Štúdium funkcie sa uskutočňuje podľa jasnej schémy a vyžaduje od študenta solídne znalosti základných matematických pojmov, ako je definičný obor a hodnoty, spojitosť funkcie, asymptota, extrémne body, parita, periodicita atď. . Žiak musí vedieť voľne diferencovať funkcie a riešiť rovnice, čo môže byť niekedy veľmi zložité.

To znamená, že táto úloha testuje významnú vrstvu vedomostí, pričom akákoľvek medzera sa stane prekážkou pri získaní správneho riešenia. Obzvlášť často vznikajú ťažkosti pri vytváraní grafov funkcií. Túto chybu si učiteľ okamžite všimne a môže výrazne poškodiť vašu známku, aj keď všetko ostatné bolo urobené správne. Tu nájdete problémy s online výskumom funkcií: študijné príklady, riešenia na stiahnutie, zadania objednávok.

Preskúmajte funkciu a vytvorte graf: príklady a riešenia online

Pripravili sme pre vás množstvo hotových funkčných štúdií, platených v knihe riešení a bezplatných v sekcii Príklady funkčných štúdií. Na základe týchto vyriešených úloh sa budete môcť podrobne oboznámiť s metodikou vykonávania podobných úloh a analogicky realizovať svoj výskum.

Ponúkame hotové príklady kompletného výskumu a vykresľovania funkcií najbežnejších typov: polynómy, zlomkovo-racionálne, iracionálne, exponenciálne, logaritmické, goniometrické funkcie. Ku každému riešenému problému je priložený hotový graf so zvýraznenými kľúčovými bodmi, asymptotami, maximami a minimami, pričom riešenie sa vykonáva pomocou algoritmu na štúdium funkcie.

V každom prípade vám vyriešené príklady veľmi pomôžu, pretože pokrývajú najpopulárnejšie typy funkcií. Ponúkame vám stovky už vyriešených úloh, no ako viete, matematických funkcií je na svete nekonečne veľa a učitelia sú veľkí experti na vymýšľanie ďalších a záludnejších úloh pre chudobných žiakov. Takže, milí študenti, kvalifikovaná pomoc vám neublíži.

Riešenie problémov s výskumom vlastných funkcií

V tomto prípade vám naši partneri ponúknu inú službu – plne funkčný výskum online objednať. Úloha bude dokončená za vás v súlade so všetkými požiadavkami na algoritmus na riešenie takýchto problémov, čo veľmi poteší vášho učiteľa.

Urobíme pre vás kompletnú štúdiu funkcie: nájdeme doménu definície a doménu hodnôt, preskúmame spojitosť a diskontinuitu, stanovíme paritu, skontrolujeme periodicitu vašej funkcie a nájdeme priesečníky so súradnicovými osami . A samozrejme ďalej pomocou diferenciálneho počtu: nájdeme asymptoty, vypočítame extrémy, inflexné body a zostrojíme samotný graf.

Vstavaná databáza certifikátov TheBat pre SSL už nejaký čas prestala správne fungovať (nie je jasné z akého dôvodu).

Pri kontrole príspevku sa zobrazí chyba:

Neznámy certifikát CA
Server nepredložil koreňový certifikát v relácii a zodpovedajúci koreňový certifikát sa nenašiel v adresári.
Toto spojenie nemôže byť tajné. Prosím
kontaktujte svojho správcu servera.

A ponúka sa vám výber odpovedí - ÁNO / NIE. A tak zakaždým, keď odstránite poštu.

Riešenie

V tomto prípade musíte v nastaveniach TheBat nahradiť implementačný štandard S/MIME a TLS za Microsoft CryptoAPI!

Keďže som potreboval skombinovať všetky súbory do jedného, ​​najprv som všetky doc súbory skonvertoval do jedného pdf súboru (pomocou programu Acrobat) a potom som ho preniesol na fb2 cez online konvertor. Súbory môžete konvertovať aj jednotlivo. Formáty môžu byť úplne akékoľvek (zdroj) - doc, jpg a dokonca aj archív zip!

Názov stránky zodpovedá podstate :) Online Photoshop.

Aktualizácia z mája 2015

Našiel som ďalšiu skvelú stránku! Ešte pohodlnejšie a funkčnejšie na vytvorenie úplne vlastnej koláže! Toto je stránka http://www.fotor.com/ru/collage/. Užite si to pre svoje zdravie. A sám to použijem.

V živote som narazil na problém opravy elektrického sporáka. Už som urobil veľa vecí, veľa som sa naučil, ale s dlaždicami som mal akosi málo spoločného. Bolo potrebné vymeniť kontakty na regulátoroch a horákoch. Vznikla otázka - ako určiť priemer horáka na elektrickom sporáku?

Odpoveď sa ukázala byť jednoduchá. Netreba nič merať, podľa oka zistíte akú veľkosť potrebujete.

Najmenší horák- toto je 145 milimetrov (14,5 centimetra)

Stredný horák- to je 180 milimetrov (18 centimetrov).

A nakoniec najviac veľký horák- to je 225 milimetrov (22,5 centimetra).

Stačí určiť veľkosť podľa oka a pochopiť, aký priemer potrebujete horák. Keď som to nevedel, mal som obavy z týchto rozmerov, nevedel som, ako merať, ktorou hranou sa mám pohybovať atď. Teraz som už múdra :) Dúfam, že som pomohla aj vám!

Vo svojom živote som čelil takémuto problému. Myslím, že nie som jediný.

Jednou z najdôležitejších úloh diferenciálneho počtu je vývoj všeobecných príkladov na štúdium správania funkcií.

Ak je funkcia y=f(x) spojitá na intervale a jej derivácia je kladná alebo rovná 0 na intervale (a,b), potom y=f(x) rastie o (f"(x)0) . Ak je funkcia y=f (x) spojitá na segmente a jej derivácia je záporná alebo rovná 0 na intervale (a,b), potom y=f(x) klesá o (f"(x)0 )

Intervaly, v ktorých funkcia neklesá ani nerastie, sa nazývajú intervaly monotónnosti funkcie. Monotónnosť funkcie sa môže meniť len v tých bodoch jej definičného oboru, v ktorých sa mení znamienko prvej derivácie. Body, v ktorých prvá derivácia funkcie zaniká alebo má diskontinuitu, sa nazývajú kritické.

Veta 1 (1. postačujúca podmienka existencie extrému).

Nech je funkcia y=f(x) definovaná v bode x 0 a nech existuje okolie δ>0 také, že funkcia je spojitá na intervale a diferencovateľná na intervale (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) a jeho derivácia si zachováva konštantné znamienko na každom z týchto intervalov. Potom ak na x 0 -δ,x 0) a (x 0 , x 0 +δ) sú znamienka derivácie rôzne, potom x 0 je extrémny bod a ak sa zhodujú, potom x 0 nie je extrémny bod . Navyše, ak pri prechode bodom x0 derivácia zmení znamienko z plus na mínus (naľavo od x 0 f"(x)>0 je splnené, potom x 0 je maximálny bod; ak derivácia zmení znamienko z mínus na plus (napravo od x 0 vykonaná f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Maximálne a minimálne body sa nazývajú extrémne body funkcie a maximum a minimum funkcie sa nazývajú jej extrémne hodnoty.

Veta 2 (nevyhnutný znak lokálneho extrému).

Ak má funkcia y=f(x) extrém v aktuálnom x=x 0, potom buď f’(x 0)=0 alebo f’(x 0) neexistuje.
V extrémnych bodoch diferencovateľnej funkcie je dotyčnica k jej grafu rovnobežná s osou Ox.

Algoritmus na štúdium funkcie pre extrém:

1) Nájdite deriváciu funkcie.
2) Nájdite kritické body, t.j. body, v ktorých je funkcia spojitá a derivácia je nulová alebo neexistuje.
3) Zvážte okolie každého bodu a preskúmajte znamienko derivácie naľavo a napravo od tohto bodu.
4) Určte súradnice krajných bodov, na tento účel dosaďte hodnoty kritických bodov do tejto funkcie. Pomocou dostatočných podmienok pre extrém vyvodzujte príslušné závery.

Príklad 18. Preskúmajte funkciu y=x 3 -9x 2 +24x pre extrém

Riešenie.
1) y"=3x2-18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Ak priradíme deriváciu k nule, zistíme, že x 1 = 2, x 2 = 4. V tomto prípade je derivát definovaný všade; To znamená, že okrem dvoch nájdených bodov neexistujú žiadne ďalšie kritické body.
3) Znamienko derivácie y"=3(x-2)(x-4) sa mení v závislosti od intervalu, ako je znázornené na obrázku 1. Pri prechode bodom x=2 derivácia mení znamienko z plus na mínus, a pri prechode cez bod x=4 - z mínusu do plusu.
4) V bode x=2 má funkcia maximum y max =20 a v bode x=4 - minimum y min =16.

Veta 3. (2. postačujúca podmienka existencie extrému).

Nech f"(x 0) a v bode x 0 existuje f""(x 0). Potom ak f""(x 0)>0, potom x 0 je minimálny bod a ak f""(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Na segmente môže funkcia y=f(x) dosiahnuť najmenšiu (y najmenej) alebo najväčšiu (y najvyššiu) hodnotu buď v kritických bodoch funkcie ležiacich v intervale (a;b), alebo pri konce segmentu.

Algoritmus na nájdenie najväčšej a najmenšej hodnoty spojitej funkcie y=f(x) na segmente:

1) Nájdite f"(x).
2) Nájdite body, v ktorých f"(x)=0 alebo f"(x) neexistuje, a vyberte z nich tie, ktoré ležia vo vnútri segmentu.
3) Vypočítajte hodnotu funkcie y=f(x) v bodoch získaných v kroku 2, ako aj na koncoch segmentu a vyberte z nich najväčšie a najmenšie: sú najväčšie (y najväčšie) a najmenšie (y najmenšie) hodnoty funkcie na intervale.

Príklad 19. Nájdite najväčšiu hodnotu spojitej funkcie y=x 3 -3x 2 -45+225 na segmente.

1) Na segmente máme y"=3x 2 -6x-45
2) Derivácia y" existuje pre všetky x. Nájdite body, v ktorých y"=0; dostaneme:
3x 2-6x-45=0
x 2-2x-15=0
x 1 = -3; x 2 = 5
3) Vypočítajte hodnotu funkcie v bodoch x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Úsečka obsahuje iba bod x=5. Najväčšia z nájdených hodnôt funkcie je 225 a najmenšia je číslo 50. Takže y max = 225, y min = 50.

Štúdium funkcie na konvexnosti

Na obrázku sú znázornené grafy dvoch funkcií. Prvý z nich je konvexný smerom nahor, druhý je konvexný smerom nadol.

Funkcia y=f(x) je spojitá na intervale a diferencovateľná v intervale (a;b), nazýva sa konvexná nahor (dole) na tomto intervale, ak pre axb jej graf neleží vyššie (nie nižšie) ako dotyčnica vedená v ľubovoľnom bode M 0 (x 0 ;f(x 0)), kde axb.

Veta 4. Nech má funkcia y=f(x) druhú deriváciu v ľubovoľnom vnútornom bode x úsečky a na koncoch úsečky je spojitá. Potom, ak nerovnosť f""(x)0 platí na intervale (a;b), potom je funkcia na intervale konvexná; ak nerovnosť f""(x)0 platí na intervale (a;b), potom je funkcia konvexná smerom nahor na .

Veta 5. Ak má funkcia y=f(x) druhú deriváciu na intervale (a;b) a ak mení znamienko pri prechode bodom x 0, potom M(x 0 ;f(x 0)) je inflexný bod.

Pravidlo na nájdenie inflexných bodov:

1) Nájdite body, v ktorých f""(x) neexistuje alebo zaniká.
2) Preskúmajte znamienko f""(x) vľavo a vpravo od každého bodu nájdeného v prvom kroku.
3) Na základe vety 4 urobte záver.

Príklad 20. Nájdite extrémne body a inflexné body grafu funkcie y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Máme f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Je zrejmé, že f"(x)=0, keď x 1 = 0, x 2 = 1. Pri prechode bodom x=0 derivácia zmení znamienko z mínusu na plus, ale pri prechode cez bod x=1 nezmení znamienko. To znamená, že x = 0 je minimálny bod (y min = 12) a v bode x = 1 neexistuje extrém. Ďalej nájdeme . Druhá derivácia zaniká v bodoch x 1 = 1, x 2 = 1/3. Znamienka druhej derivácie sa menia takto: Na lúči (-∞;) máme f""(x)>0, na intervale (;1) máme f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Preto x= je inflexný bod funkčného grafu (prechod z konvexnosti nadol ku konvexnosti smerom nahor) a x=1 je tiež inflexný bod (prechod z konvexnosti nahor ku konvexnosti nadol). Ak x=, potom y=; ak, potom x = 1, y = 13.

Algoritmus na nájdenie asymptoty grafu

I. Ak y=f(x) ako x → a, potom x=a je vertikálna asymptota.
II. Ak y=f(x) ako x → ∞ alebo x → -∞, potom y=A je horizontálna asymptota.
III. Na nájdenie šikmej asymptoty používame nasledujúci algoritmus:
1) Vypočítajte. Ak limita existuje a je rovná b, potom y=b je horizontálna asymptota; ak , prejdite na druhý krok.
2) Vypočítajte. Ak táto limita neexistuje, potom neexistuje žiadna asymptota; ak existuje a rovná sa k, prejdite na tretí krok.
3) Vypočítajte. Ak táto limita neexistuje, potom neexistuje žiadna asymptota; ak existuje a rovná sa b, prejdite na štvrtý krok.
4) Napíšte rovnicu šikmej asymptoty y=kx+b.

Príklad 21: Nájdite asymptotu funkcie

1)
2)
3)
4) Rovnica šikmej asymptoty má tvar

Schéma na štúdium funkcie a zostrojenie jej grafu

I. Nájdite definičný obor funkcie.
II. Nájdite priesečníky grafu funkcie so súradnicovými osami.
III. Nájdite asymptoty.
IV. Nájdite možné extrémne body.
V. Nájdite kritické body.
VI. Pomocou pomocnej figúry preskúmajte znamienko prvej a druhej derivácie. Určte oblasti rastúcej a klesajúcej funkcie, nájdite smer konvexnosti grafu, body extrémov a inflexné body.
VII. Zostavte graf, berúc do úvahy výskum uskutočnený v odsekoch 1-6.

Príklad 22: Zostrojte graf funkcie podľa vyššie uvedenej schémy

Riešenie.
I. Definičný obor funkcie je množina všetkých reálnych čísel okrem x=1.
II. Keďže rovnica x 2 +1=0 nemá žiadne skutočné korene, graf funkcie nemá žiadne priesečníky s osou Ox, ale pretína os Oy v bode (0;-1).
III. Ujasnime si otázku existencie asymptot. Pozrime sa na správanie funkcie v blízkosti bodu nespojitosti x=1. Pretože y → ∞ ako x → -∞, y → +∞ ako x → 1+, potom priamka x=1 je vertikálna asymptota grafu funkcie.
Ak x → +∞(x → -∞), potom y → +∞(y → -∞); preto graf nemá vodorovnú asymptotu. Ďalej z existencie limitov

Vyriešením rovnice x 2 -2x-1=0 získame dva možné extrémne body:
x1=1-√2 a x2=1+√2

V. Aby sme našli kritické body, vypočítame druhú deriváciu:

Keďže f""(x) nezmizne, neexistujú žiadne kritické body.
VI. Pozrime sa na znamienko prvej a druhej derivácie. Možné extrémne body, ktoré je potrebné zvážiť: x 1 =1-√2 a x 2 =1+√2, rozdeľte definičný obor existencie funkcie na intervaly (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) a (1+√2;+∞).

V každom z týchto intervalov si derivát zachováva svoje znamienko: v prvom - plus, v druhom - mínus, v treťom - plus. Postupnosť znamienok prvej derivácie zapíšeme takto: +,-,+.
Zistili sme, že funkcia rastie pri (-∞;1-√2), klesá pri (1-√2;1+√2) a opäť rastie pri (1+√2;+∞). Extrémne body: maximum pri x=1-√2 a f(1-√2)=2-2√2 minimum pri x=1+√2 a f(1+√2)=2+2√2. V bode (-∞;1) je graf konvexný smerom nahor a v bode (1;+∞) je konvexný smerom nadol.
VII Zo získaných hodnôt urobme tabuľku

VIII Na základe získaných údajov zostrojíme náčrt grafu funkcie

Zachovanie vášho súkromia je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si naše postupy ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás s jedinečnými ponukami, propagačnými akciami a inými udalosťami a pripravovanými udalosťami.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a komunikácie.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobnej propagačnej akcie, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na správu takýchto programov.

Sprístupnenie informácií tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade potreby – v súlade so zákonom, súdnym konaním, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí vládnych orgánov na území Ruskej federácie – poskytnúť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo na iné účely verejného významu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú nástupnícku tretiu stranu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o štandardoch ochrany osobných údajov a bezpečnosti a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Vykonajte kompletnú štúdiu a znázornite graf funkcie

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Rozsah funkcie. Keďže funkcia je zlomok, musíme nájsť nuly v menovateli.

1−x=0,⇒x=1,1−x=0,⇒x=1.

Vylúčime jediný bod x=1x=1 z oblasti definície funkcie a dostaneme:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Pozrime sa na správanie funkcie v blízkosti bodu nespojitosti. Hľadajme jednostranné limity:

Keďže limity sa rovnajú nekonečnu, bod x=1x=1 je nespojitosť druhého druhu, priamka x=1x=1 je vertikálna asymptota.

3) Určme priesečníky funkčného grafu so súradnicovými osami.

Nájdite priesečníky so súradnicovou osou OyOy, pre ktoré dávame rovnítko x=0x=0:

Priesečník s osou OyOy má teda súradnice (0;8)(0;8).

Nájdite priesečníky s úsečkou OxOx, pre ktoré nastavíme y=0y=0:

Rovnica nemá korene, takže neexistujú žiadne priesečníky s osou OxOx.

Všimnite si, že x2+8>0x2+8>0 pre ľubovoľné xx. Preto pre x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) funkcia y>0y>0 (nadobudne kladné hodnoty, graf je nad osou x), pre x∈(1;+∞ )x∈(1; +∞) funkcia y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Funkcia nie je ani párna, ani nepárna, pretože:

5) Preskúmajme funkciu na periodicitu. Funkcia nie je periodická, pretože ide o zlomkovú racionálnu funkciu.

6) Pozrime sa na funkciu pre extrémy a monotónnosť. Aby sme to dosiahli, nájdeme prvú deriváciu funkcie:

Prirovnajme prvú deriváciu k nule a nájdime stacionárne body (v ktorých y′=0y′=0):

Dostali sme tri kritické body: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Rozdeľme celý definičný obor funkcie na intervaly s týmito bodmi a určme znamienka derivácie v každom intervale:

Pre x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) je derivácia y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

Pre x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) deriváciu y′>0y′>0 funkcia na týchto intervaloch rastie.

V tomto prípade je x=−2x=−2 bod lokálneho minima (funkcia klesá a potom rastie), x=4x=4 je bod lokálneho maxima (funkcia rastie a potom klesá).

Nájdite hodnoty funkcie v týchto bodoch:

Minimálny bod je teda (−2;4)(−2;4), maximálny bod je (4;−8)(4;−8).

7) Pozrime sa na funkciu pre zlomy a konvexnosť. Nájdite druhú deriváciu funkcie:

Prirovnajme druhú deriváciu k nule:

Výsledná rovnica nemá korene, takže neexistujú žiadne inflexné body. Navyše, keď je splnené x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0, to znamená, že funkcia je konkávna, keď x∈(1;+∞)x∈( 1;+ ∞) vyhovuje y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Preskúmajme správanie funkcie v nekonečne, to znamená v .

Keďže limity sú nekonečné, neexistujú žiadne horizontálne asymptoty.

Skúsme určiť šikmé asymptoty tvaru y=kx+by=kx+b. Hodnoty k,bk,b vypočítame pomocou známych vzorcov:

Zistili sme, že funkcia má jednu šikmú asymptotu y=−x−1y=−x−1.

9) Ďalšie body. Vypočítajme hodnotu funkcie v niektorých ďalších bodoch, aby sme presnejšie zostavili graf.

y(-5)=5,5;y(2)=-12;y(7)=-9,5.y(-5)=5,5;y(2)=-12;y(7)=-9,5.

10) Na základe získaných údajov zostrojíme graf, doplníme ho o asymptoty x=1x=1 (modrá), y=−x−1y=−x−1 (zelená) a označíme charakteristické body (fialový priesečník s ordinátom os, oranžové extrémy, čierne dodatočné body):

Úloha 4: Geometrické, ekonomické úlohy (netuším aké, tu je približný výber úloh s riešeniami a vzorcami)

Príklad 3.23. a

Riešenie. X A r r
y = a - 2 x a/4 = a/2. Keďže x = a/4 je jediný kritický bod, skontrolujme, či sa pri prechode týmto bodom mení znamienko derivácie. Pre xa/4 S " > 0 a pre x > a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Príklad 3.24.

Riešenie.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Príklad 3.22. Nájdite extrémy funkcie f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Riešenie. Pretože f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​​​-2)(x - 3), potom kritické body funkcie x 1 = 2 a x 2 = 3. Extrémy môžu byť iba pri tieto body.Tak ako pri prechode bodom x 1 = 2 derivácia zmení znamienko z plus na mínus, tak v tomto bode má funkcia maximum.Pri prechode bodom x 2 = 3 derivácia zmení znamienko z mínusu. do plusu, teda v bode x 2 = 3 má funkcia minimum. Po vypočítaní hodnôt funkcie v bodoch
x 1 = 2 a x 2 = 3, nájdeme extrémy funkcie: maximum f(2) = 14 a minimum f(3) = 13.

Príklad 3.23. Pri kamennom múre je potrebné vybudovať obdĺžnikovú plochu tak, aby bola z troch strán oplotená drôteným pletivom a štvrtá strana priliehala k múru. Pre toto existuje a lineárne metre pletiva. Pri akom pomere strán bude mať stránka najväčšiu plochu?

Riešenie. Označme strany plošiny pomocou X A r. Plocha lokality je S = xy. Nechaj r- toto je dĺžka strany priľahlej k stene. Potom podľa podmienky musí platiť rovnosť 2x + y = a. Preto y = a - 2x a S = x(a - 2x), kde
0 ≤ x ≤ a/2 (dĺžka a šírka podložky nemôže byť záporná). S " = a - 4x, a - 4x = 0 pri x = a/4, odkiaľ
y = a - 2 x a/4 = a/2. Keďže x = a/4 je jediný kritický bod, skontrolujme, či sa pri prechode týmto bodom mení znamienko derivácie. Pre xa/4 S " > 0 a pre x > a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Príklad 3.24. Je potrebné vyrobiť uzavretú valcovú nádrž s objemom V=16p ≈ 50 m 3 . Aké by mali byť rozmery nádrže (polomer R a výška H), aby sa na jej výrobu spotrebovalo čo najmenej materiálu?

Riešenie. Celková plocha valca je S = 2pR(R+H). Poznáme objem valca V = pR 2 N Þ N = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . To znamená S(R) = 2p(R2+16/R). Nájdeme deriváciu tejto funkcie:
S" (R) = 2p(2R-16/R2) = 4p (R-8/R2). S" (R) = 0 pre R3 = 8, preto,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Súvisiace informácie.