SVOJSTVA BISEKTRISE

Svojstvo simetrale: U trokutu simetrala dijeli suprotnu stranicu na segmente proporcionalne susjednim stranicama.

Simetrala vanjskog kuta Simetrala vanjskog kuta trokuta siječe produžetak njegove stranice u točki od koje su udaljenosti do krajeva te stranice proporcionalne susjednim stranicama trokuta. C B A D

Formule za duljinu simetrale:

Formula za određivanje duljina odsječaka na koje simetrala dijeli suprotnu stranicu trokuta

Formula za pronalaženje omjera duljina odsječaka na koje je simetrala podijeljena točkom presjeka simetrala

Zadatak 1. Jedna od simetrala trokuta podijeljena je sjecištem simetrala u omjeru 3:2, računajući od vrha. Odredi opseg trokuta ako je duljina stranice trokuta kojoj je povučena simetrala 12 cm.

Rješenje Nađimo formulom omjer duljina odsječaka na koje je simetrala podijeljena točkom presjeka simetrala u trokutu:   a + c = = 18  P ∆ ABC = a + b + c = b +(a + c) = 12 + 18 = 30. Odgovor: P = 30cm.

Zadatak 2. Simetrale BD i CE ∆ ABC sijeku se u točki O. AB=14, BC=6, AC=10. Pronađite O D.

Riješenje. Nađimo duljinu simetrale pomoću formule: Imamo: BD = BD = = Prema formuli za omjer odsječaka na koje je simetrala podijeljena točkom presjeka simetrala: l = . 2 + 1 = 3 dijela ukupno.

ovo je dio 1  OD = Odgovor: OD =

Zadaci U ∆ ABC ucrtane su simetrale AL i BK. Odredi duljinu dužine KL ako je AB = 15, AK =7,5, BL = 5. U ∆ ABC je simetrala AD, a kroz točku D pravac paralelan s AC i siječe AB u točki E. Odredi omjer dužine dužine KL. površine ∆ ABC i ∆ BDE , ako je AB = 5, AC = 7. Odredi simetrale šiljastih kutova pravokutnog trokuta s katetama 24 cm i 18 cm. U pravokutnom trokutu simetrala oštrog kuta dijeli suprotnu nogu na segmente duljine 4 i 5 cm. Odredite površinu trokuta.

5. U jednakokračnom trokutu osnovica i stranica jednake su 5 odnosno 20 cm.Nađi simetralu kuta na osnovici trokuta. 6. Odredi simetralu pravog kuta trokuta čije su katete jednake a i b. 7. Izračunaj duljinu simetrale kuta A trokuta ABC duljina stranica a = 18 cm, b = 15 cm, c = 12 cm 8. U trokutu ABC duljine stranica AB, BC i AC nalaze se u omjer 2:4:5, respektivno. Nađite omjer u kojem su simetrale unutarnjih kutova podijeljene u točki njihova sjecišta.

Odgovori: Odgovor: Odgovor: Odgovor: Odgovor: Odgovor: Odgovor: Odgovor: Odgovor: AP = 6 AP = 10 cm KL = CP =

Među brojnim predmetima u srednjoj školi postoji i jedan kao što je “geometrija”. Tradicionalno se smatra da su utemeljitelji ove sustavne znanosti Grci. Danas se grčka geometrija naziva elementarnom, jer je ona započela proučavanje najjednostavnijih oblika: ravnina, ravnih linija i trokuta. Usredotočit ćemo se na potonje, odnosno na simetralu ove figure. Za one koji su već zaboravili, simetrala trokuta je segment simetrale jednog od uglova trokuta, koji ga dijeli na pola i povezuje vrh s točkom koja se nalazi na suprotnoj strani.

Simetrala trokuta ima niz svojstava koja morate znati pri rješavanju određenih problema:

• Simetrala kuta je geometrijsko mjesto točaka koje se nalaze na jednakoj udaljenosti od stranica koje graniče s kutom.
• Simetrala u trokutu dijeli stranicu nasuprot kutu na segmente koji su proporcionalni susjednim stranicama. Na primjer, dan je trokut MKB, gdje simetrala izlazi iz kuta K, spajajući vrh tog kuta s točkom A na suprotnoj strani MB. Nakon analize ovog svojstva i našeg trokuta, imamo MA/AB=MK/KB.
• Točka u kojoj se sijeku simetrale sva tri kuta trokuta je središte kružnice koja je upisana u isti trokut.
• Osnovice simetrala jednog vanjskog i dvaju unutarnjih kutova nalaze se na istoj ravnici, s tim da simetrala vanjskog kuta nije paralelna sa suprotnom stranicom trokuta.
• Ako su dvije simetrale jednog onda ovo

Treba napomenuti da ako su zadane tri simetrale, tada je nemoguće konstruirati trokut iz njih, čak i uz pomoć šestara.

Vrlo često kod rješavanja zadataka nepoznata je simetrala trokuta, ali je potrebno odrediti njezinu duljinu. Da biste riješili ovaj problem, trebate znati kut koji raspolavljaju simetrala i stranice koje graniče s tim kutom. U ovom slučaju, potrebna duljina definirana je kao omjer dvostrukog umnoška stranica koje graniče s kutom i kosinusa kuta podijeljenog na pola prema zbroju stranica koje graniče s kutom. Na primjer, dan je isti trokut MKB. Simetrala izlazi iz kuta K i siječe suprotnu stranicu od MV u točki A. Kut iz kojeg simetrala izlazi označen je s y. Sada zapišimo sve što je riječima rečeno u obliku formule: KA = (2*MK*KB*cos y/2) / (MK+KB).

Ako je vrijednost kuta iz kojeg izlazi simetrala trokuta nepoznata, ali su poznate sve njegove stranice, tada ćemo za izračun duljine simetrale koristiti dodatnu varijablu koju ćemo nazvati poluopseg i označiti s slovo P: P=1/2*(MK+KB+MB). Nakon toga unijet ćemo neke izmjene u prethodnu formulu kojom se određivala duljina simetrale, naime u brojniku razlomka stavit ćemo dvostruki umnožak duljina stranica uz kut s poluopsegom i kvocijent, gdje se duljina treće stranice oduzima od poluperimetra. Nazivnik ćemo ostaviti nepromijenjen. U obliku formule to će izgledati ovako: KA=2*√(MK*KB*P*(P-MB)) / (MK+KB).

Simetrala jednakokračnog trokuta uz opća svojstva ima i nekoliko svojih. Prisjetimo se kakav je ovo trokut. Takav trokut ima dvije jednake stranice i jednake kutove uz osnovicu. Slijedi da su simetrale koje padaju na bočne stranice jednakokračnog trokuta međusobno jednake. Osim toga, simetrala spuštena na osnovicu je i visina i središnja.

Sorokina Vika

Daju se dokazi svojstava simetrale trokuta i razmatra primjena teorije na rješavanje problema

Preuzimanje datoteka:

Pregled:

Odbor za obrazovanje uprave Saratova, općinska autonomna obrazovna ustanova okruga Oktyabrsky Lyceum br. 3 nazvana po. A. S. Puškin.

Općinski znanstveno-praktični

konferencija

"Prvi koraci"

Predmet: Simetrala i njezina svojstva.

Rad izradio: učenik 8.r

Sorokina ViktorijaZnanstveni voditelj: Učitelj matematike najviše kategorijePopova Nina Fedorovna.

Saratov 2011

1. Naslovna stranica…………………………………………………………...1
2. Sadržaj…………………………………………………………2
3. Uvod i ciljevi…………………………………………………………... ..3
4. Razmatranje svojstava simetrale

• Treće geometrijsko mjesto točaka………………………………….3
• Teorem 1………………………………………………………………...4
• Teorem 2………………………………………………………………4
• Glavno svojstvo simetrale trokuta:

1. Teorem 3………………………………………………………………...4
2. Zadatak 1……………………………………………………………… ….7
3. Zadatak 2……………………………………………………………….8
4. Zadatak 3……………………………………………………………….....9
5. Zadatak 4……………………………………………………………….9-10

• Teorem 4…………………………………………………………10-11
• Formule za pronalaženje simetrale:

1. Teorem 5……………………………………………………………….11
2. Teorem 6……………………………………………………………….11
3. Teorem 7……………………………………………………………….12
4. Zadatak 5…………………………………………………………...12-13

• Teorem 8………………………………………………………………….13
• Zadatak 6…………………………………………………………...….14
• Zadatak 7………………………………………………………………14-15
• Određivanje kardinalnih pravaca pomoću simetrale………………15

1. Zaključak i zaključak………………………………………………………..15
2. Popis literature……………………………………..16

Simetrala

Na satu geometrije, proučavajući temu Slični trokuti, naišao sam na problem o teoremu o odnosu simetrale prema suprotnim stranicama. Čini se da bi moglo biti nešto zanimljivo u temi o simetrali, ali ova me tema zainteresirala i želio sam je dublje proučiti. Uostalom, simetrala je vrlo bogata svojim nevjerojatnim svojstvima koja pomažu u rješavanju raznih problema.

Razmatrajući ovu temu, primijetit ćete da se u udžbenicima geometrije vrlo malo govori o svojstvima simetrale, ali na ispitima, znajući ih, možete puno lakše i brže rješavati probleme. Osim toga, kako bi položili državni ispit i jedinstveni državni ispit, moderni učenici moraju sami proučavati dodatne materijale za školski kurikulum. Zato sam odlučio detaljnije proučiti temu simetrale.

Simetrala (od latinskog bi- “dvostruko”, i sectio “rezanje”) kuta je zraka s početkom u vrhu kuta, koja dijeli kut na dva jednaka dijela. Simetrala kuta (zajedno sa svojim produžetkom) je geometrijsko mjesto točaka jednako udaljenih od stranica kuta (ili njihovih produžetaka).)

Treće mjesto točaka

Slika F je geometrijsko mjesto točaka (skup točaka) koje imaju neko svojstvo A, ako su ispunjena dva uvjeta:

1. iz činjenice da točka pripada liku F, slijedi da ima svojstvo A;
2. iz činjenice da točka zadovoljava svojstvo A, slijedi da pripada figuri F.

Prvo geometrijsko mjesto točaka koje se razmatra u geometriji je kružnica, tj. geometrijsko mjesto točaka jednako udaljenih od jedne fiksne točke. Druga je okomita simetrala segmenta, tj. geometrijsko mjesto točaka jednako udaljenih od kraja segmenta. I konačno, treća - simetrala - geometrijsko mjesto točaka jednako udaljenih od stranica kuta

Teorem 1:

Simetrale su jednako udaljene od stranica on je u kutu.

Dokaz:

Neka R - simetrala A. Spustimo se s temeP okomice RV i PC na stranama kuta. Tada je VAR = SAR hipotenuzom i šiljastim kutom. Dakle, PB = PC

Teorem 2:

Ako je točka P jednako udaljena od stranica kuta A, tada ona leži na simetrali.

Dokaz: PB = PC => VAR = CAP => BAP= CAP => AR je simetrala.

Među osnovne geometrijske činjenice spada teorem da simetrala dijeli suprotnu stranicu u odnosu na suprotne stranice. Ova je činjenica dugo ostala u sjeni, ali posvuda postoje problemi koje je puno lakše riješiti ako znate ovu i druge činjenice o simetrali. Zainteresirao sam se i odlučio dalje istražiti ovo svojstvo simetrale.

Glavno svojstvo simetrale kuta trokuta

Teorem 3. Simetrala dijeli suprotnu stranicu trokuta u odnosu na susjedne stranice.

Dokazi 1:

Dano: AL - simetrala trokuta ABC

Dokazati:

Dokaz: Neka je F točka sjecišta linije AL i pravac koji prolazi točkom U paralelno s AC stranom.

Tada je BFA = FAC = BAF. Stoga je B.A.F. jednakokračan i AB = BF. Iz sličnosti trokuta ALC i FLB imamo

omjer

gdje

Dokazi 2

Neka je F točka koju sijeku pravac AL i pravac koji prolazi točkom C paralelno s osnovicom AB. Zatim možete ponoviti obrazloženje.

Dokazi 3

Neka su K i M osnovice okomica spuštenih na pravac AL iz točaka B i C odnosno. Trokuti ABL i ACL slični su pod dva kuta. Zato
. A iz sličnosti BKL i CML imamo

Odavde

Dokaz 4

Upotrijebimo metodu područja. Izračunajmo površine trokuta ABL i ACL dva puta.

Odavde.

Dokaz 5

Neka je α= VI,φ= BLA. Po teoremu sinusa u trokutu ABL

I u trokutu ACL.

jer,

Zatim, dijeleći obje strane jednakosti na odgovarajuće dijelove one druge, dobivamo.

Problem 1

dano: U trokutu ABC VC je simetrala, BC = 2, KS = 1,

Riješenje:

Problem 2

dano:

Odredite simetrale šiljastih kutova pravokutnog trokuta s katetama 24 i 18.

Riješenje:

Neka je stranica AC = 18, stranica BC = 24,

prije podne - simetrala trokuta.

Koristeći Pitagorinu teoremu nalazimo,

da je AB = 30.

Od tad

Nađimo na sličan način drugu simetralu.

Odgovor:

Problem 3

U pravokutnom trokutu ABC s pravim kutom B simetrala kuta A prelazi bok prije Krista

U točki D. Poznato je da je BD = 4, DC = 6.

Pronađite površinu trokuta ADC

Riješenje:

Po svojstvu simetrale trokuta

Označimo AB = 2 x, AC = 3 x. Prema teoremu

Pitagora BC 2 + AB 2 = AC 2, ili 100 + 4 x 2 = 9 x 2

Odavde to nalazimo x = Tada je AB = , S ABC=

Stoga,

Problem 4

dano:

U jednakokračnom trokutu ABC strana AB jednako 10, baza AC je 12.

Simetrale kutova A i C sijeku se u točki D. Pronađite BD.

Riješenje:

Budući da se simetrale trokuta sijeku na

Jedna točka, tada je BD simetrala B. Nastavimo BD do raskrižja sa AC u točki M. Tada je M polovište AC, BM AC. Zato

Jer CD - simetrala trokuta BMC dakle

Stoga,.

Odgovor:

Teorem 4. Tri simetrale trokuta sijeku se u jednoj točki.

Doista, promotrimo prvo točku P presjeka dviju simetrala, na primjer AK 1 i VK 2 . Ta je točka jednako udaljena od stranica AB i AC jer leži na simetraliA, a jednako je udaljena od stranica AB i BC, kao da pripadaju simetraliB. To znači da je jednako udaljena od stranica AC i BC i stoga pripada trećoj simetrali SC 3 , odnosno u točki P sijeku se sve tri simetrale.

Formule za nalaženje simetrale
Teorem 5: (prva formula za simetralu): Ako je u trokutu ABC isječak AL simetrala A, tada je AL² = AB·AC - LB·LC.

Dokaz: Neka je M sjecišna točka pravca AL s kružnicom opisanom oko trokuta ABC (slika 41). Kut BAM jednak je kutu MAC prema uvjetu. Kutovi BMA i BCA sukladni su kao upisani kutovi koje spaja ista tetiva. To znači da su trokuti BAM i LAC slični u dva kuta. Prema tome, AL: AC = AB: AM. To znači AL · AM = AB · AC AL · (AL + LM) = AB · AC AL² = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC. Q.E.D.

Teorem6: . (druga formula za simetralu): U trokutu ABC sa stranicama AB=a, AC=b iA jednako 2α i simetrali l vrijedi jednakost:
l = (2ab / (a+b)) cosα.

Dokaz : Neka je ABC zadani trokut, AL njegova simetrala, a=AB, b=AC, l=AL. Zatim S ABC = S ALB + S ALC . Prema tome, ab sin2α = a l sinα + b l sinα 2ab sinα cosα = (a + b) l sinα l = 2 (ab / (a+b)) cosα. Teorem je dokazan.

Teorem 7: Ako su a, b stranice trokuta, Y je kut između njih,je simetrala ovog kuta. Zatim.

Prosječna razina

Simetrala trokuta. Detaljna teorija s primjerima (2019.)

Simetrala trokuta i njezina svojstva

Znate li što je središte segmenta? Naravno da jesi. Što je sa središtem kruga? Isti. Što je središte kuta? Možete reći da se to ne događa. Ali zašto se segment može podijeliti na pola, a kut ne može? Sasvim je moguće - samo ne točkicu, nego…. crta.

Sjećate li se vica: simetrala je štakor koji trči oko kutova i dijeli kut na pola. Dakle, prava definicija simetrale je vrlo slična ovoj šali:

Simetrala trokuta- ovo je simetrala kuta trokuta koja povezuje vrh tog kuta s točkom na suprotnoj strani.

Jednom davno, drevni astronomi i matematičari otkrili su mnoga zanimljiva svojstva simetrale. Ovo znanje je uvelike pojednostavilo živote ljudi. Postalo je lakše graditi, brojati udaljenosti, čak i podešavati pucanje topova... Poznavanje ovih svojstava pomoći će nam u rješavanju nekih zadataka GIA i Jedinstvenog državnog ispita!

Prvo saznanje koje će u tome pomoći je simetrala jednakokračnog trokuta.

Usput, sjećate li se svih ovih pojmova? Sjećate li se po čemu se međusobno razlikuju? Ne? Nije strašno. Shvatimo sada.

Tako, osnovica jednakokračnog trokuta- ovo je strana koja nije ravna nijednoj drugoj. Pogledajte sliku, što mislite s koje je strane? Tako je - ovo je strana.

Medijan je crta povučena iz vrha trokuta i dijeli suprotnu stranicu (to je opet to) na pola.

Primijetite da ne kažemo, "Medijana jednakokračnog trokuta." Znaš li zašto? Jer medijan izvučen iz vrha trokuta raspolavlja suprotnu stranicu u BILO KOJEM trokutu.

Pa, visina je crta povučena od vrha i okomita na bazu. Jeste li primijetili? Opet govorimo o bilo kojem trokutu, a ne samo o jednakokračnom. Visina u BILO KOJEM trokutu uvijek je okomita na osnovicu.

Dakle, jeste li shvatili? Skoro. Da biste još bolje razumjeli i zauvijek zapamtili što su simetrala, medijan i visina, morate ih međusobno usporediti i shvatiti koliko su slični i kako se međusobno razlikuju. U isto vrijeme, kako bi se bolje zapamtilo, bolje je sve opisati "ljudskim jezikom". Tada ćete lako operirati jezikom matematike, ali u početku ne razumijete taj jezik i trebate sve shvatiti na svom jeziku.

Dakle, po čemu su slični? Simetrala, medijana i visina - svi oni "izlaze" iz vrha trokuta i oslanjaju se na suprotnu stranu i "nešto rade" ili s kutom iz kojeg izlaze, ili sa suprotnom stranom. Mislim da je jednostavno, zar ne?

Po čemu se razlikuju?

• Simetrala dijeli kut iz kojeg izlazi popola.
• Medijan dijeli suprotnu stranu na pola.
• Visina je uvijek okomita na suprotnu stranu.

To je to. Lako je razumjeti. A kad jednom shvatite, možete se sjetiti.

Sada sljedeće pitanje. Zašto je u slučaju jednakokračnog trokuta simetrala i središnja i visina?

Možete jednostavno pogledati sliku i uvjeriti se da se medijan dijeli na dva potpuno jednaka trokuta. To je sve! Ali matematičari ne vole vjerovati svojim očima. Trebaju sve dokazati. Strašna riječ? Ništa slično - jednostavno je! Pogledajte: obje imaju jednake stranice i općenito imaju zajedničku stranicu i. (- simetrala!) I tako ispada da dva trokuta imaju dvije jednake stranice i kut između njih. Prisjećamo se prvog znaka jednakosti trokuta (ako se ne sjećate, pogledajte u temi) i zaključujemo da je, dakle = i.

Ovo je već dobro - znači da se pokazalo da je medijan.

Ali što je to?

Pogledajmo sliku - . I dobili smo ga. Dakle, također! Napokon, hura! I.

Je li vam ovaj dokaz bio malo težak? Pogledajte sliku - dva identična trokuta govore sama za sebe.

U svakom slučaju, čvrsto zapamtite:

Sada je teže: brojat ćemo kut između simetrala u bilo kojem trokutu! Ne bojte se, nije tako teško. Pogledaj sliku:

Prebrojimo. Sjećaš li se toga zbroj kutova trokuta je?

Primijenimo ovu nevjerojatnu činjenicu.

S jedne strane, od:

To je.

Sada pogledajmo:

Ali simetrale, simetrale!

Prisjetimo se o:

Sada kroz slova

\kut AOC=90()^\circ +\frac(\kut B)(2)

Nije li iznenađujuće? Pokazalo se da kut između simetrala dvaju kutova ovisi samo o trećem kutu!

Pa, gledali smo dvije simetrale. Što ako ih je troje??!! Hoće li se svi ukrstiti u jednoj točki?

Ili će biti ovako?

Kako misliš? Tako su matematičari mislili i mislili i dokazali:

Nije li to sjajno?

Želite li znati zašto se to događa?

Dakle...dva pravokutna trokuta: i. Oni imaju:

• Opća hipotenuza.
• (jer je simetrala!)

To znači - kutom i hipotenuzom. Dakle, odgovarajuće katete tih trokuta su jednake! To je.

Dokazali smo da je točka jednako (ili jednako) udaljena od stranica kuta. Točka 1 je obrađena. Sada prijeđimo na točku 2.

Zašto je 2 istina?

I spojimo točkice i.

To znači da leži na simetrali!

To je sve!

Kako sve to primijeniti pri rješavanju problema? Na primjer, u problemima se često nalazi sljedeća fraza: "Krug dodiruje stranice kuta...". Pa, moraš nešto pronaći.

Onda to brzo shvatite

I možete koristiti jednakost.

3. Tri simetrale u trokutu sijeku se u jednoj točki

Iz svojstva simetrale da bude geometrijsko mjesto točaka jednako udaljenih od stranica kuta, slijedi sljedeća tvrdnja:

Kako točno izlazi? Ali pogledajte: dvije simetrale će se sigurno presijecati, zar ne?

A treća bi simetrala mogla ići ovako:

Ali u stvarnosti je sve puno bolje!

Pogledajmo sjecište dviju simetrala. Nazovimo to.

Što smo ovdje upotrijebili oba puta? Da stavak 1, naravno! Ako točka leži na simetrali, tada je jednako udaljena od stranica kuta.

Tako se i dogodilo.

Ali pažljivo pogledajte ove dvije jednakosti! Uostalom, iz njih proizlazi da i, dakle, .

I sad će doći na red točka 2: ako su udaljenosti stranica kuta jednake, tada točka leži na simetrali...koji kut? Pogledaj ponovo sliku:

i su udaljenosti do stranica kuta, a one su jednake, što znači da točka leži na simetrali kuta. Kroz istu točku prolazila je i treća simetrala! Sve tri simetrale sijeku se u jednoj točki! I kao dodatni poklon -

Radijusi upisana krugovi.

(Da biste bili sigurni, pogledajte drugu temu).

Pa, sada nikada nećete zaboraviti:

Sjecište simetrala trokuta je središte u njega upisane kružnice.

Prijeđimo na sljedeće svojstvo... Vau, simetrala ima mnogo svojstava, zar ne? I to je super, jer što je više svojstava, to je više alata za rješavanje simetrala.

4. Simetrala i paralelnost, simetrale susjednih kutova

Činjenica da simetrala kut dijeli na pola u nekim slučajevima dovodi do potpuno neočekivanih rezultata. Na primjer,

Slučaj 1

Sjajno, zar ne? Shvatimo zašto je to tako.

S jedne strane crtamo simetralu!

Ali, s druge strane, postoje kutovi koji leže unakrsno (sjetite se teme).

I sad se pokazalo da; izbaci sredinu: ! - jednakokračan!

Slučaj 2

Zamislite trokut (ili pogledajte sliku)

Nastavimo stranu iza točke. Sada imamo dva kuta:

• - unutarnji kut
• - vanjski kut je vani, zar ne?

Dakle, i sad je netko htio nacrtati ne jednu, nego dvije simetrale odjednom: i za i za. Što će se dogoditi?

Hoće li uspjeti? pravokutan!

Začudo, to je upravo tako.

Hajdemo shvatiti.

Što mislite koji je iznos?

Naravno, - uostalom, svi zajedno čine takav kut da ispada ravna linija.

Sada zapamtite da su i simetrale i vidite da unutar kuta postoji točno pola iz zbroja sva četiri kuta: i - - tj. točno. Možete to napisati i kao jednadžbu:

Dakle, nevjerojatno ali istinito:

Kut između simetrala unutarnjeg i vanjskog kuta trokuta je jednak.

Slučaj 3

Vidite li da je ovdje sve isto kao i za unutarnje i vanjske kutove?

Ili razmislimo ponovno zašto se to događa?

Opet, što se tiče susjednih uglova,

(kao što odgovara paralelnim bazama).

I opet se pomire točno pola od zbroja

Zaključak: Ako zadatak sadrži simetrale susjedni kutova ili simetrala relevantan kutovi paralelograma ili trapeza, zatim u ovom zadatku sigurno radi se o pravokutnom trokutu ili možda čak o cijelom pravokutniku.

5. Simetrala i suprotna stranica

Ispada da simetrala kuta trokuta dijeli suprotnu stranicu ne samo na neki način, već na poseban i vrlo zanimljiv način:

To je:

Nevjerojatna činjenica, zar ne?

Sada ćemo dokazati tu činjenicu, ali pripremite se: bit će malo teže nego prije.

Opet - izlaz u "prostor" - dodatna formacija!

Idemo ravno.

Za što? Sad ćemo vidjeti.

Nastavimo simetralu dok se ne presječe s pravcem.

Je li ovo poznata slika? Da, da, da, potpuno isto kao u točki 4, slučaj 1 - ispada da (- simetrala)

Ležeći poprijeko

Dakle, i to.

Sada pogledajmo trokute i.

Što možete reći o njima?

Slični su. Pa da, kutovi su im jednaki kao okomiti. Dakle, u dva kuta.

Sada imamo pravo pisati odnose relevantnih strana.

A sada u kratkim crtama:

Oh! Podsjeća me na nešto, zar ne? Nije li to ono što smo htjeli dokazati? Da, da, upravo to!

Vidite kako se "svemirska šetnja" pokazala odličnom - izgradnja dodatne ravne linije - bez toga se ništa ne bi dogodilo! I eto, to smo dokazali

Sada ga možete sigurno koristiti! Pogledajmo još jedno svojstvo simetrala kutova trokuta - ne brinite, sada je najteži dio gotov - bit će lakše.

Shvaćamo to

Teorem 1:

Teorem 2:

Teorem 3:

Teorem 4:

Teorem 5:

Teorem 6: