Opće teoreme dinamike, tehnička mehanika. Teorijska mehanika

(MEHANIČKI SISTEMI) – IV opcija

1. Osnovna jednačina dinamike materijalne tačke, kao što je poznato, izražava se jednačinom. Diferencijalne jednadžbe kretanja proizvoljnih tačaka neslobodnog mehanički sistem Prema dvije metode podjele sila, one se mogu napisati u dva oblika:

(1) , gdje je k=1, 2, 3, … , n – broj tačaka materijalnog sistema.

(2)

gdje je masa k-te tačke; - radijus vektor k-te tačke, - data (aktivna) sila koja djeluje na k-tu tačku ili rezultanta svih aktivnih sila koje djeluju na k-tu tačku. - rezultanta sila reakcije veze koje djeluju na k-tu tačku; - rezultat unutrašnje sile, djelujući na k-tu tačku; - rezultanta vanjskih sila koje djeluju na k-tu tačku.

Koristeći jednačine (1) i (2), može se nastojati riješiti i prvi i drugi problem dinamike. Međutim, rešavanje drugog problema dinamike za sistem postaje veoma komplikovano, ne samo sa matematičke tačke gledišta, već i zbog toga što smo suočeni sa fundamentalnim poteškoćama. One se sastoje u činjenici da je i za sistem (1) i za sistem (2) broj jednačina značajan manji broj nepoznato.

Dakle, ako koristimo (1), tada će poznata dinamika za drugi (inverzni) problem biti i , a nepoznate će biti i . Vektorske jednadžbe će biti " n“, a nepoznate - “2n”.

Ako pođemo od sistema jednačina (2), neke od vanjskih sila su poznate. Zašto se rastati? Činjenica je da broj vanjskih sila uključuje i vanjske reakcije veza koje su nepoznate. Osim toga, također će biti nepoznat.

Dakle, i sistem (1) i sistem (2) su NEZATVORENI. Potrebno je dodati jednačine, uzimajući u obzir jednačine veza, a možda je potrebno i nametnuti neka ograničenja na same veze. sta da radim?

Ako pođemo od (1), onda možemo pratiti put sastavljanja Lagrangeovih jednačina prve vrste. Ali ovaj put nije racionalan jer lakši zadatak(manje stepena slobode), to je teže rešiti sa matematičke tačke gledišta.

Zatim skrenimo pažnju na sistem (2), gdje su - uvijek nepoznate. Prvi korak u rješavanju sistema je uklanjanje ovih nepoznanica. Treba imati na umu da nas, po pravilu, ne zanimaju unutrašnje sile kada se sistem kreće, odnosno kada se sistem kreće, nije potrebno znati kako se kreće svaka tačka sistema, ali je dovoljno da zna kako se sistem kreće kao celina.

Dakle, ako Različiti putevi isključiti nepoznate sile iz sistema (2), tada dobijamo neke relacije, tj. neke se pojave Opće karakteristike za sistem čije poznavanje nam omogućava da prosudimo kako se sistem uopšte kreće. Ove karakteristike se uvode pomoću tzv opšte teoreme dinamike. Postoje četiri takve teoreme:

1. Teorema o kretanje centra mase mehaničkog sistema;

2. Teorema o promjena momenta kretanja mehaničkog sistema;

3. Teorema o promjena kinetičkog momenta mehaničkog sistema;

4. Teorema o promjena kinetičke energije mehaničkog sistema.

Vrlo često je moguće identificirati važne karakteristike kretanje mehaničkog sistema bez pribjegavanja integraciji sistema diferencijalnih jednačina kretanja. To se postiže primjenom općih teorema dinamike.

5.1. Osnovni pojmovi i definicije

Vanjske i unutrašnje sile. Svaka sila koja djeluje na tačku u mehaničkom sistemu je nužno ili aktivna sila ili reakcija spajanja. Čitav skup sila koje djeluju na tačke sistema može se različito podijeliti u dvije klase: vanjske sile i unutrašnje sile (indeksi e i i - od latinskih riječi externus - vanjski i internus - unutrašnji). Vanjske sile su one koje djeluju na tačke sistema iz tačaka i tijela koja nisu dio sistema koji se razmatra. Sile interakcije između tačaka i tijela sistema koji se razmatra nazivaju se unutrašnjim.

Ova podjela zavisi od toga koje materijalne tačke i tijela su uključene od strane istraživača u mehanički sistem koji se razmatra. Ako sastav sistema proširimo uključivanjem dodatnih tačaka i tijela, onda neke sile koje su bile vanjske za prethodni sistem mogu postati unutrašnje za prošireni sistem.

Svojstva unutrašnjih sila. Pošto su ove sile sile interakcije između delova sistema, one ulaze u kompletan sistem unutrašnjih sila u „dvojke“, organizovane u skladu sa aksiomom akcija-reakcija. Svaka takva „dvojka“ ima prednosti

glavni vektor i glavni moment oko proizvoljnog centra jednaki su nuli. Jer kompletan sistem unutrašnje sile se sastoje samo od "dvojke".

1) glavni vektor sistema unutrašnjih sila je nula,

2) glavni moment sistema unutrašnjih sila u odnosu na proizvoljnu tačku jednak je nuli.

Masa sistema je aritmetički zbir masa mk svih tačaka i tela koja čine sistem:

Centar mase(centar inercije) mehaničkog sistema je geometrijska tačka C, čiji su vektor radijusa i koordinate određene formulama

gdje su radijus vektori i koordinate tačaka koje čine sistem.

Za kruto tijelo smješteno u jednoličnom gravitacijskom polju, položaji centra mase i centra gravitacije se poklapaju u drugim slučajevima, to su različite geometrijske točke;

Zajedno sa inercijskim referentnim sistemom, neinercijalni referentni sistem koji se kreće translativno često se razmatra istovremeno. Njegove koordinatne ose (Königove ose) biraju se tako da se ishodište C stalno poklapa sa centrom mase mehaničkog sistema. U skladu sa definicijom, centar mase je nepomičan u Koenigovim osama i nalazi se na početku koordinata.

Moment inercije sistema u odnosu na osu je skalarna veličina jednaka zbroju proizvoda masa mk svih tačaka sistema kvadratima njihovih udaljenosti do ose:

Ako je mehanički sistem kruto tijelo, da biste pronašli 12 možete koristiti formulu

gdje je gustina, zapremina koju zauzima tijelo.

Opće teoreme o dinamici sistema tijela. Teoreme o kretanju centra mase, o promjeni količine gibanja, o promjeni glavnog ugaonog momenta, o promjeni kinetičke energije. D'Alembertovi principi i mogući pokreti. Opća jednadžba dinamike. Lagrangeove jednadžbe.

Opće teoreme o dinamici krutog tijela i sistema tijela

Opće teoreme dinamike- ovo je teorema o kretanju centra mase mehaničkog sistema, teorema o promjeni količine gibanja, teorema o promjeni glavnog ugaonog momenta (kinetičkog momenta) i teorema o promjeni kinetičke energije mehaničkog sistema.

Teorema o kretanju centra mase mehaničkog sistema

Teorema o kretanju centra masa.
Proizvod mase sistema i ubrzanja njegovog centra mase jednak je vektorskom zbiru svih vanjskih sila koje djeluju na sistem:
.

Ovdje je M masa sistema:
;
a C je ubrzanje centra mase sistema:
;
v C - brzina centra mase sistema:
;
r C - radijus vektor (koordinate) centra mase sistema:
;
- koordinate (u odnosu na fiksni centar) i mase tačaka koje čine sistem.

Teorema o promjeni impulsa (momenta)

Količina kretanja (impulsa) sistema jednak je proizvodu mase čitavog sistema brzinom njegovog centra mase ili zbirom impulsa (zbir impulsa) pojedinih tačaka ili delova koji čine sistem:
.

Teorema o promjeni impulsa u diferencijalnom obliku.
Vremenski izvod količine kretanja (momenta) sistema jednak je vektorskom zbiru svih vanjskih sila koje djeluju na sistem:
.

Teorema o promjeni impulsa u integralnom obliku.
Promjena impulsa (impulsa) sistema u određenom vremenskom periodu jednaka je zbiru impulsa vanjskih sila u istom vremenskom periodu:
.

Zakon održanja količine gibanja (momenta).
Ako je zbir svih vanjskih sila koje djeluju na sistem jednak nuli, tada će vektor zamaha sistema biti konstantan. Odnosno, sve njegove projekcije na koordinatne ose održavat će konstantne vrijednosti.

Ako je zbir projekcija vanjskih sila na bilo koju osu nula, tada će projekcija količine kretanja sistema na ovu osu biti konstantna.

Teorema o promjeni glavnog ugaonog momenta (teorema o momentima)

Glavni ugaoni moment sistema u odnosu na dati centar O je veličina jednaka vektorskom zbroju ugaonog momenta svih tačaka sistema u odnosu na ovaj centar:
.
Ovdje uglaste zagrade označavaju unakrsni proizvod.

Priključeni sistemi

Sljedeća teorema se primjenjuje na slučaj kada mehanički sistem ima fiksnu tačku ili osu koja je fiksirana u odnosu na inercijalni referentni okvir. Na primjer, tijelo osigurano sfernim ležajem. Ili sistem tijela koji se kreće oko fiksnog centra. Takođe može biti fiksna osa oko koje se rotira tijelo ili sistem tijela. U ovom slučaju, momente treba shvatiti kao momente impulsa i sila u odnosu na fiksnu osu.

Teorema o promjeni glavnog ugaonog momenta (teorema o momentima)
Vremenski izvod glavnog ugaonog momenta sistema u odnosu na neki fiksni centar O jednak je zbiru momenata svih spoljnih sila sistema u odnosu na isti centar.

Zakon održanja glavnog ugaonog momenta (kutnog momenta).
Ako je zbir momenata svih vanjskih sila primijenjenih na sistem u odnosu na dati fiksni centar O jednak nuli, tada će glavni ugaoni moment sistema u odnosu na ovaj centar biti konstantan. Odnosno, sve njegove projekcije na koordinatne ose održavat će konstantne vrijednosti.

Ako je zbir momenata vanjskih sila u odnosu na neku fiksnu osu jednak nuli, tada će ugaoni moment sistema u odnosu na ovu osu biti konstantan.

Proizvoljni sistemi

Sljedeća teorema ima univerzalni karakter. Primjenjuje se i na fiksne i na slobodno pokretne sisteme. U slučaju fiksnih sistema, potrebno je uzeti u obzir reakcije veza na fiksnim tačkama. Razlikuje se od prethodne teoreme po tome što umjesto fiksne tačke O treba uzeti centar mase C sistema.

Teorema momenata o centru masa
Vremenski izvod glavnog ugaonog momenta sistema u odnosu na centar mase C jednak je zbiru momenata svih spoljnih sila sistema u odnosu na isti centar.

Zakon održanja ugaonog momenta.
Ako je zbir momenata svih vanjskih sila primijenjenih na sistem u odnosu na centar mase C jednak nuli, tada će glavni moment količine kretanja sistema u odnosu na ovaj centar biti konstantan. Odnosno, sve njegove projekcije na koordinatne ose održavat će konstantne vrijednosti.

Moment inercije tijela

Ako se tijelo rotira oko z ose sa ugaonom brzinom ω z, tada se njegov ugaoni moment (kinetički moment) u odnosu na osu z određuje formulom:
L z = J z ω z ,
gdje je J z moment inercije tijela u odnosu na osu z.

Moment inercije tijela u odnosu na osu z određena formulom:
,
gdje je h k udaljenost od tačke mase m k do ose z.
Za tanak prsten mase M i poluprečnika R, ili cilindar čija je masa raspoređena duž njegovog ruba,
J z = M R 2 .
Za čvrsti homogeni prsten ili cilindar,
.

Steiner-Huygens teorem.
Neka je Cz osa koja prolazi kroz centar mase tijela, a Oz osa paralelna s njim. Tada su momenti inercije tijela u odnosu na ove ose povezani relacijom:
J Oz = J Cz + M a 2 ,
gdje je M tjelesna težina; a je rastojanje između osa.

U opštijem slučaju:
,
gdje je tenzor inercije tijela.
Ovdje je vektor povučen iz centra mase tijela do tačke mase m k.

Teorema o promjeni kinetičke energije

Neka tijelo mase M vrši translacijsko i rotacijsko kretanje s ugaonom brzinom ω oko neke ose z. Tada se kinetička energija tijela određuje formulom:
,
gdje je v C brzina kretanja centra mase tijela;
J Cz je moment inercije tijela u odnosu na osu koja prolazi kroz centar mase tijela paralelno s osom rotacije. Smjer ose rotacije se može promijeniti tokom vremena. Ova formula daje trenutnu vrijednost kinetičke energije.

Teorema o promjeni kinetičke energije sistema u diferencijalnom obliku.
Diferencijal (prirast) kinetičke energije sistema tokom nekog kretanja jednak je zbiru diferencijala rada na ovom kretanju svih spoljašnjih i unutrašnjih sila primenjenih na sistem:
.

Teorema o promjeni kinetičke energije sistema u integralnom obliku.
Promjena kinetičke energije sistema pri nekom kretanju jednaka je zbiru rada na ovom kretanju svih vanjskih i unutrašnjih sila primijenjenih na sistem:
.

Posao koji je izvršila sila, je jednako skalarni proizvod vektori sile i beskonačno mali pomak tačke njene primjene:
,
odnosno proizvod apsolutnih vrijednosti vektora F i ds kosinusom ugla između njih.

Rad obavljen momentom sile, jednak je skalarnom proizvodu vektora momenta i beskonačno malog ugla rotacije:
.

d'Alambertov princip

Suština d'Alamberovog principa je da se problemi dinamike svedu na probleme statike. Da bi se to postiglo, pretpostavlja se (ili je unaprijed poznato) da tijela sistema imaju određena (ugaona) ubrzanja. Zatim se uvode inercijalne sile i (ili) momenti inercijskih sila, koji su po veličini jednaki i suprotni po smjeru silama i momentima sila koje bi, prema zakonima mehanike, stvorile zadana ubrzanja ili kutna ubrzanja.

Pogledajmo primjer. Tijelo je podvrgnuto translacijskom kretanju i na njega djeluju vanjske sile. Dalje pretpostavljamo da ove sile stvaraju ubrzanje centra mase sistema. Prema teoremi o kretanju centra mase, centar mase tijela imao bi isto ubrzanje da na tijelo djeluje sila. Zatim uvodimo silu inercije:
.
Nakon ovoga, problem dinamike:
.
;
.

Za rotacijsko kretanje postupite na isti način. Neka tijelo rotira oko z ose i na njega djeluju vanjski momenti sile M e zk . Pretpostavljamo da ovi momenti stvaraju ugaono ubrzanje ε z. Zatim uvodimo moment sile inercije M I = - J z ε z. Nakon ovoga, problem dinamike:
.
Pretvara se u problem statike:
;
.

Princip mogućih pokreta

Za rješavanje statičkih problema koristi se princip mogućih pomaka. U nekim problemima daje kraće rješenje od sastavljanja jednadžbi ravnoteže. Ovo posebno važi za sisteme sa vezama (na primer, sisteme tela povezanih nitima i blokovima) koji se sastoje od mnogo tela

Princip mogućih pokreta.
Za ravnotežu mehaničkog sistema sa idealnim vezama potrebno je i dovoljno da zbir elementarnih radova svih aktivnih sila koje na njega deluju za svako moguće kretanje sistema bude jednak nuli.

Moguće preseljenje sistema- ovo je mali pokret u kojem se ne prekidaju veze nametnute sistemu.

Idealne veze- to su veze koje ne rade kada se sistem kreće. Preciznije, količina posla koju obavljaju same veze pri pomicanju sistema je nula.

Opća jednadžba dinamike (D'Alembert - Lagrangeov princip)

D'Alembert-Lagrangeov princip je kombinacija D'Alembertovog principa sa principom mogućih kretanja. Odnosno, prilikom rješavanja dinamičkog problema uvodimo inercijalne sile i problem svodimo na statički problem koji rješavamo po principu mogućih pomaka.

D'Alembert-Lagrangeov princip.
Kada se mehanički sistem sa idealnim vezama kreće, u svakom trenutku vremena zbir elementarnih radova svih primenjenih aktivnih sila i svih inercijskih sila na bilo koje moguće kretanje sistema je nula:
.
Ova jednačina se zove opšta jednačina dinamike.

Lagrangeove jednadžbe

Generalizirane q koordinate 1 , q 2 , ..., q n je skup od n veličina koje jedinstveno određuju položaj sistema.

Broj generalizovanih koordinata n poklapa se sa brojem stepeni slobode sistema.

Generalizirane brzine su derivati ​​generaliziranih koordinata u odnosu na vrijeme t.

Generalizovane sile Q 1 , Q 2 , ..., Q n .
Razmotrimo moguće kretanje sistema, pri čemu će koordinata q k dobiti kretanje δq k. Preostale koordinate ostaju nepromijenjene. Neka je δA k rad vanjskih sila tokom takvog kretanja. Onda
δA k = Q k δq k , ili
.

Ako se uz moguće kretanje sistema mijenjaju sve koordinate, tada rad vanjskih sila tokom takvog kretanja ima oblik:
δA = Q 1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n.
Tada su generalizirane sile parcijalni derivati ​​rada na pomacima:
.

Za potencijalne snage sa potencijalom Π,
.

Lagrangeove jednadžbe- ovo su jednadžbe kretanja mehaničkog sistema u generaliziranim koordinatama:

Ovdje je T kinetička energija. To je funkcija generaliziranih koordinata, brzina i, moguće, vremena. Stoga je njegov parcijalni izvod također funkcija generaliziranih koordinata, brzina i vremena. Zatim, morate uzeti u obzir da su koordinate i brzine funkcije vremena. Stoga, da biste pronašli ukupni izvod s obzirom na vrijeme, morate primijeniti pravilo diferencijacije složena funkcija:
.

Reference:
S. M. Targ, Kratki kurs teorijska mehanika", postdiplomske škole“, 2010.

Razmotrimo kretanje određenog sistema materijalnih objekata u odnosu na fiksni koordinatni sistem. Kada sistem nije slobodan, onda se može smatrati slobodnim ako odbacimo veze koje su nametnute sistemu i zamijenimo njihovo djelovanje odgovarajućim reakcijama.

Podelimo sve sile koje se primenjuju na sistem na spoljašnje i unutrašnje; oba mogu uključivati ​​reakcije odbačenih

veze. Označimo i glavni vektor i glavni moment vanjskih sila u odnosu na tačku A.

1. Teorema o promjeni impulsa. Ako je količina kretanja sistema, onda (vidi)

odnosno važi teorema: vremenski izvod impulsa sistema jednak je glavnom vektoru svih vanjskih sila.

Zamjenom vektora kroz njegov izraz gdje je masa sistema, je brzina centra mase, jednačina (4.1) može dobiti drugačiji oblik:

Ova jednakost znači da se centar mase sistema kreće poput materijalne tačke čija je masa jednaka masi sistema i na koju se primjenjuje sila koja je geometrijski jednaka glavnom vektoru svih vanjskih sila sistema. Posljednja tvrdnja se zove teorema o kretanju centra mase (centra inercije) sistema.

Ako onda iz (4.1) slijedi da je vektor momenta konstantan po veličini i smjeru. Projektujući ga na koordinatnu osu, dobijamo tri skalarna prva integrala, diferencijalne jednadžbe dvostruke kapice sistema:

Ovi integrali se nazivaju integrali momenta. Kada je brzina centra mase konstantna, odnosno kreće se jednoliko i pravolinijski.

Ako je projekcija glavnog vektora vanjskih sila na bilo koju osu, na primjer na osu, jednaka nuli, tada imamo jedan prvi integral, ili ako su dvije projekcije glavnog vektora jednake nuli, tada postoje dvije integrali momenta.

2. Teorema o promjeni kinetičkog momenta. Neka je A neka proizvoljna tačka u prostoru (pokretna ili stacionarna), koja se ne poklapa nužno ni sa jednom specifičnom materijalnom tačkom sistema tokom čitavog vremena kretanja. Njegovu brzinu u fiksnom koordinatnom sistemu označavamo sa Teorema o promeni kinetičkog momenta materijalnog sistema u odnosu na tačku A ima oblik

Ako je tačka A fiksna, onda jednakost (4.3) poprima jednostavniji oblik:

Ova jednakost izražava teoremu o varijaciji ugaonog momenta sistema u odnosu na fiksnu tačku: vremenski izvod ugaonog momenta sistema, izračunat u odnosu na neku fiksnu tačku, jednak je glavnom momentu svih vanjskih sila relativnih do ove tačke.

Ako je tada prema (4.4) vektor ugaonog momenta konstantan po veličini i smjeru. Projektujući ga na koordinatne ose, dobijamo skalarne prve integrale diferencijalnih jednačina dvostrukog sistema:

Ovi integrali se nazivaju integrali momenta ili integrali površine.

Ako se tačka A poklapa sa centrom mase sistema, tada prvi član na desnoj strani jednakosti (4.3) nestaje i teorema o promjeni ugaonog momenta ima isti oblik pisanja (4.4) kao u slučaju fiksnu tačku A. Imajte na umu (vidi. str. 4 § 3), da se u slučaju koji se razmatra, apsolutni ugaoni moment sistema na levoj strani jednakosti (4.4) može biti zamenjen jednakim ugaonim momentom sistema u svom kretanju u odnosu na centar mase.

Neka je neka konstantna osa ili osa konstantnog pravca koja prolazi kroz centar mase sistema, i neka je kinetički moment sistema u odnosu na ovu osu. Iz (4.4) slijedi da

gdje je moment vanjskih sila u odnosu na osu. Ako tokom čitavog kretanja imamo prvi integral

U radovima S.A. Chaplygina dobijeno je nekoliko generalizacija teoreme o promjeni kinetičkog momenta, koje su potom primijenjene u rješavanju niza zadataka o kotrljajućim kuglicama. Daljnje generalizacije teoreme o promjeni mehaničkog momenta i njihove primjene u problemima dinamike krutog tijela sadržane su u radovima. Glavni rezultati ovih radova odnose se na teoremu o promjeni kinetičkog momenta u odnosu na pokretni, koji stalno prolazi kroz neku pokretnu tačku A. Neka je jedinični vektor usmjeren duž ove ose. Množenjem skalarno sa obe strane jednakosti (4.3) i dodavanjem člana na njegova dva dela dobijamo

Kada je kinematički uslov ispunjen

Jednačina (4.5) slijedi iz (4.7). A ako je uslov (4.8) zadovoljen tokom čitavog kretanja, tada postoji prvi integral (4.6).

Ako su veze sistema idealne i dozvoljavaju, među virtualnim pomacima, rotaciju sistema kao krutog tijela oko ose i tada je glavni moment reakcije u odnosu na osu i jednak nuli, a zatim vrijednost na desna strana jednačine (4.5) predstavlja glavni moment svih vanjskih aktivnih sila u odnosu na osu i . Jednakost ovog momenta sa nulom i valjanost relacije (4.8) biće u razmatranom slučaju dovoljni uslovi za postojanje integrala (4.6).

Ako je smjer ose i konstantan, tada će uvjet (4.8) biti zapisan u obliku

Ova jednakost znači da su projekcije brzine centra mase i brzine tačke A na osu i na ravan okomitu na nju paralelne. U radu S.A. Chaplygina, umjesto (4.9), potrebno je ispunjenje manje opšteg uslova gdje je X proizvoljna konstantna vrijednost.

Imajte na umu da uvjet (4.8) ne ovisi o izboru točke na . Zaista, neka je P proizvoljna tačka na osi. Onda

i zbog toga

U zaključku, napominjemo Rézalovu geometrijsku interpretaciju jednadžbi (4.1) i (4.4): vektori apsolutne brzine krajeva vektora i jednaki su, respektivno, glavnom vektoru i glavnom momentu svih vanjskih sila u odnosu na tačku A .

MINISTARSTVO POLJOPRIVREDE I PREHRANE REPUBLIKE BELORUSIJE

Obrazovna ustanova „BELORUSIJA DRŽAVNA POLJOPRIVREDNA

TEHNIČKI UNIVERZITET"

Katedra za teorijsku mehaniku i teoriju mehanizama i mašina

TEORIJSKA MEHANIKA

metodološki kompleks za studente specijalnosti

74 06 Agroinženjering

U 2 dijela Prvi dio

UDK 531.3(07) BBK 22.213ya7 T 33

Sastavio:

Kandidat fizičko-matematičkih nauka, vanredni profesor Yu. S. Biza, kandidat tehničkih nauka, vanredni profesor N. L. Rakova, viši predavač. A. Tarasevich

Recenzenti:

Katedra za teorijsku mehaniku obrazovne ustanove "Bjeloruski nacionalni tehnički univerzitet" (rukovodilac

Katedra za teorijsku mehaniku BNTU Doktor fizičko-matematičkih nauka, profesor A. V. Chigarev);

Vodeći istraživač Laboratorije za zaštitu od vibracija mašinskih sistema Državne naučne ustanove Ujedinjeni institut za mašinstvo

NAS Bjelorusije", kandidat tehničkih nauka, vanredni profesor A. M. Goman

Teorijska mehanika. Sekcija "Dinamika": edukativna

T33 metoda. kompleks. U 2 dijela / sastavili: Yu S. Biza, N. L. Rakova, I. A. Tarasevich. – Minsk: BGATU, 2013. – 120 str.

ISBN 978-985-519-616-8.

Nastavno-metodološki kompleks predstavlja materijale za proučavanje odjeljka „Dinamika“, 1. dio, koji je dio discipline „Teorijska mehanika“. Uključuje kurs predavanja, osnovne materijale za izvođenje praktična nastava, zadaci i uzorci zadataka za samostalan rad i kontrolu obrazovne aktivnosti redovni i vanredni studenti.

UDK 531.3(07) BBK 22.213ya7

UVOD

Teorijska mehanika je nauka o opšti zakoni mehaničko kretanje, ravnoteža i interakcija materijalnih tijela.

Ovo je jedna od osnovnih opštih naučnih fizičko-matematičkih disciplina. To je teorijska osnova moderne tehnologije.

Proučavanje teorijske mehanike, uz druge fizičke i matematičke discipline, pomaže u širenju naučnih horizonata, razvija sposobnost konkretnog i apstraktnog mišljenja i pomaže u poboljšanju opšte tehničke kulture budućeg specijaliste.

Teorijska mehanika, kao naučna osnova svih tehničkih disciplina, doprinosi razvoju vještina racionalne odluke inženjerski poslovi vezani za rad, popravku i projektovanje poljoprivrednih i melioracionih mašina i opreme.

Na osnovu prirode problema koji se razmatraju, mehanika se dijeli na statiku, kinematiku i dinamiku. Dinamika je grana teorijske mehanike koja proučava kretanje materijalnih tijela pod djelovanjem primijenjenih sila.

IN obrazovno-metodički kompleksa (UMK) predstavlja materijale za proučavanje sekcije „Dinamika“ koja uključuje kurs predavanja, osnovne materijale za izvođenje praktičan rad, zadaci i uzorci izvršenja za samostalan rad i praćenje obrazovne aktivnosti redovnih i vanrednih studenata.

IN Kao rezultat proučavanja odjeljka „Dinamika“, student mora naučiti teorijska osnova dinamiku i savladati osnovne metode rješavanja dinamičkih problema:

Poznavati metode za rješavanje dinamičkih problema, opšte teoreme dinamika, principi mehanike;

Znati odrediti zakone kretanja tijela u zavisnosti od sila koje na njega djeluju; primijeniti zakone i teoreme mehanike za rješavanje problema; određuju statičke i dinamičke reakcije veza koje ograničavaju kretanje tijela.

Nastavnim planom i programom discipline „Teorijska mehanika” predviđen je ukupan broj časova u učionici – 136, uključujući 36 časova za izučavanje odeljenja „Dinamika”.

1. NAUČNO-TEORIJSKI SADRŽAJ NASTAVNO-METODIČKOG KOMPLEKSA

1.1. Glossary

Statika je grana mehanike koja postavlja opštu doktrinu sila, proučava svođenje složenih sistema sila na njihov najjednostavniji oblik i uspostavlja uslove ravnoteže razni sistemi snagu

Kinematika je grana teorijske mehanike koja proučava kretanje materijalnih objekata bez obzira na razloge koji uzrokuju to kretanje, odnosno bez obzira na sile koje djeluju na te objekte.

Dinamika je grana teorijske mehanike koja proučava kretanje materijalnih tijela (tačaka) pod djelovanjem primijenjenih sila.

Materijalna tačka– materijalno tijelo čija je razlika u kretanju tačaka neznatna.

Masa tijela je skalarna pozitivna veličina koja ovisi o količini tvari sadržanoj u datom tijelu i određuje njegovu mjeru inercije tijekom translacijskog kretanja.

Referentni sistem je koordinatni sistem povezan sa tijelom u odnosu na koji se proučava kretanje drugog tijela.

Inercijski sistem– sistem u kojem su zadovoljeni prvi i drugi zakon dinamike.

Impuls sile je vektorska mjera djelovanja sile tokom nekog vremena.

Zamah materijalne tačke – vektorska mjera njenog kretanja, jednaka proizvodu mase tačke i njenog vektora brzine.

Kinetička energija– skalarna mjera mehaničkog kretanja.

Elementarni rad sile je beskonačno mala skalarna veličina jednaka skalarnom proizvodu vektora sile i vektora beskonačno malog pomaka tačke primjene sile.

Kinetička energija– skalarna mjera mehaničkog kretanja.

Kinetička energija materijalne tačke je skalarna energija

pozitivna veličina jednaka polovini proizvoda mase tačke i kvadrata njene brzine.

Kinetička energija mehaničkog sistema - aritme-

tički zbir kinetičkih energija svih materijalnih tačaka ovog sistema.

Sila je mjera mehaničke interakcije tijela koja karakterizira njen intenzitet i smjer.

1.2. Teme i sadržaj predavanja

Odjeljak 1. Uvod u dinamiku. Osnovni koncepti

klasična mehanika

Tema 1. Dinamika materijalne tačke

Zakoni dinamike materijalne tačke (Galilejevi – Njutnovi zakoni). Diferencijalne jednadžbe kretanja materijalne tačke. Dva glavna problema dinamike za materijalnu tačku. Rješenje drugog problema dinamike; konstante integracije i njihovo određivanje početnim uslovima.

Literatura:, str. 180-196, , str. 12-26.

Tema 2. Dinamika relativnog kretanja materijala

Relativno kretanje materijalne tačke. Diferencijalne jednadžbe relativnog kretanja tačke; prenosive i Coriolisove sile inercije. Princip relativnosti u klasičnoj mehanici. Slučaj relativnog mira.

Literatura: , str. 180-196, , str. 127-155.

Tema 3. Geometrija masa. Centar mase mehaničkog sistema

Masa sistema. Centar mase sistema i njegove koordinate.

Literatura:, str. 86-93, str. 264-265

Tema 4. Momenti inercije krutog tijela

Momenti inercije krutog tijela u odnosu na osu i pol. Radijus inercije. Teorema o momentima inercije oko paralelnih osa. Aksijalni momenti inercije nekih tijela.

Centrifugalni momenti inercije kao karakteristika asimetrije tijela.

Literatura: , str. 265-271, , str. 155-173.

Odjeljak 2. Opće teoreme o dinamici materijalne tačke

i mehanički sistem

Tema 5. Teorema o kretanju centra mase sistema

Teorema o kretanju centra mase sistema. Posljedice iz teoreme o kretanju centra mase sistema.

Literatura: , str. 274-277, , str. 175-192.

Tema 6. Moment momenta materijalne tačke

i mehanički sistem

Količina kretanja materijalne tačke i mehaničkog sistema. Elementarni impuls i impuls sile u konačnom vremenskom periodu. Teorema o promjeni impulsa tačke i sistema u diferencijalnom i integralnom obliku. Zakon održanja impulsa.

Literatura: , str. 280-284, , str. 192-207.

Tema 7. Moment momenta materijalne tačke

i mehanički sistem u odnosu na centar i osu

Moment momenta tačke u odnosu na centar i osu. Teorema o promjeni ugaonog momenta tačke. Kinetički moment mehaničkog sistema u odnosu na centar i osu.

Kinetički moment rotacionog krutog tijela oko ose rotacije. Teorema o promjeni ugaonog momenta sistema. Zakon održanja ugaonog momenta.

Literatura: , str. 292-298, , str. 207-258.

Tema 8. Rad i snaga sila

Elementarni rad sile, njen analitički izraz. Rad koji je izvršila sila na konačnom putu. Rad gravitacije, elastična sila. Zbir rada unutrašnjih sila koje djeluju u čvrstom tijelu jednak je nuli. Rad sila primijenjenih na kruto tijelo koje rotira oko fiksne ose. Snaga. Efikasnost.

Literatura: , str. 208-213, , str. 280-290.

Tema 9. Kinetička energija materijalne tačke

i mehanički sistem

Kinetička energija materijalne tačke i mehaničkog sistema. Proračun kinetičke energije krutog tijela u različitim slučajevima njegovog kretanja. Koenigova teorema. Teorema o promjeni kinetičke energije tačke u diferencijalnom i integralnom obliku. Teorema o promjeni kinetičke energije mehaničkog sistema u diferencijalnom i integralnom obliku.

Literatura: , str. 301-310, , str. 290-344.

Tema 10. Potencijalno polje sila i potencijal

Koncept polja sile. Potencijalno polje sila i funkcija sile. Rad sile na konačnom pomaku tačke u potencijalnom polju sila. Potencijalna energija.

Literatura: , str. 317-320, , str. 344-347.

Tema 11. Dinamika krutog tijela

Diferencijalne jednadžbe translacijskog kretanja krutog tijela. Diferencijalna jednadžba rotacijskog kretanja krutog tijela oko fiksne ose. Fizičko klatno. Diferencijalne jednadžbe ravnog kretanja krutog tijela.

Literatura: , str. 323-334, , str. 157-173.

Odjeljak 1. Uvod u dinamiku. Osnovni koncepti

klasična mehanika

Dinamika je grana teorijske mehanike koja proučava kretanje materijalnih tijela (tačaka) pod djelovanjem primijenjenih sila.

materijalno telo- telo koje ima masu.

Materijalna tačka– materijalno tijelo čija je razlika u kretanju tačaka neznatna. To može biti ili tijelo čije se dimenzije pri kretanju mogu zanemariti ili tijelo konačnih dimenzija ako se kreće translatorno.

Materijalne tačke nazivaju se i čestice na koje se čvrsto tijelo mentalno razlaže prilikom određivanja nekih njegovih dinamičkih karakteristika. Primeri materijalnih tačaka (slika 1): a – kretanje Zemlje oko Sunca. Zemlja je materijalna tačka b – translacijsko kretanje krutog tijela. Čvrsto tijelo - majka

al tačka, jer V B = V A ; a B = a A ; c – rotacija tijela oko ose.

Čestica tijela je materijalna tačka.

Inercija je svojstvo materijalnih tijela da pod utjecajem primijenjenih sila mijenjaju brzinu svog kretanja brže ili sporije.

Masa tijela je skalarna pozitivna veličina koja ovisi o količini tvari sadržanoj u datom tijelu i određuje njegovu mjeru inercije tijekom translacijskog kretanja. U klasičnoj mehanici masa je konstantna veličina.

Sila je kvantitativna mjera mehaničke interakcije između tijela ili između tijela (tačke) i polja (električnog, magnetskog, itd.).

Sila je vektorska veličina koju karakterišu veličina, tačka primene i pravac (linija dejstva) (slika 2: A – tačka primene; AB – linija delovanja sile).

Rice. 2

U dinamici, pored stalnih sila, postoje i promjenjive sile, koje mogu ovisiti o vremenu t, brzini ϑ, distanciru, ili o kombinaciji ovih veličina, tj.

F = konst;

F = F(t) ;

F = F(ϑ) ;

F = F(r) ;

F = F(t, r, ϑ) .

električna lokomotiva; c − F = F (r) – sila odbijanja od centra O ili privlačenja prema njemu.

Referentni sistem je koordinatni sistem povezan sa tijelom u odnosu na koji se proučava kretanje drugog tijela.

Inercijalni sistem je sistem u kojem su zadovoljeni prvi i drugi zakon dinamike. Ovo je fiksni koordinatni sistem ili sistem koji se kreće jednoliko i linearno.

Kretanje u mehanici je promjena položaja tijela u prostoru i vremenu u odnosu na druga tijela.

Prostor u klasičnoj mehanici je trodimenzionalan, u skladu sa euklidskom geometrijom.

Vrijeme je skalarna veličina koja jednako teče u bilo kojem referentnom sistemu.

Sistem jedinica je skup mjernih jedinica fizičke veličine. Za mjerenje svih mehaničkih veličina dovoljne su tri osnovne jedinice: jedinice dužine, vremena, mase ili sile.

Sve ostale jedinice mjerenja mehaničkih veličina su izvedene iz njih. Koriste se dvije vrste sistema jedinica: međunarodni sistem jedinica SI (ili manji - GHS) i tehnički sistem jedinica - ICGSS.

Tema 1. Dinamika materijalne tačke

1.1. Zakoni dinamike materijalne tačke (Galileo-Newton zakoni)

Prvi zakon (zakon inercije).

Izolirano od spoljni uticaji materijalna tačka održava svoje stanje mirovanja ili se kreće jednoliko i pravolinijski sve dok je primijenjene sile ne prisile da promijeni ovo stanje.

Kretanje koje vrši tačka u odsustvu sila ili pod dejstvom uravnoteženog sistema sila naziva se kretanje po inerciji.

Na primjer, kretanje tijela duž glatke (sila trenja je nula)

horizontalna površina (slika 4: G – tjelesna težina; N – normalna ravna reakcija).

Pošto je G = − N, onda je G + N = 0.

Kada je ϑ 0 ≠ 0 tijelo se kreće istom brzinom; kada je ϑ 0 = 0 tijelo miruje (ϑ 0 je početna brzina).

Drugi zakon (osnovni zakon dinamike).

Proizvod mase tačke i ubrzanja koje ona prima pod uticajem date sile jednak je po veličini ovoj sili, a njen smer se poklapa sa smerom ubrzanja.

a b

Matematički, ovaj zakon je izražen vektorskom jednakošću

Kada je F = 0,a 0 = 0 = ϑ 0 = const – tačka se kreće ravnomerno i pravolinijsko ili pri ϑ 0 = 0 – miruje (zakon inercije). Sekunda

zakon nam omogućava da uspostavimo vezu između mase m tijela koje se nalazi blizu površine zemlje i njegove težine G .G = mg, gdje je g

ubrzanje gravitacije.

Treći zakon (zakon jednakosti akcije i reakcije). Dvije materijalne tačke djeluju jedna na drugu sa silama jednakim po veličini i usmjerenim duž prave linije koja spaja

ove tačke u suprotnim smerovima.

Budući da se sile F 1 = − F 2 primjenjuju na različite tačke, sistem sila (F 1 , F 2 ) nije izbalansiran, odnosno (F 1 , F 2 )≈ 0 (slika 6).

mase tačaka interakcije su obrnuto proporcionalne njihovim ubrzanjima.

Četvrti zakon (zakon nezavisnosti delovanja sila). Ubrzanje primljeno od strane točke kada djeluje na nju u isto vrijeme

ali nekoliko sila je jednako geometrijski zbir ona ubrzanja koja bi tačka dobila kada bi se svaka sila primenila na nju posebno.

Objašnjenje (slika 7).

t a n

a 1 a kF n

Rezultantna sila R (F 1 ,...F k ,...F n ) .

Kako je ma = R,F 1 = ma 1, ...,F k = ma k, ...,F n = ma n, onda

a = a 1 + ...+ a k + ...+ a n = ∑ a k, tj. četvrti zakon je ekvivalentan

k = 1

pravilo zbrajanja sila.

1.2. Diferencijalne jednadžbe kretanja materijalne tačke

Neka nekoliko sila istovremeno djeluje na materijalnu tačku, među kojima postoje i konstantne i promjenjive.

Zapišimo drugi zakon dinamike u obliku

tačke, onda (1.2) sadrži izvode od r i predstavlja diferencijalnu jednačinu kretanja materijalne tačke u vektorskom obliku ili osnovna jednačina dinamike materijalne tačke.

Projekcije vektorske jednakosti (1.2): - na os kartezijanskih koordinata (slika 8, a)

Na prirodnoj osi (slika 8, b)

mab = m0 = ∑ Fk b

k = 1

M t oM oa

Jednačine (1.3) i (1.4) su diferencijalne jednadžbe gibanja materijalne tačke, respektivno, u kartezijanskim koordinatnim osa i prirodnim osama, odnosno prirodne diferencijalne jednadžbe koje se obično koriste za krivolinijsko kretanje tačke, ako trajektorija tačka i njen poluprečnik zakrivljenosti su poznati.

1.3. Dva glavna problema dinamike za materijalnu tačku i njihovo rješenje

Prvi (direktni) zadatak.

Poznavajući zakon kretanja i masu tačke, odredite silu koja deluje na tačku.

Da biste riješili ovaj problem, morate znati ubrzanje tačke. U problemima ovog tipa može se direktno specificirati ili se može specificirati zakon kretanja tačke, u skladu sa kojim se može odrediti.

1. Dakle, ako je kretanje tačke navedeno u kartezijanskim koordinatama

x = f 1 (t), y = f 2 (t) i z = f 3 (t), tada se određuju projekcije ubrzanja