คำตอบของเรา

การเลือกเดิมพันที่เหมาะสมไม่เพียงแต่ขึ้นอยู่กับสัญชาตญาณ ความรู้ด้านกีฬา อัตราต่อรองของเจ้ามือรับแทง แต่ยังขึ้นอยู่กับค่าสัมประสิทธิ์ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ด้วย ความสามารถในการคำนวณตัวบ่งชี้ดังกล่าวในการเดิมพันเป็นกุญแจสู่ความสำเร็จในการทำนายเหตุการณ์ที่จะเกิดขึ้นซึ่งควรจะวางเดิมพัน
เจ้ามือรับแทงมีอัตราต่อรองสามประเภท (รายละเอียดเพิ่มเติมในบทความ) ประเภทที่กำหนดวิธีคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สำหรับผู้เล่น

อัตราต่อรองทศนิยม

ในกรณีนี้ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จะคำนวณโดยใช้สูตร: 1/สัมประสิทธิ์ = v.i โดยที่ coef.ob คือสัมประสิทธิ์เหตุการณ์ และ vi คือความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ ตัวอย่างเช่น เราคิดอัตราต่อรองเหตุการณ์ที่ 1.80 ด้วยการเดิมพันหนึ่งดอลลาร์ การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ตามสูตร ผู้เล่นจะได้รับความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ของเหตุการณ์ตามเจ้ามือรับแทงคือ 0.55 เปอร์เซ็นต์

อัตราต่อรองแบบเศษส่วน

เมื่อใช้อัตราต่อรองแบบเศษส่วน สูตรในการคำนวณความน่าจะเป็นจะแตกต่างออกไป ดังนั้นที่อัตราต่อรอง 7/2 โดยที่หลักแรกหมายถึงขนาดที่เป็นไปได้ กำไรสุทธิและอย่างที่สองคือขนาดของการเดิมพันที่ต้องการ เพื่อให้ได้กำไรนี้ สมการจะมีลักษณะดังนี้: zn.od/ สำหรับผลรวมของ zn.od และ hs.od = v.i โดยที่ zn.coef เป็นตัวหารของสัมประสิทธิ์ chs.coef เป็นตัวเศษของสัมประสิทธิ์ vi คือความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ ดังนั้น สำหรับอัตราต่อรองที่เป็นเศษส่วนของ 7/2 สมการจะดูเหมือน 2 / (7+2) = 2/9 = 0.22 ดังนั้นความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ของเหตุการณ์คือ 0.22 เปอร์เซ็นต์ตามเจ้ามือรับแทง

อัตราต่อรองแบบอเมริกัน

อัตราต่อรองแบบอเมริกันไม่ได้รับความนิยมมากนักในหมู่ผู้เล่น และตามกฎแล้วจะใช้เฉพาะในสหรัฐอเมริกาเท่านั้น โดยมีโครงสร้างที่ซับซ้อนและสับสน เพื่อตอบคำถาม: “จะคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ด้วยวิธีนี้ได้อย่างไร” คุณจำเป็นต้องรู้ว่าค่าสัมประสิทธิ์ดังกล่าวอาจเป็นค่าลบและค่าบวกได้

ค่าสัมประสิทธิ์ที่มีเครื่องหมาย “-” เช่น -150 แสดงว่าผู้เล่นต้องวางเดิมพัน 150 ดอลลาร์เพื่อรับกำไรสุทธิ 100 ดอลลาร์ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จะคำนวณตามสูตรที่คุณต้องหารค่าสัมประสิทธิ์ลบด้วยผลรวมของค่าสัมประสิทธิ์ลบกับ 100 ดูเหมือนว่าจะใช้ตัวอย่างการเดิมพันที่ -150 ดังนั้น (-(-150)) / ((-(-150)) + 100) = 150 / (150 + 100) = 150 / 250 = 0.6 โดยที่ 0.6 คูณด้วย 100 และความน่าจะเป็นผลลัพธ์ของเหตุการณ์คือ 60 เปอร์เซ็นต์ สูตรเดียวกันนี้ยังเหมาะสำหรับอัตราต่อรองแบบอเมริกันที่เป็นบวกอีกด้วย

“อุบัติเหตุไม่ใช่เรื่องบังเอิญ”...ฟังดูเหมือนนักปราชญ์เคยกล่าวไว้ แต่จริงๆ แล้วการศึกษาเรื่องอุบัติเหตุคือโชคชะตา วิทยาศาสตร์ที่ยอดเยี่ยมคณิตศาสตร์. ในทางคณิตศาสตร์ โอกาสถูกจัดการโดยทฤษฎีความน่าจะเป็น สูตรและตัวอย่างของงานตลอดจนคำจำกัดความหลักของวิทยาศาสตร์นี้จะนำเสนอในบทความ

ทฤษฎีความน่าจะเป็นคืออะไร?

ทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นหนึ่งในสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่ศึกษาเหตุการณ์สุ่ม

เพื่อให้ชัดเจนขึ้นอีกหน่อยก็ให้ครับ ตัวอย่างเล็ก ๆ: หากคุณพลิกเหรียญขึ้น เหรียญอาจตกลงบนหัวหรือก้อยได้ ขณะที่เหรียญลอยอยู่ในอากาศ ความน่าจะเป็นทั้งสองนี้ก็เป็นไปได้ นั่นก็คือความน่าจะเป็น ผลที่ตามมาที่เป็นไปได้อัตราส่วน 1:1 หากจั่วไพ่หนึ่งสำรับที่มีไพ่ 36 ใบ ความน่าจะเป็นจะแสดงเป็น 1:36 ดูเหมือนว่าจะไม่มีอะไรให้สำรวจและทำนายที่นี่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งด้วยความช่วยเหลือของสูตรทางคณิตศาสตร์ อย่างไรก็ตาม หากคุณทำการกระทำบางอย่างซ้ำหลายครั้ง คุณจะสามารถระบุรูปแบบบางอย่างและคาดการณ์ผลลัพธ์ของเหตุการณ์ในเงื่อนไขอื่นๆ ตามรูปแบบนั้นได้

เพื่อสรุปทั้งหมดข้างต้น ทฤษฎีความน่าจะเป็นในความหมายดั้งเดิมเป็นการศึกษาความเป็นไปได้ของการเกิดเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งที่เป็นไปได้ด้วยค่าตัวเลข

จากหน้าประวัติศาสตร์

ทฤษฎีความน่าจะเป็น สูตร และตัวอย่างของงานแรกปรากฏในยุคกลางอันห่างไกล เมื่อความพยายามที่จะทำนายผลลัพธ์ของเกมไพ่เกิดขึ้นครั้งแรก

ในตอนแรก ทฤษฎีความน่าจะเป็นไม่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์เลย ได้รับการพิสูจน์ด้วยข้อเท็จจริงเชิงประจักษ์หรือคุณสมบัติของเหตุการณ์ที่สามารถทำซ้ำได้ในทางปฏิบัติ ผลงานชิ้นแรกในด้านนี้ในฐานะวินัยทางคณิตศาสตร์ปรากฏในศตวรรษที่ 17 ผู้ก่อตั้งคือ เบลส ปาสกาล และปิแอร์ แฟร์มาต์ เวลานานพวกเขาศึกษาการพนันและเห็นรูปแบบบางอย่างซึ่งพวกเขาตัดสินใจบอกต่อสังคม

เทคนิคเดียวกันนี้คิดค้นโดย Christiaan Huygens แม้ว่าเขาจะไม่คุ้นเคยกับผลการวิจัยของ Pascal และ Fermat ก็ตาม เขาแนะนำแนวคิดของ "ทฤษฎีความน่าจะเป็น" สูตรและตัวอย่างซึ่งถือเป็นสิ่งแรกในประวัติศาสตร์ของระเบียบวินัย

ผลงานของจาค็อบ แบร์นูลลี ทฤษฎีบทของลาปลาซ และปัวซองก็มีความสำคัญไม่น้อยเช่นกัน พวกเขาทำให้ทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นเหมือนวินัยทางคณิตศาสตร์มากขึ้น ทฤษฎีความน่าจะเป็น สูตร และตัวอย่างของงานพื้นฐานได้รับรูปแบบปัจจุบันด้วยสัจพจน์ของ Kolmogorov จากการเปลี่ยนแปลงทั้งหมด ทฤษฎีความน่าจะเป็นจึงกลายเป็นหนึ่งในสาขาทางคณิตศาสตร์

แนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็น กิจกรรม

แนวคิดหลักของระเบียบวินัยนี้คือ "เหตุการณ์" เหตุการณ์มีสามประเภท:

• เชื่อถือได้.สิ่งที่จะเกิดขึ้นต่อไป(เหรียญจะตก)
• เป็นไปไม่ได้.เหตุการณ์ที่จะไม่เกิดขึ้นไม่ว่าในกรณีใด ๆ (เหรียญจะยังคงลอยอยู่ในอากาศ)
• สุ่มที่จะเกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้น ปัจจัยเหล่านี้อาจได้รับอิทธิพลจากปัจจัยต่างๆ ที่คาดเดาได้ยากมาก ถ้าเราพูดถึงเหรียญ มันก็มีปัจจัยสุ่มที่อาจส่งผลต่อผลลัพธ์ได้ เช่น ลักษณะทางกายภาพของเหรียญ รูปร่างของมัน ตำแหน่งเดิม แรงโยน ฯลฯ

เหตุการณ์ทั้งหมดในตัวอย่างระบุด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่ ยกเว้น P ซึ่งมีบทบาทที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น:

• A = “นักศึกษามาบรรยาย”
• Ā = “นักศึกษาไม่ได้มาบรรยาย”

ใน งานภาคปฏิบัติเหตุการณ์มักจะถูกบันทึกเป็นคำพูด

หนึ่งใน ลักษณะที่สำคัญที่สุดเหตุการณ์ - ความเป็นไปได้ที่เท่าเทียมกัน นั่นคือ หากคุณโยนเหรียญ รูปแบบการล้มครั้งแรกทั้งหมดจะเป็นไปได้จนกว่าเหรียญจะตกลง แต่เหตุการณ์ต่างๆ ก็ไม่สามารถทำได้เท่ากัน สิ่งนี้เกิดขึ้นเมื่อมีคนจงใจมีอิทธิพลต่อผลลัพธ์ เช่น "ติดป้ายกำกับ" เล่นไพ่หรือลูกเต๋าที่มีการเลื่อนจุดศูนย์ถ่วง

เหตุการณ์ยังสามารถเข้ากันได้และเข้ากันไม่ได้ เหตุการณ์ที่เข้ากันได้ไม่แยกการเกิดขึ้นของกันและกัน ตัวอย่างเช่น:

• A = “นักเรียนมาบรรยาย”
• B = “นักเรียนมาบรรยาย”

เหตุการณ์เหล่านี้เป็นอิสระจากกัน และการเกิดขึ้นของเหตุการณ์หนึ่งจะไม่ส่งผลกระทบต่อการเกิดขึ้นของอีกเหตุการณ์หนึ่ง เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ถูกกำหนดโดยข้อเท็จจริงที่ว่าการเกิดขึ้นของเหตุการณ์หนึ่งไม่รวมการเกิดขึ้นของอีกเหตุการณ์หนึ่ง หากเราพูดถึงเหรียญเดียวกัน การสูญเสีย "ก้อย" ทำให้เป็นไปไม่ได้ที่จะมี "หัว" ในการทดลองเดียวกัน

การดำเนินการกับเหตุการณ์

เหตุการณ์สามารถคูณและเพิ่มได้ ดังนั้น การเชื่อมโยงเชิงตรรกะ “AND” และ “OR” จึงถูกนำมาใช้ในระเบียบวินัย

จำนวนเงินจะพิจารณาจากข้อเท็จจริงที่ว่าเหตุการณ์ A หรือ B หรือสองเหตุการณ์สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้ หากเข้ากันไม่ได้ ตัวเลือกสุดท้ายจะเป็นไปไม่ได้ ทั้ง A หรือ B จะถูกทอย

การคูณเหตุการณ์ประกอบด้วยการปรากฏตัวของ A และ B ในเวลาเดียวกัน

ตอนนี้เราสามารถยกตัวอย่างได้หลายตัวอย่างเพื่อจดจำพื้นฐาน ทฤษฎีความน่าจะเป็น และสูตรได้ดียิ่งขึ้น ตัวอย่างการแก้ปัญหาด้านล่าง

แบบฝึกหัดที่ 1: บริษัทเข้าร่วมการแข่งขันเพื่อรับสัญญาจ้างงาน 3 ประเภท เหตุการณ์ที่อาจเกิดขึ้น:

• A = “บริษัทจะได้รับสัญญาฉบับแรก”
• A 1 = “บริษัทจะไม่ได้รับสัญญาฉบับแรก”
• B = “บริษัทจะได้รับสัญญาฉบับที่สอง”
• B 1 = “บริษัทจะไม่ได้รับสัญญาฉบับที่สอง”
• C = “บริษัทจะได้รับสัญญาฉบับที่สาม”
• C 1 = “บริษัทจะไม่ได้รับสัญญาฉบับที่สาม”

เราจะพยายามแสดงสถานการณ์ต่อไปนี้โดยใช้การดำเนินการกับเหตุการณ์:

• K = “บริษัทจะได้รับสัญญาทั้งหมด”

ในรูปแบบทางคณิตศาสตร์ สมการจะมีรูปแบบดังนี้ K = ABC

• M = “บริษัทจะไม่ได้รับสัญญาฉบับเดียว”

ม = ก 1 ข 1 ค 1

มาทำให้งานซับซ้อนขึ้น: H = “บริษัทจะได้รับสัญญาหนึ่งฉบับ” เนื่องจากไม่ทราบว่าบริษัทจะได้รับสัญญาใด (ฉบับที่หนึ่ง ที่สอง หรือสาม) จึงจำเป็นต้องบันทึกเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

และ 1 BC 1 เป็นเหตุการณ์ต่อเนื่องกันที่บริษัทไม่ได้รับสัญญาฉบับแรกและฉบับที่สาม แต่ได้รับสัญญาฉบับที่สอง เหตุการณ์ที่เป็นไปได้อื่นๆ ได้รับการบันทึกโดยใช้วิธีการที่เหมาะสม สัญลักษณ์ υ ในวินัยหมายถึงการเชื่อมโยง “หรือ” หากเราแปลตัวอย่างข้างต้นเป็น ภาษามนุษย์จากนั้นบริษัทจะได้รับสัญญาฉบับที่ 3 หรือฉบับที่ 2 หรือฉบับที่ 1 ในลักษณะเดียวกันคุณสามารถเขียนเงื่อนไขอื่นๆ ลงในระเบียบวินัย “ทฤษฎีความน่าจะเป็น” สูตรและตัวอย่างการแก้ปัญหาที่นำเสนอข้างต้นจะช่วยให้คุณทำสิ่งนี้ได้ด้วยตัวเอง

จริงๆแล้วความน่าจะเป็น

บางที ในสาขาวิชาคณิตศาสตร์นี้ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อาจเป็นแนวคิดหลัก ความน่าจะเป็นมี 3 คำจำกัดความ:

• คลาสสิค;
• เชิงสถิติ;
• เรขาคณิต

แต่ละคนมีสถานที่ในการศึกษาความน่าจะเป็น ทฤษฎีความน่าจะเป็น สูตร และตัวอย่าง (เกรด 9) ใช้เป็นหลัก คำจำกัดความแบบคลาสสิกซึ่งฟังดูเหมือนนี้:

• ความน่าจะเป็นของสถานการณ์ A เท่ากับอัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์ที่เอื้ออำนวยต่อจำนวนทั้งหมด ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้.

สูตรมีลักษณะดังนี้: P(A)=m/n

A จริงๆ แล้วเป็นเหตุการณ์ หากปรากฏกรณีที่ตรงข้ามกับ A สามารถเขียนเป็น Ā หรือ A 1 ได้

m คือจำนวนกรณีที่เป็นไปได้ที่เป็นไปได้

n - เหตุการณ์ทั้งหมดที่สามารถเกิดขึ้นได้

เช่น A = “จั่วไพ่ชุดหัวใจ” ในสำรับมาตรฐานมีไพ่ 36 ใบ โดย 9 ใบเป็นไพ่หัวใจ ดังนั้นสูตรการแก้ปัญหาจะมีลักษณะดังนี้:

P(ก)=9/36=0.25.

ส่งผลให้ความน่าจะเป็นที่จะจั่วไพ่ชุดฮาร์ทสูทออกจากสำรับจะเป็น 0.25

ไปสู่คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น

ตอนนี้เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าทฤษฎีความน่าจะเป็นคืออะไร สูตรและตัวอย่างการแก้ปัญหาที่พบเจอ หลักสูตรของโรงเรียน- อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีความน่าจะเป็นยังพบได้ในคณิตศาสตร์ชั้นสูงซึ่งมีการสอนในมหาวิทยาลัยอีกด้วย ส่วนใหญ่มักใช้คำจำกัดความทางเรขาคณิตและสถิติของทฤษฎีและสูตรที่ซับซ้อน

ทฤษฎีความน่าจะเป็นน่าสนใจมาก เป็นการดีกว่าที่จะเริ่มศึกษาสูตรและตัวอย่าง (คณิตศาสตร์ระดับสูง) ขนาดเล็ก - ด้วยคำจำกัดความทางสถิติ (หรือความถี่) ของความน่าจะเป็น

วิธีการทางสถิติไม่ได้ขัดแย้งกับวิธีดั้งเดิม แต่จะขยายออกไปเล็กน้อย หากในกรณีแรกจำเป็นต้องพิจารณาว่าเหตุการณ์จะเกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็นเท่าใด ในกรณีนี้ จำเป็นต้องระบุว่าเหตุการณ์จะเกิดขึ้นบ่อยแค่ไหน ต่อไปนี้เป็นแนวคิดใหม่เกี่ยวกับ "ความถี่สัมพัทธ์" ซึ่งสามารถเขียนแทนด้วย W n (A) สูตรไม่แตกต่างจากสูตรคลาสสิก:

หากคำนวณสูตรคลาสสิกเพื่อการทำนาย สูตรทางสถิติจะถูกคำนวณตามผลลัพธ์ของการทดสอบ เรามาทำงานเล็กๆ น้อยๆ กัน

แผนกควบคุมเทคโนโลยีตรวจสอบคุณภาพผลิตภัณฑ์ จากผลิตภัณฑ์ 100 รายการ พบว่า 3 รายการมีคุณภาพไม่ดี จะหาความน่าจะเป็นความถี่ของผลิตภัณฑ์ที่มีคุณภาพได้อย่างไร?

A = “รูปลักษณ์ของผลิตภัณฑ์ที่มีคุณภาพ”

W n (A)=97/100=0.97

ดังนั้นความถี่ของผลิตภัณฑ์ที่มีคุณภาพคือ 0.97 97 เอามาจากไหน? จากการตรวจสอบผลิตภัณฑ์ 100 รายการ พบว่า 3 รายการมีคุณภาพไม่ดี เราลบ 3 จาก 100 แล้วได้ 97 นี่คือจำนวนสินค้าที่มีคุณภาพ

เล็กน้อยเกี่ยวกับการผสมผสาน

ทฤษฎีความน่าจะเป็นอีกวิธีหนึ่งเรียกว่าเชิงร่วม หลักการพื้นฐานของมันคือว่าหากสามารถเลือก A บางอย่างได้ m วิธีทางที่แตกต่างและการเลือก B มี n วิธีต่างกัน ดังนั้นการเลือก A และ B สามารถทำได้โดยการคูณ

เช่น มีถนน 5 สายที่ทอดจากเมือง A ไปยังเมือง B จากเมือง B ไปยังเมือง C มี 4 เส้นทาง คุณสามารถเดินทางจากเมือง A ไปยังเมือง C ได้กี่วิธี?

ง่ายมาก: 5x4=20 นั่นคือจากจุด A ไปยังจุด C ได้ด้วยวิธีต่างๆ 20 วิธี

มาทำให้งานซับซ้อนขึ้น มีกี่วิธีในการวางไพ่ในเกมโซลิแทร์? ในสำรับมีไพ่ 36 ใบ - นี่คือจุดเริ่มต้น หากต้องการทราบจำนวนวิธี คุณต้อง "ลบ" ไพ่ทีละใบจากจุดเริ่มต้นแล้วคูณ

นั่นคือ 36x35x34x33x32...x2x1= ผลลัพธ์ไม่พอดีกับหน้าจอเครื่องคิดเลข จึงสามารถกำหนดเป็น 36! ได้ เข้าสู่ระบบ "!" ถัดจากตัวเลขแสดงว่าชุดตัวเลขทั้งหมดคูณกัน

ในวิชาเชิงผสมมีแนวคิดต่างๆ เช่น การเรียงสับเปลี่ยน ตำแหน่ง และการรวมกัน แต่ละคนมีสูตรของตัวเอง

ชุดองค์ประกอบที่ได้รับการจัดลำดับของชุดเรียกว่าการจัดเตรียม ตำแหน่งสามารถทำซ้ำได้นั่นคือองค์ประกอบเดียวสามารถใช้ได้หลายครั้ง และไม่มีการซ้ำซ้อนเมื่อธาตุไม่เกิดซ้ำ n คือองค์ประกอบทั้งหมด m คือองค์ประกอบที่มีส่วนร่วมในตำแหน่ง สูตรการจัดวางโดยไม่ซ้ำกันจะมีลักษณะดังนี้:

n ม = n!/(n-m)!

การเชื่อมต่อขององค์ประกอบ n ที่แตกต่างกันตามลำดับตำแหน่งเท่านั้นเรียกว่าการเรียงสับเปลี่ยน ในทางคณิตศาสตร์ดูเหมือนว่า: P n = n!

ผลรวมขององค์ประกอบ n ของ m คือสารประกอบเหล่านั้น โดยที่สิ่งสำคัญคือองค์ประกอบเหล่านี้เป็นองค์ประกอบอะไร และจำนวนรวมเป็นเท่าใด สูตรจะมีลักษณะดังนี้:

A n m = n!/m! (n-m)!

สูตรของเบอร์นูลลี

ในทฤษฎีความน่าจะเป็น เช่นเดียวกับในทุกสาขาวิชา มีผลงานของนักวิจัยที่โดดเด่นในสาขาของตนที่ได้ยกระดับขึ้นไปอีกระดับหนึ่ง ผลงานชิ้นหนึ่งคือสูตรเบอร์นูลลี ซึ่งช่วยให้คุณระบุความน่าจะเป็นของเหตุการณ์บางอย่างที่เกิดขึ้นภายใต้เงื่อนไขที่เป็นอิสระ สิ่งนี้ชี้ให้เห็นว่าการเกิดขึ้นของ A ในการทดลองไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นของเหตุการณ์เดียวกันในการทดลองครั้งก่อนหรือครั้งต่อๆ ไป

สมการของเบอร์นูลลี:

P n (m) = C n m × p m × q n-m

ความน่าจะเป็น (p) ของการเกิดเหตุการณ์ (A) จะคงที่สำหรับการทดลองแต่ละครั้ง ความน่าจะเป็นที่สถานการณ์จะเกิดขึ้นอย่างแน่นอน m ครั้งในการทดลองจำนวน n ครั้งจะคำนวณโดยสูตรที่นำเสนอข้างต้น ดังนั้นจึงมีคำถามเกิดขึ้นว่าจะหาจำนวน q ได้อย่างไร

ถ้าเหตุการณ์ A เกิดขึ้น p จำนวนครั้ง อาจไม่เกิดขึ้นเลย หน่วยคือตัวเลขที่ใช้เพื่อกำหนดผลลัพธ์ทั้งหมดของสถานการณ์ในระเบียบวินัย ดังนั้น q คือตัวเลขที่แสดงถึงความเป็นไปได้ที่เหตุการณ์จะไม่เกิดขึ้น

ตอนนี้คุณรู้สูตรของเบอร์นูลลีแล้ว (ทฤษฎีความน่าจะเป็น) เราจะพิจารณาตัวอย่างการแก้ปัญหา (ระดับแรก) ด้านล่าง

ภารกิจที่ 2:ผู้เยี่ยมชมร้านค้าจะซื้อสินค้าด้วยความน่าจะเป็น 0.2 ผู้เยี่ยมชม 6 คนเข้าร้านอย่างอิสระ โอกาสที่ผู้เข้าชมจะซื้อคืออะไร?

วิธีแก้ไข: เนื่องจากไม่ทราบว่าผู้เยี่ยมชมควรซื้อสินค้าจำนวนเท่าใด หนึ่งหรือทั้งหมดหกคน จึงจำเป็นต้องคำนวณความน่าจะเป็นที่เป็นไปได้ทั้งหมดโดยใช้สูตรเบอร์นูลลี

A = “ผู้เข้าชมจะทำการซื้อ”

ในกรณีนี้: p = 0.2 (ตามที่ระบุในงาน) ดังนั้น q=1-0.2 = 0.8

n = 6 (เนื่องจากมีลูกค้าในร้าน 6 คน) หมายเลข m จะแตกต่างจาก 0 (ไม่ใช่ลูกค้ารายเดียวที่จะซื้อสินค้า) ถึง 6 (ผู้เข้าชมร้านค้าทั้งหมดจะซื้อบางสิ่งบางอย่าง) เป็นผลให้เราได้รับวิธีแก้ปัญหา:

P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0.8) 6 = 0.2621

ไม่มีผู้ซื้อรายใดจะทำการซื้อด้วยความน่าจะเป็น 0.2621

สูตรของเบอร์นูลลี (ทฤษฎีความน่าจะเป็น) ใช้อย่างอื่นอย่างไร? ตัวอย่างการแก้ปัญหา (ระดับที่สอง) ด้านล่าง

หลังจากตัวอย่างข้างต้น คำถามก็เกิดขึ้นว่า C และ r ไปอยู่ที่ไหน สัมพันธ์กับ p ตัวเลขยกกำลัง 0 จะเท่ากับ 1 สำหรับ C สามารถพบได้โดยสูตร:

ค n ม = n! /ม!(น-ม)!

เนื่องจากในตัวอย่างแรก m = 0 ตามลำดับ C = 1 ซึ่งโดยหลักการแล้วไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์ เมื่อใช้สูตรใหม่ เรามาลองค้นหาความน่าจะเป็นที่ผู้เข้าชมสองคนจะซื้อสินค้ากัน

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0.2) 2 × ( 0.8) 4 = 15 × 0.04 × 0.4096 = 0.246

ทฤษฎีความน่าจะเป็นไม่ได้ซับซ้อนขนาดนั้น สูตรของเบอร์นูลลี ซึ่งเป็นตัวอย่างที่นำเสนอข้างต้น ถือเป็นข้อพิสูจน์โดยตรงในเรื่องนี้

สูตรของปัวซอง

สมการของปัวซองใช้ในการคำนวณสถานการณ์สุ่มความน่าจะเป็นต่ำ

สูตรพื้นฐาน:

Pn (m)=แลม m /m! × อี (-แล) .

ในกรณีนี้ แล = n x p นี่คือสูตรปัวซองง่ายๆ (ทฤษฎีความน่าจะเป็น) เราจะพิจารณาตัวอย่างการแก้ปัญหาด้านล่าง

ภารกิจที่ 3: โรงงานผลิตชิ้นส่วนได้ 100,000 ชิ้น การเกิดขึ้นของชิ้นส่วนที่ชำรุด = 0.0001 ความน่าจะเป็นที่จะมีชิ้นส่วนชำรุด 5 ชิ้นในหนึ่งชุดเป็นเท่าใด

อย่างที่คุณเห็น การแต่งงานเป็นเหตุการณ์ที่ไม่น่าเป็นไปได้ ดังนั้นจึงใช้สูตรปัวซอง (ทฤษฎีความน่าจะเป็น) ในการคำนวณ ตัวอย่างของการแก้ปัญหาประเภทนี้ไม่แตกต่างจากงานอื่น ๆ ในระเบียบวินัย เราแทนที่ข้อมูลที่จำเป็นลงในสูตรที่กำหนด:

A = “ชิ้นส่วนที่เลือกแบบสุ่มจะมีข้อบกพร่อง”

p = 0.0001 (ตามเงื่อนไขงาน)

n = 100,000 (จำนวนชิ้นส่วน)

m = 5 (ชิ้นส่วนชำรุด) เราแทนที่ข้อมูลลงในสูตรและรับ:

100,000 แรนด์ (5) = 10 5/5! X อี -10 = 0.0375

เช่นเดียวกับสูตรเบอร์นูลลี (ทฤษฎีความน่าจะเป็น) ตัวอย่างของการแก้ปัญหาที่เขียนไว้ข้างต้น สมการปัวซองมี e ที่ไม่รู้จัก จริงๆ แล้ว สามารถหาได้จากสูตร:

e -แล = lim n ->∞ (1-แลม/n) n

อย่างไรก็ตาม มีตารางพิเศษที่มีค่า e เกือบทั้งหมด

ทฤษฎีบทเดอมัวฟวร์-ลาปลาซ

ถ้าในโครงการแบร์นูลี จำนวนการทดลองมีมากเพียงพอ และความน่าจะเป็นที่จะเกิดเหตุการณ์ A ในทุกแผนภาพเท่ากัน ความน่าจะเป็นที่จะเกิดเหตุการณ์ A จำนวนครั้งในชุดการทดสอบสามารถหาได้จาก สูตรของลาปลาซ:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m)

X m = m-np/√npq

เพื่อให้จำสูตรของ Laplace ได้ดีขึ้น (ทฤษฎีความน่าจะเป็น) ด้านล่างนี้เป็นตัวอย่างของปัญหาเพื่อช่วย

ขั้นแรก หา X m แทนที่ข้อมูล (ทั้งหมดอยู่ในรายการด้านบน) ลงในสูตรแล้วได้ 0.025 เมื่อใช้ตาราง เราจะพบตัวเลข ϕ(0.025) ซึ่งมีค่าเท่ากับ 0.3988 ตอนนี้คุณสามารถแทนที่ข้อมูลทั้งหมดลงในสูตรได้:

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0.3988 = 3/40 x 0.3988 = 0.03

ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่นักบินจะทำงานได้ 267 ครั้งพอดีคือ 0.03

สูตรเบย์

สูตรเบย์ (ทฤษฎีความน่าจะเป็น) ตัวอย่างของการแก้ปัญหาโดยได้รับความช่วยเหลือดังที่แสดงด้านล่างนี้ คือสมการที่อธิบายความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตามสถานการณ์ที่อาจเกี่ยวข้องกับเหตุการณ์นั้น สูตรพื้นฐานมีดังนี้:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B)

A และ B เป็นเหตุการณ์ที่แน่นอน

P(A|B) คือความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข กล่าวคือ เหตุการณ์ A สามารถเกิดขึ้นได้ โดยมีเงื่อนไขว่าเหตุการณ์ B เป็นจริง

P (B|A) - ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ B

ดังนั้นส่วนสุดท้ายของหลักสูตรระยะสั้น "ทฤษฎีความน่าจะเป็น" คือสูตรเบย์ ตัวอย่างวิธีแก้ปัญหาอยู่ด้านล่าง

ภารกิจที่ 5: โทรศัพท์จากสามบริษัทถูกนำมาที่โกดัง ในขณะเดียวกันส่วนแบ่งของโทรศัพท์ที่ผลิตในโรงงานแห่งแรกคือ 25% ที่โรงงานที่สอง - 60% และโรงงานที่สาม - 15% เป็นที่ทราบกันดีว่าเปอร์เซ็นต์เฉลี่ยของผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่องในโรงงานแห่งแรกคือ 2% ที่โรงงานที่สอง - 4% และที่โรงงานที่สาม - 1% คุณต้องค้นหาความน่าจะเป็นที่โทรศัพท์ที่เลือกแบบสุ่มจะชำรุด

A = “โทรศัพท์ที่สุ่มเลือก”

B 1 - โทรศัพท์ที่ผลิตจากโรงงานแห่งแรก ดังนั้นข้อมูลเบื้องต้น B 2 และ B 3 จะปรากฏขึ้น (สำหรับโรงงานแห่งที่สองและสาม)

เป็นผลให้เราได้รับ:

พี (B 1) = 25%/100% = 0.25; พี(ข 2) = 0.6; P (B 3) = 0.15 - ดังนั้นเราจึงพบความน่าจะเป็นของแต่ละตัวเลือก

ตอนนี้คุณต้องค้นหาความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ที่ต้องการ ซึ่งก็คือ ความน่าจะเป็นของผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่องในบริษัท:

P (A/B 1) = 2%/100% = 0.02;

P(A/B 2) = 0.04;

พี (A/B 3) = 0.01

ตอนนี้เรามาแทนที่ข้อมูลลงในสูตร Bayes และรับ:

P (A) = 0.25 x 0.2 + 0.6 x 0.4 + 0.15 x 0.01 = 0.0305

บทความนี้นำเสนอทฤษฎีความน่าจะเป็น สูตร และตัวอย่างการแก้ปัญหา แต่นี่เป็นเพียงส่วนเล็กๆ ของระเบียบวินัยอันกว้างใหญ่เท่านั้น และหลังจากทุกสิ่งที่เขียนไปแล้ว มันก็สมเหตุสมผลที่จะถามคำถามว่าทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นสิ่งจำเป็นในชีวิตหรือไม่ ถึงคนทั่วไปตอบยากครับ ถามคนเคยใช้ถูกแจ็กพอตมากกว่าหนึ่งครั้งดีกว่า

มีการทดลองทั้งชั้นเรียนซึ่งสามารถประเมินความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ได้โดยตรงจากเงื่อนไขของการทดสอบโดยตรง ในการดำเนินการนี้ ผลลัพธ์ที่แตกต่างกันของการทดลองจำเป็นจะต้องมีความสมมาตร ดังนั้นจึงเป็นไปได้อย่างเป็นกลางอย่างเท่าเทียมกัน

ลองพิจารณาประสบการณ์การขว้างลูกเต๋า เช่น ลูกบาศก์สมมาตรซึ่งทำเครื่องหมายไว้ด้านข้าง หมายเลขที่แตกต่างกันคะแนน: ตั้งแต่ 1 ถึง 6

เนื่องจากความสมมาตรของลูกบาศก์ จึงมีเหตุผลที่จะต้องพิจารณาผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้ง 6 รายการของการทดลองให้เป็นไปได้เท่าเทียมกัน นี่คือสิ่งที่ทำให้เรามีสิทธิ์ที่จะสรุปได้ว่าเมื่อโยนลูกเต๋าหลายครั้ง ทั้งหกด้านจะปรากฏบ่อยเท่าๆ กันโดยประมาณ สมมติฐานนี้สำหรับกระดูกที่สร้างขึ้นอย่างถูกต้องนั้นได้รับการพิสูจน์โดยประสบการณ์ เมื่อโยนลูกเต๋าหลายครั้ง แต่ละด้านจะปรากฏประมาณหนึ่งในหกของทุกกรณีของการขว้าง และการเบี่ยงเบนของเศษส่วนนี้จาก 1/6 นั้นน้อยกว่า จำนวนที่มากขึ้นได้ทำการทดลองแล้ว โปรดทราบว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เชื่อถือได้จะถือว่ามีค่าเท่ากับ 1 จึงเป็นธรรมดาที่จะกำหนดความน่าจะเป็นเท่ากับ 1/6 ให้กับการสูญเสียใบหน้าของแต่ละคน จำนวนนี้แสดงถึงคุณสมบัติเชิงวัตถุประสงค์บางประการของปรากฏการณ์สุ่มนี้ กล่าวคือ คุณสมบัติของความสมมาตรของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหกประการของการทดลอง

สำหรับการทดลองใดๆ ที่ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้มีความสมมาตรและเป็นไปได้เท่ากัน สามารถใช้เทคนิคที่คล้ายกันได้ ซึ่งเรียกว่าการคำนวณความน่าจะเป็นโดยตรง

ความสมมาตรของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของการทดลองมักจะสังเกตได้เฉพาะในการทดลองที่จัดขึ้นอย่างไม่ตั้งใจ เช่น การพนัน เนื่องจากทฤษฎีความน่าจะเป็นได้รับการพัฒนาเบื้องต้นอย่างแม่นยำในแผนการพนัน เทคนิคการคำนวณความน่าจะเป็นโดยตรงซึ่งเกิดขึ้นในอดีตพร้อมกับการเกิดขึ้นของทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของปรากฏการณ์สุ่ม ถือเป็นพื้นฐานมาเป็นเวลานานและเป็นพื้นฐานของการดังกล่าว - เรียกว่าทฤษฎีความน่าจะเป็นแบบคลาสสิก ในเวลาเดียวกัน การทดลองที่ไม่มีความสมมาตรของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ก็ถูกลดขนาดลงเป็นรูปแบบ "คลาสสิก"

แม้จะมีขอบเขตจำกัดก็ตาม การใช้งานจริงของโครงการนี้ ยังคงน่าสนใจอยู่บ้าง เนื่องจากเป็นการผ่านการทดลองที่มีความสมมาตรของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ และผ่านเหตุการณ์ที่เกี่ยวข้องกับการทดลองดังกล่าว จึงเป็นวิธีที่ง่ายที่สุดในการทำความคุ้นเคยกับคุณสมบัติพื้นฐานของความน่าจะเป็น เราจะจัดการกับเหตุการณ์ประเภทนี้ ซึ่งจะช่วยให้สามารถคำนวณความน่าจะเป็นได้โดยตรงเป็นอันดับแรก

ให้เราแนะนำแนวคิดเสริมบางอย่างก่อน

1. จัดกลุ่มกิจกรรมให้ครบ

ว่ากันว่ามีเหตุการณ์หลายอย่างในรูปแบบการทดลองที่กำหนด เต็มกลุ่มเหตุการณ์หากอย่างน้อยหนึ่งรายการต้องปรากฏขึ้นอันเป็นผลมาจากประสบการณ์นั้น

ตัวอย่างกิจกรรมที่รวมตัวกันเป็นหมู่คณะ:

3) การปรากฏตัวของ 1,2,3,4,5,6 คะแนนเมื่อขว้างลูกเต๋า;

4) ลักษณะของลูกบอลสีขาวและลักษณะของลูกบอลสีดำเมื่อนำลูกบอลหนึ่งลูกออกจากโกศที่มีลูกบอลสีขาว 2 ลูกและสีดำ 3 ลูก

5) ไม่มีการพิมพ์ผิด หนึ่ง สอง สาม หรือมากกว่าสามครั้งเมื่อตรวจสอบหน้าข้อความที่พิมพ์;

6) ตีอย่างน้อยหนึ่งครั้งและพลาดอย่างน้อยหนึ่งครั้งด้วยสองนัด

2. เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้

กล่าวกันว่ามีเหตุการณ์หลายอย่างเข้ากันไม่ได้ในประสบการณ์หนึ่งๆ หากไม่มีเหตุการณ์สองเหตุการณ์เกิดขึ้นพร้อมกันได้

ตัวอย่างของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้:

1) การสูญเสียแขนเสื้อและการสูญเสียตัวเลขเมื่อขว้างเหรียญ

2) ตีแล้วพลาดเมื่อถูกยิง;

3) การปรากฏตัวของ 1,3, 4 คะแนนด้วยการโยนลูกเต๋าหนึ่งครั้ง;

4) ความล้มเหลวหนึ่งครั้ง ความล้มเหลวสองครั้งอย่างแน่นอน ความล้มเหลวของอุปกรณ์ทางเทคนิคสามครั้งอย่างแน่นอนในการทำงานสิบชั่วโมง

3. เหตุการณ์ที่เป็นไปได้เท่าเทียมกัน

เหตุการณ์หลายอย่างในการทดลองหนึ่งๆ เรียกว่าเป็นไปได้เท่ากัน หากตามเงื่อนไขของสมมาตร มีเหตุผลให้เชื่อได้ว่าไม่มีเหตุการณ์ใดที่เป็นไปได้มากกว่าเหตุการณ์อื่นๆ

ตัวอย่างของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้เท่าเทียมกัน:

1) การสูญเสียแขนเสื้อและการสูญเสียตัวเลขเมื่อขว้างเหรียญ

2) การปรากฏตัวของ 1,3, 4, 5 คะแนนเมื่อโยนลูกเต๋า;

3) การปรากฏตัวของการ์ดเพชร, หัวใจ, กระบองเมื่อนำการ์ดออกจากสำรับ;

4) ลักษณะของลูกบอลหมายเลข 1, 2, 3 เมื่อหยิบลูกบอลหนึ่งลูกจากโกศที่มีลูกบอลเรียงหมายเลข 10 ลูก

มีกลุ่มของเหตุการณ์ที่มีคุณสมบัติทั้งสามประการ: เป็นกลุ่มที่สมบูรณ์, เข้ากันไม่ได้และเป็นไปได้เท่าเทียมกัน; ตัวอย่างเช่น: การปรากฏตัวของเสื้อคลุมแขนและตัวเลขเมื่อโยนเหรียญ; การปรากฏตัวของ 1, 2, 3, 4, 5, 6 คะแนนเมื่อขว้างลูกเต๋า เหตุการณ์ที่รวมตัวกันเป็นกลุ่มนี้เรียกว่ากรณีต่างๆ (หรือที่เรียกว่า "โอกาส")

หากประสบการณ์ใดๆ ในโครงสร้างมีความสมมาตรของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ กรณีต่างๆ จะเป็นตัวแทนของระบบที่ละเอียดถี่ถ้วนของผลลัพธ์ของประสบการณ์นั้นที่เป็นไปได้อย่างเท่าเทียมกันและแยกจากกัน กล่าวกันว่าประสบการณ์ดังกล่าว “ลดลงเหลือเพียงรูปแบบของคดี” (หรือเรียกอีกอย่างว่า “รูปแบบของโกศ”)

รูปแบบของคดีส่วนใหญ่เกิดขึ้นในการทดลองที่จัดขึ้นโดยไม่ได้ตั้งใจ ซึ่งรับประกันความเป็นไปได้แบบเดียวกันของผลการทดลองล่วงหน้าและมีสติ (เช่น ใน การพนัน- สำหรับการทดลองดังกล่าว สามารถคำนวณความน่าจะเป็นได้โดยตรงโดยพิจารณาจากการประเมินสัดส่วนของกรณีที่เรียกว่า "น่าพอใจ" ในจำนวนกรณีทั้งหมด

กรณีหนึ่งเรียกว่าเป็นผลดี (หรือ "เป็นผลดี") สำหรับเหตุการณ์บางอย่าง หากการเกิดขึ้นของกรณีนี้ก่อให้เกิดเหตุการณ์นี้

ตัวอย่างเช่นเมื่อโยนลูกเต๋าเป็นไปได้หกกรณี: การปรากฏตัวของ 1, 2, 3, 4, 5, 6 คะแนน ในจำนวนนี้ เหตุการณ์ - การปรากฏของแต้มจำนวนคู่ - เป็นผลดีในสามกรณี: 2, 4, 6 และอีกสามแต้มที่เหลือไม่เป็นผลดี

หากประสบการณ์ลดลงเป็นรูปแบบของกรณีต่างๆ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ในการทดลองที่กำหนดสามารถประมาณได้ด้วยสัดส่วนสัมพัทธ์ของกรณีที่น่าพอใจ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จะคำนวณเป็นอัตราส่วนของจำนวนคดีที่น่าพึงพอใจต่อจำนวนคดีทั้งหมด:

โดยที่ P(A) คือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นั้น - จำนวนทั้งหมดกรณี; – จำนวนคดีที่เอื้ออำนวยต่อเหตุการณ์

เนื่องจากจำนวนกรณีที่น่าพอใจจะอยู่ระหว่าง 0 ถึง (0 สำหรับเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้และสำหรับเหตุการณ์บางอย่าง) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่คำนวณโดยใช้สูตร (2.2.1) จึงเป็นเศษส่วนแท้ที่เป็นตรรกยะเสมอ:

สูตร (2.2.1) หรือที่เรียกว่า "สูตรคลาสสิก" สำหรับการคำนวณความน่าจะเป็น ปรากฏมานานแล้วในวรรณกรรมว่าเป็นคำจำกัดความของความน่าจะเป็น ในปัจจุบัน เมื่อกำหนด (อธิบาย) ความน่าจะเป็น พวกเขามักจะดำเนินการจากหลักการอื่น ๆ โดยตรงซึ่งเชื่อมโยงแนวคิดเรื่องความน่าจะเป็นกับแนวคิดเชิงประจักษ์เรื่องความถี่ สูตร (2.2.1) จะถูกสงวนไว้เป็นสูตรสำหรับการคำนวณความน่าจะเป็นโดยตรงเท่านั้น เหมาะสมในกรณีที่ประสบการณ์ลดลงเป็นกรณีต่างๆ เช่น มีความสมมาตรของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้

หัวข้อที่ 1 . สูตรคลาสสิคการคำนวณความน่าจะเป็น

คำจำกัดความและสูตรพื้นฐาน:

เรียกว่าการทดลองที่ไม่สามารถคาดเดาผลลัพธ์ได้ การทดลองแบบสุ่ม(เศ).

เหตุการณ์ที่อาจเกิดหรืออาจไม่เกิดขึ้นใน SE ที่กำหนดเรียกว่า เหตุการณ์สุ่ม.

ผลลัพธ์เบื้องต้นเหตุการณ์ที่ตรงตามข้อกำหนดเรียกว่า:

1. ด้วยการดำเนินการใดๆ ของ SE ผลลัพธ์เบื้องต้นหนึ่งเดียวเท่านั้นที่เกิดขึ้น

2. ทุกเหตุการณ์คือการรวมกันที่แน่นอน ซึ่งเป็นผลลัพธ์เบื้องต้นชุดหนึ่ง

ชุดของผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้ทั้งหมดอธิบาย SE ได้อย่างสมบูรณ์ โดยปกติจะเรียกว่าชุดดังกล่าว พื้นที่ของผลลัพธ์เบื้องต้น(เป่ย). ทางเลือกของ PEI เพื่ออธิบาย SE ที่กำหนดนั้นคลุมเครือ และขึ้นอยู่กับปัญหาที่กำลังแก้ไข

P(A) = n(A)/n,

โดยที่ n คือจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เท่ากัน

n (A) – จำนวนผลลัพธ์ที่ประกอบเป็นเหตุการณ์ A ตามที่พวกเขาพูดกันว่าเป็นผลดีต่อเหตุการณ์ A

คำว่า "สุ่ม" "สุ่ม" "สุ่ม" รับประกันความเป็นไปได้ที่เท่าเทียมกันของผลลัพธ์เบื้องต้น

การแก้ตัวอย่างทั่วไป

ตัวอย่างที่ 1 จากโกศที่บรรจุลูกบอลสีแดง 5 ลูก สีดำ 3 ลูก และสีขาว 2 ลูก จะมีการสุ่มจับลูกบอล 3 ลูก ค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์:

ก– “ลูกบอลที่สุ่มออกมาทั้งหมดเป็นสีแดง”;

ใน– “ลูกบอลที่สุ่มออกมาทั้งหมดมีสีเดียวกัน”;

กับ– “ในบรรดาที่สกัดออกมานั้นมีสีดำอยู่ 2 อันพอดี”

สารละลาย:

ผลลัพธ์เบื้องต้นของ SE นี้คือลูกบอลสามเท่า (ไม่เป็นระเบียบ!) ดังนั้น จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดคือจำนวนชุดค่าผสม: n == 120 (10 = 5 + 3 + 2)

เหตุการณ์ กประกอบด้วยลูกแฝดสามตัวที่ดึงมาจากลูกบอลสีแดงห้าลูกเท่านั้นคือ n(ก)==10.

เหตุการณ์ ในนอกจากสามสีแดง 10 ตัวแล้ว สามสีดำก็เป็นที่นิยมเช่นกัน จำนวนคือ = 1 ดังนั้น: n (B)=10+1=11

เหตุการณ์ กับแนะนำให้ใช้ลูกบอลสามลูกที่มีสีดำ 2 ลูกและลูกที่ไม่ใช่สีดำหนึ่งลูก แต่ละวิธีในการเลือกลูกบอลสีดำสองลูกสามารถใช้ร่วมกับการเลือกลูกบอลที่ไม่ใช่สีดำหนึ่งลูกได้ (จากเจ็ดลูก) ดังนั้น: n (C) = = 3 * 7 = 21

ดังนั้น: พี(เอ) = 10/120; พี(บี) = 11/120; อาร์(ส) = 21/120.

ตัวอย่างที่ 2 ในเงื่อนไขของปัญหาที่แล้ว เราจะถือว่าลูกบอลแต่ละสีมีหมายเลขของตัวเอง โดยเริ่มจาก 1 ค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์:

ดี– “จำนวนสูงสุดที่แยกออกมาได้คือ 4”;

อี– “จำนวนสูงสุดที่แยกออกมาได้คือ 3”

สารละลาย:

ในการคำนวณ n(D) เราสามารถสรุปได้ว่าโกศนั้นมีลูกบอลหนึ่งลูกที่มีหมายเลข 4 หนึ่งลูกที่มีจำนวนสูงกว่า และลูกบอล 8 ลูก (3k+3h+2b) ที่มีตัวเลขต่ำกว่า เหตุการณ์ ดีลูกบอลทั้งสามลูกที่จำเป็นต้องมีลูกบอลหมายเลข 4 และ 2 ที่มีหมายเลขต่ำกว่านั้นเป็นที่ชื่นชอบ ดังนั้น: n(D) =

พี(ล) = 28/120.

ในการคำนวณ n (E) เราพิจารณา: มีลูกบอลสองลูกในโกศที่มีหมายเลข 3 สองลูกที่มี จำนวนมากและลูกบอลหกลูกที่มีตัวเลขต่ำกว่า (2k+2h+2b) เหตุการณ์ อีประกอบด้วยแฝดสามสองประเภท:

1. ลูกหนึ่งลูกที่มีหมายเลข 3 และสองลูกที่มีหมายเลขต่ำกว่า

2.ลูกบอลสองลูกที่มีหมายเลข 3 และอีกหนึ่งลูกที่มีหมายเลขต่ำกว่า

ดังนั้น: n(E)=

P(อี) = 36/120.

ตัวอย่างที่ 3 อนุภาค M แต่ละอนุภาคที่แตกต่างกันจะถูกสุ่มโยนเข้าไปในเซลล์ N เซลล์ใดเซลล์หนึ่ง ค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์:

ก– อนุภาคทั้งหมดตกลงไปในเซลล์ที่สอง

ใน– อนุภาคทั้งหมดตกลงไปอยู่ในเซลล์เดียว

กับ– แต่ละเซลล์มีอนุภาคไม่เกินหนึ่งอนุภาค (M £ N)

ดี– เซลล์ทั้งหมดถูกครอบครอง (M =N +1)

อี– เซลล์ที่สองมีข้อมูลครบถ้วน ถึง อนุภาค

สารละลาย:

สำหรับแต่ละอนุภาคมี N วิธีในการเข้าไปในเซลล์ใดเซลล์หนึ่ง ตามหลักการพื้นฐานของการรวมกันสำหรับอนุภาค M เรามี N *N *N *…*N (M คูณ) ดังนั้น จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดใน SE n = N M

สำหรับแต่ละอนุภาค เรามีโอกาสเข้าไปในเซลล์ที่สองได้เพียงครั้งเดียว ดังนั้น n (A) = 1*1*…*1= 1 M = 1 และ P(A) = 1/ N M

การเข้าไปในเซลล์เดียว (สำหรับอนุภาคทั้งหมด) หมายถึงการนำทุกคนเข้าสู่เซลล์ที่หนึ่ง หรือทุกคนเข้าสู่เซลล์ที่สอง หรืออื่นๆ ทุกคนใน Nth แต่แต่ละตัวเลือก N เหล่านี้สามารถนำไปใช้ในทางเดียวได้ ดังนั้น n (B)=1+1+…+1(N -times)=N และ Р(В)=N/N M.

เหตุการณ์ C หมายความว่าแต่ละอนุภาคมีตัวเลือกการจัดตำแหน่งน้อยกว่าอนุภาคก่อนหน้าหนึ่งตัวเลือก และอนุภาคแรกสามารถอยู่ในเซลล์ N ใดก็ได้ นั่นเป็นเหตุผล:

n (C) = N *(N -1)*…*(N +M -1) และ Р(С) =

ในกรณีเฉพาะกับ M =N: Р(С)=

เหตุการณ์ D หมายความว่าเซลล์ใดเซลล์หนึ่งประกอบด้วยอนุภาค 2 อนุภาค และเซลล์ที่เหลือ (N -1) แต่ละเซลล์มีอนุภาค 1 อนุภาค ในการค้นหา n (D) เราให้เหตุผลดังนี้: เลือกเซลล์ที่จะมีสองอนุภาค ซึ่งสามารถทำได้ด้วยวิธี =N; จากนั้นเราจะเลือกอนุภาคสองตัวสำหรับเซลล์นี้ ซึ่งมีหลายวิธีในการทำเช่นนี้ หลังจากนั้นเราจะกระจายอนุภาคที่เหลือ (N -1) ทีละเซลล์ไปยังเซลล์ (N -1) ที่เหลือเนื่องจากมี (N -1)! วิธี

ดังนั้น n(D) =

.

สามารถคำนวณจำนวน n(E) ได้ดังนี้: ถึง อนุภาคสำหรับเซลล์ที่สองสามารถทำได้หลายวิธี อนุภาคที่เหลือ (M – K) จะถูกกระจายแบบสุ่มไปบนเซลล์ (N -1) (N -1) ในลักษณะ M-K นั่นเป็นเหตุผล:

ระดับแรก

ทฤษฎีความน่าจะเป็น การแก้ปัญหา (2019)

ความน่าจะเป็นคืออะไร?

เจอคำนี้ครั้งแรกก็ไม่เข้าใจว่ามันคืออะไร ดังนั้นผมจะพยายามอธิบายให้ชัดเจน

ความน่าจะเป็นคือโอกาสที่เหตุการณ์ที่เราอยากให้เกิดขึ้น

ตัวอย่างเช่น คุณตัดสินใจไปบ้านเพื่อน คุณจำทางเข้าและแม้แต่ชั้นที่เขาอาศัยอยู่ได้ แต่ฉันลืมหมายเลขและที่ตั้งของอพาร์ตเมนต์ และตอนนี้คุณกำลังยืนอยู่บนบันได และตรงหน้าคุณมีประตูให้เลือก

โอกาส (ความน่าจะเป็น) ที่ถ้าคุณกดกริ่งประตูอันแรกเพื่อนของคุณจะตอบประตูให้คุณคืออะไร? มีเพียงอพาร์ตเมนต์เท่านั้นและเพื่อนคนหนึ่งอาศัยอยู่ด้านหลังเพียงห้องเดียวเท่านั้น ด้วยโอกาสที่เท่าเทียมกันเราสามารถเลือกประตูใดก็ได้

แต่โอกาสนี้คืออะไร?

ประตู ประตูขวา. ความน่าจะเป็นในการทายผลจากการกดกริ่งประตูอันแรก: . นั่นคือหนึ่งในสามที่คุณจะเดาได้อย่างแม่นยำ

เราอยากรู้ว่าโทรไปครั้งเดียวจะเดาประตูได้บ่อยแค่ไหน? ลองดูตัวเลือกทั้งหมด:

1. คุณโทรมา ที่ 1ประตู
2. คุณโทรมา 2ประตู
3. คุณโทรมา 3ประตู

ตอนนี้เรามาดูตัวเลือกทั้งหมดที่เพื่อนอาจเป็นได้:

ก. ด้านหลัง ที่ 1ประตู
ข. ด้านหลัง 2ประตู
วี. ด้านหลัง 3ประตู

ลองเปรียบเทียบตัวเลือกทั้งหมดในรูปแบบตาราง เครื่องหมายถูกระบุตัวเลือกต่างๆ เมื่อตัวเลือกของคุณตรงกับตำแหน่งของเพื่อน เครื่องหมายกากบาท - เมื่อไม่ตรงกัน

คุณเห็นทุกอย่างได้อย่างไร อาจจะ ตัวเลือกตำแหน่งของเพื่อนของคุณและการเลือกประตูที่จะดัง

ก ผลลัพธ์อันดีทั้งสิ้น . นั่นคือคุณจะเดาได้หนึ่งครั้งโดยกดกริ่งประตูหนึ่งครั้งนั่นคือ -

นี่คือความน่าจะเป็น - อัตราส่วนของผลลัพธ์ที่น่าพึงพอใจ (เมื่อตัวเลือกของคุณตรงกับตำแหน่งของเพื่อนของคุณ) ต่อจำนวนเหตุการณ์ที่เป็นไปได้

คำจำกัดความคือสูตร ความน่าจะเป็นมักจะแสดงด้วย p ดังนั้น:

การเขียนสูตรดังกล่าวไม่สะดวกนัก ดังนั้นเราจึงใช้ - จำนวนผลลัพธ์ที่น่าพอใจ และ - จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด

ความน่าจะเป็นสามารถเขียนเป็นเปอร์เซ็นต์ได้ คุณต้องคูณผลลัพธ์ที่ได้ด้วย:

คำว่า "ผลลัพธ์" อาจดึงดูดสายตาคุณ เพราะนักคณิตศาสตร์โทรมา การกระทำต่างๆ(ในประเทศของเราการกระทำเช่นนี้คือกริ่งประตู) การทดลอง จากนั้นผลลัพธ์ของการทดลองดังกล่าวมักเรียกว่าผลลัพธ์

มีทั้งผลดีและผลเสีย

กลับไปที่ตัวอย่างของเรากัน สมมติว่าเราส่งเสียงประตูบานหนึ่ง แต่มันเปิดให้เรา คนแปลกหน้า- เราคาดเดาไม่ถูก ความน่าจะเป็นที่ถ้าเรากดประตูที่เหลืออีกบานหนึ่ง เพื่อนของเราก็จะเปิดประตูให้เราเป็นเท่าไหร่?

หากคุณคิดเช่นนั้นแสดงว่านี่คือความผิดพลาด ลองคิดดูสิ

เรามีประตูเหลืออยู่สองประตู ดังนั้นเราจึงมีขั้นตอนที่เป็นไปได้:

1) โทร ที่ 1ประตู
2) โทร 2ประตู

แม้จะทั้งหมดนี้ เพื่อนคนนี้ก็อยู่ข้างหลังหนึ่งในนั้นอย่างแน่นอน (ท้ายที่สุดแล้ว เขาไม่ได้อยู่ข้างหลังคนที่เราโทรหา):

ก) เพื่อนสำหรับ ที่ 1ประตู
b) เพื่อนสำหรับ 2ประตู

มาวาดตารางอีกครั้ง:

อย่างที่คุณเห็นมีเพียงตัวเลือกเท่านั้นที่เป็นประโยชน์ นั่นคือความน่าจะเป็นเท่ากัน

ทำไมจะไม่ล่ะ?

สถานการณ์ที่เราพิจารณาคือ ตัวอย่างของเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพาเหตุการณ์แรกคือกริ่งประตูอันแรก เหตุการณ์ที่สองคือกริ่งประตูที่สอง

และพวกมันถูกเรียกว่าขึ้นอยู่กับเพราะมันมีอิทธิพลต่อการกระทำต่อไปนี้ ท้ายที่สุดแล้ว หากเพื่อนตอบรับกริ่งประตูแรกหลังจากกดกริ่งครั้งแรก ความน่าจะเป็นที่เขาจะตามหลังอีกคนหนึ่งจากอีกสองคนที่เหลือจะเป็นเท่าใด ขวา, .

แต่หากมีเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพาก็ต้องมีเช่นกัน เป็นอิสระ- ถูกต้อง พวกมันเกิดขึ้น

ตัวอย่างหนังสือเรียนคือการโยนเหรียญ

1. โยนเหรียญหนึ่งครั้ง เช่น ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวเป็นเท่าใด? ถูกต้อง - เนื่องจากมีตัวเลือกทั้งหมด (ไม่ว่าจะหัวหรือก้อยเราจะละเลยความน่าจะเป็นที่เหรียญจะตกที่ขอบ) แต่มันเหมาะกับเราเท่านั้น
2. แต่มันก็ขึ้นมาในหัว โอเค เรามาโยนมันอีกครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวตอนนี้เป็นเท่าไหร่? ไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลง ทุกอย่างยังเหมือนเดิม มีกี่ตัวเลือก? สอง. เราพอใจกับมันมากแค่ไหน? หนึ่ง.

และปล่อยให้มันขึ้นหัวอย่างน้อยพันครั้งติดต่อกัน ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวในครั้งเดียวจะเท่ากัน มีตัวเลือกอยู่เสมอและตัวเลือกที่ดี

มันง่ายที่จะแยกแยะเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพาจากเหตุการณ์อิสระ:

1. หากทำการทดลองเพียงครั้งเดียว (โยนเหรียญหนึ่งครั้ง กดกริ่งประตูหนึ่งครั้ง ฯลฯ) เหตุการณ์ต่างๆ จะเป็นอิสระจากกันเสมอ
2. หากทำการทดลองหลายครั้ง (โยนเหรียญหนึ่งครั้ง กริ่งประตูดังหลายครั้ง) เหตุการณ์แรกจะเป็นอิสระจากกันเสมอ จากนั้น ถ้าจำนวนผลที่ได้เปรียบหรือจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดเปลี่ยนแปลง เหตุการณ์ต่างๆ จะขึ้นอยู่กับ และถ้าไม่ มันก็จะเป็นอิสระกัน

มาฝึกกำหนดความน่าจะเป็นกันสักหน่อย

ตัวอย่างที่ 1

มีการโยนเหรียญสองครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวสองครั้งติดต่อกันคือเท่าไร?

สารละลาย:

ลองพิจารณาทุกอย่าง ตัวเลือกที่เป็นไปได้:

1. อินทรีอินทรี
2. หัว-ก้อย
3. ก้อย-หัว
4. ก้อยก้อย

อย่างที่คุณเห็นมีเพียงตัวเลือกเท่านั้น เท่านี้เราก็พอใจแล้ว นั่นคือความน่าจะเป็น:

หากเงื่อนไขขอให้ค้นหาความน่าจะเป็น ก็ควรให้คำตอบอยู่ในแบบฟอร์ม ทศนิยม- หากระบุว่าควรให้คำตอบเป็นเปอร์เซ็นต์ เราก็จะคูณด้วย

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 2

ในกล่องช็อคโกแลต ช็อคโกแลตทั้งหมดจะถูกบรรจุในกระดาษห่อเดียวกัน อย่างไรก็ตามจากของหวาน - กับถั่ว, กับคอนญัก, กับเชอร์รี่, ด้วยคาราเมลและกับตังเม

ความน่าจะเป็นที่จะหยิบลูกกวาดหนึ่งลูกแล้วได้ลูกกวาดที่มีถั่วเป็นเท่าไหร่? ให้คำตอบของคุณเป็นเปอร์เซ็นต์

สารละลาย:

มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้กี่แบบ? -

นั่นคือถ้าคุณหยิบขนมมาหนึ่งชิ้น มันจะเป็นหนึ่งในขนมที่มีอยู่ในกล่อง

มีผลดีกี่ประการ?

เพราะในกล่องมีเพียงช็อคโกแลตที่มีถั่วเท่านั้น

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 3

ในกล่องลูกโป่ง ซึ่งมีสีขาวและดำ

1. ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีขาวเป็นเท่าไร?
2. เราเพิ่มลูกบอลสีดำเข้าไปในกล่อง ตอนนี้ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีขาวเป็นเท่าใด?

สารละลาย:

ก) ในกล่องมีเพียงลูกบอลเท่านั้น ในจำนวนนี้มีสีขาว

ความน่าจะเป็นคือ:

b) ตอนนี้มีลูกมากขึ้นในกล่อง และยังมีคนผิวขาวเหลืออยู่อีกมาก - .

คำตอบ:

ความน่าจะเป็นทั้งหมด

สมมติว่ามีลูกบอลสีแดงและเขียวอยู่ในกล่อง ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีแดงเป็นเท่าไร? ลูกบอลสีเขียว? ลูกบอลสีแดงหรือสีเขียว?

ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีแดง

ลูกบอลสีเขียว:

ลูกบอลสีแดงหรือสีเขียว:

อย่างที่คุณเห็น ผลรวมของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะเท่ากับ () การเข้าใจประเด็นนี้จะช่วยคุณแก้ปัญหาต่างๆ ได้มากมาย

ตัวอย่างที่ 4

ในกล่องมีเครื่องหมาย: เขียว แดง น้ำเงิน เหลือง ดำ

ความน่าจะเป็นที่จะวาดไม่ใช่เครื่องหมายสีแดงเป็นเท่าใด

สารละลาย:

มานับเลขกัน ผลลัพธ์ที่ดี

ไม่ใช่เครื่องหมายสีแดง นั่นหมายถึงสีเขียว น้ำเงิน เหลือง หรือดำ

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ทั้งหมด และความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เราพิจารณาว่าไม่น่าพอใจ (เมื่อเราเอาเครื่องหมายสีแดงออก) คือ

ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะดึงปากกาสักหลาดที่ไม่ใช่สีแดงออกมาคือ

คำตอบ:

กฎสำหรับการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ

คุณรู้อยู่แล้วว่ากิจกรรมอิสระคืออะไร

จะเป็นอย่างไรถ้าคุณต้องการค้นหาความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์อิสระสองเหตุการณ์ (หรือมากกว่า) จะเกิดขึ้นติดต่อกัน?

สมมติว่าเราอยากรู้ว่าความน่าจะเป็นที่ถ้าเราโยนเหรียญหนึ่งครั้งเราจะเห็นหัวสองครั้งเป็นเท่าใด?

เราได้พิจารณาแล้ว - .

จะเป็นอย่างไรถ้าเราโยนเหรียญหนึ่งครั้ง? ความน่าจะเป็นที่จะเห็นนกอินทรี 2 ครั้งติดต่อกันเป็นเท่าใด?

ตัวเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหมด:

1. อินทรีอินทรีอินทรี
2. หัว-หัว-ก้อย
3. หัวก้อยหัว
4. หัว-ก้อย-ก้อย
5. ก้อยหัวหัว
6. ก้อยหัวก้อย
7. ก้อยก้อยหัว
8. หางหางหาง

ฉันไม่รู้เกี่ยวกับคุณ แต่ฉันทำผิดพลาดหลายครั้งเมื่อรวบรวมรายการนี้ ว้าว! และมีเพียงตัวเลือก (ตัวแรก) เท่านั้นที่เหมาะกับเรา

สำหรับการโยน 5 ครั้ง คุณสามารถจัดทำรายการผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ด้วยตัวเอง แต่นักคณิตศาสตร์ไม่ได้ทำงานหนักเท่าคุณ

ดังนั้นพวกเขาจึงสังเกตเห็นเป็นครั้งแรกและพิสูจน์ว่าความน่าจะเป็นของลำดับเหตุการณ์อิสระบางอย่างในแต่ละครั้งจะลดลงตามความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่ง

กล่าวอีกนัยหนึ่ง

เรามาดูตัวอย่างเหรียญอาถรรพ์เดียวกันกัน

ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวในการท้าทาย? - ตอนนี้เราพลิกเหรียญหนึ่งครั้ง

ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวติดกันคือเท่าไร?

กฎนี้ใช้ไม่ได้ผลเฉพาะเมื่อเราถูกขอให้ค้นหาความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์เดียวกันจะเกิดขึ้นหลายครั้งติดต่อกัน

หากเราต้องการค้นหาลำดับ TAILS-HEADS-TAILS สำหรับการทอยติดต่อกัน เราจะทำเช่นเดียวกัน

ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวลงคือ - , หัว -

ความน่าจะเป็นที่จะได้ลำดับ TAILS-HEADS-TAILS-TAILS:

คุณสามารถตรวจสอบได้ด้วยตัวเองโดยทำตาราง

กฎสำหรับการเพิ่มความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้

ดังนั้นหยุด! นิยามใหม่

ลองคิดดูสิ เอาเหรียญที่หมดสภาพของเรามาโยนมันครั้งเดียวกัน
ตัวเลือกที่เป็นไปได้:

1. อินทรีอินทรีอินทรี
2. หัว-หัว-ก้อย
3. หัวก้อยหัว
4. หัว-ก้อย-ก้อย
5. ก้อยหัวหัว
6. ก้อยหัวก้อย
7. ก้อยก้อยหัว
8. หางหางหาง

ดังนั้นเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้จึงเป็นเหตุการณ์ที่แน่นอนโดยพิจารณาจากลำดับของเหตุการณ์ - สิ่งเหล่านี้เป็นเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้

หากเราต้องการพิจารณาว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้สองเหตุการณ์ (หรือมากกว่า) คืออะไร เราจะเพิ่มความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้

คุณต้องเข้าใจว่าหัวหรือก้อยเป็นเหตุการณ์สองเหตุการณ์ที่เป็นอิสระจากกัน

ถ้าเราต้องการหาความน่าจะเป็นของลำดับ (หรืออื่นๆ) ที่เกิดขึ้น เราจะใช้กฎของการคูณความน่าจะเป็น
ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวในการทอยครั้งแรก และก้อยในการทอยครั้งที่สองและครั้งที่สามเป็นเท่าใด?

แต่ถ้าเราอยากรู้ว่าความน่าจะเป็นที่จะได้ลำดับใดลำดับหนึ่งจากหลายๆ ลำดับเป็นเท่าใด เช่น เมื่อหัวขึ้นมาเพียงครั้งเดียว นั่นคือ ตัวเลือกต่างๆ แล้วเราต้องบวกความน่าจะเป็นของลำดับเหล่านี้

ตัวเลือกทั้งหมดเหมาะกับเรา

เราสามารถได้รับสิ่งเดียวกันโดยการเพิ่มความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นของแต่ละลำดับ:

ดังนั้นเราจึงเพิ่มความน่าจะเป็นเมื่อเราต้องการกำหนดความน่าจะเป็นของลำดับเหตุการณ์บางอย่างที่ไม่สอดคล้องกัน

มีกฎที่ดีที่จะช่วยให้คุณหลีกเลี่ยงความสับสนว่าเมื่อใดควรคูณและเมื่อใดควรบวก:

กลับไปที่ตัวอย่างที่เราโยนเหรียญหนึ่งครั้งและต้องการทราบความน่าจะเป็นที่จะได้หัวหนึ่งครั้ง
จะเกิดอะไรขึ้น?

ควรหลุดออกไป:
(หัวและก้อยและก้อย) หรือ (ก้อยและหัวและก้อย) หรือ (ก้อยและก้อยและหัว)
ปรากฎดังนี้:

ลองดูตัวอย่างบางส่วน

ตัวอย่างที่ 5

มีดินสออยู่ในกล่อง สีแดง สีเขียว สีส้ม และสีเหลืองและสีดำ ความน่าจะเป็นที่จะออกสีแดงหรือ ดินสอสีเขียวและ?

สารละลาย:

จะเกิดอะไรขึ้น? เราต้องดึง (แดงหรือเขียว)

ตอนนี้เป็นที่ชัดเจนแล้ว มาเพิ่มความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้กันดีกว่า:

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 6

ถ้าโยนลูกเต๋า 2 ครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะได้แต้มทั้งหมด 8 แต้มเป็นเท่าใด

สารละลาย.

เราจะได้คะแนนได้อย่างไร?

(และ) หรือ (และ) หรือ (และ) หรือ (และ) หรือ (และ)

ความน่าจะเป็นที่จะได้หนึ่ง (หน้าใดก็ได้) คือ

เราคำนวณความน่าจะเป็น:

คำตอบ:

การฝึกอบรม.

ฉันคิดว่าตอนนี้คุณเข้าใจแล้วเมื่อคุณต้องคำนวณความน่าจะเป็น เมื่อใดควรบวก และเมื่อใดควรคูณ มันไม่ได้เป็น? มาฝึกกันหน่อย

งาน:

เรามาเล่นสำรับไพ่ที่มีไพ่ต่างๆ ซึ่งประกอบด้วย โพดำ หัวใจ 13 ดอก และเพชร 13 ดอก จากไปจนถึงเอซของแต่ละชุด

1. ความน่าจะเป็นที่จะจั่วไม้กอล์ฟติดต่อกันเป็นเท่าไร (เรานำไพ่ใบแรกที่ดึงออกมากลับเข้าไปในสำรับแล้วสับไพ่)?
2. ความน่าจะเป็นที่จะได้ไพ่สีดำ (โพดำหรือไม้กอล์ฟ) คือเท่าไร?
3. ความน่าจะเป็นในการวาดภาพ (แจ็ค ควีน คิง หรือเอซ) เป็นเท่าใด?
4. ความน่าจะเป็นที่จะวาดภาพสองภาพติดต่อกันคือเท่าไร (เราเอาไพ่ใบแรกที่จั่วออกจากสำรับ)?
5. ความน่าจะเป็นที่จะหยิบไพ่สองใบเพื่อรวบรวมไพ่ผสมกัน (แจ็ค ควีน หรือคิง) และเอซคืออะไร?

คำตอบ:

1. ในสำรับไพ่แต่ละใบจะหมายถึง:
2. เหตุการณ์จะขึ้นอยู่กับ เนื่องจากหลังจากดึงไพ่ใบแรกออกมา จำนวนไพ่ในสำรับก็ลดลง (เช่นเดียวกับจำนวน "รูปภาพ") ในตอนแรกมีแจ็ค ควีน คิง และเอซรวมอยู่ ซึ่งหมายถึงความน่าจะเป็นที่จะจั่ว “รูปภาพ” ด้วยไพ่ใบแรก:

   เนื่องจากเรานำไพ่ใบแรกออกจากสำรับ นั่นหมายความว่ามีไพ่เหลืออยู่ในสำรับอยู่แล้ว รวมทั้งรูปภาพด้วย ความน่าจะเป็นในการวาดภาพด้วยไพ่ใบที่สอง:

   เนื่องจากเราสนใจในสถานการณ์เมื่อเรานำ "รูปภาพ" และ "รูปภาพ" ออกจากสำรับ เราจึงต้องคูณความน่าจะเป็น:

   คำตอบ:

3. หลังจากดึงไพ่ใบแรกออกมา จำนวนไพ่ในสำรับจะลดลง ดังนั้นมีสองตัวเลือกที่เหมาะกับเรา:
   1) ไพ่ใบแรกคือเอซ ไพ่ใบที่สองคือแจ็ค ควีน หรือคิง
   2) เรานำแจ็ค ควีน หรือคิงออกมาด้วยไพ่ใบแรก และเอซด้วยไพ่ใบที่สอง (เอซ และ (แจ็ค หรือ ควีน หรือ คิง)) หรือ ((แจ็ค หรือ ควีน หรือ คิง) และ เอซ) อย่าลืมลดจำนวนไพ่ในสำรับด้วยล่ะ!

หากคุณสามารถแก้ปัญหาทั้งหมดได้ด้วยตัวเอง แสดงว่าคุณเยี่ยมมาก! ตอนนี้คุณจะถอดรหัสปัญหาทฤษฎีความน่าจะเป็นในการสอบ Unified State อย่างถั่ว!

ทฤษฎีความน่าจะเป็น ระดับเฉลี่ย

ลองดูตัวอย่าง สมมติว่าเราโยนลูกเต๋า นี่มันกระดูกอะไรรู้มั้ย? นี่คือสิ่งที่พวกเขาเรียกว่าลูกบาศก์ที่มีตัวเลขอยู่บนใบหน้า มีกี่หน้า กี่เลข จากไปกี่หน้า? ก่อน.

ดังนั้นเราจึงทอยลูกเต๋าและเราต้องการให้มันขึ้นมาหรือ และเราได้รับมัน

ตามทฤษฎีความน่าจะเป็น พวกเขาบอกว่าเกิดอะไรขึ้น เหตุการณ์อันเป็นมงคล(อย่าสับสนกับความเจริญ)

หากเกิดขึ้นเหตุการณ์นั้นก็จะเป็นผลดีเช่นกัน โดยรวมแล้วมีเพียงสองเหตุการณ์ที่ดีเท่านั้นที่สามารถเกิดขึ้นได้

มีกี่อันที่ไม่เอื้ออำนวย? เนื่องจากมีเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด หมายความว่าเหตุการณ์ที่ไม่เอื้ออำนวยนั้นเป็นเหตุการณ์ (นี่คือถ้าหรือหลุดออกไป)

คำนิยาม:

ความน่าจะเป็นคืออัตราส่วนของจำนวนเหตุการณ์ที่น่าพึงพอใจต่อจำนวนเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด- นั่นคือความน่าจะเป็นแสดงให้เห็นว่าสัดส่วนของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเป็นที่น่าพอใจ

บ่งบอกถึงความน่าจะเป็น อักษรละติน(เห็นได้ชัดว่ามาจาก คำภาษาอังกฤษความน่าจะเป็น - ความน่าจะเป็น)

เป็นเรื่องปกติที่จะวัดความน่าจะเป็นเป็นเปอร์เซ็นต์ (ดูหัวข้อ) เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ต้องคูณค่าความน่าจะเป็นด้วย ในตัวอย่างลูกเต๋า ความน่าจะเป็น

และเป็นเปอร์เซ็นต์: .

ตัวอย่าง (ตัดสินใจด้วยตัวเอง):

1. ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวเมื่อโยนเหรียญเป็นเท่าไหร่? ความน่าจะเป็นที่จะลงจอดเป็นเท่าใด?
2. ความน่าจะเป็นที่จะได้เลขคู่เมื่อขว้างลูกเต๋าคือเท่าไร? และอันไหนแปลก?
3. ในกล่องดินสอสีน้ำเงินและสีแดงที่เรียบง่าย เราสุ่มวาดดินสอหนึ่งอัน ความน่าจะเป็นที่จะได้อันง่าย ๆ เป็นเท่าไหร่?

โซลูชั่น:

1. มีกี่ตัวเลือก? หัวและก้อย - แค่สองอัน มีกี่อันที่ดี? มีเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้นที่เป็นนกอินทรี ดังนั้นความน่าจะเป็น

   เช่นเดียวกับก้อย: .

2. ตัวเลือกทั้งหมด: (ลูกบาศก์มีกี่ด้าน, มีหลายด้าน ตัวเลือกต่างๆ- สิ่งที่ชอบ: (นี่คือเลขคู่ทั้งหมด :)
   ความน่าจะเป็น แน่นอนว่ามันเหมือนกันกับเลขคี่
3. ทั้งหมด: . ดี: . ความน่าจะเป็น: .

ความน่าจะเป็นทั้งหมด

ดินสอทั้งหมดในกล่องเป็นสีเขียว ความน่าจะเป็นที่จะวาดดินสอสีแดงเป็นเท่าใด? ไม่มีโอกาส: ความน่าจะเป็น (ท้ายที่สุดแล้ว เหตุการณ์ที่ดี -)

เหตุการณ์ดังกล่าวเรียกว่าเป็นไปไม่ได้

ความน่าจะเป็นที่จะวาดดินสอสีเขียวเป็นเท่าใด? มีจำนวนเหตุการณ์ที่น่าพอใจเท่ากันทุกประการกับจำนวนเหตุการณ์ทั้งหมด (เหตุการณ์ที่เป็นมงคลทั้งหมด) ความน่าจะเป็นจึงเท่ากับหรือ

เหตุการณ์ดังกล่าวเรียกว่าเชื่อถือได้

ถ้ากล่องมีดินสอสีเขียวและสีแดง ความน่าจะเป็นที่จะวาดสีเขียวหรือสีแดงเป็นเท่าใด อีกแล้ว. โปรดทราบว่าความน่าจะเป็นที่จะดึงสีเขียวออกมามีค่าเท่ากัน และสีแดงมีค่าเท่ากัน

โดยรวมแล้ว ความน่าจะเป็นเหล่านี้เท่ากันทุกประการ นั่นคือ, ผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเท่ากับหรือ

ตัวอย่าง:

ในกล่องดินสอมีสีฟ้า แดง เขียว ธรรมดา เหลือง และที่เหลือเป็นสีส้ม ความน่าจะเป็นที่ไม่วาดสีเขียวคือเท่าไร?

สารละลาย:

เราจำได้ว่าความน่าจะเป็นทั้งหมดเพิ่มขึ้น และความน่าจะเป็นที่จะได้สีเขียวก็เท่ากัน ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นที่จะไม่วาดสีเขียวจะเท่ากัน

จำเคล็ดลับนี้:ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะไม่เกิดขึ้นเท่ากับลบความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้น

เหตุการณ์อิสระและกฎการคูณ

คุณพลิกเหรียญหนึ่งครั้งและต้องการให้มันขึ้นหัวทั้งสองครั้ง ความน่าจะเป็นของสิ่งนี้คืออะไร?

มาดูตัวเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหมดแล้วพิจารณาว่ามีกี่ตัวเลือก:

หัว-หัว, ก้อย-หัว, หัว-ก้อย, ก้อย-ก้อย. อะไรอีก?

ตัวเลือกทั้งหมด ในจำนวนนี้มีเพียงคนเดียวเท่านั้นที่เหมาะกับเรา: Eagle-Eagle โดยรวมแล้วมีความน่าจะเป็นเท่ากัน

ดี. ทีนี้ลองพลิกเหรียญสักครั้ง ทำคณิตศาสตร์ด้วยตัวเอง เกิดขึ้น? (คำตอบ).

คุณอาจสังเกตเห็นว่าการเพิ่มการโยนครั้งต่อๆ ไป ความน่าจะเป็นลดลงครึ่งหนึ่ง กฎทั่วไปเรียกว่า กฎการคูณ:

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระจะเปลี่ยนไป

กิจกรรมอิสระคืออะไร? ทุกอย่างมีเหตุผล: สิ่งเหล่านี้ไม่ขึ้นอยู่กับกันและกัน ตัวอย่างเช่น เมื่อเราโยนเหรียญหลายครั้ง แต่ละครั้งที่มีการโยนครั้งใหม่ ผลลัพธ์ที่ได้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับการโยนครั้งก่อนทั้งหมด เราสามารถโยนเหรียญสองเหรียญในเวลาเดียวกันได้อย่างง่ายดาย

ตัวอย่างเพิ่มเติม:

1. ลูกเต๋าจะถูกโยนสองครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะได้ทั้งสองครั้งเป็นเท่าไหร่?
2. มีการโยนเหรียญหนึ่งครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะขึ้นหัวครั้งแรก แล้วก้อยสองครั้งเป็นเท่าใด?
3. ผู้เล่นทอยลูกเต๋าสองลูก ความน่าจะเป็นที่ผลรวมของตัวเลขเหล่านี้จะเท่ากันคือเท่าไร?

คำตอบ:

1. เหตุการณ์มีความเป็นอิสระ ซึ่งหมายความว่ากฎการคูณจะทำงาน:
2. ความน่าจะเป็นของหัวจะเท่ากัน ความน่าจะเป็นของก้อยก็เหมือนกัน คูณ:
3. 12 สามารถรับได้ก็ต่อเมื่อมีการทอยสอง -ki:

เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้และกฎการเพิ่ม

เหตุการณ์ที่เสริมซึ่งกันและกันจนมีความน่าจะเป็นเต็มที่เรียกว่าเข้ากันไม่ได้ ตามชื่อมันไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้ เช่น ถ้าเราโยนเหรียญ มันจะขึ้นหัวหรือก้อยก็ได้

ตัวอย่าง.

ในกล่องดินสอมีสีฟ้า แดง เขียว ธรรมดา เหลือง และที่เหลือเป็นสีส้ม ความน่าจะเป็นที่จะวาดสีเขียวหรือสีแดงเป็นเท่าใด

สารละลาย .

ความน่าจะเป็นที่จะวาดดินสอสีเขียวมีค่าเท่ากัน สีแดง - .

เหตุการณ์ที่ดีทั้งหมด: เขียว + แดง ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นที่จะวาดสีเขียวหรือสีแดงมีค่าเท่ากัน

ความน่าจะเป็นแบบเดียวกันสามารถแสดงได้ในรูปแบบนี้:

นี่คือกฎการเพิ่ม:ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้จะเพิ่มขึ้น

ปัญหาประเภทผสม

ตัวอย่าง.

มีการโยนเหรียญสองครั้ง ความน่าจะเป็นที่ผลลัพธ์ของการทอยจะแตกต่างออกไปคือเท่าไร?

สารละลาย .

ซึ่งหมายความว่าหากผลลัพธ์แรกเป็นหัว ผลที่สองจะต้องเป็นก้อย และในทางกลับกัน ปรากฎว่ามีเหตุการณ์อิสระสองคู่และคู่เหล่านี้เข้ากันไม่ได้ วิธีที่จะไม่สับสนว่าจะคูณตรงไหนและจะเพิ่มตรงไหน

มีกฎง่ายๆ สำหรับสถานการณ์ดังกล่าว พยายามอธิบายว่าจะเกิดอะไรขึ้นโดยใช้คำสันธาน “AND” หรือ “OR” ตัวอย่างเช่น ในกรณีนี้:

มันควรจะขึ้นมา (หัวและก้อย) หรือ (ก้อยและหัว)

เมื่อมีคำเชื่อม “และ” ก็จะมีการคูณ และเมื่อมี “หรือ” ก็จะต้องมีการบวกดังนี้

ลองด้วยตัวเอง:

1. ความน่าจะเป็นที่โยนเหรียญ 2 ครั้ง เหรียญจะตกด้านเดียวกันทั้ง 2 ครั้งเป็นเท่าไร?
2. ลูกเต๋าจะถูกโยนสองครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะได้คะแนนรวมเป็นเท่าใด?

โซลูชั่น:

1. (หัวล้มหางตก) หรือ (หางล้มหางตก): .
2. มีตัวเลือกอะไรบ้าง? และ. แล้ว:
   ลดลง (และ) หรือ (และ) หรือ (และ): .

ตัวอย่างอื่น:

โยนเหรียญหนึ่งครั้ง ความน่าจะเป็นที่หัวจะปรากฏอย่างน้อยหนึ่งครั้งเป็นเท่าใด?

สารละลาย:

โอ้ ฉันไม่อยากผ่านตัวเลือกเหล่านี้เลย... หัว-ก้อย-ก้อย อินทรีหัว-ก้อย... แต่ก็ไม่จำเป็น! จำเกี่ยวกับความน่าจะเป็นทั้งหมดกัน คุณจำได้ไหม? ความน่าจะเป็นที่นกอินทรีคืออะไร จะไม่หลุดออกไป- ง่ายมาก: หัวจะลอยอยู่ตลอดเวลานั่นคือสาเหตุ

ทฤษฎีความน่าจะเป็น สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ

ความน่าจะเป็นคืออัตราส่วนของจำนวนเหตุการณ์ที่น่าพึงพอใจต่อจำนวนเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด

เหตุการณ์อิสระ

สองเหตุการณ์เป็นอิสระต่อกัน หากการเกิดขึ้นของเหตุการณ์หนึ่งไม่ได้เปลี่ยนความน่าจะเป็นของอีกเหตุการณ์หนึ่งที่เกิดขึ้น

ความน่าจะเป็นทั้งหมด

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเท่ากับ ()

ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะไม่เกิดขึ้นเท่ากับลบความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้น

กฎสำหรับการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ

ความน่าจะเป็นของลำดับหนึ่งของเหตุการณ์อิสระจะเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์

เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้

เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้คือเหตุการณ์ที่ไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันอันเป็นผลมาจากการทดสอบ เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้จำนวนหนึ่งจะรวมตัวกันเป็นกลุ่มเหตุการณ์ที่สมบูรณ์

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้จะเพิ่มขึ้น

เมื่ออธิบายสิ่งที่จะเกิดขึ้นโดยใช้คำสันธาน "AND" หรือ "OR" เราใส่เครื่องหมายคูณแทน "AND" และใส่เครื่องหมายบวกแทน "OR"

เอาล่ะ หัวข้อมันจบลงแล้ว หากคุณกำลังอ่านบรรทัดเหล่านี้แสดงว่าคุณเจ๋งมาก

เพราะมีคนเพียง 5% เท่านั้นที่สามารถเชี่ยวชาญบางสิ่งได้ด้วยตัวเอง และถ้าคุณอ่านจนจบแสดงว่าคุณอยู่ใน 5% นี้!

ตอนนี้สิ่งที่สำคัญที่สุด

คุณเข้าใจทฤษฎีในหัวข้อนี้แล้ว และขอย้ำอีกครั้งว่า...นี่มันสุดยอดมาก! คุณเก่งกว่าคนรอบข้างส่วนใหญ่อยู่แล้ว

ปัญหาคือว่านี่อาจไม่เพียงพอ...

เพื่ออะไร?

เพื่อความสำเร็จ ผ่านการสอบ Unified Stateสำหรับการเข้าศึกษาในวิทยาลัยด้วยงบประมาณและที่สำคัญที่สุดคือตลอดชีวิต

ฉันจะไม่โน้มน้าวคุณในสิ่งใด ฉันจะพูดสิ่งเดียวเท่านั้น...

ผู้ที่ได้รับการศึกษาที่ดีจะมีรายได้มากกว่าผู้ที่ไม่ได้รับการศึกษา นี่คือสถิติ

แต่นี่ไม่ใช่สิ่งสำคัญ

สิ่งสำคัญคือพวกเขามีความสุขมากขึ้น (มีการศึกษาเช่นนี้) อาจเป็นเพราะยังมีอะไรเปิดกว้างอยู่ตรงหน้าพวกเขาอีกมาก ความเป็นไปได้มากขึ้นและชีวิตจะสดใสขึ้น? ไม่รู้...

แต่คิดเอาเองนะ...

ต้องใช้อะไรบ้างเพื่อให้แน่ใจว่าจะดีกว่าคนอื่นๆ ในการสอบ Unified State และสุดท้ายจะ... มีความสุขมากขึ้น?

รับมือกับปัญหาในหัวข้อนี้

คุณจะไม่ถูกถามถึงทฤษฎีในระหว่างการสอบ

คุณจะต้องการ แก้ปัญหากับเวลา.

และหากคุณยังไม่ได้แก้ไข (มาก!) คุณจะทำผิดพลาดโง่ ๆ อย่างแน่นอนหรือไม่มีเวลาเลย

มันเหมือนกับในกีฬา คุณต้องทำซ้ำหลาย ๆ ครั้งจึงจะชนะอย่างแน่นอน

ค้นหาคอลเลกชันทุกที่ที่คุณต้องการ จำเป็นต้องมีวิธีแก้ปัญหา การวิเคราะห์โดยละเอียด และตัดสินใจ ตัดสินใจ ตัดสินใจ!

คุณสามารถใช้งานของเรา (ไม่จำเป็น) และแน่นอนว่าเราแนะนำพวกเขา

เพื่อให้ใช้งานของเราได้ดียิ่งขึ้น คุณต้องช่วยยืดอายุหนังสือเรียน YouClever ที่คุณกำลังอ่านอยู่

ยังไง? มีสองตัวเลือก:

1. ปลดล็อคงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความนี้ - 299 ถู
2. ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความทั้ง 99 บทของหนังสือเรียน - 999 ถู

ใช่ เรามีบทความดังกล่าว 99 บทความในหนังสือเรียนของเราและเข้าถึงงานทั้งหมดได้ และสามารถเปิดข้อความที่ซ่อนอยู่ในนั้นได้ทันที

ในกรณีที่สอง เราจะให้คุณโปรแกรมจำลอง “6,000 ปัญหาพร้อมวิธีแก้ไขและคำตอบ สำหรับแต่ละหัวข้อ ในทุกระดับของความซับซ้อน” มันจะเพียงพอที่จะแก้ไขปัญหาในทุกหัวข้ออย่างแน่นอน

ในความเป็นจริงมันเป็นมากกว่าเครื่องจำลอง - โปรแกรมทั้งหมดการตระเตรียม. หากจำเป็น คุณก็สามารถใช้งานได้ฟรีเช่นกัน

การเข้าถึงข้อความและโปรแกรมทั้งหมดมีให้ตลอดระยะเวลาที่เว็บไซต์มีอยู่

สรุปแล้ว...

หากคุณไม่ชอบงานของเราก็หาคนอื่น อย่าหยุดอยู่ที่ทฤษฎีเท่านั้น

“เข้าใจแล้ว” และ “ฉันแก้ได้” เป็นทักษะที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง คุณต้องการทั้งสองอย่าง

ค้นหาปัญหาและแก้ไข!