relacija 3 tačna), pošto je a=0+a. Dakle 0(M.
Pretpostavimo sada da je b(M, odnosno za izabrano a jedna od relacija 1), 2), 3) zadovoljena. Ako je a=b, onda je b(=a(=a+1, odnosno za b(relacija 2 vrijedi). Ako je b=a+u, onda b(=a+u(, odnosno za b( relacija 2. Ako je a=b+v, onda su moguća dva slučaja: v=1 i v(1. Ako je v=1, onda su a=b+v=b”, odnosno za b” relacije 1). zadovoljeno isto v(1, zatim v=c", gdje je c(0 i zatim a=b+v=b+c"=(b+c)"=b"+c, gdje je c(0, to je za. b" relacija 3 je zadovoljena). Dakle, dokazali smo da je b(M®b"(M, a samim tim i M=N, odnosno za bilo koje a i b barem jedan od relacija 1), 2), 3 Uvjerimo se da nijedna dva od njih ne mogu biti ispunjena istovremeno: ako su relacije 1) i 2) bile zadovoljene, tada bi imali b=b+u, gdje je u(0, a to je u suprotnosti sa svojstvom 5). Nemogućnost ispunjavanja 1) i provjerava se na sličan način 3. Konačno, ako su relacije 2) i 3) bile zadovoljene, tada bismo imali a=(a+u)+v = a+ +(u+v). ), a to je nemoguće zbog svojstava 5 i 6. Svojstvo 7 je u potpunosti dokazano.
Zadatak 1.3.1. Neka je 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9).)). Dokažite da je 3+5=8, 2+4=6.

1.4. MNOŽENJE PRIRODNIH BROJEVA.

Definicija 1. Množenje prirodnih brojeva je takva binarna operacija (na skupu N, za koju su ispunjeni sljedeći uslovi:
1u. ((x(N) x(0=0;
2u. ((x,y(N) x(y"=x(y+x.
Ponovo se postavlja pitanje: postoji li takva operacija i, ako postoji, da li je jedina?
Teorema. Postoji samo jedna operacija za množenje prirodnih brojeva.
Dokaz se izvodi gotovo isto kao i za sabiranje. Potrebno je pronaći mapiranje (:N(N®N) koje zadovoljava uslove
1) ((x(N) ((x,0)=0;
2) ((x,y(N) ((x,y")= ((x,y)+x.
Popravimo broj x proizvoljno. Ako za svaki x(N dokažemo postojanje preslikavanja fx: N®N sa svojstvima
1") fx(0)=0;
2") ((y(N) fx(y")=fx(y)+x,
tada će funkcija ((x,y) definisana jednakošću ((x,y)=fx(y) zadovoljiti uslove 1) i 2).
Dakle, dokaz teoreme se svodi na dokazivanje postojanja i jedinstvenosti za svaki x funkcije fx(y) sa svojstvima 1") i 2"). Uspostavimo korespondenciju na skupu N prema sljedećem pravilu:
a) broj nula je uporediv sa brojem 0,
b) ako je broj y povezan sa brojem c, onda je broj y (pridružiti broju c+x.
Uvjerimo se da s takvim poređenjem svaki broj y ima jedinstvenu sliku: to će značiti da je korespondencija preslikavanje N u N. Označimo sa M skup svih prirodnih brojeva y koji imaju jedinstvenu sliku. Iz uslova a) i aksioma 1 sledi da je 0(M. Neka je y(M. Zatim iz uslova b) i aksioma 2 sledi da je y((M. Ovo znači M=N, tj. naša korespondencija je preslikavanje N u N Označimo ga sa fx. Tada fx(0)=0 zbog uslova a) i fx(y()=fx(y)+x - zbog uslova b).
Dakle, postojanje operacije množenja je dokazano. Sada neka (i ( budu bilo koje dvije binarne operacije na skupu N sa svojstvima 1u i 2u. Ostaje dokazati da je ((x,y(N) x(y=x(y). Popravimo proizvoljan broj x i neka
S=(y?y(N (x(y=x(y)
Pošto je, na osnovu 1y, x(0=0 i x(0=0), onda je 0(S. Neka je y(S, tj. x(y=x(y. Tada
x(y(=x(y+x=x(y+x=x(y(
i, prema tome, y((S. Ovo znači S=N, čime je završen dokaz teoreme.
Napomenimo neka svojstva množenja.
1. Neutralni element u odnosu na množenje je broj 1=0(, odnosno ((a(N) a(1=1(a=a.
Dokaz. a(1=a(0(=a(0+a=0+a=a. Dakle, jednakost a(1=a) je dokazana. Ostaje dokazati jednakost 1(a=a. Neka je M=(a) ?a(N (1(a=a). Pošto je 1(0=0, onda je 0(M. Neka je a(M, tj. 1(a=a). Tada je 1(=1(a+1= a+1= a(, i, prema tome, a((M. To znači, prema aksiomu 4, M=N, što je trebalo dokazati.
2. Za množenje važi pravi distributivni zakon, tj
((a,b,c(N) (a+b)c=ac+bc.
Dokaz. Neka je M=(c (c(N (((a,b(N) (a+b)c=ac+bc). Kako je (a+b)0=0 i a(0+b(0=0), onda je 0(M. Ako je c(M, to jest (a+b)c=ac+bc, onda (a + b)(c(= (a + b)c +(a + b) = ac + bc + a+b=(ac+a)+(bc+b)=ac(+bc(. Dakle, c((M i M=N.
3. Množenje prirodnih brojeva je komutativno, odnosno ((a,b(N) ab=ba.
Dokaz. Hajde da prvo dokažemo za bilo koje b(N jednakost 0(b=b(0=0. Jednakost b(0=0) proizlazi iz uslova 1y. Neka je M=(b(b(N(0(b=0).)). Pošto je 0( 0=0, onda je 0(M. Ako je b(M, tj. 0(b=0, onda je 0(=0(b+0=0 i, prema tome), b((M. Dakle M =N, odnosno jednakost 0(b=b(0) je dokazana za sve b(N. Neka dalje S=(a(a(N(ab=ba).) Pošto je 0(b=b(0), onda 0(S. Neka je a (S, tj. ab=ba. Tada je a(b=(a+1)b=ab+b=ba+b=ba(, tj. a((S. Ovo znači S =N, što je trebalo dokazati.
4. Množenje je distributivno u odnosu na sabiranje. Ovo svojstvo proizlazi iz svojstava 3 i 4.
5. Množenje je asocijativno, odnosno ((a,b,c(N) (ab)c=a(bc).
Dokaz se, kao i za sabiranje, izvodi indukcijom na c.
6. Ako je a(b=0, onda je a=0 ili b=0, tj. nema djelitelja nule u N.
Dokaz. Neka je b(0 i b=c(. Ako je ab=0, onda je ac(=ac+a=0, što znači, na osnovu svojstva 6 klauzule 3, da je a=0.
Zadatak 1.4.1. Neka je 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9).)). Dokažite da je 2(4=8, 3(3=9.
Neka su n, a1, a2,...,an prirodni brojevi. Zbir brojeva a1, a2,...,an je broj koji je označen i određen uslovima; za bilo koji prirodan broj k
Proizvod brojeva a1, a2,...,an je prirodan broj, koji je označen i određen uslovima: ; za bilo koji prirodan broj k
Ako, onda je broj označen sa an.
Zadatak 1.4.2. Dokaži to
A) ;
b) ;
V) ;
G) ;
d) ;
e) ;
i) ;
h) ;
i) .

1.5. REDOSREDNOST SISTEMA PRIRODNIH BROJEVA.

Relacija “sljedi” je antirefleksivna i antisimetrična, ali nije tranzitivna i stoga nije relacija reda. Definisaćemo relaciju poretka na osnovu sabiranja prirodnih brojeva.
Definicija 1. a
Definicija 2. a(b (((x(N) b=a+x.
Uvjerimo se da je relacija Napomenimo neka svojstva prirodnih brojeva povezana s odnosima jednakosti i nejednakosti.
1.
1.1 a=b (a+c=b+c.
1.2 a=b (ac=bc.
1.3a
1.4a
1,5 a+c=b+c (a=b.
1,6 ac=bc (c(0 (a=b.
1.7 a+c
1.8ac
1.9a
1.10a
Dokaz. Svojstva 1.1 i 1.2 proizlaze iz jedinstvenosti operacija sabiranja i množenja. Ako a
2. ((a(N) a
Dokaz. Pošto je a(=a+1, onda je a
3. Najmanji element u N je 0, a najmanji element u N\(0) je broj 1.
Dokaz. Budući da je ((a(N) a=0+a, onda je 0(a, i stoga 0) najmanji element u N). Nadalje, ako je x(N\(0), onda je x=y(, y(N , ili x=y+1 Iz toga slijedi da je ((x(N\(0)) 1(x, tj. 1 najmanji element u N\(0).
4. Relacija ((a,b(N)((n(N)b(0 (nb > a.
Dokaz. Očigledno, za bilo koji prirodan broj a postoji prirodan broj n takav da
a Takav broj je, na primjer, n=a(. Dalje, ako je b(N\(0), onda po svojstvu 3
1(b(2)
Iz (1) i (2), na osnovu svojstava 1.10 i 1.4, dobijamo aa.

1.6. POTPUNI RED SISTEMA PRIRODNIH BROJEVA.

Definicija 1. Ako je svaki neprazan podskup uređenog skupa (M; Uvjerimo se da je ukupni red linearan. Neka su a i b bilo koja dva elementa iz potpuno uređenog skupa (M; Lema . 1) a
Dokaz.
1) a((b (b=a(+k, k(N (b=a+k(, k((N\(0)) (a
2) a(b (b=a+k, k(N (b(=a+k(, k((N\(0)) (a
Teorema 1. Prirodni red na skupu prirodnih brojeva je ukupni red.
Dokaz. Neka je M bilo koji neprazan skup prirodnih brojeva, a S skup njegovih donjih granica u N, to jest, S=(x(x(N (((m(M) x(m). Iz svojstva 3). iz klauzule 5 slijedi da je 0(S. Ako bi i drugi uvjet aksioma 4 n(S (n((S)) također bio zadovoljen, tada bismo imali S=N. U stvari, S(N; naime, ako je a( M, zatim a((S zbog nejednakosti a
Teorema 2. Svaki neprazan skup prirodnih brojeva koji je odozgo ograničen ima najveći element.
Dokaz. Neka je M bilo koji neprazan skup prirodnih brojeva ograničen iznad, a S skup njegovih gornjih granica, to jest, S=(x(x(N (((m(M) m(x). Neka je x0). najmanji element u S. Tada nejednakost m(x0 vrijedi za sve brojeve m iz M, a stroga nejednakost m
Zadatak 1.6.1. Dokaži to
A) ;
b) ;
V) .
Problem 1.6.2. Neka je ( neko svojstvo prirodnih brojeva i k proizvoljan prirodan broj. Dokažite to
a) svaki prirodni broj ima svojstvo (, čim 0 ima ovo svojstvo za svako n (0
b) svaki prirodni broj veći ili jednak k ima svojstvo (, čim k ima ovo svojstvo i za svako n (k(n) iz pretpostavke da n ima svojstvo (, slijedi da je broj n+1 također ima ovo svojstvo;
c) svaki prirodni broj veći ili jednak k ima svojstvo (, čim k ima ovo svojstvo i za svako n (n>k) pod pretpostavkom da su svi brojevi t definisani uslovom k(t

