วิธีแก้อสมการตรีโกณมิติอย่างง่าย การแก้อสมการตรีโกณมิติ

1.5 อสมการตรีโกณมิติและวิธีการแก้ปัญหา

1.5.1 การแก้อสมการตรีโกณมิติอย่างง่าย

ผู้เขียนตำราคณิตศาสตร์สมัยใหม่ส่วนใหญ่แนะนำว่าเราเริ่มต้นการพิจารณาหัวข้อนี้โดยการแก้อสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด หลักการของการแก้อสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดนั้นขึ้นอยู่กับความรู้และความสามารถในการกำหนดค่าของวงกลมตรีโกณมิติไม่เพียง แต่มุมตรีโกณมิติหลักเท่านั้น แต่ยังรวมถึงค่าอื่น ๆ ด้วย

ในขณะเดียวกัน การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม , , , สามารถทำได้ดังนี้: ขั้นแรกเราจะหาช่วง () ซึ่งความไม่เท่าเทียมกันนี้เป็นจริงแล้วเราจะเขียนคำตอบสุดท้ายโดยการเพิ่มส่วนท้ายของช่วงเวลาที่พบ คูณของคาบไซน์หรือโคไซน์: ( ). ในกรณีนี้หาค่าได้ง่ายเพราะ หรือ . การค้นหาค่าขึ้นอยู่กับสัญชาตญาณของนักเรียน ความสามารถในการสังเกตความเท่าเทียมกันของส่วนโค้งหรือส่วน โดยใช้ความสมมาตรของแต่ละส่วนของกราฟไซน์หรือโคไซน์ และบางครั้งก็เกินกำลังของนักเรียนจำนวนมากพอสมควร เพื่อที่จะเอาชนะปัญหาที่ระบุไว้ในตำราเรียนในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมา มีการใช้วิธีการที่แตกต่างกันเพื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด แต่ไม่ได้ปรับปรุงผลการเรียนรู้

เป็นเวลาหลายปีแล้วที่เราใช้สูตรรากของสมการที่สอดคล้องกันเพื่อหาคำตอบของอสมการตรีโกณมิติได้ค่อนข้างประสบความสำเร็จ

เราศึกษาหัวข้อนี้ด้วยวิธีต่อไปนี้:

1. เราสร้างกราฟและ y \u003d a สมมติว่า .

จากนั้นเราก็เขียนสมการและคำตอบของมันลงไป ให้ n 0; หนึ่ง; 2 เราพบรากของสมการที่ประกอบด้วยสามราก: . ค่าคือ abscissas ของจุดตัดกันสามจุดต่อเนื่องกันของกราฟและ y = a เห็นได้ชัดว่าความไม่เท่าเทียมกันเกิดขึ้นในช่วงเวลา () และในช่วงเวลา () - ความไม่เท่าเทียมกันเสมอ

บวกกับจุดสิ้นสุดของช่วงเวลาเหล่านี้ด้วยจำนวนที่เป็นทวีคูณของคาบไซน์ ในกรณีแรก เราได้คำตอบของอสมการในรูปแบบ: ; และในกรณีที่สอง การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันในรูปแบบ:

ตรงกันข้ามกับไซน์จากสูตรซึ่งเป็นคำตอบของสมการเท่านั้น สำหรับ n = 0 เราได้รากที่สอง และรากที่สามสำหรับ n = 1 ในรูปแบบ . และอีกครั้งคือ abscissas สามจุดต่อเนื่องกันของจุดตัดของกราฟ และ . ในช่วงเวลา () ความไม่เท่าเทียมกันเกิดขึ้นในช่วงเวลา () ความไม่เท่าเทียมกัน

ตอนนี้มันง่ายที่จะเขียนคำตอบของอสมการและ ในกรณีแรกเราได้รับ: ;

และในวินาที: .

สรุป. ในการแก้อสมการ หรือ จำเป็นต้องเขียนสมการที่สอดคล้องกันและแก้สมการนั้น จากสูตรผลลัพธ์ ให้หาราก และ และเขียนคำตอบของอสมการในรูปแบบ: .

เมื่อแก้ความไม่เท่าเทียมกัน จากสูตรของรากของสมการที่สอดคล้องกัน เราจะพบราก และ และเขียนคำตอบของความไม่เท่าเทียมกันในรูปแบบ:

เทคนิคนี้ช่วยให้คุณสอนนักเรียนทุกคนถึงวิธีแก้อสมการตรีโกณมิติ เทคนิคนี้อาศัยทักษะที่นักเรียนเชี่ยวชาญอย่างเต็มที่ นี่คือความสามารถในการแก้ปัญหาที่ง่ายที่สุดและค้นหาค่าของตัวแปรโดยใช้สูตร นอกจากนี้ยังเป็นทางเลือกอย่างสมบูรณ์ในการแก้ปัญหาแบบฝึกหัดจำนวนมากอย่างระมัดระวังภายใต้การแนะนำของครู เพื่อแสดงเทคนิคการให้เหตุผลทุกประเภทขึ้นอยู่กับสัญญาณของความไม่เท่าเทียมกัน ค่าโมดูลัสของตัวเลข a และเครื่องหมาย และกระบวนการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันนั้นสั้นและสม่ำเสมอซึ่งสำคัญมาก

ข้อดีอีกประการของวิธีนี้คือช่วยให้แก้ความไม่เท่าเทียมกันได้ง่าย แม้ว่าด้านขวาจะไม่ใช่ค่าตารางของไซน์หรือโคไซน์ก็ตาม

มาสาธิตสิ่งนี้ด้วยตัวอย่างเฉพาะ ปล่อยให้มันจะต้องแก้ความไม่เท่าเทียมกัน ลองเขียนสมการที่สอดคล้องกันแล้วแก้มัน:

มาหาค่าของ และ .

สำหรับ n = 1

สำหรับ n = 2

เราเขียนคำตอบสุดท้ายสำหรับความไม่เท่าเทียมกันนี้:

ในตัวอย่างที่พิจารณาแล้วของการแก้อสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด อาจมีข้อเสียเพียงข้อเดียว - การปรากฏตัวของพิธีการจำนวนหนึ่ง แต่ถ้าทุกอย่างประเมินจากตำแหน่งเหล่านี้เท่านั้น ก็เป็นไปได้ที่จะกล่าวโทษรูปแบบนิยมทั้งสูตรของรากของสมการกำลังสองและสูตรทั้งหมดสำหรับการแก้สมการตรีโกณมิติและอีกมากมาย

วิธีการที่เสนอแม้ว่าจะอยู่ในตำแหน่งที่เหมาะสมในการสร้างทักษะและความสามารถในการแก้อสมการตรีโกณมิติ แต่ก็ไม่สามารถดูถูกดูแคลนความสำคัญและคุณสมบัติของวิธีการอื่นในการแก้อสมการตรีโกณมิติ ซึ่งรวมถึงวิธีช่วงเวลา

ลองพิจารณาสาระสำคัญของมัน

ชุดแก้ไขโดย A.G. Mordkovich แม้ว่าหนังสือเรียนเล่มอื่นๆ ก็ไม่ควรละเลยเช่นกัน § 3 วิธีการสอนหัวข้อ "ฟังก์ชันตรีโกณมิติ" ในวิชาพีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ ในการศึกษาฟังก์ชันตรีโกณมิติที่โรงเรียนสามารถแยกแยะได้สองขั้นตอนหลัก: ü ความคุ้นเคยเบื้องต้นกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ ...

งานต่อไปนี้ได้รับการแก้ไขในระหว่างการวิจัย: 1) วิเคราะห์ตำราพีชคณิตปัจจุบันและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์เพื่อระบุวิธีการแก้สมการอตรรกยะและอสมการที่นำเสนอในนั้น การวิเคราะห์ที่ดำเนินการทำให้เราสามารถสรุปผลได้ดังต่อไปนี้: ในโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลาย มีการให้ความสนใจไม่เพียงพอกับวิธีการแก้สมการอตรรกยะต่างๆ ส่วนใหญ่ ...

โครงการพีชคณิต“ การแก้สมการตรีโกณมิติ” เสร็จสิ้นโดยนักเรียนชั้น 10“ B” Julia Kazachkova หัวหน้า: ครูคณิตศาสตร์ Kochakova N.N.

วัตถุประสงค์ เพื่อรวบรวมเนื้อหาในหัวข้อ "การแก้สมการตรีโกณมิติ" และสร้างบันทึกสำหรับนักเรียนเพื่อเตรียมพร้อมสำหรับการสอบที่จะเกิดขึ้น

วัตถุประสงค์ สรุปเนื้อหาในหัวข้อ จัดระเบียบข้อมูลที่ได้รับ พิจารณาหัวข้อนี้ในการสอบ

ความเกี่ยวข้อง ความเกี่ยวข้องของหัวข้อที่ฉันเลือกอยู่ในความจริงที่ว่างานในหัวข้อ "การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันตรีโกณมิติ" รวมอยู่ในงานของการสอบ

ความไม่เท่าเทียมกันตรีโกณมิติ ความไม่เท่าเทียมกันคือความสัมพันธ์ที่เชื่อมโยงตัวเลขหรือนิพจน์สองตัวผ่านหนึ่งในสัญญาณ: (มากกว่า); ≥ (มากกว่าหรือเท่ากับ) อสมการตรีโกณมิติคืออสมการที่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติ

สมการตรีโกณมิติ คำตอบของอสมการที่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติจะลดลง ตามกฎแล้ว ในการแก้สมการอสมการที่ง่ายที่สุดของรูปแบบ: sin x>a, sin x ก cos x a,tgx a, ctg x

อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการตรีโกณมิติ บนแกนที่สอดคล้องกับฟังก์ชันตรีโกณมิติที่กำหนด ให้ทำเครื่องหมายค่าตัวเลขที่กำหนดของฟังก์ชันนี้ ลากเส้นผ่านจุดที่ทำเครื่องหมายซึ่งตัดกับวงกลมหน่วย เลือกจุดตัดของเส้นและวงกลม โดยคำนึงถึงเครื่องหมายอสมการที่เข้มงวดหรือไม่เข้มงวด เลือกส่วนโค้งของวงกลมที่มีคำตอบของอสมการ กำหนดค่าของมุมที่จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของส่วนโค้งวงกลม เขียนคำตอบของความไม่เท่าเทียมกันโดยคำนึงถึงระยะเวลาของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่กำหนด

สูตรสำหรับการแก้อสมการตรีโกณมิติ sinx >a; x (arcsin a + 2πn; π- arcsin a +2πn) sinx ก; x (- arccos a + 2πn; arccos a + 2πn) cosxก; x (arctg a + πn ; + πn) tgx ก; x (πn ; arctg + πn) ctgx

คำตอบแบบกราฟิกของอสมการตรีโกณมิติหลัก sinx >a

การแก้ปัญหาแบบกราฟิกของอสมการตรีโกณมิติหลัก sinx

คำตอบแบบกราฟิกของอสมการตรีโกณมิติหลัก cosx >a

การแก้ปัญหาแบบกราฟิกของอสมการตรีโกณมิติหลัก cosx

การแก้ปัญหาแบบกราฟิกของอสมการตรีโกณมิติหลัก tgx >a

โซลูชันแบบกราฟิกของอสมการตรีโกณมิติหลัก tgx

โซลูชันแบบกราฟิกของอสมการตรีโกณมิติหลัก ctgx >a

โซลูชันแบบกราฟิกของอสมการตรีโกณมิติหลัก ctgx

วิธีแก้อสมการตรีโกณมิติ การแก้อสมการตรีโกณมิติโดยใช้วงกลมจำนวน การแก้อสมการตรีโกณมิติโดยใช้กราฟของฟังก์ชัน :

การแก้สมการตรีโกณมิติโดยใช้วงกลมตัวเลข ตัวอย่างที่ 1: : คำตอบ:

การแก้อสมการตรีโกณมิติโดยใช้วงกลมตัวเลข ตัวอย่างที่ 1: คำตอบ:

การแก้สมการตรีโกณมิติโดยใช้กราฟฟังก์ชัน ตัวอย่าง: คำตอบ:

ผลงานที่ฉันรวบรวมความรู้ในหัวข้อ "การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันตรีโกณมิติ" จัดระบบข้อมูลที่ได้รับในหัวข้อนี้เพื่อความสะดวกในการรับรู้: ได้รับอัลกอริทึมสำหรับการแก้อสมการตรีโกณมิติ ร่างสองวิธีในการแก้ปัญหา; ได้แสดงตัวอย่างการแก้ปัญหา :

ผลงาน นอกจากนี้ในฐานะที่เป็นผลิตภัณฑ์สำเร็จรูป "คำเตือนสำหรับนักเรียนในการเตรียมตัวสำหรับการสอบพีชคณิต" ที่แนบมากับโครงการของฉัน เอกสาร Microsoft Office Word (2). docx:

วรรณกรรมใช้ตำราพีชคณิตสำหรับเกรด 10 "พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์" แก้ไขโดย A.N. Kolmogorov http://festival.1september.ru/articles/514580/ http://www.mathematics-repetition.com http:// www. calc.ru http://www.pomochnik-vsem.ru:

อัลกอริธึมสำหรับการแก้อสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดและการจำแนกวิธีแก้อสมการตรีโกณมิติ

อาจารย์ประเภทวุฒิการศึกษาสูงสุด:

เชอร์โกะ เอฟเอ็ม หมู่บ้านก้าวหน้า MOBU-SOSH №6

ซังกินา แอล.เอส. Armavir โรงเรียนมัธยม PEI "ทางใหม่"

ไม่มีวิธีการแบบสากลในการสอนสาขาวิชาคณิตศาสตร์ธรรมชาติ ครูแต่ละคนพบวิธีการสอนของตนเองที่ยอมรับได้เฉพาะตัวเขาเท่านั้น

ประสบการณ์การสอนหลายปีของเราแสดงให้เห็นว่านักเรียนเรียนรู้เนื้อหาได้ง่ายขึ้นซึ่งต้องใช้สมาธิจดจ่อและจัดเก็บข้อมูลจำนวนมากในหน่วยความจำหากพวกเขาได้รับการสอนให้ใช้อัลกอริทึมในกิจกรรมในช่วงเริ่มต้นของการเรียนรู้หัวข้อที่ซับซ้อน ในความเห็นของเรา หัวข้อดังกล่าวเป็นหัวข้อของการแก้อสมการตรีโกณมิติ

ดังนั้น ก่อนที่เราจะเริ่มต้นกับนักเรียนเพื่อระบุเทคนิคและวิธีการในการแก้อสมการตรีโกณมิติ เราทำงานและแก้ไขอัลกอริทึมสำหรับการแก้อสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด

อัลกอริทึมสำหรับการแก้อสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด

เราทำเครื่องหมายจุดบนแกนที่สอดคล้องกัน ( สำหรับ บาป x- แกน y สำหรับcos x- แกน OX)

เราคืนค่าตั้งฉากกับแกนซึ่งจะตัดวงกลมเป็นสองจุด

อันดับแรกบนวงกลมเราเซ็นชื่อจุดที่เป็นของช่วงของค่าของฟังก์ชันส่วนโค้งตามคำจำกัดความ

เริ่มจากจุดที่ลงนาม เราแรเงาส่วนโค้งของวงกลมที่สอดคล้องกับส่วนที่แรเงาของแกน

เราใส่ใจเป็นพิเศษกับทิศทางของทางเลี่ยง หากการข้ามผ่านตามเข็มนาฬิกา (นั่นคือ มีการเปลี่ยนผ่านผ่าน 0) จุดที่สองบนวงกลมจะเป็นค่าลบ หากทวนเข็มนาฬิกา - บวก

เราเขียนคำตอบเป็นระยะโดยคำนึงถึงช่วงเวลาของฟังก์ชัน

ลองพิจารณาการทำงานของอัลกอริทึมพร้อมตัวอย่าง

1) บาป ≥ 1/2;

วิธีการแก้:

วาดวงกลมหน่วย.;

เราทำเครื่องหมายจุด ½ บนแกน y

คืนค่าตั้งฉากกับแกน

ซึ่งตัดกันเป็นวงกลมสองจุด

ตามนิยามของอาร์กไซน์ เราทำเครื่องหมายก่อน

จุด π/6

เราแรเงาส่วนของแกนที่สอดคล้องกับ

ให้ความไม่เท่าเทียมกัน อยู่เหนือจุด ½

เราแรเงาส่วนโค้งของวงกลมที่สอดคล้องกับส่วนที่แรเงาของแกน

บายพาสถูกทำทวนเข็มนาฬิกา เราได้จุด 5π/6

เราเขียนคำตอบเป็นระยะโดยคำนึงถึงช่วงเวลาของฟังก์ชัน

ตอบ:x;[พาย/6 + 2π น, 5π/6 + 2π น], นซี.

ความไม่เท่าเทียมกันที่ง่ายที่สุดได้รับการแก้ไขโดยใช้อัลกอริทึมเดียวกันหากไม่มีค่าแบบตารางในบันทึกคำตอบ

นักเรียนในบทเรียนแรก การแก้ความไม่เท่าเทียมกันที่กระดานดำ ให้ออกเสียงแต่ละขั้นตอนของอัลกอริทึมออกมาดังๆ

2) 5 cos x – 1 ≥ 0;

R วิธีการแก้:ที่

5 cos x – 1 ≥ 0;

cos x ≥ 1/5;

วาดวงกลมหนึ่งหน่วย.

เราทำเครื่องหมายบนแกน OX ด้วยพิกัด 1/5

เราคืนค่าตั้งฉากกับแกนซึ่ง

ตัดวงกลมสองจุด

อันดับแรกบนวงกลมเราเซ็นชื่อจุดที่เป็นของช่วงของค่าอาร์คโคไซน์ตามคำจำกัดความ (0; π)

เราแรเงาส่วนของแกนที่สอดคล้องกับความไม่เท่าเทียมกันนี้

เริ่มจากจุดที่ลงนาม arccos 1/5 แรเงาส่วนโค้งของวงกลมที่สอดคล้องกับส่วนที่แรเงาของแกน

บายพาสถูกสร้างตามเข็มนาฬิกา (นั่นคือ มีการเปลี่ยนผ่านเป็น 0) ซึ่งหมายความว่าจุดที่สองบนวงกลมจะเป็นลบ - arccos 1/5.

เราเขียนคำตอบเป็นช่วง โดยคำนึงถึงระยะเวลาของฟังก์ชัน จากค่าที่น้อยกว่าไปจนถึงค่าที่มากกว่า

ตอบ: x  [-arccos 1/5 + 2π น, arccos 1/5 + 2π น], นซี.

การปรับปรุงความสามารถในการแก้อสมการตรีโกณมิติได้รับการอำนวยความสะดวกโดยคำถาม: "เราจะแก้ปัญหากลุ่มความไม่เท่าเทียมกันได้อย่างไร"; “อสมการหนึ่งแตกต่างจากอีกอสมการอย่างไร”; “อสมการหนึ่งมีความคล้ายคลึงกันอย่างไร”; คำตอบจะเปลี่ยนไปอย่างไรหากได้รับความไม่เท่าเทียมกันอย่างเข้มงวด คำตอบจะเปลี่ยนไปอย่างไรถ้ามีเครื่องหมายแทนเครื่องหมาย ""

งานวิเคราะห์รายการความไม่เท่าเทียมกันจากมุมมองของวิธีการแก้ปัญหาเหล่านี้ช่วยให้คุณสามารถรับรู้ได้

นักเรียนจะได้รับความไม่เท่าเทียมกันในการแก้ปัญหาในชั้นเรียน

คำถาม:เน้นความไม่เท่าเทียมกันที่ต้องใช้การแปลงเทียบเท่าเมื่อลดความไม่เท่าเทียมกันตรีโกณมิติให้ง่ายที่สุด?

ตอบ 1, 3, 5.

คำถาม:อะไรคือความไม่เท่าเทียมกันที่จะต้องพิจารณาอาร์กิวเมนต์ที่ซับซ้อนว่าเป็นเรื่องง่าย?

ตอบ: 1, 2, 3, 5, 6.

คำถาม:อะไรคือความไม่เท่าเทียมกันที่สามารถใช้สูตรตรีโกณมิติได้?

ตอบ: 2, 3, 6.

คำถาม:ความไม่เท่าเทียมกันที่คุณสามารถใช้วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่คืออะไร?

ตอบ: 6.

งานวิเคราะห์รายการความไม่เท่าเทียมกันจากมุมมองของวิธีการแก้ปัญหาเหล่านี้ช่วยให้คุณสามารถรับรู้ได้ เมื่อพัฒนาทักษะ สิ่งสำคัญคือต้องแยกแยะขั้นตอนของการใช้งานและกำหนดในรูปแบบทั่วไป ซึ่งนำเสนอในอัลกอริทึมสำหรับการแก้อสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด

นักเรียนส่วนใหญ่ไม่ชอบอสมการตรีโกณมิติ แต่เปล่าประโยชน์ อย่างที่ตัวละครหนึ่งเคยพูดว่า

“คุณแค่ไม่รู้วิธีทำอาหาร”

ดังนั้นวิธีการ "ทำอาหาร" และสิ่งที่จะส่งความไม่เท่าเทียมกันกับไซน์เราจะคิดออกในบทความนี้ เราจะแก้ด้วยวิธีที่ง่ายที่สุด - โดยใช้หน่วยวงกลม

อย่างแรกเลย เราต้องการอัลกอริธึมต่อไปนี้

อัลกอริทึมสำหรับการแก้อสมการด้วยไซน์:

1. วางตัวเลข $a$ บนแกนไซน์แล้วลากเส้นตรงขนานกับแกนโคไซน์จนตัดกับวงกลม
2. จุดตัดของเส้นนี้กับวงกลมจะถูกเติมเข้าไปหากความไม่เท่าเทียมกันนั้นไม่เข้มงวด และไม่เติมเข้าไปหากความไม่เท่าเทียมกันนั้นเข้มงวด
3. พื้นที่แก้ปัญหาของอสมการจะอยู่เหนือเส้นและขึ้นไปถึงวงกลม ถ้าอสมการมีเครื่องหมาย “$>$” และอยู่ใต้เส้นและขึ้นไปถึงวงกลมถ้าอสมการมีเครื่องหมาย “$<$”;
4. ในการหาจุดตัด เราแก้สมการตรีโกณมิติ $\sin(x)=a$ เราจะได้ $x=(-1)^(n)\arcsin(a) + \pi n$;
5. การตั้งค่า $n=0$ เราพบจุดตัดแรก (ตั้งอยู่ในจตุภาคที่หนึ่งหรือในจตุภาคที่สี่);
6. เพื่อหาจุดที่สอง เราจะดูว่าเรากำลังข้ามพื้นที่ไปยังจุดตัดที่สองในทิศทางใด: หากไปในทิศทางบวก $n=1$ ควรถูกนำไป และหากไปในทิศทางลบ $n= -1$;
7. ในการตอบสนอง ช่วงเวลาจากจุดสี่แยกที่เล็กกว่า $+ 2\pi n$ ถึงอันที่ใหญ่กว่า $+ 2\pi n$ จะถูกเขียนออกมา

ข้อจำกัดอัลกอริทึม

สำคัญ: dอัลกอริทึมนี้ ไม่สำเร็จสำหรับความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ $\sin(x) > 1; \ \sin(x) \geq 1, \ \sin(x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.

กรณีพิเศษในการแก้อสมการด้วยไซน์

สิ่งสำคัญคือต้องสังเกตกรณีต่อไปนี้ ซึ่งสะดวกกว่ามากในการแก้ปัญหาเชิงตรรกะโดยไม่ต้องใช้อัลกอริธึมข้างต้น

กรณีพิเศษ 1แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

$\sin(x) \leq 1.$

เนื่องจากโดเมนของฟังก์ชันตรีโกณมิติ $y=\sin(x)$ อยู่ที่ $1$ มากสุด ด้านซ้ายของอสมการ สำหรับใดๆ$x$ จากโดเมน (และโดเมนของไซน์เป็นจำนวนจริงทั้งหมด) ไม่เกิน $1$ ดังนั้น ในการตอบสนอง เราจึงเขียนว่า: $x \in R$

ผลที่ตามมา:

$\sin(x) \geq -1.$

กรณีพิเศษ 2แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

$\sin(x)< 1.$

การใช้อาร์กิวเมนต์ที่คล้ายกับกรณีพิเศษ 1 เราพบว่าด้านซ้ายของอสมการน้อยกว่า $1$ สำหรับ $x \in R$ ทั้งหมด ยกเว้นจุดที่เป็นคำตอบของสมการ $\sin(x) = 1 $. การแก้สมการนี้เราจะได้:

$x = (-1)^(n)\arcsin(1)+ \pi n = (-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n.$

ดังนั้น ในการตอบสนอง เราจึงเขียนว่า: $x \in R \backslash \left\((-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n\right\)$

ผลที่ตามมา:ความไม่เท่าเทียมกันได้รับการแก้ไขในทำนองเดียวกัน

$\sin(x) > -1.$

ตัวอย่างของการแก้ความไม่เท่าเทียมกันโดยใช้อัลกอริทึม

ตัวอย่างที่ 1:แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

$\sin(x) \geq \frac(1)(2).$

1. สังเกตพิกัด $\frac(1)(2)$ บนแกนไซน์
2. ลากเส้นขนานกับแกนโคไซน์แล้วผ่านจุดนี้
3. สังเกตจุดแยก พวกเขาจะถูกแรเงาเพราะความไม่เท่าเทียมกันไม่เข้มงวด
4. เครื่องหมายอสมการคือ $\geq$ ซึ่งหมายความว่าเราทาสีบริเวณเหนือเส้น นั่นคือ ครึ่งวงกลมที่เล็กกว่า
5. หาจุดตัดแรก ในการทำเช่นนี้ ให้เปลี่ยนความไม่เท่าเทียมกันเป็นความเท่าเทียมกันและแก้ไข: $\sin(x)=\frac(1)(2) \ \Rightarrow \ x=(-1)^(n)\arcsin(\frac(1 )(2) )+\pi n =(-1)^(n)\frac(\pi)(6) + \pi n$ เราตั้งค่า $n=0$ ต่อไปและหาจุดตัดแรก: $x_(1)=\frac(\pi)(6)$
6. เราพบจุดที่สอง พื้นที่ของเราไปในทิศทางบวกจากจุดแรก ดังนั้นเราจึงตั้งค่า $n$ เท่ากับ $1$: $x_(2)=(-1)^(1)\frac(\pi)(6) + \pi \ cdot 1 = \ pi - \frac(\pi)(6) = \frac(5\pi)(6)$

ดังนั้น การแก้ปัญหาจะอยู่ในรูปแบบ:

$x \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right], \ n \in Z.$

ตัวอย่างที่ 2:แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

$\sin(x)< -\frac{1}{2}$

เราทำเครื่องหมายพิกัด $- \frac(1)(2)$ บนแกนไซน์แล้ววาดเส้นตรงขนานกับแกนโคไซน์แล้วลากผ่านจุดนี้ สังเกตจุดแยก พวกเขาจะไม่ถูกแรเงาเนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันนั้นเข้มงวด เครื่องหมายอสมการ $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:

$\sin(x)=-\frac(1)(2)$

$x=(-1)^(n)\arcsin(\left(-\frac(1)(2)\right))+ \pi n =(-1)^(n+1)\frac(\pi )(6) + \pi n$

เมื่อตั้งค่าเพิ่มเติม $n=0$ เราจะพบจุดตัดแรก: $x_(1)=-\frac(\pi)(6)$ พื้นที่ของเราไปในทิศทางลบจากจุดแรก ดังนั้นเราจึงตั้งค่า $n$ เท่ากับ $-1$: $x_(2)=(-1)^(-1+1)\frac(\pi)(6 ) + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac(\pi)(6) = -\frac(5\pi)(6)$.

ดังนั้น วิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันนี้จะเป็นช่วง:

$x \in \left(-\frac(5\pi)(6) + 2\pi n; -\frac(\pi)(6) + 2 \pi n\right), \ n \in Z.$

ตัวอย่างที่ 3:แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

$1 – 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq 0.$

ตัวอย่างนี้ไม่สามารถแก้ไขได้ทันทีโดยใช้อัลกอริทึม ก่อนอื่นคุณต้องแปลงมัน เราทำเหมือนกับที่เราทำกับสมการ แต่อย่าลืมเครื่องหมาย การหารหรือคูณด้วยจำนวนลบจะกลับด้าน!

ลองย้ายทุกอย่างที่ไม่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติไปทางขวากัน เราได้รับ:

$- 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq -1.$

หารด้านซ้ายและขวาด้วย $-2$ (อย่าลืมเครื่องหมาย!) จะมี:

$\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \geq \frac(1)(2).$

อีกครั้ง เราได้ความไม่เท่าเทียมกันที่เราไม่สามารถแก้ได้โดยใช้อัลกอริทึม แต่ที่นี่ก็เพียงพอที่จะทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปร:

$t=\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6).$

เราได้รับอสมการตรีโกณมิติซึ่งสามารถแก้ไขได้โดยใช้อัลกอริทึม:

$\sin(t) \geq \frac(1)(2).$

ความไม่เท่าเทียมกันนี้ได้รับการแก้ไขในตัวอย่างที่ 1 ดังนั้นเราจะยืมคำตอบจากที่นั่น:

$t \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$

อย่างไรก็ตาม การตัดสินใจยังไม่สิ้นสุด เราต้องกลับไปใช้ตัวแปรเดิม

$(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)) \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$

มาแทนช่องว่างเป็นระบบ:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n, \\ \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n.\end(array) \right.$

ทางด้านซ้ายของระบบจะมีนิพจน์ ($\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)$) ซึ่งเป็นของช่วงเวลา ขอบเขตด้านซ้ายของช่วงเวลารับผิดชอบความไม่เท่าเทียมกันแรก และขอบเขตด้านขวารับผิดชอบสำหรับส่วนที่สอง นอกจากนี้ วงเล็บยังมีบทบาทสำคัญ: หากวงเล็บเหลี่ยมเป็นสี่เหลี่ยม ความไม่เท่าเทียมกันจะไม่เข้มงวด และหากเป็นวงกลม แสดงว่ามีความเข้มงวด งานของเราคือรับ $x$ ทางซ้าย ในความไม่เท่าเทียมกันทั้งสอง.

ย้าย $\frac(\pi)(6)$ จากด้านซ้ายไปทางด้านขวา เราจะได้:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n -\frac(\pi)(6), \\ \frac(x)(4) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n – \frac(\pi)(6).\end(array) \right.$

ทำให้ง่ายขึ้นเราจะมี:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq 2\pi n, \\ \frac(x)(4) \leq \frac(2\pi)(3) + 2 \pi n.\end(array) \right.$

คูณด้านซ้ายและขวาด้วย $4$ เราจะได้:

$\left\(\begin(array)(c) x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n. \end(array) \right. $

การประกอบระบบเป็นช่วงๆ เราได้คำตอบ:

$x \in \left[ 8\pi n; \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n\right], \ n \in Z.$

อสมการคือความสัมพันธ์ของรูปแบบ a › b โดยที่ a และ b คือนิพจน์ที่มีตัวแปรอย่างน้อยหนึ่งตัว ความไม่เท่าเทียมกันสามารถเข้มงวด - ‹, › และไม่เข้มงวด - ≥, ≤

อสมการตรีโกณมิติคือนิพจน์ของรูปแบบ: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a โดยที่ F(x) ถูกแทนด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติอย่างน้อยหนึ่งฟังก์ชัน .

ตัวอย่างของอสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดคือ: sin x ‹ 1/2 เป็นเรื่องปกติในการแก้ปัญหาดังกล่าวแบบกราฟิก สองวิธีได้รับการพัฒนาสำหรับสิ่งนี้

วิธีที่ 1 - การแก้อสมการโดยพล็อตฟังก์ชัน

ในการหาช่วงเวลาที่ตรงกับเงื่อนไขของบาปอสมการ x ‹ 1/2 คุณต้องทำดังต่อไปนี้:

1. บนแกนพิกัด ให้สร้างไซนูซอยด์ y = บาป x
2. บนแกนเดียวกัน ให้วาดกราฟของอาร์กิวเมนต์ที่เป็นตัวเลขของอสมการ นั่นคือ เส้นตรงที่ลากผ่านจุด ½ ของพิกัด OY
3. ทำเครื่องหมายจุดตัดของกราฟทั้งสอง
4. แรเงาส่วนที่เป็นคำตอบของตัวอย่าง

เมื่อมีเครื่องหมายชัดเจนในนิพจน์ จุดตัดกันจะไม่ใช่คำตอบ เนื่องจากคาบบวกที่เล็กที่สุดของไซนัสคือ 2π เราจึงเขียนคำตอบดังนี้:

หากเครื่องหมายของนิพจน์ไม่เข้มงวด ช่วงเวลาของการแก้ปัญหาจะต้องอยู่ในวงเล็บเหลี่ยม - . คำตอบของปัญหาสามารถเขียนเป็นอสมการอื่นได้:

วิธีที่ 2 - การแก้อสมการตรีโกณมิติโดยใช้วงกลมหน่วย

ปัญหาที่คล้ายกันสามารถแก้ไขได้ง่ายด้วยความช่วยเหลือของวงกลมตรีโกณมิติ อัลกอริทึมการค้นหานั้นง่ายมาก:

1. ขั้นแรก วาดวงกลมหนึ่งหน่วย
2. จากนั้นคุณต้องสังเกตค่าของฟังก์ชันส่วนโค้งของอาร์กิวเมนต์ทางด้านขวาของอสมการในส่วนโค้งของวงกลม
3. จำเป็นต้องวาดเส้นตรงที่ลากผ่านค่าของฟังก์ชันส่วนโค้งที่ขนานกับแกน x (OX)
4. หลังจากนั้นจะเหลือเพียงการเลือกส่วนโค้งของวงกลมซึ่งเป็นชุดของคำตอบของอสมการตรีโกณมิติ
5. เขียนคำตอบในแบบฟอร์มที่ต้องการ

ให้เราวิเคราะห์ขั้นตอนการแก้ปัญหาโดยใช้บาปอสมการ x › 1/2 เป็นตัวอย่าง จุด α และ β ถูกทำเครื่องหมายบนวงกลม – ค่า

จุดของส่วนโค้งที่อยู่เหนือ α และ β เป็นช่วงเวลาสำหรับการแก้ความไม่เท่าเทียมกันที่กำหนด

หากคุณต้องการแก้ตัวอย่างสำหรับ cos ส่วนโค้งของคำตอบจะอยู่ในตำแหน่งสมมาตรกับแกน OX ไม่ใช่ OY คุณสามารถพิจารณาความแตกต่างระหว่างช่วงการแก้ปัญหาสำหรับ sin และ cos ในไดอะแกรมด้านล่างในข้อความ

โซลูชันแบบกราฟิกสำหรับอสมการแทนเจนต์และโคแทนเจนต์จะแตกต่างจากทั้งไซน์และโคไซน์ เนื่องจากคุณสมบัติของฟังก์ชัน

อาร์กแทนเจนต์และอาร์คโคแทนเจนต์เป็นแทนเจนต์ของวงกลมตรีโกณมิติ และคาบบวกขั้นต่ำสำหรับทั้งสองฟังก์ชันคือ π เพื่อให้ใช้วิธีที่สองได้อย่างรวดเร็วและถูกต้องคุณต้องจำไว้ว่าค่าของบาป, cos, tg และ ctg จะถูกพล็อตในแกนใด

แทนเจนต์แทนเจนต์วิ่งขนานกับแกน OY หากเราพลอตค่าของ arctg a บนวงกลมหนึ่งหน่วย จุดที่ต้องการที่สองจะอยู่ในไตรมาสแนวทแยง มุม

เป็นเบรกพอยต์สำหรับฟังก์ชัน เนื่องจากกราฟมีแนวโน้มไปที่พวกมันแต่ไม่เคยไปถึงพวกมัน

ในกรณีของโคแทนเจนต์ แทนเจนต์วิ่งขนานกับแกน OX และฟังก์ชันถูกขัดจังหวะที่จุด π และ 2π

อสมการตรีโกณมิติเชิงซ้อน

หากอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันอสมการไม่ได้แสดงโดยตัวแปรเพียงอย่างเดียว แต่แสดงโดยนิพจน์ทั้งหมดที่ไม่ทราบค่า แสดงว่าเรากำลังพูดถึงความไม่เท่าเทียมกันที่ซับซ้อน หลักสูตรและลำดับของการแก้ปัญหาค่อนข้างแตกต่างจากวิธีการที่อธิบายไว้ข้างต้น สมมติว่าเราต้องหาวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

โซลูชันแบบกราฟิกมีไว้สำหรับการสร้างไซน์ซอยด์สามัญ y = บาป x สำหรับค่า x ที่เลือกโดยพลการ มาคำนวณตารางที่มีพิกัดสำหรับจุดอ้างอิงของแผนภูมิกัน:

ผลที่ได้ควรเป็นเส้นโค้งที่สวยงาม

เพื่อความสะดวกในการค้นหาวิธีแก้ปัญหา เราแทนที่อาร์กิวเมนต์ฟังก์ชันที่ซับซ้อน