X 2 y 3x 1 กราฟ การแปลงกราฟด้วยโมดูล

1. ฟังก์ชันเศษส่วนเชิงเส้นและกราฟ

ฟังก์ชันของรูปแบบ y = P(x) / Q(x) โดยที่ P(x) และ Q(x) เป็นพหุนามเรียกว่า ฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วน

คุณคงคุ้นเคยกับแนวคิดเรื่องจำนวนตรรกยะแล้ว ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชันตรรกยะเป็นฟังก์ชันที่สามารถแสดงเป็นผลหารของพหุนามสองพหุนามได้

หากฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วนเป็นผลหารของฟังก์ชันเชิงเส้นสองฟังก์ชัน - พหุนามของดีกรีแรก นั่นคือ ฟังก์ชั่นดู

y = (ax + b) / (cx + d) จากนั้นเรียกว่าเศษส่วนเชิงเส้น

โปรดทราบว่าในฟังก์ชัน y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (มิฉะนั้นฟังก์ชันจะกลายเป็นเส้นตรง y = ax/d + b/d) และ a/c ≠ b/d (มิฉะนั้น ฟังก์ชันเป็นค่าคงที่ ) ฟังก์ชันเชิงเส้น-เศษส่วนถูกกำหนดสำหรับจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้น x = -d/c กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้น-เศษส่วนไม่มีรูปแบบแตกต่างจากกราฟที่คุณทราบ y = 1/x เส้นโค้งที่เป็นกราฟของฟังก์ชัน y = 1/x เรียกว่า อติพจน์. ด้วยการเพิ่มขึ้นอย่างไม่จำกัดของ x ในค่าสัมบูรณ์ ฟังก์ชัน y = 1/x จะลดลงอย่างไม่มีกำหนดในค่าสัมบูรณ์ และกิ่งทั้งสองของกราฟเข้าใกล้แกน abscissa อันขวาเข้าใกล้จากด้านบน และอันซ้ายเข้าใกล้จากด้านล่าง เส้นที่เข้าใกล้โดยกิ่งก้านของไฮเปอร์โบลาเรียกว่า เส้นกำกับ.

ตัวอย่าง 1

y = (2x + 1) / (x - 3)

วิธีการแก้.

ลองเลือกส่วนจำนวนเต็ม: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3)

ตอนนี้เห็นได้ง่ายว่ากราฟของฟังก์ชันนี้ได้มาจากกราฟของฟังก์ชัน y = 1/x โดยการแปลงต่อไปนี้: เลื่อนไปทางขวา 3 หน่วย ยืดตามแกน Oy 7 ครั้ง และเลื่อนทีละ แบ่งเป็น 2 หน่วยขึ้นไป

เศษส่วนใดๆ y = (ax + b) / (cx + d) สามารถเขียนในลักษณะเดียวกันโดยเน้นที่ "ส่วนทั้งหมด" ดังนั้น กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นและเศษส่วนเชิงเส้นทั้งหมดจึงเป็นไฮเปอร์โบลา ซึ่งเลื่อนไปตามแกนพิกัดในรูปแบบต่างๆ และยืดตามแกน Oy

ในการพล็อตกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้น-เศษส่วนตามอำเภอใจ ไม่จำเป็นต้องแปลงเศษส่วนที่กำหนดฟังก์ชันนี้เลย เนื่องจากเรารู้ว่ากราฟเป็นไฮเปอร์โบลา มันจะเพียงพอที่จะค้นหาเส้นที่กิ่งก้านเข้าใกล้ - เส้นกำกับไฮเปอร์โบลา x = -d/c และ y = a/c

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาเส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน y = (3x + 5)/(2x + 2)

วิธีการแก้.

ฟังก์ชันนี้ไม่ได้กำหนดไว้ เมื่อ x = -1 ดังนั้น เส้น x = -1 จึงทำหน้าที่เป็นเส้นกำกับแนวตั้ง ในการหาเส้นกำกับแนวนอน ให้ค้นหาว่าค่าของฟังก์ชัน y(x) เข้าใกล้อย่างไรเมื่ออาร์กิวเมนต์ x เพิ่มขึ้นในค่าสัมบูรณ์

ในการทำเช่นนี้ เราแบ่งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนด้วย x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x)

เมื่อ x → ∞ เศษส่วนมีแนวโน้มเป็น 3/2 ดังนั้น เส้นกำกับแนวนอนจึงเป็นเส้นตรง y = 3/2

ตัวอย่างที่ 3

พล็อตฟังก์ชัน y = (2x + 1)/(x + 1)

วิธีการแก้.

