شما اینجایید: زیبایی

اگر می خواهید عدد خاصی را به یک پاور افزایش دهید، می توانید از . اکنون نگاهی دقیق تر به آن خواهیم داشت خواص درجه.

اعداد نماییاحتمالات بزرگی را باز می کنند، آنها به ما اجازه می دهند ضرب را به جمع تبدیل کنیم و جمع کردن بسیار آسان تر از ضرب است.

برای مثال باید 16 را در 64 ضرب کنیم. حاصل ضرب این دو عدد 1024 است. یعنی 16 در 64 = 4x4x4x4x4 که آن هم برابر با 1024 است.

عدد 16 را نیز می توان به صورت 2x2x2x2 و 64 را به صورت 2x2x2x2x2x2 نشان داد و اگر ضرب کنیم دوباره 1024 به دست می آید.

حالا بیایید از قانون استفاده کنیم. 16=4 2، یا 2 4، 64=4 3، یا 2 6، در همان زمان 1024=6 4 =4 5، یا 2 10.

بنابراین، مشکل ما می تواند متفاوت نوشته شود: 4 2 x4 3 =4 5 یا 2 4 x2 6 =2 10، و هر بار 1024 به دست می آید.

ما می توانیم تعدادی مثال مشابه را حل کنیم و ببینیم که ضرب اعداد با توان ها به کاهش می یابد افزودن نماها، یا البته نمایی به شرطی که مبانی عوامل برابر باشد.

بنابراین، بدون انجام ضرب، می توانیم بلافاصله بگوییم که 2 4 x2 2 x2 14 = 2 20.

این قانون هنگام تقسیم اعداد با توان نیز صادق است، اما در این مورد توان تقسیم کننده از توان تقسیم سود کم می شود. بنابراین، 2 5:2 3 =2 2، که در اعداد معمولی برابر است با 32:8 = 4، یعنی 2 2. بیایید خلاصه کنیم:

a m x a n =a m+n، a m: a n =a m-n، که در آن m و n اعداد صحیح هستند.

در نگاه اول ممکن است به نظر برسد که اینطور است ضرب و تقسیم اعداد با توانخیلی راحت نیست، زیرا ابتدا باید عدد را به صورت نمایی نمایش دهید. نمایش اعداد 8 و 16 یعنی 2 3 و 2 4 به این شکل کار سختی نیست، اما چگونه با اعداد 7 و 17 این کار را انجام دهیم؟ یا در مواردی که یک عدد را می توان به صورت نمایی نمایش داد، اما مبانی عبارات نمایی اعداد بسیار متفاوت است، چه باید کرد. به عنوان مثال، 8x9 2 3 x 3 2 است، در این صورت نمی توانیم توان ها را جمع کنیم. نه 2 5 و نه 3 5 پاسخ هستند و نه پاسخ در فاصله بین این دو عدد قرار دارد.

بعد اصلا ارزش این را دارد که با این روش زحمت بکشیم؟ قطعا ارزشش را دارد. مزایای بسیار زیادی را به خصوص برای محاسبات پیچیده و وقت گیر ارائه می دهد.

مقالات علوم و ریاضیات

خواص قوا با مبانی یکسان

سه ویژگی درجه با پایه و توان طبیعی یکسان وجود دارد. این

کار کنید مجموع

خصوصیدو توان با پایه های یکسان برابر است با عبارتی که پایه یکسان و توان آن است تفاوتشاخص های عوامل اصلی

افزایش یک عدد به توانبرابر است با عبارتی که در آن پایه همان عدد و توان آن است کار کردندو درجه

مراقب باش! قوانین مربوط به جمع و تفریقدرجه با همان پایه ها وجود ندارد.

اجازه دهید این قواعد خواص را در قالب فرمول بنویسیم:

a m × a n = a m+n

a m ÷ a n = a m–n

(a m) n = mn

حال بیایید با استفاده از مثال های خاص به آنها نگاه کنیم و سعی کنیم آنها را ثابت کنیم.

5 2 × 5 3 = 5 5 - در اینجا ما قانون را اعمال کردیم. حالا بیایید تصور کنیم اگر قوانین را نمی دانستیم چگونه این مثال را حل می کنیم:

5 2 × 5 3 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 5 5 - مربع پنج برابر پنج برابر پنج است و مکعب حاصل ضرب سه پنج است. نتیجه حاصل ضرب پنج پنج است، اما این چیزی غیر از پنج به توان پنجم است: 5 5 .

3 9 ÷ 3 5 = 3 9-5 = 3 4. بیایید تقسیم را به صورت کسری بنویسیم:

می توان آن را کوتاه کرد:

در نتیجه دریافت می کنیم:

بنابراین، ما ثابت کردیم که هنگام تقسیم دو توان با پایه های یکسان، توان آنها باید کم شود.

با این حال، هنگام تقسیم، مقسوم علیه نمی تواند برابر با صفر باشد (زیرا نمی توانید بر صفر تقسیم کنید). علاوه بر این، از آنجایی که ما درجه ها را فقط با توان های طبیعی در نظر می گیریم، در نتیجه تفریق توان ها نمی توانیم عددی کمتر از 1 به دست آوریم. بنابراین، محدودیت هایی بر فرمول a m ÷ a n = a m–n اعمال می شود: a ≠ 0 و m > n

بریم سراغ خاصیت سوم:
(2 2) 4 = 2 2 × 4 = 2 8

بیایید آن را به شکل گسترده بنویسیم:
(2 2) 4 = (2 × 2) 4 = (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2 8

شما می توانید با استدلال منطقی به این نتیجه برسید. باید دو را در چهار برابر ضرب کنید. اما در هر مربع دو دو وجود دارد، یعنی در مجموع هشت دوتایی خواهد بود.

Scienceland.info

خواص مدرک

یادآوری می کنیم که در این درس خواهیم فهمید خواص درجهبا شاخص های طبیعی و صفر. قدرت های دارای توان های گویا و ویژگی های آنها در درس های کلاس هشتم مورد بحث قرار خواهد گرفت.

توانی با توان طبیعی دارای چندین ویژگی مهم است که به ما امکان می دهد محاسبات را در مثال هایی با توان ها ساده کنیم.

ملک شماره 1
محصول قدرت ها

هنگام ضرب توان ها با پایه های یکسان، پایه بدون تغییر باقی می ماند و توان های توان ها اضافه می شوند.

a m · a n = a m + n، که در آن "a" هر عددی است، و "m"، "n" هر عدد طبیعی است.

این خاصیت توان ها در مورد حاصل ضرب سه توان یا بیشتر نیز صدق می کند.

بیان را ساده کنید.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15

آن را به عنوان مدرک ارائه کنید.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

آن را به عنوان مدرک ارائه کنید.
(0.8) 3 · (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15

لطفا توجه داشته باشید که در ویژگی مشخص شده فقط در مورد ضرب توان با پایه های یکسان صحبت می کنیم. در مورد اضافه آنها صدق نمی کند.

شما نمی توانید جمع (3 3 + 3 2) را با 3 5 جایگزین کنید. این قابل درک است اگر
محاسبه (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36، و 3 5 = 243

ملک شماره 2
درجات جزئی

هنگام تقسیم توان ها با پایه های یکسان، پایه بدون تغییر باقی می ماند و توان مقسوم علیه از توان تقسیم کننده کم می شود.

ضریب را به صورت توان بنویسید
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 - 3 = (2b) 2

محاسبه.

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
مثال. معادله را حل کنید. ما از خاصیت توان های ضریب استفاده می کنیم.
3 8: t = 3 4

پاسخ: t = 3 4 = 81

با استفاده از خواص شماره 1 و شماره 2 می توانید به راحتی عبارات را ساده کنید و محاسبات را انجام دهید.

مثال. مقدار یک عبارت را با استفاده از ویژگی های نماها بیابید.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

لطفا توجه داشته باشید که در Property 2 ما فقط در مورد تقسیم قدرت ها با پایه های یکسان صحبت می کردیم.

شما نمی توانید تفاوت (4 3 −4 2) را با 4 1 جایگزین کنید. این قابل درک است اگر شما (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 و 4 1 = 4 را محاسبه کنید.

ملک شماره 3
بالا بردن درجه به یک قدرت

هنگامی که یک درجه را به توان می آوریم، پایه درجه بدون تغییر می ماند و توان ها ضرب می شوند.

(a n) m = a n · m، که در آن "a" هر عددی است، و "m"، "n" هر عدد طبیعی است.

توجه داشته باشید که خاصیت شماره 4 نیز مانند سایر خصوصیات درجات به صورت معکوس اعمال می شود.

(a n · b n) = (a · b) n

یعنی برای ضرب توان ها با توان های یکسان می توان پایه ها را ضرب کرد اما توان را بدون تغییر رها کرد.

مثال. محاسبه.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10000

مثال. محاسبه.
0.5 16 2 16 = (0.5 2) 16 = 1

در مثال های پیچیده تر، ممکن است مواردی وجود داشته باشد که ضرب و تقسیم باید روی توان هایی با پایه های مختلف و توان های مختلف انجام شود. در این مورد به شما توصیه می کنیم موارد زیر را انجام دهید.

به عنوان مثال، 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

نمونه ای از افزایش اعشار به توان.

4 21 (-0.25) 20 = 4 4 20 (-0.25) 20 = 4 (4 (0.25-)) 20 = 4 (1-) 20 = 4 1 = 4

خواص 5
توان یک ضریب (کسری)

برای بالا بردن یک ضریب به توان، می توانید تقسیم سود و مقسوم علیه را به طور جداگانه به این توان افزایش دهید و نتیجه اول را بر دومی تقسیم کنید.

(a: b) n = a n: b n، که در آن "a"، "b" هر اعداد گویا هستند، b ≠ 0، n - هر عدد طبیعی.

مثال. عبارت را به عنوان ضریب توان ارائه کنید.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

به شما یادآوری می کنیم که یک ضریب را می توان به صورت کسری نشان داد. بنابراین، در صفحه بعد به طور مفصل به موضوع افزایش کسری به توان خواهیم پرداخت.

ضرب و تقسیم اعداد با توان

اگر نیاز دارید عدد خاصی را به توان برسانید، می توانید از جدول توان های اعداد طبیعی از 2 تا 25 در جبر استفاده کنید. اکنون نگاهی دقیق تر به آن خواهیم داشت خواص درجه.

برای مثال باید 16 را در 64 ضرب کنیم. حاصل ضرب این دو عدد 1024 است. یعنی 16 در 64 = 4x4x4x4x4 که آن هم برابر با 1024 است.

عدد 16 را نیز می توان به صورت 2x2x2x2 و 64 را به صورت 2x2x2x2x2x2 نشان داد و اگر ضرب کنیم دوباره 1024 به دست می آید.

اکنون از قانون برای افزایش یک عدد به توان استفاده می کنیم. 16=4 2، یا 2 4، 64=4 3، یا 2 6، در همان زمان 1024=6 4 =4 5، یا 2 10.

بنابراین، مشکل ما می تواند متفاوت نوشته شود: 4 2 x4 3 =4 5 یا 2 4 x2 6 =2 10، و هر بار 1024 به دست می آید.

بنابراین، بدون انجام ضرب، می توانیم بلافاصله بگوییم که 2 4 x2 2 x2 14 = 2 20.

a m x a n =a m+n، a m: a n =a m-n، که در آن m و n اعداد صحیح هستند.

تا به حال، ما معتقد بودیم که توان تعداد عوامل یکسان است. در این حالت حداقل مقدار توان 2 است. اما اگر عمل تقسیم اعداد یا تفریق نماها را انجام دهیم می توانیم عددی کمتر از 2 را نیز به دست آوریم که به این معنی است که تعریف قبلی دیگر نمی تواند برای ما مناسب باشد. ادامه مطلب را در مقاله بعدی بخوانید.

جمع، تفریق، ضرب و تقسیم قوا

جمع و تفریق توان ها

بدیهی است که اعداد دارای توان را می توان مانند مقادیر دیگر اضافه کرد ، با اضافه کردن آنها یکی پس از دیگری با نشانه هایشان.

بنابراین، مجموع a 3 و b 2 یک 3 + b 2 است.
مجموع a 3 - b n و h 5 -d 4 a 3 - b n + h 5 - d 4 است.

شانس قدرت برابر متغیرهای یکسانرا می توان اضافه یا کم کرد.

پس مجموع 2a 2 و 3a 2 برابر با 5a 2 است.

همچنین واضح است که اگر دو مربع a یا سه مربع a یا پنج مربع a بگیرید.

اما درجات متغیرهای مختلفو درجات مختلف متغیرهای یکسان، باید با اضافه کردن آنها با علائم آنها ترکیب شود.

بنابراین، مجموع 2 و 3 حاصل جمع 2 + a 3 است.

بدیهی است که مربع a و مکعب a برابر با دو برابر مربع a نیست، بلکه برابر با دو برابر مکعب a است.

مجموع a 3 b n و 3a 5 b 6 a 3 b n + 3a 5 b 6 است.

منها کردنقدرت‌ها به همان روش جمع انجام می‌شوند، با این تفاوت که علائم فرعی باید بر این اساس تغییر کند.

یا:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

ضرب قدرت

اعداد دارای توان را می توان مانند سایر کمیت ها با نوشتن پشت سر هم با علامت ضرب یا بدون علامت ضرب کرد.

بنابراین، حاصل ضرب a 3 در b 2 a 3 b 2 یا aaabb است.

یا:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

نتیجه در مثال آخر را می توان با اضافه کردن متغیرهای یکسان مرتب کرد.
این عبارت به شکل a 5 b 5 y 3 خواهد بود.

با مقایسه چندین عدد (متغیر) با توان ها، می بینیم که اگر هر دو از آنها ضرب شوند، نتیجه یک عدد (متغیر) با توانی برابر با میزاندرجات اصطلاحات

بنابراین، a 2.a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5.

در اینجا 5 توان حاصل ضرب است که برابر است با 2 + 3، مجموع توان های عبارت ها.

بنابراین، a n .a m = a m+n.

برای a n، a به عنوان ضریب به اندازه توان n در نظر گرفته می شود.

و m به تعداد دفعاتی که درجه m برابر است به عنوان ضریب در نظر گرفته می شود.

از همین رو، توان های با پایه های یکسان را می توان با جمع توان های توان ها ضرب کرد.

بنابراین، a 2.a 6 = a 2+6 = a 8. و x 3.x 2.x = x 3+2+1 = x 6.

یا:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

ضرب (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
پاسخ: x 4 - y 4.
ضرب (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

این قاعده برای اعدادی که توان آنها هستند نیز صادق است منفی.

1. بنابراین، a -2 .a -3 = a -5. این را می توان به صورت (1/aa) نوشت.(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m.

3. a -n .a m = a m-n.

اگر a + b در a - b ضرب شود، نتیجه a 2 - b 2 خواهد بود: یعنی

حاصل ضرب مجموع یا تفاضل دو عدد برابر است با مجموع یا اختلاف مجذورهای آنها.

اگر مجموع و تفاضل دو عدد افزایش یافته را در ضرب کنید مربع، نتیجه برابر با مجموع یا اختلاف این اعداد در خواهد بود چهارمدرجه.

بنابراین، (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

تقسیم درجات

اعداد دارای توان را می توان مانند سایر اعداد با تفریق از سود تقسیمی یا با قرار دادن آنها به صورت کسری تقسیم کرد.

بنابراین، a 3 b 2 تقسیم بر b 2 برابر با a 3 است.

نوشتن 5 تقسیم بر 3 شبیه $\frac است $. اما این برابر با 2 است. در یک سری اعداد
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
هر عددی را می توان بر عدد دیگری تقسیم کرد و توان آن برابر خواهد بود تفاوتشاخص های اعداد بخش پذیر

هنگام تقسیم درجه با پایه یکسان، توان آنها کم می شود..

بنابراین، y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. یعنی $\frac = y$.

و a n+1:a = a n+1-1 = a n. یعنی $\frac = a^n$.

یا:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b +y) n-3

این قانون برای اعداد با نیز صادق است منفیمقادیر درجه
حاصل تقسیم 5- بر 3 -2 می شود.
همچنین $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 یا $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

لازم است که ضرب و تقسیم توان ها را به خوبی تسلط داشت، زیرا چنین عملیاتی در جبر بسیار استفاده می شود.

نمونه هایی از حل مثال با کسرهای حاوی اعداد با توان

1. نماها را با $\frac $ کاهش دهید پاسخ: $\frac $.

2. نماها را با $\frac$ کاهش دهید. پاسخ: $\frac$ یا 2x.

3. توان های a 2 /a 3 و a -3 /a -4 را کاهش دهید و به یک مخرج مشترک بیاورید.
a 2 .a -4 عدد اول -2 است.
a 3 .a -3 یک عدد 0 = 1، دومین عدد است.
a 3 .a -4 یک -1 است، عدد مشترک.
پس از ساده سازی: a -2 /a -1 و 1/a -1 .

4. توان 2a 4 /5a 3 و 2 /a 4 را کاهش دهید و به یک مخرج مشترک بیاورید.
پاسخ: 2a 3 /5a 7 و 5a 5 /5a 7 یا 2a 3 /5a 2 و 5/5a 2.

5. (a 3 + b)/b 4 را در (a - b)/3 ضرب کنید.

6. (a 5 + 1)/x 2 را در (b 2 - 1)/(x + a) ضرب کنید.

7. b 4 /a -2 را در h -3 /x و a n /y -3 ضرب کنید.

8. 4 /y 3 را بر 3 /y 2 تقسیم کنید. پاسخ: یک

درجه و خواص آن سطح متوسط.

آیا می خواهید قدرت خود را محک بزنید و از میزان آمادگی خود برای آزمون یکپارچه دولتی یا آزمون دولتی یکپارچه مطلع شوید؟

درجهیک عبارت از فرم نامیده می شود: ، جایی که:

درجه با توان عدد صحیح

درجه ای که توان آن یک عدد طبیعی است (یعنی عدد صحیح و مثبت).

قدرت با توان منطقی

درجه که توان آن اعداد منفی و کسری است.

درجه با توان غیرمنطقی

درجه ای که توان آن یک کسر اعشاری یا ریشه نامتناهی است.

خواص درجات

ویژگی های درجه.

زوجدرجه، - عدد مثبت.

عدد منفی به فرددرجه، - عدد منفی.

عدد مثبت به هر درجه ای عدد مثبت است.

صفر برابر هر توانی است.

هر عددی به توان صفر برابر است.

توان یک عدد چیست؟

توان یک عملیات ریاضی مانند جمع، تفریق، ضرب یا تقسیم است.

اکنون همه چیز را با استفاده از مثال های بسیار ساده به زبان انسان توضیح خواهم داد. مراقب باش. مثال ها ابتدایی هستند، اما چیزهای مهم را توضیح می دهند.

بیایید با اضافه شروع کنیم.

اینجا چیزی برای توضیح نیست. شما از قبل همه چیز را می دانید: ما هشت نفر هستیم. هر کسی دو بطری کولا دارد. کولا چقدر است؟ درست است - 16 بطری.

حالا ضرب.

مثال مشابه با کولا را می توان متفاوت نوشت: . ریاضیدانان افرادی حیله گر و تنبل هستند. آنها ابتدا متوجه برخی الگوها می شوند و سپس راهی برای "شمارش" سریعتر آنها پیدا می کنند. در مورد ما، آنها متوجه شدند که هر یک از هشت نفر به همان تعداد بطری کولا دارند و تکنیکی به نام ضرب را ارائه کردند. موافقم، آسانتر و سریعتر از آن در نظر گرفته می شود.

بنابراین، برای شمارش سریع تر، آسان تر و بدون خطا، فقط باید به خاطر بسپارید جدول ضرب. البته، شما می توانید همه چیز را آهسته تر، سخت تر و با اشتباه انجام دهید! ولی…

اینجا جدول ضرب است. تکرار.

و یکی دیگر زیباتر:

ریاضیدانان تنبل چه ترفندهای هوشمندانه دیگری برای شمارش ارائه کرده اند؟ درست - افزایش یک عدد به توان.

افزایش یک عدد به توان

اگر لازم است یک عدد را در خودش پنج برابر ضرب کنید، ریاضیدانان می گویند که باید آن عدد را به توان پنجم برسانید. مثلا، . ریاضیدانان به یاد دارند که دو به توان پنجم ... و آنها چنین مشکلاتی را در سر خود حل می کنند - سریع تر، آسان تر و بدون اشتباه.

تنها کاری که باید انجام دهید این است آنچه را که در جدول قدرت اعداد با رنگ مشخص شده است به خاطر بسپارید. باور کنید این کار زندگی شما را بسیار آسان تر می کند.

راستی چرا بهش میگن درجه دو؟ مربعاعداد، و سوم - مکعب? چه مفهومی داره؟ سوال خیلی خوبیه حالا هم مربع و هم مکعب خواهید داشت.

مثال زندگی واقعی شماره 1.

بیایید با مربع یا توان دوم عدد شروع کنیم.

یک استخر مربعی به ابعاد یک متر در یک متر را تصور کنید. استخر در خانه شما است. هوا گرم است و من واقعاً می خواهم شنا کنم. اما... استخر ته ندارد! باید کف استخر را با کاشی بپوشانید. چند تا کاشی نیاز دارید؟ برای تعیین این موضوع، باید قسمت پایین استخر را بدانید.

به سادگی می توانید با اشاره انگشت خود محاسبه کنید که کف استخر از مکعب های متر به متر تشکیل شده است. اگر کاشی یک متر در یک متر دارید، به قطعات نیاز دارید. آسان است... اما چنین کاشی هایی را کجا دیده اید؟ کاشی به احتمال زیاد سانتی متر در سانتی متر خواهد بود و سپس با "شمارش با انگشت خود" شکنجه خواهید شد. سپس شما باید ضرب کنید. بنابراین، در یک طرف کف استخر کاشی ها (تکه ها) و در طرف دیگر نیز کاشی ها قرار می دهیم. ضرب در و شما کاشی ().

آیا توجه کرده اید که برای تعیین مساحت کف استخر همان عدد را در خودش ضرب کردیم؟ چه مفهومی داره؟ از آنجایی که عدد مشابهی را ضرب می کنیم، می توانیم از تکنیک "توان سازی" استفاده کنیم. (البته وقتی فقط دو عدد دارید، باز هم باید آنها را ضرب کنید یا به توان برسانید. اما اگر تعداد آنها زیاد باشد، افزایش آنها به توان بسیار آسانتر است و همچنین خطاهای کمتری در محاسبات وجود دارد. برای آزمون یکپارچه دولتی، این بسیار مهم است).
بنابراین، سی به توان دوم () خواهد بود. یا می توان گفت که سی مربع خواهد بود. به عبارت دیگر، توان دوم یک عدد را همیشه می توان به صورت مربع نشان داد. و برعکس، اگر مربعی را دیدید، همیشه توان دوم فلان عدد است. مربع تصویری از توان دوم یک عدد است.

مثال زندگی واقعی شماره 2.

در اینجا یک کار برای شما وجود دارد: با استفاده از مربع یک عدد، تعداد مربع های یک صفحه شطرنج را بشمارید. در یک طرف سلول ها و در طرف دیگر نیز. برای محاسبه تعداد آنها باید هشت را در هشت ضرب کنید یا ... اگر متوجه شدید که یک صفحه شطرنج یک مربع با یک ضلع است، می توانید هشت را مربع کنید. سلول ها را دریافت خواهید کرد. () بنابراین؟

مثال زندگی واقعی شماره 3.

حالا مکعب یا توان سوم یک عدد. همون استخر اما اکنون باید دریابید که چقدر آب باید در این استخر ریخته شود. شما باید حجم را محاسبه کنید. (حجم ها و مایعات، اتفاقاً با متر مکعب اندازه گیری می شوند. غیرمنتظره، درست است؟) یک استخر بکشید: اندازه کف آن یک متر و عمق آن یک متر است و سعی کنید تعداد مکعب هایی را که یک متر در متر اندازه گیری می کنند، بشمارید. در استخر شما قرار بگیرد

فقط انگشت خود را نشان دهید و بشمارید! یک، دو، سه، چهار...بیست و دو، بیست و سه...چند گرفتی؟ گم نشده؟ آیا شمردن با انگشت سخت است؟ به طوری که! از ریاضیدانان مثال بزنید. آنها تنبل هستند، بنابراین متوجه شدند که برای محاسبه حجم استخر، باید طول، عرض و ارتفاع آن را در یکدیگر ضرب کنید. در مورد ما حجم استخر برابر با مکعب خواهد بود... راحت تر، درسته؟

حالا تصور کنید که ریاضیدانان چقدر تنبل و حیله گر هستند اگر این را هم ساده کنند. همه چیز را به یک اقدام تقلیل دادیم. آنها متوجه شدند که طول و عرض و ارتفاع برابر است و همان عدد در خودش ضرب می شود ... این یعنی چه؟ این بدان معنی است که شما می توانید از مزایای مدرک استفاده کنید. بنابراین، آنچه را که یک بار با انگشت خود می شمردید، آنها در یک عمل انجام می دهند: سه مکعب برابر است. اینگونه نوشته شده است: .

تنها چیزی که باقی می ماند این است جدول درجات را به خاطر بسپار. مگر اینکه شما به اندازه ریاضیدانان تنبل و حیله گر باشید. اگر دوست دارید سخت کار کنید و اشتباه کنید، می توانید به شمارش با انگشت خود ادامه دهید.

خوب، برای اینکه در نهایت شما را متقاعد کنم که مدرک تحصیلی توسط افراد حیله گر و ترک اختراع شده است تا مشکلات زندگی خود را حل کنند و نه برای ایجاد مشکل، در اینجا چند نمونه دیگر از زندگی آورده شده است.

مثال زندگی واقعی شماره 4.

شما یک میلیون روبل دارید. در ابتدای هر سال، به ازای هر میلیونی که بسازید، یک میلیون دیگر به دست می آورید. یعنی هر میلیون شما در ابتدای هر سال دو برابر می شود. چند سال دیگر چقدر پول خواهید داشت؟ اگر الان نشسته‌اید و «با انگشتتان می‌شمارید»، پس آدم بسیار سخت‌کوشی و... احمقی هستید. اما به احتمال زیاد در عرض چند ثانیه جواب می دهید، زیرا شما باهوش هستید! پس در سال اول - دو ضرب در دو ... در سال دوم - چه شد، در دو دیگر، در سال سوم ... بس کنید! متوجه شدید که این عدد در خودش ضرب می شود. پس دو تا توان پنجم یک میلیون است! حالا تصور کنید که یک مسابقه دارید و کسی که سریع‌ترین تعداد را می‌تواند بشمارد این میلیون‌ها را به دست می‌آورد... ارزش این را دارد که قدرت اعداد را به خاطر بسپارید، فکر نمی‌کنید؟

مثال زندگی واقعی شماره 5.

شما یک میلیون دارید. در ابتدای هر سال، به ازای هر میلیونی که به دست می آورید، دو نفر دیگر درآمد کسب می کنید. عالی نیست؟ هر میلیون سه برابر می شود. در یک سال چقدر پول خواهید داشت؟ بیا بشماریم. سال اول - ضرب در، سپس نتیجه در دیگری... این در حال حاضر خسته کننده است، زیرا شما قبلاً همه چیز را فهمیده اید: سه در خودش ضرب می شود. پس به توان چهارم برابر با یک میلیون است. فقط باید به یاد داشته باشید که توان سه به چهارم یا است.

اکنون می دانید که با افزایش یک عدد به یک قدرت، زندگی خود را بسیار آسان تر خواهید کرد. بیایید نگاهی بیشتر به کارهایی که می توانید با مدرک انجام دهید و آنچه باید در مورد آنها بدانید بیاندازیم.

اصطلاحات و مفاهیم.

بنابراین، ابتدا اجازه دهید مفاهیم را تعریف کنیم. شما چی فکر میکنید، نما چیست? این بسیار ساده است - این عددی است که "در بالای" قدرت عدد است. علمی نیست، اما واضح و به راحتی قابل یادآوری است...

خوب، در همان زمان، چه چنین پایه مدرک? حتی ساده تر - این عددی است که در زیر، در پایه قرار دارد.

در اینجا یک نقاشی برای اندازه گیری خوب است.

خب به طور کلی برای تعمیم و به خاطر سپردن بهتر ... یک درجه با پایه ” ” و توان ” ” به درجه خوانده می شود و به صورت زیر نوشته می شود:

"قدرت یک عدد با توان طبیعی"

احتمالاً قبلاً حدس زده اید: زیرا توان یک عدد طبیعی است. بله، اما آن چیست عدد طبیعی? ابتدایی! اعداد طبیعی آن دسته از اعدادی هستند که هنگام فهرست کردن اشیا در شمارش استفاده می‌شوند: یک، دو، سه... وقتی اشیاء را می‌شماریم، نمی‌گوییم: منهای پنج، منهای شش، منهای هفت. همچنین نمی گوییم: «یک سوم» یا «نقطه صفر پنج». اینها اعداد طبیعی نیستند. به نظر شما اینها چه اعدادی هستند؟

اعدادی مانند «منهای پنج»، «منهای شش»، «منهای هفت» اشاره دارند تمام اعداد.به طور کلی، اعداد صحیح شامل همه اعداد طبیعی، اعداد مخالف اعداد طبیعی (یعنی با علامت منفی گرفته شده) و عدد هستند. درک صفر آسان است - زمانی است که هیچ چیز وجود ندارد. اعداد منفی ("منهای") به چه معناست؟ اما آنها در درجه اول برای نشان دادن بدهی ها اختراع شده اند: اگر موجودی تلفن خود را به روبل داشته باشید، به این معنی است که به روبل اپراتور بدهکار هستید.

همه کسرها اعداد گویا هستند. به نظر شما چگونه به وجود آمدند؟ بسیار ساده. چندین هزار سال پیش، اجداد ما کشف کردند که فاقد اعداد طبیعی برای اندازه گیری طول، وزن، مساحت و غیره هستند. و به این نتیجه رسیدند اعداد گویا... جالبه، نه؟

اعداد غیر منطقی نیز وجود دارد. این اعداد چیست؟ به طور خلاصه، این یک کسر اعشاری نامتناهی است. به عنوان مثال، اگر محیط یک دایره را بر قطر آن تقسیم کنید، یک عدد غیر منطقی به دست می آید.

اعداد طبیعی اعدادی هستند که در شمارش، یعنی و غیره استفاده می شوند.

اعداد صحیح - همه اعداد طبیعی، اعداد طبیعی با منهای و عدد 0.

اعداد کسری گویا در نظر گرفته می شوند.

اعداد غیر منطقی اعشاری بی نهایت هستند

درجه با شاخص طبیعی

اجازه دهید مفهوم درجه ای را تعریف کنیم که توان آن یک عدد طبیعی است (یعنی عدد صحیح و مثبت).

هر عدد به توان اول با خودش برابر است:
مربع کردن یک عدد یعنی ضرب آن در خودش:
مکعب کردن یک عدد به این معنی است که آن را در خودش سه برابر کنیم:

تعریف.افزایش یک عدد به توان طبیعی به این معنی است که عدد را در خودش ضرب کنیم:

درس با موضوع: "قوانین ضرب و تقسیم توان ها با توان های یکسان و متفاوت. مثال ها"

مواد اضافی
کاربران گرامی، نظرات، نقدها، خواسته های خود را فراموش نکنید. تمام مواد توسط یک برنامه ضد ویروس بررسی شده است.

وسایل کمک آموزشی و شبیه ساز در فروشگاه اینترنتی انتگرال کلاس هفتم
راهنمای کتاب درسی Yu.N. کتابچه راهنمای Makarycheva برای کتاب درسی توسط A.G. موردکوویچ

هدف درس: یادگیری انجام عملیات با قدرت اعداد.

ابتدا بیایید مفهوم "قدرت عدد" را به یاد بیاوریم. عبارتی از شکل $\underbrace(a * a * \ldots * a )_(n)$ را می توان به صورت $a^n$ نشان داد.

عکس آن نیز صادق است: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

این برابری "ثبت درجه به عنوان یک محصول" نامیده می شود. این به ما کمک می کند تا چگونگی ضرب و تقسیم توان ها را تعیین کنیم.
یاد آوردن:
آ- مبنای مدرک تحصیلی
n- توان
اگر n=1یعنی عدد آیک بار گرفت و بر این اساس: $a^n= 1$.
اگر n=0، سپس $a^0= 1$.

وقتی با قواعد ضرب و تقسیم قوا آشنا شویم می توانیم علت این اتفاق را دریابیم.

قوانین ضرب

الف) اگر توان های با پایه یکسان ضرب شوند.
برای بدست آوردن $a^n * a^m$، درجات را به صورت حاصل ضرب می نویسیم: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a ) _(m )$.
شکل نشان می دهد که تعداد آگرفته اند n+mبار، سپس $a^n * a^m = a^(n + m)$.

مثال.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

استفاده از این ویژگی برای ساده کردن کار هنگام بالا بردن یک عدد به توان بالاتر راحت است.
مثال.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

ب) اگر درجاتی با پایه های متفاوت ولی توان یکسان ضرب شوند.
برای به دست آوردن $a^n * b^n$، درجه ها را به عنوان یک حاصل می نویسیم: $\underbrace(a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace(b * b * \ldots * b) _(m )$.
اگر فاکتورها را عوض کنیم و جفت های حاصل را بشماریم، به دست می آید: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

بنابراین $a^n * b^n= (a * b)^n$.

مثال.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

قوانین بخش

الف) مبنای مدرک یکسان است، شاخص ها متفاوت است.
تقسیم توان با نما بزرگتر را با تقسیم توان با توان کوچکتر در نظر بگیرید.

بنابراین، ما نیاز داریم $\frac(a^n)(a^m)$، جایی که n>m.

بیایید درجات را به صورت کسری بنویسیم:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

برای راحتی، تقسیم را به صورت کسری ساده می نویسیم.

حالا بیایید کسر را کاهش دهیم.

معلوم می شود: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
به معنای، $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

این ویژگی به توضیح وضعیت افزایش یک عدد به توان صفر کمک می کند. بیایید این را فرض کنیم n=m، سپس $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

مثال ها.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

ب) مبانی درجه متفاوت است، شاخص ها یکسان است.
فرض کنید $\frac(a^n)(b^n)$ ضروری است. بیایید توان اعداد را به صورت کسری بنویسیم:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace(b * b * \ldots * b )_(n))$.

برای راحتی، بیایید تصور کنیم.

با استفاده از خاصیت کسرها، کسر بزرگ را به حاصل ضرب کسرهای کوچک تقسیم می کنیم، به دست می آوریم.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b))_(n)$.
بر این اساس: $\frac(a^n)(b^n)=(\frac(a)(b))^n$.

مثال.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.