ระบบเป็นเนื้อเดียวกัน ระบบสมการเชิงเส้นแบบเอกพันธ์

ระบบเชิงเส้นเรียกว่า เป็นเนื้อเดียวกัน หากเงื่อนไขอิสระทั้งหมดมีค่าเท่ากับ 0

ในรูปแบบเมทริกซ์ ระบบเอกพันธ์จะถูกเขียน:
.

ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน (2) มีความสอดคล้องกันเสมอ . แน่นอนว่าเซตของตัวเลข
,
, …,
ตอบสนองทุกสมการของระบบ สารละลาย
เรียกว่า ศูนย์ หรือ เล็กน้อย การตัดสินใจ. ดังนั้น ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันจึงมีวิธีแก้ปัญหาเป็นศูนย์เสมอ

ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน (2) จะมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เป็นศูนย์ (ไม่สำคัญ) ภายใต้เงื่อนไขใด

ทฤษฎีบท 1.3 ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน (2) มีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เป็นศูนย์ ถ้าเพียงแต่หากอันดับ ร เมทริกซ์หลักของมัน ไม่ทราบน้อยลง n .

ระบบ (2) – ไม่แน่นอน
.

ข้อพิสูจน์ 1. ถ้าเป็นจำนวนสมการ ม ระบบเอกพันธ์มีตัวแปรน้อยกว่า
ดังนั้นระบบจึงไม่แน่นอนและมีคำตอบที่ไม่เป็นศูนย์มากมาย

ข้อพิสูจน์ 2. ระบบเอกพันธ์แบบสี่เหลี่ยม
มีคำตอบที่ไม่เป็นศูนย์หากและเมื่อเมทริกซ์หลักของระบบนี้ เสื่อมลงเช่น ปัจจัยกำหนด
.

มิฉะนั้นหากเป็นปัจจัยกำหนด
มีระบบเอกพันธ์สี่เหลี่ยมจัตุรัส สิ่งเดียวเท่านั้น วิธีแก้ปัญหาเป็นศูนย์
.

ให้อันดับของระบบ (2)
นั่นคือระบบ (2) มีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่สำคัญ

อนุญาต และ - โซลูชั่นเฉพาะของระบบนี้ เช่น
และ
.

คุณสมบัติของสารละลายของระบบเอกพันธ์

จริงหรือ, .

จริงหรือ, .

เมื่อรวมคุณสมบัติ 1) และ 2) เราก็บอกได้ว่าถ้า

…,
- คำตอบของระบบเอกพันธ์ (2) ดังนั้นผลรวมเชิงเส้นใดๆ ของพวกมันก็คือคำตอบของมันเช่นกัน ที่นี่
- จำนวนจริงตามอำเภอใจ

สามารถพบได้
โซลูชันบางส่วนที่เป็นอิสระเชิงเส้น ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน (2) ด้วยความช่วยเหลือซึ่งคุณสามารถรับวิธีแก้ปัญหาเฉพาะอื่น ๆ ของระบบนี้ได้เช่น รับวิธีแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับระบบ (2)

คำจำกัดความ 2.2 จำนวนทั้งสิ้น
โซลูชันบางส่วนที่เป็นอิสระเชิงเส้น

…,
ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน (2) โดยที่แต่ละสารละลายของระบบ (2) สามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นได้เรียกว่า ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา (FSR) ของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน (2)

อนุญาต

…,
เป็นระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา ดังนั้นคำตอบทั่วไปของระบบเอกพันธ์ (2) จึงสามารถแสดงได้เป็น:

ที่ไหน

.

ความคิดเห็น หากต้องการรับ FSR คุณต้องค้นหาวิธีแก้ปัญหาแบบส่วนตัว

…,
โดยให้ตัวแปรอิสระหนึ่งตัวมีค่าเป็น “1” และตัวแปรอิสระอื่นๆ ทั้งหมดมีค่าเป็น “0”

เราได้รับ ,, …,- เอฟเอสอาร์.

ตัวอย่าง.ค้นหาคำตอบทั่วไปและระบบพื้นฐานของคำตอบของระบบสมการเอกพันธ์:

สารละลาย.ลองเขียนเมทริกซ์ขยายของระบบ โดยใส่สมการสุดท้ายของระบบไว้เป็นอันดับแรก แล้วนำมาอยู่ในรูปแบบขั้นตอน เนื่องจากทางด้านขวามือของสมการไม่เปลี่ยนแปลงอันเป็นผลมาจากการแปลงเบื้องต้น คอลัมน์จึงเหลือศูนย์

ไม่อาจเขียนออกมาได้

̴
̴
̴

ระบบอันดับไหน.
- จำนวนตัวแปร ระบบไม่แน่นอนและมีวิธีแก้ปัญหามากมาย

รองพื้นฐานสำหรับตัวแปร
ไม่ใช่ศูนย์:
เลือก
เป็นตัวแปรพื้นฐานส่วนที่เหลือ
- ตัวแปรอิสระ (รับค่าจริงใดๆ ก็ได้)

เมทริกซ์สุดท้ายในห่วงโซ่สอดคล้องกับระบบสมการแบบขั้นตอน:

(3)

เรามาแสดงตัวแปรพื้นฐานกัน
ผ่านตัวแปรอิสระ
(กลับกันของวิธีเกาส์เซียน)

จากสมการสุดท้ายที่เราแสดง :
และแทนที่มันลงในสมการแรก เราจะได้รับมัน ให้เราเปิดวงเล็บให้อันที่คล้ายกันแล้วแสดงออก :
.

เชื่อ
,
,
, ที่ไหน
มาเขียนกันดีกว่า

- วิธีแก้ปัญหาทั่วไปของระบบ

เรามาค้นหาระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหากัน

,,.

