Pronađite graf figure s ograničenim linijama. Primjeri

Počinjemo razmatrati stvarni proces izračuna dvostrukog integrala i upoznati se s njegovim geometrijskim značenjem.

Dvostruki integral numerički jednako površini ravna figura (regija integracije). Ovaj najjednostavniji oblik dvostruki integral, kada je funkcija dviju varijabli jednaka jedinici: .

Razmotrimo prvo problem u opći pogled. Sada ćete se prilično iznenaditi koliko je sve zapravo jednostavno! Izračunajmo površinu ravne figure omeđene linijama. Za određenost, pretpostavljamo da na segmentu . Površina ove figure brojčano je jednaka:

Oslikajmo područje na crtežu:

Izaberimo prvi način prelaska područja:

Tako:

I odmah važna tehnička tehnika: iterirani integrali mogu se izračunati odvojeno. Prvo unutarnji integral, zatim vanjski integral. Ova metoda Toplo ga preporučujem početnicima u ovoj temi.

1) Izračunajmo interni integral, a integracija se provodi preko varijable “y”:

Neodređeni integral ovdje je najjednostavniji, a onda se koristi banalna Newton-Leibnizova formula, s tom razlikom što granice integracije nisu brojevi, već funkcije. Prvo smo zamijenili gornju granicu u "y" (antiderivacijska funkcija), zatim donju granicu

2) Rezultat dobiven u prvom stavku mora se zamijeniti u vanjski integral:

Kompaktniji prikaz cjelokupnog rješenja izgleda ovako:

Dobivena formula je upravo radna formula za izračunavanje površine ravnog lika pomoću "običnog" određenog integrala! Pogledajte lekciju Izračunavanje površine pomoću određenog integrala, ima je na svakom koraku!

To je, problem izračuna površine pomoću dvostrukog integrala ne puno drugačije iz problema nalaženja površine pomoću određenog integrala! Zapravo, to je ista stvar!

Prema tome, ne bi trebalo nastati nikakve poteškoće! Neću se osvrtati na mnogo primjera, budući da ste se zapravo više puta susreli s ovim zadatkom.

Primjer 9

Riješenje: Oslikajmo područje na crtežu:

Izaberimo sljedeći redoslijed obilaska područja:

Ovdje i dalje neću se zadržavati na tome kako prijeći područje, jer su vrlo detaljna objašnjenja dana u prvom paragrafu.

Tako:

Kao što sam već primijetio, za početnike je bolje računati iterirane integrale odvojeno, a ja ću se držati iste metode:

1) Prvo, koristeći Newton-Leibnizovu formulu, bavimo se unutarnjim integralom:

2) Rezultat dobiven u prvom koraku zamjenjuje se u vanjski integral:

Točka 2 zapravo je pronalaženje površine ravne figure pomoću određenog integrala.

Odgovor:

Ovo je tako glup i naivan zadatak.

Zanimljiv primjer za neovisna odluka:

Primjer 10

Pomoću dvostrukog integrala izračunajte površinu ravnog lika omeđenog pravcima , ,

Približan uzorak dorada rješenja na kraju sata.

U primjerima 9-10 mnogo je isplativije koristiti prvu metodu obilaženja područja; Ako ne pogriješite, tada ćete, naravno, dobiti iste vrijednosti površine.

Ali u nekim je slučajevima druga metoda prelaska područja učinkovitija, a na kraju tečaja za mlade štrebere, pogledajmo još nekoliko primjera na ovu temu:

Primjer 11

Pomoću dvostrukog integrala izračunajte površinu ravnog lika omeđenog linijama,

Riješenje: Radujemo se dvjema parabolama s čudom koje leže na bokovima. Nema potrebe za smješkom; slične stvari se često događaju u višestrukim integralima.

Kako je najlakše napraviti crtež?

Zamislimo parabolu u obliku dvije funkcije:
– gornja grana i – donja grana.

Slično, zamislite parabolu u obliku gornje i donje grane.

Zatim, iscrtavanje grafova po točkama, rezultira tako bizarnom figurom:

Izračunavamo površinu figure pomoću dvostrukog integrala prema formuli:

Što se događa ako odaberemo prvi način prelaženja područja? Prvo, ovo područje će morati biti podijeljeno u dva dijela. I drugo, promatrat ćemo ovo tužna slika: . Integrali, doduše, nisu neke superkomplicirane razine, ali... stara je matematička izreka: tko je blizak korijenima, ne treba ispit.

Stoga, iz nesporazuma danog u uvjetu, izražavamo inverzne funkcije:

Inverzne funkcije u u ovom primjeru imaju prednost u tome što određuju cijelu parabolu odjednom bez lišća, žira, grana i korijenja.

Prema drugoj metodi, prolazak područja bit će sljedeći:

Tako:

Kako kažu, osjetite razliku.

1) Bavimo se unutarnjim integralom:

Rezultat zamijenimo u vanjski integral:

Integracija preko varijable "y" ne bi trebala biti zbunjujuća; da postoji slovo "zy", bilo bi super integrirati preko njega. Iako tko je pročitao drugi odlomak lekcije Kako izračunati volumen tijela rotacije, više ne doživljava ni najmanju neugodnost s integracijom po metodi “Y”.

Također obratite pozornost na prvi korak: integrand je paran, a interval integracije je simetričan oko nule. Stoga se segment može prepoloviti, a rezultat udvostručiti. Ova tehnika je detaljno komentirana u lekciji. Učinkovite metode izračunavanje određenog integrala.

Što dodati…. Svi!

Odgovor:

Kako biste testirali svoju tehniku ​​integracije, možete pokušati izračunati . Odgovor bi trebao biti potpuno isti.

Primjer 12

Pomoću dvostrukog integrala izračunajte površinu ravnog lika omeđenog linijama

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti. Zanimljivo je napomenuti da ako pokušate koristiti prvi način obilaženja područja, figuru više nećete morati dijeliti na dva, već na tri dijela! I, prema tome, dobivamo tri para ponovljenih integrala. Ponekad se dogodi.

Majstorska klasa je došla kraju i vrijeme je da prijeđemo na velemajstorsku razinu - Kako izračunati dvostruki integral? Primjeri rješenja. Pokušat ću ne biti toliko manijačan u drugom članku =)

Želim ti uspjeh!

Rješenja i odgovori:

Primjer 2:Riješenje: Oslikajmo područje na crtežu:

Izaberimo sljedeći redoslijed obilaska područja:

Tako:
Prijeđimo na inverzne funkcije:


Tako:
Odgovor:

Primjer 4:Riješenje: Prijeđimo na izravne funkcije:


Napravimo crtež:

Promijenimo redoslijed obilaska područja:

Odgovor:

Natrag naprijed

Pažnja! Pregledi slajdova služe samo u informativne svrhe i možda neće predstavljati sve značajke prezentacije. Ako si zainteresiran ovaj posao, preuzmite punu verziju.

Ključne riječi: integralni, zakrivljeni trapez, područje figura omeđeno ljiljanima

Oprema: tabla za označavanje, računalo, multimedijalni projektor

Vrsta lekcije: sat-predavanje

Ciljevi lekcije:

• obrazovni: stvarati kulturu umnog rada, stvarati situaciju uspjeha za svakog učenika i stvarati pozitivnu motivaciju za učenje; razvijati sposobnost govora i slušanja drugih.
• razvoj: formiranje samostalnog mišljenja učenika u primjeni znanja u različite situacije, sposobnost analize i zaključivanja, razvoj logike, razvoj sposobnosti ispravnog postavljanja pitanja i pronalaženja odgovora na njih. Poboljšanje formiranja računalnih i računalnih vještina, razvijanje razmišljanja učenika tijekom rješavanja predloženih zadataka, razvijanje algoritamske kulture.
• obrazovni: formirati pojmove o krivocrtnom trapezu, o integralu, ovladati vještinama izračunavanja površina ravnih likova.