1.7. PRINCIP INDUKCIJE.

Koristeći potpuni poredak sistema prirodnih brojeva, može se dokazati sljedeća teorema, na kojoj se zasniva jedna od metoda dokaza, nazvana metoda matematičke indukcije.
Teorema (princip indukcije). Svi iskazi iz niza A1, A2, ..., An, ... su tačni ako su ispunjeni sljedeći uvjeti:
1) tvrdnja A1 je tačna;
2) ako su iskazi Ak tačni za k
Dokaz. Pretpostavimo suprotno: uslovi 1) i 2) su ispunjeni, ali teorema nije tačna, odnosno skup M=(m(m(N\(0), Am je netačan) nije prazan).) Teorema 1 klauzule 6, postoji najmanji element, koji označavamo sa n. Pošto je prema uslovu 1 A1 tačan, a An netačan, onda je 1(n, a time i 1
Kod dokazivanja indukcijom mogu se razlikovati dvije faze. U prvoj fazi, koja se zove baza indukcije, provjerava se izvodljivost uvjeta 1). U drugoj fazi, koja se naziva korak indukcije, dokazuje se izvodljivost uslova 2). U ovom slučaju najčešće postoje slučajevi kada za dokazivanje istinitosti iskaza An nema potrebe koristiti istinitost iskaza Ak za k
Primjer. Dokazati nejednakost Put =Sk. Potrebno je dokazati istinitost iskaza Ak=(Sk). Niz iskaza na koji se poziva teorema 1 može se dobiti iz predikata A(n) definiranog na skupu N ili na njegovom podskupu Nk=(x (x(N , x(k), gdje je k bilo koji fiksni prirodni broj.
Konkretno, ako je k=1, onda je N1=N\(0), a numeriranje iskaza se može izvršiti pomoću jednakosti A1=A(1), A2=A(2), ..., An=A (n), ... Ako je k(1, onda se niz iskaza može dobiti korištenjem jednakosti A1=A(k), A2=A(k+1), ..., An=A(k+n -1), .. U skladu sa takvom notacijom, teorema 1 se može formulisati u drugom obliku.
Teorema 2. Predikat A(m) je identično tačan na skupu Nk ako su ispunjeni sljedeći uslovi:
1) tvrdnja A(k) je tačna;
2) ako su iskazi A(m) tačni za m
Zadatak 1.7.1. Dokažite da sljedeće jednačine nemaju rješenja u domeni prirodnih brojeva:
a) x+y=1;
b) 3x=2;
c) x2=2;
d) 3x+2=4;
e) x2+y2=6;
f) 2x+1=2y.
Zadatak 1.7.2. Dokažite korištenjem principa matematičke indukcije:
a) (n3+(n+1)3+(n+2)3)(9;
b) ;
V) ;
G) ;
d) ;
e) .

1.8. ODUZIMANJE I DJELJENJE PRIRODNIH BROJEVA.

Definicija 1. Razlika prirodnih brojeva a i b je prirodan broj x takav da je b+x=a. Razlika između prirodnih brojeva a i b označava se sa a-b, a operacija pronalaženja razlike naziva se oduzimanje. Oduzimanje nije algebarska operacija. Ovo slijedi iz sljedeće teoreme.
Teorema 1. Razlika a-b postoji ako i samo ako b(a. Ako razlika postoji, onda postoji samo jedna.
Dokaz. Ako je b(a, onda po definiciji relacije (postoji prirodan broj x takav da je b+x=a. Ali to također znači da je x=a-b. Obrnuto, ako razlika a-b postoji, onda po definiciji 1 postoji prirodni broj x, da je b+x=a, ali to takođe znači da je b(a.
Dokažimo jedinstvenost razlike a-b. Neka su a-b=x i a-b=y. Tada prema definiciji 1 b+x=a, b+y=a. Dakle, b+x=b+y i, prema tome, x=y.
Definicija 2. Kvocijent dva prirodna broja a i b(0) je prirodan broj c takav da je a=bc Operacija nalaženja količnika riješena u teoriji djeljivost.
Teorema 2. Ako količnik postoji, onda postoji samo jedan.
Dokaz. Neka su =x i =y. Tada prema definiciji 2 a=bx i a=by. Stoga je bx=by i stoga x=y.
Imajte na umu da su operacije oduzimanja i dijeljenja definirane gotovo doslovno na isti način kao u školskim udžbenicima. To znači da je u paragrafima 1-7, zasnovano na Peanovim aksiomima, postavljena čvrsta teorijska osnova za aritmetiku prirodnih brojeva i njeno dalje predstavljanje se dosledno sprovodi u školskom matematičkom kursu i na univerzitetskom predmetu „Algebra i teorija brojeva“ .
Zadatak 1.8.1. Dokažite valjanost sljedećih tvrdnji, pod pretpostavkom da postoje sve razlike koje se pojavljuju u njihovim formulacijama:
a) (a-b)+c=(a+c)-b;
b) (a-b)(c=a(c-b(c;
c) (a+b)-(c+b)=a-c;
d) a-(b+c)=(a-b)-c;
e) (a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d);
e) (a-b)-(c-d)=a-c;
g) (a+b)-(b-c)=a+c;
h) (a-b)-(c-d)=(a+d)-(b+c);
i) a-(b-c)=(a+c)-b;
j) (a-b)-(c+d)=(a-c)-(b+d);
k) (a-b)(c+d)=(ac+ad)-(bc+bd);
m) (a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc);
m) (a-b)2=(a2+b2)-2ab;
o) a2-b2=(a-b)(a+b).
Problem 1.8.2. Dokažite valjanost sljedećih tvrdnji, pod pretpostavkom da postoje svi količniki koji se pojavljuju u njihovim formulacijama.
A) ; b) ; V) ; G) ; d) ; e) ; i) ; h) ; I) ; To) ; l) ; m) ; n) ; O) ; P) ; R) .
Problem 1.8.3. Dokažite da sljedeće jednačine ne mogu imati dva različita prirodna rješenja: a) ax2+bx=c (a,b,c(N); b) x2=ax+b (a,b(N); c) 2x=ax2 + b (a,b(N).
Problem 1.8.4. Riješite sljedeće jednačine prirodnim brojevima:
a) x2+(x+1)2=(x+2)2; b) x+y=x(y; c) ; d) x2+2y2=12; e) x2-y2=3; e) x+y+z=x(y(z.
Problem 1.8.5. Dokazati da sljedeće jednačine nemaju rješenja u oblasti prirodnih brojeva: a) x2-y2=14; b) x-y=xy; V) ; G) ; e) x2=2x+1; e) x2=2y2.
Problem 1.8.6. Riješite sljedeće nejednačine u prirodnim brojevima: a) ; b) ; V) ; d) x+y2 Zadatak 1.8.7. Dokažite da u polju prirodnih brojeva vrijede sljedeće relacije: a) 2ab(a2+b2; b) ab+bc+ac(a2+b2+c2; c) c2=a2+b2 (a2+b2+c2 1.9 . KVANTITATIVNO ZNAČENJE PRIRODNI BROJEVI.
U praksi se prirodni brojevi uglavnom koriste za brojanje elemenata, a za to je potrebno utvrditi kvantitativno značenje prirodnih brojeva u Peanovoj teoriji.
Definicija 1. Skup (x (x(N, 1(x(n))) naziva se segment prirodnog niza i označava se sa (1;n(.
Definicija 2. Konačan skup je svaki skup koji je jednak određenom segmentu prirodnog niza, kao i prazan skup. Skup koji nije konačan naziva se beskonačan.
Teorema 1. Konačan skup A nije ekvivalentan nijednom od svojih podskupova (tj. podskupu različitom od A).
Dokaz. Ako je A=(, tada je teorema tačna, pošto prazan skup nema odgovarajućih podskupova. Neka je A((i A jednako moćni (1,n((A((1,n())). Dokazaćemo teoremu indukcijom na n Ako je n= 1, to jest, A((1,1(, tada je jedini pravi podskup skupa A prazan skup. Jasno je da je A(i, prema tome, za n=1). Pretpostavimo da je teorema tačna za n=m, odnosno da svi konačni skupovi ekvivalentni segmentu (1,m() nemaju ekvivalentne prave podskupove. Neka je A bilo koji skup jednak segmentu (1,m). +1(i (:(1,m+1(®A - neka bijektivna mapa segmenta (1,m+1(u A. Ako je ((k) označeno sa ak, k=1,2,.. .,m+1, onda se skup A može zapisati kao A=(a1, a2, ... , am, am+1). Pretpostavimo da nema podskupova. neka je B(A, B(A, B(A i f: A®B) bijektivna mapa. Na ovaj način možemo izabrati bijektivne mape. (i f takve da su am+1(B i f(am+1)) =am+1.
Razmotrimo skupove A1=A\(am+1) i B1=B\(am+1). Pošto je f(am+1)=am+1, funkcija f će izvršiti bijektivno preslikavanje skupa A1 na skup B1. Dakle, skup A1 će biti jednak sopstvenom podskupu B1. Ali pošto A1((1,m(, ovo je u suprotnosti sa indukcijskom pretpostavkom.
Posljedica 1. Skup prirodnih brojeva je beskonačan.
Dokaz. Iz Peanoovih aksioma slijedi da je preslikavanje S:N®N\(0), S(x)=x( bijektivno. To znači da je N jednako svom vlastitom podskupu N\(0) i, na osnovu teoreme 1, nije konačan.
Posledica 2. Svaki neprazan konačan skup A je ekvivalentan jednom i samo jednom segmentu prirodnog niza.
Dokaz. Neka je A((1,m(i A((1,n(.). Zatim (1,m(((1,n(,, iz čega, prema teoremi 1, slijedi da je m=n). Zaista, ako pretpostavimo da je m
Korolar 2 nam omogućava da uvedemo definiciju.
Definicija 3. Ako je A((1,n(, tada se prirodni broj n naziva brojem elemenata skupa A, a proces uspostavljanja korespondencije jedan prema jedan između skupova A i (1,n( naziva se brojanje elemenata skupa A. Prirodno je uzeti u obzir broj elemenata praznog skupa broj nula.
Izlišno je govoriti o ogromnoj važnosti brojanja u praktičnom životu.
Imajte na umu da bi, znajući kvantitativno značenje prirodnog broja, bilo moguće definirati operaciju množenja sabiranjem, naime:
.
Namjerno nismo krenuli ovim putem kako bismo pokazali da samoj aritmetici nije potreban kvantitativni smisao: kvantitativni smisao prirodnog broja potreban je samo u primjenama aritmetike.