เราเลือก "ส่วนทั้งหมด" ของเศษส่วน:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

ตอนนี้เห็นได้ง่ายว่ากราฟของฟังก์ชันนี้ได้มาจากกราฟของฟังก์ชัน y = 1/x โดยการแปลงต่อไปนี้: การเลื่อนไปทางซ้าย 1 หน่วย การแสดงผลแบบสมมาตรเทียบกับ Ox และกะ ของช่วง 2 หน่วยขึ้นไปตามแกน Oy

โดเมนของคำจำกัดความ D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞)

ช่วงของค่า E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

จุดตัดที่มีแกน: c Oy: (0; 1); ค วัว: (-1/2; 0). ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นในแต่ละช่วงของโดเมนของคำจำกัดความ

คำตอบ: รูปที่ 1

2. ฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะ

พิจารณาฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วนของรูปแบบ y = P(x) / Q(x) โดยที่ P(x) และ Q(x) เป็นพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าค่าแรก

ตัวอย่างของฟังก์ชันตรรกยะดังกล่าว:

y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) หรือ y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3)

หากฟังก์ชัน y = P(x) / Q(x) เป็นผลหารของพหุนามสองพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าตัวแรก ตามกฎแล้ว กราฟของมันจะซับซ้อนกว่า และบางครั้งก็สร้างได้ยาก พร้อมรายละเอียดทั้งหมด อย่างไรก็ตามการใช้เทคนิคที่คล้ายกับที่เราได้พบข้างต้นก็เพียงพอแล้ว

ให้เศษส่วนถูกต้อง (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + . .. +

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t)

เห็นได้ชัดว่ากราฟของฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วนสามารถหาได้จากผลรวมของกราฟของเศษส่วนพื้นฐาน

พล็อตฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วน

พิจารณาหลายวิธีในการพลอตฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะ

ตัวอย่างที่ 4

พล็อตฟังก์ชัน y = 1/x 2

วิธีการแก้.

เราใช้กราฟของฟังก์ชัน y \u003d x 2 เพื่อพล็อตกราฟ y \u003d 1 / x 2 และใช้วิธี "แบ่ง" กราฟ

โดเมน D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞)

ช่วงของค่า E(y) = (0; +∞)

ไม่มีจุดตัดกับแกน ฟังก์ชันจะเท่ากัน เพิ่มขึ้นสำหรับ x ทั้งหมดจากช่วงเวลา (-∞; 0) ลดลงสำหรับ x จาก 0 ถึง +∞

คำตอบ: รูปที่ 2

ตัวอย่างที่ 5

พล็อตฟังก์ชัน y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x)

วิธีการแก้.

โดเมน D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞)

y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3

ที่นี่เราใช้เทคนิคแฟคตอริ่ง การรีดักชัน และการรีดิวซ์เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น

คำตอบ: รูปที่ 3

ตัวอย่างที่ 6

พล็อตฟังก์ชัน y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1)

วิธีการแก้.

โดเมนของคำจำกัดความคือ D(y) = R เนื่องจากฟังก์ชันเป็นเลขคู่ กราฟจึงสมมาตรเกี่ยวกับแกน y ก่อนการพล็อต เราจะแปลงนิพจน์อีกครั้งโดยเน้นส่วนจำนวนเต็ม:

y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1)

โปรดทราบว่าการเลือกส่วนจำนวนเต็มในสูตรของฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะเป็นหนึ่งในส่วนหลักในการพล็อตกราฟ

ถ้า x → ±∞ แล้ว y → 1 เช่น เส้น y = 1 เป็นเส้นกำกับแนวนอน

คำตอบ: รูปที่ 4

ตัวอย่าง 7

พิจารณาฟังก์ชัน y = x/(x 2 + 1) แล้วพยายามหาค่าที่มากที่สุด นั่นคือ จุดสูงสุดบนครึ่งขวาของกราฟ การสร้างกราฟนี้ให้ถูกต้องแม่นยำ ความรู้ในปัจจุบันยังไม่เพียงพอ เห็นได้ชัดว่าเส้นโค้งของเราไม่สามารถ "ปีน" ได้สูงมากเนื่องจาก ตัวส่วนเริ่ม "แซง" ตัวเศษอย่างรวดเร็ว ลองดูว่าค่าของฟังก์ชันจะเท่ากับ 1 ได้หรือไม่ ในการทำเช่นนี้ คุณต้องแก้สมการ x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0 สมการนี้ไม่มีรากที่แท้จริง ดังนั้นสมมติฐานของเราจึงผิด ในการหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน คุณต้องหาว่าสมการ A ที่ใหญ่ที่สุดตัวใดจะมีคำตอบคือ A \u003d x / (x 2 + 1) แทนที่สมการเดิมด้วยสมการกำลังสอง: Ax 2 - x + A \u003d 0 สมการนี้มีคำตอบเมื่อ 1 - 4A 2 ≥ 0 จากที่นี่ เราจะพบค่าที่ใหญ่ที่สุด A \u003d 1/2

คำตอบ: รูปที่ 5 สูงสุด y(x) = ½

คุณมีคำถามใด ๆ หรือไม่? ไม่ทราบวิธีการสร้างกราฟฟังก์ชัน?
เพื่อรับความช่วยเหลือจากติวเตอร์ -.
บทเรียนแรก ฟรี!

blog.site ที่คัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

การสร้างกราฟของฟังก์ชันที่มีโมดูลมักจะทำให้เกิดปัญหาอย่างมากสำหรับเด็กนักเรียน อย่างไรก็ตามทุกอย่างไม่เลวร้ายนัก เพียงพอที่จะจำอัลกอริธึมหลาย ๆ ตัวสำหรับการแก้ปัญหาดังกล่าวและคุณสามารถพล็อตแม้แต่ฟังก์ชันที่ซับซ้อนที่สุดได้อย่างง่ายดาย เรามาดูกันว่าอัลกอริธึมเหล่านี้คืออะไร

1. พลอตฟังก์ชัน y = |f(x)|

โปรดทราบว่าชุดของค่าฟังก์ชัน ​​y = |f(x)| : y ≥ 0 ดังนั้น กราฟของฟังก์ชันดังกล่าวจึงอยู่ในระนาบครึ่งบนเสมอ

พล็อตฟังก์ชัน y = |f(x)| ประกอบด้วย 4 ขั้นตอนง่ายๆ ดังต่อไปนี้

1) สร้างกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) อย่างระมัดระวังและรอบคอบ

2) ปล่อยทุกจุดของกราฟที่อยู่ด้านบนหรือบนแกน 0x ให้คงเดิม

3) ส่วนของกราฟที่อยู่ด้านล่างแกน 0x แสดงแบบสมมาตรเกี่ยวกับแกน 0x

ตัวอย่างที่ 1 วาดกราฟของฟังก์ชัน y = |x 2 - 4x + 3|

1) เราสร้างกราฟของฟังก์ชัน y \u003d x 2 - 4x + 3 เห็นได้ชัดว่ากราฟของฟังก์ชันนี้เป็นพาราโบลา หาพิกัดของจุดตัดของพาราโบลาทุกจุดด้วยแกนพิกัดและพิกัดของจุดยอดของพาราโบลา

x 2 - 4x + 3 = 0

x 1 = 3, x 2 = 1

ดังนั้น พาราโบลาตัดกับแกน 0x ที่จุด (3, 0) และ (1, 0)

y \u003d 0 2 - 4 0 + 3 \u003d 3

ดังนั้นพาราโบลาตัดกับแกน 0y ที่จุด (0, 3)

พิกัดจุดยอดพาราโบลา:

x ใน \u003d - (-4/2) \u003d 2, y ใน \u003d 2 2 - 4 2 + 3 \u003d -1

ดังนั้นจุด (2, -1) คือจุดยอดของพาราโบลานี้

วาดพาราโบลาโดยใช้ข้อมูลที่ได้รับ (รูปที่ 1)

2) ส่วนของกราฟที่อยู่ด้านล่างแกน 0x จะแสดงแบบสมมาตรเทียบกับแกน 0x

3) เราได้กราฟของฟังก์ชันดั้งเดิม ( ข้าว. 2จะแสดงด้วยเส้นประ)

2. พล็อตฟังก์ชัน y = f(|x|)

โปรดทราบว่าฟังก์ชันของรูปแบบ y = f(|x|) จะเท่ากัน:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). ซึ่งหมายความว่ากราฟของฟังก์ชันดังกล่าวมีความสมมาตรเกี่ยวกับแกน 0y

การพล็อตฟังก์ชัน y = f(|x|) ประกอบด้วยห่วงโซ่ของการกระทำอย่างง่ายต่อไปนี้

1) พล็อตฟังก์ชัน y = f(x)

2) ปล่อยให้ส่วนนั้นของกราฟซึ่ง x ≥ 0 นั่นคือส่วนของกราฟที่อยู่ในระนาบครึ่งทางขวา

3) แสดงส่วนของกราฟที่ระบุในย่อหน้า (2) แบบสมมาตรกับแกน 0y

4) เป็นกราฟสุดท้าย เลือกยูเนียนของเส้นโค้งที่ได้รับในย่อหน้า (2) และ (3)

ตัวอย่างที่ 2 วาดกราฟของฟังก์ชัน y = x 2 – 4 · |x| + 3

เนื่องจาก x 2 = |x| 2 จากนั้นฟังก์ชันดั้งเดิมสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3 และตอนนี้เราสามารถใช้อัลกอริทึมที่เสนอข้างต้นได้

1) เราสร้างกราฟของฟังก์ชันอย่างระมัดระวังและรอบคอบ y \u003d x 2 - 4 x + 3 (ดูเพิ่มเติม ข้าว. หนึ่ง).

2) เราปล่อยให้ส่วนนั้นของกราฟซึ่ง x ≥ 0 นั่นคือส่วนของกราฟที่อยู่ในระนาบครึ่งทางขวา

3) แสดงด้านขวาของกราฟแบบสมมาตรกับแกน 0y

(รูปที่ 3).

ตัวอย่างที่ 3 วาดกราฟของฟังก์ชัน y = log 2 |x|

เราใช้รูปแบบที่ให้ไว้ข้างต้น

1) เราพล็อตฟังก์ชัน y = บันทึก 2 x (รูปที่ 4).

3. พลอตฟังก์ชัน y = |f(|x|)|

โปรดทราบว่าฟังก์ชันของรูปแบบ y = |f(|x|)| ก็ยังได้ อันที่จริง y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x) ดังนั้น กราฟของกราฟจึงสมมาตรเกี่ยวกับแกน 0y ชุดค่าของฟังก์ชันดังกล่าว: y ≥ 0 ดังนั้น กราฟของฟังก์ชันดังกล่าวจึงอยู่ในระนาบครึ่งบนอย่างสมบูรณ์

ในการพล็อตฟังก์ชัน y = |f(|x|)| คุณต้อง:

1) สร้างกราฟที่ละเอียดของฟังก์ชัน y = f(|x|)

2) ปล่อยให้ส่วนของกราฟที่อยู่ด้านบนหรือบนแกน 0x ไม่เปลี่ยนแปลง

3) ส่วนของกราฟที่อยู่ด้านล่างแกน 0x ควรแสดงแบบสมมาตรเทียบกับแกน 0x

4) เป็นกราฟสุดท้าย เลือกยูเนียนของเส้นโค้งที่ได้รับในย่อหน้า (2) และ (3)

ตัวอย่างที่ 4 วาดกราฟของฟังก์ชัน y = |-x 2 + 2|x| – 1|.

1) โปรดทราบว่า x 2 = |x| 2. ดังนั้น แทนที่จะเป็นฟังก์ชันดั้งเดิม y = -x 2 + 2|x| - หนึ่ง

คุณสามารถใช้ฟังก์ชัน y = -|x| 2+2|x| – 1 เนื่องจากกราฟของพวกเขาเหมือนกัน

เราสร้างกราฟ y = -|x| 2+2|x| – 1. สำหรับสิ่งนี้ เราใช้อัลกอริทึม 2

a) เราพล็อตฟังก์ชัน y \u003d -x 2 + 2x - 1 (รูปที่ 6).

ข) เราปล่อยให้ส่วนนั้นของกราฟซึ่งอยู่ในระนาบด้านขวา

c) แสดงส่วนที่เป็นผลลัพธ์ของกราฟแบบสมมาตรกับแกน 0y

d) กราฟผลลัพธ์จะแสดงในรูปที่มีเส้นประ (รูปที่ 7).

2) ไม่มีจุดใดอยู่เหนือแกน 0x เราปล่อยให้จุดบนแกน 0x ไม่เปลี่ยนแปลง

3) ส่วนของกราฟที่อยู่ด้านล่างแกน 0x จะแสดงแบบสมมาตรเทียบกับ 0x

4) กราฟผลลัพธ์จะแสดงในรูปโดยเส้นประ (รูปที่ 8).

ตัวอย่างที่ 5. พลอตฟังก์ชัน y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) ก่อนอื่นคุณต้องพล็อตฟังก์ชัน y = (2|x| – 4) / (|x| + 3) ในการทำเช่นนี้ เรากลับไปที่อัลกอริทึม 2

a) พล็อตฟังก์ชันอย่างระมัดระวัง y = (2x – 4) / (x + 3) (รูปที่ 9).

โปรดทราบว่าฟังก์ชันนี้เป็นเศษส่วนเชิงเส้นและกราฟของฟังก์ชันนี้เป็นไฮเปอร์โบลา ในการสร้างเส้นโค้ง คุณต้องหาเส้นกำกับของกราฟก่อน แนวนอน - y \u003d 2/1 (อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์ที่ x ในตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน), แนวตั้ง - x \u003d -3

2) ส่วนของแผนภูมิที่อยู่ด้านบนหรือบนแกน 0x จะไม่เปลี่ยนแปลง

3) ส่วนของแผนภูมิที่อยู่ด้านล่างแกน 0x จะแสดงแบบสมมาตรเทียบกับ 0x

4) กราฟสุดท้ายแสดงในรูป (รูปที่ 11).

เว็บไซต์ที่มีการคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

"ลอการิทึมธรรมชาติ" - 0.1 ลอการิทึมธรรมชาติ 4. "ลูกดอกลอการิทึม" 0.04. 7.121.

"ฟังก์ชันพาวเวอร์เกรด 9" - ยูคิวบิกพาราโบลา Y = x3. ครูชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 Ladoshkina I.A. Y = x2. ไฮเปอร์โบลา 0. Y \u003d xn, y \u003d x-n โดยที่ n คือจำนวนธรรมชาติที่กำหนด X. เลขชี้กำลังเป็นจำนวนคู่ (2n)

"ฟังก์ชันกำลังสอง" - 1 นิยามฟังก์ชันกำลังสอง 2 คุณสมบัติของฟังก์ชัน 3 กราฟฟังก์ชัน 4 อสมการกำลังสอง 5 บทสรุป คุณสมบัติ: ความไม่เท่าเทียมกัน: จัดทำโดย Andrey Gerlitz นักเรียนเกรด 8A แผน: กราฟ: -ช่วงเวลาของความซ้ำซากจำเจที่ a > 0 ที่ a< 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.

"ฟังก์ชันกำลังสองและกราฟ" - การตัดสินใจ y \u003d 4x A (0.5: 1) 1 \u003d 1 A-เป็นของ เมื่อ a=1 สูตร y=ax จะอยู่ในรูป

"ฟังก์ชันกำลังสองคลาส 8" - 1) สร้างส่วนบนของพาราโบลา การพลอตฟังก์ชันกำลังสอง x -7. พล็อตฟังก์ชัน พีชคณิต ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ครู 496 โรงเรียน Bovina TV -1. แผนการก่อสร้าง 2) สร้างแกนสมมาตร x=-1 ย.

1. ฟังก์ชันเศษส่วนเชิงเส้นและกราฟ

ฟังก์ชันของรูปแบบ y = P(x) / Q(x) โดยที่ P(x) และ Q(x) เป็นพหุนามเรียกว่า ฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วน

คุณคงคุ้นเคยกับแนวคิดเรื่องจำนวนตรรกยะแล้ว ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชันตรรกยะเป็นฟังก์ชันที่สามารถแสดงเป็นผลหารของพหุนามสองพหุนามได้

หากฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วนเป็นผลหารของฟังก์ชันเชิงเส้นสองฟังก์ชัน - พหุนามของดีกรีแรก นั่นคือ ฟังก์ชั่นดู

y = (ax + b) / (cx + d) จากนั้นเรียกว่าเศษส่วนเชิงเส้น

โปรดทราบว่าในฟังก์ชัน y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (มิฉะนั้นฟังก์ชันจะกลายเป็นเส้นตรง y = ax/d + b/d) และ a/c ≠ b/d (มิฉะนั้น ฟังก์ชันเป็นค่าคงที่ ) ฟังก์ชันเชิงเส้น-เศษส่วนถูกกำหนดสำหรับจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้น x = -d/c กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้น-เศษส่วนไม่มีรูปแบบแตกต่างจากกราฟที่คุณทราบ y = 1/x เส้นโค้งที่เป็นกราฟของฟังก์ชัน y = 1/x เรียกว่า อติพจน์. ด้วยการเพิ่มขึ้นอย่างไม่จำกัดของ x ในค่าสัมบูรณ์ ฟังก์ชัน y = 1/x จะลดลงอย่างไม่มีกำหนดในค่าสัมบูรณ์ และกิ่งทั้งสองของกราฟเข้าใกล้แกน abscissa อันขวาเข้าใกล้จากด้านบน และอันซ้ายเข้าใกล้จากด้านล่าง เส้นที่เข้าใกล้โดยกิ่งก้านของไฮเปอร์โบลาเรียกว่า เส้นกำกับ.

ตัวอย่าง 1

y = (2x + 1) / (x - 3)

วิธีการแก้.

ลองเลือกส่วนจำนวนเต็ม: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3)

ตอนนี้เห็นได้ง่ายว่ากราฟของฟังก์ชันนี้ได้มาจากกราฟของฟังก์ชัน y = 1/x โดยการแปลงต่อไปนี้: เลื่อนไปทางขวา 3 หน่วย ยืดตามแกน Oy 7 ครั้ง และเลื่อนทีละ แบ่งเป็น 2 หน่วยขึ้นไป

เศษส่วนใดๆ y = (ax + b) / (cx + d) สามารถเขียนในลักษณะเดียวกันโดยเน้นที่ "ส่วนทั้งหมด" ดังนั้น กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นและเศษส่วนเชิงเส้นทั้งหมดจึงเป็นไฮเปอร์โบลา ซึ่งเลื่อนไปตามแกนพิกัดในรูปแบบต่างๆ และยืดตามแกน Oy

ในการพล็อตกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้น-เศษส่วนตามอำเภอใจ ไม่จำเป็นต้องแปลงเศษส่วนที่กำหนดฟังก์ชันนี้เลย เนื่องจากเรารู้ว่ากราฟเป็นไฮเปอร์โบลา มันจะเพียงพอที่จะค้นหาเส้นที่กิ่งก้านเข้าใกล้ - เส้นกำกับไฮเปอร์โบลา x = -d/c และ y = a/c

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาเส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน y = (3x + 5)/(2x + 2)

วิธีการแก้.

ฟังก์ชันนี้ไม่ได้กำหนดไว้ เมื่อ x = -1 ดังนั้น เส้น x = -1 จึงทำหน้าที่เป็นเส้นกำกับแนวตั้ง ในการหาเส้นกำกับแนวนอน ให้ค้นหาว่าค่าของฟังก์ชัน y(x) เข้าใกล้อย่างไรเมื่ออาร์กิวเมนต์ x เพิ่มขึ้นในค่าสัมบูรณ์

ในการทำเช่นนี้ เราแบ่งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนด้วย x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x)

เมื่อ x → ∞ เศษส่วนมีแนวโน้มเป็น 3/2 ดังนั้น เส้นกำกับแนวนอนจึงเป็นเส้นตรง y = 3/2

ตัวอย่างที่ 3

พล็อตฟังก์ชัน y = (2x + 1)/(x + 1)

วิธีการแก้.

เราเลือก "ส่วนทั้งหมด" ของเศษส่วน:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

ตอนนี้เห็นได้ง่ายว่ากราฟของฟังก์ชันนี้ได้มาจากกราฟของฟังก์ชัน y = 1/x โดยการแปลงต่อไปนี้: การเลื่อนไปทางซ้าย 1 หน่วย การแสดงผลแบบสมมาตรเทียบกับ Ox และกะ ของช่วง 2 หน่วยขึ้นไปตามแกน Oy

โดเมนของคำจำกัดความ D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞)

ช่วงของค่า E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

จุดตัดที่มีแกน: c Oy: (0; 1); ค วัว: (-1/2; 0). ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นในแต่ละช่วงของโดเมนของคำจำกัดความ

คำตอบ: รูปที่ 1

2. ฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะ

พิจารณาฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วนของรูปแบบ y = P(x) / Q(x) โดยที่ P(x) และ Q(x) เป็นพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าค่าแรก

ตัวอย่างของฟังก์ชันตรรกยะดังกล่าว:

y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) หรือ y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3)

หากฟังก์ชัน y = P(x) / Q(x) เป็นผลหารของพหุนามสองพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าตัวแรก ตามกฎแล้ว กราฟของมันจะซับซ้อนกว่า และบางครั้งก็สร้างได้ยาก พร้อมรายละเอียดทั้งหมด อย่างไรก็ตามการใช้เทคนิคที่คล้ายกับที่เราได้พบข้างต้นก็เพียงพอแล้ว

ให้เศษส่วนถูกต้อง (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + . .. +

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t)

เห็นได้ชัดว่ากราฟของฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วนสามารถหาได้จากผลรวมของกราฟของเศษส่วนพื้นฐาน

พล็อตฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วน

พิจารณาหลายวิธีในการพลอตฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะ

ตัวอย่างที่ 4

พล็อตฟังก์ชัน y = 1/x 2

วิธีการแก้.

เราใช้กราฟของฟังก์ชัน y \u003d x 2 เพื่อพล็อตกราฟ y \u003d 1 / x 2 และใช้วิธี "แบ่ง" กราฟ

โดเมน D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞)

ช่วงของค่า E(y) = (0; +∞)

ไม่มีจุดตัดกับแกน ฟังก์ชันจะเท่ากัน เพิ่มขึ้นสำหรับ x ทั้งหมดจากช่วงเวลา (-∞; 0) ลดลงสำหรับ x จาก 0 ถึง +∞

คำตอบ: รูปที่ 2

ตัวอย่างที่ 5

พล็อตฟังก์ชัน y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x)

วิธีการแก้.

โดเมน D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞)

y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3

ที่นี่เราใช้เทคนิคแฟคตอริ่ง การรีดักชัน และการรีดิวซ์เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น

คำตอบ: รูปที่ 3

ตัวอย่างที่ 6

พล็อตฟังก์ชัน y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1)

วิธีการแก้.

โดเมนของคำจำกัดความคือ D(y) = R เนื่องจากฟังก์ชันเป็นเลขคู่ กราฟจึงสมมาตรเกี่ยวกับแกน y ก่อนการพล็อต เราจะแปลงนิพจน์อีกครั้งโดยเน้นส่วนจำนวนเต็ม:

y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1)

โปรดทราบว่าการเลือกส่วนจำนวนเต็มในสูตรของฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะเป็นหนึ่งในส่วนหลักในการพล็อตกราฟ

ถ้า x → ±∞ แล้ว y → 1 เช่น เส้น y = 1 เป็นเส้นกำกับแนวนอน

คำตอบ: รูปที่ 4

ตัวอย่าง 7

พิจารณาฟังก์ชัน y = x/(x 2 + 1) แล้วพยายามหาค่าที่มากที่สุด นั่นคือ จุดสูงสุดบนครึ่งขวาของกราฟ การสร้างกราฟนี้ให้ถูกต้องแม่นยำ ความรู้ในปัจจุบันยังไม่เพียงพอ เห็นได้ชัดว่าเส้นโค้งของเราไม่สามารถ "ปีน" ได้สูงมากเนื่องจาก ตัวส่วนเริ่ม "แซง" ตัวเศษอย่างรวดเร็ว ลองดูว่าค่าของฟังก์ชันจะเท่ากับ 1 ได้หรือไม่ ในการทำเช่นนี้ คุณต้องแก้สมการ x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0 สมการนี้ไม่มีรากที่แท้จริง ดังนั้นสมมติฐานของเราจึงผิด ในการหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน คุณต้องหาว่าสมการ A ที่ใหญ่ที่สุดตัวใดจะมีคำตอบคือ A \u003d x / (x 2 + 1) แทนที่สมการเดิมด้วยสมการกำลังสอง: Ax 2 - x + A \u003d 0 สมการนี้มีคำตอบเมื่อ 1 - 4A 2 ≥ 0 จากที่นี่ เราจะพบค่าที่ใหญ่ที่สุด A \u003d 1/2

คำตอบ: รูปที่ 5 สูงสุด y(x) = ½

คุณมีคำถามใด ๆ หรือไม่? ไม่ทราบวิธีการสร้างกราฟฟังก์ชัน?
เพื่อรับความช่วยเหลือจากติวเตอร์ - ลงทะเบียน
บทเรียนแรก ฟรี!

เว็บไซต์ที่มีการคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา