Закръгляване надолу до 1000. Закръгляване на число до най-близката дробна стойност

Често използваме закръгляване в ежедневието. Ако разстоянието от дома до училището е 503 метра. Можем да кажем, като закръглим стойността, че разстоянието от дома до училището е 500 метра. Тоест доближихме числото 503 до по-лесно възприеманото число 500. Например, един хляб тежи 498 грама, след което чрез закръгляване на резултата можем да кажем, че един хляб тежи 500 грама.

закръгляване- това е приближаването на число към „по-леко“ число за човешкото възприятие.

Резултатът от закръгляването е приблизителенномер. Закръгляването се обозначава със символа ≈, такъв символ се чете „приблизително равен“.

Можете да напишете 503≈500 или 498≈500.

Такъв запис се чете като „петстотин три е приблизително равно на петстотин“ или „четиристотин деветдесет и осем е приблизително равно на петстотин“.

Да вземем друг пример:

44 71≈4000 45 71≈5000

43 71≈4000 46 71≈5000

42 71≈4000 47 71≈5000

41 71≈4000 48 71≈5000

40 71≈4000 49 71≈5000

В този пример числата са закръглени до хилядни. Ако разгледаме модела на закръгляване, ще видим, че в единия случай числата са закръглени надолу, а в другия - нагоре. След закръгляване всички останали числа след хилядните бяха заменени с нули.

Правила за закръгляване на числата:

1) Ако цифрата, която трябва да се закръгли, е равна на 0, 1, 2, 3, 4, тогава цифрата на цифрата, към която отива закръглянето, не се променя, а останалите числа се заменят с нули.

2) Ако цифрата, която трябва да се закръгли, е равна на 5, 6, 7, 8, 9, тогава цифрата на цифрата, до която се закръглява, става с 1 повече, а останалите числа се заменят с нули.

Например:

1) Закръглете до десетиците на 364.

Цифрата на десетиците в този пример е числото 6. След шестицата следва числото 4. Според правилото за закръгляване числото 4 не променя цифрата на десетиците. Пишем нула вместо 4. Получаваме:

36 4 ≈360

2) Закръглете до стотните на 4781.

Цифрата на стотните в този пример е числото 7. След седемте е числото 8, което влияе върху това дали цифрата на стотните се променя или не. Според правилото за закръгляване числото 8 увеличава мястото на стотните с 1, а останалите числа се заменят с нули. Получаваме:

47 8 1≈48 00

3) Закръглете до хилядните на 215936.

Хилядното място в този пример е числото 5. След петицата е числото 9, което влияе върху това дали хилядното място се променя или не. Според правилото за закръгляване числото 9 увеличава хилядното място с 1, а останалите числа се заменят с нули. Получаваме:

215 9 36≈216 000

4) Закръглете до десетките хиляди на 1 302 894.

Цифрата хиляда в този пример е числото 0. След нулата има число 2, което влияе върху това дали цифрата десетки хиляди се променя или не. Според правилото за закръгляване числото 2 не променя цифрата на десетки хиляди, ние заместваме тази цифра и всички цифри от по-ниските цифри с нула. Получаваме:

130 2 894≈130 0000

Ако точната стойност на числото не е важна, тогава стойността на числото се закръгля и можете да извършвате изчислителни операции с приблизителни стойности. Резултатът от изчислението се извиква оценка на резултата от действията.

Например: 598⋅23≈600⋅20≈12000 е сравнимо с 598⋅23=13754

Използва се оценка на резултата от действията, за да се изчисли бързо отговорът.

Примери за задачи по закръгляване на темата:

Пример #1:
Определете до каква цифра се извършва закръгляването:
а) 3457987≈3500000 б) 4573426≈4573000 в) 16784≈17000
Нека си припомним кои са цифрите на числото 3457987.

7 - единица цифра,

8 - десетки,

9 - стотни място,

7 - хилядно място,

5 - цифра от десетки хиляди,

4 - стотици хиляди цифри,
3 е цифрата на милионите.
Отговор: а) 3 4 57 987≈3 5 00 000 цифри от стотици хиляди б) 4 573 426 ≈ 4 573 000 цифри от хиляди в) 16 7 841 ≈17 0 000 цифри от десетки хиляди.

Пример #2:
Закръглете числото до 5 999 994 места: а) десетици б) стотици в) милиони.
Отговор: а) 5 999 994 ≈5 999 990 б) 5 999 99 4≈6 000 000 6 000 000.

Методи

Различните полета могат да използват различни методи на закръгляване. При всички тези методи "допълнителните" знаци се нулират (изхвърлят), а знакът пред тях се коригира според някакво правило.

• Закръгляване до най-близкото цяло число(Английски) закръгляване) - най-често използваното закръгляване, при което числото се закръгля до цяло число, модулът на разликата, с който това число има минимум. Като цяло, когато число в десетичната система е закръглено до N-тия знак след десетичната запетая, правилото може да се формулира по следния начин:
  • ако N+1 знак< 5 , тогава знакът N се запазва, а N+1 и всички следващи се нулират;
  • ако N+1 знака ≥ 5, тогава N-тият знак се увеличава с единица, а N + 1 и всички следващи се нулират;
  Например: 11.9 → 12; -0,9 → -1; −1,1 → −1; 2,5 → 3.
• Закръгляване надолу по модул(закръгляване към нула, цяло число англ. fix, truncate, integer) е най-„простото“ закръгляване, тъй като след нулиране на „допълнителните“ знаци, предишният знак се запазва. Например 11,9 → 11; −0,9 → 0; −1,1 → −1).
• Закръгляване нагоре(закръглете до +∞, закръглете нагоре, англ. таван) - ако нулевите знаци не са равни на нула, предходният знак се увеличава с единица, ако числото е положително, или се запазва, ако числото е отрицателно. На икономически жаргон - закръгляване в полза на продавача, кредитора(на лицето, което получава парите). По-специално, 2,6 → 3, −2,6 → −2.
• Закръгляване надолу(закръглете до −∞, закръглете надолу, англ. етаж) - ако нулевите знаци не са равни на нула, предходният знак се запазва, ако числото е положително, или се увеличава с единица, ако числото е отрицателно. На икономически жаргон - закръгляване в полза на купувача, длъжника(лицето, което дава парите). Тук 2,6 → 2, −2,6 → −3.
• Закръгляване по модул(закръгляване към безкрайност, закръгляване встрани от нула) е сравнително рядко използвана форма на закръгляване. Ако нулевите знаци не са равни на нула, предходният знак се увеличава с единица.

Опции за закръгляване 0,5 до най-близкото цяло число

Правилата за закръгляване изискват отделно описание за специалния случай, когато (N+1)-та цифра = 5 и следващите цифри са нула. Ако във всички останали случаи закръгляването до най-близкото цяло число дава по-малка грешка при закръгляване, то този конкретен случай се характеризира с това, че за едно закръгляване формално е безразлично дали е „нагоре“ или „надолу“ - и в двата случая, въвежда се грешка от точно 1/2 от най-малката цифра. За този случай има следните варианти на правилото за закръгляване до най-близкото цяло число:

• Математическо закръгляване- закръгляването е винаги нагоре (предходната цифра винаги се увеличава с единица).
• Банково закръгляване(Английски) банкерско закръгляване) - закръгляването в този случай става до най-близкото четно число, т.е. 2,5 → 2, 3,5 → 4.
• Случайно закръгляване- закръгляване нагоре или надолу произволно, но с еднаква вероятност (може да се използва в статистиката).
• Алтернативно закръгляване- Закръгляването се извършва последователно нагоре или надолу.

Във всички случаи, когато (N + 1)-ият знак не е равен на 5 или следващите знаци не са равни на нула, закръгляването се извършва по обичайните правила: 2,49 → 2; 2.51 → 3.

Математическото закръгляване просто формално съответства на общото правило за закръгляване (виж по-горе). Недостатъкът му е, че при закръгляване на голям брой стойности може да се получи натрупване. грешки при закръгляване. Типичен пример: закръгляване до цели рубли на парични суми. Така че, ако в регистъра от 10 000 реда има 100 реда със суми, съдържащи стойност от 50 по отношение на копейки (и това е много реалистична оценка), тогава, когато всички такива редове се закръглят „нагоре“, сумата от „ общо” според закръгления регистър ще бъде с 50 рубли повече от точния .

Другите три варианта са просто измислени, за да се намали общата грешка на сумата при закръгляване на голям брой стойности. Закръгляването „до най-близкото четно“ предполага, че при голям брой закръглени стойности, които имат 0,5 в закръгления остатък, средно половината ще бъде отляво и половината отдясно на най-близкото четно, като по този начин грешките при закръгляне ще се отменят един друг навън. Строго погледнато, това предположение е вярно само когато наборът от числа, които се закръглят, има свойствата на произволна серия, което обикновено е вярно в счетоводните приложения, където говорим за цени, суми в сметки и т.н. Ако предположението е нарушено, тогава закръгляването „до дори“ може да доведе до систематични грешки. За такива случаи следните два метода работят най-добре.

Последните две опции за закръгляване гарантират, че приблизително половината от специалните стойности са закръглени в едната посока и половината в другата. Но прилагането на такива методи на практика изисква допълнителни усилия за организиране на изчислителния процес.

Приложения

Закръгляването се използва за работа с числа в рамките на броя на цифрите, който съответства на действителната точност на изчислителните параметри (ако тези стойности са реални стойности, измерени по един или друг начин), реално постижимата точност на изчислението или желаната точност на резултата. В миналото закръгляването на междинните стойности и резултатът беше от практическо значение (тъй като при изчисляване на хартия или при използване на примитивни устройства като сметалото, като се вземат предвид допълнителните десетични знаци, може сериозно да се увеличи обемът на работата). Сега той остава елемент на научна и инженерна култура. Освен това в счетоводните приложения може да се изисква използването на закръгляния, включително междинни, за защита срещу изчислителни грешки, свързани с крайния битов капацитет на изчислителните устройства.

Използване на закръгляване при работа с числа с ограничена точност

Реалните физични величини винаги се измерват с определена крайна точност, която зависи от инструментите и методите на измерване и се оценява чрез максималното относително или абсолютно отклонение на неизвестната действителна стойност от измерената, което в десетично представяне на стойността съответства или до определен брой значещи цифри или до определена позиция в записа на число, всички числа след (вдясно) от които са незначими (те се намират в рамките на грешката на измерване). Самите измерени параметри се записват с такъв брой знаци, че всички цифри са надеждни, може би последната е съмнителна. Грешката в математическите операции с числа с ограничена точност се запазва и се променя според известните математически закони, така че когато в по-нататъшни изчисления се появят междинни стойности и резултати с голям брой цифри, само част от тези цифри са значими. Останалите цифри, присъстващи в стойностите, всъщност не отразяват никаква физическа реалност и отнемат само време за изчисления. В резултат на това междинните стойности и резултатите от изчисленията с ограничена точност се закръглят до броя на десетичните знаци, който отразява действителната точност на получените стойности. На практика обикновено се препоръчва да се съхранява още една цифра в междинни стойности за дълги "верижни" ръчни изчисления. При използване на компютър междинните закръгляния в научни и технически приложения най-често губят значението си и се закръглява само резултатът.

Така например, ако сила от 5815 gf е дадена с точност до грам сила и дължина на рамото от 1,4 m с точност до сантиметър, тогава моментът на сила в kgf съгласно формулата, в случая на формално изчисление с всички знаци, ще бъде равно на: 5,815 kgf 1,4 m = 8,141 kgf m. Въпреки това, ако вземем предвид грешката на измерване, тогава получаваме, че граничната относителна грешка на първата стойност е 1/5815 ≈ 1,7 10 −4 , второ - 1/140 ≈ 7,1 10 −3 , относителната грешка на резултата според правилото за грешка на операцията за умножение (при умножаване на приблизителни стойности относителните грешки се сумират) ще бъде 7,3 10 −3 , което съответства на максималната абсолютна грешка на резултата ±0,059 kgf m! Тоест в действителност, като се вземе предвид грешката, резултатът може да бъде от 8,082 до 8,200 kgf m, като по този начин в изчислената стойност от 8,141 kgf m само първата цифра е напълно надеждна, дори втората вече е съмнителна! Ще бъде правилно да закръглите резултата от изчислението до първата съмнителна цифра, т.е. до десети: 8,1 kgf m, или, ако е необходимо, по-точна индикация за границата на грешка, да я представите във форма, закръглена до едно или две десетични знаци с указание за грешката: 8,14 ± 0,06 kgf m.

Емпирични правила на аритметиката със закръгляване

В случаите, когато не е необходимо точно да се вземат предвид изчислителните грешки, а трябва само да се оцени приблизително броят на точните числа в резултат на изчислението по формулата, можете да използвате набор от прости правила за закръглени изчисления:

1. Всички необработени стойности се закръглят до действителната точност на измерване и се записват с подходящия брой значещи цифри, така че в десетичната система всички цифри да са надеждни (позволява се последната цифра да е съмнителна). Ако е необходимо, стойностите се записват със значими нули отдясно, така че действителният брой надеждни знаци да бъде посочен в записа (например, ако дължина от 1 m действително се измерва до най-близкия сантиметър, „1,00 m“ е написано така, че да може да се види, че два знака са надеждни в записа след десетичната запетая), или точността е изрично посочена (например 2500 ± 5 m - тук само десетките са надеждни и трябва да се закръглят до тях) .
2. Междинните стойности се закръглят с една "резервна" цифра.
3. При събиране и изваждане резултатът се закръгля до последния знак след десетичната запетая на най-малко точния от параметрите (например при изчисляване на стойност от 1,00 m + 1,5 m + 0,075 m, резултатът се закръгля до десети от метъра, т.е. е до 2,6 m). В същото време се препоръчва да се извършват изчисления в такъв ред, че да се избегне изваждането на числа, които са близки по големина, и да се извършват операции с числа, ако е възможно, във възходящ ред на техните модули.
4. При умножение и деление резултатът се закръгля до най-малкия брой значещи цифри, които имат параметрите (например при изчисляване на скоростта на равномерно движение на тяло на разстояние 2,5 10 2 m, за 600 s, резултатът трябва се закръгля до 4,2 m/s, тъй като разстоянието има две цифри, а времето има три, като се приеме, че всички цифри в записа са значими).
5. При изчисляване на стойността на функцията f(x)необходимо е да се оцени стойността на модула на производната на тази функция в близост до изчислителната точка. Ако (|f"(x)| ≤ 1), тогава резултатът от функцията е точен до същия десетичен знак като аргумента. В противен случай резултатът съдържа по-малко точни знаци след десетичната запетая от сумата дневник 10 (|f"(x)|), закръглено до най-близкото цяло число.

Въпреки нестриктността, горните правила работят доста добре на практика, по-специално поради доста високата вероятност за взаимно отмяна на грешки, което обикновено не се взема предвид, когато грешките се вземат точно предвид.

Грешки

Доста често се злоупотребява с некръгли числа. Например:

• Запишете числата с ниска точност в незакръглена форма. В статистиката: ако 4 души от 17 отговорят с „да“, тогава те пишат „23,5%“ (докато „24%“ е правилно).
• Потребителите на показалеца понякога мислят така: „показателят спря между 5,5 и 6 по-близо до 6, нека бъде 5,8“ - това също е забранено (градуирането на устройството обикновено съответства на действителната му точност). В този случай трябва да кажете "5,5" или "6".

Вижте също

• Обработка на наблюдение
• Грешки при закръгляване

Бележки

Литература

• Хенри С. Уорън, младши Глава 3// Алгоритмични трикове за програмисти = Hacker's Delight. - М .: Williams, 2007. - S. 288. - ISBN 0-201-91465-4

Закръгляването на числа е най-простата математическа операция. За да можете да закръгляте правилно числата, трябва да знаете три правила.

Правило 1

Когато закръгляме число до определена цифра, трябва да се отървем от всички цифри вдясно от тази цифра.

Например, трябва да закръглим числото 7531 до най-близката стотица. Това число е петстотин. Вдясно от тази категория са числата 3 и 1. Превръщаме ги в нули и получаваме числото 7500. Тоест, закръглявайки числото 7531 до стотици, получаваме 7500.

При закръгляване на дробни числа всичко се случва по същия начин, само допълнителните цифри могат просто да бъдат изхвърлени. Да кажем, че трябва да закръглим числото 12,325 до десети. За целта след десетичната запетая трябва да оставим една цифра - 3, и да изхвърлим всички числа отдясно. Резултатът от закръгляването на числото 12,325 до десети е 12,3.

Правило 2

Ако вдясно от оставащата цифра изхвърлената цифра е 0, 1, 2, 3 или 4, тогава цифрата, която оставяме, не се променя.

Това правило работи в предишните два примера.

И така, при закръгляване на числото 7531 до стотици, най-близката цифра до изхвърлената цифра беше тройка. Следователно числото, което оставихме - 5 - не се е променило. Резултатът от закръгляването е 7500.

По подобен начин, когато 12,325 беше закръглено до десети, цифрата, която изпуснахме след тройката, беше две. Следователно най-дясната от останалите цифри (три) не се е променила по време на закръгляването. Оказа се 12.3.

Правило 3

Ако най-лявата от изхвърлените цифри е 5, 6, 7, 8 или 9, тогава цифрата, до която закръгляме, се увеличава с единица.

Например, трябва да закръглите числото 156 до десетки. В това число има 5 десетици. Мястото на единиците, от което ще се отървем, е числото 6. Това означава, че трябва да увеличим мястото на десетиците с едно. Следователно, когато закръгляме числото 156 до десетки, получаваме 160.

Помислете за пример с дробно число. Например, ще закръглим 0,238 до най-близката стотна. По правило 1 трябва да изхвърлим осмицата, която е вдясно от стотното място. И според правило 3, трябва да увеличим трите на стотно място с едно. В резултат на това, закръгляйки числото 0,238 до стотни, получаваме 0,24.

Нека да разгледаме примери как да закръглим до десети от числото, като използваме правилата за закръгляване.

Правило за закръгляване на числата до десети.

За да закръглите десетична запетая до десети, трябва да оставите само една цифра след десетичната запетая и да изхвърлите всички останали цифри след нея.

Ако първата от изхвърлените цифри е 0, 1, 2, 3 или 4, тогава предишната цифра не се променя.

Ако първата от изхвърлените цифри е 5, 6, 7, 8 или 9, тогава предишната цифра се увеличава с единица.

Примери.

Закръглете до десети:

За да закръглите число до десети, оставете първата цифра след десетичната запетая и изхвърлете останалите. Тъй като първата изхвърлена цифра е 5, увеличаваме предишната цифра с единица. Те гласят: "Двадесет и три цяло седемдесет и пет стотни е приблизително равно на двадесет и три цяло осем."

За да закръглите това число до десети, оставете само първата цифра след десетичната запетая, изхвърлете останалите. Първата изхвърлена цифра е 1, така че предишната цифра не се променя. Те гласят: "Триста четиридесет и осем точка тридесет и една стотна е приблизително равно на триста четиридесет и една точка три."

Закръглявайки до десети, оставяме една цифра след десетичната запетая и изхвърляме останалите. Първата от изхвърлените цифри е 6, което означава, че увеличаваме предходната с една. Те гласят: "Четиридесет и девет точка деветстотин шестдесет и две хилядни е приблизително равно на петдесет точка нула десети."

Закръгляме до десети, така че след запетаята оставяме само първата от цифрите, останалите се изхвърлят. Първата от изхвърлените цифри е 4, което означава, че оставяме предишната цифра непроменена. Те гласят: "Седем цяло двадесет и осем хилядни е приблизително равно на седем цяло нула десети."

За да се закръгли до десети, това число оставя една цифра след десетичната запетая и изхвърлете всички следващи след нея. Тъй като първата изхвърлена цифра е 7, следователно добавяме единица към предишната. Те гласят: "Петдесет и шест цяло осем хиляди седемстотин и шест десетхилядни е приблизително равно на петдесет и шест цяло и девет десети."

И още няколко примера за закръгляване до десети:

Дробните числа в електронните таблици на Excel могат да бъдат показани в различна степен. точност:

• повечето простометод - в раздела " У дома» натиснете бутоните « Увеличете битовата дълбочина" или " Намалете битовата дълбочина»;
• щракнете Кликнете с десния бутонпо клетка, в падащото меню изберете " Формат на клетка...“, след това раздела „ Номер", изберете формата" Числен”, определете колко знака след десетичната запетая ще има след десетичната запетая (по подразбиране се предлагат 2 знака след десетичната запетая);
• щракнете върху клетката в раздела " У дома" избирам " Числен", или отидете на " Други числови формати...” и конфигурирайте там.

Ето как изглежда дробта 0,129, ако промените броя на десетичните знаци във формата на клетката:

Моля, имайте предвид, че A1, A2, A3 имат същото значение, променя се само формата на представяне. При по-нататъшни изчисления няма да се използва стойността, видима на екрана, а оригинален. За начинаещ потребител на електронни таблици това може да бъде малко объркващо. За да промените наистина стойността, трябва да използвате специални функции, има няколко от тях в Excel.

Формула за закръгляване

Една от често използваните функции за закръгляване е КРЪГЪЛ. Работи по стандартни математически правила. Изберете клетка, щракнете върху " Вмъкване на функция“, категория „ Математически", намираме КРЪГЪЛ

Ние определяме аргументите, те са два - тя самата фракцияи количествоизхвърляния. Щракваме " Добре“ и виж какво ще се случи.

Например изразът =КРЪГЛ(0,129;1)ще даде резултат от 0,1. Нулевият брой цифри ви позволява да се отървете от дробната част. Избирането на отрицателен брой цифри ви позволява да закръглите цялата част до десетки, стотици и т.н. Например изразът =КРЪГЛ(5,129,-1)ще даде 10.

Закръглете нагоре или надолу

Excel предоставя други инструменти, които ви позволяват да работите с десетични знаци. Един от тях - ЗАКРЪГЛЯМ, дава най-близкото число, Повече ▼по модул. Например изразът =ROUNDUP(-10,2,0) ще даде -11. Броят на цифрите тук е 0, което означава, че получаваме цяло число. най-близкото цяло число, по-голямо по модул, - просто -11. Пример за употреба:

ЗАКРЪГВАНЕ НАДОЛУподобна на предишната функция, но връща най-близката стойност, която е по-малка по абсолютна стойност. Разликата в работата на горните средства може да се види от примери: