Moderné problémy vedy a vzdelávania. Pozdĺžne kmity homogénnej tyče Príklady riešenia úloh

Tyč je teleso, ktorého jeden rozmer, nazývaný pozdĺžny, výrazne presahuje jeho rozmery v rovine kolmej na pozdĺžny smer, t.j. priečne rozmery. Hlavnou vlastnosťou tyče je odolnosť voči pozdĺžnemu stlačeniu (ťahu) a ohybu. Táto vlastnosť zásadne odlišuje prút od struny, ktorá sa nenaťahuje a nebráni ohybu. Ak je hustota materiálu tyče vo všetkých jej bodoch rovnaká, potom sa tyč nazýva homogénna.

Typicky sa rozšírené telesá ohraničené uzavretým valcovým povrchom považujú za tyče. V tomto prípade zostáva plocha prierezu konštantná. Budeme študovať správanie práve takejto jednotnej tyče dĺžky l, za predpokladu, že je vystavená iba stlačeniu alebo napätiu, v súlade s Hookovým zákonom. Pri štúdiu malých pozdĺžnych deformácií tyče, tzv hypotéza rovinných rezov. Spočíva v tom, že prierezy, ktoré sa pohybujú pod tlakom alebo ťahom pozdĺž tyče, zostávajú ploché a navzájom rovnobežné.

Nasmerujeme os X pozdĺž pozdĺžnej osi tyče (obr. 19) a budeme predpokladať, že v počiatočnom okamihu sú konce tyče v bodoch x=0 A x=l. Zoberme si ľubovoľnú časť tyče so súradnicou X. Označme podľa u(X,t) posunutie tohto úseku v čase t, potom posunutie úseku so súradnicou v tom istom čase sa bude rovnať

Potom relatívne predĺženie tyče v reze X budú rovné

Odporová sila voči tomuto predĺženiu podľa Hookovho zákona bude rovná

Kde E– modul pružnosti materiálu tyče (Youngov modul) a S – prierezová plocha. Na hraniciach úseku tyče s dĺžkou dx pôsobia na neho sily Tx A T x + dx, smerované pozdĺž osi X. Výslednica týchto síl sa bude rovnať

,

a zrýchlenie uvažovaného úseku tyče sa rovná , potom bude mať pohybová rovnica tohto úseku tyče tvar:

, (67)

Kde ρ – hustota materiálu tyče. Ak sú táto hustota a Youngov modul konštantné, potom môžeme zadať množstvo cez a vydelením oboch strán rovnice číslom Sdx, konečne získaj rovnica pozdĺžnych kmitov tyče v neprítomnosti vonkajších síl

(68)

Táto rovnica má rovnaký tvar ako rovnica pre priečne vibrácie strún a metódy riešenia pre to sú rovnaké, avšak koeficient a Tieto rovnice predstavujú rôzne veličiny. V reťazcovej rovnici množstvo a 2 predstavuje zlomok, ktorého čitateľom je konštantná napínacia sila struny - T a v menovateli lineárna hustota ρ a v reťazcovej rovnici čitatelia obsahujú Youngov modul a menovateľ - objemový hustota materiálu tyče ρ . Odtiaľ pochádza fyzikálny význam množstva a v týchto rovniciach je iný. Ak je pre strunu tento koeficient rýchlosť šírenia malého priečneho posunu, tak pre tyč je to rýchlosť šírenia malého pozdĺžneho natiahnutia alebo stlačenia a nazýva sa rýchlosť zvuku, pretože práve pri tejto rýchlosti sa budú pozdĺž tyče šíriť malé pozdĺžne vibrácie, ktoré predstavujú zvuk.

Pre rovnicu (68) sú nastavené počiatočné podmienky, ktoré určujú posun a rýchlosť posunu ktorejkoľvek časti tyče v počiatočnom čase:

Pre obmedzenú tyč sú podmienky upevnenia alebo pôsobenia sily na jej koncoch špecifikované formou okrajových podmienok 1., 2. a 3. druhu.

Okrajové podmienky prvého druhu špecifikujú pozdĺžne posunutie na koncoch tyče:

Ak sú konce tyče nehybné, potom za podmienok (6) . V tomto prípade, ako pri probléme kmitania upnutej struny, aplikujeme metódu separácie premenných.

V okrajových podmienkach druhého druhu sú na koncoch tyče špecifikované elastické sily, ktoré sú výsledkom deformácie podľa Hookovho zákona v závislosti od času. Podľa vzorca (66) sa tieto sily až do konštantného faktora rovnajú derivácii u x, preto sú na konci tieto derivácie špecifikované ako funkcie času:

Ak je jeden koniec tyče voľný, potom na tomto konci u x = 0.

Okrajové podmienky tretieho druhu možno znázorniť ako podmienky, za ktorých je na každom konci tyče pripevnená pružina, ktorej druhý koniec sa pohybuje pozdĺž osi podľa daného časového zákona. θ (t), ako je znázornené na obr. 20. Tieto podmienky možno spísať nasledovne

, (72)

Kde k 1 a k 2 – tuhosť pružiny.

Ak na tyč pôsobí aj vonkajšia sila pozdĺž osi p(X,t), vypočítané na jednotku objemu, potom namiesto rovnice (50) treba napísať nehomogénnu rovnicu

,

Ktorý po rozdelení dostane podobu

, (73)

Kde . Rovnica (73) je rovnica vynútených pozdĺžnych vibrácií tyče, ktorá je riešená analogicky s rovnicou vynútených vibrácií struny.

Komentujte. Treba si uvedomiť, že výplet aj prút sú modely skutočných tiel, ktoré v skutočnosti môžu vykazovať vlastnosti výpletu aj prútu v závislosti od podmienok, v ktorých sa nachádzajú. Výsledné rovnice navyše neberú do úvahy odporové sily prostredia a sily vnútorného trenia, v dôsledku čoho tieto rovnice opisujú netlmené kmitanie. Na zohľadnenie tlmiaceho účinku sa v najjednoduchšom prípade používa disipačná sila, úmerná rýchlosti a smerujúca v smere opačnom k ​​pohybu, t.j. rýchlosť. Výsledkom je, že rovnica (73) nadobúda tvar

(74)

1

Na riešenie problému pozdĺžnych vibrácií tyčí stupňovito premenlivého prierezu je navrhnutá frekvenčná metóda s alebo bez zohľadnenia rozptylu energie pri náraze na tuhú prekážku. Rovnica pozdĺžnych vibrácií tyče je transformovaná podľa Laplacea za prítomnosti nenulových počiatočných podmienok. Je vyriešený okrajový problém, ktorý spočíva v nájdení Laplace-transformovaných okrajových pozdĺžnych síl ako funkcií okrajových posunov. Potom sa zostaví systém rovnovážnych rovníc pre uzly, ktorých riešením sa zostrojia amplitúdovo-fázovo-frekvenčné charakteristiky (APFC) pre úseky skúmanej tyče. Vykonaním inverznej Laplaceovej transformácie sa vytvorí prechodový proces. Ako skúšobný príklad je uvažovaná tyč s konštantným prierezom konečnej dĺžky. Uvádza sa porovnanie so známym vlnovým riešením. Navrhovaná metóda dynamického výpočtu tyče pri zrážke s tuhou prekážkou umožňuje zovšeobecnenie na ľubovoľný tyčový systém za prítomnosti neobmedzeného počtu elasticky pripevnených hmôt s ľubovoľnou silou pôsobiacou na koncoch a po dĺžke tyče. tyč.

Frekvenčná metóda

pozdĺžne vibrácie tyče

1. Biderman, V.L. Aplikovaná teória mechanických vibrácií / V.L. Biderman. – M.: Vyššia škola, 1972. – 416 s.

2. Lavrentiev, M.A. Metódy teórie funkcií komplexnej premennej / M.A. Lavrentiev, B.V. Šabat. – M.: Nauka, 1973. – 736 s.

3. Sankin, Yu.N. Dynamické charakteristiky viskoelastických systémov s rozloženými parametrami / Yu.N. Sankin. – Saratov: Vydavateľstvo Sarat. Univerzita, 1977. – 312 s.

4. Sankin, Yu.N. Nestále vibrácie tyčových systémov pri kolízii s prekážkou / Yu.N. Sankin, N.A. Yuganova; pod všeobecným vyd. Yu.N. Sankina. – Uljanovsk: Uljanovská štátna technická univerzita, 2010. – 174 s.

5. Sankin, Y.N. Pozdĺžne vibrácie pružných tyčí stupňovito premenlivého prierezu narážajúce na tuhú prekážku \ Yu. N. Sankin a N.A. Yuganova, J. Appl. Maths Mechs, Vol. 65, č. 3, s. 427-433, 2001.

Uvažujme frekvenčnú metódu riešenia problému pozdĺžnych kmitov tyčí stupňovito premenlivého prierezu s alebo bez zohľadnenia disipácie energie pri náraze na tuhú prekážku, ktorú porovnáme so známym vlnovým riešením a riešením v formou série vibračných režimov (14).

Diferenciálna rovnica pre pozdĺžne vibrácie tyče, berúc do úvahy sily vnútorného odporu, má tvar:

Stanovme si nasledujúce hraničné a počiatočné podmienky:

. (2)

Transformujme rovnicu (1) a okrajové podmienky (2) podľa Laplacea pre dané počiatočné podmienky (2). Potom rovnicu (2) a okrajové podmienky (2) zapíšeme takto:

; (3)

,

kde sú Laplace-transformované posuny hrotov tyče; p je parameter Laplaceovej transformácie.

Rovnica (3) bez zohľadnenia disipácie energie (pri = 0) bude mať tvar:

. (4)

Pre výslednú nehomogénnu diferenciálnu rovnicu je vyriešený okrajový problém, ktorý spočíva v nájdení Laplace-transformovaných okrajových pozdĺžnych síl ako funkcií okrajových posunov.

Za týmto účelom zvážte homogénnu rovnicu pozdĺžnych vibrácií tyče s prihliadnutím na rozptyl energie

(5)

Určenie

a prechodom na novú premennú dostaneme namiesto (5)

(6)

Ak, kde je parameter frekvencie, potom

.

Riešenie homogénnej rovnice (6) má tvar:

Z počiatočných podmienok nájdeme integračné konštanty c1 a c2:

u = u0; N = N0,

Tie. ;

Toto riešenie zodpovedá nasledujúcej prenosovej matici:

. (7)

Nahradením výsledných výrazov pre prvky prenosovej matice do vzorcov metódy posunu získame:

; (8)

;

Indexy n a k označujú začiatok a koniec časti tyče. A geometrické a fyzikálne konštanty s indexmi nk a kn sa vzťahujú na konkrétny úsek tyče.

Rozdelením tyče na prvky pomocou vzorcov (8) zostavíme rovnice pre dynamickú rovnováhu uzlov. Tieto rovnice predstavujú sústavu rovníc pre neznáme uzlové posuny. Pretože zodpovedajúce koeficienty sa získajú presnou integráciou, dĺžka tyčových častí nie je obmedzená.

Riešením výsledného systému rovníc pre zostavíme amplitúdovo-fázovo-frekvenčné charakteristiky pre úseky tyče, ktoré nás zaujímajú. Tieto AFC možno považovať za grafický obraz jednosmernej Fourierovej transformácie, ktorá sa pri pulzných vplyvoch zhoduje s Laplaceovou transformáciou. Keďže všetky singulárne body zodpovedajúcich výrazov ležia naľavo od imaginárnej osi, inverznú transformáciu možno vykonať za predpokladu , t.j. pomocou skonštruovaných AFC. Pomocná je úloha konštrukcie AFC, kde sa pole počiatočných rýchlostí vynásobených hustotou tyče javí ako silové pôsobenie. Typicky sú AFC konštruované vplyvom rušivých síl, potom sa inverzná Laplaceova transformácia vykonáva numerickou integráciou alebo nejakou inou metódou.

Ako jednoduchý príklad uvažujme priamu tyč dĺžky l, ktorá pozdĺžne naráža na tuhú prekážku rýchlosťou V0 (obr. 1).

Určme posunutie bodov tyče po dopade. Budeme predpokladať, že po dopade zostane kontakt medzi prekážkou a tyčou, t.j. nedochádza k odrazu tyče. Ak je spojenie neobsahujúce, problém možno považovať za po častiach lineárny. Kritériom prechodu na inú možnosť riešenia je zmena znamienka rýchlosti v mieste dotyku.

V monografii Lavrentyeva M.A., Shabat B.V. vlnové riešenie rovnice (4) je dané:

a našiel sa jeho originál

, (9)

kde je funkcia jednotkového kroku.

Iný prístup k riešeniu tohto problému môže byť uskutočnený frekvenčnou metódou opísanou v. V súvislosti s týmto problémom budeme mať:

; ;

; ;

; ;

. (10)

Poďme nájsť originál (11)

Vyriešme rovnaký problém pomocou frekvenčnej metódy. Z rovnice rovnováhy 1. uzla:

(12)

získame vzorec na pohyb konca tyče.

Ak je teraz skúšobná tyč s konštantným prierezom rozdelená na dva ľubovoľné úseky dĺžky l1 a l2 (pozri obr. 1), potom budú podmienky rovnováhy pre uzly nasledovné:

(13)

Výsledkom riešenia systému (13) sú grafy fázovo-frekvenčnej odozvy pre posuny v 1. a 2. sekcii (U1, resp. U2). Obraz pre posunutie hrany v uzavretej forme, berúc do úvahy stratu energie, sa v prípade (12) a (13) zhoduje a má tvar:

. (14)

Na konci prúta skontrolujeme zhodu výsledkov. Na obr. Obrázok 2 ukazuje grafy riešenia (10) pri x = 10,1 a ako výsledok systému riešenia (13). Sú úplne rovnaké.

Na získanie prechodného procesu možno použiť diskrétnu Fourierovu transformáciu. Výsledok možno získať vykonaním numerickej integrácie pri t=0... pomocou vzorca

. (15)

V AFC (pozri obr. 2) sa výrazne prejavuje iba jeden viditeľný obrat. Preto by sa mal použiť jeden termín série (15). Grafy na obrázku 3 ukazujú, ako presne sa riešenie (9) a riešenie pre vibračné režimy (11) zhodujú s navrhovaným frekvenčným riešením. Chyba nepresahuje 18 %. Výsledný nesúlad je vysvetlený skutočnosťou, že riešenia (9) a (11) neberú do úvahy stratu energie v materiáli tyče.

Ryža. 3. Prechodný proces na konci tyče; 1, 2, 3 - grafy zostrojené podľa vzorcov (9), (11), (15).

Ako komplexnejší príklad uvažujme problém pozdĺžnych kmitov stupňovitej tyče (obr. 4) so ​​záťažou na konci, ktorá naráža na tuhú prekážku rýchlosťou V0 a hmotnosť záťaže nech sa rovná hmotnosti susednej časti tyče:.

Ryža. 4. Výpočtový diagram pozdĺžnych kmitov stupňovitej tyče so záťažou na konci

Uveďme charakteristické úseky 1,2,3 tyče, v ktorých budeme počítať posuvy. Vytvorme systém riešenia rovníc:

(16)

Výsledkom riešenia systému (16) sú grafy fázovo-frekvenčnej odozvy (obr. 5) pre posuny v druhej a tretej sekcii (U2(), resp. U3(). Výpočty sa uskutočnili s nasledujúcimi konštantnými hodnotami: l = 2 m; E = 2,1 x 1011 Pa; F = 0,06 m2; = 7850 kg/m3; V = 10 m/s. V získaných AFC sa výrazne prejavujú len dva viditeľné obraty. Preto pri konštrukcii prechodového procesu vo vybraných úsekoch berieme dva členy radu (16). Ak to chcete urobiť, musíte najprv určiť

Ryža. 5. AFC posunov v druhej a tretej časti stupňovitej tyče (pozri obr. 4)

Proces prechodu je konštruovaný podobne pomocou vzorca (15).

Záver: Bola vyvinutá metóda na výpočet pozdĺžnych vibrácií tyčí pri náraze na prekážku.

Recenzenti:

Lebedev A.M., doktor technických vied, docent, profesor Uljanovskej vyššej leteckej školy (inštitútu), Uljanovsk.

Antonets I.V., doktor technických vied, profesor Uljanovskej štátnej technickej univerzity v Uljanovsku.

Bibliografický odkaz

Yuganova N.A. POZDĹŽNE VIBRÁCIE TYČOV PRI NÁRAZE S TVRDOU PREKÁŽKOU // Moderné problémy vedy a vzdelávania. – 2014. – č. 2.;
URL: http://science-education.ru/ru/article/view?id=12054 (dátum prístupu: 15.01.2020). Dávame do pozornosti časopisy vydávané vydavateľstvom „Akadémia prírodných vied“

Voľné kmity systémov s rozloženými parametrami

Hlavná črta procesu voľných kmitov systémov s nekonečným počtom stupňov voľnosti je vyjadrená v nekonečnosti počtu vlastných frekvencií a tvarov vidov. S tým sú spojené aj matematické črty: namiesto obyčajných diferenciálnych rovníc, ktoré opisujú kmitanie sústav s konečným počtom stupňov voľnosti, sa tu musíme zaoberať parciálnymi diferenciálnymi rovnicami. Okrem počiatočných podmienok, ktoré určujú počiatočné posuny a rýchlosti, je potrebné vziať do úvahy aj okrajové podmienky, ktoré charakterizujú fixáciu systému.

6.1. Pozdĺžne vibrácie tyčí

Pri analýze pozdĺžnych vibrácií rovnej tyče (obr. 67, a) budeme predpokladať, že prierezy zostávajú ploché a že častice tyče nevykonávajú priečne pohyby, ale pohybujú sa iba v pozdĺžnom smere.

Nechaj u - pozdĺžny pohyb prúdovej časti tyče počas vibrácií; tento pohyb závisí od polohy úseku (súradnice x) a od času t. Existuje teda funkcia dvoch premenných; jeho definícia predstavuje hlavnú úlohu. Posun nekonečne úzkeho úseku je rovný , preto je absolútne predĺženie nekonečne malého prvku rovné (obr. 67, b) a jeho relatívne predĺženie je .

Podľa toho aj pozdĺžna sila v reze so súradnicou X možno napísať ako

,(173)

kde je tuhosť tyče v ťahu (v tlaku). Sila N je tiež funkciou dvoch argumentov - súradníc X a čas t.

Uvažujme tyčový prvok umiestnený medzi dvoma nekonečne blízkymi časťami (obr. 67, c). Sila N pôsobí na ľavú stranu prvku a sila pôsobí na pravú stranu. Ak označíme hustotu materiálu tyče, potom hmotnosť príslušného prvku je . Preto pohybová rovnica v projekcii na os X

,

Zvažovanie(173)a prijímanie A= const, dostaneme

Podľa Fourierovej metódy hľadáme konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice (175) v tvare

,(177)

tie. predpokladajme, že pohyb u môže byť reprezentovaný ako súčin dvoch funkcií, z ktorých jedna závisí len od argumentu X, a druhý len z argumentu t. Potom namiesto definovania funkcie dvoch premenných u (x, t) je potrebné definovať dve funkcie X(x) a T(t), z ktorých každá závisí len od jednej premennej.

Dosadením (177) do (174) dostaneme

kde prvočísla označujú operáciu diferenciácie vzhľadom na X a bodkami t. Prepíšme túto rovnicu takto:

Tu ľavá strana závisí iba od x a pravá strana iba od t. Aby táto rovnosť platila identicky (pre akékoľvek X a t) je potrebné, aby sa každá jeho časť rovnala konštante, ktorú označíme:

; .(178)

To vedie k dvom rovniciam:

;.(179)

Prvá rovnica má riešenie:

,(180)

označujúci kmitavý charakter a z (180) je zrejmé, že neznáma veličina má význam frekvencie voľných kmitov.

Druhá z rovníc (179) má riešenie:

,(181)

určenie tvaru vibrácií.

Frekvenčná rovnica, ktorá určuje hodnotu, je zostavená pomocou okrajových podmienok. Táto rovnica je vždy transcendentálna a má nekonečný počet koreňov. Počet vlastných frekvencií je teda nekonečný a každej frekvenčnej hodnote zodpovedá vlastná funkcia T n (t), určená závislosťou (180), a vlastná funkcia Xn (x), určená závislosťou (181). Riešenie (177) je len čiastočné a neposkytuje úplný popis pohybu. Úplné riešenie sa získa superponovaním všetkých čiastkových riešení:

.

Volajú sa funkcie X n (x). vlastné funkcie problémy a popísať ich vlastné spôsoby vibrácií. Nezávisia od počiatočných podmienok a spĺňajú podmienku ortogonality, ktorá má pre A = const tvar

, Ak .

Uvažujme o niektorých možnostiach okrajových podmienok.

Pevný koniec tyče(Obr. 68, a). Na koncovom úseku musí byť posunutie u nulové; z toho vyplýva, že v tejto časti

X = 0 (182)

Voľný koniec tyče(obr. 68, b). Na koncovom úseku pozdĺžna sila

(183)

musí byť zhodne rovné nule, čo je možné, ak na koncovom úseku X"=0.

Odolný koniec tyče(Obr. 68, c).

Pri pohybe u koncovej tyče dochádza k pružnej podpornej reakcii , kde C o je tuhosť podpery. Ak vezmeme do úvahy (183) pre pozdĺžnu silu, získame okrajovú podmienku

ak je podpora umiestnená na ľavom konci tyče (obr. 68, c), a

ak je podpera umiestnená na pravom konci tyče (obr. 68, d).

Koncentrovaná hmota na konci tyče.

Zotrvačná sila vyvinutá hmotou:

.

Keďže podľa prvej z rovníc (179) je možné zotrvačnú silu zapísať v tvare . Dostaneme okrajovú podmienku

,

ak je hmota na ľavom konci (obr. 68, d), a

, (184)

ak je hmota spojená s pravým koncom (obr. 68, e).

Určme vlastné frekvencie konzolovej tyče (obr. 68,a“).

Podľa (182) a (183) okrajové podmienky

X = 0 pri x = 0;

X" = 0 at x= .

Dosadením týchto podmienok po jednej do riešenia (181) dostaneme

Podmienka C0 vedie k frekvenčnej rovnici:

Korene tejto rovnice

(n=1,2,…)

určiť vlastné frekvencie:

(n=1,2,...).(185)

Prvá (najnižšia) frekvencia pri n=1:

.

Druhá frekvencia (pri n=2):

Určme vlastné frekvencie tyče s hmotnosťou na konci (obr. 68, f).

Podľa (182) a (184) máme

X=0 pri x=0;

pri x= .

Dosadením týchto podmienok do riešenia (181) dostaneme:

D = 0; .

V dôsledku toho má frekvenčná rovnica pri zohľadnení (176) tvar

.

Tu pravá strana predstavuje pomer hmotnosti tyče k hmotnosti koncového zaťaženia.

Na vyriešenie výslednej transcendentálnej rovnice je potrebné použiť nejakú približnú metódu.

At a hodnoty najdôležitejšieho najnižšieho koreňa budú 0,32 a 0,65.

Pri malom pomere má záťaž rozhodujúci vplyv a približné riešenie dáva dobré výsledky

.

Pre tyče s premenlivým prierezom, t.j. pre Аconst sa z (173) a (174) získa pohybová rovnica v tvare

.

Túto diferenciálnu rovnicu nemožno riešiť v uzavretej forme. Preto je v takýchto prípadoch potrebné uchýliť sa k približným metódam určovania vlastných frekvencií.

6.2. Torzné vibrácie hriadeľov

Torzné vibrácie hriadeľov s kontinuálne rozloženou hmotou (obr. 69, a) sú opísané rovnicami, ktoré sa v štruktúre úplne zhodujú s vyššie uvedenými rovnicami pre pozdĺžne vibrácie tyčí.

Krútiaci moment M v reze s úsečkou X súvisí s uhlom rotácie diferenciálnou závislosťou podobnou (173):

Kde Jp-polárny moment zotrvačnosti prierezu.

V časti umiestnenej na diaľku dx, krútiaci moment sa rovná (obr. 69, b):

Označuje cez (kde je hustota materiálu hriadeľa) intenzitu momentu zotrvačnosti hmoty hriadeľa vzhľadom na jeho os (t.j. moment zotrvačnosti na jednotku dĺžky), pohybovú rovnicu elementárnej časti hriadeľa možno napísať nasledovne:

,

alebo podobne (174):

.

Nahradenie výrazu (186) tu, s Jp=const dostaneme podobne ako (175):

, (187)

Všeobecné riešenie rovnice (187), podobne ako rovnica (175), má tvar

,

(188)

Prirodzené frekvencie a vlastné funkcie sú určené špecifickými okrajovými podmienkami.

V hlavných prípadoch upevnenia koncov, podobne ako v prípade pozdĺžnych vibrácií, získame

a) pevný koniec (=0): X=0;

b) voľný koniec (M=0): X"=0;

V) odolnýľavý koniec: CoХ=GJpX "(Koeficient tuhosti);

G) odolný pravý koniec: -CoX=GJpX";

e) disk na ľavom konci: (Jo je moment zotrvačnosti disku vzhľadom na os tyče);

e) disk na pravom konci: .

Ak je hriadeľ upevnený na ľavom konci (x=0) a pravý koniec (x=) je voľný, potom X=0 pri x=0 a X"=0 pri x=; vlastné frekvencie sa určujú podobne ako ( 185):

(n=1,2,...).

Ak je ľavý koniec pevný a na pravom konci je disk, dostaneme transcendentálnu rovnicu:

.

Ak sú oba konce hriadeľa pevné, potom budú okrajové podmienky X=0 pre x=0 a x=. V tomto prípade z (188) získame

tie.

(n=1,2,...),

odtiaľto nájdeme prirodzené frekvencie:

Ak je ľavý koniec hriadeľa voľný a na pravom konci je disk, potom X"=0 pre x=0;Jo X=GJpX"pre x=.

Pomocou (188) nájdeme

C=0; ,

alebo transcendentálna frekvenčná rovnica:

.

6.3. Ohybové kmitanie nosníkov

6.3.1 Základná rovnica

Z kurzu o pevnosti materiálov sú známe diferenciálne závislosti pre ohybové nosníky:

kde EJ je tuhosť v ohybe; y=y (x, t) - priehyb; M=M(x, t) - ohybový moment; q je intenzita rozloženého zaťaženia.

Kombináciou (189) a (190) dostaneme

.(191)

V probléme voľných vibrácií sú záťažou pre elastickú kostru rozložené zotrvačné sily:

kde m je intenzita hmotnosti lúča (hmotnosť na jednotku dĺžky) a rovnica (191) má tvar

.

V špeciálnom prípade konštantného prierezu, keď EJ = const, m = const, máme:

.(192)

Na vyriešenie rovnice (192) predpokladáme, ako je uvedené vyššie,

r= X ( X)× T ( t).(193)

Dosadením (193) do (192) dospejeme k rovnici:

.

Aby bola táto rovnosť naplnená identicky, je potrebné, aby každá z častí rovnosti bola konštantná. Označením tejto konštanty dostaneme dve rovnice:

.(195)

Prvá rovnica naznačuje, že pohyb je oscilačný s frekvenciou.

Druhá rovnica určuje tvar vibrácií. Riešenie rovnice (195) obsahuje štyri konštanty a má tvar

Je vhodné použiť variant písania všeobecného riešenia navrhnutého A.N. Krylovom:

(198)

zastupujú funkcie A.N. Krylova.

Venujme pozornosť tomu, že S=1, T=U=V=0 pri x=0. Funkcie S,T,U,V sú vzájomne prepojené nasledovne:

Preto sa odvodené výrazy (197) píšu vo forme

(200)

V problémoch uvažovanej triedy je počet vlastných frekvencií nekonečne veľký; každý z nich má svoju časovú funkciu T n a svoju základnú funkciu X n . Všeobecné riešenie sa získa zavedením čiastočných riešení v tvare (193)

.(201)

Na určenie vlastných frekvencií a vzorcov je potrebné zvážiť okrajové podmienky.

6.3.2. Hraničné podmienky

Pre každý koniec pruhu môžete zadať dve okrajové podmienky .

Voľný koniec tyče(Obr. 70, a). Priečna sila Q=EJX""T a ohybový moment M=EJX""T sa rovnajú nule. Preto majú okrajové podmienky tvar

X"" = 0; X"""=0 .(202)

Sklopný podopretý koniec tyče(obr. 70, b). Priehyb y=XT a ohybový moment M=EJX""T sa rovnajú nule. Preto sú okrajové podmienky:

X = 0; X""=0.(203)

Zovretý koniec(Obr. 70, c). Vychýlenie y=XT a uhol natočenia sa rovnajú nule. Hraničné podmienky:

X = 0; X" = 0. (204)

Na konci tyče je bodová hmota(Obr. 70, d). Jeho zotrvačná sila možno zapísať pomocou rovnice (194) takto: ; musí sa rovnať šmykovej sileQ=EJX"""T, takže okrajové podmienky nadobúdajú tvar

; X""=0.(205)

V prvej podmienke sa berie znamienko plus, keď je bodové zaťaženie pripojené k ľavému koncu tyče, a znamienko mínus, keď je pripojené k pravému koncu tyče. Druhá podmienka vyplýva z absencie ohybového momentu.

Elasticky podoprený koniec tyče(Obr. 70, d). Tu je ohybový moment nulový a priečna sila Q=EJX"""T sa rovná reakcii podpory (C o - koeficient tuhosti podpery).

Hraničné podmienky:

X"" = 0; (206)

(znamienko mínus sa berie, keď je elastická podpora vľavo, a znamienko plus, keď je vpravo).

6.3.3. Frekvenčná rovnica a vlastné tvary

Rozšírené zaznamenávanie okrajových podmienok vedie k homogénnym rovniciam vzhľadom na konštanty C 1, C 2, C 3, C 4.

Aby sa tieto konštanty nerovnali nule, determinant tvorený koeficientmi systému sa musí rovnať nule; to vedie k frekvenčnej rovnici. Pri týchto operáciách sa vyjasňujú vzťahy medzi C 1, C 2, C 3, C 4, t.j. sú určené režimy prirodzených vibrácií (až do konštantného faktora).

Pozrime sa na zloženie frekvenčných rovníc pomocou príkladov.

Pre nosník s kĺbovými koncami máme podľa (203) tieto okrajové podmienky: X=0; X""=0 pre x=0 a x= . Pomocou (197)-(200) získame z prvých dvoch podmienok: C 1 =C 3 =0. Dve zostávajúce podmienky možno zapísať ako

Aby sa C 2 a C 4 nerovnali nule, determinant sa musí rovnať nule:

.

Frekvenčná rovnica má teda tvar

.

Dosadením výrazov T a U dostaneme

Pretože konečná frekvenčná rovnica je napísaná takto:

. (207)

Korene tejto rovnice sú:

,(n = 1,2,3,...).

Ak vezmeme do úvahy (196), dostaneme

.(208)

Prejdime k definovaniu vlastných foriem. Z vyššie napísaných homogénnych rovníc vyplýva nasledujúci vzťah medzi konštantami C 2 a C 4:

.

V dôsledku toho(197) nadobúda formu

Podľa (207) máme

,(209)

kde je nová konštanta, ktorej hodnota zostáva neistá, kým sa nezohľadnia počiatočné podmienky.

6.3.4. Určenie pohybu na základe počiatočných podmienok

Ak je potrebné určiť pohyb po počiatočnom rušení, potom je potrebné uviesť počiatočné posuny aj počiatočné rýchlosti pre všetky body lúča:

(210)

a použiť vlastnosť ortogonality vlastných tvarov:

.

Všeobecné riešenie (201) napíšeme takto:

.(211)

Rýchlosť je daná podľa

.(212)

Dosadením počiatočných posunov a rýchlostí, o ktorých sa predpokladá, že sú známe, na pravú stranu rovníc (211) a (212) a na ľavú stranu dostaneme

.

Vynásobením týchto výrazov a integrovaním po celej dĺžke máme

(213)

Nekonečné sumy na pravej strane zmizli kvôli vlastnosti ortogonality. Z (213) postupujte podľa vzorcov pre konštanty a

(214)

Teraz je potrebné tieto výsledky nahradiť riešením (211).

Ešte raz zdôraznime, že výber škály vlastných tvarov nie je dôležitý. Ak napríklad vo vyjadrení vlastného tvaru (209) vezmeme namiesto toho hodnotu, ktorá je krát väčšia, potom (214) dá výsledky, ktoré sú krát menšie; po substitúcii do roztoku (211) sa tieto rozdiely vzájomne kompenzujú. Napriek tomu často používajú normalizované vlastné funkcie, pričom svoju mierku volia tak, že menovatele výrazov (214) sú rovné jednej, čo zjednodušuje výrazy a .

6.3.5. Účinok konštantnej pozdĺžnej sily

Uvažujme prípad, keď na kmitajúci lúč pôsobí pozdĺžna sila N, ktorej veľkosť sa počas kmitania nemení. V tomto prípade sa rovnica statického ohybu skomplikuje a nadobúda tvar (za predpokladu, že tlaková sila sa považuje za pozitívnu)

.

Za predpokladu a uvažovania konštanty tuhosti dostaneme rovnicu voľných vibrácií

.(215)

Naďalej akceptujeme konkrétne riešenie vo formulári.

Potom sa rovnica (215) rozdelí na dve rovnice:

Prvá rovnica vyjadruje oscilačnú povahu riešenia, druhá určuje tvar oscilácií a tiež umožňuje nájsť frekvencie. Prepíšme to takto:

(216)

Kde K je určená vzorcom (196) a

Riešenie rovnice (216) má tvar

Zoberme si prípad, keď oba konce tyče majú sklopné podpery. Podmienky na ľavom konci dať . Splnením rovnakých podmienok na pravom konci dostaneme

Vynulovaním determinantu zloženého z koeficientov pre veličiny a sa dostaneme k rovnici

Korene tejto frekvenčnej rovnice sú:

Preto sa vlastná frekvencia určí z rovnice

.

Odtiaľ, berúc do úvahy (217), nájdeme

.(219)

Pri natiahnutí sa frekvencia zvyšuje, pri stlačení klesá. Keď sa tlaková sila N priblíži kritickej hodnote, koreň má tendenciu k nule.

6.3.6. Účinok reťazových síl

Predtým sa pozdĺžna sila považovala za danú a nezávislú od posunov systému. Pri niektorých praktických problémoch pozdĺžna sila sprevádzajúca proces priečnych kmitov vzniká ohybom nosníka a má charakter podpernej reakcie. Zvážte napríklad nosník na dvoch sklopných a pevných podperách. Pri ohýbaní dochádza k horizontálnym reakciám podpier, čo spôsobuje natiahnutie nosníka; zodpovedajúca horizontálna sila sa zvyčajne nazýva reťazová sila. Ak lúč kmitá priečne, sila reťaze sa časom zmení.

Ak v okamihu t sú vychýlenia lúča určené funkciou, potom možno predĺženie osi nájsť pomocou vzorca

.

Zodpovedajúcu reťazovú silu nájdeme pomocou Hookovho zákona

.

Tento výsledok dosadíme do (215) namiesto pozdĺžnej sily N (berúc do úvahy znamienko)

.(220)

Výsledný nelineárny integrdiferenciálny rovnica je zjednodušená pomocou substitúcie

,(221)

kde je bezrozmerná funkcia času, ktorej maximálna hodnota sa môže rovnať ľubovoľnému číslu, napríklad jednotke; amplitúda kmitov.

Dosadením (221) do (220) dostaneme obyčajnú diferenciálnu rovnicu

,(222)

ktorého koeficienty majú tieto hodnoty:

;.

Diferenciálna rovnica (222) je nelineárna, preto frekvencia voľných kmitov závisí od ich amplitúdy.

Presné riešenie frekvencie priečnych vibrácií má tvar

kde je frekvencia priečnych vibrácií vypočítaná bez zohľadnenia reťazových síl; korekčný faktor v závislosti od pomeru amplitúdy kmitania k polomeru otáčania prierezu; hodnota je uvedená v referenčnej literatúre.

Keď sú amplitúda a polomer otáčania prierezu úmerné, korekcia frekvencie sa stáva významnou. Ak sa napríklad amplitúda vibrácií kruhovej tyče rovná jej priemeru, potom a frekvencia je takmer dvakrát väčšia ako v prípade voľného posunutia podpier.

Prípad zodpovedá nulovej hodnote polomeru zotrvačnosti, kedy je ohybová tuhosť nosníka mizivo malá - struna. Zároveň vzorec pre dáva neistotu. Odhalením tejto neistoty získame vzorec pre frekvenciu vibrácií struny

.

Tento vzorec platí pre prípad, keď je napätie v rovnovážnej polohe nulové. Problém oscilácií strún je často kladený za iných predpokladov: predpokladá sa, že posuny sú malé a ťahová sila je daná a zostáva nezmenená počas procesu oscilácie.

V tomto prípade má vzorec pre frekvenciu tvar

kde N je konštantná ťahová sila.

6.4. Účinok viskózneho trenia

Predtým sa predpokladalo, že materiál tyčí je dokonale elastický a nedochádza k treniu. Uvažujme o vplyve vnútorného trenia za predpokladu, že je viskózne; potom vzťah medzi napätím a deformáciou je popísaný vzťahmi

;.(223)

Nechajte tyč s rozloženými parametrami vykonávať voľné pozdĺžne vibrácie. V tomto prípade sa pozdĺžna sila zapíše do formulára

Z pohybovej rovnice tyčového prvku bol získaný vzťah (174).

Dosadením (224) sa dostaneme k hlavnej diferenciálnej rovnici

,(225)

ktorý sa od (175) líši druhým členom, ktorý vyjadruje vplyv viskóznych trecích síl.

Podľa Fourierovej metódy hľadáme riešenie rovnice (225) v tvare

,(226)

kde funkcia je len súradnice x a funkcia je iba čas t.

V tomto prípade musí každý člen radu spĺňať okrajové podmienky úlohy a počiatočné podmienky musí spĺňať aj celý súčet. Dosadenie (226) do (225) a požiadavka, aby bola splnená rovnosť pre akékoľvek číslo r, dostaneme

,(227)

kde prvočísla označujú diferenciáciu vzhľadom na súradnicu X a body sú diferenciačné vzhľadom na čas t.

Delenie (227) podľa súčinu , dostávame sa k rovnosti

,(228)

ľavá strana, ktorá môže závisieť len od súradníc X, a ten pravý - až od času t. Aby bola rovnosť (228) splnená identicky, je potrebné, aby sa obe časti rovnali tej istej konštante, ktorú označíme .

Z toho vyplývajú rovnice

(229)

.(230)

Rovnica (229) nezávisí od viskozitného koeficientu K a najmä zostáva rovnaká v prípade dokonale elastického systému, keď . Preto sa čísla úplne zhodujú s tými, ktoré sa našli skôr; avšak, ako bude ukázané nižšie, hodnota udáva len približnú hodnotu vlastnej frekvencie. Všimnite si, že vlastné tvary sú úplne nezávislé od viskóznych vlastností tyče, t.j. formy voľných tlmených kmitov sa zhodujú s formami voľných netlmených kmitov.

Teraz prejdime k rovnici (230), ktorá popisuje proces tlmených kmitov; jeho riešenie má tvar

.(233)

Výraz (232) určuje rýchlosť poklesu a (233) určuje frekvenciu oscilácií.

Teda úplné riešenie rovnice problému

.(234)

Konštantný a vždy ho možno nájsť na základe daných počiatočných podmienok. Nech sú počiatočné posuny a počiatočné rýchlosti všetkých častí tyče špecifikované takto:

;,(235)

kde a sú známe funkcie.

Potom pre , podľa (211) a (212), máme

vynásobením oboch strán týchto rovníc a integrovaním po celej dĺžke tyče dostaneme

(236)

Podľa podmienky ortogonality vlastných tvarov sa všetky ostatné členy zahrnuté na pravej strane týchto rovníc stanú nulou. Teraz z rovnosti (236) je ľahké nájsť akékoľvek číslo r.

Vzhľadom na (232) a (234) poznamenávame, že čím vyššie je číslo vibračného režimu, tým rýchlejšie je jeho tlmenie. Okrem toho výrazy zahrnuté v (234) opisujú tlmené oscilácie, ak existuje reálne číslo. Z (233) je zrejmé, že k tomu dochádza len pre niekoľko počiatočných hodnôt r, pokiaľ je splnená nerovnosť

Pre dostatočne veľké hodnoty r nerovnosť (237) je porušená a kvantita sa stáva imaginárnou. V tomto prípade zodpovedajúce výrazy všeobecného riešenia (234) už nebudú opisovať tlmené oscilácie, ale budú predstavovať aperiodický tlmený pohyb. Inými slovami, vibrácie v obvyklom zmysle slova sú vyjadrené len určitou konečnou časťou súčtu (234).

Všetky tieto kvalitatívne závery platia nielen pre prípad pozdĺžnych vibrácií, ale aj pre prípady torzných a ohybových vibrácií.

6.5. Vibrácie tyčí s premenlivým prierezom

V prípadoch, keď sú rozložená hmotnosť a prierez tyče po jej dĺžke premenlivé, namiesto pozdĺžnej vibračnej rovnice (175) by sa malo vychádzať z rovnice

.(238)

Rovnica torznej vibrácie (187) sa musí nahradiť rovnicou

,(239)

a rovnica priečnych vibrácií (192) je rovnica

.(240)

Rovnice (238)-(240) pomocou podobných substitúcií ;; možno redukovať na obyčajné diferenciálne rovnice funkcie

MECHANIKA

MDT 531.01/534.112

Pozdĺžne vibrácie balíka tyčí

A.M. Pavlov, A.N. Temnov

MSTU im. N.E. Bauman, Moskva, Ruská federácia e-mail: [e-mail chránený]; [e-mail chránený]

V otázkach dynamiky rakiet na kvapalné palivo zohráva významnú úlohu problém stability pohybu rakiet pri výskyte pozdĺžnych elastických kmitov. Výskyt takýchto oscilácií môže viesť k vytvoreniu vlastných oscilácií, ktoré, ak je raketa nestabilná v pozdĺžnom smere, môže viesť k jej rýchlemu zničeniu. Je formulovaná problematika pozdĺžnych kmitov obalovej rakety, ako výpočtový model je použitý zväzok tyčí. Je akceptované, že kvapalina v raketových nádržiach je „zamrznutá“, t.j. vlastné pohyby tekutiny sa neberú do úvahy. Je formulovaný zákon celkovej energetickej bilancie pre uvažovaný problém a je uvedená jeho operátorská formulácia. Je uvedený numerický príklad, pre ktorý sú určené frekvencie a tvary vlastných kmitov sú konštruované a analyzované.

Kľúčové slová: pozdĺžne vibrácie, frekvencia a tvar vibrácií, zväzok tyčí, zákon celkovej energetickej bilancie, self-adjoint operátor, spektrum vibrácií, POGO.

SYSTÉM TYČOV Pozdĺžnych VIBRÁCIÍ A.M. Pavlov, AL. Temnov

Bauman Moskovská štátna technická univerzita, Moskva, Ruská federácia e-mail: [e-mail chránený]; [e-mail chránený]

V otázkach dynamiky rakiet na kvapalné palivo zohráva dôležitú úlohu problém stability pohybu tejto rakety s výskytom pozdĺžnych elastických vibrácií. Výskyt takýchto vibrácií môže vyvolať samovibrácie, ktoré môžu spôsobiť rýchlu deštrukciu rakety v prípade nestability rakety v pozdĺžnom smere. Problém pozdĺžnych vibrácií rakety na kvapalné palivo na základe paketovej schémy bol formulovaný pomocou balíčkov ako výpočtového modelu. Predpokladá sa, že kvapalina v nádržiach rakiet je „zamrznutá“, t.j. nie sú zahrnuté správne pohyby kvapaliny. Pre tento problém bol sformulovaný princíp šetrenia energie a je dané jeho operátorské stupňovanie. Existuje numerický príklad, pre ktorý boli určené frekvencie, boli zostrojené a analyzované formy vlastných vibrácií.

Kľúčové slová: pozdĺžne vibrácie, vlastné módy a frekvencie, tyčový model, princíp zachovania energie, samokĺbový operátor, spektrum vibrácií, POGO.

Úvod. V súčasnosti sa v Rusku a v zahraničí často používajú nosné rakety s usporiadaním balíkov s identickými bočnými blokmi rovnomerne rozmiestnenými okolo centrálneho bloku na vypustenie užitočného zaťaženia na požadovanú obežnú dráhu.

Štúdie vibrácií obalových štruktúr narážajú na určité ťažkosti spojené s dynamickým účinkom bočných a stredových blokov. V prípade symetrie usporiadania nosnej rakety možno komplexnú priestorovú interakciu blokov konštrukcie obalu rozdeliť na konečný počet typov vibrácií, z ktorých jedným sú pozdĺžne vibrácie centrálneho a bočného bloku. V práci je podrobne rozobratý matematický model pozdĺžnych kmitov takejto konštrukcie vo forme balíka tenkostenných tyčí. Ryža. 1. Schéma stredo- Tento článok predstavuje teoretickú tyč a výpočtové výsledky pozdĺžneho

vibrácie balíka tyčí, ktoré dopĺňajú štúdiu uskutočnenú A.A. Škoda.

Formulácia problému. Uvažujme ďalšie pozdĺžne vibrácie balíka tyčí pozostávajúceho z centrálnej tyče dĺžky l0 a N bočných tyčí rovnakej dĺžky j = l, (l0 > lj), j = 1, 2,..., N, pripevnených v bode A (xA = l) (obr. 1) s centrálnymi pružinovými prvkami s tuhosťou k.

Zavedme pevnú referenčnú sústavu OX a predpokladajme, že tuhosť tyčí EFj (x), rozložená hmotnosť mj (x) a porucha q (x,t) sú ohraničené funkcie súradnice x:

0

0 < mj < mj (x) < Mj; (1)

0

Nech pri pozdĺžnych vibráciách vzniknú v úsekoch tyčí so súradnicou x posunutia Uj (x, t) určené rovnicami

mj (x) ^ - ¿(eFj (x) ^ = qj (x,t), j = 0,1, 2,..., N, (2)

okrajové podmienky pre absenciu normálových síl na koncoch tyčí

3 = 0, x = 0, ^ = 1, 2,

0, x = 0, x = 10;

podmienky rovnosti normálových síl vznikajúcich v tyčiach,

EF-3 = F x = l

elastické sily pružiacich prvkov

FпPJ = к (ш (ха) - у (¡,)); (4)

EUodX (xa - 0) - EFodX (xa + 0) =, x = xa;

podmienka rovnosti posunov v bode xa stredovej tyče

Shch (ha-o) = Shch (xa+o) a počiatočné podmienky

Shch y (x, 0) - Shch (x); , _

u(x, 0) = u(x),

kde u(x, 0) = "d^1(x, 0).

Zákon celkovej energetickej bilancie. Vynásobme rovnicu (2) u(x,ξ), integrujme cez dĺžku každej tyče a sčítajme výsledky pomocou okrajových podmienok (3) a podmienky zhody (4). V dôsledku toho dostaneme

(( 1 ^ [ (diL 2

TZ (x) "BT" (x+

dt | 2 ^ J 3 w V dt

N x „ h 2 .. N „ i.

1 ^ Г „„ , f dп3\ , 1 ^ Гj

1 N /* i dpl 2 1 N fl j

EF3 dx +2^Уо И (x - -) (nie - Uj)2 dx

= / ^ (x, £) im y (x, £) (x, (6)

kde 8 (x - ¡y) je Diracova delta funkcia. V rovnici (6) prvý člen v zložených zátvorkách predstavuje kinetickú energiu T (¿) systému, druhý je potenciálna energia Pr (£), spôsobená deformáciou tyčí, a tretí je potenciálna energia. Pk (£) pružiacich prvkov, ktoré v prítomnosti pružných deformácií tyčí môžu byť zapísané v tvare

Pk (*) = 2 £ / Cy (¡y) 8 (x - ¡1) E^ (¡y) (ddit (¡1)) 2 (x, Cy = Eu.

Rovnica (6) ukazuje, že zmena celkovej energie za jednotku času uvažovaného mechanického systému sa rovná výkonu

vonkajší vplyv. Pri absencii vonkajšej poruchy q (x,t) získame zákon zachovania celkovej energie:

T (t) + Pr (t) + Pk (t) = T (0) + Pr (0) + Pk (0).

Kinematografia. Zákon energetickej bilancie ukazuje, že pre ľubovoľný čas t možno funkcie Uj (x, t) považovať za prvky Hilbertovho priestoru L2j(; m3 (x)), definovaného na dĺžke ¡i skalárnym súčinom.

(us,Vk)j = J mj (x) usVkdx 0

a zodpovedajúca norma.

Zaveďme Hilbertov priestor H rovný ortogonálnemu súčtu L2j, H = L20 Ф L21 Ф... Ф L2N, vektorovú funkciu U = (uo, Ui,..., uN)т a operátor A pôsobiaci v priestor H podľa vzťahu

AU = diag (A00U0, A11U1,..., Annun).

mj(x)dx\jdx"

operátorov definovaných na

nastavte B (A33) С Н funkcií, ktoré spĺňajú podmienky (3) a (4).

Do formulára sa zapíše pôvodná úloha (1)-(5) spolu s počiatočnými podmienkami

Au = f (*), u (0) = u0, 17 (0) = u1, (7)

kde f (*) = (do (*), 51 (*),..., Yam (¿))t.

Lemma. 1. Ak sú splnené prvé dve podmienky (1), potom operátor A v evolučnom probléme (7) je neohraničený, samoadjungovaný, kladne určitý operátor v priestore H

(Au,K)n = (u,AK)n, (Au, u)i > c2 (i, u)i.

2. Operátor A generuje energetický priestor NA s normou rovnajúcou sa dvojnásobku potenciálnej energie kmitov zväzku tyčí.

3\^I h)2 = 2П > 0. (8)

IIUIIA = £/ EF^^J dx + k £ (uo - U)2 = 2П > 0.

< Оператор А неограничен в пространстве Н, поскольку неограничен каждый диагональный элемент А33. Самосопряженность и положительная определенность оператора А проверяются непосредственно:

(AU, v)h =/m (x) (-^| (EFo (x) ^j) Vo (x) dx+

+£ jm(x) (- jx) | (ef- (x) dndxa)) v-(x) dx=... =

EFo (x) uo (x) vo (x) dx - EFo (x) U) (x) vo (x)

J EFo (x) uo (x) vo (x) dx - EFo (x) uo (x) ?o (x)

+ ^^ / EF- (x) u- (x) vo (x) dx - ^^ EF- (x) u- (x) v- (x)

J EFo (x) uo (x) v" (x) dx - EFo (xa - 0) uo (xa - 0) vo (xa) + 0

EFo (xa + 0) uo (xa + 0) vo (xa) - £ EF- (/-) u- (/-) v- (/-) +

J EF- (x) u- (x) v- (x) dx = J EFo (x) uo (x) vo (x) dx+ -=100

+ £ / EF.,- (x) u- (x) g?- (x) dx+ o

O(xa)-

£ EF- (/-) u- (/-) v?"- (/-) = EFo (x) uo (x) v?"o (x) dx+ -=10

+ £ / EF- (x) u- (x) v- (x) dx+ -=1 0 -

+ £ k (uo (xa) - u- (/-)) (vo (xa) - v- (/-)) = (U, A?)H

(AU, U)H = ... = I EF0 (x) u"2 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x)

J EF0 (x) u"0 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x)

+ ^^ / EFj (x) u"2 (x) dx - ^^ EFj (x) uj (x) u3 (x)

"J EF°(x) u"2 (x) dx 4EF0 (x) u"2 (x) dx+£ JEFj (x) u"2 (x) dx

У^ k (u0 (l) uj (l) - u2 (/)) + u0 (l) ^ k (u0 (l) - uj (l)) =

EF0 (x) u"2 (x) dx + / EF0 (x) u"0 (x) dx +

S / EFj (x) u"2 (x) dx + k ^ (u0 (l) - uj (l))2 > c2 (U, U)H

Z vyššie uvedených výsledkov vyplýva, že energetická norma operátora A je vyjadrená vzorcom (8).

Riešiteľnosť evolučného problému. Formulujme nasledujúcu vetu.

Veta 1. Nech sú splnené podmienky

U0 £ D (A1/2) , U0 £ H, f (t) £ C (; H),

potom úloha (7) má jedinečné slabé riešenie U (t) na intervale definovanom vzorcom

U (t) = U0 cos (tA1/2) +U1 sin (tA1/2) +/sin ((t - s) A1/2) A-1/2f (s) ds.

5 pri neprítomnosti vonkajšej poruchy f (£), zákon zachovania energie je splnený

1 II A 1/2UИ2 = 1

1 II A1/2U 0|H.

< Эволюционная задача (7) - это стандартная задача Коши для дифференциального операторного уравнения гиперболического типа, для которого выполнены все условия теоремы о разрешимости .

Prirodzené vibrácie balíka prútov. Predpokladajme, že tyčový systém nie je ovplyvnený poľom vonkajších síl: f (t) = 0. V tomto prípade budeme pohyby tyčí nazývať voľné. Voľné pohyby tyčí v závislosti od času t podľa zákona exp (iwt) budeme nazývať prirodzené vibrácie. Ak vezmeme U (x, t) = U (x) eiWÍ v rovnici (7), dostaneme spektrálny problém pre operátor A:

AU - AEU = 0, L = w2. (9)

Vlastnosti operátora A nám umožňujú formulovať vetu o spektre a vlastnostiach vlastných funkcií.

Veta 2. Spektrálny problém (9) o prirodzených vibráciách balíka tyčí má diskrétne pozitívne spektrum

0 < Ai < Л2 < ... < Ak < ..., Ak ^ то

a systém vlastných funkcií (Uk (x))^=0, úplných a ortogonálnych v priestoroch H a HA, a sú splnené nasledujúce vzorce ortogonality:

(Ufe, Us)H = £ m (xj UfejMSjdx = j=0 0

(Uk= £/T^) d*+

K („feo - Mfej) (uso -) = Afeífes. j=i

Štúdium spektrálneho problému v prípade homogénneho balíka tyčí. Prezentáciou funkcie posunutia m- (x, £) v tvare m- (x, £) = m- (x), po oddelení premenných dostaneme spektrálne úlohy pre každú tyč:

^Oi + Lm = 0, ^ = 0,1,2,..., N (10)

ktoré zapisujeme v maticovom tvare

4 £ + Li = 0,

A = -,-,-,...,-

\ t0 t1 t2 t «

u = (u0, u1, u2,..., u«)t.

Riešenie a analýza získaných výsledkov. Označme posuvné funkcie pre centrálnu tyč v reze ako u01 a v reze ako u02 (g). V tomto prípade pre funkciu u02 posunieme počiatok súradníc do bodu so súradnicou /. Pre každú tyč uvádzame riešenie rovnice (10) vo forme

Na nájdenie neznámych konštánt v (11) použijeme okrajové podmienky formulované vyššie. Z homogénnych okrajových podmienok je možné určiť niektoré konštanty, a to:

C02 = C12 = C22 = C32 = C42 = ... = CN2 = 0.

V dôsledku toho zostáva nájsť N + 3 konštanty: C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., CN1. Aby sme to dosiahli, riešime N + 3 rovníc pre N + 3 neznámych.

Výslednú sústavu zapíšme v maticovom tvare: (A) (C) = (0) . Tu (C) = (C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., Cn 1)t je vektor neznámych; (A) - charakteristická matica,

cos (A1) EF0 A sin (A1) +

L sin (L (Zo - 1)) L cos (L (Zo - 1)) 0 00 0 \ -1 0 0000

0 r 00 00 0 000 r

a = k soe ^ ^A-L^ ; in = -kco8((.40-01L)1/2^;

7 = (A4"-1 l) 1/2 ap ((A"1l) 1/2 + k sov ((A"1l) 1/2;

(~ \ 1/2 ~ Л= ^Л] ; A--: 3 = 0.

Aby sme našli netriviálne riešenie, berieme ako premennú konštantu C01 € M. Máme dve možnosti: C01 = 0; C01 = 0.

Nech C01 = 0, potom C03 = C04 = 0. V tomto prípade možno získať netriviálne riešenie, ak 7 = 0 z (12), keď je splnená dodatočná podmienka

£ s-1 = 0, (13)

ktorú možno získať z tretej rovnice sústavy (12). Výsledkom je jednoduchá frekvenčná rovnica

EP (A"1 L) 1/2 W ((A"1^1/2 P +

zz \V zz

K cos ^ (A-/a) 1/2 ^ = 0, j G ,

sa zhoduje s frekvenčnou rovnicou pre tyč elasticky upevnenú na jednom konci, ktorú možno považovať za prvý čiastkový systém.

V tomto prípade môžu byť všetky možné kombinácie pohybov bočných tyčí, ktoré spĺňajú podmienku (13), podmienene rozdelené do skupín zodpovedajúcich rôznym kombináciám fáz (v posudzovanom prípade je fáza určená znakom C.d). Ak predpokladáme, že bočné tyče sú identické, potom máme dve možnosti:

1) Сд = 0, potom počet takýchto kombinácií n pre rôzne N možno vypočítať pomocou vzorca n = N 2, kde je deliaca funkcia bez zvyšku;

2) ktorákoľvek (alebo ktorákoľvek) z konštánt C- sa rovná 0, potom sa počet možných kombinácií zvyšuje a možno ich určiť podľa vzorca

£ [(N - m) div 2].

Nech Coi = 0, potom Cn = C21 = C31 = C41 = ... = CN1 = = C01 (-v/t), kde in a y sú komplexy zahrnuté v (12). Zo systému (12) máme tiež: C03 = C01 cos (А/); C04=C03 tg (L (/0 - /)) = C01 cos (A/) x x tg (L (/0 - /)), t.j. všetky konštanty sú vyjadrené cez C01. Frekvenčná rovnica má tvar

EFo U-o1 L tg A-1 L) " (lo - l)) -

K2 cos | í a!-,1 L

Ako príklad si predstavte systém so štyrmi bočnými lištami. Okrem vyššie opísanej metódy môžete v tomto príklade zapísať frekvenčnú rovnicu pre celý systém tak, že vypočítate determinant matice A a prirovnáte ho k nule. Pozrime sa na to

Y4 (L sin (L (/o - /)) cos (L/) EFoЛ+

L cos (L (/o - /)) (EFoЛ sin (L/) + 4v)) -

4av3L cos (L(/0 - /)) = 0.

Grafy transcendentálnych frekvenčných rovníc pre prípady uvažované vyššie sú uvedené na obr. 2. Nasledujúce údaje boli brané ako počiatočné údaje: EF = 2 109 N; EF0 = 2,2109 N; k = 7107 N/m; m = 5900 kg/m; mo = 6000 kg/m; / = 23; /о = 33 m. Hodnoty prvých troch frekvencií kmitov uvažovaného obvodu sú uvedené nižšie:

n.................................................

a som rád/a ................................................

1 2 3 20,08 31,53 63,50

Ryža. 2. Grafy transcendentálnych frekvenčných rovníc pre Coi = 0 (i) a Coi = 0 (2)

Uveďme vibračné režimy zodpovedajúce získaným riešeniam (vo všeobecnom prípade vibračné režimy nie sú normalizované). Formy vibrácií zodpovedajúce prvej, druhej, tretej, štvrtej, 13 a 14 frekvencii sú znázornené na obr. 3. Pri prvej vibračnej frekvencii vibrujú bočné tyče s rovnakým tvarom, ale v pároch v protifáze

Obr.3. Formy vibrácií bočných (1) a centrálnych (2) tyčí, zodpovedajúce prvej V = 3,20 Hz (a), druhej V = 5,02 Hz (b), tretej V = 10,11 Hz (c), štvrtej V = 13,60 Hz (d), 13. V = 45,90 Hz (d) a 14. V = 50,88 Hz (f) frekvencie

(Obr. 3, a), s druhým, centrálna tyč kmitá a bočné vo fáze oscilujú v rovnakom tvare (obr. 3, b). Treba poznamenať, že prvá a druhá frekvencia vibrácií uvažovaného tyčového systému zodpovedajú vibráciám systému pozostávajúceho z pevných telies.

Keď systém osciluje s treťou vlastnou frekvenciou, prvýkrát sa objavia uzly (obr. 3c). Tretia a nasledujúce frekvencie (obr. 3d) zodpovedajú elastickým vibráciám systému. S nárastom frekvencie vibrácií, spojeným s poklesom vplyvu elastických prvkov, bývajú frekvencie a tvary vibrácií čiastočné (obr. 3, e, f).

Krivky funkcií, ktorých priesečníky s osou x sú riešeniami transcendentálnych rovníc, sú uvedené na obr. 4. Podľa obrázku sa vlastné frekvencie kmitov sústavy nachádzajú v blízkosti čiastkových frekvencií. Ako je uvedené vyššie, so zvyšujúcou sa frekvenciou sa zvyšuje konvergencia vlastných frekvencií s čiastočnými. V dôsledku toho sú frekvencie, pri ktorých celý systém kmitá, bežne rozdelené do dvoch skupín: frekvencie blízke čiastočným frekvenciám bočnej tyče a frekvencie blízke čiastočným frekvenciám centrálnej tyče.

Závery. Zvažuje sa problém pozdĺžnych vibrácií balíka tyčí. Sú opísané vlastnosti kladeného okrajového problému a spektrum jeho vlastných hodnôt. Navrhuje sa riešenie spektrálneho problému pre ľubovoľný počet homogénnych bočných tyčí. Pre numerický príklad sa nájdu hodnoty prvých oscilačných frekvencií a skonštruujú sa zodpovedajúce tvary. Boli odhalené aj niektoré charakteristické vlastnosti skonštruovaných vibračných režimov.

Ryža. 4. Krivky funkcií, ktorých priesečníky s osou x sú riešeniami transcendentálnych rovníc, pre CoX = 0 (1), Cox = 0 (2) sa zhodujú s prvou čiastkovou sústavou (bočná tyč upevnená na pruž. prvok v bode x = I) a druhý čiastkový systém (5) (stredová tyč pripevnená k štyrom pružným prvkom v bode A)

LITERATÚRA

1. Kolesnikov K.S. Dynamika rakiet. M.: Strojárstvo, 2003. 520 s.

2. Balistické rakety a nosné rakety / O.M. Alifanov, A.N. Andrejev, V.N. Gushchin a kol., M.: Drop, 2004. 511 s.

3. Rabinovič B.I. Úvod do dynamiky nosných rakiet kozmických lodí. M.: Strojárstvo, 1974. 396 s.

4. Štúdia parametrov o stabilite rakiet na kvapalinu POGO / Z. Zhao, G. Ren, Z. Yu, B. Tang, Q. Zhang // J. of Spacecraft and Rockets. 2011. Zv. 48.Je. 3. S. 537-541.

5. Balakirev Yu.G. Metódy analýzy pozdĺžnych vibrácií nosných rakiet na kvapalný pohon // Kozmonautika a raketová veda. 1995. č. 5. S. 50-58.

6. Balakirev Yu.G. Vlastnosti matematického modelu kvapalnej rakety dávkového usporiadania ako riadiaceho objektu // Vybrané problémy pevnosti moderného strojárstva. 2008. s. 43-55.

7. Dokučajev L.V. Vylepšovanie metód na štúdium dynamiky nosnej rakety, berúc do úvahy ich symetriu // Kozmonautika a raketová veda. 2005. Číslo 2. S. 112-121.

8. Pozhalostin A.A. Vývoj približných analytických metód na výpočet vlastných a vynútených kmitov elastických škrupín s kvapalinou: dis. ... Dr. Tech. Sci. M., 2005. 220 s.

9. Crane S.G. Lineárne diferenciálne rovnice v Banachových priestoroch. M.: Nauka, 1967. 464 s.

10. Kopachevsky I.D. Operátorové metódy matematickej fyziky. Simferopol: LLC "Forma", 2008. 140 s.

Kolesnikov K.S. Dinamika raketa. Moskva, Mashinostroenie Publ., 2003. 520 s.

Alifanov O.N., Andreev A.N., Gushchin V.N., ed. Balisticheskie rakety a rakety-nositeli. Moskva, Drofa Publ., 2003. 511 s.

Rabinovič B.I. Vvedenie v dinamiku raket-nositeley kosmicheskikh apparatov. Moskva, Mashinostroenie Publ., 1974. 396 s.

Zhao Z., Ren G., Yu Z., Tang B., Zhang Q. Štúdia parametrov o stabilite POGO rakety na kvapalné palivo. J. Spacecraft and Rockets, 2011, roč. 48, iss. 3, str. 537-541.

Balakirev Yu.G. Metódy analýzy pozdĺžnych vibrácií nosných rakiet s motorom na kvapalné palivo. Kosm. ja raketostr. , 1995, č. 5, str. 50-58 (v Rusku).

Balakirev Yu.G. Osobennosti matematicheskoy modeli zhidkostnoy rakety paketnoy komponovki ako ob"ekta upravlenii. Sb. "Izbrannye problemy prochnosti sovremennogo mashinostroeniya". Moskva, Fizmatlit Publ., 2008. 204 s. (cit. str. 4355).

Dokučajev L.V. Zlepšenie metód na štúdium dynamiky zoskupených nosných rakiet s ohľadom na ich symetriu. Kosm. ja raketostr. , 2005, č. 2, str. 112-121 (v Rusku).

Pozhalostin A.A. Razrabotka priblizhennykh analiticheskikh metodov rascheta sobstvennykh a vynuzhdennykh kolebaniy uprugikh obolochek s zhidkost"yu. Diss. doct. techhn. nauk .

Kreyn S.G. Lineynye Differentsial"nye uravneniya v Banachovykh prostranstvakh. Moskva, Nauka Publ., 1967. 464 s. Kopachevskiy I.D. Operatornye method matematicheskoy fiziki. Simferopol", Forma Publ., 2008. 140 s.

Článok obdržal redaktor 28.4.2014

Pavlov Arsenij Michajlovič - študent Katedry kozmických lodí a nosných rakiet na MSTU. N.E. Bauman. Špecializuje sa na oblasť raketových a vesmírnych technológií.

MSTU im. N.E. Baumash, Ruská federácia, 105005, Moskva, 2. ulica Baumanskaja, 5.

Pavlov A.M. - študent odboru "Kozmické lode a nosné rakety" Baumanovej Moskovskej štátnej technickej univerzity. Špecialista v oblasti raketovej a vesmírnej techniky. Bauman Moskovská štátna technická univerzita, 2-ya Baumanskaya st. 5, Moskva, 105005 Ruská federácia.

Temnov Alexander Nikolajevič - Ph.D. fyzika a matematika vedy, docent Katedry kozmických lodí a nosných rakiet Moskovskej štátnej technickej univerzity. N.E. Bauman. Autor viac ako 20 vedeckých prác v oblasti mechaniky tekutín a plynov a raketovej a vesmírnej techniky. MSTU im. N.E. Baumash, Ruská federácia, 105005, Moskva, 2. ulica Baumanskaja, 5.

Temnov A.N. - Cand. Sci. (fyz.-matematika), doc. profesor oddelenia „Kozmické lode a nosné rakety“ na Baumanovej Moskovskej štátnej technickej univerzite. Autor viac ako 20 publikácií v oblasti mechaniky tekutín a plynov a raketovej a vesmírnej techniky.

Bauman Moskovská štátna technická univerzita, 2-ya Baumanskaya st. 5, Moskva, 105005 Ruská federácia.

> Pozdĺžne vlny

Naučte sa šírenie, smer a rýchlosť pozdĺžna vlna: čo sú to pozdĺžne vlny, ako sa šíria, príklady a kmity, ako vznikajú, graf.

Niekedy sa pozdĺžne vlny nazývajú kompresné vlny. Kolísajú v smere šírenia.

Učebný cieľ

• Identifikujte vlastnosti a príklady typu pozdĺžnych vĺn.

Hlavné body

• V smere šírenia sa vyskytujú kmity pozdĺžnych vĺn, ktoré sú však príliš malé a majú rovnovážne polohy, takže nevytláčajú hmotu.
• Tento typ možno považovať za impulzy, ktoré transportujú energiu pozdĺž osi šírenia.
• Možno ich vnímať aj ako tlakové vlny s charakteristickou kompresiou a riedkosťou.

Podmienky

• Zriedkavosť je zníženie hustoty materiálu (predovšetkým kvapaliny).
• Pozdĺžne - v smere dĺžky osi.
• Kompresia - zvýšenie hustoty.

Príklad

Aké vlny sú pozdĺžne? Najlepším príkladom je zvuková vlna. Obsahuje impulzy vyplývajúce zo stlačenia vzduchu.

Pozdĺžne vlny

V smere vibrácií sa pozdĺžne vlny zhodujú so smerom pohybu. To znamená, že pohyb média je umiestnený v rovnakom smere ako pohyb vĺn. Niektoré pozdĺžne vlny sa nazývajú aj kompresné vlny. Ak chcete experimentovať, stačí si kúpiť hračku Slinky (pružina) a držať ju na oboch koncoch. V momente stlačenia a zoslabenia sa impulz posunie ku koncu.

Stlačený Slinky je príkladom pozdĺžnej vlny. Šíri sa rovnakým smerom ako vibrácie

Pozdĺžne (ako aj priečne) nevytláčajú hmotu. Rozdiel je v tom, že každá častica v médiu, cez ktoré sa šíri pozdĺžna vlna, bude oscilovať pozdĺž osi šírenia. Ak si predstavíte Slinky, cievky v bodoch oscilujú, ale nebudú sa pohybovať po dĺžke pružiny. Nezabúdajte, že sa sem neprenáša hmota, ale energia vo forme hybnosti.

V niektorých prípadoch takéto vlny pôsobia ako tlakové vlny. Pozoruhodným príkladom je zvuk. Vznikajú stláčaním média (najčastejšie vzduchu). Pozdĺžne zvukové vlny sú striedavé odchýlky tlaku od vyváženého tlaku, čo vedie k lokálnym oblastiam kompresie a riedenia.

Hmota v médiu je periodicky vytláčaná zvukovou vlnou a osciluje. Ak chcete vytvoriť zvuk, musíte stlačiť častice vzduchu na určité množstvo. Takto vznikajú priečne vlny. Uši citlivo reagujú na rôzne tlaky a premieňajú vlny na tóny.