Teorem jednakih trokuta. Treći znak jednakosti trokuta

Video lekcija “Treći kriterij jednakosti trokuta” sadrži dokaz teorema, koji je test jednakosti dvaju trokuta na tri stranice. Ovaj teorem je važan dio geometrije. Često se koristi za rješavanje praktičnih problema. Dokaz se temelji na učenicima već poznatim znakovima jednakosti trokuta.

Dokaz ovog teorema je složen, stoga je za poboljšanje kvalitete učenja i razvoj sposobnosti dokazivanja geometrijskih tvrdnji preporučljivo koristiti ovaj vizualni materijal, koji će pomoći koncentrirati pozornost učenika na gradivo koje se proučava. Također, uz pomoć animacije, vizualne demonstracije konstrukcija i dokaza, omogućuje poboljšanje kvalitete učenja.

Na početku lekcije demonstrira se naslov teme i formulira teorem da su trokuti jednaki ako su sve stranice jednog trokuta u paru jednake svim stranicama drugog trokuta. Tekst teorema prikazan je na ekranu i učenici ga mogu zapisati u bilježnicu. Zatim ćemo razmotriti dokaz ovog teorema.

Za dokaz teorema konstruirani su trokuti ΔAVS i ΔA 1 V 1 S 1. Iz uvjeta teorema proizlazi da su stranice u paru jednake, odnosno AB = A 1 B 1, BC = B 1 C 1 i AC = A 1 C 1. Na početku dokaza demonstriramo nametanje trokuta ΔABC na ΔA 1 B 1 C 1 tako da su vrhovi A i A 1, kao i B i B 1 ovih trokuta poravnati. U ovom slučaju, vrhovi C i C 1 trebaju biti smješteni duž različite strane sa superponiranih stranica AB i A 1 B 1. Na ovu konstrukciju Moguće je nekoliko opcija za raspored elemenata trokuta:

1. Zraka C 1 C leži unutar kuta ∠A 1 C 1 B 1.
2. Zraka C 1 C poklapa se s jednom od stranica kuta ∠A 1 C 1 B 1.
3. Zraka C 1 C leži izvan kuta ∠A 1 C 1 B 1.

Svaki slučaj treba razmatrati zasebno, jer dokazi ne mogu biti isti za sve date slučajeve. U prvom slučaju razmatraju se dva trokuta nastala kao rezultat konstrukcije. Kako su prema uvjetu u tim trokutima stranice AC = A 1 C 1, a BC = B 1 C 1, tada su dobiveni trokuti ΔB 1 C 1 C i ΔA 1 C 1 jednakokračni. Koristeći proučeno svojstvo jednakokračnih trokuta, možemo ustvrditi da su kutovi ∠1 i ∠2 međusobno jednaki, a također su jednaki i ∠3 i ∠4. Budući da su ti kutovi jednaki, tada će zbroj ∠1 i ∠3, kao i ∠2 i ∠4 također dati jednake kutove. Dakle, kutovi ∠S i ∠S 1 su jednaki. Nakon što je dokazao ova činjenica, možemo ponovno razmotriti trokute ΔAVS i ΔA 1 V 1 S 1 , u kojima su stranice VS = V 1 S 1 i AC = A 1 S 1 prema uvjetima teorema, te je dokazano da su kutovi između njih ∠ S i ∠S 1 su također jednaki. Prema tome, ti će trokuti biti jednaki prema prvom znaku jednakosti trokuta, koji je učenicima već poznat.

U drugom slučaju, kada su trokuti superponirani, točke C i C 1 leže na jednoj ravnoj liniji koja prolazi točkom B (B 1). Zbroj dvaju trokuta ΔABC i ΔA 1 B 1 C 1 rezultira trokutom ΔCAC 1 u kojem su dvije stranice AC = A 1 C 1 jednake prema uvjetima iz teorema. Prema tome, ovaj je trokut jednakokračan. U jednakokračnom trokutu jednake stranice imaju jednake kutove pa možemo reći da su kutovi ∠S=∠S 1. Iz uvjeta teorema također proizlazi da su stranice BC i B 1 C 1 međusobno jednake, stoga su ΔABC i ΔA 1 B 1 C 1, uzimajući u obzir navedene činjenice, međusobno jednake prema prvoj znak jednakosti trokuta.

Dokaz u trećem slučaju, slično kao iu prva dva, koristi prvi znak jednakosti trokuta. Geometrijski lik konstruiran spajanjem trokuta, kada se poveže segmentom vrhova C i C 1, transformira se u trokut ΔB 1 C 1 C. Taj je trokut jednakokračan, jer su mu stranice B 1 C 1 i B 1 C jednake stanje. A uz jednake stranice u jednakokračnom trokutu jednaki su i kutovi ∠S i ∠S 1 . Kako su prema uvjetima teorema stranice AC = A 1 C 1 jednake, onda su i kutovi na njima u jednakokračnom trokutu ΔASS 1 također jednaki. Uzimajući u obzir da su kutovi ∠C i ∠C 1 jednaki, a kutovi ∠DCA i ∠DC 1 A međusobno jednaki, jednaki su i kutovi ∠ACB i ∠AC 1 B. S obzirom na tu činjenicu, za dokazivanje jednakosti trokuta ΔABC i ΔA 1 B 1 C 1 možete koristiti prvi znak jednakosti trokuta, budući da su dvije stranice ovih trokuta jednake prema uvjetima, a jednakost kutova između njih dokazuje se tijekom zaključivanja.

Na kraju video lekcije demonstrira se važna primjena trećeg znaka jednakosti trokuta - krutost zadanog geometrijski lik. Primjer objašnjava što ova izjava znači. Primjer fleksibilnog dizajna su dvije letvice spojene čavlom. Ove letvice se mogu razdvojiti i pomicati pod bilo kojim kutom. Ako na letvice pričvrstimo još jednu, krajevima spojenu na postojeće letvice, tada dobivamo krutu strukturu u kojoj je nemoguće mijenjati kut između letvica. Nemoguće je dobiti trokut s ovim stranicama i drugim kutovima. Ovaj korolar teorema ima važno praktično značenje. Zaslon prikazuje inženjerske strukture u kojima se koristi ovo svojstvo trokuta.

Video lekcija "Treći kriterij jednakosti trokuta" olakšava učitelju predstavljanje novog materijala o ovoj temi na satu geometrije. Također, video tutorial se može uspješno koristiti za učenje na daljinu matematike, pomoći će učenicima da sami razumiju složenost dokazivanja.

Kaže se da su dva trokuta sukladna ako se mogu spojiti preklapanjem. Slika 1 prikazuje jednako trokuti ABC i A 1 B 1 C 1 . Svaki od ovih trokuta može se postaviti jedan na drugi tako da su potpuno kompatibilni, odnosno da su im vrhovi i stranice kompatibilni u paru. Jasno je da će se i kutovi ovih trokuta podudarati u parovima.

Dakle, ako su dva trokuta sukladna, tada su elementi (tj. stranice i kutovi) jednog trokuta jednaki elementima drugog trokuta. Imajte na umu da u jednakim trokutima naspram odgovarajućih jednakih stranica(tj. preklapanje kada se preklapa) leže jednaki kutovi i natrag: Jednake stranice leže nasuprot, odnosno jednakih kutova.

Tako, na primjer, u jednakim trokutima ABC i A 1 B 1 C 1, prikazanim na slici 1, nasuprot jednakih stranica AB i A 1 B 1 leže jednaki kutovi C i C 1. Jednakost trokuta ABC i A 1 B 1 C 1 označit ćemo na sljedeći način: Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1. Ispada da se jednakost dvaju trokuta može utvrditi usporedbom nekih njihovih elemenata.

Teorem 1. Prvi znak jednakosti trokuta. Ako su dvije stranice i kut između njih jednog trokuta redom jednaki dvjema stranicama i kutu između njih drugog trokuta, tada su takvi trokuti sukladni (slika 2).

Dokaz. Promotrimo trokute ABC i A 1 B 1 C 1, u kojima je AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1 ∠ A = ∠ A 1 (vidi sliku 2). Dokažimo da je Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

Kako je ∠ A = ∠ A 1, tada se trokut ABC može superponirati na trokut A 1 B 1 C 1 tako da vrh A bude poravnat s vrhom A 1, a stranice AB i AC redom su superponirane na zrake A 1 B 1 i A 1 C 1 . Budući da je AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, tada će stranica AB biti poravnata sa stranicom A 1 B 1, a stranica AC će biti poravnata sa stranicom A 1 C 1; posebno će se točke B i B 1, C i C 1 podudarati. Prema tome, stranice BC i B 1 C 1 će se poravnati. Dakle, trokuti ABC i A 1 B 1 C 1 potpuno su kompatibilni, što znači da su jednaki.

Teorem 2 se dokazuje na sličan način metodom superpozicije.

Teorem 2. Drugi znak jednakosti trokuta. Ako su stranica i dva susjedna kuta jednog trokuta redom jednaki stranici i dvama susjednim kutovima drugog trokuta, tada su takvi trokuti sukladni (slika 34).

Komentar. Na temelju teorema 2 utvrđuje se teorem 3.

Teorem 3. Zbroj bilo koja dva unutarnja kuta trokuta manji je od 180°.

Iz posljednji teorem Slijedi teorem 4.

Teorem 4. Vanjski kut trokuta veći je od bilo kojeg unutarnji kut, ne uz njega.

Teorem 5. Treći znak jednakosti trokuta. Ako su tri stranice jednog trokuta jednake trima stranicama drugog trokuta, tada su takvi trokuti sukladni ().

Primjer 1. U trokutima ABC i DEF (sl. 4)

∠ A = ∠ E, AB = 20 cm, AC = 18 cm, DE = 18 cm, EF = 20 cm Usporedi trokute ABC i DEF. Koji je kut u trokutu DEF jednak kutu B?

Riješenje. Ovi su trokuti jednaki prema prvom predznaku. Kut F trokuta DEF jednak je kutu B trokuta ABC, budući da ti kutovi leže nasuprot jednakih stranica DE i AC.

Primjer 2. Odsječci AB i CD (slika 5) sijeku se u točki O, koja je sredina svakog od njih. Kolika je duljina dužine BD ako je dužina AC 6 m?

Riješenje. Trokuti AOC i BOD su jednaki (prema prvom kriteriju): ∠ AOC = ∠ BOD (vertikalno), AO = OB, CO = OD (po uvjetu).
Iz jednakosti ovih trokuta slijedi da su im stranice jednake, tj. AC = BD. No kako je prema uvjetu AC = 6 m, onda je BD = 6 m.

Teorema

Dokaz

Promotrimo trokute ABC i A 1 B 1 C 1, u kojima je AB = A 1 B 1, ∠A = ∠A 1, ∠B = ∠B 1 (slika 68). Dokažimo da je Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

Riža. 68

Postavimo trokut ABC na trokut A 1 B 1 C 1 tako da je vrh A poravnat s vrhom A 1, stranica AB je poravnata sa stranicom koja mu je jednaka AjBj, a vrhovi C i C 1 su na istoj strani pravca A 1 B 1.

Kako je ∠A = ∠A 1 i ∠B = ∠B 1, onda će se stranica AC preklopiti s polupravom A 1 C 1, a stranica BC s polupravom B 1 C 1. Prema tome, vrh C - zajednička točka stranica AC i BC - ležat će i na zraku A 1 C 1 i na zraku B 1 C 1 i stoga će se podudarati sa zajedničkom točkom ovih zraka - vrhom C 1. To znači da će se stranice AC i A 1 C 1, BC i B 1 C 1 poklapati.

Dakle, trokuti ABC i A 1 B 1 C 1 potpuno su kompatibilni, dakle jednaki. Teorem je dokazan.

Treći znak jednakosti trokuta

Teorema

Dokaz

Promotrimo trokute ABC i A 1 B 1 C 1, u kojima je AB = A 1 B 1, BC = B 1 C 1, CA = C 1 A 1 (slika 69).

Riža. 69

Dokažimo da je Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 . Primijenimo trokut ABC na trokut A 1 B 1 C 1 tako da je vrh A poravnat s vrhom A 1, vrh B je poravnat s vrhom B 1, a vrhovi C i C 1 su na suprotnim stranama pravca A 1 B 1 ( Slika 70 ).

Riža. 70

Moguća su tri slučaja: zraka C 1 C prolazi unutar kuta A 1 C 1 B 1 (slika 70, a); zraka C 1 C podudara se s jednom od strana ovog kuta (slika 70, b); zraka C 1 C prolazi izvan kuta A 1 C 1 B 1 (slika 70, c). Razmotrimo prvi slučaj (ostale slučajeve razmotrite sami).

Budući da su prema uvjetima teorema stranice AC i A 1 C 1, BC i B 1 C 1 jednake, tada su trokuti A 1 C 1 C i B 1 C 1 C jednakokračni (vidi sliku 70, a). Prema teoremu o svojstvu kutova jednakokračnog trokuta, ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, dakle ∠A 1 CB 1 = ∠A 1 C 1 B 1 . Dakle, AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1, ∠C = ∠C 1.

Prema tome, trokuti ABC i A 1 B 1 C 1 jednaki su prema prvom znaku jednakosti trokuta. Teorem je dokazan.

Iz trećeg kriterija jednakosti trokuta slijedi da trokut - kruta figura. Objasnimo što to znači.

Zamislimo dvije letvice, čija su dva kraja pričvršćena čavlom (slika 71, a). Ovaj dizajn nije krut: pomicanjem ili širenjem slobodnih krajeva letvica možemo promijeniti kut između njih. Sada uzmimo drugu letvicu i pričvrstimo njene krajeve slobodnim krajevima prve dvije letvice (slika 71, b).

Riža. 71

Rezultirajuća struktura - trokut - već će biti kruta. Nemoguće je pomaknuti ili razdvojiti bilo koje dvije strane, tj. niti jedan kut se ne može promijeniti. Doista, kad bi to bilo moguće, tada bismo dobili novi trokut, koji nije jednak izvornom. Ali to je nemoguće, budući da novi trokut mora biti jednak izvornom prema trećem kriteriju jednakosti trokuta.

Ovo svojstvo - krutost trokuta - naširoko se koristi u praksi. Dakle, kako bi se stup učvrstio u okomitom položaju, na njega se postavlja nosač (slika 72, a); isti princip se koristi pri ugradnji nosača (slika 72, b).

Riža. 72

Zadaci

121. Dužci AB i CD sijeku se u sredini O dužine AB, ∠OAD = ∠OBC.

a) Dokažite da je Δ SBO = Δ DAO;
b) nađite BC i CO ako je CD = 26 cm, AD = 15 cm.

122. Na slici 53 (vidi str. 31) ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4.

a) Dokažite da je Δ ABC = Δ CDA;
b) nađi AB i BC ako je AO = 19 cm, CD = 11 cm.

123. Na simetrali kuta A uzeta je točka D, a na stranicama tog kuta uzete su točke B i C tako da je ∠ADB = ∠ADC. Dokažite da je BD = CD.

124. Na temelju podataka sa slike 73 dokažite da je OP = OT, ∠P = ∠T.

Riža. 73

125. Na slici 74 je ∠DAC = ∠DBC, AO = VO. Dokažite da je ∠C = ∠D i AC = BD.

Riža. 74

126. Na slici 74 je ∠DAB = ∠CBA, ∠CAB = ∠DBA, AC =13 cm.Nađi BD.

127. U trokutima ABC i A 1 B 1 C 1 AB = A 1 B 1, BC = B 1 C 1, ∠B - ∠B 1. Na stranicama AB i A 1 B 1 označene su točke D i D 1 tako da je ∠ACO = ∠A 1 C 1 D 1 . Dokažite da je Δ BCD = Δ B 1 C 1 D 1 .

128. Dokaži da su u jednakim trokutima simetrale povučene na odgovarajuće jednake stranice jednake.

129. Dugovi AC i BD sijeku se u sredini O odsječka AC, ∠BCO = ∠DAO. Dokažite da je Δ BOA = Δ DOC.

130. U trokutima ABC i A 1 B 1 C 1 dužine CO i C 1 O 1 su središnje, BC = B 1 C 1, ∠B - ∠B 1 i ∠C = ∠C 1. Dokaži to:

a) Δ ASO = Δ A 1 C 1 O 1;
b) Δ BCO = Δ B 1 C 1 O.

131. U trokutima DEF i MNP vrijedi EF - NP, DF = MP i ∠F = ∠P. Simetrale kutova E i D sijeku se u točki O, a simetrale kutova M i N u točki K. Dokažite da je ∠DOE = ∠MKN.

132. Pravac okomit na simetralu kuta A siječe stranice kuta u točkama M i N. Dokaži da je trokut AMN jednakokračan.

133. Dokažite da ako je simetrala trokuta njegova visina, onda je trokut jednakokračan.

134. Dokažite da su jednakokračni trokuti sukladni ako su osnovica i pridruženi kut jednog trokuta redom jednaki osnovici i pridruženom kutu drugog trokuta.

135. Dokažite da ako je stranica jednog jednakostraničnog trokuta jednaka stranici drugog jednakostraničnog trokuta, onda su trokuti sukladni.

136. Na slici 52 (vidi str. 31) AB-AC, BD = DC i ∠BAC = 50°. Pronađite ∠CAD.

137. Na slici 53 (vidi str. 31) BC = AD, AB = CD. Dokažite da je ∠B = ∠D.

138. Na slici 75 je AB = CD i BD = AC. Dokažite da je: a) ∠CAD = ∠ADB; b) ∠BAC = ∠CDB.

Riža. 75

139. Na slici 76 je AB = CD, AD = BC, BE je simetrala kuta ABC, a DF je simetrala kuta ADC. Dokaži to:

a) ∠ABE = ∠ADF;
b) Δ ABE = Δ CDF.

Riža. 76

140. U trokutima ABC i A 1 B 1 C 1 središnje strane BM i B 1 M 1 su jednake, AB = A 1 B 1 AC = A 1 C 1. Dokažite da je Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

141. U trokutima ABC i A 1 B 1 C 1 dužine AD i A 1 D 1 su simetrale, AB = A 1 B 1, BD = B 1 D 1 i AD = A 1 D 1. Dokažite da je Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

142. Jednakokračni trokuti ADC i BCD imaju zajedničku osnovicu DC. Pravac AB siječe dužinu CD u točki O. Dokaži: a) ∠ADB = ∠ACB; b) DO = OC.

Odgovori na probleme

121. b) BC = 15 cm, CO = 13 cm.

122. b) AB = 11 cm, BC = 19 cm.

142. Uputa. Razmotrimo dva slučaja. Točka B leži: a) na polupravi AO; b) na nastavku grede AO.

Drugi znak jednakosti trokuta

Ako su stranica i dva susjedna kuta jednog trokuta jednaki stranici i dvama susjednim kutovima drugog trokuta, tada su ti trokuti sukladni.

MN = PR N = RM = P

Kao i kod dokaza prvog predznaka, potrebno je provjeriti je li to dovoljno da trokuti budu jednaki, mogu li se potpuno spojiti?

1. Kako je MN = PR, onda su ti segmenti spojeni ako su spojene njihove krajnje točke.

2. Kako je N = R i M = P, zrake \(MK\) i \(NK\) će se preklapati sa zrakama \(PT\), odnosno \(RT\).

3. Ako se zrake podudaraju, tada se njihove sjecišne točke \(K\) i \(T\) podudaraju.

4. Svi vrhovi trokuta su spojeni, odnosno Δ MNK i Δ PRT su potpuno poravnati, što znači da su jednaki.

Treći znak jednakosti trokuta

Ako su tri stranice jednog trokuta redom jednake trima stranicama drugog trokuta, tada su takvi trokuti sukladni.

MN = PR KN = TR MK = PT

Pokušajmo ponovno spojiti trokute Δ MNK i Δ PRT preklapanjem i pobrinimo se da odgovarajuće jednake stranice jamče da su odgovarajući kutovi tih trokuta jednaki i da će se potpuno poklapati.

Spojimo, na primjer, identične segmente \(MK\) i \(PT\). Pretpostavimo da se točke \(N\) i \(R\) ne poklapaju.

Neka je \(O\) polovište segmenta \(NR\). Prema ovom podatku MN = PR, KN = TR. Trokuti \(MNR\) i \(KNR\) su jednakokračni sa zajedničkom osnovicom \(NR\).

Prema tome, njihovi medijani \(MO\) i \(KO\) su visine, što znači da su okomiti na \(NR\). Pravci \(MO\) i \(KO\) se ne poklapaju jer točke \(M\), \(K\), \(O\) ne leže na istom pravcu. Ali kroz točku \(O\) pravca \(NR\) može se povući samo jedan pravac okomit na nju. Došli smo do kontradikcije.

Dokazano je da se vrhovi \(N\) i \(R\) moraju poklapati.

Treći znak nam omogućuje da trokut nazovemo vrlo snažnom, stabilnom figurom, ponekad to kažu trokut - kruta figura . Ako se duljine stranica ne mijenjaju, ne mijenjaju se ni kutovi. Na primjer, četverokut nema to svojstvo. Stoga su razne potpore i utvrde napravljene trokutasto.

Ali ljudi već dugo ocjenjuju i ističu osobitu stabilnost, postojanost i savršenstvo broja \(3\).

O tome govore bajke.

Tu susrećemo “Tri medvjeda”, “Tri vjetra”, “Tri praščića”, “Tri druga”, “Tri brata”, “Tri sretnika”, “Tri zanatlije”, “Tri princa”, “Tri prijatelja”, “Tri heroja” itd.

Tu se daju “tri pokušaja”, “tri savjeta”, “tri upute”, “tri susreta”, ispunjavaju se “tri želje”, treba izdržati “tri dana”, “tri noći”, “tri godine”, proći kroz “tri stanja” ", "tri podzemna kraljevstva”, izdržati “tri testa”, ploviti kroz “tri mora”.

1) na dvije stranice i kut između njih

Dokaz:

Neka trokuti ABC i A 1 B 1 C 1 imaju kut A jednak kutu A 1, AB jednak A 1 B 1, AC jednak A 1 C 1. Dokažimo da su trokuti sukladni.

Postavimo trokut ABC (ili simetrično njemu) na trokut A 1 B 1 C 1 tako da je kut A poravnat s kutom A 1 . Kako je AB=A 1 B 1, a AC=A 1 C 1, tada će se B podudarati s B 1, a C će se podudarati s C 1. To znači da se trokut A 1 B 1 C 1 podudara s trokutom ABC, pa je stoga jednaka trokutu ABC.

Teorem je dokazan.

2) duž bočnih i susjednih uglova

Dokaz:

Neka su ABC i A 1 B 1 C 1 dva trokuta u kojima je AB jednak A 1 B 1, kut A jednak kutu A 1, a kut B jednak kutu B 1. Dokažimo da su jednaki.

Postavimo trokut ABC (ili simetrično njemu) na trokut A 1 B 1 C 1 tako da se AB poklapa s A 1 B 1. Kako je ∠BAC =∠B 1 A 1 C 1 i ∠ABC=∠A 1 B 1 C 1, tada će se zraka AC poklapati s A 1 C 1, a BC će se podudarati s B 1 C 1. Slijedi da se vrh C podudara s C 1. To znači da se trokut A 1 B 1 C 1 podudara s trokutom ABC, pa je stoga jednak trokutu ABC.

Teorem je dokazan.

3) na tri strane

Dokaz:

Promotrimo trokute ABC i A l B l C 1, u kojima je AB = A 1 B 1, BC = B l C 1 CA = C 1 A 1. Dokažimo da je ΔAVS =ΔA 1 B 1 C 1.

Primijenimo trokut ABC (ili simetrično njemu) na trokut A 1 B 1 C 1 tako da je vrh A poravnat s vrhom A 1 , vrh B je poravnat s vrhom B 1 , a vrhovi C i C 1 su na suprotnim stranama pravca A 1 B 1 . Razmotrimo 3 slučaja:

1) Zraka C 1 C prolazi unutar kuta A 1 C 1 B 1. Kako su prema uvjetima teorema stranice AC i A 1 C 1, BC i B 1 C 1 jednake, onda su trokuti A 1 C 1 C i B 1 C 1 C jednakokračni. Prema teoremu o svojstvu kutova jednakokračnog trokuta, ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, dakle ∠ACB=∠A 1 C 1 B 1 .

2) Zraka C 1 C podudara se s jednom od stranica tog kuta. A leži na CC 1. AC=A 1 C 1, BC=B 1 C 1, C 1 BC - jednakokračan, ∠ACB=∠A 1 C 1 B 1.

3) Zraka C 1 C prolazi izvan kuta A 1 C 1 B 1. AC=A 1 C 1, BC=B 1 C 1, što znači ∠1 = ∠2, ∠1+∠3 = ∠2+∠4, ∠ACB=∠A 1 C 1 B 1.

Dakle, AC=A 1 C 1, BC=B 1 C 1, ∠C=∠C 1. Stoga su trokuti ABC i A 1 B 1 C 1 jednaki
prvi kriterij jednakosti trokuta.

Teorem je dokazan.

2. Dijeljenje segmenta na n jednakih dijelova.

Nacrtajte zraku kroz A, položite na nju n jednakih odsječaka. Povucite ravnu crtu kroz B i A n i s njom paralelne pravce kroz točke A 1 - A n -1. Označimo njihove sjecišne točke s AB. Dobivamo n odsječaka koji su jednaki prema Thalesovom teoremu.

Thalesov teorem. Ako je nekoliko jednakih segmenata položeno jedan za drugim na jednoj od dvije crte i kroz njihove krajeve su povučene paralelne crte koje sijeku drugu crtu, tada će oni odrezati jednake segmente na drugoj liniji.

Dokaz. AB=CD

1. Nacrtajte ravne crte kroz točke A i C paralelne s drugom stranom kuta. Dobivamo dva paralelograma AB 2 B 1 A 1 i CD 2 D 1 C 1. Prema svojstvu paralelograma: AB 2 = A 1 B 1 i CD 2 = C 1 D 1.

2. ΔABB 2 =ΔCDD 2 ABB 2 CDD 2 BAB 2 DCD 2 i jednaki su na temelju drugog kriterija jednakosti trokuta:
AB = CD prema teoremu,
kao odgovarajući, nastali u sjecištu paralele BB 1 i DD 1 pravca BD.

3. Slično, ispada da je svaki od kutova jednaka kutu s vrhom u točki presjeka sekanti. AB 2 = CD 2 kao odgovarajući elementi u sukladnim trokutima.

4. A 1 B 1 = AB 2 = CD 2 = C 1 D 1