1. สูตรคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

1.3.1. ลำดับการทดสอบอิสระ (วงจรเบอร์นูลลี)

สมมติว่าการทดลองบางอย่างสามารถทำซ้ำได้ภายใต้เงื่อนไขเดียวกัน ปล่อยให้ประสบการณ์นี้เกิดขึ้น nครั้ง เช่น ลำดับของ nการทดสอบ

คำนิยาม. ลำดับต่อมา n เรียกว่าการทดสอบ เป็นอิสระซึ่งกันและกัน หากเหตุการณ์ใดๆ ที่เกี่ยวข้องกับการทดสอบนั้นไม่ขึ้นอยู่กับเหตุการณ์ใดๆ ที่เกี่ยวข้องกับการทดสอบอื่นๆ

สมมติว่ามีเหตุการณ์บางอย่าง กมีแนวโน้มที่จะเกิดขึ้น พีอันเป็นผลมาจากการทดสอบครั้งหนึ่ง หรือไม่น่าจะเกิดขึ้น ถาม= 1- พี.

คำนิยาม . ลำดับของ nการทดสอบจะจัดรูปแบบ Bernoulli หากตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

ลำดับต่อมา nการทดสอบมีความเป็นอิสระซึ่งกันและกัน

2) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ กไม่เปลี่ยนจากการทดลองไปสู่การทดลองและไม่ขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ในการทดลองอื่นๆ

เหตุการณ์ กเรียกว่า “ความสำเร็จ” ของการทดสอบ และเหตุการณ์ตรงกันข้ามเรียกว่า “ความล้มเหลว” พิจารณาเหตุการณ์

=( ใน nการทดสอบเกิดขึ้นอย่างแน่นอน ม"ความสำเร็จ").

ในการคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้ สูตรเบอร์นูลลีใช้ได้

พี() =
, ม = 1, 2, …, n , (1.6)

ที่ไหน - จำนวนชุดค่าผสมของ nองค์ประกอบโดย ม :

=
=
.

ตัวอย่างที่ 1.16 ลูกเต๋าถูกโยนสามครั้ง หา:

ก) ความน่าจะเป็นที่ 6 คะแนนจะปรากฏสองครั้ง;

b) ความน่าจะเป็นที่จำนวนหกครั้งจะไม่ปรากฏเกินสองครั้ง

สารละลาย . เราจะถือว่า “ความสำเร็จ” ของการทดสอบเกิดขึ้นเมื่อด้านที่มีรูป 6 จุดปรากฏบนแม่พิมพ์

ก) จำนวนการทดสอบทั้งหมด – n=3, จำนวน “ความสำเร็จ” – ม = 2. ความน่าจะเป็นของ “ความสำเร็จ” - พี=, และความน่าจะเป็นของ "ความล้มเหลว" คือ ถาม= 1 - =. จากนั้นตามสูตรของเบอร์นูลลี ความน่าจะเป็นที่ผลจากการโยนลูกเต๋า 3 ครั้ง ด้านที่มี 6 แต้มจะปรากฏสองครั้งจะเท่ากับ

.

b) ให้เราแสดงโดย กเหตุการณ์ที่หมายความว่าฝ่ายที่มีคะแนน 6 จะปรากฏไม่เกินสองครั้ง จากนั้นสามารถแสดงเหตุการณ์ในรูปแบบ ผลรวมของสามเข้ากันไม่ได้เหตุการณ์ต่างๆ ก=
,

ที่ไหน ใน 3 0 – เหตุการณ์ที่ขอบของดอกเบี้ยไม่เคยปรากฏ

ใน 3 1 - เหตุการณ์ที่ขอบของความสนใจปรากฏขึ้นหนึ่งครั้ง

ใน 3 2 - เหตุการณ์ที่ขอบของดอกเบี้ยปรากฏขึ้นสองครั้ง

โดยใช้สูตรเบอร์นูลลี (1.6) ที่เราพบ

พี(ก) = หน้า (
) = พี(
)=
+
+
=

=
.

1.3.2. ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์

ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขสะท้อนถึงอิทธิพลของเหตุการณ์หนึ่งต่อความน่าจะเป็นของอีกเหตุการณ์หนึ่ง การเปลี่ยนแปลงเงื่อนไขที่ทำการทดลองก็ส่งผลกระทบเช่นกัน

ความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นของเหตุการณ์ที่สนใจ

คำนิยาม. อนุญาต ก และ บี– เหตุการณ์บางอย่างและความน่าจะเป็น พี(บี)> 0.

ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขเหตุการณ์ต่างๆ กโดยมีเงื่อนไขว่า “เหตุการณ์ บีเรียบร้อยแล้วที่เกิดขึ้น” คือ อัตราส่วนของความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์เหล่านี้ต่อความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นก่อนเหตุการณ์ที่จะต้องค้นหาความน่าจะเป็น ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขแสดงเป็น พี(ก บี). แล้วตามคำนิยาม

พี (ก  บี) =
. (1.7)

ตัวอย่างที่ 1.17 มีการโยนลูกเต๋าสองลูก พื้นที่ของเหตุการณ์เบื้องต้นประกอบด้วยคู่ลำดับของตัวเลข

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6).

ในตัวอย่างที่ 1.16 กำหนดว่าเหตุการณ์ ก=(จำนวนคะแนนในการตายครั้งแรก > 4) และเหตุการณ์ ค=(ผลรวมของคะแนนคือ 8) ขึ้นอยู่กับ มาสร้างความสัมพันธ์กันเถอะ

.

ความสัมพันธ์นี้สามารถตีความได้ดังนี้ สมมติว่าผลลัพธ์ของการทอยครั้งแรกเป็นที่รู้กันว่าจำนวนคะแนนในการตายครั้งแรกคือ> 4 ตามมาว่าการขว้างลูกเต๋าครั้งที่สองสามารถนำไปสู่หนึ่งใน 12 ผลลัพธ์ที่ประกอบเป็นเหตุการณ์ ก:

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) .

ในงานนี้ คมีเพียงสองคนเท่านั้นที่สามารถจับคู่ (5,3) (6,2) ในกรณีนี้ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ค จะเท่ากัน
- ดังนั้นข้อมูลเกี่ยวกับการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ กส่งผลต่อความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ค.

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น

ทฤษฎีบทการคูณ

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นก 1 ก 2  ก n ถูกกำหนดโดยสูตร

พี(ก 1 ก 2  ก n)= หน้า(ก 1)พี(ก 2  ก 1)) พี(ก n  ก 1 ก 2  ก ไม่มี 1). (1.8)

สำหรับผลงานของทั้งสองเหตุการณ์มีดังนี้

พี(เอบี)= หน้า(ก ข)น{บี)= หน้า(บี ก)พี{ก). (1.9)

ตัวอย่างที่ 1.18 ในชุดมีสินค้า 25 ชิ้น มีสินค้าชำรุด 5 ชิ้น 3 รายการจะถูกเลือกแบบสุ่มติดต่อกัน กำหนดความน่าจะเป็นที่ผลิตภัณฑ์ที่เลือกทั้งหมดมีข้อบกพร่อง

สารละลาย. เรามาแสดงถึงเหตุการณ์:

ก 1 = (สินค้าชิ้นแรกมีตำหนิ),

ก 2 = (สินค้าตัวที่สองมีตำหนิ),

ก 3 = (สินค้าตัวที่สามมีตำหนิ),

ก = (สินค้ามีตำหนิทุกชิ้น).

เหตุการณ์ ก เป็นผลผลิตของเหตุการณ์ 3 อย่าง ก = ก 1 ก 2 ก 3 .

จากทฤษฎีบทการคูณ (1.6) เราได้รับ

พี(ก)= พี( ก 1 ก 2 ก 3 ) = พี(ก 1) พี(ก 2  ก 1))พี(ก 3  ก 1 ก 2).

คำจำกัดความดั้งเดิมของความน่าจะเป็นช่วยให้เราสามารถค้นหาได้ พี(ก 1) คืออัตราส่วนของจำนวนสินค้าที่มีข้อบกพร่องต่อจำนวนสินค้าทั้งหมด:

พี(ก 1)= ;

พี(ก 2) – นี้ อัตราส่วนของจำนวนผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่องที่เหลืออยู่หลังจากการถอดออกหนึ่งรายการต่อจำนวนผลิตภัณฑ์ที่เหลือทั้งหมด:

พี(ก 2  ก 1))= ;

พี(ก 3) – นี่คือ อัตราส่วนของจำนวนผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่องที่เหลืออยู่หลังจากการกำจัดผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่องสองรายการต่อจำนวนผลิตภัณฑ์ที่เหลือทั้งหมด:

พี(ก 3  ก 1 ก 2)=.

แล้วความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ก จะเท่ากัน

พี(ก) ==
.

ในตอนแรก เป็นเพียงการรวบรวมข้อมูลและการสังเกตเชิงประจักษ์เกี่ยวกับเกมลูกเต๋า ทฤษฎีความน่าจะเป็นจึงกลายเป็นวิทยาศาสตร์อย่างละเอียด คนแรกที่ให้กรอบทางคณิตศาสตร์คือแฟร์มาต์และปาสคาล

จากการคิดถึงนิรันดร์สู่ทฤษฎีความน่าจะเป็น

บุคคลสองคนที่ทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นหนี้สูตรพื้นฐานหลายประการ ได้แก่ เบลส ปาสคาล และโธมัส เบยส์ เป็นที่รู้จักในนามผู้เคร่งครัดในศาสนา โดยคนหลังเป็นรัฐมนตรีเพรสไบทีเรียน เห็นได้ชัดว่าความปรารถนาของนักวิทยาศาสตร์ทั้งสองคนนี้ในการพิสูจน์ความคิดเห็นที่ผิดพลาดเกี่ยวกับโชคลาภบางอย่างที่มอบความโชคดีให้กับคนโปรดของเธอเป็นแรงผลักดันให้เกิดการวิจัยในด้านนี้ ท้ายที่สุดแล้วในความเป็นจริงแล้ว การพนันด้วยชัยชนะและความพ่ายแพ้ มันเป็นเพียงการประสานกันของหลักการทางคณิตศาสตร์

ด้วยความหลงใหลใน Chevalier de Mere ซึ่งเป็นนักพนันและเป็นชายที่ไม่แยแสกับวิทยาศาสตร์ ปาสคาลจึงถูกบังคับให้หาวิธีคำนวณความน่าจะเป็น เดอ เมียร์ สนใจคำถามต่อไปนี้: “คุณต้องโยนลูกเต๋าสองลูกเป็นคู่กี่ครั้งจึงจะมีโอกาสได้ 12 แต้มเกิน 50%” คำถามที่สองซึ่งเป็นที่สนใจของสุภาพบุรุษอย่างมาก: “จะแบ่งการเดิมพันระหว่างผู้เข้าร่วมในเกมที่ยังไม่เสร็จได้อย่างไร” แน่นอนว่า ปาสคาลสามารถตอบคำถามทั้งสองข้อของเดอ แมร์ได้สำเร็จ ซึ่งกลายเป็นผู้ริเริ่มการพัฒนาทฤษฎีความน่าจะเป็นโดยไม่รู้ตัว ที่น่าสนใจคือบุคคลของเดอ แมร์ยังคงเป็นที่รู้จักในด้านนี้ ไม่ใช่ในวรรณคดี

ก่อนหน้านี้ ไม่มีนักคณิตศาสตร์คนใดเคยพยายามคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ เนื่องจากเชื่อกันว่านี่เป็นเพียงวิธีแก้ปัญหาในการคาดเดาเท่านั้น เบลส ปาสคาล ให้คำจำกัดความแรกของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ และแสดงให้เห็นว่าเป็นตัวเลขเฉพาะที่สามารถให้เหตุผลได้ ในทางคณิตศาสตร์- ทฤษฎีความน่าจะเป็นได้กลายเป็นพื้นฐานสำหรับสถิติและมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในวิทยาศาสตร์สมัยใหม่

ความบังเอิญคืออะไร

หากเราพิจารณาการทดสอบที่สามารถทำซ้ำได้ไม่จำกัดครั้ง เราก็สามารถกำหนดเหตุการณ์สุ่มได้ นี่เป็นหนึ่งในผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของการทดสอบ

ประสบการณ์คือการดำเนินการตามการกระทำเฉพาะภายใต้เงื่อนไขคงที่

เพื่อให้สามารถทำงานกับผลลัพธ์ของการทดลองได้ เหตุการณ์มักจะถูกกำหนดด้วยตัวอักษร A, B, C, D, E...

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่ม

เพื่อเริ่มต้นส่วนทางคณิตศาสตร์ของความน่าจะเป็น จำเป็นต้องกำหนดส่วนประกอบทั้งหมด

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์คือการวัดเชิงตัวเลขของความเป็นไปได้ของเหตุการณ์บางอย่าง (A หรือ B) ที่เกิดขึ้นอันเป็นผลมาจากประสบการณ์ ความน่าจะเป็นแสดงเป็น P(A) หรือ P(B)

ในทฤษฎีความน่าจะเป็น พวกเขาแยกแยะ:

• เชื่อถือได้รับประกันว่าเหตุการณ์จะเกิดขึ้นจากประสบการณ์ P(Ω) = 1;
• เป็นไปไม่ได้เหตุการณ์นั้นไม่มีทางเกิดขึ้นได้ P(Ø) = 0;
• สุ่มเหตุการณ์อยู่ระหว่างความแน่นอนและเป็นไปไม่ได้ กล่าวคือ ความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นนั้นเป็นไปได้แต่ไม่รับประกัน (ความน่าจะเป็น) เหตุการณ์สุ่มภายใน 0≤Р(А)≤ 1 เสมอ)

ความสัมพันธ์ระหว่างเหตุการณ์

พิจารณาทั้งหนึ่งรายการและผลรวมของเหตุการณ์ A+B เมื่อมีการนับเหตุการณ์เมื่อมีส่วนประกอบ A หรือ B อย่างน้อยหนึ่งรายการ หรือทั้งสองอย่าง A และ B ครบถ้วน

เหตุการณ์ที่สัมพันธ์กันอาจเป็น:

• เป็นไปได้พอๆ กัน
• เข้ากันได้
• เข้ากันไม่ได้
• ตรงกันข้าม (แยกออกจากกัน)
• ขึ้นอยู่กับ.

หากเหตุการณ์สองเหตุการณ์สามารถเกิดขึ้นได้ด้วยความน่าจะเป็นเท่ากัน เป็นไปได้เท่าเทียมกัน.

หากการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ A ไม่ได้ลดความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ B ลงจนเหลือศูนย์ ก็แสดงว่าเกิดขึ้น เข้ากันได้

หากเหตุการณ์ A และ B ไม่เคยเกิดขึ้นพร้อมกันในประสบการณ์เดียวกัน ระบบจะเรียกเหตุการณ์เหล่านั้น เข้ากันไม่ได้- โยนเหรียญ - ตัวอย่างที่ดี: ลักษณะของศีรษะคือการไม่ปรากฏของศีรษะโดยอัตโนมัติ

ความน่าจะเป็นสำหรับผลรวมของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ดังกล่าวประกอบด้วยผลรวมของความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์:

ป(เอ+บี)=พี(เอ)+พี(B)

ถ้าการเกิดขึ้นของเหตุการณ์หนึ่งทำให้การเกิดขึ้นของอีกเหตุการณ์หนึ่งเป็นไปไม่ได้ ก็จะเรียกว่าตรงกันข้าม จากนั้นหนึ่งในนั้นถูกกำหนดให้เป็น A และอีกอัน - Ā (อ่านว่า "ไม่ใช่ A") การเกิดขึ้นของเหตุการณ์ A หมายความว่า Ā ไม่ได้เกิดขึ้น เหตุการณ์ทั้งสองนี้รวมกันเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์โดยมีผลรวมของความน่าจะเป็นเท่ากับ 1

เหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพาอาศัยกันมีอิทธิพลซึ่งกันและกัน ลดหรือเพิ่มความน่าจะเป็นของกันและกัน

ความสัมพันธ์ระหว่างเหตุการณ์ ตัวอย่าง

การใช้ตัวอย่างช่วยให้เข้าใจหลักการของทฤษฎีความน่าจะเป็นและการรวมกันของเหตุการณ์ได้ง่ายกว่ามาก

การทดลองที่จะดำเนินการประกอบด้วยการนำลูกบอลออกจากกล่องและผลลัพธ์ของการทดลองแต่ละครั้งถือเป็นผลลัพธ์เบื้องต้น

เหตุการณ์เป็นหนึ่งใน ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ประสบการณ์ - ลูกบอลสีแดง, ลูกบอลสีน้ำเงิน, ลูกบอลหมายเลขหก ฯลฯ

การทดสอบครั้งที่ 1 มีลูกบอลที่เกี่ยวข้อง 6 ลูก โดยสามลูกเป็นสีน้ำเงินและมีเลขคี่ และอีกสามลูกเป็นสีแดงเป็นเลขคู่

การทดสอบหมายเลข 2 มีส่วนร่วม 6 ลูก สีฟ้าด้วยตัวเลขตั้งแต่หนึ่งถึงหก

จากตัวอย่างนี้ เราสามารถตั้งชื่อชุดค่าผสมได้:

• เหตุการณ์ที่เชื่อถือได้ในภาษาสเปน อันดับที่ 2 เหตุการณ์ “ได้ลูกบอลสีน้ำเงิน” เชื่อถือได้ เนื่องจากความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นมีค่าเท่ากับ 1 เนื่องจากลูกบอลทั้งหมดเป็นสีน้ำเงินและไม่ควรพลาด ในขณะที่กิจกรรม “ได้บอลเลข 1” จะเป็นแบบสุ่ม
• เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ในภาษาสเปน อันดับ 1 ลูกบอลสีน้ำเงินและสีแดง เหตุการณ์ “ได้ลูกบอลสีม่วง” เป็นไปไม่ได้ เนื่องจากความน่าจะเป็นที่จะเกิดเป็น 0
• เหตุการณ์ที่เป็นไปได้พอๆ กันในภาษาสเปน อันดับที่ 1 เหตุการณ์ “ได้บอลเลข 2” และ “ได้บอลเลข 3” เป็นไปได้พอๆ กัน และเหตุการณ์ “ได้บอลเลขคู่” และ “ได้บอลเลข 2” ” มีความน่าจะเป็นที่แตกต่างกัน
• เหตุการณ์ที่เข้ากันได้การได้หกสองครั้งติดต่อกันขณะขว้างลูกเต๋าเป็นเหตุการณ์ที่เข้ากันได้
• เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ในภาษาสเปนเดียวกัน อันดับที่ 1 เหตุการณ์ “ได้ลูกบอลสีแดง” และ “ได้ลูกบอลที่มีเลขคี่” ไม่สามารถรวมกันในประสบการณ์เดียวกันได้
• เหตุการณ์ตรงกันข้าม.ที่สุด ตัวอย่างที่ส่องแสงนี่คือการโยนเหรียญ โดยที่การวาดหัวเท่ากับไม่การวาดก้อย และผลรวมของความน่าจะเป็นจะเป็น 1 เสมอ (ทั้งกลุ่ม)
• เหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพา- ดังนั้นในภาษาสเปน ลำดับที่ 1 คุณสามารถตั้งเป้าหมายในการจั่วลูกบอลสีแดงติดต่อกันสองครั้งได้ การดึงข้อมูลในครั้งแรกหรือไม่จะส่งผลต่อความน่าจะเป็นในการดึงข้อมูลในครั้งที่สอง

จะเห็นได้ว่าเหตุการณ์แรกส่งผลกระทบอย่างมีนัยสำคัญต่อความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่สอง (40% และ 60%)

สูตรความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

การเปลี่ยนจากการทำนายดวงชะตาไปสู่ข้อมูลที่แม่นยำเกิดขึ้นผ่านการแปลหัวข้อเป็นระนาบทางคณิตศาสตร์ นั่นคือ การตัดสินเกี่ยวกับเหตุการณ์สุ่ม เช่น “ความน่าจะเป็นสูง” หรือ “ความน่าจะเป็นน้อยที่สุด” สามารถแปลเป็นข้อมูลตัวเลขเฉพาะได้ อนุญาตให้ประเมิน เปรียบเทียบ และป้อนเนื้อหาดังกล่าวในการคำนวณที่ซับซ้อนมากขึ้นได้แล้ว

จากมุมมองการคำนวณ การพิจารณาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์คืออัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์เชิงบวกเบื้องต้นต่อจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดจากประสบการณ์เกี่ยวกับเหตุการณ์หนึ่งๆ ความน่าจะเป็นเขียนแทนด้วย P(A) โดยที่ P ย่อมาจากคำว่า "ความน่าจะเป็น" ซึ่งแปลจากภาษาฝรั่งเศสว่า "ความน่าจะเป็น"

ดังนั้น สูตรความน่าจะเป็นของเหตุการณ์คือ:

โดยที่ m คือจำนวนผลลัพธ์ที่น่าพึงพอใจสำหรับเหตุการณ์ A และ n คือผลรวมของผลลัพธ์ทั้งหมดที่เป็นไปได้สำหรับประสบการณ์นี้ ในกรณีนี้ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จะอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 เสมอ:

0 ≤ พี(เอ)≤ 1

การคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ตัวอย่าง

มาดูภาษาสเปนกันดีกว่า หมายเลข 1 ที่มีลูกบอลซึ่งอธิบายไว้ข้างต้น: ลูกบอลสีน้ำเงิน 3 ลูกที่มีหมายเลข 1/3/5 และลูกบอลสีแดง 3 ลูกที่มีหมายเลข 2/4/6

จากการทดสอบนี้ สามารถพิจารณาปัญหาต่างๆ หลายประการได้:

• เอ - ลูกบอลสีแดงหล่นลงมา มีลูกบอลสีแดง 3 ลูกและมีทั้งหมด 6 ตัวเลือก ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดโดยความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จะเท่ากับ P(A)=3/6=0.5
• B - การหมุนเลขคู่ มีเลขคู่ 3 ตัว (2,4,6) และจำนวนตัวเลือกตัวเลขที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ 6 ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้คือ P(B)=3/6=0.5
• C - การเกิดขึ้นของตัวเลขที่มากกว่า 2 มี 4 ตัวเลือกดังกล่าว (3,4,5,6) จากจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ 6 ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ C เท่ากับ P(C)=4 /6=0.67.

ดังที่เห็นได้จากการคำนวณ เหตุการณ์ C มีความเป็นไปได้สูงกว่า เนื่องจากจำนวนผลลัพธ์เชิงบวกที่เป็นไปได้นั้นสูงกว่าใน A และ B

เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้

เหตุการณ์ดังกล่าวไม่สามารถปรากฏพร้อมกันในประสบการณ์เดียวกันได้ เช่นเดียวกับภาษาสเปน อันดับ 1 เป็นไปไม่ได้ที่จะได้ลูกบอลสีน้ำเงินและสีแดงพร้อมกัน นั่นคือคุณสามารถได้ลูกบอลสีน้ำเงินหรือสีแดง ในทำนองเดียวกัน เลขคู่และเลขคี่ไม่สามารถปรากฏในลูกเต๋าพร้อมกันได้

ความน่าจะเป็นของสองเหตุการณ์ถือเป็นความน่าจะเป็นของผลรวมหรือผลคูณของเหตุการณ์เหล่านั้น ผลรวมของเหตุการณ์ A+B ดังกล่าวถือเป็นเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ A หรือ B และผลคูณของเหตุการณ์ A+B คือการเกิดขึ้นของทั้งสองเหตุการณ์ ตัวอย่างเช่น การปรากฏตัวของสองแต้มพร้อมกันบนใบหน้าของลูกเต๋าสองลูกในการโยนครั้งเดียว

ผลรวมของหลายเหตุการณ์คือเหตุการณ์ที่สันนิษฐานว่าจะมีเหตุการณ์อย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์เกิดขึ้น การผลิตงานต่างๆ ถือเป็นการเกิดขึ้นร่วมกันทั้งหมด

ตามทฤษฎีความน่าจะเป็น การใช้คำร่วม "และ" หมายถึงผลรวม และการใช้คำร่วม "หรือ" - การคูณ สูตรพร้อมตัวอย่างจะช่วยให้คุณเข้าใจตรรกะของการบวกและการคูณในทฤษฎีความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้

หากพิจารณาถึงความน่าจะเป็น กิจกรรมร่วมกันจากนั้นความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์จะเท่ากับบวกกับความน่าจะเป็น:

ป(เอ+บี)=พี(เอ)+พี(B)

ตัวอย่างเช่น ลองคำนวณความน่าจะเป็นที่เป็นภาษาสเปนกัน หมายเลข 1 ที่มีลูกบอลสีน้ำเงินและสีแดง ตัวเลขระหว่าง 1 ถึง 4 จะปรากฏขึ้น เราจะไม่คำนวณในการกระทำเดียว แต่ด้วยผลรวมของความน่าจะเป็นขององค์ประกอบเบื้องต้น ดังนั้น ในการทดลองดังกล่าว มีเพียง 6 ลูกหรือ 6 ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด จำนวนที่ตรงตามเงื่อนไขคือ 2 และ 3 ความน่าจะเป็นที่จะได้เลข 2 คือ 1/6 ความน่าจะเป็นที่จะได้เลข 3 ก็คือ 1/6 เช่นกัน ความน่าจะเป็นที่จะได้ตัวเลขระหว่าง 1 ถึง 4 คือ:

ความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ของกลุ่มทั้งหมดคือ 1

ดังนั้น หากในการทดลองด้วยลูกบาศก์ เราบวกความน่าจะเป็นของตัวเลขทั้งหมดที่ปรากฏ ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นหนึ่ง

สิ่งนี้จะเกิดขึ้นกับเหตุการณ์ตรงกันข้ามด้วย เช่น ในการทดลองกับเหรียญ โดยที่ด้านหนึ่งคือเหตุการณ์ A และอีกด้านเป็นเหตุการณ์ตรงกันข้าม Ā ดังที่ทราบกันดีอยู่แล้ว

P(A) + P(Ā) = 1

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้เกิดขึ้น

การคูณความน่าจะเป็นใช้ในการพิจารณาการเกิดเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ตั้งแต่ 2 เหตุการณ์ขึ้นไปในการสังเกตครั้งเดียว ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A และ B จะปรากฏพร้อมกันนั้นเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นหรือ:

ป(A*B)=ป(A)*P(B)

เช่น ความน่าจะเป็นที่เป็นภาษาสเปน อันดับที่ 1 จากความพยายามสองครั้ง ลูกบอลสีน้ำเงินจะปรากฏขึ้นสองครั้งเท่ากับ

นั่นคือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นเมื่อพยายามดึงลูกบอลสองครั้ง มีเพียงลูกบอลสีน้ำเงินเท่านั้นที่ถูกดึงออกมาคือ 25% เป็นเรื่องง่ายมากที่จะทำการทดลองเชิงปฏิบัติกับปัญหานี้และดูว่าเป็นเช่นนั้นจริงหรือไม่

กิจกรรมร่วมกัน

เหตุการณ์ถือเป็นเหตุการณ์ร่วมกันเมื่อการเกิดขึ้นของเหตุการณ์หนึ่งสามารถเกิดขึ้นพร้อมกับการเกิดขึ้นของอีกเหตุการณ์หนึ่งได้ แม้ว่าพวกเขาจะร่วมกัน แต่ก็คำนึงถึงความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ ตัวอย่างเช่น การขว้างลูกเต๋าสองลูกสามารถให้ผลลัพธ์ได้เมื่อหมายเลข 6 ปรากฏบนทั้งคู่ แม้ว่าเหตุการณ์จะเกิดขึ้นพร้อมกันและปรากฏพร้อมกัน แต่ก็แยกจากกัน - มีเพียงหกลูกเท่านั้นที่จะหลุดออกไป แต่การตายครั้งที่สองไม่มี มีอิทธิพลต่อมัน

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ร่วมถือเป็นความน่าจะเป็นของผลรวม

ความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์ร่วม ตัวอย่าง

ความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์ A และ B ซึ่งมีความสัมพันธ์ร่วมกันจะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ลบด้วยความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นร่วมกัน (นั่นคือ การเกิดขึ้นร่วมกัน):

ข้อต่ออาร์ (A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

สมมติว่าความน่าจะเป็นที่จะยิงโดนเป้าหมายด้วยนัดเดียวคือ 0.4 จากนั้นเหตุการณ์ A เข้าถึงเป้าหมายในความพยายามครั้งแรก B - ในครั้งที่สอง เหตุการณ์เหล่านี้เป็นเหตุการณ์ร่วมกันเนื่องจากเป็นไปได้ที่คุณจะสามารถเข้าถึงเป้าหมายได้ทั้งช็อตแรกและครั้งที่สอง แต่เหตุการณ์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่จะยิงโดนเป้าหมายด้วยการยิงสองนัด (อย่างน้อยหนึ่งนัด) คืออะไร? ตามสูตร:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

คำตอบสำหรับคำถามคือ “ความน่าจะเป็นที่จะยิงโดนเป้าหมายด้วยการยิงสองนัดคือ 64%”

สูตรความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้สามารถนำไปใช้กับเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ โดยที่ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้นร่วมกัน P(AB) = 0 ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ถือได้ว่าเป็นกรณีพิเศษ ของสูตรที่นำเสนอ

เรขาคณิตของความน่าจะเป็นเพื่อความชัดเจน

สิ่งที่น่าสนใจคือความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์ร่วมสามารถแสดงเป็นพื้นที่ A และ B สองพื้นที่ซึ่งตัดกัน ดังที่เห็นจากภาพ พื้นที่สหภาพจะเท่ากับพื้นที่ทั้งหมดลบด้วยพื้นที่ทางแยก คำอธิบายทางเรขาคณิตนี้ทำให้สูตรที่ดูไร้เหตุผลสามารถเข้าใจได้ง่ายขึ้น โปรดทราบว่า โซลูชั่นทางเรขาคณิต- ไม่ใช่เรื่องแปลกในทฤษฎีความน่าจะเป็น

การกำหนดความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์ร่วมหลายเหตุการณ์ (มากกว่าสองเหตุการณ์) ค่อนข้างยุ่งยาก ในการคำนวณ คุณต้องใช้สูตรที่กำหนดไว้สำหรับกรณีเหล่านี้

เหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพา

เหตุการณ์จะถูกเรียกว่าขึ้นอยู่กับถ้าการเกิดขึ้นของเหตุการณ์หนึ่ง (A) ส่งผลต่อความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นอีกเหตุการณ์หนึ่ง (B) นอกจากนี้ ยังคำนึงถึงอิทธิพลของทั้งการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ A และการไม่เกิดขึ้นด้วย แม้ว่าเหตุการณ์จะถูกเรียกว่าขึ้นอยู่กับคำจำกัดความ แต่มีเหตุการณ์เดียวเท่านั้นที่ขึ้นอยู่กับ (B) ความน่าจะเป็นสามัญแสดงเป็น P(B) หรือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ ในกรณีของเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพา มีการนำแนวคิดใหม่มาใช้ - ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข P A (B) ซึ่งเป็นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ขึ้นอยู่กับ B ขึ้นอยู่กับการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ A (สมมติฐาน) ซึ่งขึ้นอยู่กับ

แต่เหตุการณ์ A ก็เป็นแบบสุ่มเช่นกัน ดังนั้นจึงมีความน่าจะเป็นที่ต้องการและสามารถนำมาพิจารณาในการคำนวณด้วย ตัวอย่างต่อไปนี้จะแสดงวิธีการทำงานกับเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพาและสมมติฐาน

ตัวอย่างการคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพา

ตัวอย่างที่ดีสำหรับการคำนวณเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพาคือสำรับไพ่มาตรฐาน

ใช้สำรับไพ่ 36 ใบเป็นตัวอย่าง มาดูเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพากัน เราจำเป็นต้องกำหนดความน่าจะเป็นที่ไพ่ใบที่สองที่จั่วมาจากสำรับจะเป็นเพชรหากไพ่ใบแรกที่จั่วคือ:

1. บูบโนวายา.
2. สีที่แตกต่าง

แน่นอนว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B ครั้งที่สองนั้นขึ้นอยู่กับ A ตัวแรก ดังนั้นหากตัวเลือกแรกเป็นจริง มีไพ่น้อยกว่า 1 ใบ (35) และ 1 ไดมอนด์ (8) น้อยกว่าในสำรับ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B:

RA (B) =8/35=0.23

หากตัวเลือกที่สองเป็นจริง ตอนนี้สำรับไพ่จะมีไพ่ 35 ใบ และ จำนวนเต็มแทมบูรีน (9) แล้วความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่อไป B:

RA (B) =9/35=0.26

จะเห็นได้ว่าหากเหตุการณ์ A มีเงื่อนไขว่าไพ่ใบแรกเป็นเพชร ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B จะลดลง และในทางกลับกัน

การคูณเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพา

จากบทที่แล้ว เรายอมรับเหตุการณ์แรก (A) ตามความเป็นจริง แต่โดยพื้นฐานแล้ว มันเป็นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นโดยบังเอิญ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้คือการจั่วเพชรจากสำรับไพ่เท่ากับ:

พี(เอ) = 9/36=1/4

เนื่องจากทฤษฎีนี้ไม่มีอยู่ในตัวของมันเอง แต่มีจุดมุ่งหมายเพื่อใช้ในการปฏิบัติ จึงยุติธรรมที่จะทราบว่าสิ่งที่จำเป็นบ่อยที่สุดก็คือความน่าจะเป็นที่จะทำให้เกิดเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพากัน

ตามทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ขึ้นอยู่กับความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นของเหตุการณ์ที่ขึ้นอยู่กับร่วมกัน A และ B เท่ากับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A หนึ่งเหตุการณ์ คูณด้วยความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ B (ขึ้นอยู่กับ A):

P(AB) = P(A) *P A(B)

จากนั้น ในตัวอย่างสำรับ ความน่าจะเป็นที่จะจั่วไพ่สองใบที่มีชุดเพชรคือ:

9/36*8/35=0.0571 หรือ 5.7%

และความน่าจะเป็นที่จะแยกเพชรไม่ใช่ก่อน แล้วค่อยแยกเพชรก็เท่ากับ:

27/36*9/35=0.19 หรือ 19%

จะเห็นได้ว่าความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ B จะเกิดขึ้นนั้นมีมากกว่าหากไพ่ใบแรกที่จั่วเป็นไพ่ชุดอื่นที่ไม่ใช่เพชร ผลลัพธ์นี้ค่อนข้างสมเหตุสมผลและเข้าใจได้

ความน่าจะเป็นรวมของเหตุการณ์

เมื่อปัญหาเกี่ยวกับความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขมีหลายแง่มุม ก็ไม่สามารถคำนวณโดยใช้วิธีทั่วไปได้ เมื่อมีสมมติฐานมากกว่าสองข้อ ได้แก่ A1, A2,…, A n, ..จะเกิดกลุ่มเหตุการณ์ที่สมบูรณ์:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A ฉัน ∩ A j =Ø,i≠j
• Σ k A k =Ω

ดังนั้น สูตรของความน่าจะเป็นรวมของเหตุการณ์ B ที่ เต็มกลุ่มเหตุการณ์สุ่ม A1,A2,…,และ n เท่ากับ:

มองไปในอนาคต

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่มมีความจำเป็นอย่างยิ่งในวิทยาศาสตร์หลายแขนง เช่น เศรษฐมิติ สถิติ ฟิสิกส์ ฯลฯ เนื่องจากกระบวนการบางอย่างไม่สามารถอธิบายได้อย่างกำหนดได้ เนื่องจากกระบวนการเหล่านี้มีความน่าจะเป็นโดยธรรมชาติ จึงจำเป็นต้องใช้วิธีการทำงานพิเศษ ทฤษฎีความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สามารถนำมาใช้ในสาขาเทคโนโลยีใดก็ได้เพื่อระบุความเป็นไปได้ที่จะเกิดข้อผิดพลาดหรือการทำงานผิดพลาด

เราสามารถพูดได้ว่าโดยการรับรู้ถึงความน่าจะเป็น เราจะก้าวไปสู่อนาคตทางทฤษฎีในทางใดทางหนึ่ง โดยมองมันผ่านปริซึมของสูตร

เป็นไปได้ไหมที่จะชนะลอตเตอรี? อะไรคือโอกาสในการทายหมายเลขให้ถูกและถูกรางวัลแจ็กพอตหรือรางวัลประเภทจูเนียร์? ความน่าจะเป็นที่จะชนะนั้นง่ายต่อการคำนวณ ใครๆ ก็สามารถทำได้ด้วยตัวเอง

ความน่าจะเป็นที่จะชนะลอตเตอรีโดยทั่วไปคำนวณอย่างไร?

ลอตเตอรี่ตัวเลขจะดำเนินการตามสูตรเฉพาะและโอกาสของแต่ละเหตุการณ์ (การชนะในหมวดหมู่ใดหมวดหนึ่ง) จะถูกคำนวณทางคณิตศาสตร์ ยิ่งไปกว่านั้น ความน่าจะเป็นนี้จะถูกคำนวณสำหรับค่าใดๆ ค่าที่ต้องการไม่ว่าจะเป็น “5 จาก 36”, “6 จาก 45” หรือ “7 จาก 49” และไม่เปลี่ยนแปลงเนื่องจากขึ้นอยู่กับจำนวนตัวเลขทั้งหมดเท่านั้น (ลูกบอล, ตัวเลข) และจำนวนนั้น จำเป็นต้องเดา

ตัวอย่างเช่น สำหรับลอตเตอรี “5 จาก 36” ความน่าจะเป็นจะเป็นดังนี้เสมอ

• เดาตัวเลขสองตัว - 1:8
• เดาตัวเลขสามตัว - 1:81
• ทายตัวเลขสี่ตัว - 1: 2,432
• เดาตัวเลขห้าตัว - 1: 376,992

กล่าวอีกนัยหนึ่ง หากคุณทำเครื่องหมายหนึ่งชุด (5 หมายเลข) บนตั๋ว โอกาสในการเดา "สอง" จะมีเพียง 1 ใน 8 เท่านั้น แต่การจับ "ห้าหมายเลข" นั้นยากกว่ามาก นี่คือโอกาส 1 ใน 376,992 แล้ว นี่คือตัวเลขที่แน่นอน (376,000) มีชุดค่าผสมทุกประเภทในลอตเตอรี "5 จาก 36" และรับประกันว่าคุณจะชนะหากคุณกรอกทั้งหมดเท่านั้น จริงอยู่ที่จำนวนเงินที่ชนะในกรณีนี้จะไม่พิสูจน์การลงทุน: หากตั๋วมีราคา 80 รูเบิล การทำเครื่องหมายชุดค่าผสมทั้งหมดจะมีราคา 30,159,360 รูเบิล แจ็คพอตมักจะน้อยกว่ามาก

โดยทั่วไป ความน่าจะเป็นทั้งหมดเป็นที่ทราบกันมานานแล้ว สิ่งที่เหลืออยู่คือการค้นหาหรือคำนวณด้วยตนเองโดยใช้สูตรที่เหมาะสม

สำหรับผู้ที่ขี้เกียจเกินกว่าจะดู เราขอนำเสนอความน่าจะเป็นที่ชนะสำหรับลอตเตอรี่ตัวเลข Stoloto หลัก ซึ่งแสดงไว้ในตารางนี้

คำชี้แจงที่จำเป็น

วิดเจ็ตล็อตโต้ช่วยให้คุณสามารถคำนวณความน่าจะเป็นในการถูกรางวัลลอตเตอรี่ด้วยเครื่องลอตเตอรีหนึ่งเครื่อง (ไม่มีลูกบอลโบนัส) หรือด้วยเครื่องลอตเตอรีสองเครื่อง คุณยังสามารถคำนวณความน่าจะเป็นของการเดิมพันที่ใช้ได้

การคำนวณความน่าจะเป็นสำหรับลอตเตอรี่ด้วยเครื่องลอตเตอรีเครื่องเดียว (ไม่มีลูกโบนัส)

มีการใช้เฉพาะสองฟิลด์แรกเท่านั้นซึ่งใช้สูตรตัวเลขของลอตเตอรีเช่น: - "5 จาก 36", "6 จาก 45", "7 จาก 49" โดยหลักการแล้วคุณสามารถคำนวณได้เกือบทุกอย่าง ลอตเตอรีโลก- มีเพียงสองข้อจำกัด: ค่าแรกไม่ควรเกิน 30 และค่าที่สอง - 99

หากลอตเตอรี่ไม่ใช้ตัวเลขเพิ่มเติม* หลังจากเลือกสูตรตัวเลขแล้ว สิ่งที่คุณต้องทำคือคลิกปุ่มคำนวณและผลลัพธ์ก็พร้อม ไม่สำคัญว่าคุณต้องการทราบความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใด เช่น การถูกรางวัลแจ็กพอต รางวัลประเภทที่สอง/สาม หรือเพียงแค่ค้นหาว่าเป็นเรื่องยากที่จะทายหมายเลข 2-3 ตัวจากจำนวนที่ต้องการหรือไม่ ผลลัพธ์ก็คำนวณได้แทบจะ ทันที!

ตัวอย่างการคำนวณ โอกาสที่จะทายถูก 5 จาก 36 คือ 1 ใน 376,992

ตัวอย่าง. ความน่าจะเป็นในการถูกรางวัลใหญ่สำหรับลอตเตอรี่:
“5 จาก 36” (โกสโลโต รัสเซีย) – 1:376 922
“6 จาก 45” (Gosloto, รัสเซีย; Saturday Lotto, ออสเตรเลีย; Lotto, ออสเตรีย) - 1:8 145 060
“6 จาก 49” (Sportloto, รัสเซีย; La Primitiva, สเปน; Lotto 6/49, แคนาดา) - 1:13 983 816
“6 จาก 52” (Super Loto, ยูเครน; Illinois Lotto, สหรัฐอเมริกา; Mega TOTO, มาเลเซีย) - 1:20 358 520
“7 จาก 49” (Gosloto, รัสเซีย; Lotto Max, แคนาดา) - 1:85 900 584

ลอตเตอรี่พร้อมเครื่องลอตเตอรี่สองเครื่อง (+ บอลโบนัส)

หากลอตเตอรี่ใช้เครื่องลอตเตอรีสองเครื่องจะต้องกรอกทั้ง 4 ช่องเพื่อคำนวณ ในสองรายการแรก - สูตรตัวเลขของลอตเตอรี (5 จาก 36, 6 จาก 45 เป็นต้น) ในฟิลด์ที่สามและสี่จำนวนลูกบอลโบนัสจะถูกระบุ (x จาก n) ข้อสำคัญ: การคำนวณนี้สามารถใช้ได้กับลอตเตอรี่ที่มีเครื่องลอตเตอรีสองเครื่องเท่านั้น หากนำลูกบอลโบนัสมาจากเครื่องลอตเตอรีหลัก ความน่าจะเป็นที่จะชนะในหมวดหมู่นี้จะถูกคำนวณแตกต่างออกไป

* เนื่องจากเมื่อใช้เครื่องลอตเตอรีสองเครื่องโอกาสในการถูกรางวัลจะคำนวณโดยการคูณความน่าจะเป็นซึ่งกันและกันดังนั้นสำหรับการคำนวณลอตเตอรี่ให้ถูกต้องด้วยเครื่องลอตเตอรีเครื่องเดียว หมายเลขเพิ่มเติมโดยค่าเริ่มต้นคือ 1 ใน 1 นั่นคือไม่ได้นำมาพิจารณา.

ตัวอย่าง. ความน่าจะเป็นในการถูกรางวัลใหญ่สำหรับลอตเตอรี่:
“5 จาก 36 + 1 จาก 4” (โกสโลโต รัสเซีย) – 1:1 507 978
“4 จาก 20 + 4 จาก 20” (Gosloto, รัสเซีย) – 1:23 474 025
“6 จาก 42 + 1 จาก 10” (เมกาล็อต, ยูเครน) – 1:52 457 860
“5 จาก 50 + 2 จาก 10” (EuroJackpot) – 1:95 344 200
“ 5 จาก 69 + 1 จาก 26” (ลอตเตอรี่ สหรัฐอเมริกา) - 1: 292,201,338

ตัวอย่างการคำนวณ โอกาสทายถูก 4 ใน 20 สองครั้ง (ในสองช่อง) คือ 1 ใน 23,474,025

ภาพประกอบที่ดีของความซับซ้อนในการเล่นลอตเตอรีสองเครื่องคือลอตเตอรี Gosloto 4 จาก 20 ตัว ความน่าจะเป็นที่จะทายเลข 4 ตัวจาก 20 ตัวในช่องเดียวค่อนข้างยุติธรรม โอกาสเป็น 1 ใน 4,845 แต่เมื่อคุณต้องเดาถูกและชนะทั้งสองช่อง... ความน่าจะเป็นก็จะคำนวณโดยการคูณกัน นั่นคือในกรณีนี้เราคูณ 4,845 ด้วย 4,845 ซึ่งได้ 23,474,025 ดังนั้นความเรียบง่ายของลอตเตอรีนี้จึงหลอกลวงเพื่อที่จะชนะ รางวัลใหญ่ยากกว่า "6 จาก 45" หรือ "6 จาก 49"

การคำนวณความน่าจะเป็น (เดิมพันแบบขยาย)

ในกรณีนี้ ความน่าจะเป็นที่จะชนะเมื่อใช้การเดิมพันแบบขยายจะถูกคำนวณ ตัวอย่างเช่น หากมี 6 ใน 45 ในลอตเตอรี ทำเครื่องหมาย 8 หมายเลข ความน่าจะเป็นที่จะชนะรางวัลใหญ่ (6 จาก 45) จะเป็น 1 โอกาสใน 290,895 จะใช้เดิมพันแบบขยายหรือไม่นั้นขึ้นอยู่กับคุณ เมื่อคำนึงถึงความจริงที่ว่าราคาของพวกเขานั้นสูงมาก (ในกรณีนี้ 8 หมายเลขที่ทำเครื่องหมายไว้คือ 28 ตัวเลือก) จึงคุ้มค่าที่จะรู้ว่าสิ่งนี้จะเพิ่มโอกาสในการชนะได้อย่างไร ยิ่งไปกว่านั้น การทำเช่นนี้เป็นเรื่องง่ายมาก!

การคำนวณความน่าจะเป็นที่จะชนะ (6 จาก 45) โดยใช้ตัวอย่างการเดิมพันแบบขยาย (ทำเครื่องหมาย 8 หมายเลข)

และความเป็นไปได้อื่น ๆ

ด้วยการใช้วิดเจ็ตของเรา คุณสามารถคำนวณความน่าจะเป็นที่จะชนะลอตเตอรี่บิงโกได้ เช่น ใน “ ล็อตโต้รัสเซีย- สิ่งสำคัญที่ต้องคำนึงถึงคือจำนวนการเคลื่อนไหวที่จัดสรรไว้สำหรับการเริ่มต้นของการชนะ เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้น: เป็นเวลานานในลอตเตอรี Russian Lotto แจ็กพอตอาจถูกรางวัลหาก 15 หมายเลข ( ในสาขาเดียว) ปิดใน 15 การเคลื่อนไหว- ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ดังกล่าวนั้นยอดเยี่ยมมาก มีโอกาส 1 ครั้งใน 45,795,673,964,460,800 (คุณสามารถตรวจสอบและรับค่านี้ได้ด้วยตัวเอง) ด้วยเหตุนี้ เป็นเวลาหลายปีในลอตเตอรี Russian Lotto ที่ไม่มีใครสามารถถูกแจ็กพอตได้ และมันถูกแจกจ่ายโดยการบังคับ

เมื่อวันที่ 20 มีนาคม 2016 กฎของลอตเตอรี Russian Lotto มีการเปลี่ยนแปลง ตอนนี้สามารถชนะแจ็คพอตได้หาก 15 หมายเลข (จาก 30) ถูกปิดใน 15 การเคลื่อนไหว- กลายเป็นอะนาล็อกของการเดิมพันแบบขยาย - ท้ายที่สุดแล้วมีการเดาตัวเลข 15 ตัวจาก 30 ตัว! และนี่คือความเป็นไปได้ที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง:

โอกาสถูกรางวัลแจ็กพอต (ตามกฎใหม่) ในลอตเตอรี่ Russian Lotto

โดยสรุป เรานำเสนอความน่าจะเป็นที่จะชนะลอตเตอรี่โดยใช้ลูกบอลโบนัสจากกลองลอตเตอรีหลัก (วิดเจ็ตของเราไม่นับค่าดังกล่าว) ที่มีชื่อเสียงที่สุด

Sportsloto “6 จาก 49”(Gosloto, รัสเซีย), La Primitiva “6 จาก 49” (สเปน)
หมวด “5 + บอลโบนัส” ความน่าจะเป็น 1:2 330 636

SuperEnalotto "6 จาก 90"(อิตาลี)
หมวด "5 + โบนัสบอล" ความน่าจะเป็น 1:103,769,105

ออซ ล็อตโต้ "7 จาก 45"(ออสเตรเลีย)
หมวด “6 + โบนัสบอล” ความน่าจะเป็น 1:3 241 401
“5 + 1” – ความน่าจะเป็น 1:29,602
“3 +1” – ความน่าจะเป็น 1:87

ล็อตโต้ "6 จาก 59"(บริเตนใหญ่)
หมวด “โบนัสบอล 5 + 1” ความน่าจะเป็น 1:7 509 579

การรู้วิธีประเมินความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตามอัตราต่อรองถือเป็นสิ่งสำคัญในการเลือกเดิมพันที่ถูกต้อง หากคุณไม่เข้าใจวิธีการแปลงอัตราต่อรองของเจ้ามือรับแทงให้เป็นความน่าจะเป็น คุณจะไม่สามารถระบุได้ว่าอัตราต่อรองของเจ้ามือรับแทงเกี่ยวข้องกับความน่าจะเป็นอย่างไร โอกาสที่แท้จริงว่างานจะเกิดขึ้น คุณควรเข้าใจว่าหากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตามเจ้ามือรับแทงต่ำกว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เดียวกันตามเวอร์ชันของคุณ การเดิมพันในเหตุการณ์นี้จะมีค่า คุณสามารถเปรียบเทียบราคาสำหรับเหตุการณ์ต่างๆ ได้ที่เว็บไซต์ Odds.ru

1.1. ประเภทของอัตราต่อรอง

เจ้ามือรับแทงมักจะเสนอราคาต่อรองสามประเภท ได้แก่ ทศนิยม เศษส่วน และอเมริกัน มาดูแต่ละพันธุ์กัน

1.2. อัตราต่อรองทศนิยม

อัตราต่อรองทศนิยมเมื่อคูณด้วยขนาดการเดิมพันทำให้คุณสามารถคำนวณจำนวนเงินทั้งหมดที่คุณจะได้รับในมือของคุณหากคุณชนะ ตัวอย่างเช่น หากคุณเดิมพัน $1 ที่อัตราต่อรอง 1.80 หากคุณชนะ คุณจะได้รับ $1.80 ($1 คือจำนวนเงินเดิมพันที่คืน 0.80 คือเงินรางวัลจากการเดิมพัน ซึ่งเป็นกำไรสุทธิของคุณด้วย)

นั่นคือความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ตามเจ้ามือรับแทงคือ 55%

1.3. อัตราต่อรองแบบเศษส่วน

อัตราต่อรองแบบเศษส่วนเป็นประเภทอัตราต่อรองแบบดั้งเดิมที่สุด ตัวเศษจะแสดงเงินรางวัลสุทธิที่เป็นไปได้ ตัวส่วนคือจำนวนเงินเดิมพันที่ต้องทำเพื่อให้ได้ชัยชนะ ตัวอย่างเช่น อัตราต่อรอง 7/2 หมายความว่าเพื่อที่จะได้เงินรางวัล $7 คุณจะต้องเดิมพัน $2

ในการคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตามค่าสัมประสิทธิ์ทศนิยม คุณควรดำเนินการ การคำนวณง่ายๆ– หารตัวส่วนด้วยผลรวมของทั้งเศษและส่วน สำหรับอัตราต่อรอง 7/2 ข้างต้น การคำนวณจะเป็นดังนี้:

2 / (7+2) = 2 / 9 = 0,22

นั่นคือความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ตามเจ้ามือรับแทงคือ 22%

1.4. อัตราต่อรองแบบอเมริกัน

อัตราต่อรองประเภทนี้เป็นที่นิยมใน อเมริกาเหนือ- เมื่อมองแวบแรก ดูเหมือนค่อนข้างซับซ้อนและเข้าใจยาก แต่อย่าตกใจไป การทำความเข้าใจอัตราต่อรองของอเมริกาอาจมีประโยชน์ เช่น เมื่อเล่นในคาสิโนของอเมริกา เพื่อทำความเข้าใจคำพูดที่แสดงในการถ่ายทอดกีฬาในอเมริกาเหนือ มาดูวิธีการประมาณความน่าจะเป็นของผลลัพธ์โดยอิงจากอัตราต่อรองแบบอเมริกัน

ก่อนอื่น คุณต้องเข้าใจว่าอัตราต่อรองแบบอเมริกันนั้นมีทั้งเชิงบวกและเชิงลบ ค่าสัมประสิทธิ์อเมริกันที่เป็นลบจะอยู่ในรูปแบบเสมอ เช่น "-150" ซึ่งหมายความว่าเพื่อที่จะได้เงิน 100 ดอลลาร์ กำไรสุทธิ(ชนะ) คุณต้องเดิมพัน $150

ค่าสัมประสิทธิ์อเมริกันที่เป็นบวกจะคำนวณในทางกลับกัน ตัวอย่างเช่น เรามีค่าสัมประสิทธิ์ "+120" ซึ่งหมายความว่าในการที่จะได้รับกำไรสุทธิ $120 (เงินรางวัล) คุณต้องเดิมพัน $100

การคำนวณความน่าจะเป็นโดยอิงจากอัตราต่อรองอเมริกันติดลบทำได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

(-(สัมประสิทธิ์อเมริกันติดลบ)) / ((-(สัมประสิทธิ์อเมริกันติดลบ)) + 100)

(-(-150)) / ((-(-150)) + 100) = 150 / (150 + 100) = 150 / 250 = 0,6

นั่นคือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ให้ค่าสัมประสิทธิ์อเมริกันติดลบเป็น "-150" คือ 60%

ตอนนี้ให้พิจารณาการคำนวณที่คล้ายกันสำหรับค่าสัมประสิทธิ์อเมริกันที่เป็นบวก ความน่าจะเป็นในกรณีนี้คำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

100 / (สัมประสิทธิ์อเมริกันบวก + 100)

100 / (120 + 100) = 100 / 220 = 0.45

นั่นคือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ได้รับสัมประสิทธิ์อเมริกันเชิงบวกเป็น "+120" คือ 45%

1.5. วิธีการแปลงอัตราต่อรองจากรูปแบบหนึ่งไปเป็นอีกรูปแบบหนึ่ง?

ความสามารถในการแปลงอัตราต่อรองจากรูปแบบหนึ่งไปเป็นอีกรูปแบบหนึ่งสามารถให้บริการคุณได้ดีในภายหลัง น่าแปลกที่ยังมีสำนักงานหลายแห่งที่อัตราต่อรองไม่ถูกแปลงและแสดงในรูปแบบเดียวเท่านั้นซึ่งถือว่าผิดปกติสำหรับเรา ลองดูตัวอย่างวิธีการทำเช่นนี้ แต่ก่อนอื่น เราต้องเรียนรู้วิธีคำนวณความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ตามค่าสัมประสิทธิ์ที่เราได้รับ

1.6. จะคำนวณอัตราต่อรองทศนิยมตามความน่าจะเป็นได้อย่างไร?

ทุกอย่างง่ายมากที่นี่ จำเป็นต้องหาร 100 ด้วยความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เป็นเปอร์เซ็นต์ นั่นคือ หากความน่าจะเป็นโดยประมาณของเหตุการณ์คือ 60% คุณต้อง:

ด้วยความน่าจะเป็นโดยประมาณของเหตุการณ์ 60% อัตราต่อรองทศนิยมจะเป็น 1.66

1.7. จะคำนวณอัตราต่อรองแบบเศษส่วนตามความน่าจะเป็นได้อย่างไร?

ในกรณีนี้ คุณต้องหาร 100 ด้วยความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ และลบหนึ่งออกจากผลลัพธ์ที่ได้รับ ตัวอย่างเช่น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์คือ 40%:

(100 / 40) — 1 = 2,5 — 1 = 1,5

นั่นคือ เราได้ค่าสัมประสิทธิ์เศษส่วนเป็น 1.5/1 หรือ 3/2 เพื่อความสะดวกในการคำนวณ

1.8. จะคำนวณอัตราต่อรองแบบอเมริกันตามผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ได้อย่างไร?

ในที่นี้ส่วนมากจะขึ้นอยู่กับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ไม่ว่าจะมากกว่า 50% หรือน้อยกว่าก็ตาม หากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์มากกว่า 50% การคำนวณจะดำเนินการโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

- ((ความน่าจะเป็น) / (100 - ความน่าจะเป็น)) * 100

ตัวอย่างเช่น หากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์คือ 80% ดังนั้น:

— (80 / (100 — 80)) * 100 = — (80 / 20) * 100 = -4 * 100 = (-400)

ด้วยความน่าจะเป็นโดยประมาณของเหตุการณ์ที่ 80% เราได้รับค่าสัมประสิทธิ์อเมริกันติดลบเป็น "-400"

หากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์น้อยกว่า 50 เปอร์เซ็นต์ สูตรจะเป็นดังนี้:

((100 - ความน่าจะเป็น) / ความน่าจะเป็น) * 100

ตัวอย่างเช่น หากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์คือ 40% ดังนั้น:

((100-40) / 40) * 100 = (60 / 40) * 100 = 1,5 * 100 = 150

ด้วยความน่าจะเป็นโดยประมาณของเหตุการณ์ที่ 40% เราได้รับค่าสัมประสิทธิ์อเมริกันที่เป็นบวกเป็น "+150"

การคำนวณเหล่านี้จะช่วยให้คุณเข้าใจแนวคิดเรื่องการเดิมพันและราคาต่อรองได้ดีขึ้น และเรียนรู้วิธีการประมาณค่า ต้นทุนที่แท้จริงอัตราหนึ่งหรืออย่างอื่น

เวลาโยนเหรียญก็บอกได้เลยว่าเหรียญหงายหรือหงายขึ้น ความน่าจะเป็น นี่คือ 1/2. แน่นอนว่าไม่ได้หมายความว่าหากโยนเหรียญ 10 ครั้ง เหรียญจะต้องตกหัว 5 ครั้ง หากเหรียญนั้น "ยุติธรรม" และหากโยนหลายครั้ง หัวจะตกลงอย่างมากครึ่งหนึ่งของเวลา ดังนั้น ความน่าจะเป็นจึงมีอยู่สองประเภท: ทดลอง และ ตามทฤษฎี .

ความน่าจะเป็นเชิงทดลองและเชิงทฤษฎี

ถ้าคุณโยนเหรียญ จำนวนมากครั้ง - พูด 1,000 - และนับจำนวนครั้งที่โยนหัว เราสามารถกำหนดความน่าจะเป็นที่จะถูกโยนหัวได้ หากโยนหัว 503 ครั้ง เราสามารถคำนวณความน่าจะเป็นที่มันจะตกได้:
503/1000 หรือ 0.503

นี้ ทดลอง การกำหนดความน่าจะเป็น คำจำกัดความของความน่าจะเป็นนี้มาจากการสังเกตและการศึกษาข้อมูล ซึ่งค่อนข้างธรรมดาและมีประโยชน์มาก ตัวอย่างเช่น นี่คือความน่าจะเป็นบางส่วนที่ถูกกำหนดโดยการทดลอง:

1. ความน่าจะเป็นที่ผู้หญิงจะเป็นมะเร็งเต้านมคือ 1/11

2. หากคุณจูบคนที่เป็นหวัด ความน่าจะเป็นที่คุณจะเป็นหวัดด้วยคือ 0.07

3. ผู้ที่เพิ่งได้รับการปล่อยตัวออกจากเรือนจำมีโอกาสกลับเข้าเรือนจำถึง 80%

หากเราพิจารณาโยนเหรียญและคำนึงว่าเหรียญจะออกหัวหรือก้อยพอๆ กัน เราสามารถคำนวณความน่าจะเป็นที่จะออกหัวได้: 1/2 คำจำกัดความทางทฤษฎีความน่าจะเป็น ความน่าจะเป็นอื่นๆ ต่อไปนี้ถูกกำหนดตามทฤษฎีโดยใช้คณิตศาสตร์:

1. ถ้าห้องหนึ่งมีคน 30 คน ความน่าจะเป็นที่คนสองคนมีวันเกิดวันเดียวกัน (ไม่รวมปี) คือ 0.706

2. ระหว่างการเดินทาง คุณพบใครบางคน และในระหว่างการสนทนา คุณพบว่าคุณมีเพื่อนร่วมกัน ปฏิกิริยาโดยทั่วไป: “นี่เป็นไปไม่ได้!” อันที่จริงแล้ว วลีนี้ไม่เหมาะ เนื่องจากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ดังกล่าวค่อนข้างสูง - เพียงมากกว่า 22%

ดังนั้นความน่าจะเป็นในการทดลองจึงถูกกำหนดโดยการสังเกตและการรวบรวมข้อมูล ความน่าจะเป็นทางทฤษฎีถูกกำหนดโดยใช้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างของความน่าจะเป็นทางการทดลองและทางทฤษฎี เช่น ที่กล่าวไว้ข้างต้น และโดยเฉพาะอย่างยิ่งสิ่งที่เราไม่คาดคิด จะนำเราไปสู่ความสำคัญของการศึกษาความน่าจะเป็น คุณอาจถามว่า "ความน่าจะเป็นที่แท้จริงคืออะไร" ในความเป็นจริงไม่มีสิ่งนั้น ความน่าจะเป็นภายในขีดจำกัดที่กำหนดสามารถกำหนดได้จากการทดลอง อาจตรงกับความน่าจะเป็นที่เราได้รับตามทฤษฎีหรือไม่ก็ได้ มีบางสถานการณ์ที่การระบุความน่าจะเป็นประเภทหนึ่งได้ง่ายกว่าประเภทอื่นมาก ตัวอย่างเช่น ก็เพียงพอแล้วที่จะหาความน่าจะเป็นที่จะเป็นหวัดโดยใช้ความน่าจะเป็นทางทฤษฎี

การคำนวณความน่าจะเป็นเชิงทดลอง

ให้เราพิจารณาคำจำกัดความเชิงทดลองของความน่าจะเป็นก่อน หลักการพื้นฐานที่เราใช้ในการคำนวณความน่าจะเป็นมีดังนี้

หลักการ P (ทดลอง)

ถ้าในการทดลองที่มีการสังเกต n ครั้ง สถานการณ์หรือเหตุการณ์ E เกิดขึ้น m ครั้งในการสังเกต n ครั้ง ความน่าจะเป็นเชิงทดลองของเหตุการณ์ดังกล่าวจะเรียกว่า P (E) = m/n

ตัวอย่างที่ 1 การสำรวจทางสังคมวิทยา ถูกจัดขึ้น การศึกษาเชิงทดลองเพื่อกำหนดจำนวนคนถนัดซ้าย คนถนัดขวา และคนที่มีมือทั้งสองข้างเท่ากัน ผลลัพธ์จะแสดงในกราฟ

ก) กำหนดความน่าจะเป็นที่บุคคลนั้นถนัดขวา

b) พิจารณาความน่าจะเป็นที่บุคคลนั้นถนัดซ้าย

c) กำหนดความน่าจะเป็นที่บุคคลหนึ่งจะพูดได้คล่องเท่ากันทั้งสองมือ

d) การแข่งขัน Professional Bowling Association ส่วนใหญ่จำกัดผู้เล่นไว้ที่ 120 คน จากข้อมูลจากการทดลองนี้ มีผู้เล่นที่ถนัดซ้ายได้กี่คน?

สารละลาย

ก) จำนวนคนที่ถนัดขวาคือ 82 คน จำนวนคนที่ถนัดซ้ายคือ 17 คน และจำนวนคนที่ถนัดมือทั้งสองข้างเท่ากันคือ 1 จำนวนการสังเกตทั้งหมดคือ 100 ดังนั้น ความน่าจะเป็น ว่าคนถนัดขวาคือพี
P = 82/100 หรือ 0.82 หรือ 82%

b) ความน่าจะเป็นที่คนถนัดซ้ายคือ P โดยที่
P = 17/100 หรือ 0.17 หรือ 17%

c) ความน่าจะเป็นที่บุคคลจะพูดได้คล่องทั้งสองมือเท่ากันคือ P โดยที่
P = 1/100 หรือ 0.01 หรือ 1%

d) ผู้ขว้าง 120 คน และจาก (b) เราคาดหวังได้ว่า 17% เป็นคนถนัดซ้าย จากที่นี่
17% ของ 120 = 0.17.120 = 20.4,
นั่นคือเราสามารถคาดหวังได้ว่าจะมีผู้เล่นถนัดซ้ายประมาณ 20 คน

ตัวอย่างที่ 2 ควบคุมคุณภาพ - เป็นสิ่งสำคัญมากสำหรับผู้ผลิตในการรักษาคุณภาพของผลิตภัณฑ์ของตนที่ ระดับสูง- ในความเป็นจริง บริษัทต่างๆ จ้างผู้ตรวจสอบการควบคุมคุณภาพเพื่อรับรองกระบวนการนี้ เป้าหมายคือการผลิตผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่องให้น้อยที่สุด แต่เนื่องจากบริษัทผลิตสินค้าหลายพันรายการทุกวัน จึงไม่สามารถทดสอบผลิตภัณฑ์ทุกรายการเพื่อดูว่ามีข้อบกพร่องหรือไม่ หากต้องการค้นหาเปอร์เซ็นต์ของผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่อง บริษัทจะทดสอบผลิตภัณฑ์น้อยลงมาก
กระทรวง เกษตรกรรมสหรัฐอเมริกากำหนดให้ 80% ของเมล็ดพันธุ์ที่ขายโดยผู้ปลูกจะต้องงอก เพื่อกำหนดคุณภาพของเมล็ดพันธุ์ที่บริษัทเกษตรกรรมผลิต จะต้องปลูกเมล็ดพันธุ์ 500 เมล็ดจากเมล็ดพันธุ์ที่ผลิต หลังจากนั้นจึงคำนวณได้ว่ามีเมล็ดงอก 417 เมล็ด

ก) ความน่าจะเป็นที่เมล็ดจะงอกเป็นเท่าใด?

b) เมล็ดพันธุ์เป็นไปตามมาตรฐานของรัฐบาลหรือไม่?

สารละลายก) เรารู้ว่าจากเมล็ดที่ปลูก 500 เมล็ด มีเมล็ดงอก 417 เมล็ด ความน่าจะเป็นของการงอกของเมล็ด P และ
P = 417/500 = 0.834 หรือ 83.4%

b) เนื่องจากเปอร์เซ็นต์ของเมล็ดงอกเกิน 80% ตามที่กำหนด เมล็ดจึงเป็นไปตามมาตรฐานของรัฐบาล

ตัวอย่างที่ 3 เรตติ้งโทรทัศน์. ตามสถิติ มีครัวเรือนที่มีโทรทัศน์จำนวน 105,500,000 ครัวเรือนในสหรัฐอเมริกา ทุกสัปดาห์ข้อมูลเกี่ยวกับการรับชมรายการจะถูกรวบรวมและประมวลผล ในหนึ่งสัปดาห์ มีผู้ชม 7,815,000 ครัวเรือนรับชมซีรีส์ตลกยอดนิยมเรื่อง Everybody Loves Raymond ทาง CBS และมีผู้ชม 8,302,000 ครัวเรือนรับชม ซีรีย์ยอดนิยม"Law & Order" ทางช่อง NBC (ที่มา: Nielsen Media Research) ความน่าจะเป็นที่ทีวีของครอบครัวหนึ่งจะปรับเป็น "Everybody Loves Raymond" ในช่วงสัปดาห์ที่กำหนดเป็นเท่าใด

สารละลายความน่าจะเป็นที่ทีวีในครัวเรือนหนึ่งจะปรับเป็น "ใครๆ ก็รักเรย์มอนด์" คือ P และ
P = 7,815,000/105,500,000 µ 0.074 µ 7.4%
โอกาสที่ทีวีของครัวเรือนได้รับการปรับเป็น Law & Order คือ P และ
P = 8,302,000/105,500,000 µm 0.079 µm 7.9%
เปอร์เซ็นต์เหล่านี้เรียกว่าการให้คะแนน

ความน่าจะเป็นทางทฤษฎี

สมมติว่าเรากำลังทำการทดลอง เช่น การขว้างเหรียญหรือปาเป้า การจั่วการ์ดจากสำรับ หรือการทดสอบคุณภาพผลิตภัณฑ์ในสายการผลิต แต่ละผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของการทดลองดังกล่าวเรียกว่า อพยพ - เซตของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเรียกว่า พื้นที่ผลลัพธ์ . เหตุการณ์ มันเป็นชุดของผลลัพธ์ นั่นคือ เซตย่อยของปริภูมิของผลลัพธ์

ตัวอย่างที่ 4 ขว้างปาเป้า สมมติว่าในการทดลองขว้างปาลูกดอก ลูกดอกจะเข้าเป้า ค้นหาแต่ละรายการต่อไปนี้:

b) พื้นที่ผลลัพธ์

สารละลาย
a) ผลลัพธ์คือ: กดปุ่มสีดำ (B), กดปุ่มสีแดง (R) และกดปุ่มสีขาว (B)

b) ช่องของผลลัพธ์คือ (ช่องสีดำ ช่องสีแดง ช่องสีขาว) ซึ่งสามารถเขียนง่ายๆ ว่า (H, K, B)

ตัวอย่างที่ 5 การขว้างลูกเต๋า ลูกเต๋าคือลูกบาศก์ที่มีหกด้าน แต่ละด้านมีจุดหนึ่งถึงหกจุด


สมมุติว่าเรากำลังขว้างลูกเต๋า หา
ก) ผลลัพธ์
b) พื้นที่ผลลัพธ์

สารละลาย
ก) ผลลัพธ์: 1, 2, 3, 4, 5, 6
b) พื้นที่ผลลัพธ์ (1, 2, 3, 4, 5, 6)

เราแสดงความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ E จะเกิดขึ้นเป็น P(E) ตัวอย่างเช่น “เหรียญจะตกลงบนหัว” สามารถเขียนแทนด้วย H ได้ จากนั้น P(H) แสดงถึงความน่าจะเป็นที่เหรียญจะตกลงบนหัว เมื่อผลลัพธ์ทั้งหมดของการทดสอบมีความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นเท่ากัน ก็จะถือว่ามีความน่าจะเป็นเท่ากัน หากต้องการดูความแตกต่างระหว่างเหตุการณ์ที่มีโอกาสเท่าเทียมกันกับเหตุการณ์ที่ไม่เท่ากัน ให้พิจารณาเป้าหมายที่แสดงด้านล่าง

สำหรับเป้าหมาย A เหตุการณ์การชนสีดำ แดง และขาวมีความเป็นไปได้พอๆ กัน เนื่องจากส่วนสีดำ แดง และขาวเหมือนกัน อย่างไรก็ตาม สำหรับเป้าหมาย B โซนที่มีสีเหล่านี้ไม่เหมือนกัน กล่าวคือ การชนนั้นไม่น่าจะเป็นไปได้เท่ากัน

หลักการ P (เชิงทฤษฎี)

หากเหตุการณ์ E สามารถเกิดขึ้นได้เป็น m จาก n ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เท่ากันจากสเปซผลลัพธ์ S แล้ว ความน่าจะเป็นทางทฤษฎี เหตุการณ์ P(E) คือ
P(E) = ม/n

ตัวอย่างที่ 6ความน่าจะเป็นที่จะทอยลูกเต๋าได้ 3 เป็นเท่าไหร่?

สารละลายมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เท่าเทียมกัน 6 รายการบนลูกเต๋า และมีความเป็นไปได้เพียงทางเดียวเท่านั้นที่จะทอยเลข 3 จากนั้นความน่าจะเป็น P จะเป็น P(3) = 1/6

ตัวอย่างที่ 7ความน่าจะเป็นที่จะทอยเลขคู่บนลูกเต๋าเป็นเท่าใด?

สารละลายเหตุการณ์คือการขว้างเลขคู่ สิ่งนี้สามารถเกิดขึ้นได้ 3 วิธี (หากคุณหมุน 2, 4 หรือ 6) จำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เท่ากันคือ 6 จากนั้นความน่าจะเป็น P(คู่) = 3/6 หรือ 1/2

เราจะใช้ตัวอย่างจำนวนหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับสำรับไพ่มาตรฐาน 52 ใบ สำรับนี้ประกอบด้วยไพ่ที่แสดงในรูปด้านล่าง

ตัวอย่างที่ 8ความน่าจะเป็นในการจั่วไพ่เอซจากสำรับไพ่ที่สับอย่างดีคือเท่าไร?

สารละลายมีผลลัพธ์ 52 แบบ (จำนวนไพ่ในสำรับ) มีโอกาสเท่ากัน (ถ้าสับสำรับดี) และมีวิธีจั่วเอซได้ 4 วิธี ดังนั้นตามหลักการ P ความน่าจะเป็น
P(จั่วเอซ) = 4/52 หรือ 1/13

ตัวอย่างที่ 9สมมติว่าเราเลือกลูกบอลหนึ่งลูกจากถุงที่มีลูกบอลสีแดง 3 ลูกและสีเขียว 4 ลูกโดยไม่มอง ความน่าจะเป็นที่จะเลือกลูกบอลสีแดงเป็นเท่าใด?

สารละลายมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้พอๆ กัน 7 แบบในการจั่วลูกบอล และเนื่องจากจำนวนวิธีในการจับลูกบอลสีแดงคือ 3 เราจึงได้
P(การเลือกลูกบอลสีแดง) = 3/7

ข้อความต่อไปนี้เป็นผลจากหลักการ P

คุณสมบัติของความน่าจะเป็น

ก) ถ้าเหตุการณ์ E ไม่สามารถเกิดขึ้นได้ ดังนั้น P(E) = 0
b) ถ้าเหตุการณ์ E เกิดขึ้นแน่นอน ดังนั้น P(E) = 1
c) ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ E จะเกิดขึ้นคือตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1

ตัวอย่างเช่น ในการโยนเหรียญ เหตุการณ์ที่เหรียญตกขอบนั้นมีความน่าจะเป็นเป็นศูนย์ ความน่าจะเป็นที่เหรียญจะออกหัวหรือก้อยมีความน่าจะเป็นเท่ากับ 1

ตัวอย่างที่ 10สมมุติว่าจั่วไพ่ 2 ใบจากสำรับไพ่ 52 ใบ ความน่าจะเป็นที่ทั้งคู่จะถึงจุดสูงสุดเป็นเท่าใด?

สารละลายจำนวนวิธีจั่วไพ่ 2 ใบจากสำรับไพ่ 52 ใบที่สับอย่างดีคือ 52 C 2 เนื่องจากไพ่ 13 ใบจากทั้งหมด 52 ใบเป็นโพดำ จำนวนวิธีที่ m จะจั่วไพ่ 2 โพดำคือ 13 C 2 แล้ว,
P(ดึง 2 ยอด) = m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17

ตัวอย่างที่ 11สมมติว่าสุ่มเลือก 3 คนจากกลุ่มชาย 6 คน และหญิง 4 คน ความน่าจะเป็นที่จะเลือกผู้ชาย 1 คน และผู้หญิง 2 คน เป็นเท่าไหร่?

สารละลายจำนวนวิธีเลือกสามคนจากกลุ่ม 10 คนคือ 10 C 3 ผู้ชายหนึ่งคนสามารถเลือกได้ 6 C 1 วิธี และผู้หญิง 2 คนสามารถเลือกได้ 4 C 2 วิธี ตาม หลักการพื้นฐานการนับจำนวนวิธีเลือกชาย 1 คนและหญิง 2 คน 6 C 1. 4 ซี 2 . จากนั้นความน่าจะเป็นที่จะเลือกผู้ชาย 1 คน และผู้หญิง 2 คน คือ
ป = 6 ค 1 . 4 ค 2 / 10 ค 3 = 3/10

ตัวอย่างที่ 12 การขว้างลูกเต๋า ความน่าจะเป็นที่จะทอยลูกเต๋าสองลูกได้แต้มรวม 8 แต้มเป็นเท่าไหร่?

สารละลายลูกเต๋าแต่ละลูกมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ 6 แบบ ผลลัพธ์จะเพิ่มเป็นสองเท่า ซึ่งหมายความว่ามี 6.6 หรือ 36 วิธีที่เป็นไปได้ที่ตัวเลขบนลูกเต๋าสองลูกจะปรากฏ (จะดีกว่าถ้าลูกบาศก์แตกต่างกัน สมมติว่าอันหนึ่งเป็นสีแดงและอีกอันเป็นสีน้ำเงิน ซึ่งจะช่วยให้เห็นภาพผลลัพธ์)

คู่ตัวเลขที่รวมกันได้ 8 จะแสดงในรูปด้านล่าง มี 5 วิธีที่เป็นไปได้ได้ผลรวมเท่ากับ 8 ดังนั้นความน่าจะเป็นคือ 5/36