สมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรหนึ่งตัวเรียกว่า สมการที่มีตัวแปรเดียว

ก่อนอื่นคุณต้องเข้าใจว่ามันคืออะไร

มีคำจำกัดความง่ายๆ สมการเชิงเส้นซึ่งให้ไว้ในโรงเรียนปกติว่า “สมการที่ตัวแปรเกิดขึ้นเฉพาะยกกำลังแรกเท่านั้น” แต่มันไม่ถูกต้องทั้งหมด สมการไม่เป็นเชิงเส้น ไม่ได้ลดขนาดลงด้วยซ้ำ ลดเป็นกำลังสองด้วยซ้ำ

คำจำกัดความที่ชัดเจนยิ่งขึ้นคือ: สมการเชิงเส้นเป็นสมการที่ใช้ การแปลงที่เท่ากันสามารถลดลงเป็นรูปแบบ โดยที่ title="a,b ใน bbR, ~a0">. На деле мы будем приводить это уравнение к виду путём переноса в правую часть и деления обеих частей уравнения на . Осталось разъяснить, какие уравнения и как мы можем привести к такому виду, и, самое главное, что дальше делать с ними, чтобы решить его.!}

ในความเป็นจริง เพื่อที่จะเข้าใจว่าสมการนั้นเป็นเส้นตรงหรือไม่ จะต้องทำให้สมการง่ายขึ้นก่อน นั่นคือ นำมาสู่รูปแบบที่การจำแนกประเภทของสมการจะไม่คลุมเครือ จำไว้ว่า คุณสามารถทำอะไรก็ได้ที่คุณต้องการด้วยสมการ ตราบใดที่สมการไม่เปลี่ยนรากของมัน นั่นคือสิ่งที่เป็นอยู่ การแปลงที่เทียบเท่า- การแปลงที่เทียบเท่าที่ง่ายที่สุด ได้แก่ :

1. วงเล็บเปิด
2. นำสิ่งที่คล้ายกัน
3. การคูณและ/หรือหารทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์
4. การบวกและ/หรือการลบทั้งสองข้างของจำนวนหรือนิพจน์เดียวกัน*

คุณสามารถทำการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ได้อย่างง่ายดาย โดยไม่ต้องคำนึงว่าคุณจะ "ทำลาย" สมการหรือไม่
*การตีความการเปลี่ยนแปลงครั้งสุดท้ายโดยเฉพาะคือการ "ถ่ายโอน" คำศัพท์จากส่วนหนึ่งไปยังอีกส่วนหนึ่งโดยการเปลี่ยนเครื่องหมาย

ตัวอย่างที่ 1:
(มาเปิดวงเล็บกันเถอะ)
(บวกทั้งสองส่วนแล้วลบ/โอนโดยเปลี่ยนเครื่องหมายตัวเลขทางซ้ายและตัวแปรทางขวา)
(ให้สิ่งที่คล้ายกัน)
(หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 3)

เราก็จะได้สมการที่มีรากเดียวกันกับสมการดั้งเดิม ให้เราเตือนผู้อ่านว่า "แก้สมการ"- หมายถึงการค้นหารากเหง้าทั้งหมดและพิสูจน์ว่าไม่มีผู้อื่นและ "รากของสมการ"- นี่คือตัวเลขที่เมื่อแทนที่ค่าที่ไม่รู้จัก จะทำให้สมการมีความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริง ในสมการสุดท้าย การค้นหาตัวเลขที่เปลี่ยนสมการให้กลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริงนั้นง่ายมาก - นี่คือตัวเลข ไม่มีหมายเลขอื่นใดที่จะสร้างเอกลักษณ์จากสมการนี้ได้ คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 2:
(คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย หลังจากแน่ใจว่าเราไม่ได้คูณด้วย : title="x3/2"> и title="x3">. То есть если такие корни получатся, то мы их обязаны будем выкинуть.)!}
(มาเปิดวงเล็บกันเถอะ)
(ขอย้ายเงื่อนไขนะครับ)
(ให้สิ่งที่คล้ายกัน)
(เราหารทั้งสองส่วนด้วย )

นี่คือวิธีการแก้สมการเชิงเส้นทั้งหมดโดยคร่าวๆ สำหรับผู้อ่านอายุน้อย เป็นไปได้มากว่าคำอธิบายนี้ดูซับซ้อน ดังนั้นเราจึงเสนอเวอร์ชันหนึ่ง "สมการเชิงเส้นชั้นประถมศึกษาปีที่ 5"

• ความเท่าเทียมกันกับตัวแปรเรียกว่าสมการ
• การแก้สมการหมายถึงการค้นหารากที่หลากหลาย สมการอาจมีหนึ่ง สอง หลายราก หรือไม่มีเลยก็ได้
• แต่ละค่าของตัวแปรที่สมการที่กำหนดกลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริงเรียกว่ารากของสมการ
• สมการที่มีรากเหมือนกันเรียกว่าสมการที่เท่ากัน
• เทอมใดๆ ของสมการสามารถถ่ายโอนจากส่วนหนึ่งของความเสมอภาคไปยังอีกส่วนหนึ่งได้ ในขณะเดียวกันก็เปลี่ยนเครื่องหมายของเทอมไปในทางตรงกันข้าม
• หากทั้งสองด้านของสมการคูณหรือหารด้วยจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์เท่ากัน คุณจะได้สมการที่เทียบเท่ากับสมการที่กำหนด

ตัวอย่าง. แก้สมการ

1. 1.5x+4 = 0.3x-2

1.5x-0.3x = -2-4 เรารวบรวมคำศัพท์ที่มีตัวแปรทางด้านซ้ายของความเท่าเทียมกัน และคำศัพท์อิสระทางด้านขวาของความเท่าเทียมกัน ในกรณีนี้ มีการใช้คุณสมบัติต่อไปนี้:

1.2x = -6 เงื่อนไขที่คล้ายกันได้รับตามกฎ:

x = -6 : 1.2. ความเท่าเทียมกันทั้งสองด้านถูกหารด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรเนื่องจาก

x = -5. หารตามกฎสำหรับการหารเศษส่วนทศนิยมด้วยเศษส่วนทศนิยม:

หากต้องการหารตัวเลขด้วยเศษส่วนทศนิยม คุณต้องเลื่อนเครื่องหมายจุลภาคในตัวหารและตัวหารไปทางขวาให้มากที่สุดเท่าที่มีหลังจุดทศนิยมในตัวหาร จากนั้นจึงหารด้วยจำนวนธรรมชาติ:

6 : 1,2 = 60 : 12 = 5.

คำตอบ: 5.

2. 3∙ (2x-9) = 4 ∙ (x-4)

6x-27 = 4x-16 เราเปิดวงเล็บโดยใช้กฎการกระจายของการคูณเทียบกับการลบ: (ก-ข) ∙ ค = ก ∙ ซีบี ∙ ค.

6x-4x = -16+27 เรารวบรวมคำศัพท์ที่มีตัวแปรทางด้านซ้ายของความเท่าเทียมกัน และคำศัพท์อิสระทางด้านขวาของความเท่าเทียมกัน ในกรณีนี้ มีการใช้คุณสมบัติต่อไปนี้: เทอมใดๆ ของสมการสามารถถ่ายโอนจากส่วนหนึ่งของความเท่าเทียมกันได้ ดังนั้นจึงเปลี่ยนเครื่องหมายของเทอมไปในทางตรงกันข้าม

2x = 11 มีการระบุเงื่อนไขที่คล้ายกันตามกฎ: ในการนำคำศัพท์ที่คล้ายกันมาคุณจะต้องเพิ่มค่าสัมประสิทธิ์และคูณผลลัพธ์ที่ได้ด้วยส่วนตัวอักษรทั่วไป (เช่นเพิ่มส่วนตัวอักษรทั่วไปเข้ากับผลลัพธ์ที่ได้รับ)

x = 11 : 2. ความเท่าเทียมกันทั้งสองด้านถูกหารด้วยสัมประสิทธิ์ของตัวแปรเนื่องจาก หากทั้งสองข้างของสมการคูณหรือหารด้วยจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์เท่ากัน คุณจะได้สมการที่เทียบเท่ากับสมการที่กำหนด

คำตอบ: 5,5.

3. 7x- (3+2x)=x-9

7x-3-2x = x-9 เราเปิดวงเล็บตามกฎสำหรับการเปิดวงเล็บที่มีเครื่องหมาย "-" นำหน้า: หากมีเครื่องหมาย “-” อยู่หน้าวงเล็บ ให้ถอดเครื่องหมายวงเล็บและเครื่องหมาย “-” ออก แล้วเขียนคำศัพท์ในวงเล็บที่มีเครื่องหมายตรงข้ามกัน

7x-2x-x = -9+3 เรารวบรวมคำศัพท์ที่มีตัวแปรทางด้านซ้ายของความเท่าเทียมกัน และคำศัพท์อิสระทางด้านขวาของความเท่าเทียมกัน ในกรณีนี้ มีการใช้คุณสมบัติต่อไปนี้: เทอมใดๆ ของสมการสามารถถ่ายโอนจากส่วนหนึ่งของความเท่าเทียมกันได้ ดังนั้นจึงเปลี่ยนเครื่องหมายของเทอมไปในทางตรงกันข้าม

4x = -6 เงื่อนไขที่คล้ายกันได้รับตามกฎ: ในการนำคำศัพท์ที่คล้ายกันมาคุณจะต้องเพิ่มค่าสัมประสิทธิ์และคูณผลลัพธ์ที่ได้ด้วยส่วนตัวอักษรทั่วไป (เช่นเพิ่มส่วนตัวอักษรทั่วไปเข้ากับผลลัพธ์ที่ได้รับ)

x = -6 : 4. ความเท่าเทียมกันทั้งสองด้านถูกหารด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรเนื่องจาก หากทั้งสองข้างของสมการคูณหรือหารด้วยจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์เท่ากัน คุณจะได้สมการที่เทียบเท่ากับสมการที่กำหนด

คำตอบ: -1,5.

3 ∙ (x-5) = 7 ∙ 12 — 4 ∙ (2x-11) เราคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 12 ซึ่งเป็นตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุดสำหรับตัวส่วนของเศษส่วนเหล่านี้

3x-15 = 84-8x+44 เราเปิดวงเล็บโดยใช้กฎการกระจายของการคูณเทียบกับการลบ: ในการคูณผลต่างของตัวเลขสองตัวด้วยตัวเลขที่สาม คุณสามารถแยกการคูณเครื่องหมายลบและลบออกด้วยตัวเลขที่สาม จากนั้นลบผลลัพธ์ที่สองจากผลลัพธ์แรก เช่น(ก-ข) ∙ ค = ก ∙ ซีบี ∙ ค.

3x+8x = 84+44+15 เรารวบรวมคำศัพท์ที่มีตัวแปรทางด้านซ้ายของความเท่าเทียมกัน และคำศัพท์อิสระทางด้านขวาของความเท่าเทียมกัน ในกรณีนี้ มีการใช้คุณสมบัติต่อไปนี้: เทอมใดๆ ของสมการสามารถถ่ายโอนจากส่วนหนึ่งของความเท่าเทียมกันได้ ดังนั้นจึงเปลี่ยนเครื่องหมายของเทอมไปในทางตรงกันข้าม

สมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรตัวเดียวจะมีรูปแบบทั่วไป
ขวาน + ข = 0
โดยที่ x คือตัวแปร a และ b คือสัมประสิทธิ์ อีกนัยหนึ่ง a เรียกว่า "สัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่ทราบ" b คือ "คำอิสระ"

ค่าสัมประสิทธิ์คือตัวเลขบางประเภท และการแก้สมการหมายถึงการค้นหาค่า x โดยที่นิพจน์ ax + b = 0 เป็นจริง ตัวอย่างเช่น เรามีสมการเชิงเส้น 3x – 6 = 0 การแก้สมการนี้หมายถึงการค้นหาว่า x ต้องเท่ากับเท่าใดเพื่อให้ 3x – 6 เท่ากับ 0 เมื่อทำการแปลง เราจะได้:
3x = 6
x = 2

ดังนั้นนิพจน์ 3x – 6 = 0 จึงเป็นจริงที่ x = 2:
3 * 2 – 6 = 0
2 คือ รากของสมการนี้- เมื่อคุณแก้สมการ คุณจะพบรากของมัน

ค่าสัมประสิทธิ์ a และ b สามารถเป็นตัวเลขใดก็ได้ แต่มีค่าดังกล่าวเมื่อรากของสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรหนึ่งตัวมีมากกว่าหนึ่งตัว

ถ้า a = 0 ดังนั้น ax + b = 0 จะกลายเป็น b = 0 โดยที่ x จะ “ถูกทำลาย” นิพจน์ b = 0 จะสามารถเป็นจริงได้ก็ต่อเมื่อความรู้ของ b เท่ากับ 0 กล่าวคือ สมการ 0*x + 3 = 0 เป็นเท็จ เนื่องจาก 3 = 0 เป็นข้อความเท็จ อย่างไรก็ตาม 0*x + 0 = 0 เป็นนิพจน์ที่ถูกต้อง จากนี้ เราสรุปได้ว่าถ้า a = 0 และ b ≠ 0 สมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรตัวหนึ่งไม่มีรากเลย แต่ถ้า a = 0 และ b = 0 สมการดังกล่าวจะมีจำนวนรากไม่สิ้นสุด

ถ้า b = 0 และ a ≠ 0 สมการจะอยู่ในรูปแบบ ax = 0 ชัดเจนว่าถ้า a ≠ 0 แต่ผลลัพธ์ของการคูณคือ 0 แล้ว x = 0 นั่นคือรากของสิ่งนี้ สมการคือ 0

หากไม่มี a และ b เท่ากับศูนย์ สมการ ax + b = 0 จะถูกแปลงเป็นรูปแบบ
x = –b/ก.
ค่าของ x ในกรณีนี้จะขึ้นอยู่กับค่าของ a และ b ยิ่งไปกว่านั้นก็จะเป็นเพียงคนเดียวเท่านั้น นั่นคือเป็นไปไม่ได้ที่จะได้รับค่า x ที่แตกต่างกันตั้งแต่สองค่าขึ้นไปโดยมีค่าสัมประสิทธิ์เดียวกัน ตัวอย่างเช่น,
–8.5x – 17 = 0
x = 17 / –8.5
x = –2
ไม่สามารถหาจำนวนอื่นนอกจาก –2 ได้โดยการหาร 17 ด้วย –8.5

มีสมการที่เมื่อมองแวบแรกไม่เหมือนกับรูปแบบทั่วไปของสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรตัวเดียว แต่สามารถแปลงเป็นสมการนั้นได้ง่าย ตัวอย่างเช่น,
–4.8 + 1.3x = 1.5x + 12

หากคุณย้ายทุกอย่างไปทางซ้าย 0 จะยังคงอยู่ทางด้านขวา:
–4.8 + 1.3x – 1.5x – 12 = 0

ตอนนี้สมการลดลงเป็นรูปแบบมาตรฐานและสามารถแก้ไขได้:
x = 16.8 / 0.2
x = 84

เมื่อแก้สมการเชิงเส้น เราพยายามหาราก ซึ่งก็คือค่าของตัวแปรที่จะเปลี่ยนสมการให้มีความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง

เพื่อค้นหารากของสมการที่คุณต้องการ การแปลงที่เท่ากันจะนำสมการที่มอบให้เรามาสู่รูปแบบ

\(x=[จำนวน]\)

หมายเลขนี้จะเป็นราก

นั่นคือ เราแปลงสมการ ทำให้แต่ละขั้นตอนง่ายขึ้น จนกระทั่งเราลดให้เป็นสมการดั้งเดิมโดยสมบูรณ์ "x = number" โดยที่รากชัดเจน การแปลงที่ใช้บ่อยที่สุดเมื่อแก้สมการเชิงเส้นมีดังต่อไปนี้:

ตัวอย่างเช่น: เพิ่ม \(5\) ทั้งสองข้างของสมการ \(6x-5=1\)

\(6x-5=1\) \(|+5\)
\(6x-5+5=1+5\)
\(6x=6\)

โปรดทราบว่าเราสามารถได้ผลลัพธ์เดียวกันเร็วขึ้นโดยเพียงแค่เขียนห้าตัวที่อีกด้านหนึ่งของสมการแล้วเปลี่ยนเครื่องหมาย จริงๆ แล้วโรงเรียน "โอนผ่านเท่ากับเปลี่ยนป้าย" ก็เป็นอย่างนี้นี่เอง

2. การคูณหรือหารทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวนหรือนิพจน์เดียวกัน

ตัวอย่างเช่น: หารสมการ \(-2x=8\) ด้วยลบสอง

\(-2x=8\) \(|:(-2)\)
\(x=-4\)

โดยทั่วไปขั้นตอนนี้จะดำเนินการในตอนท้ายสุด เมื่อสมการได้ลดลงเหลือรูปแบบ \(ax=b\) แล้ว และเราหารด้วย \(a\) เพื่อลบออกจากด้านซ้าย

3. การใช้คุณสมบัติและกฎของคณิตศาสตร์ เช่น วงเล็บเปิด การนำพจน์ที่คล้ายกัน การลดเศษส่วน เป็นต้น

เพิ่ม \(2x\) ซ้ายและขวา

ลบ \(24\) จากทั้งสองข้างของสมการ

เรานำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกันอีกครั้ง

ตอนนี้เราหารสมการด้วย \(-3\) โดยเอา X ด้านหน้าทางด้านซ้ายออก

คำตอบ : \(7\)

พบคำตอบแล้ว อย่างไรก็ตาม เรามาดูกันดีกว่า ถ้าเลขเจ็ดเป็นรากจริงๆ ดังนั้นเมื่อแทนที่มันแทน X ในสมการดั้งเดิม ควรได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง - ตัวเลขเดียวกันทางด้านซ้ายและด้านขวา มาลองกัน.

การตรวจสอบ:
\(6(4-7)+7=3-2\cdot7\)
\(6\cdot(-3)+7=3-14\)
\(-18+7=-11\)
\(-11=-11\)

มันได้ผล ซึ่งหมายความว่าเลขเจ็ดเป็นรากของสมการเชิงเส้นดั้งเดิมจริงๆ

อย่าขี้เกียจที่จะตรวจสอบคำตอบที่คุณพบโดยการแทนที่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากคุณกำลังแก้สมการในข้อสอบ

คำถามยังคงอยู่ - จะทราบได้อย่างไรว่าจะทำอย่างไรกับสมการในขั้นตอนต่อไป? จะแปลงมันอย่างไร? แบ่งอะไรสักอย่าง? หรือลบ? และฉันควรลบอะไรกันแน่? แบ่งตามอะไร?

คำตอบนั้นง่าย:

เป้าหมายของคุณคือการทำให้สมการอยู่ในรูปแบบ \(x=[number]\) นั่นคือ ทางด้านซ้ายคือ x ที่ไม่มีค่าสัมประสิทธิ์และตัวเลข และทางขวาเป็นเพียงตัวเลขที่ไม่มีตัวแปร ดังนั้นลองดูสิ่งที่หยุดคุณและ ทำสิ่งที่ตรงกันข้ามกับสิ่งที่องค์ประกอบที่รบกวนทำ

เพื่อให้เข้าใจสิ่งนี้ได้ดีขึ้น มาดูคำตอบของสมการเชิงเส้น \(x+3=13-4x\) ทีละขั้นตอนกัน

ลองคิดดู: สมการนี้แตกต่างจาก \(x=[number]\) อย่างไร? อะไรหยุดเรา? เกิดอะไรขึ้น?

ประการแรกทั้งสามรบกวน เนื่องจากทางด้านซ้ายควรมี X ตัวเดียวโดยไม่มีตัวเลข ทรอยก้า "ทำอะไร"? เพิ่มแล้วถึง X ดังนั้นเพื่อลบมันออก - ลบสามคนเดียวกัน แต่ถ้าเราลบสามตัวทางซ้าย เราต้องลบมันทางขวาเพื่อไม่ให้ความเท่าเทียมกัน.

\(x+3=13-4x\) \(|-3\)
\(x+3-3=13-4x-3\)
\(x=10-4x\)

ดี. ตอนนี้มีอะไรหยุดคุณ? \(4x\) ทางด้านขวา เพราะควรมีเฉพาะตัวเลขเท่านั้น \(4x\) หักแล้ว- เราลบ โดยการเพิ่ม.

\(x=10-4x\) \(|+4x\)
\(x+4x=10-4x+4x\)

ตอนนี้เรานำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกันทางซ้ายและขวา

มันเกือบจะพร้อมแล้ว สิ่งที่เหลืออยู่คือการลบห้าอันทางด้านซ้ายออก เธอกำลังทำอะไรอยู่"? ทวีคูณบน x งั้นเรามาเอามันออกกันดีกว่า แผนก.

\(5x=10\) \(|:5\)
\(\frac(5x)(5)\) \(=\)\(\frac(10)(5)\)
\(x=2\)

ผลเฉลยเสร็จสมบูรณ์ รากของสมการคือ 2 คุณสามารถตรวจสอบได้โดยการทดแทน

สังเกตว่า ส่วนใหญ่มักจะมีเพียงรากเดียวในสมการเชิงเส้น- อย่างไรก็ตาม อาจเกิดกรณีพิเศษได้ 2 กรณี

กรณีพิเศษ 1 – ไม่มีรากในสมการเชิงเส้น

ตัวอย่าง - แก้สมการ \(3x-1=2(x+3)+x\)

สารละลาย :

คำตอบ : ไม่มีราก

ในความเป็นจริง เราจะได้เห็นผลลัพธ์ดังกล่าวตั้งแต่เนิ่นๆ แม้ว่าเราจะได้รับ \(3x-1=3x+6\) ลองคิดดูว่า \(3x\) ที่เราลบ \(1\) และ \(3x\) ที่เราบวก \(6\) จะเท่ากันได้อย่างไร แน่นอน ไม่มีทาง เพราะพวกเขาทำสิ่งที่แตกต่างกับสิ่งเดียวกัน! เป็นที่ชัดเจนว่าผลลัพธ์จะแตกต่างกันไป

กรณีพิเศษ 2 – สมการเชิงเส้นมีจำนวนรากไม่สิ้นสุด

ตัวอย่าง - แก้สมการเชิงเส้น \(8(x+2)-4=12x-4(x-3)\)

สารละลาย :

คำตอบ : หมายเลขใดก็ได้

อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้สามารถสังเกตเห็นได้ชัดเจนแม้กระทั่งก่อนหน้านี้ในขั้นตอน: \(8x+12=8x+12\) แท้จริงแล้วซ้ายและขวาเป็นสำนวนเดียวกัน อะไรก็ตามที่คุณแทน X มันจะเป็นเลขเดียวกันทั้งตรงนั้นและตรงนั้น

สมการเชิงเส้นที่ซับซ้อนมากขึ้น

สมการดั้งเดิมไม่ได้ดูเหมือนสมการเชิงเส้นในทันทีเสมอไป บางครั้งสมการนั้น "ถูกปกปิด" เหมือนสมการอื่นที่ซับซ้อนกว่า อย่างไรก็ตาม ในกระบวนการเปลี่ยนแปลง การปลอมตัวก็หายไป

ตัวอย่าง - หารากของสมการ \(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)

สารละลาย :

\(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)		ดูเหมือนว่าจะมี x กำลังสองอยู่ที่นี่ - นี่ไม่ใช่สมการเชิงเส้น! แต่อย่ารีบเร่ง มาสมัครกัน
\(2x^(2)-(x^(2)-8x+16)=9+6x+x^(2)-15\)		เหตุใดผลลัพธ์การขยายจึงอยู่ในวงเล็บ \((x-4)^(2)\) แต่ผลลัพธ์ \((3+x)^(2)\) ไม่ใช่ เพราะมีเครื่องหมายลบหน้าจตุรัสแรกซึ่งจะทำให้ป้ายเปลี่ยนทั้งหมด และเพื่อไม่ให้ลืมสิ่งนี้ เราจะนำผลลัพธ์มาไว้ในวงเล็บซึ่งตอนนี้เราเปิดขึ้น
\(2x^(2)-x^(2)+8x-16=9+6x+x^(2)-15\)		เรานำเสนอเงื่อนไขที่คล้ายกัน
\(x^(2)+8x-16=x^(2)+6x-6\)
\(x^(2)-x^(2)+8x-6x=-6+16\)		เรานำเสนอสิ่งที่คล้ายกันอีกครั้ง
		แบบนี้. ปรากฎว่าสมการดั้งเดิมค่อนข้างเป็นเส้นตรง และ X กำลังสองก็ไม่มีอะไรมากไปกว่าหน้าจอที่ทำให้เราสับสน :) เราแก้สมการโดยการหารสมการด้วย \(2\) และเราก็ได้คำตอบ

คำตอบ : \(x=5\)

ตัวอย่าง - แก้สมการเชิงเส้น \(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6 )\)

สารละลาย :

\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\)		สมการนี้ดูไม่เป็นเส้นตรง แต่เป็นเศษส่วนบางประเภท... อย่างไรก็ตาม ลองกำจัดตัวส่วนด้วยการคูณทั้งสองข้างของสมการด้วยตัวส่วนร่วมของทั้งหมด – หกตัว
\(6\cdot\)\((\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3))\) \(=\) \(\frac( 9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		ขยายวงเล็บทางด้านซ้าย
\(6\cdot\)\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(6\cdot\)\(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		ทีนี้ลองลดตัวส่วนลง
\(3(x+2)-2=9+7x\)		ตอนนี้มันดูเหมือนเป็นเส้นตรงปกติ! มาจบกัน
		โดยการแปลเท่ากับ เราจะรวบรวม X ทางด้านขวาและตัวเลขทางด้านซ้าย
		เมื่อหารด้านขวาและซ้ายด้วย \(-4\) เราก็จะได้คำตอบ

คำตอบ : \(x=-1.25\)

สมการที่ไม่ทราบค่าซึ่งหลังจากเปิดวงเล็บและนำคำที่คล้ายกันมาใช้ก็จะเกิดเป็นสมการ

ขวาน + ข = 0โดยที่ a และ b เป็นตัวเลขใดๆ เรียกว่า สมการเชิงเส้น กับคนหนึ่งที่ไม่รู้จัก วันนี้เราจะมาดูวิธีแก้สมการเชิงเส้นเหล่านี้กัน

ตัวอย่างเช่น สมการทั้งหมด:

2x + 3= 7 – 0.5x; 0.3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - เชิงเส้น

เรียกว่าค่าของสิ่งที่ไม่ทราบซึ่งเปลี่ยนสมการให้กลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริง การตัดสินใจ หรือ รากของสมการ .

ตัวอย่างเช่นหากในสมการ 3x + 7 = 13 แทนที่จะเป็น x ที่ไม่รู้จักเราแทนที่ตัวเลข 2 เราจะได้ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง 3 2 +7 = 13 ซึ่งหมายความว่าค่า x = 2 คือคำตอบหรือรูท ของสมการ

และค่า x = 3 ไม่ได้เปลี่ยนสมการ 3x + 7 = 13 ให้กลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริง เนื่องจาก 3 2 +7 ≠ 13 ซึ่งหมายความว่าค่า x = 3 ไม่ใช่คำตอบหรือรากของสมการ

การแก้สมการเชิงเส้นใดๆ จะช่วยลดการแก้สมการของแบบฟอร์มได้

ขวาน + ข = 0

ลองย้ายพจน์อิสระจากด้านซ้ายของสมการไปทางขวา เปลี่ยนเครื่องหมายหน้า b ไปตรงกันข้าม เราจะได้

ถ้า a ≠ 0 แล้ว x = ‒ b/a .

ตัวอย่างที่ 1 แก้สมการ 3x + 2 =11

ลองย้าย 2 จากด้านซ้ายของสมการไปทางขวา เปลี่ยนเครื่องหมายหน้า 2 ไปทางตรงข้าม เราจะได้
3x = 11 – 2

งั้นเรามาลบกัน
3x = 9.

ในการหา x คุณต้องหารผลคูณด้วยตัวประกอบที่ทราบ ซึ่งก็คือ
x = 9:3.

ซึ่งหมายความว่าค่า x = 3 คือคำตอบหรือรากของสมการ

คำตอบ: x = 3.

ถ้า a = 0 และ b = 0จากนั้นเราจะได้สมการ 0x = 0 สมการนี้มีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน เนื่องจากเมื่อเราคูณตัวเลขใดๆ ด้วย 0 เราจะได้ 0 แต่ b ก็เท่ากับ 0 เช่นกัน วิธีแก้ของสมการนี้คือตัวเลขใดๆ ก็ได้

ตัวอย่างที่ 2แก้สมการ 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1

มาขยายวงเล็บ:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1

5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2

ต่อไปนี้เป็นคำที่คล้ายกัน:
0x = 0

คำตอบ: x - ตัวเลขใดก็ได้.

ถ้า a = 0 และ b ≠ 0จากนั้นเราจะได้สมการ 0x = - b สมการนี้ไม่มีคำตอบ เนื่องจากเมื่อเราคูณจำนวนใดๆ ด้วย 0 เราจะได้ 0 แต่ b ≠ 0

ตัวอย่างที่ 3แก้สมการ x + 8 = x + 5

มาจัดกลุ่มคำศัพท์ที่ไม่รู้จักทางด้านซ้าย และคำศัพท์อิสระทางด้านขวา:
x – x = 5 – 8

ต่อไปนี้เป็นคำที่คล้ายกัน:
0х = ‒ 3.

คำตอบ: ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

บน รูปที่ 1 แสดงแผนภาพสำหรับการแก้สมการเชิงเส้น

มาวาดโครงร่างทั่วไปสำหรับการแก้สมการด้วยตัวแปรตัวเดียวกัน ลองพิจารณาวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างที่ 4

ตัวอย่างที่ 4 สมมติว่าเราจำเป็นต้องแก้สมการ

1) คูณเงื่อนไขทั้งหมดของสมการด้วยตัวคูณร่วมน้อยของตัวส่วน ซึ่งเท่ากับ 12

2) หลังจากการลดลงที่เราได้รับ
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)

3) หากต้องการแยกคำศัพท์ที่มีคำศัพท์ที่ไม่รู้จักและคำศัพท์อิสระ ให้เปิดวงเล็บ:
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86

4) ให้เราจัดกลุ่มคำศัพท์ที่ไม่รู้จักเป็นส่วนหนึ่ง และอีกส่วนหนึ่ง - เงื่อนไขอิสระ:
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12

5) ให้เรานำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกัน:
- 22x = - 154.

6) หารด้วย – 22 เราได้
x = 7.

อย่างที่คุณเห็น รากของสมการคือเจ็ด

โดยทั่วไปดังกล่าว สมการสามารถแก้ไขได้โดยใช้โครงร่างต่อไปนี้:

ก) นำสมการมาสู่รูปแบบจำนวนเต็ม

b) เปิดวงเล็บ;

c) จัดกลุ่มคำศัพท์ที่มีสิ่งที่ไม่รู้อยู่ในส่วนหนึ่งของสมการ และคำศัพท์อิสระในอีกส่วนหนึ่ง

d) นำสมาชิกที่คล้ายกัน;

e) แก้สมการของรูปแบบ aх = b ซึ่งได้มาจากการนำเงื่อนไขที่คล้ายกันมา

อย่างไรก็ตาม โครงการนี้ไม่จำเป็นสำหรับทุกสมการ เมื่อแก้สมการที่ง่ายกว่าหลายสมการ คุณต้องไม่เริ่มจากสมการแรก แต่เริ่มจากสมการที่สอง ( ตัวอย่าง. 2), ที่สาม ( ตัวอย่าง. 13) และแม้กระทั่งจากระยะที่ห้าดังตัวอย่างที่ 5

ตัวอย่างที่ 5แก้สมการ 2x = 1/4

ค้นหาสิ่งที่ไม่รู้จัก x = 1/4: 2,
x = 1/8 .

มาดูการแก้สมการเชิงเส้นที่พบในการสอบสถานะหลักกัน

ตัวอย่างที่ 6แก้สมการ 2 (x + 3) = 5 – 6x

2x + 6 = 5 – 6x

2x + 6x = 5 – 6

คำตอบ: - 0.125

ตัวอย่างที่ 7แก้สมการ – 6 (5 – 3x) = 8x – 7

– 30 + 18x = 8x – 7

18x – 8x = – 7 +30

คำตอบ: 2.3

ตัวอย่างที่ 8 แก้สมการ

3(3x – 4) = 4 7x + 24

9x – 12 = 28x + 24

9x – 28x = 24 + 12

ตัวอย่างที่ 9หา f(6) ถ้า f (x + 2) = 3 7's

สารละลาย

เนื่องจากเราต้องค้นหา f(6) และเรารู้ f (x + 2)
จากนั้น x + 2 = 6

เราแก้สมการเชิงเส้น x + 2 = 6
เราได้ x = 6 – 2, x = 4

ถ้า x = 4 แล้ว
ฉ(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

คำตอบ: 27.

หากคุณยังคงมีคำถามหรือต้องการทำความเข้าใจการแก้สมการอย่างละเอียดมากขึ้น โปรดลงทะเบียนบทเรียนของฉันใน SCHEDULE ฉันยินดีที่จะช่วยคุณ!

TutorOnline ขอแนะนำให้ชมวิดีโอบทเรียนใหม่จากครูสอนพิเศษของเรา Olga Alexandrovna ซึ่งจะช่วยให้คุณเข้าใจทั้งสมการเชิงเส้นและอื่นๆ

เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา