Cómo intercambiar grados y bases. Grado y sus propiedades.

objetivo principal

Familiarizar a los estudiantes con las propiedades de los grados con exponentes naturales y enseñarles a realizar operaciones con grados.

Tema “El título y sus propiedades” incluye tres preguntas:

• Determinación de grado con indicador natural.
• Multiplicación y división de poderes.
• Exponenciación de producto y grado.

Preguntas de control

1. Formule la definición de un grado con un exponente natural mayor que 1. Dé un ejemplo.
2. Formule la definición de grado con exponente 1. Dé un ejemplo.
3. ¿Cuál es el orden de las operaciones al calcular el valor de una expresión que contiene potencias?
4. Formule la propiedad principal del grado. Dar un ejemplo.
5. Formule la regla para multiplicar potencias con las mismas bases. Dar un ejemplo.
6. Formule una regla para dividir potencias con las mismas bases. Dar un ejemplo.
7. Formule la regla para elevar un producto a una potencia. Dar un ejemplo. Demuestre la identidad (ab) n = a n b n .
8. Formule la regla para elevar una potencia a una potencia. Dar un ejemplo. Demuestre la identidad (a m) n = a m n .

Definición de grado.

poder del numero a con indicador natural norte, mayor que 1, es el producto de n factores, cada uno de los cuales es igual A. poder del numero A con exponente 1 es el número mismo A.

Grado con base A e indicador norte está escrito así: y N. Se lee " A en un grado norte”; “Enésima potencia de un número A ”.

Por definición de grado:

un 4 = un un un un

. . . . . . . . . . . .

Encontrar el valor de un grado se llama elevando a una potencia .

1. Ejemplos de exponenciación:

3 3 = 3 3 3 = 27

0 4 = 0 0 0 0 = 0

(-5) 3 = (-5) (-5) (-5) = -125

25 ; 0,09 ;

25 = 5 2 ; 0,09 = (0,3) 2 ; .

27 ; 0,001 ; 8 .

27 = 3 3 ; 0,001 = (0,1) 3 ; 8 = 2 3 .

4. Encuentra los significados de las expresiones:

a) 3 10 3 = 3 10 10 10 = 3 1000 = 3000

segundo) -2 4 + (-3) 2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7

Opción 1

a) 0,3 0,3 0,3

c) b b b b b b b

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

e) (ab) (ab) (ab)

2. Presenta el número como un cuadrado:

3. Presenta los números como un cubo:

4. Encuentra los significados de las expresiones:

c) -1 4 + (-2) 3

d) -4 3 + (-3) 2

mi) 100 - 5 2 4

Multiplicación de poderes.

Para cualquier número a y números arbitrarios m y n se cumple lo siguiente:

un metro un norte = un metro + norte .

Prueba:

Regla : Al multiplicar potencias con las mismas bases, las bases se dejan iguales y se suman los exponentes de las potencias.

un m un n un k = un m + n un k = un (m + n) + k = un m + n + k

a) x 5 x 4 = x 5 + 4 = x 9

b) y y 6 = y 1 y 6 = y 1 + 6 = y 7

c) segundo 2 segundo 5 segundo 4 = segundo 2 + 5 + 4 = segundo 11

d) 3 4 9 = 3 4 3 2 = 3 6

e) 0,01 0,1 3 = 0,1 2 0,1 3 = 0,1 5

a) 2 3 2 = 2 4 = 16

segundo) 3 2 3 5 = 3 7 = 2187

Opción 1

1. Presentar como título:

a) x 3 x 4 e) x 2 x 3 x 4

b) un 6 un 2 g) 3 3 9

c) y 4 y h) 7 4 49

d) a a 8 i) 16 2 7

e) 2 3 2 4 j) 0,3 3 0,09

2. Presente como grado y encuentre el valor de la tabla:

a) 2 2 2 3 c) 8 2 5

b) 3 4 3 2 d) 27 243

División de grados.

Para cualquier número a0 y números naturales arbitrarios m y n, tales que m>n se cumple lo siguiente:

un metro: un norte = un metro - norte

Prueba:

un metro - n un n = un (m - n) + n = un metro - n + n = un metro

por definición de cociente:

un metro: un norte = un metro - norte .

Regla: Al dividir potencias con la misma base, la base se deja igual y el exponente del divisor se resta al exponente del dividendo.

Definición: La potencia de un número a, distinto de cero, con exponente cero es igual a uno:

porque un norte: un norte = 1 en a0.

a) x 4: x 2 = x 4 - 2 = x 2

b) y 8: y 3 = y 8 - 3 = y 5

c) a 7:a = a 7:a 1 = a 7 - 1 = a 6

d) de 5:de 0 = de 5:1 = de 5

a) 5 7:5 5 = 5 2 = 25

b) 10 20:10 17 = 10 3 = 1000

V)

GRAMO)

d)

Opción 1

1. Presenta el cociente como una potencia:

2. Encuentra los significados de las expresiones:

Elevando al poder de un producto.

Para cualquier a y b y un número natural arbitrario n:

(ab) n = a n b n

Prueba:

Por definición de grado

(ab)n=

Agrupando por separado los factores a y b, obtenemos:

=

La propiedad probada de la potencia de un producto se extiende a la potencia del producto de tres o más factores.

Por ejemplo:

(a b c ) n = a n b n c n ;

(a b c d) n = a n b n c n d n .

Regla: Al elevar un producto a una potencia, se eleva cada factor a esa potencia y se multiplica el resultado.

1. Elevar a una potencia:

a) (a b) 4 = a 4 b 4

b) (2 x y) 3 =2 3 x 3 y 3 = 8 x 3 y 3

c) (3 a) 4 = 3 4 un 4 = 81 un 4

d) (-5 años) 3 = (-5) 3 años 3 = -125 años 3

e) (-0,2 x y) 2 = (-0,2) 2 x 2 y 2 = 0,04 x 2 y 2

e) (-3 a b c) 4 = (-3) 4 a 4 b 4 c 4 = 81 a 4 b 4 c 4

2. Encuentra el valor de la expresión:

a) (2 10) 4 = 2 4 10 4 = 16 1000 = 16000

b) (3 5 20) 2 = 3 2 100 2 = 9 10000= 90000

c) 2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10000

d) 0,25 11 4 11 = (0,25 4) 11 = 1 11 = 1

d)

Opción 1

1. Elevar a una potencia:

b) (2 a c) 4

mi) (-0,1 x y) 3

2. Encuentra el valor de la expresión:

segundo) (5 7 20) 2

Elevando a una potencia de una potencia.

Para cualquier número a y números naturales arbitrarios m y n:

(un metro) norte = un metro norte

Prueba:

Por definición de grado

(un metro) norte =

Regla: Al elevar una potencia a una potencia se deja la base igual y se multiplican los exponentes.

1. Elevar a una potencia:

(un 3) 2 = un 6 (x 5) 4 = x 20

(y 5) 2 = y 10 (b 3) 3 = b 9

2. Simplifica las expresiones:

a) un 3 (un 2) 5 = un 3 un 10 = un 13

segundo) (segundo 3) 2 segundo 7 = segundo 6 segundo 7 = segundo 13

c) (x 3) 2 (x 2) 4 = x 6 x 8 = x 14

d) (y 7) 3 = (y 8) 3 = y 24

A)

b)

Opción 1

1. Elevar a una potencia:

a) (a 4) 2 b) (x 4) 5

c) (y 3) 2 d) (b 4) 4

2. Simplifica las expresiones:

a) un 4 (un 3) 2

segundo) (segundo 4) 3 segundo 5+

c) (x 2) 4 (x 4) 3

d) (y 9) 2

3. Encuentra el significado de las expresiones:

Solicitud

Definición de grado.

opcion 2

1º Escribe el producto como una potencia:

a) 0,4 0,4 ​​0,4

c) a a a a a a a a

d) (-y) (-y) (-y) (-y)

e) (bс) (bс) (bс)

2. Presenta el número como un cuadrado:

3. Presenta los números como un cubo:

4. Encuentra los significados de las expresiones:

c) -1 3 + (-2) 4

d) -6 2 + (-3) 2

mi) 4 5 2 – 100

Opción 3

1. Escribe el producto como una potencia:

a) 0,5 0,5 0,5

c) con con con con con con con con con

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

e) (ab) (ab) (ab)

2. Presenta el número como un cuadrado: 100; 0,49; .

3. Presenta los números como un cubo:

4. Encuentra los significados de las expresiones:

c) -1 5 + (-3) 2

d) -5 3 + (-4) 2

mi) 5 4 2 - 100

Opción 4

1. Escribe el producto como una potencia:

a) 0,7 0,7 0,7

c) x x x x x x

d) (-a) (-a) (-a)

e) (antes de Cristo) (antes de Cristo) (antes de Cristo) (antes de Cristo)

2. Presenta el número como un cuadrado:

3. Presenta los números como un cubo:

4. Encuentra los significados de las expresiones:

c) -1 4 + (-3) 3

d) -3 4 + (-5) 2

mi) 100 - 3 2 5

Multiplicación de poderes.

opcion 2

1. Presentar como título:

a) x 4 x 5 e) x 3 x 4 x 5

b) un 7 un 3 g) 2 3 4

c) y 5 y h) 4 3 16

d) a a 7 i) 4 2 5

e) 2 2 2 5 j) 0,2 3 0,04

2. Presente como grado y encuentre el valor de la tabla:

a) 3 2 3 3 c) 16 2 3

b) 2 4 2 5 d) 9 81

Opción 3

1. Presentar como título:

a) a 3 a 5 f) y 2 y 4 y 6

b) x 4 x 7 gramos) 3 5 9

c) b 6 b h) 5 3 25

d) y 8 i) 49 7 4

e) 2 3 2 6 j) 0,3 4 0,27

2. Presente como grado y encuentre el valor de la tabla:

a) 3 3 3 4 c) 27 3 4

b) 2 4 2 6 d) 16 64

Opción 4

1. Presentar como título:

a) a 6 a 2 e) x 4 x x 6

b) x 7 x 8 gramos) 3 4 27

c) y 6 y h) 4 3 16

d) x x 10 i) 36 6 3

e) 2 4 2 5 j) 0,2 2 0,008

2. Presente como grado y encuentre el valor de la tabla:

a) 2 6 2 3 c) 64 2 4

b) 3 5 3 2 d) 81 27

División de grados.

opcion 2

1. Presenta el cociente como una potencia:

2. Encuentra los significados de las expresiones.

Anteriormente ya hablamos de qué es una potencia de un número. Tiene ciertas propiedades que son útiles para resolver problemas: las analizaremos y todos los exponentes posibles en este artículo. También mostraremos claramente con ejemplos cómo se pueden demostrar y aplicar correctamente en la práctica.

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Recordemos el concepto previamente formulado de grado con exponente natural: este es el producto del enésimo número de factores, cada uno de los cuales es igual a a. También necesitaremos recordar cómo multiplicar números reales correctamente. Todo esto nos ayudará a formular las siguientes propiedades para un grado con exponente natural:

Definición 1

1. La propiedad principal del grado: a m · a n = a m + n

Se puede generalizar a: a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

2. Propiedad del cociente para grados que tienen las mismas bases: a m: a n = a m − n

3. Propiedad de potencia del producto: (a · b) n = a n · b n

La igualdad se puede ampliar a: (a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n

4. Propiedad del cociente en grado natural: (a: b) n = a n: b n

5. Eleve la potencia a la potencia: (a m) n = a m n ,

Se puede generalizar a: (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 · n 2 · … · n k

6. Compara el grado con cero:

• si a > 0, entonces para cualquier número natural n, a n será mayor que cero;
• con a igual a 0, an también será igual a cero;
• en un< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
• en un< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. Igualdad< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. La desigualdad a m > a n será cierta siempre que myn sean números naturales, m sea mayor que n y a sea mayor que cero y menor que uno.

Como resultado, obtuvimos varias igualdades; si se cumplen todas las condiciones indicadas anteriormente, serán idénticas. Para cada una de las igualdades, por ejemplo, para la propiedad principal, puede intercambiar los lados derecho e izquierdo: a m · a n = a m + n - lo mismo que a m + n = a m · a n. De esta forma se utiliza a menudo para simplificar expresiones.

1. Comencemos con la propiedad básica del grado: la igualdad a m · a n = a m + n será cierta para cualquier m y n naturales y a real. ¿Cómo probar esta afirmación?

La definición básica de potencias con exponentes naturales nos permitirá transformar la igualdad en un producto de factores. Obtendremos un registro como este:

Esto se puede acortar a (recuerde las propiedades básicas de la multiplicación). Como resultado, obtuvimos la potencia del número a con exponente natural m + n. Por tanto, se ha demostrado a m + n, lo que significa que se ha demostrado la propiedad principal del grado.

vamos a solucionarlo ejemplo específico, confirmando esto.

Ejemplo 1

Entonces tenemos dos potencias con base 2. Sus indicadores naturales son 2 y 3, respectivamente. Tenemos la igualdad: 2 2 · 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Calculemos los valores para comprobar la validez de esta igualdad.

Realizaremos lo necesario Operaciones matemáticas: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 y 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32

Como resultado, obtuvimos: 2 2 · 2 3 = 2 5. La propiedad ha sido probada.

Debido a las propiedades de la multiplicación, podemos generalizar la propiedad formulándola en forma de tres y más potencias cuyos exponentes son números naturales y cuyas bases son iguales. Si denotamos el número de números naturales n 1, n 2, etc. con la letra k, obtenemos la igualdad correcta:

un norte 1 · un norte 2 · … · un norte k = un norte 1 + norte 2 + … + norte k .

Ejemplo 2

2. A continuación, necesitamos demostrar la siguiente propiedad, que se llama propiedad del cociente y es inherente a potencias con las mismas bases: esta es la igualdad a m: a n = a m − n, que es válida para cualquier m y n naturales (y m es mayor que n)) y cualquier a real distinto de cero.

Para empezar, aclaremos cuál es exactamente el significado de las condiciones que se mencionan en la formulación. Si tomamos a igual a cero, entonces terminamos con una división entre cero, lo cual no podemos hacer (después de todo, 0 n = 0). La condición de que el número m debe ser mayor que n es necesaria para que podamos permanecer dentro de los límites de los exponentes naturales: restando n de m, obtenemos número natural. Si no se cumple la condición, lo lograremos. un numero negativo o cero, y nuevamente iremos más allá del estudio de grados con exponentes naturales.

Ahora podemos pasar a la prueba. De lo que hemos estudiado anteriormente, recordemos las propiedades básicas de las fracciones y formulemos la igualdad de la siguiente manera:

un metro - norte · un norte = un (m - n) + n = un metro

De ello podemos deducir: a m − n · a n = a m

Recordemos la conexión entre división y multiplicación. De ello se deduce que a m − n es el cociente de las potencias a m y a n . Ésta es la prueba de la segunda propiedad del grado.

Ejemplo 3

Para mayor claridad, sustituyamos números específicos en los exponentes y denotamos la base del grado como π : π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3

3. A continuación analizaremos la propiedad de la potencia de un producto: (a · b) n = a n · b n para cualquier a y b real y n natural.

Según la definición básica de potencia con exponente natural, podemos reformular la igualdad de la siguiente manera:

Recordando las propiedades de la multiplicación, escribimos: . Esto significa lo mismo que a n · b n .

Ejemplo 4

2 3 · - 4 2 5 4 = 2 3 4 · - 4 2 5 4

Si tenemos tres o más factores, entonces esta propiedad también se aplica a este caso. Introduzcamos la notación k para el número de factores y escribamos:

(a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n

Ejemplo 5

Con números concretos obtenemos la siguiente igualdad correcta: (2 · (- 2 , 3) ​​· a) 7 = 2 7 · (- 2 , 3) ​​​​7 · a

4. Después de esto, intentaremos demostrar la propiedad del cociente: (a: b) n = a n: b n para cualquier real a y b, si b no es igual a 0 y n es un número natural.

Para demostrarlo se puede utilizar la propiedad anterior del título. Si (a: b) n · b n = ((a: b) · b) n = a n, y (a: b) n · b n = a n, entonces se sigue que (a: b) n es el cociente de dividir un norte por b norte.

Ejemplo 6

Calculemos un ejemplo: 3 1 2: - 0. 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3

Ejemplo 7

Empecemos ahora mismo con un ejemplo: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6

Ahora formulemos una cadena de igualdades que nos demostrará que la igualdad es verdadera:

Si en el ejemplo tenemos grados de grados, entonces esta propiedad también es cierta para ellos. Si tenemos números naturales p, q, r, s, entonces será cierto:

a p q y s = a p q y s

Ejemplo 8

Agreguemos algunos detalles: (((5, 2) 3) 2) 5 = (5, 2) 3 + 2 + 5 = (5, 2) 10

6. Otra propiedad de las potencias con exponente natural que debemos demostrar es la propiedad de comparación.

Primero, comparemos el grado con cero. ¿Por qué a n > 0, siempre que a sea mayor que 0?

Si multiplicamos un número positivo por otro, también obtenemos un número positivo. Conociendo este hecho, podemos decir que no depende de la cantidad de factores: el resultado de multiplicar cualquier número de números positivos es un número positivo. ¿Qué es un grado sino el resultado de multiplicar números? Entonces, para cualquier potencia an con base positiva y exponente natural esto será cierto.

Ejemplo 9

3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 y 34 9 13 51 > 0

También es obvio que una potencia con base igual a cero es en sí misma cero. No importa a qué potencia elevemos el cero, seguirá siendo cero.

Ejemplo 10

0 3 = 0 y 0 762 = 0

Si la base del grado es un número negativo, entonces la demostración es un poco más complicada, ya que el concepto de exponente par/impar se vuelve importante. Tomemos primero el caso en el que el exponente es par y denotémoslo 2 · m, donde m es un número natural.

Recordemos cómo multiplicar correctamente números negativos: el producto a · a es igual al producto de los módulos y, por tanto, será un número positivo. Entonces y el grado a 2 m también son positivos.

Ejemplo 11

Por ejemplo, (− 6) 4 > 0, (− 2, 2) 12 > 0 y - 2 9 6 > 0

¿Qué pasa si el exponente con base negativa es un número impar? Denotémoslo 2 · m − 1 .

Entonces

Todos los productos a · a, según las propiedades de la multiplicación, son positivos, al igual que su producto. Pero si lo multiplicamos por el único número restante a, entonces el resultado final será negativo.

Entonces obtenemos: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

¿Cómo probar esto?

un< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

Ejemplo 12

Por ejemplo, las siguientes desigualdades son verdaderas: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. Sólo nos queda demostrar la última propiedad: si tenemos dos potencias cuyas bases son idénticas y positivas, y cuyos exponentes son números naturales, entonces aquel cuyo exponente es menor es mayor; y de dos potencias con exponentes naturales y bases idénticas mayores que uno, es mayor aquel cuyo exponente es mayor.

Probemos estas afirmaciones.

Primero debemos asegurarnos de que un m< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

Saquemos una n de entre paréntesis, después de lo cual nuestra diferencia tomará la forma a n · (a m − n − 1) . Su resultado será negativo (porque el resultado de multiplicar un número positivo por un número negativo es negativo). Después de todo, según condiciones iniciales, m − n > 0, entonces a m − n − 1 es negativo y el primer factor es positivo, como cualquier potencia natural con base positiva.

Resultó que a m − a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

Queda por demostrar la segunda parte de la afirmación formulada anteriormente: a m > a es verdadera para m > n y a > 1. Indiquemos la diferencia y pongamos una n entre paréntesis: (a m − n − 1 La potencia de una n para un mayor que uno dará un resultado positivo; y la diferencia misma también resultará positiva debido a las condiciones iniciales, y para a > 1 el grado a m − n es mayor que uno. Resulta que a m − a n > 0 y a m > a n , que es lo que necesitábamos demostrar.

Ejemplo 13

Ejemplo con números específicos: 3 7 > 3 2

Propiedades básicas de grados con exponentes enteros

Para potencias con exponentes enteros positivos, las propiedades serán similares, porque los números enteros positivos son números naturales, lo que significa que todas las igualdades demostradas anteriormente también son válidas para ellos. También son adecuados para casos en los que los exponentes son negativos o iguales a cero (siempre que la base del grado en sí sea distinta de cero).

Por tanto, las propiedades de las potencias son las mismas para cualesquiera bases a y b (siempre que estos números sean reales y distintos de 0) y cualesquiera exponentes myn (siempre que sean números enteros). Escribámoslos brevemente en forma de fórmulas:

Definición 2

1. un metro · un norte = un metro + norte

2. un metro: un norte = un metro − norte

3. (a · b) n = a n · b n

4. (a: b) n = a n: b n

5. (un metro) norte = un metro norte

6. un norte< b n и a − n >b − n sujeto a un entero positivo n, a y b positivos, a< b

7.am< a n , при условии целых m и n , m >norte y 0< a < 1 , при a >1 una metro > una norte .

Si la base del grado es cero, entonces las entradas a my an tienen sentido sólo en el caso de my n naturales y positivas. Como resultado, encontramos que las formulaciones anteriores también son adecuadas para casos con una potencia de base cero, si se cumplen todas las demás condiciones.

Las demostraciones de estas propiedades en este caso son sencillas. Tendremos que recordar qué es un grado con exponente natural y entero, así como las propiedades de las operaciones con números reales.

Veamos la propiedad potencia-potencia y demostremos que es cierta tanto para números enteros positivos como no positivos. Comencemos demostrando las igualdades (a p) q = a p · q, (a − p) q = a (− p) · q, (a p) − q = a p · (− q) y (a − p) − q = a (- p) · (- q)

Condiciones: p = 0 o número natural; q – similar.

Si los valores de p y q son mayores que 0, entonces obtenemos (a p) q = a p · q. Ya hemos demostrado una igualdad similar antes. Si p = 0, entonces:

(un 0) q = 1 q = 1 un 0 q = un 0 = 1

Por lo tanto, (a 0) q = a 0 q

Para q = 0 todo es exactamente igual:

(a p) 0 = 1 a p 0 = a 0 = 1

Resultado: (a p) 0 = a p · 0 .

Si ambos indicadores son cero, entonces (a 0) 0 = 1 0 = 1 y a 0 · 0 = a 0 = 1, lo que significa (a 0) 0 = a 0 · 0.

Recordemos la propiedad de los cocientes en el grado demostrado anteriormente y escribamos:

1 a p q = 1 q a p q

Si 1 p = 1 1 … 1 = 1 y a p q = a p q, entonces 1 q a p q = 1 a p q

Podemos transformar esta notación en virtud de las reglas básicas de la multiplicación en a (− p) · q.

Además: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p · q = a - (p · q) = a p · (- q).

Y (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)

Las propiedades restantes del grado se pueden demostrar de manera similar transformando las desigualdades existentes. No nos detendremos en esto en detalle; sólo señalaremos los puntos difíciles.

Prueba de la penúltima propiedad: recuerde, a − n > b − n es cierta para cualquier número entero valores negativos n y cualquier a y b positivos, siempre que a sea menor que b.

Entonces la desigualdad se puede transformar de la siguiente manera:

1 un norte > 1 segundo norte

Escribamos los lados derecho e izquierdo como diferencia y realicemos las transformaciones necesarias:

1 a n - 1 b n = b n - a n a n · b n

Recuerde que en la condición a es menor que b, entonces, según la definición de grado con exponente natural: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .

a n · b n termina siendo un número positivo porque sus factores son positivos. Como resultado, tenemos la fracción b n - a n a n · b n, que finalmente también da un resultado positivo. Por lo tanto 1 a n > 1 b n de donde a − n > b − n , que es lo que necesitábamos demostrar.

La última propiedad de las potencias con exponentes enteros se demuestra de manera similar a la propiedad de las potencias con exponentes naturales.

Propiedades básicas de potencias con exponentes racionales.

En artículos anteriores, discutimos qué es un grado con exponente racional (fraccional). Sus propiedades son las mismas que las de los grados con exponentes enteros. Anotemos:

Definición 3

1. a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 para a > 0, y si m 1 n 1 > 0 y m 2 n 2 > 0, entonces para a ≥ 0 (propiedad del producto grados con las mismas bases).

2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2, si a > 0 (propiedad del cociente).

3. a · b m n = a m n · b m n para a > 0 y b > 0, y si m 1 n 1 > 0 y m 2 n 2 > 0, entonces para a ≥ 0 y (o) b ≥ 0 (propiedad del producto en grado fraccionario).

4. a: b m n = a m n: b m n para a > 0 y b > 0, y si m n > 0, entonces para a ≥ 0 y b > 0 (la propiedad de un cociente elevado a una potencia fraccionaria).

5. a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 · m 2 n 2 para a > 0, y si m 1 n 1 > 0 y m 2 n 2 > 0, entonces para a ≥ 0 (propiedad de grado en grados).

6.a p< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0; si p< 0 - a p >b p (la propiedad de comparar potencias con exponentes racionales iguales).

7.a p< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q en 0< a < 1 ; если a >0 – a p > a q

Para probar estas disposiciones, debemos recordar qué título con indicador fraccionario, cuáles son las propiedades de la raíz aritmética de enésimo grado y cuáles son las propiedades de los grados con exponentes enteros. Veamos cada propiedad.

Según lo que es un grado con exponente fraccionario obtenemos:

a m 1 n 1 = a m 1 n 1 y a m 2 n 2 = a m 2 n 2, por lo tanto, a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 · a m 2 n 2

Las propiedades de la raíz nos permitirán derivar igualdades:

una m 1 m 2 n 1 n 2 una m 2 m 1 n 2 n 1 = una m 1 n 2 una m 2 n 1 n 1 n 2

De esto obtenemos: a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

Transformemos:

soy 1 · norte 2 · soy 2 · n 1 n 1 · n 2 = soy 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

El exponente se puede escribir como:

metro 1 norte 2 + metro 2 norte 1 norte 1 norte 2 = metro 1 norte 2 norte 1 norte 2 + metro 2 norte 1 norte 1 norte 2 = metro 1 norte 1 + metro 2 norte 2

Esta es la prueba. La segunda propiedad se demuestra exactamente de la misma manera. Escribamos una cadena de igualdades:

soy 1 n 1: soy 2 n 2 = soy 1 n 1: soy 2 n 2 = soy 1 n 2: soy 2 n 1 n 1 n 2 = = soy 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = soy 1 norte 2 - metro 2 norte 1 norte 1 norte 2 = un metro 1 norte 2 norte 1 norte 2 - metro 2 norte 1 norte 1 norte 2 = un metro 1 norte 1 - metro 2 norte 2

Pruebas de las igualdades restantes:

a · b m n = (a · b) m n = a m · b m n = a m n · b m n = a m n · b m n ; (a: b) m n = (a: b) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n ; un m 1 n 1 m 2 n 2 = un m 1 n 1 m 2 n 2 = un m 1 n 1 m 2 n 2 = = un m 1 m 2 n 1 n 2 = un m 1 m 2 n 1 n 2 = = un m 1 m 2 norte 2 norte 1 = un metro 1 metro 2 norte 2 norte 1 = un metro 1 norte 1 metro 2 norte 2

Siguiente propiedad: demostremos que para cualquier valor de a y b mayor que 0, si a es menor que b, se cumplirá a p< b p , а для p больше 0 - a p >bp

Representemos el número racional p como m n. En este caso, m es un número entero, n es un número natural. Entonces condiciones p< 0 и p >0 se extenderá a m< 0 и m >0. Para m > 0 y a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

Usamos la propiedad de raíces y salida: a m n< b m n

Teniendo en cuenta los valores positivos de a y b, reescribimos la desigualdad como a m n< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

De la misma manera para m< 0 имеем a a m >b m , obtenemos a m n > b m n lo que significa a m n > b m n y a p > b p .

Nos queda presentar una prueba de la última propiedad. Demostremos que para números racionales p y q, p > q en 0< a < 1 a p < a q , а при a >0 será verdadero a p > a q .

Numeros racionales p y q se pueden reducir a común denominador y obtener las fracciones m 1 n y m 2 n

Aquí m 1 y m 2 son números enteros y n es un número natural. Si p > q, entonces m 1 > m 2 (teniendo en cuenta la regla para comparar fracciones). Luego a las 0< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – desigualdad a 1 m > a 2 m.

Se pueden reescribir de la siguiente manera:

soy 1 norte< a m 2 n a m 1 n >un metro 2 norte

Luego puedes hacer transformaciones y terminar con:

soy 1 norte< a m 2 n a m 1 n >un metro 2 norte

Para resumir: para p > q y 0< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q .

Propiedades básicas de grados con exponentes irracionales

Hasta tal punto se pueden extender todas las propiedades descritas anteriormente que tiene un grado con exponentes racionales. Esto se desprende de su propia definición, que dimos en uno de los artículos anteriores. Formulemos brevemente estas propiedades (condiciones: a > 0, b > 0, los exponentes p y q son números irracionales):

Definición 4

1. a p · a q = a p + q

2. una p: una q = una p − q

3. (a · b) p = a p · b p

4. (a: b) p = a p: b p

5. (a p) q = a p · q

6.a p< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >bp

7.a p< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0, entonces a p > a q.

Por tanto, todas las potencias cuyos exponentes p y q son números reales, siempre que a > 0, tienen las mismas propiedades.

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Una vez determinada la potencia de un número, es lógico hablar de propiedades de grado. En este artículo daremos las propiedades básicas de la potencia de un número, abordando todos los exponentes posibles. Aquí proporcionaremos pruebas de todas las propiedades de los grados y también mostraremos cómo se utilizan estas propiedades al resolver ejemplos.

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Propiedades de los grados con exponentes naturales.

Por definición de potencia con exponente natural, la potencia an es el producto de n factores, cada uno de los cuales es igual a a. A partir de esta definición y utilizando también propiedades de la multiplicación numeros reales , podemos obtener y justificar lo siguiente propiedades de grado con exponente natural:

1. la propiedad principal del grado a m ·a n =a m+n, su generalización;
2. propiedad de potencias cocientes con bases idénticas a m:a n =a m−n ;
3. propiedad de potencia del producto (a·b) n =a n ·b n , su extensión;
4. propiedad del cociente al grado natural (a:b) n =a n:b n ;
5. elevando un grado a una potencia (a m) n =a m·n, su generalización (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
6. comparación de grado con cero:
   • si a>0, entonces a n>0 para cualquier número natural n;
   • si a=0, entonces an =0;
   • si un<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 si un<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
7. si a y b son números positivos y a
8. si m y n son números naturales tales que m>n, entonces en 0 0 la desigualdad a m >a n es verdadera.

Notemos inmediatamente que todas las igualdades escritas son idéntico Sujeto a las condiciones especificadas, tanto la parte derecha como la izquierda se pueden intercambiar. Por ejemplo, la propiedad principal de la fracción a m ·a n =a m+n con simplificando expresiones a menudo se usa en la forma a m+n =a m ·a n .

Ahora veamos cada uno de ellos en detalle.

Empecemos por la propiedad del producto de dos potencias con las mismas bases, que se llama la propiedad principal del título: para cualquier número real a y cualquier número natural m y n, la igualdad a m ·a n =a m+n es verdadera.

Demostremos la propiedad principal del título. Según la definición de potencia con exponente natural, el producto de potencias con las mismas bases de la forma a m ·a n se puede escribir como producto. Debido a las propiedades de la multiplicación, la expresión resultante se puede escribir como , y este producto es una potencia del número a con exponente natural m+n, es decir, a m+n. Esto completa la prueba.

Pongamos un ejemplo que confirme la propiedad principal del título. Tomemos grados con las mismas bases 2 y potencias naturales 2 y 3, usando la propiedad básica de los grados podemos escribir la igualdad 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Comprobemos su validez calculando los valores de las expresiones 2 2 · 2 3 y 2 5 . Realizando la exponenciación tenemos 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 y 2 5 =2·2·2·2·2=32, al obtener valores iguales, entonces la igualdad 2 2 ·2 3 =2 5 es correcta y confirma la propiedad principal del grado.

La propiedad básica de un grado basada en las propiedades de la multiplicación se puede generalizar al producto de tres o más potencias con las mismas bases y exponentes naturales. Entonces, para cualquier número k de números naturales n 1, n 2,…, n k la igualdad es verdadera un 1 ·un 2 ·…·un k =un 1 +n 2 +…+n k.

Por ejemplo, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Podemos pasar a la siguiente propiedad de las potencias con exponente natural: propiedad de potencias cocientes con las mismas bases: para cualquier número real distinto de cero a y números naturales arbitrarios m y n que satisfagan la condición m>n, la igualdad a m:a n =a m−n es verdadera.

Antes de presentar la prueba de esta propiedad, analicemos el significado de las condiciones adicionales en la formulación. La condición a≠0 es necesaria para evitar la división por cero, ya que 0 n =0, y cuando nos familiarizamos con la división, estuvimos de acuerdo en que no podemos dividir por cero. La condición m>n se introduce para que no vayamos más allá de los exponentes naturales. De hecho, para m>n el exponente a m−n es un número natural; de lo contrario, será cero (lo que ocurre para m−n) o un número negativo (lo que ocurre para m

Prueba. La propiedad principal de una fracción nos permite escribir la igualdad. a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. De la igualdad resultante a m−n ·a n =a m y se deduce que a m−n es un cociente de las potencias a m y a n . Esto prueba la propiedad de potencias cocientes con bases idénticas.

Pongamos un ejemplo. Tomemos dos grados con las mismas bases π y exponentes naturales 5 y 2, la igualdad π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 corresponde a la propiedad considerada del grado.

Ahora consideremos propiedad de potencia del producto: la potencia natural n del producto de dos números reales cualesquiera a y b es igual al producto de las potencias a n y b n , es decir, (a·b) n =a n ·b n .

De hecho, por la definición de un grado con exponente natural tenemos . Según las propiedades de la multiplicación, el último producto se puede reescribir como , que es igual a a n · b n .

He aquí un ejemplo: .

Esta propiedad se extiende a la potencia del producto de tres o más factores. Es decir, la propiedad de grado natural n del producto de k factores se escribe como (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n.

Para mayor claridad, mostraremos esta propiedad con un ejemplo. Para el producto de tres factores elevado a 7 tenemos .

La siguiente propiedad es propiedad de un cociente en especie: el cociente de los números reales a y b, b≠0 elevado a la potencia natural n es igual al cociente de las potencias a n y b n, es decir, (a:b) n =a n:b n.

La prueba se puede realizar utilizando la propiedad anterior. Entonces (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, y de la igualdad (a:b) n ·b n =a n se sigue que (a:b) n es el cociente de an dividido por b n .

Escribamos esta propiedad usando números específicos como ejemplo: .

Ahora vamos a expresarlo propiedad de elevar una potencia a una potencia: para cualquier número real a y cualquier número natural m y n, la potencia de a m elevada a n es igual a la potencia del número a con exponente m·n, es decir, (a m) n =a m·n.

Por ejemplo, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.

La prueba de la propiedad de potencia a grado es la siguiente cadena de igualdades: .

La propiedad considerada puede ampliarse de grado a grado, etc. Por ejemplo, para cualquier número natural p, q, r y s, la igualdad . Para mayor claridad, aquí hay un ejemplo con números específicos: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Queda por detenernos en las propiedades de comparar grados con un exponente natural.

Comencemos demostrando la propiedad de comparar cero y potencia con un exponente natural.

Primero, demostremos que a n >0 para cualquier a>0.

El producto de dos números positivos es un número positivo, como se desprende de la definición de multiplicación. Este hecho y las propiedades de la multiplicación sugieren que el resultado de multiplicar cualquier número de números positivos también será un número positivo. Y la potencia de un número a con exponente natural n, por definición, es el producto de n factores, cada uno de los cuales es igual a a. Estos argumentos nos permiten afirmar que para cualquier base a positiva, el grado an es un número positivo. Debido a la propiedad probada 3 5 >0, (0.00201) 2 >0 y .

Es bastante obvio que para cualquier número natural n con a=0 el grado de an es cero. De hecho, 0 n =0·0·…·0=0 . Por ejemplo, 0 3 =0 y 0 762 =0.

Pasemos a bases de grado negativas.

Comencemos con el caso en el que el exponente es un número par, denotémoslo como 2·m, donde m es un número natural. Entonces . Pues cada uno de los productos de la forma a·a es igual al producto de los módulos de los números a y a, lo que significa que es un número positivo. Por tanto, el producto también será positivo. y grado a 2·m. Pongamos ejemplos: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 y .

Finalmente, cuando la base a es un número negativo y el exponente es un número impar 2 m−1, entonces . Todos los productos a·a son números positivos, el producto de estos números positivos también es positivo, y su multiplicación por el número negativo restante a da como resultado un número negativo. Debido a esta propiedad (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Pasemos a la propiedad de comparar potencias con los mismos exponentes naturales, que tiene la siguiente formulación: de dos potencias con los mismos exponentes naturales, n es menor que aquella cuya base es menor, y mayor es aquella cuya base es mayor . Demostrémoslo.

Desigualdad propiedades de las desigualdades una desigualdad demostrable de la forma an también es cierta .

Queda por demostrar la última de las propiedades enumeradas de potencias con exponentes naturales. Formulémoslo. De dos potencias con exponentes naturales y bases positivas idénticas menores que uno, es mayor aquella cuyo exponente es menor; y de dos potencias con exponentes naturales y bases idénticas mayores que uno, es mayor aquel cuyo exponente es mayor. Procedamos a la prueba de esta propiedad.

Demostremos que para m>n y 0 0 debido a la condición inicial m>n, lo que significa que en 0

Falta acreditar la segunda parte de la propiedad. Demostremos que para m>n y a>1 a m >a n es cierto. La diferencia a m −a n después de sacar a n entre paréntesis toma la forma a n ·(a m−n −1) . Este producto es positivo, ya que para a>1 el grado a n es un número positivo, y la diferencia a m−n −1 es un número positivo, ya que m−n>0 debido a la condición inicial, y para a>1 el grado un m−n es mayor que uno. En consecuencia, a m −a n >0 y a m >a n , que es lo que había que demostrar. Esta propiedad se ilustra con la desigualdad 3 7 >3 2.

Propiedades de potencias con exponentes enteros

Dado que los números enteros positivos son números naturales, entonces todas las propiedades de las potencias con exponentes enteros positivos coinciden exactamente con las propiedades de las potencias con exponentes naturales enumeradas y demostradas en el párrafo anterior.

Definimos un grado con exponente entero negativo, así como un grado con exponente cero, de tal manera que todas las propiedades de los grados con exponentes naturales, expresadas por igualdades, siguieran siendo válidas. Por tanto, todas estas propiedades son válidas tanto para exponentes cero como para exponentes negativos, mientras que, por supuesto, las bases de las potencias son distintas de cero.

Entonces, para cualquier número real y distinto de cero a y b, así como para cualquier número entero myn, se cumple lo siguiente: propiedades de potencias con exponentes enteros:

1. a m ·a n =a m+n ;
2. un metro:un =un metro−n ;
3. (a·b) n =a n ·b n ;
4. (a:b) n =a n:b n ;
5. (a m) n =a m·n ;
6. si n es un entero positivo, a y b son números positivos y a b-norte;
7. si m y n son números enteros y m>n, entonces en 0 1 se cumple la desigualdad a m >a n.

Cuando a=0, las potencias a m y a n tienen sentido sólo cuando m y n son números enteros positivos, es decir, números naturales. Por tanto, las propiedades que acabamos de escribir también son válidas para los casos en los que a=0 y los números myn son enteros positivos.

Demostrar cada una de estas propiedades no es difícil; para ello basta con utilizar las definiciones de grados con exponentes naturales y enteros, así como las propiedades de las operaciones con números reales. Como ejemplo, demostremos que la propiedad potencia-potencia es válida tanto para números enteros positivos como para números enteros no positivos. Para hacer esto, necesitas demostrar que si p es cero o un número natural y q es cero o un número natural, entonces las igualdades (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) y (a −p) −q =a (−p)·(−q). Vamos a hacerlo.

Para p y q positivos, la igualdad (a p) q =a p·q quedó demostrada en el párrafo anterior. Si p=0, entonces tenemos (a 0) q =1 q =1 y a 0·q =a 0 =1, de donde (a 0) q =a 0·q. De manera similar, si q=0, entonces (a p) 0 =1 y a p·0 =a 0 =1, de donde (a p) 0 =a p·0. Si p=0 y q=0, entonces (a 0) 0 =1 0 =1 y a 0·0 =a 0 =1, de donde (a 0) 0 =a 0·0.

Ahora demostramos que (a −p) q =a (−p)·q . Por definición de una potencia con un exponente entero negativo, entonces . Por la propiedad de los cocientes a potencias tenemos . Dado que 1 p =1·1·…·1=1 y , entonces . La última expresión, por definición, es una potencia de la forma a −(p·q), que, debido a las reglas de la multiplicación, puede escribirse como a (−p)·q.

Asimismo .

Y .

Usando el mismo principio, puedes probar todas las demás propiedades de un grado con un exponente entero, escrito en forma de igualdades.

En la penúltima de las propiedades registradas, vale la pena detenerse en la prueba de la desigualdad a −n >b −n, que es válida para cualquier entero negativo −n y cualquier a y b positivos para los cuales se cumple la condición a. . Dado que por condición a 0. El producto a n · b n también es positivo como producto de números positivos a n y b n . Entonces la fracción resultante es positiva como el cociente de los números positivos b n −a n y a n ·b n . Por tanto, de donde a −n >b −n , que es lo que había que demostrar.

La última propiedad de potencias con exponentes enteros se demuestra de la misma manera que una propiedad similar de potencias con exponentes naturales.

Propiedades de potencias con exponentes racionales.

Definimos un grado con un exponente fraccionario extendiendo las propiedades de un grado con un exponente entero. En otras palabras, las potencias con exponentes fraccionarios tienen las mismas propiedades que las potencias con exponentes enteros. A saber:

La prueba de las propiedades de los grados con exponentes fraccionarios se basa en la definición de un grado con exponente fraccionario y en las propiedades de un grado con exponente entero. Aportemos pruebas.

Por definición de una potencia con exponente fraccionario y , entonces . Las propiedades de la raíz aritmética nos permiten escribir las siguientes igualdades. Además, usando la propiedad de un grado con un exponente entero, obtenemos , de donde, por la definición de un grado con un exponente fraccionario, tenemos , y el indicador del título obtenido se puede transformar de la siguiente manera: . Esto completa la prueba.

La segunda propiedad de las potencias con exponentes fraccionarios se demuestra de forma absolutamente similar:

Las igualdades restantes se prueban utilizando principios similares:

Pasemos a demostrar la siguiente propiedad. Demostremos que para cualquier a y b positivos, a bp. Escribamos el número racional p como m/n, donde m es un número entero y n es un número natural. Condiciones p<0 и p>0 en este caso las condiciones m<0 и m>0 en consecuencia. Para m>0 y a

De manera similar, para m<0 имеем a m >b m , de donde, es decir, y a p >b p .

Queda por probar la última de las propiedades enumeradas. Demostremos que para números racionales p y q, p>q en 0 0 – desigualdad a p >a q . Siempre podemos reducir los números racionales p y q a un denominador común, incluso si obtenemos fracciones ordinarias y , donde m 1 y m 2 son números enteros y n es un número natural. En este caso, la condición p>q corresponderá a la condición m 1 >m 2, que se desprende de. Luego, por la propiedad de comparar potencias con las mismas bases y exponentes naturales en 0 1 – desigualdad a m 1 >a m 2 . Estas desigualdades en las propiedades de las raíces se pueden reescribir en consecuencia como Y . Y la definición de un grado con exponente racional nos permite pasar a las desigualdades y, en consecuencia. De aquí sacamos la conclusión final: para p>q y 0 0 – desigualdad a p >a q .

Propiedades de potencias con exponentes irracionales

De la forma en que se define un grado con exponente irracional, podemos concluir que tiene todas las propiedades de los grados con exponentes racionales. Entonces, para cualquier a>0, b>0 y números irracionales p y q lo siguiente es cierto propiedades de potencias con exponentes irracionales:

1. a p ·a q =a p+q ;
2. a p:a q =a p−q ;
3. (a·b) p =a p ·b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q =a p·q ;
6. para cualquier número positivo a y b, a 0 la desigualdad a p bp;
7. para números irracionales p y q, p>q en 0 0 – desigualdad a p >a q .

De esto podemos concluir que las potencias con exponentes reales p y q para a>0 tienen las mismas propiedades.

Bibliografía.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Libro de texto de matemáticas para 5to grado. Instituciones educacionales.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Álgebra: libro de texto para 7mo grado. Instituciones educacionales.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Álgebra: libro de texto para octavo grado. Instituciones educacionales.
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• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. y otros Álgebra y los inicios del análisis: Libro de texto para los grados 10 - 11 de instituciones de educación general.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemáticas (un manual para quienes ingresan a las escuelas técnicas).

Vídeotutorial 2: Licenciatura con indicador natural y sus propiedades.

Conferencia:

Titulación con indicador natural

Bajo grado algún número "A" con algun indicador "norte" entender el producto de un número "A" por sí mismo "norte" una vez.

Cuando hablamos de un grado con exponente natural, significa que el número "norte" debe ser un número entero y no negativo.

A- la base del grado, que muestra qué número debe multiplicarse por sí mismo,

norte- exponente: indica cuántas veces es necesario multiplicar la base por sí misma.

Por ejemplo:

8 4 = 8 * 8 * 8 * 8 = 4096.

En este caso se entiende que la base del grado es el número “8”, el exponente del grado es el número “4” y el valor del grado es el número “4096”.

El mayor y más común error al calcular un grado es multiplicar el exponente por la base. ¡ESTO NO ES CORRECTO!

Cuando hablamos de un grado con exponente natural, nos referimos a que sólo el exponente (norte) debe ser un número natural.

Puedes tomar cualquier número en la recta numérica como base.

Por ejemplo,

(-0,1) 3 = (-0,1) * (-0,1) * (-0,1) = (-0,001).

La operación matemática que se realiza sobre la base y el exponente se llama exponenciación.

La suma\resta es una operación matemática de la primera etapa, la multiplicación\división es una acción de la segunda etapa, elevar una potencia es una acción matemática de la tercera etapa, es decir, una de las más altas.

Esta jerarquía de operaciones matemáticas determina el orden en el cálculo. Si esta acción ocurre en tareas entre las dos anteriores, entonces se realiza primero.

Por ejemplo:

15 + 6 *2 2 = 39

En este ejemplo, primero debes elevar 2 a la potencia, es decir,

luego multiplica el resultado por 6, es decir

La potencia con exponente natural se utiliza no solo para cálculos específicos, sino también por la conveniencia de escribir números grandes. En este caso también se utiliza el concepto. "forma estándar de número". Esta notación implica multiplicar un determinado número del 1 al 9 por una potencia igual a 10 con algún exponente.

Por ejemplo, para registrar el radio de la Tierra en forma estándar, utilice la siguiente notación:

6400000 m = 6,4 * 10 6 m,

y la masa de la Tierra, por ejemplo, se escribe de la siguiente manera:

Propiedades del grado

Para facilitar la resolución de ejemplos con grados, es necesario conocer sus propiedades básicas:

1. Si necesitas multiplicar dos potencias que tienen la misma base, entonces en este caso se debe dejar la base sin cambios y sumar los exponentes.

un norte * un metro = un n+m

Por ejemplo:

5 2 * 5 4 = 5 6 .

2. Si es necesario dividir dos grados que tienen las mismas bases, entonces en este caso se debe dejar la base sin cambios y restar los exponentes. Tenga en cuenta que para operaciones con potencias con exponente natural, el exponente del dividendo debe ser mayor que el exponente del divisor. En caso contrario, el cociente de esta acción será un número con exponente negativo.

a n / a m = a n-m

Por ejemplo,

5 4 * 5 2 = 5 2 .

3. Si es necesario elevar una potencia a otra, la base del resultado sigue siendo el mismo número y se multiplican los exponentes.

(un norte) m = un Nuevo Méjico

Por ejemplo,

4. Si es necesario elevar el producto de números arbitrarios a una determinada potencia, entonces se puede utilizar una determinada ley distributiva, según la cual obtenemos el producto de diferentes bases a la misma potencia.

(a * b) m = a m * b m

Por ejemplo,

(5 * 8) 2 = 5 2 * 8 2 .

5. Se puede utilizar una propiedad similar para dividir potencias, en otras palabras, para elevar un doble ordinario a una potencia.

(a/b) m = a m/b metro

6. Cualquier número elevado a un exponente igual a uno es igual al número original.

un 1 = un

Por ejemplo,

7. Al elevar cualquier número a una potencia con exponente cero, el resultado de este cálculo siempre será uno.

y 0 = 1

Por ejemplo,