Pozdĺžne vibrácie tyče. Pozdĺžne vibrácie homogénnej tyče

Tyčom rozumieme valec П=0х[О, /], kedy ja" priemer D. Tu D- plocha na súradnicovej rovine Ox 2 x 3 (obr. 62). Materiál tyče je homogénny a izotropný a os Ox prechádza ťažiskom sekcie D. Pole vonkajších hmotnostných síl f(r, ja)=/(X|, /)e, kde e je jednotkový vektor osi Ox. Nech sú vonkajšie povrchové sily na bočnej ploche valca rovné nule, t.j. Ra= 0 zapnuté dD X

Potom z (4.8) vyplýva pre 1=0 rovnosť

Vlastné formuláre X k(j) je vhodné normalizovať pomocou normy priestoru /^(), do ktorého funkcia patrí v(s, I), pretože v každom časovom okamihu existuje a je obmedzený kinetický energetický funkcionál

Kde S- oblasť regiónu D. Máme

X*(s) = Jj- sin^-l v rýchlostnom priestore I 0 = ji)(s, /): v(s,t)e

Výsledkom je ortonormálny základ |l r *(^)| ,

Kde b až „- Symbol Kronecker: Funkcie Xk*(s), k= 1,2 sú normálne režimy prirodzených vibrácií a ω*, k= 1, 2, ..., - vlastné frekvencie kmitov sústavy s nekonečným počtom stupňov voľnosti.

Na záver poznamenávame, že funkcia u(s, /) patrí do konfiguračného priestoru systému H, = (v(s, t): v(s, t) e e ^(), u(0, 1) = o(1, /) = 0), kde U^"OO, / ]) je Sobolevov priestor funkcií sčítateľných spolu so štvorcami prvých derivácií na intervale Priestor I je definičný obor funkcionálu potenciálnej energie. elastických deformácií

a obsahuje zovšeobecnené riešenia uvažovaného problému.

ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (tlač) doi: http://dx.doi UDC 517.956.3

PROBLÉM S POZDĹŽNYMI VIBRÁCIAMI ELASTICKY PEVNE ZAŤAŽENEJ TYČE

A. B. Beilin

Štátna technická univerzita v Samare, Rusko, 443100, Samara, sv. Molodogvardejskaja, 244.

anotácia

Uvažujú sa jednorozmerné pozdĺžne vibrácie hrubej krátkej tyče upevnenej na koncoch pomocou sústredených hmôt a pružín. Ako matematický model sa používa počiatočný okrajový problém s dynamickými okrajovými podmienkami pre hyperbolickú rovnicu štvrtého rádu. Výber tohto konkrétneho modelu je spôsobený potrebou brať do úvahy vplyvy deformácie tyče v priečnom smere, ktorých zanedbanie, ako ukazuje Rayleigh, vedie k chybe, ktorú potvrdzuje moderná nelokálna koncepcia štúdium vibrácií pevných telies. Existencia systému vlastných funkcií skúmaného problému, ortogonálnych k zaťaženiu, sa dokáže a získa sa ich reprezentácia. Stanovené vlastnosti vlastných funkcií umožnili aplikovať metódu separácie premenných a dokázať existenciu jedinečného riešenia nastoleného problému.

Kľúčové slová: dynamické okrajové podmienky, pozdĺžne vibrácie, ortogonalita so zaťažením, Rayleighov model.

Úvod. V každom pracovnom mechanickom systéme sa vyskytujú oscilačné procesy, ktoré môžu byť generované rôznymi dôvodmi. Oscilačné procesy môžu byť dôsledkom konštrukčných prvkov systému alebo prerozdelenia zaťaženia medzi rôzne prvky normálne fungujúcej konštrukcie.

Prítomnosť zdrojov oscilačných procesov v mechanizme môže sťažiť diagnostiku jeho stavu a dokonca viesť k narušeniu jeho prevádzkového režimu av niektorých prípadoch k zničeniu. Rôzne problémy spojené s narušením presnosti a výkonu mechanických systémov v dôsledku vibrácií niektorých ich prvkov sa v praxi často riešia experimentálne.

Zároveň môžu byť oscilačné procesy veľmi užitočné napríklad pri spracovaní materiálov, montáži a demontáži spojov. Ultrazvukové vibrácie umožňujú nielen zintenzívniť rezné procesy (vŕtanie, frézovanie, brúsenie atď.) materiálov s vysokou tvrdosťou (ocele s obsahom volfrámu, ocele z karbidu titánu atď.),

© 2016 Štátna technická univerzita v Samare. Šablóna citácie

Beilin A. B. Problém pozdĺžnych vibrácií pružne fixovanej zaťaženej tyče // Vestn. Ja sám. štát tech. un-ta. Ser. Fyzik. Sciences, 2016. T. 20, č. 2. S. 249258. doi: 10.14498/vsgtu1474. O autorovi

Alexander Borisovič Beilin (Ph.D., docent; [e-mail chránený]), docent, odbor. automatizované systémy strojov a nástrojov.

ale v niektorých prípadoch sa môže stať jedinou možnou metódou spracovania krehkých materiálov (germánium, kremík, sklo atď.). Prvok zariadenia (vlnovod), ktorý prenáša ultrazvukové vibrácie zo zdroja (vibrátora) do nástroja, sa nazýva koncentrátor a môže mať rôzne tvary: valcový, kužeľový, stupňovitý, exponenciálny atď. Jeho účelom je preniesť vibrácie požadovanej amplitúdy do prístroja.

Dôsledky výskytu oscilačných procesov teda môžu byť rôzne, ako aj dôvody, ktoré ich spôsobujú, preto prirodzene vzniká potreba teoretického štúdia oscilačných procesov. Matematický model šírenia vĺn v relatívne dlhých a tenkých pevných tyčiach, ktorý je založený na vlnovej rovnici druhého rádu, bol dobre preštudovaný a dlho sa stal klasikou. Ako však ukázal Rayleigh, tento model úplne nezodpovedá štúdiu vibrácií hrubej krátkej tyče, zatiaľ čo mnohé detaily skutočných mechanizmov možno interpretovať ako krátke a hrubé tyče. V tomto prípade treba brať do úvahy aj deformáciu tyče v priečnom smere. Matematický model pozdĺžnych vibrácií hrubej krátkej tyče, ktorý zohľadňuje účinky priečneho pohybu tyče, sa nazýva Rayleighova tyč a je založený na hyperbolickej rovnici štvrtého rádu.

^- IX (a(x) e)- dx (b(x))=; (xL (1)

ktorých koeficienty majú fyzikálny význam:

d(x) = p(x)A(x), a(x) = A(x)E(x), b(x) = p(x)u2(x)1p (x),

kde A(x) je plocha prierezu, p(x) je hustota hmotnosti tyče, E(x) je Youngov modul, V(x) je Poissonov pomer, IP(x) je polárny moment zotrvačnosti , u(x, b) - pozdĺžne posuny, ktoré sa majú určiť.

Rayleighove myšlienky našli svoje potvrdenie a rozvoj v moderných prácach venovaných oscilačným procesom, ako aj teórii plasticity. Prehľadový článok zdôvodňuje nedostatky klasických modelov popisujúcich stav a správanie pevných telies pri zaťažení, v ktorých je teleso a priori považované za ideálne kontinuum. Súčasná úroveň rozvoja prírodných vied si vyžaduje konštrukciu nových modelov, ktoré adekvátne popisujú skúmané procesy, a matematické metódy vyvinuté v posledných desaťročiach túto možnosť poskytujú. Na tejto ceste bol v poslednej štvrtine minulého storočia navrhnutý nový prístup k štúdiu mnohých fyzikálnych procesov, vrátane vyššie uvedených, založený na koncepte nelokality (pozri článok a zoznam odkazov v ňom) . Jedna z tried nelokálnych modelov identifikovaných autormi sa nazýva „slabo nelokálne“. Matematické modely patriace do tejto triedy možno implementovať zavedením derivácií vyšších rádov do rovnice opisujúcej určitý proces, ktoré umožňujú do určitej miery zohľadniť interakciu vnútorných prvkov predmetu štúdia. Rayleighov model je teda aktuálny aj dnes.

1. Vyjadrenie problému. Konce tyče x = 0, x = I nech sú pomocou sústredených hmôt L\, M2 a pružín, ktorých tuhosti sú K\ a K2, pripevnené k pevnej podložke. Budeme predpokladať, že tyč je rotačné teleso okolo osi 0x a v počiatočnom okamihu je v pokoji v rovnovážnej polohe. Potom sa dostaneme k nasledujúcemu problému počiatočnej hraničnej hodnoty.

Úloha. Nájdite v oblasti Qt = ((0,1) x (0, T) : 1,T< те} "решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным данным

u(x, 0) = (p(x), u(x, 0) = φ(x) a okrajové podmienky

a(0)ikh(0, r) + b(0)il(0, r) - k^(0, r) - M1ui(0, r) = 0, a(1)ih(1, r) + b(1)uxy(1, r) + K2u(1, r) + M2uy(1, r) = 0. ()

Článok skúma niektoré špeciálne prípady problému (1)-(2) a uvádza príklady, v ktorých koeficienty rovnice majú explicitný tvar a M\ = M2 = 0. Článok dokazuje jedinečnú slabú riešiteľnosť problému nastoleného v všeobecný prípad.

Podmienky (2) sú určené spôsobom upevnenia tyče: jej konce sú pripevnené k pevným základniam pomocou niektorých zariadení s hmotnosťou M\, M2 a pružín s tuhosťami K1, K2. Prítomnosť hmôt a zohľadnenie priečnych posunov vedie k podmienkam formy (2), obsahujúcej deriváty vzhľadom na čas. Okrajové podmienky, ktoré zahŕňajú časové derivácie, sa nazývajú dynamické. Môžu vzniknúť v rôznych situáciách, z ktorých najjednoduchšie sú popísané v učebnici a oveľa zložitejšie v monografii.

2. Štúdium prirodzených vibrácií tyče. Uvažujme homogénnu rovnicu zodpovedajúcu rovnici (1). Keďže koeficienty závisia len od x, môžeme premenné oddeliť zápisom u(x,r) = X(x)T(r). Dostaneme dve rovnice:

t""(g) + \2t(g) = 0,

((a(x) - A2b(x))X"(x))" + A2dX(x) = 0. (3)

Rovnica (3) je sprevádzaná okrajovými podmienkami

(a(0) - \2Ъ(0))Х"(0) - (К1 - \2М1)Х(0) = 0,

(a(1) - \2Ъ(1))Х"(1) + (К2 - \2М2)Х(I) = 0. (4)

Tak sme sa dostali k Sturm-Liouvilleovej úlohe, ktorá sa od klasickej odlišuje tým, že spektrálny parameter A je zahrnutý v koeficiente najvyššej derivácie rovnice, ako aj v okrajových podmienkach. Táto okolnosť nám neumožňuje odvolávať sa na výsledky známe z literatúry, preto je naším bezprostredným cieľom skúmať problém (3), (4). Na úspešnú implementáciu metódy premennej separácie potrebujeme informácie o existencii a umiestnení vlastných hodnôt, o kvalitatívnych

vlastnosti vlastných funkcií: majú vlastnosť ortogonality?

Ukážme, že A2 > 0. Predpokladajme, že to tak nie je. Nech X(x) je vlastná funkcia problému (3), (4), zodpovedajúca hodnote A = 0. Vynásobte (3) X(x) a integrujte výslednú rovnosť cez interval (0,1). Integrovaním po častiach a aplikáciou okrajových podmienok (4) po elementárnych transformáciách dostaneme

1(0) - L2Ъ(0))(a(1) - L2Ъ(1)) I (dX2 + bX"2)yx+

N\X 2(0) + M2X 2(1)

Ja aX"2<1х + К\Х2(0) + К2Х2(1). Jo

Všimnite si, že z fyzikálneho významu funkcií a(x), b(x), d(x) sú kladné, Kr, Mg nezáporné. Ale z výslednej rovnosti potom vyplýva, že X"(x) = 0, X(0) = X(1) = 0, teda X(x) = 0, čo je v rozpore s predpokladom. V dôsledku toho je predpoklad, že nula je vlastná hodnota problému (3), (4) je nesprávna.

Znázornenie riešenia rovnice (3) závisí od znamienka výrazu a(x) - - A2b(x). Ukážme, že a(x) - A2b(x) > 0 Vx e (0,1). Zafixujme x e (0,1) ľubovoľne a nájdime hodnoty funkcií a(x), b(x), d(x) v tomto bode. Napíšme rovnicu (3) vo forme

X"(x) + VX (x) = 0, (5)

kde sme určili

na zvolenom pevnom bode a do formulára napíšeme podmienky (4).

Х"(0) - аХ (0) = 0, Х"(1) + вХ (I) = 0, (6)

kde a, b sa dajú ľahko vypočítať.

Ako je známe, klasický Sturm-Liouvilleov problém (5), (6) má spočítateľnú množinu vlastných funkcií pre V > 0, z ktorej, keďže x je ľubovoľné, vyplýva požadovaná nerovnosť.

Vlastné funkcie úlohy (3), (4) majú vlastnosť ortogonality so zaťažením vyjadreným vzťahom

I (dХт(х)Хп(х) + БХ"т(х)Х"п(х))<х+ ■)о

M1Xt(0)Xn(0) + M2Xt(1)Xn (I) = 0, (7)

ktoré je možné získať štandardným spôsobom (pozri napr.), ktorého implementácia je v prípade uvažovaného problému spojená s elementárnymi, ale starostlivými výpočtami. Stručne predstavíme jeho odvodenie, vynecháme argument funkcií Xr(x), aby sme sa vyhli ťažkopádnosti.

Nech Am, An sú rôzne vlastné hodnoty, Xm, Xn sú zodpovedajúce vlastné funkcie problému (3), (4). Potom

((a - L2tb)X"t)" + L2tdXt = 0, ((a - L2pb)X"p)" + L2pdXp = 0.

Vynásobme prvú z týchto rovníc Xn a druhú Xm a odpočítajme druhú od prvej. Po elementárnych transformáciách dostaneme rovnosť

(Lt - Lp)YХtХп = (аХтХП)" - ЛП(БХтХ"п)" - (аХ"тХп)" + Lt(БХтХп)",

ktoré integrujeme cez interval (0,1). Výsledkom je, že ak vezmeme do úvahy (4) a znížime o (Lm - Ln), dostaneme vzťah (7).

Overené tvrdenia o vlastnostiach vlastných hodnôt a vlastných funkcií Sturm-Liouvilleho problému (3), (4) umožňujú použiť metódu separácie premenných na nájdenie riešenia problému.

3. Riešiteľnosť problému. Označme

C(ST) = (u: ue C(St) P C2(St), uikh e C^t)).

Veta 1. Nech a, b e C1, d e C. Potom existuje najviac jedno riešenie u e C^t) úlohy (1), (2).

Dôkaz. Predpokladajme, že existujú dve rôzne riešenia problému (1), (2), u1(x,z) a u2(x,z). Potom, vzhľadom na linearitu úlohy, ich rozdiel u = u1 - u2 je riešením homogénnej úlohy zodpovedajúcej (1), (2). Ukážme, že jeho riešenie je triviálne. Najprv si všimnime, že z fyzikálneho významu koeficientov rovnice a okrajových podmienok sú funkcie a, b, d všade v Qm kladné a M^, K^ nezáporné.

Vynásobením rovnosti (1) u a integráciou nad oblasťou Qt, kde t e a je ľubovoľné, po jednoduchých transformáciách dostaneme

/ (di2(x,t) + ai2x(x,t) + biHl(x,t))yx+ ./o

K1u2(0, t) + M1u2(0, t) + K2u2(1, t) + M2u2(1, t) = 0,

z čoho pre svojvôľu m bezprostredne vyplýva platnosť vety. □

Preukážeme existenciu riešenia pre prípad konštantných koeficientov.

Veta 2. Nech<р е С2, <р(0) = <р(1) = (0) = ц>"(\) = 0, má po častiach spojitú deriváciu tretieho rádu v (0.1), φ ε 1, φ(0) = φ(1) = 0 a má po častiach spojitú deriváciu druhého rádu v (0.1) , f e C(C^m), potom riešenie úlohy (1), (2) existuje a možno ho získať ako súčet série vlastných funkcií.

Dôkaz. Ako obvykle, budeme hľadať riešenie problému vo forme sumy

kde prvý člen je riešením úlohy pre homogénnu rovnicu zodpovedajúcu (1), druhý je riešením rovnice (1), spĺňajúce nulové počiatočné a okrajové podmienky. Využime výsledky výskumu uskutočneného v predchádzajúcom odseku a zapíšme si všeobecné riešenie rovnice (3):

X(x) = Cr cos A J-+ C2 sin Aw-^rrx.

\¡ a - A2b \¡ a - A2b

Aplikovaním okrajových podmienok (4) dospejeme k sústave rovníc pre Cj!

(a - A2b)c2 - (Ki - A2Mi)ci = 0,

(-A(a - A2b) sin Ayja-A¡bl + (K - A2M2) cos A^O-A^l) ci+

Prirovnaním jeho determinantu k nule dostaneme spektrálnu rovnicu

ctg= (a - A4)A2" - (K - A?Mí)(K2 - A"M). (8)

b Va - A2b A^q(a - A2b)(Ki + K2 - A2(Mi + M2))

Poďme zistiť, či táto transcendentálna rovnica má riešenie. Ak to chcete urobiť, zvážte funkcie na ľavej a pravej strane a preskúmajte ich správanie. Bez toho, aby sme príliš obmedzovali všeobecnosť, povedzme

Mi = M2 = M, kg = K2 = K,

čo trochu zjednoduší potrebné výpočty. Rovnica (8) má tvar

x I q ​​​​, Aja - A2b Jq K - A2M ctg A\Z-^l =

a - A2b 2(K - A2M) 2A^^0-A2b" Označme

a napíšte spektrálnu rovnicu v novom zápise!

aqlß Kql2 + ß2 (Kb – aM)

2Kql2 + 2^2(Kb - aM) 2/j.aql

Analýza funkcií ľavej a pravej strany poslednej rovnice nám umožňuje konštatovať, že existuje spočítateľná množina jej koreňov, a teda spočítateľná množina vlastných funkcií Sturm-Liouvillovho problému (3), (4), ktorý, berúc do úvahy vzťah získaný zo systému vzhľadom na c3, možno vypísať

v / l l I q K - x14:00. l i q

Xn(x) = COS XnJ-gutx + ----sin XnJ-gutX.

Va - A2b AnVa - ftb^q V a - A2b

Teraz prejdime k hľadaniu riešenia, ktoré zároveň spĺňa počiatočné podmienky. Teraz môžeme ľahko nájsť riešenie úlohy pre homogénnu rovnicu vo forme radu

u(x,t) = ^ Tn(t)Xn(x),

ktorých koeficienty možno zistiť z počiatočných údajov pomocou vlastnosti ortogonality funkcií Xn(x), ktorých normu možno získať zo vzťahu (7):

||X||2 = f (qX2 + bX%)dx + MiX2(0) + M2x2(l). ■Jo

Proces hľadania funkcie v(x,t) je tiež v podstate štandardný, ale stále si uvedomujeme, že hľadanie riešenia v tradičnom tvare

v(x,t) = ^ Tn(t)Xn(x),

dostaneme dve rovnice. Skutočne, berúc do úvahy typ vlastných funkcií, objasnime štruktúru radu, v podobe ktorého hľadáme riešenie:

j(x,t) = ^ (Vn(t)cos Xn^J a b x+

Wn(t) K-XnM~ sin X^HAarx). (9)

v JXnVa - xnb^q V a - xn "

Na splnenie nulových počiatočných podmienok y(x, 0) = y^x, 0) = 0 vyžadujeme, aby Vn(0) = Vn(0) = 0, Wn(0) = W(0) = 0. Rozšírenie f( x,r) do Fourierovho radu z hľadiska vlastných funkcií Xn(x) nájdeme koeficienty ¡n(b) a dn(b). Dosadením (9) do rovnice (1), zapísanej vzhľadom na y(x, b), po sérii transformácií získame rovnice na nájdenie Yn(b) a Wn(b):

yts® + >&pYu =

™ + xn Wn (<) = Xn (-a-iKrW g

Ak vezmeme do úvahy počiatočné podmienky Vn(0) = Y, (0) = 0, Wn(0) = W, (0) = 0, dospejeme ku Cauchyho úlohám pre každú z funkcií Vn(b) a Wn( b), ktorého jedinečná riešiteľnosť je zaručená podmienkami vety. Vlastnosti počiatočných údajov formulovaných vo vete nenechávajú žiadne pochybnosti o konvergencii všetkých radov, ktoré vznikli v priebehu nášho výskumu, a teda o existencii riešenia nastoleného problému. □

Záver. Existencia systému vlastných funkcií skúmaného problému, ortogonálnych k zaťaženiu, sa dokáže a získa sa ich reprezentácia.

Stanovené vlastnosti vlastných funkcií umožnili dokázať existenciu jedinečného riešenia nastoleného problému. Všimnite si, že výsledky získané v článku môžu byť použité ako pre ďalšie teoretické štúdium problémov s dynamickými okrajovými podmienkami, tak aj pre praktické účely, a to pre výpočet pozdĺžnych vibrácií širokého spektra technických objektov.

Alexander Borisovič Beilin: http://orcid.org/0000-0002-4042-2860

BIBLIOGRAFICKÝ ZOZNAM

1. Nerubay M. S., Shtrikov B. L., Kalashnikov V. V. Ultrazvukové obrábanie a montáž. Samara: Knižné vydavateľstvo Samara, 1995. 191 s.

2. Khmelev V.N., Barsukov R.V., Tsyganok S.N. Ultrazvukové rozmerové spracovanie materiálov. Barnaul: Altajská technická univerzita pomenovaná po. I.I. Polzunová, 1997. 120 s.

3. Kumabe D. Vibračné rezanie. M.: Strojárstvo, 1985. 424 s.

4. Tichonov A. N., Samarsky A. A. Rovnice matematickej fyziky. M.: Nauka, 2004. 798 s.

5. Strett J.V. Teória zvuku. T. 1. M.: GITTL, 1955. 504 s.

6. Rao J. S. Advanced Theory of Vibration: Nelineárne vibrácie a jednorozmerné štruktúry. New York: John Wiley & Sons, Inc., 1992. 431 s.

7. Fedotov I. A., Polyanin A. D., Shatalov M. Yu. Teória voľných a vynútených vibrácií pevnej tyče na základe Rayleighovho modelu // DAN, 2007. T. 417, č. s. 56-61.

8. Bažant Z., Jirásek M. Nelocal Integral Formulations of Plasticity and Damage: Survey of Progress // J. Ing. Mech., 2002. roč.128, č. 11. str. 1119-1149. doi: 10.1061/(ASCE)0733-9399(2002)128:11(1119).

9. Beilin A. B., Pulkina L. S. Problém pozdĺžnych kmitov tyče s dynamickými okrajovými podmienkami // Vestn. SamSU. Prírodná veda s.r., 2014. č. 3(114). s. 9-19.

10. Korpusov M. O. Deštrukcia v neklasických vlnových rovniciach. M.: URSS, 2010. 237 s.

Prijaté redakciou 10. II.2016; vo finálnej verzii - 18/V/2016; prijaté na zverejnenie - 27. V. 2016.

Vestn. Samar. Gos. Techn. Un-ta. Ser. Fiz.-mat. nauki

2016, roč. 20, č. 2, str. 249-258 ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (tlač) doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1474

MSC: 35L35, 35Q74

PROBLÉM S DLHÝMI VIBRÁCIAMI TYČE S ELASTICKÝM UPEVŇOVANÍM

Štátna technická univerzita v Samare,

244, Molodogvardeyskaya ul., Samara, 443100, Ruská federácia.

V tomto článku študujeme pozdĺžne vibrácie v hrubej krátkej tyči upevnenej bodovými silami a pružinami. Pre matematický model uvažujeme okrajový problém s dynamickými okrajovými podmienkami pre parciálnu diferenciálnu rovnicu štvrtého rádu. Voľba tohto modelu závisí od potreby zohľadniť výsledok priečnej deformácie. Rayleigh ukázal, že zanedbanie priečneho napätia vedie k chybe. Potvrdzuje to moderná nelokálna teória vibrácií. Dokázali sme existenciu ortogonál s vlastnými funkciami zaťaženia a odvodili sme ich reprezentáciu. Stanovené vlastnosti vlastných funkcií umožňujú použiť metódu separácie premenných a nájsť jedinečné riešenie problému.

Kľúčové slová: dynamické okrajové podmienky, pozdĺžne kmitanie, zaťažená ortogonalita, Rayleighov model.

Alexander B. Beylin: http://orcid.org/0000-0002-4042-2860

1. Nerubai M. S., Shtrikov B. L., Kalašnikov V. V. Ul "trazvukovaia mekhanicheskaia obrabotka i sborka. Samara, Samara Book Publ., 1995, 191 s. (v ruštine)

2. Khmelev V. N., Barsukov R. V., Tsyganok S. N. Ul "trazvukovaia razmernaia obrabotka materialov. Barnaul, 1997, 120 s. (v ruštine)

3. Kumabe J. Vibračné rezanie. Tokio, Jikkyou Publishing Co., Ltd., 1979 (v japončine).

4. Tichonov A. N., Samarsky A. A. Uravneniia matematicheskoi fiziki. Moskva, Nauka, 2004, 798 s. (V ruštine)

5. Strutt J. W. Teória zvuku, zv. 1. London, Macmillan and Co., 1945, xi+326 s.

6. Rao J. S. Advanced Theory of Vibration: Nelineárne vibrácie a jednorozmerné štruktúry. New York, John Wiley & Sons, Inc., 1992, 431 s.

Beylin A.B. Problém pozdĺžneho kmitania tyče s elastickým upevnením, Vestn. Samar. Gos. Techn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2016, roč. 20, č. 2, str. 249-258. doi: 10.14498/vsgtu1474. (v ruštine) Podrobnosti o autorovi:

Alexander B. Beylin (Cand. Techn. Sci.; [e-mail chránený]), docent, odd. automatizačných obrábacích strojov a nástrojových systémov.

7. Fedotov I. A., Polyanin A. D., Shatalov M. Yu. Teória voľných a vynútených vibrácií tuhej tyče podľa Rayleighovho modelu, Dokl. Phys., 2007, roč.52, č. 11, str. 607-612. doi: 10.1134/S1028335807110080.

8. Bažant Z., Jirásek M. Nelokálne integrálne formulácie plasticity a poškodenia: Prieskum pokroku, J. Ing. Mech., 2002, roč.128, č. 11, str. 1119-1149. doi: 10.1061/(ASCE)0733-9399(2002)128:11(1119).

9. Beylin A. B., Pulkina L. S. Problém o pozdĺžnych vibráciách tyče s dynamickými okrajovými podmienkami, Vestník SamGU. Estestvenno-Nauchnaya Ser., 2014, č. 3(114), str. 919 (v ruštine).

10. Korpusov M. O. Razrushenie v neklassicheskikh voľnovykh uravneniiakh. Moskva, URSS, 2010, 237 s. (V ruštine)

Prijaté 10/II/2016;

prijaté v prepracovanom znení 18/V/2016;

1

Na riešenie problému pozdĺžnych vibrácií tyčí stupňovito premenlivého prierezu je navrhnutá frekvenčná metóda s alebo bez zohľadnenia rozptylu energie pri náraze na tuhú prekážku. Rovnica pozdĺžnych vibrácií tyče je transformovaná podľa Laplacea za prítomnosti nenulových počiatočných podmienok. Je vyriešený okrajový problém, ktorý spočíva v nájdení Laplace-transformovaných okrajových pozdĺžnych síl ako funkcií okrajových posunov. Potom sa zostaví systém rovnovážnych rovníc pre uzly, ktorých riešením sa zostrojia amplitúdovo-fázovo-frekvenčné charakteristiky (APFC) pre úseky skúmanej tyče. Vykonaním inverznej Laplaceovej transformácie sa vytvorí prechodový proces. Ako skúšobný príklad je uvažovaná tyč s konštantným prierezom konečnej dĺžky. Uvádza sa porovnanie so známym vlnovým riešením. Navrhovaná metóda dynamického výpočtu tyče pri zrážke s tuhou prekážkou umožňuje zovšeobecnenie na ľubovoľný tyčový systém za prítomnosti neobmedzeného počtu elasticky pripevnených hmôt s ľubovoľnou silou pôsobiacou na koncoch a po dĺžke tyče. tyč.

Frekvenčná metóda

pozdĺžne vibrácie tyče

1. Biderman, V.L. Aplikovaná teória mechanických vibrácií / V.L. Biderman. – M.: Vyššia škola, 1972. – 416 s.

2. Lavrentiev, M.A. Metódy teórie funkcií komplexnej premennej / M.A. Lavrentiev, B.V. Šabat. – M.: Nauka, 1973. – 736 s.

3. Sankin, Yu.N. Dynamické charakteristiky viskoelastických systémov s rozloženými parametrami / Yu.N. Sankin. – Saratov: Vydavateľstvo Sarat. Univerzita, 1977. – 312 s.

4. Sankin, Yu.N. Nestále vibrácie tyčových systémov pri kolízii s prekážkou / Yu.N. Sankin, N.A. Yuganova; pod všeobecným vyd. Yu.N. Sankina. – Uljanovsk: Uljanovská štátna technická univerzita, 2010. – 174 s.

5. Sankin, Y.N. Pozdĺžne vibrácie pružných tyčí stupňovito premenlivého prierezu narážajúce na tuhú prekážku \ Yu. N. Sankin a N.A. Yuganova, J. Appl. Maths Mechs, Vol. 65, č. 3, s. 427-433, 2001.

Uvažujme frekvenčnú metódu riešenia problému pozdĺžnych kmitov tyčí stupňovito premenlivého prierezu s alebo bez zohľadnenia disipácie energie pri náraze na tuhú prekážku, ktorú porovnáme so známym vlnovým riešením a riešením v formou série vibračných režimov (14).

Diferenciálna rovnica pre pozdĺžne vibrácie tyče, berúc do úvahy sily vnútorného odporu, má tvar:

Stanovme si nasledujúce hraničné a počiatočné podmienky:

. (2)

Transformujme rovnicu (1) a okrajové podmienky (2) podľa Laplacea pre dané počiatočné podmienky (2). Potom rovnicu (2) a okrajové podmienky (2) zapíšeme takto:

; (3)

,

kde sú Laplace-transformované posuny hrotov tyče; p je parameter Laplaceovej transformácie.

Rovnica (3) bez zohľadnenia disipácie energie (pri = 0) bude mať tvar:

. (4)

Pre výslednú nehomogénnu diferenciálnu rovnicu je vyriešený okrajový problém, ktorý spočíva v nájdení Laplace-transformovaných okrajových pozdĺžnych síl ako funkcií okrajových posunov.

Za týmto účelom zvážte homogénnu rovnicu pozdĺžnych vibrácií tyče s prihliadnutím na rozptyl energie

(5)

Určenie

a prechodom na novú premennú dostaneme namiesto (5)

(6)

Ak, kde je parameter frekvencie, potom

.

Riešenie homogénnej rovnice (6) má tvar:

Z počiatočných podmienok nájdeme integračné konštanty c1 a c2:

u = u0; N = N0,

Tie. ;

Toto riešenie zodpovedá nasledujúcej prenosovej matici:

. (7)

Nahradením výsledných výrazov pre prvky prenosovej matice do vzorcov metódy posunu získame:

; (8)

;

Indexy n a k označujú začiatok a koniec časti tyče. A geometrické a fyzikálne konštanty s indexmi nk a kn sa vzťahujú na konkrétny úsek tyče.

Rozdelením tyče na prvky pomocou vzorcov (8) zostavíme rovnice pre dynamickú rovnováhu uzlov. Tieto rovnice predstavujú sústavu rovníc pre neznáme uzlové posuny. Pretože zodpovedajúce koeficienty sa získajú presnou integráciou, dĺžka tyčových častí nie je obmedzená.

Riešením výsledného systému rovníc pre zostavíme amplitúdovo-fázovo-frekvenčné charakteristiky pre úseky tyče, ktoré nás zaujímajú. Tieto AFC možno považovať za grafický obraz jednosmernej Fourierovej transformácie, ktorá sa pri pulzných vplyvoch zhoduje s Laplaceovou transformáciou. Keďže všetky singulárne body zodpovedajúcich výrazov ležia naľavo od imaginárnej osi, inverznú transformáciu možno vykonať za predpokladu , t.j. pomocou skonštruovaných AFC. Pomocná je úloha konštrukcie AFC, kde sa pole počiatočných rýchlostí vynásobených hustotou tyče javí ako silové pôsobenie. Typicky sú AFC konštruované vplyvom rušivých síl, potom sa inverzná Laplaceova transformácia vykonáva numerickou integráciou alebo nejakou inou metódou.

Ako jednoduchý príklad uvažujme priamu tyč dĺžky l, ktorá pozdĺžne naráža na tuhú prekážku rýchlosťou V0 (obr. 1).

Určme posunutie bodov tyče po dopade. Budeme predpokladať, že po dopade zostane kontakt medzi prekážkou a tyčou, t.j. nedochádza k odrazu tyče. Ak je spojenie neobsahujúce, problém možno považovať za po častiach lineárny. Kritériom prechodu na inú možnosť riešenia je zmena znamienka rýchlosti v mieste dotyku.

V monografii Lavrentyeva M.A., Shabat B.V. vlnové riešenie rovnice (4) je dané:

a našiel sa jeho originál

, (9)

kde je funkcia jednotkového kroku.

Iný prístup k riešeniu tohto problému môže byť uskutočnený frekvenčnou metódou opísanou v. V súvislosti s týmto problémom budeme mať:

; ;

; ;

; ;

. (10)

Poďme nájsť originál (11)

Vyriešme rovnaký problém pomocou frekvenčnej metódy. Z rovnice rovnováhy 1. uzla:

(12)

získame vzorec na pohyb konca tyče.

Ak je teraz skúšobná tyč s konštantným prierezom rozdelená na dva ľubovoľné úseky dĺžky l1 a l2 (pozri obr. 1), potom budú podmienky rovnováhy pre uzly nasledovné:

(13)

Výsledkom riešenia systému (13) sú grafy fázovo-frekvenčnej odozvy pre posuny v 1. a 2. sekcii (U1, resp. U2). Obraz pre posunutie hrany v uzavretej forme, berúc do úvahy stratu energie, sa v prípade (12) a (13) zhoduje a má tvar:

. (14)

Na konci prúta skontrolujeme zhodu výsledkov. Na obr. Obrázok 2 ukazuje grafy riešenia (10) pri x = 10,1 a ako výsledok systému riešenia (13). Sú úplne rovnaké.

Na získanie prechodného procesu možno použiť diskrétnu Fourierovu transformáciu. Výsledok možno získať vykonaním numerickej integrácie pri t=0... pomocou vzorca

. (15)

V AFC (pozri obr. 2) sa výrazne prejavuje iba jeden viditeľný obrat. Preto by sa mal použiť jeden termín série (15). Grafy na obrázku 3 ukazujú, ako presne sa riešenie (9) a riešenie pre vibračné režimy (11) zhodujú s navrhovaným frekvenčným riešením. Chyba nepresahuje 18 %. Výsledný nesúlad je vysvetlený skutočnosťou, že riešenia (9) a (11) neberú do úvahy stratu energie v materiáli tyče.

Ryža. 3. Prechodný proces na konci tyče; 1, 2, 3 - grafy zostrojené podľa vzorcov (9), (11), (15).

Ako komplexnejší príklad uvažujme problém pozdĺžnych kmitov stupňovitej tyče (obr. 4) so ​​záťažou na konci, ktorá naráža na tuhú prekážku rýchlosťou V0 a hmotnosť záťaže nech sa rovná hmotnosti susednej časti tyče:.

Ryža. 4. Výpočtový diagram pozdĺžnych kmitov stupňovitej tyče so záťažou na konci

Uveďme charakteristické úseky 1,2,3 tyče, v ktorých budeme počítať posuvy. Vytvorme systém riešenia rovníc:

(16)

Výsledkom riešenia systému (16) sú grafy fázovo-frekvenčnej odozvy (obr. 5) pre posuny v druhej a tretej sekcii (U2(), resp. U3(). Výpočty sa uskutočnili s nasledujúcimi konštantnými hodnotami: l = 2 m; E = 2,1 x 1011 Pa; F = 0,06 m2; = 7850 kg/m3; V = 10 m/s. V získaných AFC sa výrazne prejavujú len dva viditeľné obraty. Preto pri konštrukcii prechodového procesu vo vybraných úsekoch berieme dva členy radu (16). Ak to chcete urobiť, musíte najprv určiť

Ryža. 5. AFC posunov v druhej a tretej časti stupňovitej tyče (pozri obr. 4)

Proces prechodu je konštruovaný podobne pomocou vzorca (15).

Záver: Bola vyvinutá metóda na výpočet pozdĺžnych vibrácií tyčí pri náraze na prekážku.

Recenzenti:

Lebedev A.M., doktor technických vied, docent, profesor Uljanovskej vyššej leteckej školy (inštitútu), Uljanovsk.

Antonets I.V., doktor technických vied, profesor Uljanovskej štátnej technickej univerzity v Uljanovsku.

Bibliografický odkaz

Yuganova N.A. POZDĹŽNE VIBRÁCIE TYČOV PRI NÁRAZE S TVRDOU PREKÁŽKOU // Moderné problémy vedy a vzdelávania. – 2014. – č. 2.;
URL: http://science-education.ru/ru/article/view?id=12054 (dátum prístupu: 15.01.2020). Dávame do pozornosti časopisy vydávané vydavateľstvom „Akadémia prírodných vied“

Tyč je teleso, ktorého jeden rozmer, nazývaný pozdĺžny, výrazne presahuje jeho rozmery v rovine kolmej na pozdĺžny smer, t.j. priečne rozmery. Hlavnou vlastnosťou tyče je odolnosť voči pozdĺžnemu stlačeniu (ťahu) a ohybu. Táto vlastnosť zásadne odlišuje prút od struny, ktorá sa nenaťahuje a nebráni ohybu. Ak je hustota materiálu tyče vo všetkých jej bodoch rovnaká, potom sa tyč nazýva homogénna.

Typicky sa rozšírené telesá ohraničené uzavretým valcovým povrchom považujú za tyče. V tomto prípade zostáva plocha prierezu konštantná. Budeme študovať správanie práve takejto jednotnej tyče dĺžky l, za predpokladu, že je vystavená iba stlačeniu alebo napätiu, v súlade s Hookovým zákonom. Pri štúdiu malých pozdĺžnych deformácií tyče, tzv hypotéza rovinných rezov. Spočíva v tom, že prierezy, ktoré sa pohybujú pod tlakom alebo ťahom pozdĺž tyče, zostávajú ploché a navzájom rovnobežné.

Nasmerujeme os X pozdĺž pozdĺžnej osi tyče (obr. 19) a budeme predpokladať, že v počiatočnom okamihu sú konce tyče v bodoch x=0 A x=l. Zoberme si ľubovoľnú časť tyče so súradnicou X. Označme podľa u(X,t) posunutie tohto úseku v čase t, potom posunutie úseku so súradnicou v tom istom čase sa bude rovnať

Potom relatívne predĺženie tyče v reze X budú rovné

Odporová sila voči tomuto predĺženiu podľa Hookovho zákona bude rovná

Kde E– modul pružnosti materiálu tyče (Youngov modul) a S – prierezová plocha. Na hraniciach úseku tyče s dĺžkou dx pôsobia na neho sily Tx A T x + dx, smerované pozdĺž osi X. Výslednica týchto síl sa bude rovnať

,

a zrýchlenie uvažovaného úseku tyče sa rovná , potom bude mať pohybová rovnica tohto úseku tyče tvar:

, (67)

Kde ρ – hustota materiálu tyče. Ak sú táto hustota a Youngov modul konštantné, potom môžeme zadať množstvo cez a vydelením oboch strán rovnice číslom Sdx, konečne získaj rovnica pozdĺžnych kmitov tyče v neprítomnosti vonkajších síl

(68)

Táto rovnica má rovnaký tvar ako rovnica pre priečne vibrácie strún a metódy riešenia pre to sú rovnaké, avšak koeficient a Tieto rovnice predstavujú rôzne veličiny. V reťazcovej rovnici množstvo a 2 predstavuje zlomok, ktorého čitateľom je konštantná napínacia sila struny - T a v menovateli lineárna hustota ρ a v reťazcovej rovnici čitatelia obsahujú Youngov modul a menovateľ - objemový hustota materiálu tyče ρ . Odtiaľ pochádza fyzikálny význam množstva a v týchto rovniciach je iný. Ak je pre strunu tento koeficient rýchlosť šírenia malého priečneho posunu, tak pre tyč je to rýchlosť šírenia malého pozdĺžneho natiahnutia alebo stlačenia a nazýva sa rýchlosť zvuku, pretože práve pri tejto rýchlosti sa budú pozdĺž tyče šíriť malé pozdĺžne vibrácie, ktoré predstavujú zvuk.

Pre rovnicu (68) sú nastavené počiatočné podmienky, ktoré určujú posun a rýchlosť posunu ktorejkoľvek časti tyče v počiatočnom čase:

Pre obmedzenú tyč sú podmienky upevnenia alebo pôsobenia sily na jej koncoch špecifikované formou okrajových podmienok 1., 2. a 3. druhu.

Okrajové podmienky prvého druhu špecifikujú pozdĺžne posunutie na koncoch tyče:

Ak sú konce tyče nehybné, potom za podmienok (6) . V tomto prípade, ako pri probléme kmitania upnutej struny, aplikujeme metódu separácie premenných.

V okrajových podmienkach druhého druhu sú na koncoch tyče špecifikované elastické sily, ktoré sú výsledkom deformácie podľa Hookovho zákona v závislosti od času. Podľa vzorca (66) sa tieto sily až do konštantného faktora rovnajú derivácii u x, preto sú na konci tieto derivácie špecifikované ako funkcie času:

Ak je jeden koniec tyče voľný, potom na tomto konci u x = 0.

Okrajové podmienky tretieho druhu možno znázorniť ako podmienky, za ktorých je na každom konci tyče pripevnená pružina, ktorej druhý koniec sa pohybuje pozdĺž osi podľa daného časového zákona. θ (t), ako je znázornené na obr. 20. Tieto podmienky možno spísať nasledovne

, (72)

Kde k 1 a k 2 – tuhosť pružiny.

Ak na tyč pôsobí aj vonkajšia sila pozdĺž osi p(X,t), vypočítané na jednotku objemu, potom namiesto rovnice (50) treba napísať nehomogénnu rovnicu

,

Ktorý po rozdelení dostane podobu

, (73)

Kde . Rovnica (73) je rovnica vynútených pozdĺžnych vibrácií tyče, ktorá je riešená analogicky s rovnicou vynútených vibrácií struny.

Komentujte. Treba si uvedomiť, že výplet aj prút sú modely skutočných tiel, ktoré v skutočnosti môžu vykazovať vlastnosti výpletu aj prútu v závislosti od podmienok, v ktorých sa nachádzajú. Výsledné rovnice navyše neberú do úvahy odporové sily prostredia a sily vnútorného trenia, v dôsledku čoho tieto rovnice opisujú netlmené kmitanie. Na zohľadnenie tlmiaceho účinku sa v najjednoduchšom prípade používa disipačná sila, úmerná rýchlosti a smerujúca v smere opačnom k ​​pohybu, t.j. rýchlosť. Výsledkom je, že rovnica (73) nadobúda tvar

(74)

Uvažujme o jednotnej dĺžke tyče, t. j. teleso valcového alebo iného tvaru, na natiahnutie alebo ohnutie, na ktoré musí byť vyvinutá určitá sila. Posledná okolnosť odlišuje aj ten najtenší prút od šnúrky, ktorá sa, ako vieme, voľne ohýba.

V tejto kapitole použijeme metódu charakteristík na štúdium pozdĺžnych vibrácií tyče a obmedzíme sa na štúdium iba takých vibrácií, pri ktorých prierezy pohybujúce sa pozdĺž osi tyče zostávajú ploché a rovnobežné s navzájom (obr. 6). Takýto predpoklad je opodstatnený, ak sú priečne rozmery tyče malé v porovnaní s jej dĺžkou.

Ak je tyč mierne natiahnutá alebo stlačená pozdĺž pozdĺžnej osi a potom ponechaná na seba, potom v nej vzniknú pozdĺžne vibrácie. Nasmerujme os pozdĺž osi tyče a predpokladajme, že v stave pokoja sú konce tyče v bodoch Nech je úsečka určitého úseku tyče, keď je tyč v pokoji. Označme posunutím tohto úseku v čase, potom posunutie úseku s úsečkou sa bude rovnať

Odtiaľ je zrejmé, že relatívne predĺženie tyče v reze s x x je vyjadrené deriváciou

Teraz za predpokladu, že tyč prechádza malými osciláciami, môžeme vypočítať napätie v tejto časti. Aplikovaním Hookovho zákona skutočne zistíme, že

kde je modul pružnosti tyčového materiálu, jeho prierezová plocha. Zoberme si priložený tyčový prvok

medzi dvoma úsekmi, ktorých úsečky sú v pokoji rovnaké. Na tento prvok pôsobia ťahové sily pôsobiace v týchto úsekoch a smerujúce pozdĺž osi. Výslednica týchto síl má veľkosť

a je tiež nasmerovaný pozdĺž . Na druhej strane, zrýchlenie prvku je rovnaké, v dôsledku čoho môžeme zapísať rovnosť

kde je objemová hustota tyče. Umiestňovanie

a znížením získame diferenciálnu rovnicu pozdĺžnych vibrácií homogénnej tyče

Tvar tejto rovnice ukazuje, že pozdĺžne vibrácie tyče sú vlnového charakteru a rýchlosť a šírenia pozdĺžnych vĺn je určená vzorcom (4).

Ak na tyč pôsobí aj vonkajšia sila vypočítaná na jednotku jej objemu, tak namiesto (3) dostaneme

Toto je rovnica vynútených pozdĺžnych vibrácií tyče. Rovnako ako v dynamike vo všeobecnosti, samotná pohybová rovnica (6) nestačí na úplné určenie pohybu tyče. Je potrebné nastaviť počiatočné podmienky, t.j. nastaviť posunutia sekcií tyče a ich rýchlosti v počiatočnom okamihu

kde a sú dané funkcie v intervale (

Okrem toho musia byť špecifikované okrajové podmienky na koncoch tyče. Napríklad.