เรียกว่าจำนวนเฉพาะร่วมกัน หมายเลขโคไพรม์: คำจำกัดความ ตัวอย่าง และคุณสมบัติ

ในบทความนี้ เราจะพูดถึงว่าเลขโคไพรม์คืออะไร ในย่อหน้าแรก เรากำหนดคำจำกัดความสำหรับจำนวนเฉพาะจำนวนสองสามจำนวนขึ้นไป ยกตัวอย่างหลายๆ ตัวอย่าง และแสดงให้เห็นว่าในกรณีนี้ ตัวเลขสองตัวสามารถถือเป็นจำนวนเฉพาะโดยสัมพันธ์กัน หลังจากนี้ เราจะเข้าสู่การกำหนดคุณสมบัติหลักและการพิสูจน์ ในย่อหน้าสุดท้าย เราจะพูดถึงแนวคิดที่เกี่ยวข้อง - จำนวนเฉพาะแบบคู่

ยานเดกซ์ RTB R-A-339285-1

หมายเลขโคไพรม์คืออะไร

จำนวนเต็มตั้งแต่สองตัวขึ้นไปสามารถเป็นจำนวนเฉพาะร่วมกันได้ ก่อนอื่น เรามาแนะนำคำจำกัดความของจำนวนสองตัว ซึ่งเราต้องการแนวคิดเรื่องตัวหารร่วมมากของพวกมัน หากจำเป็น ให้ทำซ้ำเนื้อหาที่จัดทำไว้โดยเฉพาะ

คำจำกัดความ 1

จำนวน a และ b สองตัวดังกล่าวจะเป็นจำนวนเฉพาะร่วมกัน โดยมีตัวหารร่วมมากเท่ากับ 1 นั่นคือ GCD (ก , ข) = 1 .

จากคำจำกัดความนี้ เราสามารถสรุปได้ว่าตัวหารร่วมบวกเพียงตัวเดียวของจำนวนโคไพรม์สองตัวจะเท่ากับ 1 ตัวเลขดังกล่าวเพียงสองตัวเท่านั้นที่มีตัวหารร่วมสองตัว - หนึ่งและลบหนึ่ง

ตัวอย่างตัวเลขโคไพรม์มีอะไรบ้าง ตัวอย่างเช่น คู่ดังกล่าวจะเป็น 5 และ 11 พวกมันมีตัวหารบวกร่วมเพียงตัวเดียว ซึ่งเท่ากับ 1 ซึ่งยืนยันความเรียบง่ายร่วมกัน

หากเราเอาจำนวนเฉพาะสองตัวมา เมื่อสัมพันธ์กัน พวกมันก็จะเป็นจำนวนเฉพาะร่วมกันในทุกกรณี แต่ความสัมพันธ์ซึ่งกันและกันนั้นก็เกิดขึ้นระหว่างจำนวนประกอบด้วย มีหลายกรณีที่จำนวนหนึ่งในคู่ของจำนวนเฉพาะที่เป็นจำนวนประกอบกัน และจำนวนที่สองเป็นจำนวนเฉพาะ หรือทั้งสองจำนวนรวมกัน

ข้อความนี้แสดงตัวอย่างต่อไปนี้: จำนวนประกอบ 9 และ 8 ก่อให้เกิดคู่ที่ค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะ ลองพิสูจน์เรื่องนี้ด้วยการคำนวณตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดกัน ในการทำเช่นนี้ เราเขียนตัวหารทั้งหมดลงไป (เราแนะนำให้อ่านบทความเรื่องการหาตัวหารของตัวเลขอีกครั้ง) สำหรับ 8 ตัวเลขเหล่านี้จะเป็น ± 1, ± 2, ± 4, ± 8 และสำหรับ 9 – ± 1, ± 3, ± 9 เราเลือกตัวหารที่จะเหมือนกันและใหญ่ที่สุดจากตัวหารทั้งหมด - นี่คือความสามัคคี ดังนั้น ถ้า GCD (8, − 9) = 1 แล้ว 8 และ - 9 จะเป็นจำนวนเฉพาะซึ่งกันและกัน

จำนวนโคไพรม์ไม่ใช่ 500 และ 45 เนื่องจากมีตัวหารร่วมอีกตัวหนึ่งคือ 5 (ดูบทความเกี่ยวกับเกณฑ์การหารด้วย 5 ลงตัว) ห้ามากกว่าหนึ่งและเป็นจำนวนบวก อีกคู่ที่คล้ายกันอาจเป็น - 201 และ 3 เนื่องจากทั้งคู่สามารถหารด้วย 3 ได้ ตามที่ระบุด้วยเครื่องหมายหารที่สอดคล้องกัน

ในทางปฏิบัติ บ่อยครั้งที่จำเป็นต้องกำหนดความเป็นนายกสัมพัทธ์ของจำนวนเต็มสองตัว การค้นหาสิ่งนี้สามารถลดเหลือเพียงการค้นหาตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดแล้วเปรียบเทียบกับความสามัคคี นอกจากนี้ยังสะดวกในการใช้ตารางตัวเลขเฉพาะเพื่อไม่ให้คำนวณโดยไม่จำเป็น: หากหนึ่งในตัวเลขที่ระบุอยู่ในตารางนี้จะหารด้วยตัวเลขเดียวเท่านั้น เรามาดูวิธีแก้ปัญหาดังกล่าวกัน

ตัวอย่างที่ 1

เงื่อนไข:ค้นหาว่าตัวเลข 275 และ 84 เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่

สารละลาย

เห็นได้ชัดว่าตัวเลขทั้งสองมีตัวหารมากกว่าหนึ่งตัว ดังนั้นเราจึงไม่สามารถเรียกพวกมันว่าเป็นจำนวนเฉพาะได้ในทันที

เราคำนวณตัวหารร่วมมากโดยใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิด: 275 = 84 3 + 23, 84 = 23 3 + 15, 23 = 15 1 + 8, 15 = 8 1 + 7, 8 = 7 1 + 1, 7 = 7 · 1.

คำตอบ:เนื่องจาก GCD (84, 275) = 1 ดังนั้นตัวเลขเหล่านี้จะค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะ

ดังที่เราได้กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ คำจำกัดความของตัวเลขดังกล่าวสามารถขยายไปยังกรณีที่เราไม่ได้มีตัวเลขสองตัว แต่มีมากกว่านั้น

คำจำกัดความ 2

จำนวนเต็ม a 1 , a 2 , … , a k , k > 2 จะเป็นจำนวนเฉพาะร่วมกันเมื่อมีตัวหารร่วมมากเท่ากับ 1

กล่าวอีกนัยหนึ่ง หากเรามีชุดของตัวเลขบางตัวที่มีตัวหารบวกมากที่สุดมากกว่า 1 ตัวเลขเหล่านี้ทั้งหมดจะไม่ผกผันกันด้วยความเคารพซึ่งกันและกัน

ลองมาตัวอย่างบางส่วน ดังนั้น จำนวนเต็ม − 99, 17 และ − 27 จึงค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะ จำนวนเฉพาะจำนวนเท่าใดก็ได้จะเป็นจำนวนเฉพาะเมื่อเทียบกับสมาชิกทุกคน ดังในลำดับ 2, 3, 11, 19, 151, 293 และ 667 แต่ตัวเลข 12, - 9, 900 และ − 72 จะไม่ค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะ เพราะนอกจากความสามัคคีแล้ว ยังมีตัวหารบวกอีกตัวหนึ่งเท่ากับ 3 เช่นเดียวกับตัวเลข 17, 85 และ 187: ยกเว้นตัวเลขเดียวที่สามารถหารด้วย 17 ได้ทั้งหมด

โดยปกติแล้วความเป็นเอกภาพร่วมกันของตัวเลขจะไม่ชัดเจนตั้งแต่แรกเห็น ข้อเท็จจริงข้อนี้จำเป็นต้องมีการพิสูจน์ หากต้องการทราบว่าตัวเลขบางตัวเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ คุณต้องหาตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดแล้วสรุปโดยเปรียบเทียบกับตัวใดตัวหนึ่ง

ตัวอย่างที่ 2

เงื่อนไข: ตรวจสอบว่าตัวเลข 331, 463 และ 733 ค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่

สารละลาย

ลองตรวจสอบตารางเลขเฉพาะดูว่ามีเลขสามตัวอยู่ในนั้นหรือไม่ ตัวหารร่วมจะมีได้เพียงตัวเดียวเท่านั้น

คำตอบ:ตัวเลขทั้งหมดนี้จะเป็นจำนวนเฉพาะซึ่งกันและกัน

ตัวอย่างที่ 3

เงื่อนไข:ให้พิสูจน์ว่าตัวเลข − 14, 105, − 2 107 และ − 91 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ

สารละลาย

เริ่มต้นด้วยการระบุตัวหารร่วมที่มากที่สุด แล้วตรวจสอบให้แน่ใจว่ามันไม่เท่ากับ 1 เนื่องจากจำนวนลบมีตัวหารเหมือนกันกับจำนวนบวกที่สอดคล้องกัน ดังนั้น gcd (− 14, 105, 2 107, − 91) = gcd (14, 105, 2 107, 91) ตามกฎที่เราให้ไว้ในบทความเรื่องการหาตัวหารร่วมมาก ในกรณีนี้ gcd จะเท่ากับ 7

คำตอบ:เจ็ดมากกว่าหนึ่ง ซึ่งหมายความว่าจำนวนเหล่านี้ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ

คุณสมบัติพื้นฐานของเลขโคไพรม์

ตัวเลขดังกล่าวมีคุณสมบัติที่สำคัญบางประการ ให้เราแสดงรายการตามลำดับและพิสูจน์พวกเขา

คำจำกัดความ 3

หากเราหารจำนวนเต็ม a และ b ด้วยจำนวนที่ตรงกับตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุด เราก็จะได้จำนวนเฉพาะที่ค่อนข้างมาก กล่าวอีกนัยหนึ่ง a: gcd (a, b) และ b: gcd (a, b) จะค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะ

เราได้พิสูจน์คุณสมบัตินี้แล้ว การพิสูจน์สามารถพบได้ในบทความเกี่ยวกับคุณสมบัติของตัวหารร่วมมาก ด้วยเหตุนี้ เราจึงสามารถหาคู่ของจำนวนเฉพาะที่ค่อนข้างมากได้ โดยเราแค่ต้องนำจำนวนเต็มสองตัวใดก็ได้แล้วหารด้วย GCD ด้วยเหตุนี้เราจึงควรได้เลขโคไพรม์

คำจำกัดความที่ 4

เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความเป็นไพรม์ร่วมกันของตัวเลข a และ b คือการมีอยู่ของจำนวนเต็มดังกล่าว คุณ 0และ โวลต์ 0ซึ่งเพื่อความเท่าเทียมกัน ก · คุณ 0 + ข · โวลต์ 0 = 1จะเป็นเรื่องจริง

หลักฐานที่ 1

เริ่มต้นด้วยการพิสูจน์ความจำเป็นของเงื่อนไขนี้ สมมุติว่าเรามีจำนวนเฉพาะสองตัวซึ่งเขียนว่า a และ b จากนั้น ตามคำจำกัดความของแนวคิดนี้ ตัวหารร่วมมากจะเท่ากับ 1 จากคุณสมบัติของ GCD เรารู้ว่าสำหรับจำนวนเต็ม a และ b มีความสัมพันธ์แบบเบซูต์ ก · คุณ 0 + ข · โวลต์ 0 = GCD (ก , ข)- จากนั้นเราได้รับสิ่งนั้น ก · คุณ 0 + ข · โวลต์ 0 = 1- หลังจากนี้เราก็ต้องพิสูจน์ความเพียงพอของสภาพ ให้ความเท่าเทียมกัน ก · คุณ 0 + ข · โวลต์ 0 = 1จะเป็นจริงในกรณีนี้ถ้า GCD (ก, ข)แบ่งและก , และ b แล้วมันจะหารผลรวมด้วย ก · ยู 0 + ข · โวลต์ 0และหน่วย ตามลำดับ (สามารถโต้แย้งได้จากคุณสมบัติของการหารลงตัว) และนี่จะเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อ GCD (ก, ข) = 1ซึ่งพิสูจน์ความเรียบง่ายร่วมกันของ a และ b

ที่จริง ถ้า a และ b เป็นไพรม์โคไพรม์ แล้วตามคุณสมบัติที่แล้ว ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง ก · คุณ 0 + ข · โวลต์ 0 = 1- เราคูณทั้งสองข้างด้วย c แล้วได้ค่านั้น ก · ค · ยู 0 + ข · ค · โวลต์ 0 = ค- เราหารเทอมแรกได้ ก · ค · ยู 0 + ข · ค · โวลต์ 0ด้วย b เพราะนี่เป็นไปได้สำหรับ a · c และเทอมที่สองก็หารด้วย b ลงตัวเช่นกัน เพราะตัวประกอบตัวหนึ่งของเราเท่ากับ b จากนี้ เราสรุปได้ว่าผลรวมทั้งหมดสามารถหารด้วย b และเนื่องจากผลรวมนี้เท่ากับ c ดังนั้น c จึงสามารถหารด้วย b

คำจำกัดความที่ 5

ถ้าจำนวนเต็มสองตัว a และ b เป็นจำนวนไพรม์ ดังนั้น gcd (ac, b) = gcd (c, b)

หลักฐานที่ 2

ให้เราพิสูจน์ว่า GCD (a c, b) จะหาร GCD (c, b) และหลังจากนั้น GCD (c, b) จะหาร GCD (a c, b) ซึ่งจะเป็นการพิสูจน์ความถูกต้องของ GCD ที่เท่ากัน (ก · ค , ข) = GCD (ค , ข) .

เนื่องจาก GCD (a · c, b) หารทั้ง a · c และ b และ GCD (a · c, b) หาร b ดังนั้นมันจะหาร b · c ด้วย ซึ่งหมายความว่า GCD (a c, b) แบ่งทั้ง a c และ b c ดังนั้นเนื่องจากคุณสมบัติของ GCD มันยังแบ่ง GCD (a c, b c) ซึ่งจะเท่ากับ c GCD (a, b ) = c . ดังนั้น GCD (a · c, b) จึงหารทั้ง b และ c ดังนั้นจึงหาร GCD (c, b) ด้วย

อาจกล่าวได้ว่าเนื่องจาก GCD (c, b) หารทั้ง c และ b ดังนั้นมันจะหารทั้ง c และ a c ซึ่งหมายความว่า GCD (c, b) หารทั้ง a · c และ b ดังนั้นจึงหาร GCD ด้วย (a · c, b)

ดังนั้น gcd (ac, b) และ gcd (c, b) จึงหารซึ่งกันและกัน ซึ่งหมายความว่าทั้งสองมีค่าเท่ากัน

คำนิยาม 6

ถ้าเป็นตัวเลขจากลำดับ ก 1 , 2 , … , หรือเคจะค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะเมื่อเทียบกับจำนวนในลำดับ ข 1, ข 2, …, ข ม(สำหรับค่าธรรมชาติของ k และ m) จากนั้นผลคูณของพวกมัน ก 1 · 2 · … · หรือ เคและ ข 1 · ข 2 · … · ข มยังค่อนข้างสำคัญอีกด้วย โดยเฉพาะ ก 1 = ก 2 = … = ก = กและ ข 1 = ข 2 = … = ข ม = ข, ที่ เคและ ข ม- เรียบง่ายซึ่งกันและกัน

หลักฐานที่ 3

ตามคุณสมบัติก่อนหน้านี้ เราสามารถเขียนความเท่าเทียมกันในรูปแบบต่อไปนี้: GCD (a 1 · a 2 · … · a k, b m) = GCD (a 2 · … · a k, b m) = … = GCD (a k, b m) = 1. ความเป็นไปได้ของการเปลี่ยนแปลงครั้งล่าสุดนั้นมั่นใจได้จากข้อเท็จจริงที่ว่า a k และ b m ค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะตามเงื่อนไข นี่หมายถึง GCD (a 1 · a 2 · … · a k , b m) = 1

ให้เราแทน 1 · a 2 · … · a k = A และได้ GCD นั้น (b 1 · b 2 · … · b m , a 1 · a 2 · … · a k) = GCD (b 1 · b 2 · … · b ม. , A) = GCD (b 2 · … · b · b ม. , A) = … = GCD (b ม. , A) = 1 . สิ่งนี้จะเป็นจริงเนื่องจากความเท่าเทียมกันสุดท้ายจากห่วงโซ่ที่สร้างขึ้นด้านบน ดังนั้นเราจึงมีความเท่าเทียมกัน GCD (b 1 · b 2 · … · b m, a 1 · a 2 · … · a k) = 1 ซึ่งเราสามารถพิสูจน์ความเป็นเอกภาพร่วมกันของผลิตภัณฑ์ได้ ก 1 · 2 · … · หรือ เคและ ข 1 · ข 2 · … · ข ม

นี่คือคุณสมบัติของเลขโคไพรม์ที่เราอยากเล่าให้คุณฟัง

แนวคิดเรื่องจำนวนเฉพาะแบบคู่

เมื่อรู้ว่าจำนวนโคไพรม์คืออะไร เราก็สามารถกำหนดคำจำกัดความของจำนวนเฉพาะคู่ได้

คำนิยาม 7

จำนวนเฉพาะคู่กันคือลำดับของจำนวนเต็ม a 1 , a 2 , ... , a k โดยที่แต่ละจำนวนจะค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะเมื่อเทียบกับจำนวนอื่นๆ

ตัวอย่างของลำดับจำนวนเฉพาะแบบคู่คือ 14, 9, 17 และ - 25 ในที่นี้ทุกคู่ (14 และ 9, 14 และ 17, 14 และ − 25, 9 และ 17, 9 และ − 25, 17 และ − 25) เป็นจำนวนเฉพาะ โปรดทราบว่าเงื่อนไขของจำนวนเฉพาะที่เป็นคู่นั้นจำเป็นสำหรับจำนวนเฉพาะที่เป็นคู่ แต่จำนวนเฉพาะที่เป็นคู่จะไม่เป็นจำนวนเฉพาะแบบคู่ในทุกกรณี ตัวอย่างเช่น ในลำดับ 8, 16, 5 และ 15 ตัวเลขจะไม่ใช่ตัวเลขดังกล่าว เนื่องจาก 8 และ 16 จะไม่เป็นจำนวนเฉพาะ

คุณควรคำนึงถึงแนวคิดเรื่องการรวบรวมจำนวนเฉพาะจำนวนหนึ่งด้วย พวกเขาจะเรียบง่ายทั้งซึ่งกันและกันและแบบคู่เสมอ ตัวอย่างจะเป็นลำดับ 71, 443, 857, 991 ในกรณีของจำนวนเฉพาะ แนวคิดเรื่องจำนวนเฉพาะและจำนวนเฉพาะคู่จะตรงกัน

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

หนังสือเรียนคณิตศาสตร์บางครั้งก็เข้าใจยาก ภาษาที่แห้งและชัดเจนของผู้เขียนไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะเข้าใจเสมอไป และหัวข้อต่างๆ มักจะเชื่อมโยงถึงกันและเป็นผลสืบเนื่องร่วมกันอยู่เสมอ หากต้องการเชี่ยวชาญหัวข้อใดหัวข้อหนึ่ง คุณจะต้องยกหัวข้อก่อนหน้าหลายหัวข้อ และบางครั้งก็ต้องอ่านตำราเรียนทั้งเล่มด้วยซ้ำ ยาก? ใช่. เรามาเสี่ยงที่จะหลีกเลี่ยงปัญหาเหล่านี้และพยายามค้นหาแนวทางที่ไม่ได้มาตรฐานในหัวข้อนี้ มาเที่ยวดินแดนแห่งตัวเลขกันเถอะ อย่างไรก็ตาม เราจะยังคงให้คำจำกัดความเดิม เนื่องจากกฎของคณิตศาสตร์ไม่สามารถยกเลิกได้ ดังนั้น จำนวนโคไพรม์จึงเป็นจำนวนธรรมชาติที่มีตัวหารร่วมเท่ากับ 1 ก็เป็นที่ชัดเจน? ค่อนข้าง.

เพื่อเป็นตัวอย่างที่ชัดเจนยิ่งขึ้น ลองใช้ตัวเลข 6 และ 13 กัน ทั้งสองหารด้วย 1 ลงตัว (โคไพรม์) แต่ตัวเลข 12 และ 14 ไม่สามารถเป็นเช่นนั้นได้เนื่องจากหารด้วย 1 ไม่เพียงเท่านั้น แต่ยังหารด้วย 2 อีกด้วย ตัวเลขต่อไปนี้ 21 และ 47 ก็ไม่รวมอยู่ในหมวดหมู่ของ "หมายเลขโคไพรม์" เช่นกัน: ไม่สามารถหารได้ เพียง 1 แต่อยู่ที่ 7 ด้วย

หมายเลขโคไพรม์แสดงดังนี้: ( ก, ย) = 1.

หรืออาจพูดง่ายกว่านั้นอีก: ตัวหารร่วม (มากที่สุด) ในที่นี้จะเท่ากับ 1
เหตุใดเราจึงต้องมีความรู้เช่นนี้? มีเหตุผลเพียงพอ

รวมอยู่ในระบบการเข้ารหัสบางระบบร่วมกัน ผู้ที่ทำงานกับ Hill ciphers หรือระบบทดแทน Caesar เข้าใจ: หากไม่มีความรู้นี้ คุณจะไปที่ไหนไม่ได้ หากคุณเคยได้ยินเกี่ยวกับเครื่องกำเนิดไฟฟ้า คุณคงไม่กล้าปฏิเสธ เพราะมีการใช้จำนวนเฉพาะที่ค่อนข้างมากเช่นกัน

ทีนี้มาพูดถึงวิธีหาวิธีง่ายๆ ดังที่คุณเข้าใจ พวกมันมีตัวหารได้เพียงสองตัวเท่านั้น: พวกมันหารด้วยตัวมันเองและตัวเดียวลงตัว สมมติว่า 11, 7, 5, 3 เป็นจำนวนเฉพาะ แต่ 9 ไม่ใช่ เพราะจำนวนนี้หารด้วย 9, 3 และ 1 ลงตัวแล้ว

และถ้า ก- จำนวนเป็นจำนวนเฉพาะและ ที่- จากชุด (1, 2, ... ก- 1) จึงรับประกัน ( ก, ที่) = 1 หรือจำนวนเฉพาะ - กและ ที่.

นี่ไม่ใช่แม้แต่คำอธิบาย แต่เป็นการกล่าวซ้ำหรือสรุปสิ่งที่เพิ่งพูดไป

การได้จำนวนเฉพาะนั้นเป็นไปได้ อย่างไรก็ตาม สำหรับจำนวนจำนวนมาก (เช่น หลายพันล้าน) วิธีการนี้ยาวเกินไป แต่ไม่เหมือนกับสูตรพิเศษที่บางครั้งทำผิดพลาด วิธีนี้จะเชื่อถือได้มากกว่า

คุณสามารถทำงานโดยเลือก ที่ > ก- เมื่อต้องการทำเช่นนี้ y จะถูกเลือกเพื่อให้ตัวเลขเปิด กไม่ได้แบ่งปัน ในการดำเนินการนี้ จำนวนเฉพาะจะถูกคูณด้วยจำนวนธรรมชาติแล้วบวกปริมาณ (หรือลบออกในทางตรงกันข้าม) (เช่น ร) ซึ่งน้อยกว่า ก:

ย = รเอ + เค

ตัวอย่างเช่น หาก ก = 71, ร= 3, q=10 ดังนั้น ดังนั้น ที่ตรงนี้จะเท่ากับ 713 สามารถเลือกแบบอื่นได้โดยมีองศา

จำนวนประกอบซึ่งต่างจากจำนวนเฉพาะที่ค่อนข้างตรง คือหารด้วยตัวมันเอง 1 และจำนวนอื่นๆ ลงตัว (ไม่มีเศษเช่นกัน)

กล่าวอีกนัยหนึ่ง (ยกเว้นอันเดียว) แบ่งออกเป็นแบบประสมและแบบง่าย

จำนวนเฉพาะคือจำนวนธรรมชาติที่ไม่มีตัวหารที่ไม่ไม่สำคัญ (แตกต่างจากตัวเลขและเอกภาพ) บทบาทของพวกเขามีความสำคัญอย่างยิ่งในวิทยาการเข้ารหัสลับสมัยใหม่ที่กำลังพัฒนาอย่างรวดเร็วในปัจจุบัน ซึ่งทำให้ระเบียบวินัยซึ่งก่อนหน้านี้ถือว่าเป็นนามธรรมอย่างมาก ได้กลายเป็นที่ต้องการอย่างมาก: อัลกอริธึมการปกป้องข้อมูลได้รับการปรับปรุงอย่างต่อเนื่อง

จำนวนเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดถูกค้นพบโดยจักษุแพทย์ Martin Nowak ซึ่งเข้าร่วมในโครงการ GIMPS (การคำนวณแบบกระจาย) ร่วมกับผู้ที่ชื่นชอบอีกประมาณ 15,000 คน การคำนวณใช้เวลานานถึงหกปี มีคอมพิวเตอร์จำนวนสองโหลครึ่งที่อยู่ในคลินิกตาของโนวัคเข้ามาเกี่ยวข้อง ผลลัพธ์ของการทำงานอันยิ่งใหญ่และความอุตสาหะคือหมายเลข 225964951-1 เขียนด้วยทศนิยม 7816230 ตำแหน่ง อย่างไรก็ตาม บันทึกสำหรับจำนวนที่ใหญ่ที่สุดถูกกำหนดไว้หกเดือนก่อนการค้นพบนี้ และมีสัญญาณน้อยกว่าครึ่งล้าน

อัจฉริยะที่ต้องการตั้งชื่อหมายเลขโดยที่ระยะเวลาของเครื่องหมายทศนิยมจะ "กระโดด" เครื่องหมายสิบล้านมีโอกาสที่จะได้รับไม่เพียงชื่อเสียงไปทั่วโลก แต่ยังรวมถึง $ 100,000 ด้วย อย่างไรก็ตาม สำหรับจำนวนที่ทะลุหลักล้านหลัก นายัน ไครัตวัลได้รับเงินจำนวนน้อยกว่า ($50,000)

$p$ จะถูกเรียกว่าจำนวนเฉพาะหากมีตัวหาร $2$ เท่านั้น: $1$ และตัวมันเอง

ตัวหารของจำนวนธรรมชาติ $a$ คือจำนวนธรรมชาติที่หารจำนวนเดิม $a$ โดยไม่เหลือเศษ

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาตัวหารของตัวเลข $6$

วิธีแก้ไข: เราจำเป็นต้องค้นหาตัวเลขทั้งหมดที่ $6$ ที่ให้มาหารลงตัวโดยไม่มีเศษ เหล่านี้จะเป็นตัวเลข: $1,2,3, 6$ ดังนั้นตัวหารของตัวเลข $6$ จะเป็นตัวเลข $1,2,3,6.$

คำตอบ: $1,2,3,6$.

ซึ่งหมายความว่าในการหาตัวหารของจำนวนนั้น คุณจะต้องค้นหาจำนวนธรรมชาติทั้งหมดที่สามารถหารจำนวนนั้นได้โดยไม่มีเศษ เห็นได้ง่ายว่าตัวเลข $1$ จะเป็นตัวหารของจำนวนธรรมชาติใดๆ

คำจำกัดความ 2

คอมโพสิตพวกเขาเรียกตัวเลขที่มีตัวหารอื่นนอกเหนือจากตัวหนึ่งและตัวมันเอง

ตัวอย่างของจำนวนเฉพาะคือ $13$ ตัวอย่างของจำนวนประกอบคือ $14.$

หมายเหตุ 1

ตัวเลข $1$ มีตัวหารเพียงตัวเดียว ซึ่งเป็นตัวเลขนั้นเอง ดังนั้นจึงไม่ใช่จำนวนเฉพาะหรือจำนวนประกอบ

ตัวเลขโคไพรม์

คำจำกัดความ 3

จำนวนเฉพาะร่วมกันพวกเขาคือผู้ที่มี gcd เท่ากับ $1$ ซึ่งหมายความว่าหากต้องการทราบว่าตัวเลขนั้นค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ คุณต้องค้นหา gcd ของมันแล้วเปรียบเทียบกับ $1$

ไพร์มคู่กัน

คำจำกัดความที่ 4

ถ้าจำนวนสองตัวใดเป็นจำนวนเฉพาะในชุดตัวเลข ก็จะเรียกตัวเลขดังกล่าว ไพร์มแบบคู่- สำหรับตัวเลขสองตัว แนวคิด "โคไพรม์" และ "ไพรม์คู่" ตรงกัน

ตัวอย่างที่ 2

$8, $15 - ไม่ง่าย แต่ค่อนข้างง่าย

$6, 8, 9$ เป็นหมายเลขโคไพรม์ แต่ไม่ใช่หมายเลขโคไพรม์แบบคู่

$8, 15, 49$ เป็นคู่ที่ค่อนข้างสำคัญ

ดังที่เราเห็น ในการพิจารณาว่าตัวเลขเป็นโคไพรม์หรือไม่ เราต้องแยกตัวประกอบเหล่านี้เป็นตัวประกอบเฉพาะก่อน มาดูวิธีการทำอย่างถูกต้องกัน

ตัวประกอบที่สำคัญ

ตัวอย่างเช่น ลองแยกตัวประกอบของ $180$ ให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ:

$180=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$

ให้เราใช้คุณสมบัติขององศา แล้วเราจะได้

$180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$

สัญกรณ์การสลายตัวเป็นปัจจัยเฉพาะนี้เรียกว่า canonical เช่น ในการที่จะแยกตัวประกอบตัวเลขในรูปแบบบัญญัตินั้นจำเป็นต้องใช้คุณสมบัติของกำลังและแทนตัวเลขเป็นผลคูณของกำลังที่มีฐานต่างกัน

การขยายจำนวนธรรมชาติตามรูปแบบบัญญัติในรูปแบบทั่วไป

การขยายตัวตามบัญญัติของจำนวนธรรมชาติในรูปแบบทั่วไปมีรูปแบบ:

$m=p^(n1)_1\cdot p^(n2)_2\cdot \dots \dots ..\cdot p^(nk)_k$

โดยที่ $p_1,p_2\dots \dots .p_k$ เป็นจำนวนเฉพาะ และเลขยกกำลังเป็นตัวเลขธรรมชาติ

การแสดงตัวเลขในรูปแบบการสลายตัวตามแบบบัญญัติให้เป็นเซตจำนวนเฉพาะทำให้ง่ายต่อการค้นหาตัวหารร่วมที่มีค่ามากที่สุดของตัวเลข และเป็นผลสืบเนื่องมาจากการพิสูจน์หรือคำจำกัดความของจำนวนโคไพรม์

ตัวอย่างที่ 3

หาตัวหารร่วมมากของตัวเลข $180$ และ $240$.

วิธีแก้ปัญหา: มาแยกตัวเลขออกเป็นเซตง่ายๆ โดยใช้การสลายตัวแบบบัญญัติ

$180=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$ จากนั้น $180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$

$240=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5$ จากนั้น $240=2^4\cdot 3\cdot 5$

ตอนนี้ เรามาค้นหา gcd ของตัวเลขเหล่านี้กัน โดยเลือกยกกำลังที่มีฐานเดียวกันและมีเลขยกกำลังที่เล็กที่สุด จากนั้น

$GCD\(180;240)= 2^2\cdot 3\cdot 5=60$

มาเขียนกันเถอะ อัลกอริทึมสำหรับการค้นหา GCD โดยคำนึงถึงการแยกตัวประกอบตามรูปแบบบัญญัติให้เป็นปัจจัยเฉพาะ.

หากต้องการค้นหาตัวหารร่วมมากของตัวเลขสองตัวโดยใช้ส่วนขยายตามรูปแบบบัญญัติ คุณต้อง:

1. แยกตัวประกอบตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะในรูปแบบมาตรฐาน
2. เลือกยกกำลังที่มีฐานเดียวกันและมีเลขยกกำลังน้อยที่สุดซึ่งรวมอยู่ในส่วนขยายของตัวเลขเหล่านี้
3. หาผลคูณของตัวเลขที่พบในขั้นตอนที่ 2 จำนวนที่ได้จะเป็นตัวหารร่วมมากที่ต้องการ

ตัวอย่างที่ 4

ตรวจสอบว่าตัวเลข $195$ และ $336$ เป็นจำนวนเฉพาะหรือโคไพรม์หรือไม่

$195=3\cdot 5\cdot 13$

$336=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 7=2^4\cdot 3\cdot 5$

$GCD\(195;336) =3\cdot 5=15$

เราจะเห็นว่า gcd ของตัวเลขเหล่านี้แตกต่างจาก $1$ ซึ่งหมายความว่าตัวเลขนั้นไม่สัมพันธ์กับจำนวนเฉพาะ นอกจากนี้เรายังเห็นว่าตัวเลขแต่ละตัวมีปัจจัย นอกเหนือจาก $1$ และตัวตัวเลขเอง ซึ่งหมายความว่าตัวเลขจะไม่เป็นจำนวนเฉพาะ แต่จะถูกประกอบเข้าด้วยกัน

ตัวอย่างที่ 5

ตรวจสอบว่าตัวเลข $39$ และ $112$ เป็นจำนวนเฉพาะและจำนวนเฉพาะหรือไม่

วิธีแก้ปัญหา: ลองใช้การแยกตัวประกอบตามรูปแบบบัญญัติ:

$112=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 7=2^4\cdot 7$

$GCD\(39;112)=1$

เราจะเห็นว่า gcd ของตัวเลขเหล่านี้เท่ากับ $1$ ซึ่งหมายความว่าตัวเลขดังกล่าวค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะ นอกจากนี้เรายังเห็นว่าตัวเลขแต่ละตัวมีปัจจัย นอกเหนือจาก $1$ และตัวตัวเลขเอง ซึ่งหมายความว่าตัวเลขจะไม่เป็นจำนวนเฉพาะ แต่จะถูกประกอบเข้าด้วยกัน

ตัวอย่างที่ 6

ตรวจสอบว่าตัวเลข $883$ และ $997$ เป็นจำนวนเฉพาะหรือโคไพรม์หรือไม่

วิธีแก้ปัญหา: ลองใช้การแยกตัวประกอบตามรูปแบบบัญญัติ:

$883=1\cdot 883$

$997=1\cdot 997$

$GCD\(883;997)=1$

เราจะเห็นว่า gcd ของตัวเลขเหล่านี้เท่ากับ $1$ ซึ่งหมายความว่าตัวเลขดังกล่าวค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะ นอกจากนี้เรายังพบว่าแต่ละตัวเลขมีเพียงตัวประกอบเท่ากับ $1$ และตัวตัวเลขเอง ซึ่งหมายความว่าตัวเลขนั้นจะเป็นจำนวนเฉพาะ

หมายเลขโคไพรม์คืออะไร?

คำจำกัดความของจำนวนโคไพรม์

คำจำกัดความของหมายเลขโคไพรม์:

จำนวนโคไพรม์คือจำนวนเต็มที่ไม่มีตัวประกอบร่วมนอกจากหนึ่ง

ตัวอย่างตัวเลขโคไพรม์

ตัวอย่างหมายเลขโคไพรม์:

2 และ 3 ไม่มีตัวหารร่วมอื่นนอกจากตัวเดียว

อีกตัวอย่างหนึ่งของหมายเลขโคไพรม์:

3 และ 7 ไม่มีตัวประกอบร่วมอื่นนอกจากตัวเดียว

อีกตัวอย่างหนึ่งของหมายเลขโคไพรม์:

11 และ 13 ไม่มีตัวประกอบอื่นที่เหมือนกันนอกจากตัวเดียว

ตอนนี้เราสามารถตอบคำถามว่าเลขโคไพรม์หมายถึงอะไรได้

ตัวเลขโคไพรม์หมายถึงอะไร?

เหล่านี้เป็นจำนวนเต็มที่ไม่มีตัวหารร่วมนอกจากตัวเดียว

จำนวนโคไพรม์สองตัว

แต่ละคู่เหล่านี้เป็นจำนวนเฉพาะสองตัว

11 และ 15
15 และ 16
16 และ 23

ตัวหารร่วมของจำนวนโคไพรม์

ตัวหารร่วมของจำนวนโคไพรม์จะมีเพียงตัวเดียว ดังต่อไปนี้จากคำจำกัดความของจำนวนโคไพรม์

ตัวหารร่วมมากของจำนวนโคไพรม์

ตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของจำนวนโคไพรม์คือหนึ่ง ตามคำจำกัดความของจำนวนโคไพรม์ดังต่อไปนี้

ตัวเลขเป็นไพรม์หรือเปล่า?

ตัวเลข 3 และ 13 เป็นจำนวนเฉพาะใช่หรือไม่? ใช่ เนื่องจากพวกมันไม่มีตัวหารร่วมกันยกเว้นตัวเดียว

ตัวเลข 3 และ 12 เป็นจำนวนเฉพาะใช่หรือไม่? ไม่ เนื่องจากตัวหารร่วมคือ 1 และ 3 และตามคำจำกัดความของจำนวนโคไพรม์ ตัวหารร่วมควรเป็นเพียง 1 เท่านั้น

ตัวเลข 3 และ 108 เป็นจำนวนเฉพาะใช่หรือไม่? ไม่ เนื่องจากตัวหารร่วมคือ 1 และ 3 และตามคำจำกัดความของจำนวนโคไพรม์ ตัวหารร่วมควรเป็นเพียง 1 เท่านั้น

ตัวเลข 108 และ 5 เป็นจำนวนเฉพาะใช่หรือไม่? ใช่ เนื่องจากพวกมันไม่มีตัวหารร่วมกันยกเว้นตัวเดียว

ข้อมูลในบทความนี้ครอบคลุมหัวข้อ " หมายเลขโคไพรม์- ขั้นแรก ให้ระบุคำจำกัดความของจำนวนโคไพรม์สองตัว เช่นเดียวกับคำจำกัดความของจำนวนโคไพรม์ตั้งแต่สามจำนวนขึ้นไป หลังจากนั้น จะมีการให้ตัวอย่างของจำนวนโคไพรม์ และแสดงให้เห็นว่าจะพิสูจน์ได้อย่างไรว่าจำนวนที่ให้มานั้นเป็นจำนวนโคไพรม์ รายการต่อไปนี้และพิสูจน์คุณสมบัติพื้นฐานของเลขโคไพรม์ ท้ายที่สุด มีการกล่าวถึงจำนวนเฉพาะแบบคู่เนื่องจากมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับจำนวนเฉพาะ

การนำทางหน้า

มักจะมีงานที่คุณต้องพิสูจน์ว่าจำนวนเต็มที่กำหนดนั้นค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะ การพิสูจน์เริ่มจากการคำนวณตัวหารร่วมมากของตัวเลขที่กำหนด และตรวจสอบ gcd เพื่อดูว่ามันเท่ากับ 1 หรือไม่ การดูตารางจำนวนเฉพาะก่อนที่จะคำนวณ GCD ยังมีประโยชน์อีกด้วย จู่ๆ จำนวนเต็มดั้งเดิมก็เป็นจำนวนเฉพาะ และเรารู้ว่าตัวหารร่วมมากที่สุดของจำนวนเฉพาะนั้นเท่ากับ 1 ลองดูวิธีแก้ปัญหาตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

พิสูจน์ว่าตัวเลข 84 และ 275 ค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะ

สารละลาย.

แน่นอนว่าจำนวนเหล่านี้ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ ดังนั้นเราจึงไม่สามารถพูดถึงจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ของตัวเลข 84 และ 275 ได้ในทันที และเราจะต้องคำนวณ gcd เราใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิดเพื่อค้นหา GCD: 275=84·3+23, 84=23·3+15, 23=15·1+8, 15=8·1+7, 8=7·1+1, 7 =7 ·1 ดังนั้น gcd(84, 275)=1 นี่เป็นการพิสูจน์ว่าตัวเลข 84 และ 275 ค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะ

คำจำกัดความของจำนวนโคไพรม์สามารถขยายเป็นตัวเลขสามตัวขึ้นไปได้

คำนิยาม.

จำนวนเต็ม a 1 , a 2 , …, a k , k>2 เรียกว่า สำคัญซึ่งกันและกันถ้าตัวหารร่วมมากของจำนวนเหล่านี้เท่ากับหนึ่ง

จากคำจำกัดความที่กล่าวมา จะตามมาว่าหากจำนวนเต็มชุดหนึ่งมีตัวหารร่วมบวกที่ไม่ใช่ตัวเดียว จำนวนเต็มเหล่านี้จะไม่ใช่จำนวนเฉพาะ

ลองยกตัวอย่าง จำนวนเต็มสามจำนวน −99, 17 และ −27 ค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะ การรวบรวมจำนวนเฉพาะใดๆ จะถือเป็นชุดของจำนวนเฉพาะ เช่น 2, 3, 11, 19, 151, 293 และ 677 เป็นจำนวนเฉพาะ และตัวเลขสี่ตัว 12, −9, 900 และ −72 นั้นไม่ใช่จำนวนเฉพาะเพราะมีตัวหารร่วมบวก 3 นอกเหนือจาก 1 ตัวเลข 17, 85 และ 187 ก็ไม่ใช่จำนวนเฉพาะเช่นกัน เนื่องจากแต่ละตัวหารด้วย 17 ลงตัว

มักจะไม่ชัดเจนว่าตัวเลขบางจำนวนนั้นค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะ และข้อเท็จจริงข้อนี้ต้องได้รับการพิสูจน์ หากต้องการทราบว่าตัวเลขที่ระบุเป็นจำนวนโคไพรม์หรือไม่ คุณต้องหาตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของจำนวนเหล่านี้และสรุปตามคำจำกัดความของจำนวนโคไพรม์

ตัวอย่าง.

ตัวเลข 331, 463 และ 733 ค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่?

สารละลาย.

เมื่อดูตารางจำนวนเฉพาะ เราจะพบว่าแต่ละหมายเลข 331, 463 และ 733 เป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น พวกมันจึงมีตัวหารร่วมบวกตัวเดียว - หนึ่งตัว ดังนั้น ตัวเลขทั้งสามตัว 331, 463 และ 733 จึงเป็นจำนวนเฉพาะที่ค่อนข้างมาก

คำตอบ:

ใช่.

ตัวอย่าง.

พิสูจน์ว่าตัวเลข −14, 105, −2 107 และ −91 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ

สารละลาย.

เพื่อพิสูจน์ว่าจำนวนเหล่านี้ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ คุณสามารถค้นหา gcd ของพวกมันได้ และต้องแน่ใจว่ามันไม่เท่ากับ 1 นั่นคือสิ่งที่เราจะทำ

เนื่องจากตัวหารของจำนวนเต็มลบตรงกับตัวหารของจำนวนที่ตรงกัน ดังนั้น GCD(−14, 105, 2 107, −91)=จีซีดี(14, 105, 2 107, 91) . จากเนื้อหาในบทความการหาตัวหารร่วมมากของตัวเลขสามตัวขึ้นไป เราจะพบว่า GCD(14, 105, 2 107, 91) = 7 ดังนั้น ตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของจำนวนเดิมคือ 7 ดังนั้น จำนวนเหล่านี้จึงไม่ใช่จำนวนเฉพาะ

คุณสมบัติของเลขโคไพรม์

หมายเลขโคไพรม์มีคุณสมบัติหลายประการ มาดูหลักกันดีกว่า คุณสมบัติของเลขโคไพรม์.

ตัวเลขที่ได้จากการหารจำนวนเต็ม a และ b ด้วยตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดคือจำนวนเฉพาะ ซึ่งก็คือ a:GCD(a, b) และ b:GCD(a, b) ถือเป็นจำนวนเฉพาะ

เราพิสูจน์คุณสมบัตินี้เมื่อเราตรวจสอบคุณสมบัติของ GCD

คุณสมบัติของจำนวนโคไพรม์ที่พิจารณาทำให้เราสามารถค้นหาคู่ของจำนวนโคไพรม์ได้ ในการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอแล้วที่จะนำจำนวนเต็มสองตัวมาหารด้วยตัวหารร่วมที่มากที่สุด ผลลัพธ์ที่ได้จะค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะ

เพื่อให้จำนวนเต็ม a และ b ค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะ จำเป็นอย่างยิ่งและเพียงพอที่จะต้องมีจำนวนเต็ม u 0 และ v 0 โดยที่ a·u 0 +b·v 0 =1

ให้เราพิสูจน์ความจำเป็นก่อน

ให้จำนวน a และ b ค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะ จากนั้น ตามคำจำกัดความของจำนวนไพรม์ GCD(a, b)=1 และจากคุณสมบัติของ GCD เรารู้ว่าสำหรับจำนวนเต็ม a และ b ความสัมพันธ์แบบเบซูต์ a·u 0 +b·v 0 =GCD(a, b) เป็นจริง ดังนั้น a·u 0 +b·v 0 =1

มันยังคงอยู่เพื่อพิสูจน์ความเพียงพอ

ปล่อยให้ความเสมอภาค a·u 0 +b·v 0 =1 เป็นจริง เนื่องจาก GCD(a, b) หารทั้ง a และ b ดังนั้น GCD(a, b) เนื่องจากคุณสมบัติของการหารลงตัว จะต้องหารผลรวม a·u 0 +b·v 0 ดังนั้นจึงเป็นเอกภาพ และจะเป็นไปได้เมื่อ GCD(a, b)=1 เท่านั้น ดังนั้น a และ b จึงเป็นจำนวนเฉพาะที่ค่อนข้างมาก

คุณสมบัติถัดไปของจำนวนโคไพรม์คือ ถ้าจำนวน a และ b เป็นจำนวนเฉพาะ และผลิตภัณฑ์ a·c หารด้วย b ลงตัว แล้ว c ก็หารด้วย b ลงตัว

อันที่จริง เนื่องจาก a และ b ค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้นจากคุณสมบัติก่อนหน้านี้ เราจึงมีความเท่าเทียมกัน a·u 0 +b·v 0 =1 เมื่อคูณทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกันด้วย c เราจะได้ a·c·u 0 +b·c·v 0 =c เทอมแรกของผลรวม a·c·u 0 +b·c·v 0 หารด้วย b เนื่องจาก a·c หารด้วย b ตามเงื่อนไข เทอมที่สองของผลรวมนี้ก็หารด้วย b ด้วย เนื่องจาก ตัวประกอบตัวหนึ่งเท่ากับ b ดังนั้นผลรวมทั้งหมดจึงหารด้วย b และเนื่องจากผลรวม a·c·u 0 +b·c·v 0 เท่ากับ c ดังนั้น c จึงหารด้วย b ลงตัว

ถ้าจำนวน a และ b ค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น gcd(ac, b) = gcd(c, b)

อันดับแรกให้เราแสดงก่อนว่า gcd(ac, b) หาร gcd(c, b) และประการที่สอง gcd(c, b) หาร gcd(a c, b) ซึ่งจะพิสูจน์ความเท่าเทียมกัน GCD(a c, b) =GCD(ค, ข) .

GCD(ac, b) หารทั้ง a c และ b และเนื่องจาก gcd(a c, b) หาร b จึงหาร b c ด้วย นั่นคือ gcd(a c, b) หารทั้ง a c และ b c ดังนั้น เนื่องจากคุณสมบัติของตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุด จึงหาร gcd(a c, b c) ด้วย ซึ่งตามคุณสมบัติของ gcd จะเท่ากับ c GCD(a, b)=c ดังนั้น gcd(ac, b) หารทั้ง b และ c ดังนั้น จึงหาร gcd(c, b) เช่นกัน

ในทางกลับกัน GCD(c, b) หารทั้ง c และ b และเนื่องจากมันหาร c จึงหาร a·c ด้วย ดังนั้น gcd(c, b) หารทั้ง a c และ b ดังนั้นจึงหาร gcd(ac, b) ด้วย

เราจึงแสดงว่า gcd(a c, b) และ gcd(c, b) หารซึ่งกันและกัน ซึ่งหมายความว่าพวกมันเท่ากัน

ถ้าตัวเลขแต่ละตัว a 1 , a 2 , …, a k เป็นจำนวนเฉพาะที่มีตัวเลขแต่ละตัว b 1 , b 2 , …, b m (โดยที่ k และ m เป็นจำนวนธรรมชาติ) แล้วผลคูณ a 1 · a 2 · … · a k และ b 1 · b 2 ·…·b m เป็นจำนวนไพรม์โดยเฉพาะ ถ้า a 1 =a 2 =…=a k =a และ b 1 =b 2 =…=b m =b แล้ว a k และ b m จะเป็น หมายเลขโคไพรม์

คุณสมบัติก่อนหน้าของจำนวนโคไพรม์ช่วยให้เราเขียนชุดความเท่าเทียมกันของแบบฟอร์มได้ GCD(ก 1 · ก 2 ·…·ก , ข ม.)= GCD(ก 2 ·…·ก , ข ม.)=…=GCD(ก , ข ม.)=1โดยที่การเปลี่ยนผ่านครั้งสุดท้ายเป็นไปได้ เนื่องจาก k และ b m เป็นจำนวนเฉพาะร่วมกันตามเงื่อนไข ดังนั้น, GCD(ก 1 · ก 2 ·…·ก , ข ม.)=1.

ตอนนี้ แทน 1 ·a 2 ·…·ak =A เรามี
GCD(b 1 ·b 2 ·…·b ม. , a 1 ·a 2 ·…·ak)= GCD(ข 1 · ข 2 ·…·ข ม , A)=
=GCD(b 2 ·…·b ม. , A)=… =GCD(ข ม , A)=1
(การเปลี่ยนแปลงครั้งล่าสุดถูกต้อง เนื่องจากความเท่าเทียมกันครั้งล่าสุดจากย่อหน้าก่อนหน้า) นี่คือวิธีที่เราได้รับความเท่าเทียมกัน GCD(b 1 ·b 2 ·…·b ม. , a 1 ·a 2 ·…·ak)=1ซึ่งพิสูจน์ว่าผลคูณ a 1 ·a 2 ·…·ak และ b 1 ·b 2 ·…·b m เป็นจำนวนเฉพาะ

นี่เป็นการสรุปการทบทวนคุณสมบัติพื้นฐานของเลขโคไพรม์

จำนวนเฉพาะคู่ - คำจำกัดความและตัวอย่าง

จะได้รับผ่านหมายเลขโคไพรม์ การระบุคู่ของจำนวนเฉพาะ.

คำนิยาม.

จำนวนเต็ม a 1, a 2, …, a k ซึ่งแต่ละจำนวนมีค่าค่อนข้างมากเมื่อเทียบกับจำนวนอื่นๆ ทั้งหมด เรียกว่า จำนวนเฉพาะคู่.

เรามายกตัวอย่างจำนวนเฉพาะแบบคู่กัน ตัวเลข 14, 9, 17 และ −25 เป็นจำนวนเฉพาะตามลำดับ เนื่องจากคู่ของตัวเลข 14 และ 9, 14 และ 17, 14 และ −25, 9 และ 17, 9 และ −25, 17 และ −25 เป็นจำนวนเฉพาะ ตรงนี้เราทราบว่าจำนวนเฉพาะแบบคู่จะเป็นจำนวนเฉพาะเสมอ

ในทางกลับกัน จำนวนเฉพาะที่ค่อนข้างไม่ใช่จำนวนเฉพาะแบบคู่เสมอไป ดังตัวอย่างต่อไปนี้ที่ยืนยัน เลข 8, 16, 5 และ 15 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะคู่ เนื่องจากเลข 8 และ 16 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ อย่างไรก็ตาม ตัวเลข 8, 16, 5 และ 15 ค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น 8, 16, 5 และ 15 จึงเป็นจำนวนเฉพาะ แต่ไม่ใช่จำนวนเฉพาะแบบคู่

เราควรเน้นเป็นพิเศษถึงการรวบรวมจำนวนเฉพาะจำนวนหนึ่ง ตัวเลขเหล่านี้มีทั้งจำนวนเฉพาะและจำนวนคู่เสมอ ตัวอย่างเช่น 71, 443, 857, 991 เป็นทั้งจำนวนเฉพาะและจำนวนเฉพาะคู่

เป็นที่ชัดเจนว่าเมื่อเราพูดถึงจำนวนเต็มสองตัว แนวคิดของ "จำนวนเฉพาะแบบคู่" และ "จำนวนเฉพาะร่วมกัน" สำหรับพวกมันก็ตรงกัน

บรรณานุกรม.

• วิเลนคิน เอ็น.ยา. และอื่น ๆ คณิตศาสตร์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6: หนังสือเรียนสำหรับสถานศึกษาทั่วไป
• วิโนกราดอฟ ไอ.เอ็ม. พื้นฐานของทฤษฎีจำนวน
• มิเคโลวิช ช.เอช. ทฤษฎีจำนวน
• Kulikov L.Ya. และอื่น ๆ รวบรวมปัญหาพีชคณิตและทฤษฎีจำนวน: หนังสือเรียนสำหรับนักศึกษาวิชาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ เฉพาะทางของสถาบันการสอน