Metoda podučavanja: eksplanatorni i ilustrativni.

Tijekom nastave

U prethodnim razredima naučili smo izračunavati površine likova čiji su rubovi izlomljene crte. U matematici postoje metode koje vam omogućuju izračunavanje površina figura omeđenih krivuljama. Takve se figure nazivaju krivocrtni trapezi, a njihova se površina izračunava pomoću antiderivacija.

Krivolinijski trapez ( slajd 1)

Zakrivljeni trapez je lik omeđen grafom funkcije, ( sh.m.), ravno x = a I x = b i x-os

Razne vrste zakrivljenih trapeza ( slajd 2)

Razmatramo različite vrste krivuljasti trapezi i primijetiti: jedna od pravaca degenerira u točku, ulogu granične funkcije ima pravac

Površina zakrivljenog trapeza (slajd 3)

Popravimo lijevi kraj intervala A, i onaj pravi x promijenit ćemo, tj. pomaknemo desnu stijenku krivocrtnog trapeza i dobijemo promjenjivu figuru. Površina varijabilnog krivocrtnog trapeza omeđenog grafom funkcije je antiderivacija F za funkciju f

I na segmentu [ a; b] površina krivocrtnog trapeza koju tvori funkcija f, jednak je prirastu antiderivacije ove funkcije:

Vježba 1:

Odredite površinu krivocrtnog trapeza omeđenog grafom funkcije: f(x) = x 2 i ravno y = 0, x = 1, x = 2.

Riješenje: ( prema algoritmu slajd 3)

Nacrtajmo graf funkcije i pravaca

Pronađimo jednu od antiderivacijske funkcije f(x) = x 2 :

Samotestiranje slajdova

Sastavni

Promotrimo krivuljasti trapez definiran funkcijom f na segmentu [ a; b]. Podijelimo ovaj segment na nekoliko dijelova. Površina cijelog trapeza podijelit će se na zbroj površina manjih zakrivljenih trapeza. ( slajd 5). Svaki takav trapez može se približno smatrati pravokutnikom. Zbroj površina ovih pravokutnika daje približnu ideju o cijelom području zakrivljenog trapeza. Što manji dijelimo segment [ a; b] točnije izračunavamo površinu.

Zapišimo ove argumente u obliku formula.

Podijeli segment [ a; b] na n dijelova po točkama x 0 = a, x1,…, xn = b. Duljina k- th označiti sa xk = xk – xk-1. Napravimo zbroj

Geometrijski, ovaj zbroj predstavlja površinu figure osjenčane na slici ( sh.m.)

Zbrojevi oblika nazivaju se integralni zbrojevi za funkciju f. (sh.m.)

Integralni zbrojevi daju približnu vrijednost površine. Točna vrijednost dobiva se prelaskom na limit. Zamislimo da pročišćavamo particiju segmenta [ a; b] tako da duljine svih malih segmenata teže nuli. Tada će se područje sastavljene figure približiti području zakrivljenog trapeza. Možemo reći da je površina zakrivljenog trapeza jednaka granici integralnih suma, sc.t. (sh.m.) ili integralni, tj.

Definicija:

Integral funkcije f(x) iz a prije b zove se limit integralnih suma

= (sh.m.)

Newton-Leibnizova formula.

Sjetimo se da je granica integralnih suma jednaka površini krivocrtnog trapeza, što znači da možemo napisati:

sc.t. = (sh.m.)

S druge strane, površina zakrivljenog trapeza izračunava se formulom

S k.t. (sh.m.)

Uspoređujući ove formule, dobivamo:

= (sh.m.)

Ova se jednakost naziva Newton-Leibnizova formula.

Radi lakšeg izračuna formula se piše ovako:

= = (sh.m.)

Zadaci: (š.m.)

1. Izračunajte integral koristeći Newton-Leibnizovu formulu: ( provjerite na slajdu 5)

2. Sastaviti integrale prema crtežu ( provjerite na slajdu 6)

3. Pronađite površinu figure ograničenu linijama: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Slajd 7)

Određivanje površina ravnih figura ( slajd 8)

Kako pronaći površinu figura koje nisu zakrivljeni trapezi?