จากนั้นคำตอบทั่วไปของระบบเอกพันธ์สามารถเขียนได้เป็น:

ความคิดเห็น สามารถค้นพบ FSR ด้วยวิธีอื่นได้โดยไม่ต้องค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับระบบก่อน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ระบบขั้นตอนผลลัพธ์ (3) จะต้องได้รับการแก้ไขสามครั้ง :
; สำหรับ :
; สำหรับ :
.

ระบบเอกพันธ์ของสมการพีชคณิตเชิงเส้น

เป็นส่วนหนึ่งของบทเรียน วิธีเกาส์เซียนและ ระบบ/ระบบที่เข้ากันไม่ได้กับโซลูชันทั่วไปเราพิจารณาแล้ว ระบบสมการเชิงเส้นแบบไม่เอกพันธ์, ที่ไหน สมาชิกฟรี(ซึ่งปกติจะอยู่ทางขวา) อย่างน้อยหนึ่งจากสมการที่แตกต่างจากศูนย์
และตอนนี้หลังจากอุ่นเครื่องได้ดีแล้วด้วย อันดับเมทริกซ์เราจะได้ขัดเกลาเทคนิคต่อไป การเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นบน ระบบเอกพันธ์ของสมการเชิงเส้น.
จากย่อหน้าแรก เนื้อหาอาจดูน่าเบื่อและปานกลาง แต่ความประทับใจนี้กลับหลอกลวง นอกจากการพัฒนาเทคนิคเพิ่มเติมแล้ว ยังมีข้อมูลใหม่ๆ มากมาย ดังนั้นโปรดอย่าละเลยตัวอย่างในบทความนี้

ระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธ์คืออะไร?

คำตอบนั้นบ่งบอกตัวมันเอง ระบบสมการเชิงเส้นจะเป็นเนื้อเดียวกันหากใช้เงื่อนไขอิสระ ทุกคนสมการของระบบเป็นศูนย์ ตัวอย่างเช่น:

เป็นที่ชัดเจนอย่างยิ่งว่า ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันมีความสอดคล้องกันเสมอนั่นคือมันย่อมมีทางแก้เสมอ และก่อนอื่น สิ่งที่ดึงดูดสายตาของคุณคือสิ่งที่เรียกว่า เล็กน้อยสารละลาย . Trivial สำหรับผู้ที่ไม่เข้าใจความหมายของคำคุณศัพท์เลย หมายถึง ไม่โอ้อวด แน่นอนว่าไม่ใช่เชิงวิชาการ แต่อย่างชาญฉลาด =) ...ทำไมต้องทำอะไรบ้าๆ บอๆ มาดูกันว่าระบบนี้มีวิธีแก้ปัญหาอื่นหรือไม่:

ตัวอย่างที่ 1

สารละลาย: เพื่อแก้ระบบเอกพันธ์จำเป็นต้องเขียน เมทริกซ์ระบบและด้วยความช่วยเหลือของการแปลงเบื้องต้นทำให้เป็นรูปแบบขั้นตอน โปรดทราบว่าที่นี่ไม่จำเป็นต้องเขียนแถบแนวตั้งและคอลัมน์ศูนย์ของคำศัพท์อิสระ ท้ายที่สุดไม่ว่าคุณจะทำอะไรกับศูนย์ พวกมันก็จะยังคงเป็นศูนย์:

(1) บรรทัดแรกบวกกับบรรทัดที่สอง คูณด้วย –2 บรรทัดแรกบวกกับบรรทัดที่สาม คูณด้วย –3

(2) บรรทัดที่สองบวกเข้ากับบรรทัดที่สาม คูณด้วย –1

การหารบรรทัดที่สามด้วย 3 นั้นไม่สมเหตุสมผลนัก

อันเป็นผลมาจากการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นจะได้ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันที่เทียบเท่ากัน และการใช้วิธีผกผันของวิธีเกาส์เซียน ทำให้ง่ายต่อการตรวจสอบว่าโซลูชันมีลักษณะเฉพาะ

คำตอบ:

ให้เรากำหนดเกณฑ์ที่ชัดเจน: มีระบบสมการเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกัน เป็นเพียงวิธีแก้ปัญหาเล็กน้อย, ถ้า อันดับเมทริกซ์ของระบบ(ในกรณีนี้คือ 3) เท่ากับจำนวนตัวแปร (ในกรณีนี้คือ 3 ชิ้น)

มาอุ่นเครื่องและปรับวิทยุของเราให้เข้ากับคลื่นของการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้น:

ตัวอย่างที่ 2

แก้ระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธ์

จากบทความ จะหาอันดับของเมทริกซ์ได้อย่างไร?ขอให้เรานึกถึงเทคนิคเชิงเหตุผลของการลดจำนวนเมทริกซ์ไปพร้อม ๆ กัน ไม่เช่นนั้นคุณจะต้องแล่ปลาตัวใหญ่และกัดปลาบ่อยๆ ตัวอย่างงานโดยประมาณในตอนท้ายของบทเรียน

ศูนย์เป็นสิ่งที่ดีและสะดวก แต่ในทางปฏิบัติกรณีนี้พบได้บ่อยกว่ามากเมื่อแถวของเมทริกซ์ระบบ ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น. แล้วการเกิดขึ้นของวิธีแก้ปัญหาทั่วไปก็หลีกเลี่ยงไม่ได้:

ตัวอย่างที่ 3

แก้ระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธ์

สารละลาย: ลองเขียนเมทริกซ์ของระบบแล้วใช้การแปลงเบื้องต้น ทำให้มันอยู่ในรูปแบบขั้นตอน การดำเนินการแรกมีวัตถุประสงค์ไม่เพียงเพื่อให้ได้ค่าเดียวเท่านั้น แต่ยังรวมถึงการลดตัวเลขในคอลัมน์แรกด้วย:

(1) เพิ่มบรรทัดที่สามเข้ากับบรรทัดแรก คูณด้วย –1 บรรทัดที่สามถูกบวกเข้ากับบรรทัดที่สอง คูณด้วย –2 ที่ด้านซ้ายบนฉันมีหน่วยที่มี "ลบ" ซึ่งมักจะสะดวกกว่ามากสำหรับการแปลงเพิ่มเติม

(2) สองบรรทัดแรกเหมือนกัน หนึ่งบรรทัดถูกลบไปแล้ว จริงๆ แล้ว ฉันไม่ได้ผลักดันวิธีแก้ปัญหา - มันกลับกลายเป็นอย่างนั้น หากคุณทำการแปลงในลักษณะเทมเพลต การพึ่งพาเชิงเส้นเส้นจะถูกเปิดเผยในภายหลังเล็กน้อย

(3) เพิ่มบรรทัดที่สองเข้ากับบรรทัดที่สามคูณด้วย 3

(4) ป้ายบรรทัดแรกมีการเปลี่ยนแปลง

จากผลของการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้น ทำให้ได้ระบบที่เทียบเท่ากัน:

อัลกอริทึมทำงานเหมือนกับทุกประการ ระบบที่แตกต่างกัน. ตัวแปร “นั่งบนบันได” เป็นตัวแปรหลัก ส่วนตัวแปรที่ไม่ได้รับ “ขั้นบันได” จะว่าง

เรามาแสดงตัวแปรพื้นฐานผ่านตัวแปรอิสระกัน:

คำตอบ: การตัดสินใจร่วมกัน:

สูตรทั่วไปมีวิธีแก้ปัญหาเล็กน้อยและไม่จำเป็นต้องจดแยกกัน

การตรวจสอบยังดำเนินการตามรูปแบบปกติ: ต้องแทนที่ผลลัพธ์ทั่วไปที่เกิดขึ้นทางด้านซ้ายของแต่ละสมการของระบบและต้องได้รับศูนย์ทางกฎหมายสำหรับการทดแทนทั้งหมด

มันเป็นไปได้ที่จะจบเรื่องนี้อย่างเงียบๆ และสงบสุข แต่บ่อยครั้งจำเป็นต้องนำเสนอการแก้ระบบสมการเอกพันธ์ ในรูปแบบเวกเตอร์โดยใช้ ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา. กรุณาลืมมันซะก่อน เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์เนื่องจากตอนนี้เราจะพูดถึงเวกเตอร์ในแง่พีชคณิตทั่วไปซึ่งฉันได้เปิดบทความเล็กน้อยในบทความ อันดับเมทริกซ์. ไม่จำเป็นต้องกลบคำศัพท์ ทุกอย่างค่อนข้างง่าย

ระบบสมการเอกพันธ์เชิงเส้น- มีรูปแบบ ∑a k i x i = 0 โดยที่ m > n หรือ m ระบบเอกพันธ์ของสมการเชิงเส้นมีความสอดคล้องกันเสมอ เนื่องจาก rangA = rangB แน่นอนว่ามันมีคำตอบที่ประกอบด้วยศูนย์ซึ่งเรียกว่า เล็กน้อย.

วัตถุประสงค์ของการบริการ. เครื่องคิดเลขออนไลน์ได้รับการออกแบบมาเพื่อค้นหาวิธีแก้ปัญหาพื้นฐานสำหรับ SLAE ผลลัพธ์ที่ได้จะถูกบันทึกเป็นไฟล์ Word (ดูตัวอย่างวิธีแก้ปัญหา)

คำแนะนำ. เลือกมิติเมทริกซ์:

คุณสมบัติของระบบสมการเอกพันธ์เชิงเส้น

เพื่อให้ระบบได้มี โซลูชั่นที่ไม่สำคัญมีความจำเป็นและเพียงพอที่อันดับของเมทริกซ์จะน้อยกว่าจำนวนที่ไม่ทราบ

ทฤษฎีบท. ระบบในกรณี m=n จะมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่ไม่สำคัญก็ต่อเมื่อดีเทอร์มีแนนต์ของระบบนี้มีค่าเท่ากับศูนย์

ทฤษฎีบท. ผลรวมเชิงเส้นใดๆ ของคำตอบของระบบก็เป็นคำตอบของระบบนั้นเช่นกัน
คำนิยาม. ชุดของการแก้ระบบสมการเอกพันธ์เชิงเส้นเรียกว่า ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาถ้าเซตนี้ประกอบด้วยผลเฉลยอิสระเชิงเส้น และผลเฉลยใดๆ ของระบบคือผลรวมเชิงเส้นของผลเฉลยเหล่านี้

ทฤษฎีบท. หากอันดับ r ของเมทริกซ์ระบบน้อยกว่าจำนวน n ของสิ่งที่ไม่รู้จัก แสดงว่ามีระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาที่ประกอบด้วยโซลูชัน (n-r)

อัลกอริทึมสำหรับการแก้ระบบสมการเอกพันธ์เชิงเส้น

1. การหาอันดับของเมทริกซ์
2. เราเลือกผู้เยาว์พื้นฐาน เราแยกแยะสิ่งที่ไม่รู้จักขึ้นอยู่กับ (พื้นฐาน) และไม่ทราบอิสระ
3. เราขีดฆ่าสมการของระบบซึ่งค่าสัมประสิทธิ์ไม่รวมอยู่ในพื้นฐานรอง เนื่องจากเป็นผลสืบเนื่องมาจากสมการอื่น ๆ (ตามทฤษฎีบทบนพื้นฐานรอง)
4. เราย้ายเงื่อนไขของสมการที่มีสิ่งไม่รู้อิสระไปทางด้านขวา เป็นผลให้เราได้รับระบบสมการ r ที่ไม่ทราบค่า r ซึ่งเทียบเท่ากับสมการที่กำหนด ซึ่งมีดีเทอร์มิแนนต์ที่ไม่ใช่ศูนย์
5. เราแก้ไขระบบผลลัพธ์โดยการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้จัก เราพบความสัมพันธ์ที่แสดงตัวแปรตามผ่านความสัมพันธ์อิสระ
6. หากอันดับของเมทริกซ์ไม่เท่ากับจำนวนตัวแปร เราจะพบคำตอบพื้นฐานของระบบ
7. ในกรณี rang = n เรามีวิธีแก้ปัญหาเล็กน้อย

ตัวอย่าง. ค้นหาพื้นฐานของระบบเวกเตอร์ (a 1, a 2,...,a m) จัดอันดับและแสดงเวกเตอร์ตามฐาน ถ้า 1 =(0,0,1,-1) และ 2 =(1,1,2,0) และ 3 =(1,1,1,1) และ 4 =(3,2,1 ,4) และ 5 =(2,1,0,3)
มาเขียนเมทริกซ์หลักของระบบกัน:

คูณบรรทัดที่ 3 ด้วย (-3) เพิ่มบรรทัดที่ 4 เข้ากับบรรทัดที่ 3:

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
3	2	1	4
2	1	0	3

คูณบรรทัดที่ 4 ด้วย (-2) ลองคูณบรรทัดที่ 5 ด้วย (3) เพิ่มบรรทัดที่ 5 เข้ากับบรรทัดที่ 4:
เพิ่มบรรทัดที่ 2 ไปที่ 1:
ลองหาอันดับของเมทริกซ์กัน
ระบบที่มีค่าสัมประสิทธิ์ของเมทริกซ์นี้เทียบเท่ากับระบบดั้งเดิมและมีรูปแบบ:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
เมื่อใช้วิธีการกำจัดสิ่งแปลกปลอม เราจะพบวิธีแก้ปัญหาที่ไม่สำคัญ:
เราได้รับความสัมพันธ์ที่แสดงตัวแปรตาม x 1 , x 2 , x 3 ผ่านตัวแปรอิสระ x 4 นั่นคือเราพบวิธีแก้ปัญหาทั่วไป:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4

ระบบ มสมการเชิงเส้นค nเรียกว่าสิ่งไม่รู้ ระบบเอกพันธ์เชิงเส้นสมการถ้าเงื่อนไขอิสระทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ ระบบดังกล่าวดูเหมือนว่า:

ที่ไหน และอิจ (ฉัน = 1, 2, …, ม; เจ = 1, 2, …, n) - กำหนดตัวเลข; x ฉัน– ไม่ทราบ

เนื่องจากระบบสมการเอกพันธ์เชิงเส้นมีความสอดคล้องกันเสมอ ร(ก) = ร() จะมีค่าอย่างน้อยเป็นศูนย์เสมอ ( เล็กน้อย) วิธีแก้ปัญหา (0; 0; …; 0)

ให้เราพิจารณาว่าภายใต้เงื่อนไขใดที่ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันจะมีคำตอบที่ไม่เป็นศูนย์

ทฤษฎีบท 1ระบบสมการเอกพันธ์เชิงเส้นจะมีคำตอบที่ไม่ใช่ศูนย์ก็ต่อเมื่ออันดับของเมทริกซ์หลักเป็นเท่านั้น รไม่ทราบน้อยลง n, เช่น. ร < n.

□ 1). ปล่อยให้ระบบสมการเอกพันธ์เชิงเส้นมีคำตอบที่ไม่ใช่ศูนย์ เนื่องจากอันดับต้องไม่เกินขนาดของเมทริกซ์ ดังนั้นเห็นได้ชัดว่า ร ≤ n. อนุญาต ร = n. จากนั้นหนึ่งในขนาดย่อย ไม่แตกต่างจากศูนย์ ดังนั้น ระบบสมการเชิงเส้นที่สอดคล้องกันจึงมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ: . . . ซึ่งหมายความว่าไม่มีวิธีแก้ปัญหาอื่นใดนอกจากวิธีแก้ปัญหาเล็กน้อย ดังนั้นหากมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่สำคัญล่ะก็ ร < n.

2). อนุญาต ร < n. ดังนั้นระบบเอกพันธ์ที่มีความสม่ำเสมอจึงไม่แน่นอน ซึ่งหมายความว่ามีวิธีแก้ไขจำนวนไม่สิ้นสุด เช่น มีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เป็นศูนย์ ■

พิจารณาระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน nสมการเชิงเส้นค nไม่ทราบ:

(2)

ทฤษฎีบท 2ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน nสมการเชิงเส้นค nสิ่งที่ไม่รู้จัก (2) จะมีคำตอบที่ไม่เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อค่าดีเทอร์มิแนนต์ของมันเท่ากับศูนย์: = 0

□ ถ้าระบบ (2) มีคำตอบไม่เป็นศูนย์ แล้ว = 0 เพราะเมื่อระบบมีคำตอบเป็นศูนย์เพียงตัวเดียว ถ้า = 0 แสดงว่าอันดับ รเมทริกซ์หลักของระบบน้อยกว่าจำนวนไม่ทราบ เช่น ร < n. ดังนั้นระบบจึงมีวิธีแก้ปัญหาจำนวนอนันต์เช่น มีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เป็นศูนย์ ■

ให้เราแสดงถึงวิธีแก้ปัญหาของระบบ (1) เอ็กซ์ 1 = เค 1 , เอ็กซ์ 2 = เค 2 , …, เอ็กซ์เอ็น = เคเอ็นเป็นสตริง .

คำตอบของระบบสมการเอกพันธ์เชิงเส้นมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

1. ถ้าเป็นแนว คือคำตอบของระบบ (1) จากนั้นเส้นคือคำตอบของระบบ (1)

2. ถ้าเส้น และเป็นคำตอบของระบบ (1) แล้วสำหรับค่าใดๆ กับ 1 และ กับ 2 การรวมกันเชิงเส้นของพวกมันยังเป็นวิธีแก้ปัญหาของระบบ (1)

ความถูกต้องของคุณสมบัติเหล่านี้สามารถตรวจสอบได้โดยการแทนที่คุณสมบัติเหล่านั้นลงในสมการของระบบโดยตรง

จากคุณสมบัติตามสูตร จะตามมาว่าผลรวมเชิงเส้นใดๆ ของคำตอบกับระบบสมการเอกพันธ์เชิงเส้นก็เป็นคำตอบของระบบนี้เช่นกัน

ระบบการแก้ปัญหาอิสระเชิงเส้น จ 1 , จ 2 , …, เอ่อเรียกว่า พื้นฐานถ้าแต่ละคำตอบของระบบ (1) เป็นผลรวมเชิงเส้นของคำตอบเหล่านี้ จ 1 , จ 2 , …, เอ่อ.

ทฤษฎีบท 3ถ้ายศ รเมทริกซ์ค่าสัมประสิทธิ์สำหรับตัวแปรของระบบสมการเอกพันธ์เชิงเส้น (1) น้อยกว่าจำนวนตัวแปร nจากนั้นระบบพื้นฐานใดๆ ของการแก้ปัญหาของระบบ (1) จะประกอบด้วย ไม่มีการตัดสินใจ

นั่นเป็นเหตุผล การตัดสินใจร่วมกันระบบสมการเอกพันธ์เชิงเส้น (1) มีรูปแบบ:

ที่ไหน จ 1 , จ 2 , …, เอ่อ– ระบบพื้นฐานใดๆ ของการแก้ปัญหาระบบ (9) กับ 1 , กับ 2 , …, กับพี– ตัวเลขที่กำหนดเอง ร = ไม่มี.

ทฤษฎีบท 4โซลูชั่นทั่วไปของระบบ มสมการเชิงเส้นค nค่าไม่ทราบค่าเท่ากับผลรวมของคำตอบทั่วไปของระบบสมการเอกพันธ์เชิงเส้นที่สอดคล้องกัน (1) และค่าเฉลยเฉพาะของระบบนี้ (1)

ตัวอย่าง.แก้ระบบ

สารละลาย.สำหรับระบบนี้ ม = n= 3. ตัวกำหนด

ตามทฤษฎีบทที่ 2 ระบบมีเพียงวิธีแก้ปัญหาเล็กน้อยเท่านั้น: x = ย = z = 0.

ตัวอย่าง. 1) ค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไปและเฉพาะของระบบ

2) ค้นหาระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา

สารละลาย. 1) สำหรับระบบนี้ ม = n= 3. ตัวกำหนด

ตามทฤษฎีบทที่ 2 ระบบจะมีคำตอบที่ไม่ใช่ศูนย์

เนื่องจากมีสมการอิสระเพียงสมการเดียวในระบบ

x + ย – 4z = 0,

จากนั้นเราจะแสดงออก x =4z- ย. เราจะได้คำตอบจำนวนอนันต์ได้จากที่ไหน: (4 z- ย, ย, z) – นี่คือวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของระบบ

ที่ z= 1, ย= -1 เราได้คำตอบเฉพาะข้อหนึ่ง: (5, -1, 1) วาง z= 3, ย= 2 เราได้คำตอบเฉพาะอย่างที่สอง: (10, 2, 3) เป็นต้น

2) ในวิธีแก้ปัญหาทั่วไป (4 z- ย, ย, z) ตัวแปร ยและ zเป็นอิสระและตัวแปร เอ็กซ์- ขึ้นอยู่กับพวกเขา เพื่อที่จะค้นหาระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา เรามากำหนดค่าให้กับตัวแปรอิสระกันก่อน ย = 1, z= 0 แล้ว ย = 0, z= 1 เราได้คำตอบบางส่วน (-1, 1, 0), (4, 0, 1) ซึ่งเป็นระบบพื้นฐานของคำตอบ

ภาพประกอบ:

ข้าว. 1 การจำแนกประเภทของระบบสมการเชิงเส้น

ข้าว. 2 การศึกษาระบบสมการเชิงเส้น

การนำเสนอ:

· โซลูชันวิธี SLAE_matrix

· แนวทางแก้ไขของวิธี SLAE_Cramer

· โซลูชันวิธี SLAE_Gauss

· แพ็คเกจสำหรับการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์, MathCad: การค้นหาคำตอบเชิงวิเคราะห์และเชิงตัวเลขของระบบสมการเชิงเส้น

คำถามควบคุม:

1. กำหนดสมการเชิงเส้น

2. มีลักษณะระบบประเภทใด? มสมการเชิงเส้นด้วย nไม่รู้จัก?

3. ระบบแก้สมการเชิงเส้นเรียกว่าอะไร?

4. ระบบใดที่เรียกว่าเทียบเท่า?

5. ระบบใดเรียกว่าเข้ากันไม่ได้?

6. ระบบใดเรียกว่าข้อต่อ?

7. ระบบใดเรียกว่าแน่นอน?

8. ระบบใดเรียกว่าไม่มีกำหนด

9. ทำรายการการแปลงเบื้องต้นของระบบสมการเชิงเส้น

10. ทำรายการการแปลงเบื้องต้นของเมทริกซ์

11. กำหนดทฤษฎีบทเกี่ยวกับการประยุกต์การแปลงเบื้องต้นกับระบบสมการเชิงเส้น

12. ระบบใดที่สามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีเมทริกซ์?

13. ระบบใดที่สามารถแก้ไขได้โดยวิธีของแครมเมอร์?

14. ระบบใดที่สามารถแก้ไขได้โดยวิธีเกาส์?

15. ทำรายการ 3 กรณีที่เป็นไปได้ที่เกิดขึ้นเมื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์

16. อธิบายวิธีเมทริกซ์สำหรับการแก้ระบบสมการเชิงเส้น

17. อธิบายวิธีแครเมอร์ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น

18. อธิบายวิธีของเกาส์ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น

19. ระบบใดที่สามารถแก้ไขได้โดยใช้เมทริกซ์ผกผัน?

20. ทำรายการ 3 กรณีที่เป็นไปได้ที่เกิดขึ้นเมื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีแครเมอร์

วรรณกรรม:

1. คณิตศาสตร์ขั้นสูงสำหรับนักเศรษฐศาสตร์: หนังสือเรียนสำหรับมหาวิทยาลัย / N.Sh. เครเมอร์ ปริญญาตรี ปุตโก, ไอ.เอ็ม. ทริชิน, มินนิโซตา ฟรีดแมน. เอ็ด น.ช. เครเมอร์. – อ.: เอกภาพ, 2548. – 471 หน้า

2. หลักสูตรคณิตศาสตร์ชั้นสูงทั่วไปสำหรับนักเศรษฐศาสตร์: หนังสือเรียน / เอ็ด. ในและ เออร์มาโควา. –อ.: INFRA-M, 2549. – 655 หน้า

3. การรวบรวมปัญหาทางคณิตศาสตร์ขั้นสูงสำหรับนักเศรษฐศาสตร์: หนังสือเรียน / เรียบเรียงโดย V.I. เออร์มาโควา. อ.: INFRA-M, 2549. – 574 หน้า

4. Gmurman V. E. คู่มือการแก้ปัญหาทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติแม็กมาติก - ม.: มัธยมปลาย, 2548. – 400 น.

5. กรัมเมอร์แมน. ว.ศ. ทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์ - ม.: มัธยมปลาย, 2548.

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. คณิตศาสตร์ขั้นสูงในแบบฝึกหัดและปัญหา ตอนที่ 1, 2. – ม.: Onyx ศตวรรษที่ 21: สันติภาพและการศึกษา, 2548. – 304 น. ส่วนที่ 1; – 416 น. ส่วนที่ 2

7. คณิตศาสตร์เศรษฐศาสตร์ : ตำราเรียน มี 2 ภาค / A.S. Solodovnikov, V.A. Babaytsev, A.V. เบรลอฟ, ไอ.จี. ชานดารา. – อ.: การเงินและสถิติ, 2549.

8. ชิปาเชฟ VS. คณิตศาสตร์ชั้นสูง: หนังสือเรียนสำหรับนักเรียน. มหาวิทยาลัย - ม.: อุดมศึกษา, 2550 - 479 หน้า

ข้อมูลที่เกี่ยวข้อง.

ลองพิจารณาดู ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน m สมการเชิงเส้นที่มีตัวแปร n ตัว:

(15)

ระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธ์มีความสอดคล้องกันเสมอ เนื่องจาก มันมีวิธีแก้ปัญหาเป็นศูนย์ (เล็กน้อย) เสมอ (0,0,…,0)

ถ้าในระบบ (15) m=n และ แล้วระบบจะมีเพียงคำตอบที่เป็นศูนย์เท่านั้น ซึ่งตามมาจากทฤษฎีบทและสูตรของแครมเมอร์

ทฤษฎีบท 1. ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน (15) มีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่น่าสนใจถ้าหากอันดับของเมทริกซ์น้อยกว่าจำนวนตัวแปรนั่นคือ . ร(ก)< n.

การพิสูจน์. การมีอยู่ของคำตอบที่ไม่ไม่สำคัญต่อระบบ (15) เทียบเท่ากับการพึ่งพาเชิงเส้นของคอลัมน์ของเมทริกซ์ระบบ (นั่นคือ มีตัวเลข x 1, x 2,...,x n ไม่ใช่ทั้งหมดเท่ากับศูนย์ โดยที่ ความเท่าเทียมกัน (15) เป็นจริง)

ตามทฤษฎีบทรองพื้นฐาน คอลัมน์ของเมทริกซ์จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง  เมื่อคอลัมน์ของเมทริกซ์นี้ไม่ใช่คอลัมน์พื้นฐานทั้งหมด กล่าวคือ  เมื่อลำดับ r ของฐานรองของเมทริกซ์น้อยกว่าจำนวน n ของคอลัมน์ ฯลฯ

ผลที่ตามมา. ระบบเอกพันธ์กำลังสองจะมีคำตอบที่ไม่สำคัญ  เมื่อ |A|=0

ทฤษฎีบท 2. ถ้าคอลัมน์ x (1), x (2),..., x (s) เป็นคำตอบของระบบเอกพันธ์ AX = 0 ดังนั้นผลรวมเชิงเส้นใดๆ ของคอลัมน์เหล่านี้ก็เป็นคำตอบของระบบนี้เช่นกัน

การพิสูจน์. พิจารณาการรวมกันของวิธีแก้ปัญหา:

จากนั้น AX=A()===0 ฯลฯ

ข้อพิสูจน์ 1.หากระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่ซับซ้อน มันก็จะมีวิธีแก้ปัญหามากมายอย่างไม่สิ้นสุด

ที่. จำเป็นต้องค้นหาวิธีแก้ปัญหาดังกล่าว x (1), x (2),..., x (s) ของระบบ Ax = 0 เพื่อให้โซลูชันอื่นของระบบนี้แสดงในรูปแบบของผลรวมเชิงเส้นและ ยิ่งกว่านั้นด้วยวิธีที่ไม่เหมือนใคร

คำนิยาม.ระบบ k=n-r (n คือจำนวนสิ่งที่ไม่ทราบในระบบ, r=rg A) ของคำตอบอิสระเชิงเส้น x (1), x (2),…, x (k) ของระบบ Ах=0 ถูกเรียกว่า ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาระบบนี้

ทฤษฎีบท 3. ปล่อยให้ระบบเอกพันธ์ Ах=0 มีค่า n ไม่ทราบ และ r=rg A จากนั้นจะมีชุดของคำตอบ k=n-r x (1), x (2),…, x (k) ของระบบนี้ ก่อตัวเป็น ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา

การพิสูจน์. โดยไม่สูญเสียลักษณะทั่วไป เราสามารถสรุปได้ว่าฐานรองของเมทริกซ์ A อยู่ที่มุมซ้ายบน จากนั้น ตามทฤษฎีบทรองพื้นฐาน แถวที่เหลือของเมทริกซ์ A จะเป็นผลรวมเชิงเส้นของแถวพื้นฐาน ซึ่งหมายความว่าหากค่า x 1, x 2,…, xn เป็นไปตามสมการ r แรกนั่นคือ สมการที่สอดคล้องกับแถวของฐานรอง) จากนั้นจึงเป็นไปตามสมการอื่นๆ ด้วย ดังนั้น ชุดคำตอบของระบบจะไม่เปลี่ยนแปลงหากเราละทิ้งสมการทั้งหมดที่เริ่มต้นจากสมการ (r+1) เราได้รับระบบ:

ให้เราย้ายสิ่งที่ไม่รู้จักฟรี x r +1 , x r +2 ,…, xn ไปทางด้านขวา และปล่อยสิ่งพื้นฐาน x 1 , x 2 ,…, x r ไว้ทางซ้าย:

(16)

เพราะ ในกรณีนี้ทั้งหมด b i =0 จากนั้นแทนที่จะเป็นสูตร

c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r ((13) เราได้รับ:

c j =-(c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r (13)

หากเราตั้งค่าสิ่งที่ไม่ทราบอิสระ x r +1 , x r +2 ,…, xn ให้เป็นค่าที่กำหนดเอง จากนั้นในส่วนที่เราไม่ทราบพื้นฐาน เราจะได้ SLAE แบบสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีเมทริกซ์ที่ไม่เป็นเอกพจน์ซึ่งมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาใด ๆ ของ SLAE ที่เป็นเนื้อเดียวกันจะถูกกำหนดโดยไม่ซ้ำกันโดยค่าของค่าที่ไม่รู้จักอิสระ x r +1, x r +2, …, x n พิจารณาชุดค่า k=n-r ของค่าไม่ทราบค่าอิสระต่อไปนี้:

1, =0, ….,=0,

1, =0, ….,=0, (17)

………………………………………………

1, =0, ….,=0,

(หมายเลขซีรีส์ระบุด้วยตัวยกในวงเล็บ และชุดของค่าเขียนในรูปแบบของคอลัมน์ ในแต่ละซีรีส์ =1 ถ้า i=j และ =0 ถ้า ij

ชุดค่า i-th ของค่าไม่ทราบค่าอิสระสอดคล้องกับค่าของ ,,...,ค่าไม่ทราบพื้นฐาน ค่าของไม่ทราบค่าพื้นฐานและฟรีร่วมกันให้คำตอบแก่ระบบ (17)

ให้เราแสดงว่าคอลัมน์ e i =,i=1,2,…,k (18)

สร้างระบบการแก้ปัญหาขั้นพื้นฐาน

เพราะ โดยการก่อสร้างแล้ว คอลัมน์เหล่านี้เป็นคำตอบของระบบเอกพันธ์ Ax=0 และจำนวนของมันเท่ากับ k จากนั้นก็ยังคงต้องพิสูจน์ความเป็นอิสระเชิงเส้นของคำตอบ (16) ปล่อยให้มีการรวมกันเชิงเส้นของคำตอบ จ 1 , จ 2 ,…, จ เค(x (1) , x (2) ,…, x (k)) เท่ากับคอลัมน์ศูนย์:

 1 จ 1 +  2 จ 2 +…+  เค จ เค ( 1 เอ็กซ์ (1) + 2 เอ็กซ์(2) +…+ ค เอ็กซ์(ฎ) = 0)

จากนั้นด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันนี้คือคอลัมน์ที่มีส่วนประกอบที่มีตัวเลข r+1,r+2,…,n เท่ากับศูนย์ แต่องค์ประกอบที่ (r+1) เท่ากับ 1 1+ 2 0+…+ l k 0= 1 ในทำนองเดียวกัน องค์ประกอบที่ (r+2) เท่ากับ  2 ,… องค์ประกอบที่ k เท่ากับ  k ดังนั้น 1 =  2 = …= k =0 ซึ่งหมายถึงความเป็นอิสระเชิงเส้นของคำตอบ จ 1 , จ 2 ,…, จ เค ( x (1) , x (2) ,…, x (k))

ระบบการแก้ปัญหาพื้นฐานที่สร้างขึ้น (18) เรียกว่า ปกติ. ตามสูตร (13) จะได้รูปแบบดังนี้

(20)

ข้อพิสูจน์ 2. อนุญาต จ 1 , จ 2 ,…, จ เค- ระบบพื้นฐานปกติของคำตอบของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน จากนั้นเซตของคำตอบทั้งหมดสามารถอธิบายได้ด้วยสูตร:

x=ค 1 จ 1 +ส 2 จ 2 +…+с เค จ เค (21)

โดยที่ с 1,с 2,…,с k – รับค่าที่กำหนดเอง

การพิสูจน์. ตามทฤษฎีบทที่ 2 คอลัมน์ (19) คือคำตอบของระบบเอกพันธ์ Ax=0 ยังคงต้องพิสูจน์ว่าสามารถแสดงวิธีแก้ปัญหาใด ๆ ให้กับระบบนี้ได้ในรูปแบบ (17) พิจารณาคอลัมน์ เอ็กซ์=yr+1 จ 1 +…+ใช่ จ เค. คอลัมน์นี้เกิดขึ้นพร้อมกับคอลัมน์ y ในองค์ประกอบที่มีตัวเลข r+1,...,n และเป็นคำตอบของ (16) ดังนั้นคอลัมน์ เอ็กซ์และ ที่ตรงกันเพราะว่า วิธีแก้ปัญหาของระบบ (16) ถูกกำหนดโดยไม่ซ้ำกันโดยชุดค่าของไม่ทราบค่าอิสระ x r +1 ,…,xn และคอลัมน์ ที่และ เอ็กซ์ชุดเหล่านี้เหมือนกัน เพราะฉะนั้น, ที่=เอ็กซ์= ปี +1 จ 1 +…+ใช่ จ เค, เช่น. สารละลาย ที่คือผลรวมเชิงเส้นของคอลัมน์ จ 1 ,…,และ FSR ปกติ ฯลฯ

ข้อความที่ได้รับการพิสูจน์แล้วเป็นจริงไม่เพียงแต่สำหรับ FSR ปกติเท่านั้น แต่ยังรวมถึง FSR ตามอำเภอใจของ SLAE ที่เป็นเนื้อเดียวกันด้วย

เอ็กซ์=ค 1 เอ็กซ์ 1 + ค 2 เอ็กซ์ 2 +…+ส n - ร เอ็กซ์ n - ร - การตัดสินใจร่วมกันระบบสมการเอกพันธ์เชิงเส้น

โดยที่ X 1, X 2, …, X n - r – ระบบการแก้ปัญหาพื้นฐานใด ๆ

c 1 ,c 2 ,…,c n - r เป็นตัวเลขที่กำหนดเอง

ตัวอย่าง. (หน้า 78)

ให้เราสร้างความเชื่อมโยงระหว่างวิธีแก้ปัญหาของ SLAE ที่ไม่เหมือนกัน (1) และ SLAE ที่เป็นเนื้อเดียวกันที่สอดคล้องกัน (15)

ทฤษฎีบท 4. ผลรวมของสารละลายใดๆ ของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน (1) และระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันที่สอดคล้องกัน (15) คือคำตอบของระบบ (1)

การพิสูจน์. ถ้า c 1 ,…,c n เป็นคำตอบของระบบ (1) และ d 1 ,…,d n เป็นคำตอบของระบบ (15) จากนั้นให้แทนจำนวนที่ไม่รู้จัก c ไปเป็นสมการใดๆ (เช่น i-th) ของ ระบบ (1) 1 +d 1 ,…,c n +d n เราได้รับ:

B i +0=b ฉัน h.t.d.

ทฤษฎีบท 5. ความแตกต่างระหว่างวิธีแก้ปัญหาตามอำเภอใจสองข้อของระบบที่ไม่เหมือนกัน (1) คือคำตอบของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน (15)

การพิสูจน์. ถ้า c 1 ,…,c n และ c 1 ,…,c n เป็นคำตอบของระบบ (1) แล้วแทนจำนวนที่ไม่รู้จัก c ไปเป็นสมการใดๆ (เช่น i-th) ของระบบ (1 ) 1 -с 1 ,…,c n -с n เราได้รับ:

ข ฉัน -ข ฉัน =0 p.t.d.

จากทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วดังต่อไปนี้ว่าคำตอบทั่วไปของระบบสมการเอกพันธ์เชิงเส้นเชิงเส้น m ที่มีตัวแปร n เท่ากับผลรวมของคำตอบทั่วไปของระบบที่สอดคล้องกันของสมการเชิงเส้นเอกพันธ์ (15) และจำนวนเท่าใดก็ได้ของวิธีแก้ปัญหาเฉพาะของ ระบบนี้ (15)

เอ็กซ์ นีโอด =เอ็กซ์ ทั้งหมด หนึ่ง +เอ็กซ์ บ่อย มากกว่าหนึ่งครั้ง (22)

ในฐานะที่เป็นวิธีแก้ปัญหาเฉพาะสำหรับระบบที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน เป็นเรื่องปกติที่จะนำวิธีแก้ปัญหาที่ได้รับมาหากในสูตร c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i, r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r ((13) กำหนดตัวเลขทั้งหมด c r +1 ,…,c n เท่ากับศูนย์ กล่าวคือ

X 0 =(,…,,0,0,…,0) (23)

การเพิ่มโซลูชันเฉพาะนี้ให้กับโซลูชันทั่วไป เอ็กซ์=ค 1 เอ็กซ์ 1 + ค 2 เอ็กซ์ 2 +…+ส n - ร เอ็กซ์ n - รเราได้รับระบบเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน:

เอ็กซ์ นีโอด =เอ็กซ์ 0 +ซี 1 เอ็กซ์ 1 +ซี 2 เอ็กซ์ 2 +…+ส n - ร เอ็กซ์ n - ร (24)

พิจารณาระบบสองสมการที่มีตัวแปรสองตัว:

โดยมีค่าสัมประสิทธิ์อย่างน้อยหนึ่งค่า ไอไอ 0

ในการแก้ปัญหา เรากำจัด x 2 ด้วยการคูณสมการแรกด้วย 22 และสมการที่สองด้วย (-a 12) แล้วบวกเข้าด้วยกัน: กำจัด x 1 ด้วยการคูณสมการแรกด้วย (-a 21) และสมการที่สองด้วย 11 และเพิ่ม: การแสดงออกในวงเล็บเป็นตัวกำหนด

กำหนดแล้ว ,จากนั้นระบบจะอยู่ในรูปแบบ: เช่น ถ้า ระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ:,

ถ้า Δ=0 และ (หรือ) แสดงว่าระบบไม่สอดคล้องกัน เนื่องจาก ลดลงเป็นรูปแบบ ถ้า Δ=Δ 1 =Δ 2 =0 แล้วระบบไม่แน่นอน เพราะ ลดฟอร์มลง