1.10. SISTEM PRIRODNIH BROJEVA KAO DISKRETAN POTPUNO UREĐEN SKUP.

Pokazali smo da je skup prirodnih brojeva potpuno uređen u odnosu na prirodni red. Štaviše, ((a(N) a
1. za bilo koji broj a(N postoji susjedni broj koji ga prati u odnosu 2. za bilo koji broj a(N\(0) postoji susjedni broj koji mu prethodi u odnosu A potpuno uređeni skup (A;() sa Svojstva 1 i 2 će se nazvati diskretnim potpuno uređenim skupom. Ispada da je potpuno uređeno svojstvo sistema prirodnih brojeva svojstva 1 i 2. Definirajmo relaciju “sljedi” na skupu A. na sljedeći način: a(=b, ako je b susjedni element nakon a u odnosu (. Jasno je da je najmanji element skupa A ne prati nijedan element i stoga je Peanov aksiom 1 zadovoljen.
Budući da je relacija (linearni red, onda za bilo koji element a postoji jedinstveni element koji ga slijedi i najviše jedan prethodni susjedni element. Ovo implicira valjanost aksioma 2 i 3. Neka je sada M bilo koji podskup skupa A za kojima su ispunjeni sledeći uslovi:
1) a0(M, gde je a0 najmanji element u A;
2) a(M (a((M.
Dokažimo da je M=N. Pretpostavimo suprotno, to jest, A\M((. Označimo sa b najmanji element u A\M. Pošto je a0(M, onda b(a0 i, prema tome, postoji element c takav da je c( =b Pošto c
Dakle, dokazali smo mogućnost još jedne definicije sistema prirodnih brojeva.
Definicija. Sistem prirodnih brojeva je svaki dobro uređen skup na kojem su zadovoljeni sljedeći uvjeti:
1. za bilo koji element postoji susedni element koji ga prati;
2. za bilo koji element osim najmanjeg, postoji susedni element koji mu prethodi.
Postoje i drugi pristupi definisanju sistema prirodnih brojeva, na kojima se ovde ne zadržavamo.

2. CIJELI I RACIONALNI BROJEVI.

2.1. DEFINICIJA I SVOJSTVA SISTEMA CIJELIH BROJA.
Poznato je da je skup cijelih brojeva u njihovom intuitivnom razumijevanju prsten u odnosu na sabiranje i množenje, a ovaj prsten sadrži sve prirodne brojeve. Također je jasno da u prstenu cijelih brojeva ne postoji odgovarajući podprsten koji bi sadržavao sve prirodne brojeve. Ispostavilo se da se ta svojstva mogu koristiti kao osnova za striktnu definiciju sistema cijelih brojeva. U paragrafima 2.2 i 2.3 će se dokazati ispravnost ove definicije.
Definicije 1. Sistem cijelih brojeva je algebarski sistem za koji su ispunjeni sljedeći uslovi:
1. Algebarski sistem je prsten;
2. Skup prirodnih brojeva je sadržan u, a sabiranje i množenje u prstenu na podskupu poklapaju se sa sabiranjem i množenjem prirodnih brojeva, tj.
3. (uvjet minimalnosti). Z je minimalni skup inkluzije sa svojstvima 1 i 2. Drugim riječima, ako podprsten prstena sadrži sve prirodne brojeve, tada je Z0=Z.
Definiciji 1 se može dati prošireni aksiomatski karakter. Početni koncepti u ovoj aksiomatskoj teoriji bit će:
1) Skup Z, čiji se elementi nazivaju cijeli brojevi.
2) Poseban cijeli broj nazvan nula i označen sa 0.
3) Ternarni odnosi + i (.
Kao i obično, N označava skup prirodnih brojeva sa sabiranjem (i množenjem (). U skladu sa definicijom 1, sistem cijelih brojeva je algebarski sistem (Z; +, (, N)) za koji vrijede sljedeći aksiomi:
1. (Aksiomi prstena.)
1.1.
Ovaj aksiom znači da je + binarna algebarska operacija na skupu Z.
1.2. ((a,b,c(Z) (a+b)+c=a+(b+c).)
1.3. ((a,b(Z) a+b=b+a.
1.4. ((a(Z) a+0=a, to jest, broj 0 je neutralan element u odnosu na sabiranje.
1.5. ((a(Z)((a((Z) a+a(=0, to jest, za svaki cijeli broj postoji suprotan broj a(.
1.6. ((a,b(Z)((! d(Z) a(b=d.
Ovaj aksiom znači da je množenje binarna algebarska operacija na skupu Z.
1.7. ((a,b,c(Z) (a(b)(c=a((b(c).).
1.8. ((a,b,c(Z) (a+b)(c=a(c+b(c, c((a+b)=c(a+c(b).
2. (Aksiomi koji povezuju prsten Z sa sistemom prirodnih brojeva.)
2.1. N(Z.
2.2. ((a,b(N) a+b=a(b.
2.3. ((a,b(N) a(b=a(b.
3. (Aksiom minimalnosti.)
Ako je Z0 podprsten prstena Z i N(Z0, onda je Z0=Z.
Zapazimo neka svojstva cjelobrojnog sistema.
1. Svaki cijeli broj može se predstaviti kao razlika dva prirodna broja. Ova reprezentacija je dvosmislena, sa z=a-b i z=c-d, gdje je a,b,c,d(N, ako i samo ako je a+d=b+c.
Dokaz. Označimo sa Z0 skup svih cijelih brojeva, od kojih se svaki može predstaviti kao razlika dva prirodna broja. Očigledno, ((a(N) a=a-0, pa prema tome N(Z0.
Zatim, neka je x,y(Z0, to jest, x=a-b, y=c-d, gdje je a,b,c,d(N. Tada je x-y=(a-b)-(c-d)=(a+d)-( b +c)=(a(d)-(b(c), x(y=(a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc)=(a(c(b)- ( a(d(b(c). Odavde je jasno da je x-y, x(y(Z0 i, prema tome, Z0) podprsten prstena Z koji sadrži skup N). Ali onda, prema aksiomu 3, Z0=Z i time je prvi dio svojstva 1 dokazan. Drugi iskaz ovog svojstva je očigledan.
2. Prsten cijelih brojeva je komutativni prsten sa jedinicom, a nula ovog prstena je prirodni broj 0, a jedinica ovog prstena je prirodni broj 1.
Dokaz. Neka je x,y(Z. Prema svojstvu 1 x=a-b, y=c-d, gdje je a,b,c,d(N. Tada je x(y=(a-b)((c-d)=(ac+bd)-( ad +bc)=(a(c(b(d)-(a(d(b(c),), y(x=(c-d)(a-b)=(ca+db)-(da+cb)=(c) ( a(d(b)-(d(a(c(b).). Dakle, zbog komutativnosti množenja prirodnih brojeva, zaključujemo da je xy=yx. Dokazana je komutativnost množenja u prstenu Z). preostali iskazi svojstva 2 slijede iz sljedećih očiglednih jednakosti, u kojima 0 i 1 označavaju prirodne brojeve nula i jedan: x+0=(a-b)+0=(a+(-b))+0=(a+0) +(-b)=(a(0)+ (-b)=a-b=x. x(1=(a-b)(1=a(1-b(1=a(1-b)(1=a-b=x) .

2.2. POSTOJANJE SISTEMA CIJELIH BROJEVA.

Celobrojni sistem je definisan u 2.1 kao minimalni inkluzioni prsten koji sadrži sve prirodne brojeve. Postavlja se pitanje: postoji li takav prsten? Drugim riječima, da li je sistem aksioma iz 2.1 konzistentan? Da bi se dokazala konzistentnost ovog sistema aksioma, potrebno je konstruisati njegovu interpretaciju u očigledno doslednoj teoriji. Takva teorija se može smatrati aritmetikom prirodnih brojeva.
Dakle, krenimo sa konstruisanjem interpretacije sistema aksioma 2.1. Skup ćemo smatrati početnim. Na ovom skupu definiramo dvije binarne operacije i binarnu relaciju. Pošto se sabiranje i množenje parova svodi na sabiranje i množenje prirodnih brojeva, onda je, što se tiče prirodnih brojeva, sabiranje i množenje parova komutativno, asocijativno, a množenje je distributivno u odnosu na sabiranje. Provjerimo, na primjer, komutativnost sabiranja parova: +===+.
Razmotrimo svojstva relacije ~. Pošto je a+b=b+a, onda je ~, odnosno relacija ~ refleksivna. Ako je ~, to jest, a+b1=b+a1, onda je a1+b=b1+a, odnosno ~. To znači da je relacija simetrična. Neka dalje ~ i ~. Tada su jednakosti a+b1=b+a1 i a1+b2=b1+a2 tačne. Sabiranjem ovih jednakosti dobijamo a+b2=b+a2, odnosno ~. To znači da je relacija ~ također tranzitivna i, prema tome, ekvivalencija. Klasa ekvivalencije koja sadrži par će biti označena sa. Dakle, klasa ekvivalencije može biti označena bilo kojim svojim parom i to u isto vrijeme
(1)
Skup svih klasa ekvivalencije označavamo sa. Naš zadatak je da pokažemo da će ovaj skup, uz odgovarajuću definiciju operacija sabiranja i množenja, biti interpretacija sistema aksioma iz 2.1. Definiramo operacije na skupu jednakostima:
(2)
(3)
Ako i, to jest, na skupu N su jednakosti a+b(=b+a(, c+d(=a+c()) tačne, onda je jednakost (a+c)+(b(+d() )=(b +d)+(a(+c()), iz čega, na osnovu (1), dobijamo to. To znači da jednakost (2) definira jedinstvenu operaciju sabiranja na skupu, neovisnu o Izbor parova koji označavaju klase koje se dodaju Provjerava se na sličan način i jedinstvenost množenja klasa Dakle, jednakosti (2) i (3) definiraju binarne algebarske operacije.
Pošto se sabiranje i množenje klasa svodi na sabiranje i množenje parova, ove operacije su komutativne, asocijativne, a množenje klasa je distributivno u odnosu na sabiranje. Iz jednakosti zaključujemo da je klasa neutralan element u odnosu na sabiranje i za svaku klasu postoji klasa suprotna njoj. To znači da je skup prsten, odnosno da su aksiomi grupe 1 iz 2.1 zadovoljeni.
Razmotrimo podskup prstena. Ako je a(b, onda prema (1) , a ako je a
Na skupu definišemo binarnu relaciju (slijedi (; naime, nakon klase slijedi klasa, gdje je x(prirodni broj nakon x. Klasa koja slijedi prirodno je označena sa (. Jasno je da klasa ne slijedi bilo koju klasu i za svaku klasu postoji klasa koja joj sledi i, štaviše, samo jedna. Ovo poslednje znači da relacija (sledi (je unarna algebarska operacija na skupu N.
Hajde da razmotrimo mapiranje. Očigledno, ovo preslikavanje je bijektivno i uslovi f(0)= , f(x()==(=f(x)(). To znači da je preslikavanje f izomorfizam algebre (N;0,() na algebru (;, (). Drugim riječima, algebra (;,() je interpretacija Peanoovog aksiomskog sistema. Identificiranjem ovih izomorfnih algebri, odnosno pretpostavkom da je sam skup N podskup od Ista identifikacija u očiglednim jednakostima dovodi do jednakosti a(c=ac), što znači da se sabiranje i množenje u prstenu na podskupu poklapaju sa sabiranjem i množenjem prirodnih brojeva. Dakle, utvrđena je zadovoljivost aksioma grupe 2. Ostaje da se proveri zadovoljivost aksioma minimalnosti.
Neka je Z0 bilo koji podprsten prstena koji sadrži skup N i. Imajte na umu da i, stoga, . Ali pošto je Z0 prsten, razlika ovih klasa pripada i prstenu Z0. Iz jednakosti -= (= zaključujemo da je (Z0 i, prema tome, Z0=. Dokazana je konzistentnost sistema aksioma u klauzuli 2.1.).

2.3. JEDINSTVO SISTEMA CIJELIH BROJEVA.

Postoji samo jedan sistem cijelih brojeva kako se oni intuitivno shvataju. To znači da sistem aksioma koji definiše cele brojeve mora biti kategoričan, odnosno, bilo koje dve interpretacije ovog sistema aksioma moraju biti izomorfne. Kategoričan znači da, do izomorfizma, postoji samo jedan sistem cijelih brojeva. Uvjerimo se da je to zaista tako.
Neka su (Z1;+,(,N) i (Z2;(,(,N)) bilo koje dvije interpretacije sistema aksioma u klauzuli 2.1. Dovoljno je dokazati postojanje takvog bijektivnog preslikavanja f:Z1®Z2 za koje prirodni brojevi ostaju fiksni i osim toga, za sve elemente x i y iz prstena Z1 vrijede sljedeće jednakosti:
(1)
. (2)
Imajte na umu da pošto N(Z1 i N(Z2), onda
, a(b=a(b. (3)
Neka je x(Z1 i x=a-b, gdje je a,b(N. Povežimo ovom elementu x=a-b element u=a(b, gdje je (oduzimanje u prstenu Z2. Ako je a-b=c-d, onda a+d =b+c, ​​odakle, na osnovu (3), a(d=b(c i, prema tome, a(b=c(d. To znači da naša korespondencija ne zavisi od predstavnika elementa x u oblik razlike dva prirodna broja i time je određeno preslikavanje f: Z1®Z2, f(a-b)=a(b. Jasno je da ako je v(Z2 i v=c(d, onda je v=f(c-d) To znači da je svaki element iz Z2 slika pod preslikavanjem f i, prema tome, preslikavanje f je surjektivno.
Ako je x=a-b, y=c-d, gdje je a,b,c,d(N i f(x)=f(y), tada je a(b=c(d. Ali tada a(d=b(d, u sila (3) a+d=b+c, ​​odnosno a-b=c-d Dokazali smo da jednakost f(x)=f(y) implicira jednakost x=y, odnosno preslikavanje f. injektivno.
Ako je a(N, onda je a=a-0 i f(a)=f(a-0)=a(0=a. To znači da su prirodni brojevi fiksirani pod preslikavanjem f. Dalje, ako je x=a-b, y=c-d, gdje je a,b,c,d(N, zatim x+y=(a+c)- i f(x+y) = (a+c)((b+d)=(a(c) )((b (d)=(a(b)((c(d)=f(x)+f(y). Validnost jednakosti (1)) je dokazana. Provjerimo jednakost (2). Pošto je f( xy)=(ac+bd )((ad+bc)=(a(c(b(d)(a(d(b(c),)), a sa druge strane f(x)(f(y)=( a(b)((c (d)=(a(c(b(d)((a(d(b(c).)). To znači f(xy)=f(x)(f(y)), čime se završava dokaz kategoričnosti sistema aksioma 2.1.

2.4. DEFINICIJA I SVOJSTVA SISTEMA RACIONALNIH BROJEVA.

Skup Q racionalnih brojeva u njihovom intuitivnom razumijevanju je polje za koje je skup cijelih brojeva Z podprsten. Očigledno je da ako je Q0 potpolje polja Q koje sadrži sve cijele brojeve, onda je Q0=Q. Ova svojstva ćemo koristiti kao osnovu za striktnu definiciju sistema racionalnih brojeva.
Definicija 1. Sistem racionalnih brojeva je algebarski sistem (Q;+,(;Z) za koji su ispunjeni sljedeći uslovi:
1. algebarski sistem (Q;+,() je polje;
2. prsten Z cijelih brojeva je podprsten polja Q;
3. (uslov minimalnosti) ako potpolje Q0 polja Q sadrži podprsten Z, tada je Q0=Q.
Ukratko, sistem racionalnih brojeva je minimalno inkluzivno polje koje sadrži podprsten cijelih brojeva. Moguće je dati detaljniju aksiomatsku definiciju sistema racionalnih brojeva.
Teorema. Svaki racionalni broj x može se predstaviti kao količnik dva cijela broja, tj
, gdje je a,b(Z, b(0. (1)
Ova reprezentacija je dvosmislena i gdje su a,b,c,d(Z, b(0, d(0.
Dokaz. Označimo sa Q0 skup svih racionalnih brojeva koji se mogu predstaviti u obliku (1). Dovoljno je osigurati da je Q0=Q. Neka je, gdje je a,b,c,d(Z, b(0, d(0. Tada prema svojstvima polja): , a za c(0. To znači da je Q0 zatvoren pod oduzimanjem i dijeljenjem brojevima ne jednako nuli, i, prema tome, potpolje polja Q. Pošto je svaki cijeli broj a reprezentabilan u obliku, onda je Z(Q0. Odavde, zbog uvjeta minimalnosti, slijedi da je Q0=Q. Dokaz drugi dio teoreme je očigledan.

2.5. POSTOJANJE SISTEMA RACIONALNIH BROJEVA.

Sistem racionalnih brojeva je definisan kao minimalno polje koje sadrži podprsten celih brojeva. Prirodno se postavlja pitanje: da li takvo polje postoji, odnosno da li je sistem aksioma koji definiše racionalne brojeve konzistentan? Da bi se dokazala konzistentnost, potrebno je konstruisati interpretaciju ovog sistema aksioma. U ovom slučaju se može osloniti na postojanje sistema cijelih brojeva. Prilikom konstruisanja interpretacije početnom tačkom smatrat ćemo skup Z(Z\(0), na kojem definiramo dvije binarne algebarske operacije
, (1)
(2)
i binarnu relaciju
(3)
Svrsishodnost upravo ove definicije operacija i relacija proizilazi iz činjenice da će u interpretaciji koju gradimo par izraziti posebno.
Lako je provjeriti da su operacije (1) i (2) komutativne, asocijativne i da je množenje distributivno u odnosu na sabiranje. Sva ova svojstva se testiraju u odnosu na odgovarajuća svojstva sabiranja i množenja cijelih brojeva. Provjerimo, na primjer, asocijativnost množenja parova: .
Slično, provjerava se da je relacija ~ ekvivalencija, te je stoga skup Z(Z\(0) podijeljen na klase ekvivalencije. Skup svih klasa označavamo sa, a klasu koja sadrži par sa. , klasa se može označiti bilo kojim svojim parom i Na osnovu uslova (3) dobijamo:
. (4)
Naš zadatak je definirati operaciju sabiranja i množenja na skupu tako da on bude polje. Ove operacije definiramo jednakostima:
, (5)
(6)
Ako je, to jest, ab1=ba1 i, odnosno cd1=dc1, onda množenjem ovih jednakosti dobijamo (ac)(b1d1)=(bd)(a1c1), što nas znači da nas ovo uvjerava da je jednakost (6 ) zaista definira jedinstvenu operaciju na skupu klasa, neovisno o izboru predstavnika u svakoj klasi. Jedinstvenost operacije (5) se provjerava na isti način.
Pošto se sabiranje i množenje klasa svodi na sabiranje i množenje parova, operacije (5) i (6) su komutativne, asocijativne, a množenje je distributivno u odnosu na sabiranje.
Iz jednakosti zaključujemo da je klasa neutralni elementi s obzirom na sabiranje i za svaku klasu postoji element suprotan njoj. Slično, iz jednakosti slijedi da je klasa neutralan element u odnosu na množenje i za svaku klasu postoji inverzna klasa. To znači da je to polje u odnosu na operacije (5) i (6); prvi uslov u definiciji klauzule 2.4 je zadovoljen.
Razmotrimo sljedeći set. Očigledno, . Skup je zatvoren u smislu oduzimanja i množenja i stoga je podprsten polja. Zaista, . Razmotrimo sljedeće mapiranje, . Surjektivnost ovog mapiranja je očigledna. Ako je f(x)=f(y), to jest, onda je x(1=y(1 ili x=y). Otuda je preslikavanje f također injektivno. Štaviše, . Dakle, preslikavanje f je izomorfizam prstena u Identificirajući da su to izomorfni prstenovi, možemo pretpostaviti da je prsten Z podprsten, odnosno ispunjen je uvjet 2. u paragrafu 2.4 potpolje i, i neka polja, onda kvocijent ovih elemenata takođe pripada polju.