Neka su zadane dvije funkcije čije grafove vidite na slajdu . (sh.m.) Pronađite područje osjenčane figure . (sh.m.). Je li dotični lik zakrivljeni trapez? Kako možete pronaći njegovu površinu koristeći svojstvo aditivnosti površine? Razmotrite dva zakrivljena trapeza i oduzmite površinu drugog od površine jednog od njih ( sh.m.)

Kreirajmo algoritam za pronalaženje područja pomoću animacije na slajdu:

1. Grafičke funkcije
2. Projicirajte sjecišne točke grafova na x-os
3. Osjenčajte lik dobiven kada se grafovi presijecaju
4. Nađi krivocrtne trapeze čije je sjecište ili unija zadani lik.
5. Izračunajte površinu svakog od njih
6. Nađi razliku ili zbroj površina

Usmeni zadatak: Kako dobiti površinu osjenčanog lika (ispričati pomoću animacije, slajd 8 i 9)

Domaća zadaća: Obradite bilješke, br. 353 (a), br. 364 (a).

Bibliografija

1. Algebra i počeci analize: udžbenik za 9.-11. razred večernje (smjenske) škole / ur. G.D. Glaser. - M: Prosvjeta, 1983.
2. Bashmakov M.I. Algebra i počeci analize: udžbenik za 10-11 razrede srednje škole / Bashmakov M.I. - M: Prosvjeta, 1991.
3. Bashmakov M.I. Matematika: udžbenik za ustanove poč. i srijeda prof. obrazovanje / M.I. Bašmakov. - M: Akademija, 2010.
4. Kolmogorov A.N. Algebra i počeci analize: udžbenik za 10.-11. obrazovne ustanove / A.N. Kolmogorov. - M: Prosvjeta, 2010.
5. Ostrovsky S.L. Kako napraviti prezentaciju za lekciju?/ S.L. Ostrovski. – M.: Prvi rujan 2010.

Primjer1 . Izračunajte površinu figure omeđene linijama: x + 2y – 4 = 0, y = 0, x = -3 i x = 2

Konstruirajmo lik (vidi sliku) Konstruiramo pravac x + 2y – 4 = 0 pomoću dvije točke A(4;0) i B(0;2). Izražavajući y kroz x, dobivamo y = -0,5x + 2. Koristeći formulu (1), gdje je f(x) = -0,5x + 2, a = -3, b = 2, nalazimo

S = = [-0,25=11,25 sq. jedinice

Primjer 2. Izračunajte površinu lika omeđenog linijama: x – 2y + 4 = 0, x + y – 5 = 0 i y = 0.

Riješenje. Konstruirajmo figuru.

Konstruirajmo ravnu liniju x – 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A(-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

Konstruirajmo ravnu liniju x + y – 5 = 0: y = 0, x = 5, C(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

Nađimo točku sjecišta pravaca rješavanjem sustava jednadžbi:

x = 2, y = 3; M(2; 3).

Da bismo izračunali traženu površinu, trokut AMC podijelimo na dva trokuta AMN i NMC, budući da kada se x promijeni iz A u N, površina je ograničena ravnom linijom, a kada se x promijeni iz N u C - ravnom linijom

Za trokut AMN imamo: ; y = 0,5x + 2, tj. f(x) = 0,5x + 2, a = - 4, b = 2.

Za trokut NMC vrijedi: y = - x + 5, tj. f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Izračunavanjem površine svakog trokuta i zbrajanjem rezultata nalazimo:

kvadrat jedinice

kvadrat jedinice

9 + 4, 5 = 13,5 kvadratnih metara jedinice Provjerite: = 0,5AC = 0,5 sq. jedinice

Primjer 3. Izračunaj površinu lika omeđenog linijama: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

U ovom slučaju morate izračunati površinu zakrivljenog trapeza omeđenog parabolom y = x 2 , ravne linije x = 2 i x = 3 i os Ox (vidi sliku) Pomoću formule (1) nalazimo površinu krivocrtnog trapeza

= = 6 kvadratnih metara jedinice

Primjer 4. Izračunajte površinu figure omeđene linijama: y = - x 2 + 4 i y = 0

Konstruirajmo figuru. Tražena površina je zatvorena između parabole y = - x 2 + 4 i os Ox.

Nađimo sjecišne točke parabole s osi Ox. Uz pretpostavku y = 0, nalazimo x = Budući da je ova figura simetrična u odnosu na os Oy, izračunavamo površinu figure koja se nalazi desno od osi Oy i udvostručujemo dobiveni rezultat: = +4x] sq. jedinice 2 = 2 kvadrata jedinice

Primjer 5. Izračunajte površinu lika omeđenog linijama: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Ovdje morate izračunati površinu krivolinijskog trapeza omeđenog gornjom granom parabole 2 = x, os Ox i ravne linije x = 1 i x = 4 (vidi sliku)

Prema formuli (1), gdje je f(x) = a = 1 i b = 4, imamo = (= kvadratne jedinice.

Primjer 6 . Izračunajte površinu lika omeđenog linijama: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

Traženo područje ograničeno je poluvalom sinusoide i osi Ox (vidi sliku).

Imamo - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 sq. jedinice

Primjer 7. Izračunajte površinu figure omeđene linijama: y = - 6x, y = 0 i x = 4.

Slika se nalazi ispod osi Ox (vidi sliku).

Stoga njegovu površinu nalazimo pomoću formule (3)

= =

Primjer 8. Izračunajte površinu figure omeđene linijama: y = i x = 2. Konstruirajte krivulju y = po točkama (vidi sliku). Dakle, nalazimo područje figure pomoću formule (4)

Primjer 9 .

x 2 + g 2 = r 2 .

Ovdje trebate izračunati površinu koju zatvara krug x 2 + g 2 = r 2 , tj. površina kruga polumjera r sa središtem u ishodištu. Nađimo četvrti dio ovog područja uzimajući granice integracije od 0

prije; imamo: 1 = = [

Stoga, 1 =

Primjer 10. Izračunajte površinu lika omeđenog linijama: y= x 2 i y = 2x

Ova figura ograničena je parabolom y = x 2 i pravac y = 2x (vidi sliku) Za određivanje sjecišta zadanih pravaca rješavamo sustav jednadžbi: x 2 – 2x = 0 x = 0 i x = 2

Koristeći formulu (5) za pronalaženje površine, dobivamo

= \- -fl -- G -1-±L_ 1V1 -l-l-Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Primjer 2. Izračunajmo površinu ograničenu sinusoidom y = sinXy, Ox osi i pravca (sl. .87). Primjenom formule (I) dobivamo A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf Primjer 3. Izračunajte površinu ograničenu lukom sinusoide ^u = sin jc, priloženo između dvije susjedne sjecišne točke s osi Ox (na primjer, između ishodišta i točke s apscisom i). Imajte na umu da je iz geometrijskih razmatranja jasno da će ovo područje biti dvostruko više površine prethodni primjer. Ipak, napravimo izračune: I 5= | s\nxdx= [ - cosh)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o Doista, naša se pretpostavka pokazala točnom. Primjer 4. Izračunajte površinu omeđenu sinusoidom i osi Ox u jednoj periodi (slika 88). Preliminarni izračuni sugeriraju da će površina biti četiri puta veća nego u primjeru 2. Međutim, nakon proračuna dobivamo “i G,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l -( -cos 0) = - 1 + 1 = 0. Ovaj rezultat zahtijeva pojašnjenje. Da razjasnimo bit stvari, izračunavamo i površinu ograničenu istom sinusoidom y = sin l: i osi Ox u rasponu od l do 2i. Primjenom formule (I) dobivamo 2l $2l sin xdx=[ - cosh]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2. Dakle, vidimo da je ovo područje ispalo negativno. Uspoređujući je s površinom izračunatom u vježbi 3, nalazimo da su im apsolutne vrijednosti iste, ali su predznaci različiti. Ako primijenimo svojstvo V (vidi Poglavlje XI, § 4), dobit ćemo 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0Ono što se dogodilo u ovom primjeru nije nesreća. Uvijek se područje koje se nalazi ispod osi Ox, pod uvjetom da se nezavisna varijabla mijenja slijeva na desno, dobiva kada se izračuna pomoću integrala. U ovom tečaju uvijek ćemo razmatrati područja bez znakova. Stoga će odgovor u primjeru o kojem smo upravo raspravljali biti: tražena površina je 2 + |-2| = 4. Primjer 5. Izračunajmo površinu BAB-a prikazanog na sl. 89. Ovo područje ograničeno je osi Ox, parabolom y = - xr i pravcem y - = -x+\. Površina krivocrtnog trapeza Potrebna površina OAB sastoji se od dva dijela: OAM i MAV. Kako je točka A sjecište parabole i pravca, njezine koordinate ćemo pronaći rješavanjem sustava jednadžbi 3 2 Y = mx. (samo trebamo pronaći apscisu točke A). Rješavajući sustav, nalazimo l; = ~. Stoga se površina mora izračunati u dijelovima, prvi kvadrat. OAM i zatim pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x (baza zakrivljenog trapeza) na n jednake dijelove; ova se podjela provodi pomoću točaka x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Povucimo ravne linije kroz te točke paralelne s y-osi. Tada će zadani krivocrtni trapez biti podijeljen na n dijelova, na n uskih stupaca. Površina cijelog trapeza jednaka je zbroju površina stupova.

Razmotrimo k-ti stupac zasebno, tj. zakrivljeni trapez čija je osnovica segment. Zamijenimo ga pravokutnikom iste baze i visine jednake f(x k) (vidi sliku). Površina pravokutnika jednaka je \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), gdje je \(\Delta x_k \) duljina segmenta; Prirodno je uzeti u obzir rezultirajući proizvod kao približnu vrijednost površine k-tog stupca.

Ako sada učinimo isto sa svim ostalim stupcima, doći ćemo do sljedećeg rezultata: površina S zadanog krivocrtnog trapeza približno je jednaka površini S n stepenaste figure sastavljene od n pravokutnika (vidi sliku):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Ovdje, radi jednoobraznosti zapisa, pretpostavljamo da je a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - duljina segmenta, \(\Delta x_1 \) - duljina segmenta, itd.; u ovom slučaju, kao što smo se gore dogovorili, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

Dakle, \(S \approx S_n \), a ova približna jednakost je točnija što je n veći.
Prema definiciji, vjeruje se da je potrebna površina krivocrtnog trapeza jednaka granici niza (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Problem 2(o pomicanju točke)
Materijalna točka se giba pravocrtno. Ovisnost brzine o vremenu izražava se formulom v = v(t). Nađite kretanje točke kroz neko vrijeme [a; b].
Riješenje. Kad bi kretanje bilo jednoliko, tada bi se problem riješio vrlo jednostavno: s = vt, tj. s = v(b-a). Za neravnomjerno kretanje morate koristiti iste ideje na kojima se temeljilo rješenje prethodnog problema.
1) Podijelimo vremenski interval [a; b] na n jednakih dijelova.
2) Promotrimo vremensko razdoblje i pretpostavimo da je tijekom tog razdoblja brzina bila konstantna, ista kao u trenutku t k. Stoga pretpostavljamo da je v = v(t k).
3) Nađimo približnu vrijednost pomicanja točke u određenom vremenskom razdoblju; tu ćemo približnu vrijednost označiti s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Odredite približnu vrijednost pomaka s:
\(s \približno S_n \) gdje
\(S_n = s_0 + \točke + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \točke + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Traženi pomak jednak je granici niza (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Sažmimo. Rješenja raznih problema svodila su se na isti matematički model. Mnogi problemi iz različitih područja znanosti i tehnologije vode do istog modela u procesu rješavanja. Tako da je ovo matematički model potrebno posebno proučavati.

Pojam određenog integrala

Dajmo matematički opis model koji je izgrađen u tri razmatrana problema za funkciju y = f(x), kontinuiranu (ali ne nužno i nenegativnu, kako se pretpostavljalo u razmatranim problemima) na intervalu [a; b]:
1) razdvojite segment [a; b] na n jednakih dijelova;
2) sastavite zbroj $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) izračunajte $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

Tijekom matematičke analize dokazano je da ta granica postoji u slučaju kontinuirane (ili komadno kontinuirane) funkcije. On je pozvan određeni integral funkcije y = f(x) po segmentu [a; b] i označava se na sljedeći način:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Brojeve a i b nazivamo granicama integracije (donja odnosno gornja).

Vratimo se zadacima o kojima smo govorili gore. Definicija površine dana u problemu 1 sada se može prepisati na sljedeći način:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
ovdje je S površina zakrivljenog trapeza prikazanog na gornjoj slici. Ovo je geometrijsko značenje određenog integrala.

Definicija pomaka s točke koja se giba pravocrtno brzinom v = v(t) tijekom vremenskog razdoblja od t = a do t = b, dana u problemu 2, može se prepisati na sljedeći način:

Newton - Leibnizova formula

Najprije odgovorimo na pitanje: kakva je veza između određenog integrala i antiderivacije?

Odgovor se može pronaći u zadatku 2. S jedne strane, pomak s točke koja se giba pravocrtno brzinom v = v(t) u vremenskom razdoblju od t = a do t = b izračunava se pomoću formula
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

S druge strane, koordinata pokretne točke je antiderivacija za brzinu - označimo je s(t); to znači da se pomak s izražava formulom s = s(b) - s(a). Kao rezultat dobivamo:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
gdje je s(t) antiderivacija od v(t).

Sljedeći teorem je dokazan tijekom matematičke analize.
Teorema. Ako je funkcija y = f(x) neprekidna na intervalu [a; b], tada je formula valjana
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
gdje je F(x) antiderivacija f(x).

Zadana formula se obično zove Newton-Leibnizova formula u čast engleskog fizičara Isaaca Newtona (1643.-1727.) i njemačkog filozofa Gottfrieda Leibniza (1646.-1716.), koji su je dobili neovisno jedan o drugome i gotovo istovremeno.

U praksi se umjesto pisanja F(b) - F(a) koristi oznaka \(\lijevo. F(x)\desno|_a^b \) (ponekad se naziva dvostruka zamjena) i, prema tome, prepišite Newton-Leibnizovu formulu u ovom obliku:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \lijevo. F(x)\desno|_a^b \)

Pri računanju određenog integrala najprije pronađite antiderivaciju, a zatim izvršite dvostruku zamjenu.

Na temelju Newton-Leibnizove formule možemo dobiti dva svojstva određenog integrala.

Svojstvo 1. Integral zbroja funkcija jednak je zbroju integrala:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Svojstvo 2. Konstantni faktor može se uzeti iz predznaka integrala:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Izračunavanje površina ravnih likova pomoću određenog integrala

Pomoću integrala možete izračunati površine ne samo krivocrtnih trapeza, već i ravnih figura. složeni tip, na primjer onaj prikazan na slici. Lik P ograničen je ravnim linijama x = a, x = b i grafovima neprekidnih funkcija y = f(x), y = g(x), te na odsječku [a; b] vrijedi nejednakost \(g(x) \leq f(x) \). Da bismo izračunali površinu S takve figure, postupit ćemo na sljedeći način:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Dakle, površina S lika omeđenog ravnim linijama x = a, x = b i grafovima funkcija y = f(x), y = g(x), kontinuiranih na segmentu i takvih da za bilo koji x iz segmenta [a; b] nejednakost \(g(x) \leq f(x) \) je zadovoljena, izračunata formulom
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Tablica neodređenih integrala (antiderivacija) nekih funkcija

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$