Prosječna razina

Paralelogram, pravokutnik, romb, kvadrat (2019.)

1. Paralelogram

Složenica "paralelogram"? A iza toga se krije vrlo jednostavna figura.

Pa, to jest, uzeli smo dvije paralelne linije:

Preko još dva:

A unutra je paralelogram!

Koja svojstva ima paralelogram?

Svojstva paralelograma.

Odnosno, što možete koristiti ako je problemu zadan paralelogram?

Sljedeći teorem odgovara na ovo pitanje:

Nacrtajmo sve detaljno.

Što to znači prva točka teoreme? A činjenica je da ako IMATE paralelogram, onda sigurno hoćete

Druga točka znači da ako postoji paralelogram, onda, opet, sigurno:

Pa, i konačno, treća točka znači da ako IMATE paralelogram, onda budite sigurni da:

Vidite li kakvo je bogatstvo izbora? Što koristiti u problemu? Pokušajte se usredotočiti na pitanje zadatka ili samo pokušajte sve jedno po jedno - poslužit će neki "ključ".

Postavimo si sada još jedno pitanje: kako možemo prepoznati paralelogram "vidom"? Što se mora dogoditi s četverokutom da bismo mu stekli pravo dati “naziv” paralelograma?

Na ovo pitanje odgovara nekoliko znakova paralelograma.

Znakovi paralelograma.

Pažnja! Početi.

Paralelogram.

Imajte na umu: ako ste pronašli barem jedan znak u svom problemu, onda definitivno imate paralelogram i možete koristiti sva svojstva paralelograma.

2. Pravokutnik

Mislim da vam to uopće neće biti novost

Prvo pitanje: je li pravokutnik paralelogram?

Naravno da je! Uostalom, on ima - sjećate se, naš znak 3?

I odavde, naravno, slijedi da su u pravokutniku, kao u svakom paralelogramu, dijagonale podijeljene na pola točkom presjeka.

Ali pravokutnik također ima jedno posebno svojstvo.

Svojstvo pravokutnika

Zašto je ovo svojstvo posebno? Jer nijedan drugi paralelogram nema jednake dijagonale. Formulirajmo to jasnije.

Napomena: da bi postao pravokutnik, četverokut prvo mora postati paralelogram, a zatim pokazati jednakost dijagonala.

3. Dijamant

I opet pitanje: je li romb paralelogram ili nije?

S punim pravom - paralelogram, jer ima i (zapamtite našu osobinu 2).

I opet, budući da je romb paralelogram, onda mora imati sva svojstva paralelograma. To znači da su u rombu suprotni kutovi jednaki, suprotne stranice paralelne, a dijagonale se u sjecištu raspolavljaju.

Svojstva romba

Pogledaj sliku:

Kao iu slučaju pravokutnika, ova svojstva su različita, odnosno za svako od ovih svojstava možemo zaključiti da se ne radi samo o paralelogramu, već o rombu.

Znakovi dijamanta

I opet, obratite pažnju: ne mora postojati samo četverokut čije su dijagonale okomite, već paralelogram. Budi siguran:

Ne, naravno, iako su njegove dijagonale okomite, a dijagonala je simetrala kutova i. Ali... dijagonale se sjecišnom točkom ne dijele popola, dakle - NIJE paralelogram, a samim tim NIJE ni romb.

To jest, kvadrat je pravokutnik i romb u isto vrijeme. Da vidimo što će se dogoditi.

Je li jasno zašto? - romb je simetrala kuta A, koji je jednak. To znači da se dijeli (i također) na dva kuta.

Pa, sasvim je jasno: dijagonale pravokutnika su jednake; Dijagonale romba su okomite, a općenito je paralelogram dijagonala podijeljen na pola točkom presjeka.

PROSJEČNA RAZINA

Svojstva četverokuta. Paralelogram

Svojstva paralelograma

Pažnja! riječi " svojstva paralelograma"znači da ako je u vašem zadatku Tamo je paralelogram, tada se može koristiti sve sljedeće.

Teorem o svojstvima paralelograma.

U bilo kojem paralelogramu:

Shvatimo zašto je sve to istina, drugim riječima DOKAZAĆEMO teorema.

Pa zašto je 1) istina?

Ako je to paralelogram, tada:

• ležeći unakrst
• leže kao križevi.

To znači (prema kriteriju II: i - općenito.)

Pa, to je to, to je to! - dokazao.

Ali usput! Dokazali smo i 2)!

Zašto? Ali (pogledajte sliku), to jest, upravo zato.

Još samo 3).

Da biste to učinili, još uvijek morate nacrtati drugu dijagonalu.

I sada to vidimo - prema II karakteristici (kutovi i stranica "između" njih).

Svojstva dokazana! Prijeđimo na znakove.

Znakovi paralelograma

Podsjetimo se da znak paralelograma odgovara na pitanje "kako znaš?" da je lik paralelogram.

U ikonama je ovako:

Zašto? Bilo bi lijepo razumjeti zašto – dosta je. Ali pogledaj:

Pa, shvatili smo zašto je znak 1 istinit.

Pa još je lakše! Nacrtajmo ponovno dijagonalu.

Što znači:

I Također je lako. Ali...drugačije!

Sredstva, . Wow! Ali i - unutarnja jednostrana sa sekantom!

Stoga činjenica koja znači da.

A ako pogledate s druge strane, onda - unutarnja jednostrana sa sekantom! I stoga.

Vidite li kako je super?!

I opet jednostavno:

Potpuno isto, i.

Obratiti pažnju: ako ste pronašli barem jedan znak paralelograma u vašem problemu, onda imate točno paralelogram i možete koristiti svatko svojstva paralelograma.

Za potpunu jasnoću pogledajte dijagram:

Svojstva četverokuta. Pravokutnik.

Svojstva pravokutnika:

Točka 1) je sasvim očita - na kraju krajeva, znak 3 () je jednostavno ispunjen

I točka 2) - jako važno. Dakle, dokažimo to

To znači na dvije strane (i – općenito).

Pa, budući da su trokuti jednaki, onda su i njihove hipotenuze jednake.

To dokazao!

I zamislite, jednakost dijagonala je posebno svojstvo pravokutnika među svim paralelogramima. To jest, ova izjava je istinita^

Da shvatimo zašto?

To znači (misli se na kutove paralelograma). Ali sjetimo se još jednom da je to paralelogram, i stoga.

Sredstva, . Pa, naravno, slijedi da svaki od njih! Uostalom, moraju dati ukupno!

Tako su dokazali da ako paralelogram odjednom (!) dijagonale ispadnu jednake, onda ovo točno pravokutnik.

Ali! Obratiti pažnju! Ovdje se radi o paralelogrami! Ne bilo tkočetverokut s jednakim dijagonalama je pravokutnik, i samo paralelogram!

Svojstva četverokuta. Romb

I opet pitanje: je li romb paralelogram ili nije?

S punim pravom - paralelogram, jer ima (Zapamtite našu osobinu 2).

I opet, budući da je romb paralelogram, on mora imati sva svojstva paralelograma. To znači da su u rombu suprotni kutovi jednaki, suprotne stranice paralelne, a dijagonale se u sjecištu raspolavljaju.

Ali postoje i posebna svojstva. Idemo to formulirati.

Svojstva romba

Zašto? Pa, budući da je romb paralelogram, onda su njegove dijagonale podijeljene na pola.

Zašto? Da, zato!

Drugim riječima, pokazalo se da su dijagonale simetrale uglova romba.

Kao iu slučaju pravokutnika, ova svojstva su osebujan, svaki od njih je također znak romba.

Znakovi dijamanta.

Zašto je ovo? I pogledaj,

To znaci oba Ovi su trokuti jednakokračni.

Da bi bio romb, četverokut prvo mora "postati" paralelogram, a zatim pokazati značajku 1 ili značajku 2.

Svojstva četverokuta. Kvadrat

To jest, kvadrat je pravokutnik i romb u isto vrijeme. Da vidimo što će se dogoditi.

Je li jasno zašto? Kvadrat – romb – simetrala je kuta koji je jednak. To znači da se dijeli (i također) na dva kuta.

Pa, sasvim je jasno: dijagonale pravokutnika su jednake; Dijagonale romba su okomite, a općenito je paralelogram dijagonala podijeljen na pola točkom presjeka.

Zašto? Pa, primijenimo Pitagorin teorem na...

SAŽETAK I OSNOVNE FORMULE

Svojstva paralelograma:

1. Nasuprotne stranice su jednake: , .
2. Nasuprotni kutovi su jednaki: , .
3. Zbroj kutova na jednoj stranici iznosi: , .
4. Dijagonale su sjecištem podijeljene na pola: .

Svojstva pravokutnika:

1. Dijagonale pravokutnika su jednake: .
2. Pravokutnik je paralelogram (za pravokutnik su ispunjena sva svojstva paralelograma).

Svojstva romba:

1. Dijagonale romba su okomite: .
2. Dijagonale romba su simetrale njegovih kutova: ; ; ; .
3. Romb je paralelogram (za romb su ispunjena sva svojstva paralelograma).

Svojstva kvadrata:

Kvadrat je istovremeno i romb i pravokutnik, dakle, za kvadrat su ispunjena sva svojstva pravokutnika i romba. I.

Paralelogram je četverokut čije su suprotne stranice paralelne, odnosno leže na paralelnim pravcima (slika 1).

Teorem 1. O svojstvima stranica i kutova paralelograma. U paralelogramu su nasuprotne stranice jednake, nasuprotni kutovi su jednaki, a zbroj kutova uz jednu stranicu paralelograma je 180°.

Dokaz. U tom paralelogramu ABCD nacrtajte dijagonalu AC i dobijete dva trokut ABC i ADC (slika 2).

Ti su trokuti jednaki jer je ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (križni kutovi za paralelne pravce), a stranica AC je zajednička. Iz jednakosti Δ ABC = Δ ADC slijedi da je AB = CD, BC = AD, ∠ B = ∠ D. Zbroj kutova koji priliježu jednoj stranici, na primjer kutovi A i D, jednaki su 180° kao jednostrani. za paralelne pravce. Teorem je dokazan.

Komentar. Jednakost suprotnih stranica paralelograma znači da su odsječci paralela odsječeni paralelnima jednaki.

Posljedica 1. Ako su dva pravca paralelna, tada su sve točke na jednom pravcu jednako udaljene od drugog pravca.

Dokaz. Doista, neka || b (slika 3).

Povucimo okomice BA i CD na pravac a iz neke dvije točke B i C pravca b. Budući da je AB || CD, tada je lik ABCD paralelogram, pa je prema tome AB = CD.

Udaljenost između dva paralelna pravca je udaljenost proizvoljne točke na jednom od pravaca do drugog pravca.

Prema onome što je dokazano, jednaka je duljini okomice povučene iz neke točke jednog od usporednih pravaca na drugi pravac.

Primjer 1. Opseg paralelograma je 122 cm. Jedna mu je stranica 25 cm veća od druge. Odredite stranice paralelograma.

Riješenje. Prema teoremu 1, suprotne stranice paralelograma su jednake. Označimo jednu stranu paralelograma s x, a drugu s y. Zatim, prema uvjetu $$\left\(\begin(matrix) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(matrix)\right.$$ Rješavajući ovaj sustav, dobivamo x = 43, y = 18 Dakle, stranice paralelograma su 18, 43, 18 i 43 cm.

Primjer 2.

Riješenje. Neka slika 4 ispunjava uvjete zadatka.

Označimo AB s x, a BC s y. Prema uvjetu, opseg paralelograma je 10 cm, tj. 2(x + y) = 10, odnosno x + y = 5. Opseg trokuta ABD je 8 cm. A kako je AB + AD = x + y = 5 zatim BD = 8 - 5 = 3. Dakle, BD = 3 cm.

Primjer 3. Odredite kutove paralelograma, znajući da je jedan od njih za 50° veći od drugog.

Riješenje. Neka slika 5 ispunjava uvjete zadatka.

Označimo stupanjsku mjeru kuta A s x. Tada je stupanjska mjera kuta D x + 50°.

Kutovi BAD i ADC su jednostrani unutarnji kutovi s paralelnim pravcima AB i DC i sekantom AD. Tada će zbroj ovih imenovanih kutova biti 180°, tj.
x + x + 50° = 180°, ili x = 65°. Dakle, ∠ A = ∠ C = 65°, a ∠ B = ∠ D = 115°.

Primjer 4. Stranice paralelograma su 4,5 dm i 1,2 dm. Iz vrha oštrog kuta povučena je simetrala. Na koje dijelove dijeli veću stranicu paralelograma?

Riješenje. Neka slika 6 ispunjava uvjete zadatka.

AE je simetrala šiljastog kuta paralelograma. Stoga je ∠ 1 = ∠ 2.

Video tečaj “Get an A” uključuje sve teme potrebne za uspješan polaganje Jedinstvenog državnog ispita iz matematike za 60-65 bodova. Potpuno svi problemi 1-13 Jedinstveni državni ispit za profil matematika. Prikladno i za polaganje osnovnog jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Ako želite položiti Jedinstveni državni ispit s 90-100 bodova, trebate riješiti 1. dio za 30 minuta i bez grešaka!

Pripremni tečaj za Jedinstveni državni ispit za razrede 10-11, kao i za učitelje. Sve što vam je potrebno za rješavanje prvog dijela Jedinstvenog državnog ispita iz matematike (prvih 12 problema) i problema 13 (trigonometrija). A ovo je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne može ni student sa 100 bodova ni student humanističkih znanosti.

Sva potrebna teorija. Brzi načini rješenja, zamke i tajne jedinstvenog državnog ispita. Analizirani su svi tekući zadaci 1. dijela iz FIPI Banke zadataka. Tečaj je u potpunosti u skladu sa zahtjevima Jedinstvenog državnog ispita 2018.

Tečaj sadrži 5 velikih tema, svaka po 2,5 sata. Svaka tema je dana od nule, jednostavno i jasno.

Stotine zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Riječni problemi i teorija vjerojatnosti. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih vrsta zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Stereometrija. Varljiva rješenja, korisne varalice, razvoj prostorne mašte. Trigonometrija od nule do problema 13. Razumijevanje umjesto natrpavanja. Jasna objašnjenja složenih pojmova. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i izvod. Osnova za rješenje složeni zadaci 2 dijela Jedinstvenog državnog ispita.

Kao što su u euklidskoj geometriji točka i pravac glavni elementi teorije ravnina, tako je paralelogram jedna od ključnih figura konveksnih četverokuta. Iz njega, poput niti iz lopte, proizlaze pojmovi "pravokutnik", "kvadrat", "romb" i druge geometrijske veličine.

U kontaktu s

Definicija paralelograma

konveksni četverokut, koji se sastoji od segmenata, od kojih je svaki par paralelan, poznat je u geometriji kao paralelogram.

Kako izgleda klasični paralelogram prikazuje četverokut ABCD. Stranice se nazivaju bazama (AB, BC, CD i AD), okomica povučena iz bilo kojeg vrha na stranicu suprotnu od tog vrha naziva se visina (BE i BF), pravci AC i BD nazivaju se dijagonale.

Pažnja! Kvadrat, romb i pravokutnik su posebni slučajevi paralelograma.

Stranice i kutovi: značajke odnosa

Ključna svojstva, uglavnom, unaprijed određena samom oznakom, dokazuju se teoremom. Ove karakteristike su sljedeće:

1. Stranice koje su nasuprotne jednake su u paru.
2. Kutovi nasuprot jedan drugome jednaki su u parovima.

Dokaz: Promotrimo ∆ABC i ∆ADC, koji se dobiju dijeljenjem četverokuta ABCD s pravcem AC. ∠BCA=∠CAD i ∠BAC=∠ACD, budući da im je AC zajednički ( okomiti kutovi za BC||AD odnosno AB||CD). Iz toga slijedi: ∆ABC = ∆ADC (drugi znak jednakosti trokuta).

Dužci AB i BC u ∆ABC odgovaraju u paru pravcima CD i AD u ∆ADC, što znači da su identični: AB = CD, BC = AD. Dakle, ∠B odgovara ∠D i oni su jednaki. Budući da je ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, koji su također u paru identični, tada je ∠A = ∠C. Svojstvo je dokazano.

Karakteristike dijagonala figure

Glavna značajka ovih pravaca paralelograma: sjecište ih dijeli na pola.

Dokaz: Neka je i. sjecište dijagonala AC i BD figure ABCD. Oni tvore dva sumjerljiva trokuta - ∆ABE i ∆CDE.

AB=CD jer su suprotni. Prema pravcima i sekantima je ∠ABE = ∠CDE i ∠BAE = ∠DCE.

Po drugom kriteriju jednakosti je ∆ABE = ∆CDE. To znači da su elementi ∆ABE i ∆CDE: AE = CE, BE = DE i ujedno su proporcionalni dijelovi AC i BD. Svojstvo je dokazano.

Značajke susjednih uglova

Susjedni kutovi imaju zbroj kutova jednak 180°, budući da leže na istoj strani paralelne linije i sekante. Za četverokut ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Svojstva simetrale:

1. , spušteni na jednu stranu, okomiti su;
2. nasuprotni vrhovi imaju paralelne simetrale;
3. trokut dobiven povlačenjem simetrale bit će jednakokračan.

Određivanje karakterističnih svojstava paralelograma pomoću teorema

Karakteristike ove figure proizlaze iz njenog glavnog teoreme, koji kaže sljedeće: četverokut se smatra paralelogramom u slučaju da se njegove dijagonale sijeku, a ta ih točka dijeli na jednake segmente.

Dokaz: neka se pravci AC i BD četverokuta ABCD sijeku u t.j. Kako je ∠AED = ∠BEC, a AE+CE=AC BE+DE=BD, onda je ∆AED = ∆BEC (po prvom kriteriju jednakosti trokuta). Odnosno, ∠EAD = ∠ECB. Oni su također unutarnji križni kutovi sekante AC za pravce AD ​​i BC. Dakle, po definiciji paralelizma - AD || prije Krista Također se izvodi slično svojstvo pravaca BC i CD. Teorem je dokazan.

Izračunavanje površine figure

Područje ove figure pronađeno na nekoliko metoda jedan od najjednostavnijih: množenje visine i baze na koju je povučena.

Dokaz: iz vrhova B i C povući okomice BE i CF. ∆ABE i ∆DCF su jednake jer je AB = CD i BE = CF. ABCD je po veličini jednak pravokutniku EBCF, jer se sastoje od sumjerljivih likova: S ABE i S EBCD, kao i S DCF i S EBCD. Iz ovoga slijedi da je područje ovog geometrijski lik nalazi se na isti način kao i pravokutnik:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Za određivanje opća formula Površina paralelograma označena je visinom as hb, a strana - b. Odnosno:

Drugi načini za pronalaženje područja

Izračuni površina kroz stranice paralelograma i kut, koji oni tvore, druga je poznata metoda.

,

Spr-ma - područje;

a i b su njegove stranice

α je kut između odsječaka a i b.

Ova se metoda praktički temelji na prvoj, ali u slučaju da je nepoznata. uvijek odsiječe pravokutni trokut, čiji su parametri trigonometrijski identiteti, to je . Transformirajući relaciju, dobivamo . U jednadžbi prve metode visinu zamijenimo ovim umnoškom i dobijemo dokaz valjanosti ove formule.

Kroz dijagonale paralelograma i kut, koje stvaraju kada se sijeku, također možete pronaći područje.

Dokaz: AC i BD sijeku se tako da tvore četiri trokuta: ABE, BEC, CDE i AED. Njihov zbroj jednak je površini ovog četverokuta.

Površina svakog od ovih ∆ može se pronaći izrazom , gdje je a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Od , izračuni koriste jednu vrijednost sinusa. To je . Budući da je AE+CE=AC= d 1 i BE+DE=BD= d 2, formula površine se svodi na:

.

Primjena u vektorskoj algebri

Značajke sastavnih dijelova ovog četverokuta našle su primjenu u vektorskoj algebri, naime zbrajanje dvaju vektora. Pravilo paralelograma kaže da Ako zadani vektori INesu kolinearni, tada će njihov zbroj biti jednak dijagonali ove figure, čije baze odgovaraju ovim vektorima.

Dokaz: od proizvoljno odabranog početka - tj. - konstruirati vektore i . Zatim konstruiramo paralelogram OASV, gdje su segmenti OA i OB stranice. Dakle, OS leži na vektoru ili sumi.

Formule za izračunavanje parametara paralelograma

Identiteti se daju pod sljedećim uvjetima:

1. a i b, α - strane i kut između njih;
2. d 1 i d 2, γ - dijagonale i na mjestu njihova sjecišta;
3. h a i h b - visine spuštene na stranice a i b;

Parametar	Formula
Pronalaženje strana
uz dijagonale i kosinus kuta između njih
po dijagonalama i stranicama
kroz visinu i suprotni vrh
Određivanje duljina dijagonala
na stranama i veličini vrha između njih

Paralelogram je četverokut u kojem su nasuprotne stranice u paru paralelne.

Paralelogram ima sva svojstva četverokuta, ali osim toga ima i svoja razlikovna obilježja. Poznavajući ih, lako možemo pronaći i stranice i kutove paralelograma.

Svojstva paralelograma

1. Zbroj kutova u svakom paralelogramu, kao iu svakom četverokutu, iznosi 360°.
2. Srednje crte paralelograma i njegove dijagonale sijeku se u jednoj točki i njome se raspolavljaju. Ta se točka obično naziva središtem simetrije paralelograma.
3. Suprotne stranice paralelograma uvijek su jednake.
4. Također, ova figura uvijek ima jednake suprotne kutove.
5. Zbroj kutova koji priliježu bilo kojoj stranici paralelograma uvijek je 180°.
6. Zbroj kvadrata dijagonala paralelograma jednak je dvostrukom zbroju kvadrata njegovih dviju susjednih stranica. To se izražava formulom:
   • d 1 2 + d 2 2 = 2 (a 2 + b 2), gdje su d 1 i d 2 dijagonale, a i b susjedne stranice.
7. Kosinus tupog kuta uvijek je manji od nule.

Kako pomoću ovih svojstava u praksi pronaći kutove zadanog paralelograma? A koje nam druge formule mogu pomoći u tome? Pogledajmo konkretne zadatke koji zahtijevaju: pronaći kutove paralelograma.

Pronalaženje kutova paralelograma

Slučaj 1. Mjera tupog kuta je poznata, potrebno je pronaći oštar kut.

Primjer: U paralelogramu ABCD kut A iznosi 120°. Odredite mjere preostalih kutova.

Riješenje: Pomoću svojstva br. 5 možemo pronaći mjeru kuta B susjednog kuta zadanog u zadatku. Bit će jednako:

• 180°-120°= 60°

I sada, koristeći svojstvo br. 4, utvrđujemo da su dva preostala kuta C i D suprotna kutovima koje smo već pronašli. Kut C je nasuprot kutu A, kut D je nasuprot kutu B. Dakle, oni su u paru jednaki.

• Odgovor: B = 60°, C = 120°, D=60°

Slučaj 2. Poznate su duljine stranica i dijagonala

U ovom slučaju moramo koristiti teorem kosinusa.

Prvo možemo pomoću formule izračunati kosinus kuta koji nam je potreban, a zatim pomoću posebne tablice pronaći čemu je jednak sam kut.

Za oštar kut formula je:

• cosa = (A² + B² - d²) / (2 * A * B), gdje je
• a je željeni oštri kut,
• A i B su stranice paralelograma,
• d - manja dijagonala

Za tupi kut, formula se malo mijenja:

• cosß = (A² + B² - D²) / (2 * A * B), gdje je
• ß je tup kut,
• A i B su strane
• D - velika dijagonala

Primjer: potrebno je pronaći oštar kut paralelograma čije su stranice 6 cm i 3 cm, a manja dijagonala 5,2 cm.

Zamijenite vrijednosti u formulu da biste pronašli akutni kut:

• cosa = (6 2 + 3 2 - 5,2 2) / (2 * 6 * 3) = (36 + 9 - 27,04) / (2 * 18) = 17,96/36 ~ 18/36 ~1/2
• cosa = 1/2. Iz tablice saznajemo da je željeni kut 60°.