2.6. JEDINSTVO SISTEMA RACIONALNIH BROJEVA.

Pošto postoji samo jedan sistem racionalnih brojeva u njihovom intuitivnom razumevanju, aksiomatska teorija racionalnih brojeva, koja je ovde predstavljena, mora biti kategorična. Kategoričan znači da, do izomorfizma, postoji samo jedan sistem racionalnih brojeva. Pokažimo da je to zaista tako.
Neka su (Q1;+, (; Z) i (Q2; (, (; Z)) bilo koja dva sistema racionalnih brojeva. Dovoljno je dokazati postojanje bijektivnog preslikavanja pod kojim svi cijeli brojevi ostaju fiksni i pored toga , uslovi su ispunjeni
(1)
(2)
za bilo koje elemente x i y iz polja Q1.
Kvocijent elemenata a i b u polju Q1 će biti označen sa, au polju Q2 sa a:b. Kako je Z podprsten svakog od polja Q1 i Q2, tada su za bilo koje cijele brojeve a i b jednakosti tačne
, . (3)
Neka i, gdje, . Pridružimo ovom elementu x element y=a:b iz polja Q2. Ako je jednakost tačna u polju Q1, gdje, prema teoremi 2.4 u prstenu Z vrijedi jednakost ab1=ba1, ili na osnovu (3) vrijedi jednakost, a zatim po istoj teoremi jednakost a:b= a1:b1 važi u polju Q2 . To znači da pridružujući element y=a:b iz polja Q2 elementu iz polja Q1, definiramo preslikavanje, .
Bilo koji element iz polja Q2 može se predstaviti kao a:b, gdje je i, prema tome, slika elementa iz polja Q1. To znači da je preslikavanje f surjektivno.
Ako, onda u polju Q1 i zatim. Dakle, preslikavanje f je bijektivno i svi cijeli brojevi ostaju fiksni. Ostaje da se dokaže valjanost jednakosti (1) i (2). Neka i, gdje su a,b,c,d(Z, b(0, d(0. Tada i, odakle, na osnovu (3)) f(x+y)=f(x)(f(y). Slično, i gdje.
Izomorfizam interpretacija (Q1;+, (; Z) i (Q2; (, (; Z)) je dokazan.

ODGOVORI, UPUTSTVA, RJEŠENJA.

1.1.1. Rješenje. Neka je tačan uslov aksioma 4 (osobina prirodnih brojeva takva da ((0) i. Neka. Tada M zadovoljava premisu aksioma 4, pošto ((0)(0(M i. Stoga, M=N, tj. svaki prirodni broj ima svojstvo (. Obrnuto. Pretpostavimo da je za bilo koje svojstvo (iz činjenice da ((0) i, slijedi. Neka je M podskup od N takav da je 0(M i. Pokažimo da M = N. Uvedemo svojstvo (, pod pretpostavkom. Tada je ((0), pošto, i. Dakle, dakle, M=N.
1.1.2. Odgovor: Tvrdnje 1. i 4. Peano aksioma su tačne. Tvrdnja 2. aksioma je netačna.
1.1.3. Odgovor: tvrdnje 2,3,4 Peanovih aksioma su tačne. Tvrdnja 1. aksioma je netačna.
1.1.4. Izjave 1, 2, 3 Peanovih aksioma su tačne. Tvrdnja 4. aksioma je netačna. Smjer: dokazati da skup zadovoljava premisu aksioma 4, formulisanu u terminima operacije ali.
1.1.5. Savjet: da biste dokazali istinitost tvrdnje aksioma 4, razmotrite podskup M od A koji zadovoljava uslove: a) 1((M, b) i skup. Dokažite to. Tada je M=A.
1.1.6. Tvrdnje 1., 2. i 3. Peano aksioma su tačne. Izjava Peanovog 4. aksioma je lažna.
1.6.1. a) Rješenje: Prvo dokažite da ako je 1 ujutro. Nazad. Pusti me
1.6.2. a) Rješenje: Pretpostavimo suprotno. Neka M označi skup svih brojeva koji nemaju svojstvo (. Po pretpostavci, M((. Prema teoremi 1, M ima najmanji element n(0. Bilo koji broj x
1.8.1. f) Koristite stavke e) i stavke c): (a-c)+(c-b)=(a+c)-(c+b)=a-b, dakle, (a-b)-(c-b)=a-c.
h) Koristite imovinu.
k) Koristite tačku b).
m) Koristite stavke b) i stavke h).
1.8.2. c) Imamo, dakle, . Dakle, .
d) Imamo. Dakle, .
i) .
1.8.3. a) Ako su (i (različita rješenja jednadžbe ax2+bx=c, onda a(2+b(=a(2+b().). S druge strane, ako je, na primjer, (b)) Neka (i ( biti različita rješenja jednadžbe. Ako ((. Međutim (2=a(+b>a(, dakle, (>a. Imamo kontradikciju.
c) Neka (i ( su različiti korijeni jednadžbe i (>(. Tada je 2((-()=(a(2+b))-(a(2+b)=a((-())(( (+( ) Dakle a((+()=2, ali (+(>2, dakle a((+()>2, što je nemoguće.
1.8.4. a) x=3; b) x=y=2. Hint: pošto i, imamo x=y; c) x=y(y+2), y - bilo koji prirodni broj; d) x=y=2; e) x=2, y=1; f) Do permutacija x=1, y=2, z=3. Rješenje: Neka je, na primjer, x(y(z. Tada je xyz=x+y+z(3z, tj. xy(3. Ako je xy=1, onda je x=y=1 i z=2+z, što je nemoguće). Ako je xy=2, tada je x=1, y=2, 2z=3+z, tj. ako je xy=3, onda je x=1, y=3, tj. z=2 pretpostavka y(z.
1.8.5. b) Ako je x=a, y=b rješenje jednačine, tada je ab+b=a, tj. a>ab, što je nemoguće. d) Ako je x=a, y=b rješenje jednačine, tada je b
1.8.6. a) x=ky, gdje su k,y proizvoljni prirodni brojevi i y(1. b) x je proizvoljan prirodan broj, y=1. c) x je proizvoljan prirodan broj, y=1. d) Ne postoji rješenje. e) x1=1; x2=2; x3=3. e) x>5.
1.8.7. a) Ako je a=b, onda je 2ab=a2+b2. Neka, na primjer, a

LITERATURA

1. Redkov M.I. Numerički sistemi. /Metodičke preporuke za izučavanje predmeta "Numerički sistemi". Dio 1.- Omsk: Omski državni pedagoški institut, 1984.- 46 str.
2. Ershova T.I. Numerički sistemi. /Metodička izrada za praktičnu nastavu - Sverdlovsk: SGPI, 1981. - 68 str.