Späť dopredu

Pozor! Ukážky snímok slúžia len na informačné účely a nemusia predstavovať všetky funkcie prezentácie. Ak vás táto práca zaujala, stiahnite si plnú verziu.

• Vzdelávacie: rozšíriť porozumenie študentov z výrokovej algebry, predstaviť logické operácie a pravdivostné tabuľky.
• vývojové:
rozvíjať schopnosť študentov pracovať s pojmami a symbolikou matematickej logiky; pokračovať vo formovaní logického myslenia; rozvíjať kognitívnu aktivitu; rozšírenie obzorov študentov.
• Vzdelávacie:
rozvíjať schopnosť vyjadriť svoj názor; vštepovať samostatné pracovné zručnosti.

TYP HODINY: kombinovaná hodina - vysvetlenie novej látky s následným upevňovaním nadobudnutých vedomostí.

TRVANIE LEKCIE: 40 minút.

MATERIÁLOVÝ A TECHNICKÝ ZÁKLAD:

• interaktívna tabuľa Interaktívna tabuľa.
• Aplikácia pre MS Windows - PowerPoint 2007.
• Verzia elektronickej lekcie pripravená učiteľom (prezentácia v PowerPointe 2007).
• Úlohové karty pripravené učiteľom.

PLÁN LEKCIE:

I. Organizačný moment - 1 min.

II. Stanovenie cieľov lekcie - 2 min.

III. Aktualizácia vedomostí - 9 min.

IV. Prezentácia nového materiálu - 15 min.

V. Konsolidácia študovaného materiálu - 8 min.

VI. Reflexia „Nedokončené vety“ – 3 min.

VII. Záver. Domáca úloha - 2 min.

POČAS VYUČOVANIA

I. Organizačný moment.

Pozdravujem, známkovanie neprítomných v triede.

Snímka 1

Pokračujeme v štúdiu sekcie "Logický jazyk". Dnes je naša lekcia venovaná téme „Logické výroky“. Prácu začneme kontrolou domácej úlohy (čítajú sa básne žiakov, ktoré obsahujú veľa logických spojok (operácií) a vyvodzuje sa záver, že ľubovoľnú informáciu možno jednoznačne interpretovať na základe algebry logiky).

Cieľom našej hodiny je teda študovať logické operácie a zistiť, že ľubovoľnú informáciu možno jednoznačne interpretovať na základe algebry logiky. Najprv si však musíte zopakovať materiál naučený v poslednej lekcii.

III. Aktualizácia vedomostí (frontálny prieskum).

Úloha 1. Práca s kartami (stručne odpovedzte na položené otázky) Veda, ktorá študuje zákonitosti a formy myslenia. (logika)

Konštanta označená ako "1". (pravda)

Konštanta označená "0". (lož)

Oznamovacia veta, o ktorej možno povedať, že je pravdivá alebo nepravdivá. (hovorí)

Typy príkazov (jednoduché a zložité)

Ktoré z nasledujúcich viet sú výroky?

• Ahoj!
• Axióma nevyžaduje dôkaz.
• Prší.
• Aká je vonkajšia teplota?
• Rubeľ je menová jednotka Ruska.
• Bez problémov nemôžete vytiahnuť ani rybu z jazierka.
• Číslo 2 nie je deliteľom čísla 9.
• Číslo x nie je väčšie ako 2.

7. Zistite pravdivosť alebo nepravdivosť tvrdenia:

• Informatika sa študuje na strednej škole.
• "E" je šieste písmeno v abecede.
• Štvorec je kosoštvorec.
• Druhá mocnina prepony sa rovná súčtu štvorcov nôh.
• Súčet uhlov trojuholníka je 1900.
• 12+14 > 30.
• Tučniaky žijú na severnom póle Zeme.
• 23+12=5*7.

Čo je teda vyhlásenie? (Oznamovacia veta, o ktorej možno povedať, že je pravdivá alebo nepravdivá.)

Čo je to jednoduché vyhlásenie? (Výrok sa nazýva jednoduchý (elementárny), ak žiadna jeho časť nie je výrokom.)

Čo je to zložený výrok? (Zložený príkaz pozostáva z jednoduchých príkazov spojených logickými spojkami (operáciami).)

Úloha 2. Zostavte zložené výroky z jednoduchých výrokov: „A = Peťa číta knihu“, „B = Peťa pije čaj“. (na obrazovke - snímka 2)

Pokračujme v práci.

Úloha 3. V nasledujúcich tvrdeniach zvýraznite jednoduché tvrdenia a každé z nich označte písmenom:

1. V zime sa deti chodia korčuľovať alebo lyžovať. (snímka 3)
2. Nie je pravda, že Slnko sa pohybuje okolo Zeme. (snímka 4)
3. Číslo 15 je deliteľné 3 práve vtedy, ak súčet číslic 15 je deliteľný 3. (snímka 5)
4. Ak bola včera nedeľa, potom Dima nebol včera v škole a chodil celý deň. (snímka 6)

IV. Prezentácianový materiál.

V predchádzajúcich úlohách sa používali rôzne logické spojenia: „a“, „alebo“, „nie“, „ak: potom:“, „ak a len vtedy:“. V algebrickej logike majú logické spojky a zodpovedajúce logické operácie špeciálne názvy. Uvažujme 3 základné logické operácie – inverziu, konjunkciu a disjunkciu, pomocou ktorých môžete získať zložené výroky. (snímka 7)

Akákoľvek logická operácia je definovaná tabuľkou nazývanou pravdivostná tabuľka. Pravdivostná tabuľka logického výrazu je tabuľka, kde sú na ľavej strane zapísané všetky možné kombinácie hodnôt zdrojových údajov a na pravej strane - hodnota výrazu pre každú kombináciu.

Negácia je logická operácia, ktorá spája každý jednoduchý (elementárny) výrok s novým výrokom, ktorého význam je opačný ako pôvodný. ( šmykľavka 8)

Uvažujme o pravidle na konštrukciu negácie jednoduchého výroku.

pravidlo: Pri konštrukcii negácie k jednoduchému výroku sa použije buď fráza „nie je pravda, že“ alebo sa negácia zostaví do predikátu, potom sa k predikátu pridá častica „nie“ a slovo „všetky“ nahradené slovom „niektoré“ a naopak.

Úloha 4. Zostrojte inverziu (negáciu) na jednoduchý výrok:

1. A = Mám doma počítač. ( šmykľavka 9)
2. A = Všetci chlapci 11. ročníka sú výborní žiaci.
3. Bude výrok negáciou: „Všetci chlapci v 11. ročníku nie sú vynikajúci žiaci? ( šmykľavka 10)

Výrok „Všetci chlapci z 11. ročníka nie sú vynikajúci žiaci“ nie je popretím výroku „Všetci chlapci z 11. ročníka sú výborní žiaci“. Výrok „Všetci chlapci 11. ročníka sú výborní žiaci“ je nepravdivý a negácia nepravdivého výroku musí byť pravdivým výrokom. Ale tvrdenie „Všetci chlapci z 11. ročníka nie sú výborní žiaci“ nie je pravdivé, keďže medzi žiakmi 11. ročníka sú výborní aj nevýborní žiaci.

Negáciu možno graficky znázorniť ako množinu. ( snímka 11)

Uvažujme nasledujúcu logickú operáciu – konjunkciu. Výrok zložený z dvoch výrokov ich spojením so spojkou „a“ sa nazýva spojka alebo logické násobenie (navyše sa používajú spojky - a, ale aj keď).

Konjunkcia- logická operácia, ktorá spája každé dva elementárne výroky s novým výrokom, ktorý je pravdivý vtedy a len vtedy, ak sú pravdivé oba počiatočné výroky. ( šmykľavka 12)

Graficky môže byť spojka znázornená ako množina. ( šmykľavka 13)

Uvažujme nasledujúcu logickú operáciu – disjunkciu. Výrok zložený z dvoch výrokov spojených spojovacím „alebo“ sa nazýva disjunkcia alebo logické sčítanie.

Disjunkcia- logická operácia, ktorá spája každé dva elementárne výroky s novým výrokom, ktorý je nepravdivý vtedy a len vtedy, ak sú oba počiatočné výroky nepravdivé. ( šmykľavka 14)

Graficky môže byť disjunkcia znázornená ako množina. ( šmykľavka 15)

Takže, aké sú tri základné operácie, ktoré sme sa naučili? ( šmykľavka 16)

Skúsme naše nové poznatky uplatniť pri vypĺňaní testu.

V. Upevňovanie preberanej látky (práca pri tabuli).

Úloha 5. Spojte schému a jej označenie.( šmykľavka 17)

Úloha 6. Existujú dva jednoduché výroky: A = „Číslo 10 je párne“, B = „Vlk je bylinožravec.“ Vymyslite z nich všetky možné zložené výroky a určte ich pravdivosť.

Odpoveď: 1-2; 2-6; 3-5; 4-1; 5-4; 6-3; 7-7.

Úloha 8. Sú uvedené dve jednoduché tvrdenia: A = „Rueľ je mena Ruska“, B = „Hrivna je mena Spojených štátov“. Ktoré tvrdenia sú pravdivé?

4)A proti B

Odpovede: 1) 0; 2) 1; tridsať; 4) 1.

VI. Reflexia "Nedokončené vety."

• Lekcia ma zaujala, pretože:
• Čo sa mi na lekcii najviac páčilo:
• Čo bolo pre mňa nové:

VII. Záver. Domáca úloha.

Hodnotí sa práca triedy ako celku a jednotlivých žiakov, ktorí na hodine excelovali.

Domáca úloha:

1) Naučiť sa základné definície, poznať notácie.

2) Vymýšľajte jednoduché výroky. (Celkovo by malo byť 5 sád po dvoch výrokoch). Z nich poskladajte všelijaké zložené výroky a určte ich pravdivosť.

Zoznam použitých materiálov:

1. Informatika a IKT. 10-11 ročník. Úroveň profilu. 1. časť: 10. ročník: učebnica pre všeobecnovzdelávacie inštitúcie / M.E. Fioshin, A.A. Ressin - M.: Drop, 2008
2. Matematické základy informatiky. Učebnica /E.V. Andreeva, L.L. Bosová, I.N. Falina - M.: BINOM. Vedomostné laboratórium, 2007
3. Materiály od učiteľky informatiky N.P.Pospelovej, Mestská vzdelávacia inštitúcia Stredná škola č.22, Soči
4. Fragmenty prezentácie učiteľa informatiky K.Yu Polyakova.

Každý človek je individualita s inými parametrami, ktorá podobne ako výplň počítača môže vykonávať rôzne operácie v rôznom čase. Človek určite nie je počítač, je oveľa chladnejší, aj keď je to ten najmodernejší počítač.

Každý človek obsahuje určité zrno, nazýva sa to zrno pravdy; ak sa človek o zrno v sebe stará a opatruje ho, vyrastie vynikajúca úroda, ktorá ho poteší!

Chápete, že zrno je naša duša, aby ste cítili dušu, musíte mať nejaké nadzmyslové schopnosti.

Iný príklad - Človek vyrába kameň každý deň a ostávajú len drahé kamene. Ak, samozrejme, vie, ako drahé kamene vyzerajú, ale ak iba triedi rudu, preskakuje diamanty a iné drahé kamene v domnienke, že sú to len kamene, tak má tento človek v živote problémy.

Život je taká vec, je ako človek, ktorý lopatami hádže rudu, aby našiel diamanty! Čo sú diamanty? Toto je motivácia, ktorá nám dáva konať v tomto svete, ale poistky motivácie sa neustále roztápajú, musíme svoju motiváciu doplniť, aby sme aj naďalej konali efektívne. Odkiaľ pochádza motivácia? Základným kameňom je informácia, správna informácia je ako stlačená pružina, ak ju správne prijmeme, pružina sa otvorí a vystrelí presne na cieľ a cieľ dosiahneme veľmi rýchlo. Ak nesprávne zaobchádzame s motiváciou, tak prečo, tak jar vystreľuje do čela. Prečo sa to deje? Pretože náš vnútorný zámer je základom toho, prečo konáme, čo chceme získať a či naše motivované činy nepoškodia ostatných!

V tomto článku som zhromaždil najviac motivačné citáty a stavy, ako sa hovorí, všetkých čias a národov. Je však samozrejme na vás, aby ste si vybrali, čo vás najviac zaujme. Zatiaľ sa ukľudnime, nasaďte si veľmi chytrú tvár, vypnite všetky komunikačné prostriedky a užite si múdrosť básnikov, umelcov a obyčajných inštalatérov!

U
Veľa a múdrych citátov a výrokov o živote

Vedomosti nestačí, treba ich aplikovať. Želanie nestačí, treba konať.

A som na správnej ceste. stojím. Ale mali by sme ísť.

Práca na sebe je najťažšia práca, preto ju robí málokto.

Životné okolnosti sú formované nielen konkrétnymi činmi, ale aj povahou myšlienok človeka. Ak ste voči svetu nepriateľskí, odpovie vám rovnako. Ak budete neustále vyjadrovať svoju nespokojnosť, bude to mať čoraz viac dôvodov. Ak vo vašom postoji k realite prevládne negativizmus, svet sa k vám obráti z tej najhoršej strany. Naopak, pozitívny prístup prirodzene zmení váš život k lepšiemu. Človek dostane to, čo si vyberie. Toto je realita, či sa vám to páči alebo nie.

To, že si urazený, neznamená, že máš pravdu.Ricky Gervais

Rok za rokom, mesiac za mesiacom, deň za dňom, hodinu za hodinou, minútu za minútou a dokonca sekundu za sekundou - čas letí bez zastavenia na chvíľu. Žiadna sila nemôže prerušiť tento beh, nie je to v našej moci. Jediné, čo môžeme urobiť, je tráviť čas užitočne, konštruktívne alebo ho premrhať škodlivým spôsobom. Táto voľba je naša; rozhodnutie je v nasich rukach.

V žiadnom prípade by ste nemali strácať nádej. Pocit zúfalstva je skutočnou príčinou zlyhania. Pamätajte, že môžete prekonať všetky ťažkosti.

Človek je navrhnutý tak, že keď niečo rozžiari jeho dušu, všetko sa stane možným. Jean de Lafontaine

Všetko, čo sa vám teraz deje, ste si kedysi sami vytvorili. Vadim Zéland

V nás je veľa zbytočných návykov a činností, na ktoré mrháme časom, myšlienkami, energiou a ktoré nám nedovoľujú prekvitať. Ak budeme pravidelne vyhadzovať všetko nepotrebné, uvoľnený čas a energia nám pomôžu dosiahnuť naše skutočné túžby a ciele. Odstránením všetkého starého a neužitočného v našich životoch dávame príležitosť rozkvitnúť talentom a citom ukrytým v nás.

Sme otrokmi svojich zvykov. Zmeňte svoje návyky, zmení sa váš život. Robert Kiyosaki

Osoba, ktorou sa máte stať, je len osobou, ktorou sa rozhodnete stať. Ralph Waldo Emerson

Mágia je viera v seba samého. A keď uspejete vy, potom sa podarí všetko ostatné.

Vo dvojici by si každý mal rozvíjať schopnosť cítiť vibrácie toho druhého, mali by mať spoločné asociácie a spoločné hodnoty, schopnosť počuť, čo je pre toho druhého dôležité, a akúsi vzájomnú dohodu o tom, ako konať, keď majú určité hodnoty sa nezhodujú. Salvador Minujin

Každý človek môže byť magneticky príťažlivý a neuveriteľne krásny. Skutočná krása je vnútorné vyžarovanie ľudskej Duše.

Veľmi si vážim dve veci – duchovnú blízkosť a schopnosť prinášať radosť. Richard Bach

Boj s ostatnými je len trik, ako sa vyhnúť vnútornému boju. Osho

Keď sa človek začne sťažovať alebo vymýšľať výhovorky pre svoje zlyhania, začne postupne degradovať.

Dobrým životným mottom je pomôcť si.

Múdry nie je ten, kto veľa vie, ale ten, komu sú vedomosti užitočné. Aischylus

Niektorí ľudia sa usmievajú, pretože sa usmievate vy. A niektoré sú len na to, aby ste sa usmievali.

Ten, kto vládne v sebe a ovláda svoje vášne, túžby a obavy, je viac ako kráľ. John Milton

Každý muž si nakoniec vyberie ženu, ktorá mu verí viac ako on.

Jedného dňa si sadnúť a počúvať, čo chce tvoja duša?

Tak často nepočúvame dušu, zo zvyku sa niekam ponáhľame.

Ste tam, kde ste a kým ste, vďaka tomu, ako sa vnímate. Zmeňte spôsob, akým o sebe premýšľate a zmeníte svoj život. Brian Tracy

Život sú tri dni: včera, dnes a zajtra. Včerajšok už prešiel a nič na tom nezmeníš, zajtrajšok ešte neprišiel. Preto sa snažte dnes konať čestne, aby ste neľutovali.

Skutočne ušľachtilý človek sa nerodí s veľkou dušou, ale robí sa takým svojimi veľkolepými činmi. Francesco Petrarca

Vždy vystavte svoju tvár slnečnému žiareniu a tiene budú za vami, Walt Whitman

Jediný, kto konal múdro, bol môj krajčír. Vždy, keď ma uvidel, znova mi zmeral miery. Bernard Show

Ľudia nikdy naplno nevyužijú svoje vlastné sily na dosiahnutie dobra v živote, pretože dúfajú v nejakú vonkajšiu silu – dúfajú, že to urobí to, za čo sú sami zodpovední.

Nikdy sa nevracaj do minulosti. Zabíja váš drahocenný čas. Nezostávajte na tom istom mieste. Ľudia, ktorí ťa potrebujú, ťa dobehnu.

Je čas vyhodiť zlé myšlienky z hlavy.

Ak hľadáte to zlé, určite to nájdete a nič dobré si nevšimnete. Preto, ak celý život budete čakať a pripravovať sa na najhoršie, určite sa to stane a nebudete sklamaní zo svojich obáv a obáv a budete pre ne nachádzať stále viac a viac potvrdení. Ale ak dúfate a pripravíte sa na to najlepšie, nepritiahnete do svojho života zlé veci, ale jednoducho riskujete, že budete niekedy sklamaní - život je nemožný bez sklamaní.

Očakávate to najhoršie, dostanete to, prídete o všetky dobré veci v živote, ktoré v ňom skutočne existujú. A naopak, môžete získať takú silu, vďaka ktorej v každej stresujúcej, kritickej situácii v živote uvidíte jej pozitívne stránky.

Ako často z hlúposti alebo lenivosti ľuďom chýba šťastie.

Mnohí sú zvyknutí existovať tak, že život odkladajú na zajtra. Myslia na najbližšie roky, kedy budú tvoriť, tvoriť, robiť, učiť sa. Myslia si, že majú ešte veľa času. Toto je najväčšia chyba, ktorú môžete urobiť. V skutočnosti máme veľmi málo času.

Spomeňte si na ten pocit, ktorý máte, keď urobíte prvý krok, bez ohľadu na to, ako to dopadne, v každom prípade to bude oveľa lepšie, ako ten pocit, ktorý budete mať len pokojne sedieť. Tak vstaň a rob niečo. Urobte prvý krok – len malý krok vpred.

Na okolnostiach nezáleží. Diamant hodený do špiny neprestáva byť diamantom. Srdce naplnené krásou a veľkosťou je schopné prežiť hlad, chlad, zradu a všetky druhy strát, ale zostať samo sebou, zostať milujúce a usilujúce sa o veľké ideály. Neverte okolnostiam. Ver vo svoj sen.

Buddha opísal tri druhy lenivosti. Prvým je lenivosť, o ktorej všetci vieme. Keď nemáme chuť nič robiť.Druhou je lenivosť, nesprávny pocit seba samého – lenivosť myslenia. "Nikdy v živote nič neurobím," "Nič nedokážem, nestojí to za to, aby som sa o to pokúšal." Tretím je neustále zaujatie nedôležitými záležitosťami. Vždy máme možnosť vyplniť vákuum nášho času tým, že sa necháme „zaneprázdniť“. Ale zvyčajne je to len spôsob, ako sa vyhnúť stretnutiu so sebou samým.

Bez ohľadu na to, aké krásne sú vaše slová, budete súdení podľa svojich činov.

Nezaoberaj sa minulosťou, už tam nebudeš.

Nechajte svoje telo v pohybe, myseľ v pokoji a dušu priehľadnú ako horské jazero.

Kto nemyslí pozitívne, je znechutený životom.

Šťastie nepríde do domu, kde kňučia deň čo deň.

Niekedy si jednoducho potrebujete oddýchnuť a pripomenúť si, kto ste a kým chcete byť.

Hlavná vec v živote je naučiť sa premeniť všetky zvraty osudu na cikcaky šťastia.

Nedovoľte, aby z vás vyšlo niečo, čo by mohlo ublížiť iným. Nepúšťajte do seba nič, čo by vám mohlo ublížiť.

Z každej ťažkej situácie sa hneď dostanete, ak si len spomeniete, že nežijete telom, ale dušou, a spomeniete si, že máte v sebe niečo, čo je silnejšie než čokoľvek na svete. Lev Tolstoj

Stavy o živote. Múdre výroky.

Buďte úprimní, aj keď ste sami so sebou. Úprimnosť robí človeka celistvým. Keď človek myslí, hovorí a robí to isté, jeho sila sa strojnásobí.

Hlavná vec v živote je nájsť seba, svoje a svoje.

V kom niet pravdy, je málo dobra.

V mladosti hľadáme krásne telo, rokmi hľadáme svoju spriaznenú dušu. Vadim Zéland

Dôležité je, čo človek robí, nie to, čo robiť chcel. William James

Všetko v tomto živote sa vracia ako bumerang, o tom niet pochýb.

Všetky prekážky a ťažkosti sú kroky, po ktorých rastieme.

Každý vie milovať, pretože tento dar dostáva už pri narodení.

Všetko, čomu venujete pozornosť, rastie.

Všetko, čo si človek myslí, že hovorí o druhých, v skutočnosti hovorí o sebe.

Keď dvakrát vstúpiš do tej istej vody, nezabudni, čo spôsobilo tvoj prvý odchod.

Myslíte si, že toto je len ďalší deň vo vašom živote. Toto nie je len ďalší deň, je to jediný deň, ktorý je vám dnes daný.

Vystúpte z obežnej dráhy času a vstúpte na obežnú dráhu lásky. Hugo Winkler

Aj nedokonalosti sa môžu páčiť, ak sa v nich prejavuje duša.

Aj inteligentný človek sa stane hlúpym, ak sa sám nezlepší.

Daj nám silu utešovať a nenechať sa utešovať; rozumieť, nebyť pochopený; milovať, nebyť milovaný. Lebo keď dávame, dostávame. A odpustením získavame odpustenie pre seba.

Keď sa pohybujete po ceste života, sami si vytvárate svoj vesmír.

Motto dňa: Darí sa mi, ale bude ešte lepšie! D Juliana Wilsonová

Na svete nie je nič vzácnejšie ako vaša duša. Daniel Shellabarger

Ak je vo vnútri agresia, život na vás „zaútočí“.

Ak máte chuť bojovať vo vnútri, získate súperov.

Ak ste vnútorne urazení, život vám dá dôvody, aby ste sa urazili ešte viac.

Ak máte vo vnútri strach, život vás vystraší.

Ak sa vo vnútri cítite vinní, život si nájde spôsob, ako vás „potrestať“.

Ak sa cítim zle, potom to nie je dôvod spôsobovať utrpenie iným.

Ak by ste niekedy chceli nájsť človeka, ktorý dokáže prekonať akúkoľvek, aj tú najťažšiu nepriazeň a urobiť vás šťastnými, keď to nikto iný nedokáže, stačí sa pozrieť do zrkadla a povedať „Ahoj“.

Ak sa vám niečo nepáči, zmeňte to. Ak nemáte dostatok času, prestaňte čumieť do televízora.

Ak hľadáte Lásku svojho života, zastavte sa. Ona si ťa nájde, keď budeš robiť len to, čo miluješ. Otvorte svoju hlavu, ruky a srdce niečomu novému. Nebojte sa opýtať. A nebojte sa odpovedať. Nebojte sa podeliť o svoj sen. Veľa príležitostí sa objaví len raz. Život je o ľuďoch na vašej ceste a o tom, čo s nimi vytvoríte. Začnite teda tvoriť. Život je veľmi rýchly. Je čas začať.

Ak idete správnym smerom, pocítite to vo svojom srdci.

Ak niekomu zapálite sviečku, osvetlí aj vašu cestu.

Ak chcete, aby boli okolo vás dobrí, milí ľudia, snažte sa k nim správať pozorne, láskavo, zdvorilo – uvidíte, že všetci budú lepší. Všetko v živote závisí od vás, verte mi.

Keď človek chce, postaví horu na horu

Život je večný pohyb, neustála obnova a vývoj, z generácie na generáciu, od detstva k múdrosti, pohyb mysle a vedomia.

Život ťa vidí zvnútra takého, aký si.

Človek, ktorý zlyhá, sa často dozvie viac o tom, ako vyhrať, ako ten, kto uspeje okamžite.

Hnev je najzbytočnejšia z emócií. Ničí mozog a poškodzuje srdce.

Nepoznám takmer žiadnych zlých ľudí. Jedného dňa som stretol jedného, ​​ktorého som sa bál a myslel som si, že je zlý; ale keď som sa naňho pozrel bližšie, bol len nešťastný.

A to všetko s jediným cieľom ukázať vám, čo ste, čo nosíte vo svojej duši.

Zakaždým, keď chcete reagovať rovnako starým spôsobom, položte si otázku, či chcete byť väzňom minulosti alebo priekopníkom budúcnosti.

Každý je hviezda a zaslúži si právo žiariť.

Nech je váš problém akýkoľvek, jeho príčina spočíva vo vašom spôsobe myslenia a každý vzorec sa dá zmeniť.

Keď nevieš, čo máš robiť, správaj sa ako človek.

Akákoľvek ťažkosť dáva múdrosť.

Akýkoľvek typ vzťahu je ako piesok, ktorý držíte v ruke. Držte ho voľne, v otvorenej ruke a piesok v ňom zostáva. V momente, keď pevne stlačíte ruku, sa vám cez prsty začne sypať piesok. Týmto spôsobom môžete zadržať trochu piesku, ale väčšina sa vysype. Vo vzťahoch je to presne to isté. Zaobchádzajte s druhou osobou a jej slobodou opatrne a s úctou a zostaňte blízko. Ale ak sa budete stláčať príliš pevne a s tvrdením, že máte inú osobu, vzťah sa zhorší a rozpadne.

Meradlom duševného zdravia je ochota nájsť vo všetkom dobro.

Svet je plný indícií, dávajte pozor na znamenia.

Jediné, čomu nerozumiem, je, ako sa mi, ako nám všetkým, darí napĺňať naše životy toľkými odpadkami, pochybnosťami, ľútosťou, minulosťou, ktorá už neexistuje a budúcnosťou, ktorá sa ešte nestala, strachmi, ktoré pravdepodobne sa nikdy nesplní, ak je všetko také jednoduché.

Veľa hovoriť a veľa povedať nie je to isté.

Nevidíme všetko také, aké je – vidíme všetko také, aké sme.

Myslite pozitívne, ak to nefunguje pozitívne, nie je to myšlienka. Marilyn Monroe

Nájdite tichý pokoj vo svojej hlave a lásku vo svojom srdci. A nech sa okolo vás deje čokoľvek, nedovoľte, aby tieto dve veci niečo zmenilo.

Nie všetky vedú k pozitívnym zmenám v našich životoch, no určite nemôžeme dosiahnuť šťastie bez toho, aby sme niečo urobili.

Nedovoľte, aby hluk názorov iných ľudí prehlušil váš vnútorný hlas. Majte odvahu nasledovať svoje srdce a intuíciu.

Nepremieňajte svoju knihu života na nárek.

Neponáhľajte sa zahnať chvíle osamelosti. Možno je to najväčší dar Vesmíru - ochrániť vás na chvíľu pred všetkým nepotrebným, aby ste sa mohli stať sami sebou.

Neviditeľná červená niť spája tých, ktorí sú predurčení stretnúť sa, napriek času, miestu a okolnostiam. Niť sa môže natiahnuť alebo zamotať, ale nikdy sa nepretrhne.

Nemôžete rozdávať to, čo nemáte. Nemôžete urobiť druhých šťastnými, ak ste sami nešťastní.

Nemôžete poraziť niekoho, kto sa nevzdáva.

Žiadne ilúzie – žiadne sklamania. Musíte hladovať, aby ste si vážili jedlo, zažiť chlad, aby ste pochopili výhody tepla, a byť dieťaťom, aby ste videli hodnotu rodičov.

Musíte vedieť odpustiť. Mnoho ľudí verí, že odpustenie je znakom slabosti. Ale slová „Odpúšťam ti“ vôbec neznamenajú – „Som príliš mäkký človek, takže sa nemôžem uraziť a môžeš mi naďalej ničiť život, nepoviem ti ani slovo, “ znamenajú „Nedovolím, aby minulosť pokazila moju budúcnosť a prítomnosť, preto ti odpúšťam a zbavím sa všetkých krivd.

Výčitky sú ako kamene. Nehromadí ich v sebe. Inak spadnete pod ich váhu.

Jedného dňa na hodine sociálnych problémov náš profesor zobral čiernu knihu a povedal, že táto kniha je červená.

Jedným z hlavných dôvodov apatie je nedostatok zmyslu života. Keď nie je o čo sa snažiť, dôjde k zrúteniu, vedomie sa ponorí do ospalého stavu. Naopak, keď je túžba niečo dosiahnuť, aktivuje sa energia zámeru a zvyšuje sa vitalita. Na začiatok si môžete zobrať za cieľ seba – starať sa o seba. Čo vám môže priniesť sebaúctu a spokojnosť? Existuje mnoho spôsobov, ako sa zlepšiť. Môžete si stanoviť cieľ zlepšiť sa v jednom alebo viacerých aspektoch. Lepšie viete, čo prinesie uspokojenie. Potom sa objaví chuť do života a všetko ostatné pôjde automaticky.

Otočil knihu a jej zadný obal bol červený. A potom povedal: "Nehovorte niekomu, že sa mýli, kým sa na situáciu nepozriete z jeho pohľadu."

Pesimista je človek, ktorý sa sťažuje na hluk, keď mu šťastie zaklope na dvere. Petra Mamonova

Pravá spiritualita nie je vnucovaná – človek je ňou fascinovaný.

Pamätajte, že niekedy je ticho tou najlepšou odpoveďou na otázky.

Nie chudoba ani bohatstvo kazia ľudí, ale závisť a chamtivosť.

Správnosť zvolenej cesty závisí od toho, ako ste šťastní, keď po nej kráčate.

Motivačné citáty

Odpustenie nemení minulosť, ale oslobodzuje budúcnosť.

Reč človeka je zrkadlom jeho samého. Všetko, čo je falošné a klamlivé, bez ohľadu na to, ako sa to snažíme pred ostatnými skrývať, všetka prázdnota, bezcitnosť alebo hrubosť preráža v reči s rovnakou silou a samozrejmosťou, s akou sa prejavuje úprimnosť a vznešenosť, hĺbka a jemnosť myšlienok a citov. .

Najdôležitejšia je harmónia vo vašej duši, pretože tá je schopná vytvoriť šťastie z ničoho.

Slovo „nemožné“ blokuje váš potenciál, zatiaľ čo otázka „Ako to môžem urobiť?“ núti mozog pracovať naplno.

Slovo musí byť pravdivé, čin musí byť rozhodujúci.

Zmysel života je v sile túžby po cieli a je potrebné, aby každý okamih existencie mal svoj vysoký cieľ.

Ješitnosť nikdy nikoho nepriviedla k úspechu. Čím viac pokoja v duši, tým ľahšie a rýchlejšie sa vyriešia všetky problémy.

Je dosť svetla pre tých, ktorí chcú vidieť, a dosť tmy pre tých, ktorí nechcú.

Existuje jeden spôsob, ako sa učiť - skutočným konaním. Prázdne reči sú zbytočné.

Šťastie nie je oblečenie, ktoré sa dá kúpiť v obchode alebo ušiť v ateliéri.

Šťastie je vnútorná harmónia. Dosiahnuť to zvonku je nemožné. Iba zvnútra.

Tmavé mraky sa premenia na nebeské kvety, keď ich pobozká svetlo.

To, čo hovoríte o druhých, necharakterizuje ich, ale vás.

To, čo v človeku je, je nepochybne dôležitejšie ako to, čo človek má.

Kto vie byť nežný, má veľkú vnútornú silu.

Môžete slobodne robiť, čo chcete – len nezabudnite na následky.

Podarí sa mu to,“ povedal Boh ticho.

Nemá šancu - okolnosti nahlas vyhlásili. William Edward Hartpole Leckie

Ak chcete žiť v tomto svete, žite a radujte sa a nechodte s nespokojnou tvárou, že svet je nedokonalý. Vy tvoríte svet – vo svojej hlave.

Človek môže robiť čokoľvek. Len jeho väčšinou brzdí lenivosť, strach a nízke sebavedomie.

Človek je schopný zmeniť svoj život len ​​zmenou uhla pohľadu.

Čo urobí múdry človek na začiatku, to urobí blázon na konci.

Aby ste boli šťastní, musíte sa zbaviť všetkého nepotrebného. Od nepotrebných vecí, zbytočného rozruchu a hlavne – od zbytočných myšlienok.

Nie som telo obdarené dušou, som duša, ktorej časť je viditeľná a volá sa telo.

Vyhlásenia o odmietnutí

Medzi negačnými výrokmi sa rozlišujú výroky s vonkajšou a vnútornou negáciou. V závislosti od cieľov štúdie možno vyhlásenie o odmietnutí považovať za jednoduché alebo zložité vyhlásenie.

Pri posudzovaní výroku o negácii ako jednoduchého výroku je dôležitou úlohou určiť správnu logickú formu výroku:

Jednoduchý výrok obsahujúci vnútornú negáciu sa zvyčajne klasifikuje ako negatívny výrok (pozri „Typy atribútov podľa kvality“). Napríklad: " Niektorí obyvatelia Bieloruskej republiky nevyužívajú bankové pôžičky“, „Ani jeden zajac nie je predátor“;

Správna logická forma jednoduchého výroku s vonkajšou negáciou je výrok, ktorý je s daným výrokom v rozpore (pozri „Logické vzťahy medzi výrokmi. Logický štvorec“). Napríklad: vyhlásenie "Nie všetci ľudia sú chamtiví" zodpovedá tvrdeniu „Niektorí ľudia nie sú chamtiví».

Vzhľadom na to, že výrok o negácii je komplexný výrok, je potrebné určiť jeho logický význam.

Pôvodné vyhlásenie: Slnko svieti(R).

Vyhlásenie o negácii: Slnko nesvieti(┐р).

Dvojité negatívne vyhlásenie: Nie je pravda, že slnko nesvieti(┐┐r).

R	┐р	┐┐r
A	L	A
L	A	L
Ryža. 16

Negačný výrok je pravdivý iba vtedy, ak je pôvodný výrok nepravdivý a naopak. S výrokom o negácii sa spája zákon dvojitej negácie: dvojitá negácia ľubovoľného výroku je ekvivalentná tomuto výroku samotnému. Pravdivé podmienky pre tvrdenie negácie sú znázornené na obr. 16.

Ťažké sa považuje výrok pozostávajúci z niekoľkých jednoduchých výrokov spojených pomocou logických spojok „a“, „alebo“, „ak..., potom...“ atď. Zložité výroky zahŕňajú spojovacie, oddeľovacie, podmieňovacie, ekvivalentné výroky, ako aj napr. odmietnutie vyhlásení.

Spojovacie vyhlásenie (spojka) je komplexný výrok pozostávajúci z jednoduchých výrokov spojených pomocou logického spojenia „a“. Logická spojka „a“ (spojka) môže byť vyjadrená v prirodzenom jazyku gramatickými spojkami „a“, „ale“, „avšak“, „a tiež“ atď. "Oblaky sa nahrnuli a začalo pršať", "Veľkí aj malí sa tešia z dobrého dňa". V symbolickom jazyku logiky sú tieto výroky napísané takto: p∧q. Spojka je pravdivá iba vtedy, ak sú pravdivé všetky jej jednoduché výroky (obr. 17).

Deliaci výrok (disjunkcia). Existujú slabé a silné disjunkcie. Slabá disjunkcia korešponduje s použitím spojky „alebo“ v spojkovo-disjunktívnom význame (buď jedno alebo druhé, alebo oboje spolu). Napríklad: "Tento študent je športovec alebo vynikajúci študent." (p⋁q), „Príčinou väčšiny chorôb sú dedičné faktory, zlé životné prostredie a zlé návyky“(p⋁q⋁r). Slabá disjunkcia je pravdivá, ak je pravdivé aspoň jedno z jednoduchých tvrdení zahrnutých v jej zložení (pozri obr. 17).

Silná disjunkcia zodpovedá použitiu spojky „alebo“ vo výlučno-rozdeľujúcom význame (buď jedno alebo druhé, ale nie obidve). Napríklad: „Večer budem v triede alebo pôjdem na diskotéku“, „Človek je živý alebo mŕtvy“. Symbolický zápis p⊻q. Silná disjunkcia je pravdivá, keď je pravdivé iba jedno z jednoduchých tvrdení zahrnutých v jej zložení (pozri obr. 17).

Podmienečné vyhlásenie (implicita) je zložitý výrok pozostávajúci z dvoch častí spojených pomocou logickej spojky „ak..., tak...“. Výrok, ktorý nasleduje po častici „ak“ sa nazýva základ a výrok, ktorý nasleduje po „potom“, sa nazýva dôsledok. Pri logickej analýze podmienených príkazov je základ implikácie vždy na prvom mieste. V prirodzenom jazyku sa toto pravidlo často nedodržiava. Príklad podmieneného príkazu: "Ak lastovičky lietajú nízko, bude pršať" (p→q). Implikácia je nepravdivá iba v jednom prípade, keď jej základ je pravdivý a jej dôsledok nepravdivý (pozri obr. 17).

Ekvivalentné vyhlásenie je výrok pozostávajúci z jednoduchých slov spojených pomocou logickej spojky „ak a len vtedy, ak“ („ak a len ak..., potom...). Ekvivalentné vyhlásenie znamená súčasnú prítomnosť alebo neprítomnosť dvoch situácií. V prirodzenom jazyku môže byť ekvivalencia vyjadrená gramatickými spojkami „ak..., potom...“, „iba ak...“ atď. Napríklad: „Náš tím vyhrá, len ak sa dobre pripraví» ( p↔q). Ekvivalentné tvrdenie bude pravdivé, keď jeho jednotlivé tvrdenia sú buď súčasne pravdivé alebo súčasne nepravdivé (pozri obr. 17).

Na formalizáciu odôvodnenia je potrebné:

1) nájdite a označte jednoduché výroky, ktoré sú súčasťou zložitého výroku pomocou malých spoluhláskových písmen latinskej abecedy. Premenné sa priraďujú ľubovoľne, ale ak sa rovnaký jednoduchý príkaz vyskytne niekoľkokrát, potom sa zodpovedajúca premenná použije rovnako často;

2) nájsť a označiť logické spojky (∧, ⋁, ⊻, →. ↔, ┐) pomocou logických konštánt;

3) v prípade potreby umiestniť technické značky [...], (...).

Na obr. Obrázok 18 ukazuje príklad formalizácie zložitého príkazu .

Už som voľný (p) a (∧), Ak ja nie bude zadržaný (┐q) alebo (⋁) nie auto sa pokazí (┐r), potom (→) prídem skoro (s) .

p ∧ ((┐q ⋁ ┐r) → s

Ryža. 18

Po zapísaní výroku v symbolickej forme je možné určiť typ vzorca. V logike existujú identicky pravdivé, identicky nepravdivé a neutrálne vzorce. Rovnaké pravdivé vzorce, bez ohľadu na hodnoty premenných, ktoré sú v nich zahrnuté, majú vždy hodnotu „pravda“ a identicky nepravdivé vzorce majú vždy hodnotu „nepravda“. Neutrálne vzorce akceptujú pravdivé aj nepravdivé hodnoty.

Na určenie typu vzorca sa používa tabuľková metóda, skrátená metóda kontroly pravdivosti vzorca metódou „redukcia do absurdity“ a redukcia vzorca do normálnej formy. Normálna forma vzorca je jeho výraz, ktorý spĺňa nasledujúce podmienky:

Neobsahuje znaky implikácie, ekvivalencie, prísnej disjunkcie a dvojitej negácie;

Negatívne znamienka sa nachádzajú len pre premenné.

Tabuľková metóda na určenie typu vzorca:

1. Vytvorte stĺpce vstupných hodnôt pre každú z dostupných premenných. Tieto stĺpce sa nazývajú voľné (nezávislé), berú do úvahy všetky možné kombinácie premenných hodnôt. Ak sú vo vzorci dve premenné, vytvoria sa dva voľné stĺpce, ak sú tri premenné, potom tri stĺpce atď.

2. Pre každý podvzorec, teda časť vzorca obsahujúcu aspoň jednu spojku, vytvorte stĺpec jeho hodnôt. V tomto prípade sa berú do úvahy hodnoty voľných stĺpcov a vlastnosti logického spojenia (pozri obr. 17).

3. Vytvorte stĺpec výstupných hodnôt pre celý vzorec ako celok. Na základe hodnôt získaných vo výstupnom stĺpci sa určí typ vzorca. Ak teda výstupný stĺpec obsahuje iba hodnotu „true“, vzorec bude rovnako pravdivý atď.

Tabuľka pravdy pre vzorec(p^q) → r
p	q	r	p^q	(p^q) → r
A	A	A	A	A
L	A	L	L	A
L	L	A	L	A
A	L	L	L	A
A	A	L	A	L
A	L	A	L	A
L	A	A	L	A
L	L	L	L	A
Ryža. 19

Počet stĺpcov v tabuľke sa rovná súčtu premenných zahrnutých vo vzorci a v ňom prítomných spojok. (Napríklad: vzorec na obr. 18 má štyri premenné a päť spojok, preto bude mať tabuľka deväť stĺpcov).

Počet riadkov v tabuľke sa vypočíta podľa vzorca С = 2n, Kde n– počet premenných. (Tabuľka podľa vzorca na obr. 18 by mala mať šestnásť riadkov.)

Na obr. Obrázok 19 ukazuje príklad pravdivostnej tabuľky.

Skrátený spôsob, ako otestovať vzorec na pravdu tým, že ho zredukujete na absurditu:

((p⋁q)⋁r)→(p⋁(q⋁r))

1. Predpokladajme, že tento vzorec neplatí rovnako. Preto sa pre určitý súbor hodnôt vyhodnotí ako „nepravda“.

2. Tento vzorec môže nadobudnúť hodnotu „nepravda“ iba vtedy, ak je základ implikácie (p⋁q)⋁r „pravda“ a dôsledok p⋁(q⋁r) je „nepravda“.

3. Implikácia p⋁(q⋁r) bude nepravdivá v prípade, keď p je „nepravda“ a q⋁r je „nepravda“ (pozri význam slabej disjunkcie na obr. 17).

4. Ak je q⋁r „nepravda“, potom q aj r sú „nepravda“.

5. Zistili sme, že p je „nepravda“, q je „nepravda“ a r je „nepravda“. Základom implikácie (p⋁q)⋁r je slabá disjunkcia týchto premenných. Keďže slabá disjunkcia nadobúda hodnotu „false“, keď sú všetky jej zložky nepravdivé, potom bude aj základ implikácie (p⋁q)⋁r „nepravda“.

6. V odseku 2 bolo stanovené, že základ implikácie (p⋁q)⋁r je „pravda“ a v odseku 5, že je „nepravda“. Vzniknutý rozpor naznačuje, že predpoklad, ktorý sme urobili v odseku 1, je chybný.

7. Keďže tento vzorec nemá hodnotu „false“ pre žiadnu množinu hodnôt svojich premenných, je rovnako pravdivý.

3.8. Logické vzťahy medzi výrokmi
(logický štvorec)

Medzi výrokmi, ktoré majú podobný význam, sa vytvárajú spojenia. Uvažujme o vzťahu medzi jednoduchými a zložitými tvrdeniami.

V logike je celý súbor výrokov rozdelený na porovnateľné a neporovnateľné. Medzi jednoduchými výrokmi sú neporovnateľné výroky, ktoré majú rôzne predmety alebo predikáty. Napríklad: „Všetci študenti sú vynikajúci študenti“ a „Niektorí študenti sú vynikajúci študenti“.

Porovnateľné výroky sú výroky s rovnakými predmetmi a predikátmi, ktoré sa líšia spojkou a kvantifikátorom. Napríklad: „Všetci občania Bieloruskej republiky majú právo na odpočinok“ a „Ani jeden občan Bieloruskej republiky nemá právo na odpočinok“.

Ryža. 20

Vzťahy medzi porovnateľnými tvrdeniami sú vyjadrené pomocou modelu tzv logický štvorec (obr. 20).

Medzi porovnateľnými tvrdeniami sa rozlišujú kompatibilné a nekompatibilné.

Vzťah kompatibility

1.Ekvivalencia (úplná kompatibilita)– výroky, ktoré majú rovnaké logické charakteristiky: rovnaké predmety a predikáty, rovnaký typ kladného alebo záporného spojovacieho prvku, rovnakú logickú charakteristiku. Ekvivalentné výroky sa líšia verbálnym vyjadrením tej istej myšlienky. Vzťahy medzi týmito tvrdeniami nie sú znázornené pomocou logického štvorca.

2. Čiastočná kompatibilita (sub-protiklad, sub-kontr). V tejto súvislosti existujú čiastočné kladné a čiastočné negatívne vyjadrenia (I a O). To znamená, že dve takéto tvrdenia môžu byť súčasne pravdivé, ale nemôžu byť zároveň nepravdivé. Ak je jeden z nich nepravdivý, potom druhý je nevyhnutne pravdivý. Ak je jedna z nich pravdivá, druhá je neistá.

3. Podriadenosť (podriadenosť). V tejto súvislosti existujú všeobecne kladné a konkrétne kladné výroky (A a I), ako aj všeobecne negatívne a konkrétne negatívne výroky (E a ​​O).

Pravdivosť konkrétneho tvrdenia vždy vyplýva z pravdivosti všeobecného tvrdenia. Kým pravdivosť konkrétneho tvrdenia naznačuje neistotu všeobecného tvrdenia.

Nepravdivosť konkrétneho tvrdenia vždy znamená nepravdivosť všeobecného tvrdenia, ale nie naopak.

Vzťah nekompatibility. Tvrdenia, ktoré nemôžu byť súčasne pravdivé, sú nezlučiteľné:

1. Protiklad (opozícia, protirečenie)– v tejto súvislosti existujú všeobecne kladné a všeobecne záporné výroky (A a E). Tento vzťah znamená, že dva takéto výroky nemôžu byť súčasne pravdivé, ale môžu byť zároveň nepravdivé. Ak je jeden z nich pravdivý, potom druhý je nevyhnutne nepravdivý. Ak je jeden z nich nepravdivý, potom druhý je neistý.

2.protirečenie (rozpor)– obsahuje všeobecné kladné a konkrétne záporné výroky (A a O), ako aj všeobecné záporné a osobitné kladné výroky (E a ​​I). Dve protichodné tvrdenia nemôžu byť zároveň nepravdivé aj pravdivé. Jedno je nevyhnutne pravdivé a druhé je nepravdivé.

Medzi komplexnými výrokmi sú porovnateľné výroky, ktoré majú aspoň jednu identickú zložku. Inak sú zložité výpovede neporovnateľné.

Porovnateľné komplexné vyhlásenia môžu byť kompatibilné alebo nekompatibilné.

Vzťah kompatibility znamená, že výroky môžu byť zároveň pravdivé:

2.Čiastočná kompatibilita znamená, že tvrdenia môžu byť súčasne pravdivé, ale nemôžu byť zároveň nepravdivé (obr. 22).

p	q	p→q	q→p
A	A	A	A
A	L	L	A
L	A	A	L
L	L	A	A
Ryža. 22

3.Vzťah nástupníctva (podriadenosti)) znamená, že pravdivosť jedného tvrdenia implikuje pravdivosť druhého, ale nie naopak (obr. 23).	p q r (p→q)∧(q→r) p↔r A A A A A A A L L L A L A L A L A A A A A L L L L L A L L A L L A A A L L L A A Ryža. 23
4. Spojkový pomer znamená, že pravdivosť (nepravdivosť) jedného tvrdenia nevylučuje nepravdivosť (pravdivosť) iného (obr. 24).	p q p→q ┐p→q A A A A A L L A L A A A L L A L Ryža. 24

Vzťah nekompatibility znamená, že tvrdenia nemôžu byť súčasne pravdivé:

2.Rozpor– vzťah medzi tvrdeniami, ktoré nemôžu byť súčasne pravdivé ani súčasne nepravdivé (obr. 26).

p	q	p→q	p∧┐q
A	A	A	L
A	L	L	A
L	A	A	L
L	L	A	L
Ryža. 26

Výroková logika , tiež nazývaná výroková logika, je odvetvie matematiky a logiky, ktoré študuje logické formy zložitých výrokov zostavených z jednoduchých alebo elementárnych výrokov pomocou logických operácií.

Výroková logika abstrahuje od obsahu výrokov a študuje ich pravdivostnú hodnotu, teda či je výrok pravdivý alebo nepravdivý.

Obrázok vyššie je ilustráciou javu známeho ako paradox klamárov. Zároveň sú podľa autora projektu takéto paradoxy možné len v prostrediach, ktoré nie sú zbavené politických problémov, kde môže byť niekto a priori označený za klamára. V prirodzenom mnohovrstvovom svete predmetom „pravda“ alebo „nepravda“ sa hodnotia len jednotlivé výroky . A neskôr v tejto lekcii vám bude predstavený príležitosť zhodnotiť mnohé vyhlásenia na túto tému pre seba (a potom sa pozrite na správne odpovede). Vrátane zložitých príkazov, v ktorých sú jednoduchšie prepojené znakmi logických operácií. Najprv sa však pozrime na tieto operácie na samotných vyhláseniach.

Výroková logika sa používa v informatike a programovaní vo forme deklarovania logických premenných a priraďovania im logických hodnôt „false“ alebo „true“, od ktorých závisí priebeh ďalšieho vykonávania programu. V malých programoch, kde je zahrnutá iba jedna boolovská premenná, sa boolovská premenná často nazýva „príznak“ a význam je „príznak je hore“, keď je hodnota premennej „pravda“ a „príznak je dole.“ , keď hodnota tejto premennej je "false". Vo veľkých programoch, v ktorých existuje niekoľko alebo dokonca veľa logických premenných, sa od profesionálov vyžaduje, aby prišli s názvami pre logické premenné, ktoré majú formu príkazov a sémantický význam, ktorý ich odlišuje od iných logických premenných a je zrozumiteľný pre iných odborníkov, ktorí prečíta text tohto programu.

Logická premenná s názvom „UserRegistered“ (alebo jej analóg v anglickom jazyku) môže byť teda deklarovaná vo forme príkazu, ktorému možno priradiť logickú hodnotu „true“, ak sú splnené podmienky, že registračné údaje boli odoslané. používateľom a tieto údaje sú programom uznané ako platné. Pri ďalších výpočtoch sa hodnoty premenných môžu meniť v závislosti od logickej hodnoty (pravda alebo nepravda) premennej UserRegistered. V iných prípadoch možno premennej, napríklad s názvom „Viac ako tri dni do konca dňa“, priradiť pred určitým blokom výpočtov hodnotu „True“ a pri ďalšom vykonávaní programu túto hodnotu uložené alebo zmenené na „false“ a postup ďalšieho vykonávania závisí od hodnoty tejto premennej programy.

Ak program používa niekoľko logických premenných, ktorých názvy majú formu príkazov a z nich sú zostavené zložitejšie príkazy, potom je vývoj programu oveľa jednoduchší, ak si pred jeho vývojom zapíšeme všetky operácie z príkazov. vo forme vzorcov používaných v logike príkazov, ako to robíme počas Táto lekcia je to, čo budeme robiť.

Logické operácie s výpismi

V prípade matematických výrokov je vždy možné vybrať si medzi dvoma rôznymi alternatívami, „pravda“ a „nepravda“, ale v prípade výrokov vo „verbálnom“ jazyku sú pojmy „pravda“ a „nepravda“ o niečo nejasnejšie. Avšak napríklad verbálne tvary ako „Choď domov“ a „Prší?“ nie sú výroky. Preto je jasné, že výroky sú slovesné tvary, v ktorých sa niečo uvádza . Opytovacie alebo zvolacie vety, odvolania, ako aj želania či požiadavky nie sú výrokmi. Nedajú sa vyhodnotiť hodnotami „true“ a „false“.

Naopak, tvrdenia možno považovať za veličiny, ktoré môžu mať dva významy: „pravda“ a „nepravda“.

Vydávajú sa napríklad tieto rozsudky: „pes je zviera“, „Paríž je hlavné mesto Talianska“, „3

Prvý z týchto výrokov možno hodnotiť symbolom „pravda“, druhý „nepravda“, tretí „pravda“ a štvrtý „nepravda“. Tento výklad výrokov je predmetom výrokovej algebry. Výroky budeme označovať veľkými písmenami A, B, ..., a ich významy, teda pravdivé a nepravdivé, resp A A L. V bežnej reči sa používajú spojenia medzi výrokmi „a“, „alebo“ a inými.

Tieto spojenia umožňujú vzájomným spojením rôznych výrokov vytvárať nové výroky - zložité výpovede . Napríklad spojovacie „a“. Nech sú uvedené vyhlásenia: " π viac ako 3" a vyhlásenie " π menej ako 4". Môžete zorganizovať nový - komplexný výpis " π viac ako 3 a π menej ako 4". Výrok „ak π potom iracionálne π ² je tiež iracionálne" získame spojením dvoch výrokov so spojkou „ak – potom". Nakoniec môžeme z akéhokoľvek výroku získať nový – komplexný výrok – popretím pôvodného výroku.

Považovanie výrokov za veličiny, ktoré nadobúdajú význam A A L, budeme ďalej definovať logické operácie s príkazmi , ktoré nám umožňujú z týchto výpisov získať nové komplexné výpisy.

Uveďme dve ľubovoľné tvrdenia A A B.

1 . Prvá logická operácia na týchto výrokoch – spojka – predstavuje utvorenie nového výroku, ktorý budeme označovať A ∧ B a čo je pravda vtedy a len vtedy A A B sú pravdivé. V bežnej reči táto operácia zodpovedá spojeniu výrokov so spojovacím „a“.

Tabuľka pravdy pre spojenie:

A	B	A ∧ B
A	A	A
A	L	L
L	A	L
L	L	L

2 . Druhá logická operácia s príkazmi A A B- disjunkcia vyjadrená ako A ∨ B, je definovaný takto: je pravdivý vtedy a len vtedy, ak je pravdivé aspoň jedno z pôvodných tvrdení. V bežnej reči táto operácia zodpovedá spájaniu výrokov so spojovacím „alebo“. Máme tu však nedeliace „alebo“, ktoré sa chápe v zmysle „buď alebo“, keď A A B oboje nemôže byť pravda. Pri definovaní výrokovej logiky A ∨ B true both, ak je pravdivé iba jedno z tvrdení, a ak sú pravdivé obe tvrdenia A A B.

Tabuľka pravdy pre disjunkciu:

A	B	A ∨ B
A	A	A
A	L	A
L	A	A
L	L	L

3 . Tretia logická operácia s príkazmi A A B, vyjadrené ako A → B; takto získaný výrok je nepravdivý vtedy a len vtedy A pravda, ale B falošný. A volal balíkom , B - dôsledkom a vyhlásenie A → B - nasledujúce , nazývaný aj implikácia. V bežnej reči táto operácia zodpovedá spojke „ak-potom“: „ak A, To B Ale v definícii výrokovej logiky je tento výrok vždy pravdivý bez ohľadu na to, či je výrok pravdivý alebo nepravdivý B. Túto okolnosť možno stručne sformulovať takto: „z nepravdy všetko vyplýva“. Na druhej strane, ak A pravda, ale B je nepravdivé, potom celé vyhlásenie A → B falošný. Bude to pravda vtedy a len vtedy A, A B sú pravdivé. Stručne to možno formulovať takto: „z pravdy nemôže vyplynúť nepravda“.

Pravdivostná tabuľka, ktorú treba nasledovať (implikácia):

A	B	A → B
A	A	A
A	L	L
L	A	A
L	L	A

4 . Štvrtá logická operácia s výrokmi, presnejšie s jedným výrokom, sa nazýva negácia výroku A a označuje sa ~ A(môžete tiež nájsť použitie nie symbolu ~, ale symbolu ¬, ako aj podčiarknutia vyššie A). ~ A existuje vyhlásenie, ktoré je nepravdivé, keď A pravda a pravda kedy A falošný.

Tabuľka pravdy pre negáciu:

A	~ A
L	A
A	L

5 . A nakoniec, piata logická operácia s výrokmi sa nazýva ekvivalencia a označuje sa A ↔ B. Výsledné vyhlásenie A ↔ B výrok je pravdivý vtedy a len vtedy A A B obe sú pravdivé alebo obe nepravdivé.

Pravdivá tabuľka pre ekvivalenciu:

A	B	A → B	B → A	A ↔ B
A	A	A	A	A
A	L	L	A	L
L	A	A	L	L
L	L	A	A	A

Väčšina programovacích jazykov má špeciálne symboly na označenie logického významu výrokov; sú napísané takmer vo všetkých jazykoch ako pravdivé a nepravdivé.

Zhrňme si vyššie uvedené. Výroková logika študuje súvislosti, ktoré sú úplne určené spôsobom, akým sú niektoré výroky zostavené z iných, nazývané elementárne. V tomto prípade sa elementárne výroky považujú za celky a nemožno ich rozložiť na časti.

Systematizujme v tabuľke nižšie názvy, zápisy a význam logických operácií s výrokmi (čoskoro ich budeme opäť potrebovať na riešenie príkladov).

Bundle	Označenie	Názov operácie
nie		negácia
A		konjunkcia
alebo		disjunkcia
Ak potom...		implikácia
vtedy a len vtedy		rovnocennosť

Platí pre logické operácie zákony logiky algebry, ktorý možno použiť na zjednodušenie boolovských výrazov. Treba poznamenať, že vo výrokovej logike sa abstrahuje od sémantického obsahu výroku a obmedzuje sa na jeho uvažovanie z pozície, že je buď pravdivý alebo nepravdivý.

Príklad 1

1) (2 = 2) A (7 = 7);

2) nie(15;

3) ("borovica" = "dub") ALEBO ("čerešňa" = "javor");

4) Nie("Borovica" = "Dub") ;

5) (nie (15 20);

6) („Oči sú dané, aby videli“) A („Pod tretím poschodím je druhé poschodie“);

7) (6/2 = 3) ALEBO (7 x 5 = 20).

1) Význam výroku v prvých zátvorkách je „pravda“, význam výrazu v druhých zátvorkách je tiež pravdivý. Oba výroky sú spojené logickou operáciou „AND“ (pozri pravidlá pre túto operáciu vyššie), preto je logická hodnota celého tohto príkazu „true“.

2) Význam tvrdenia v zátvorkách je „nepravda“. Pred týmto výrokom je logická operácia negácie, preto je logický význam celého tohto výroku „pravda“.

3) Význam výroku v prvých zátvorkách je „nepravda“, význam výroku v druhých zátvorkách je tiež „nepravda“. Príkazy sú spojené logickou operáciou „ALEBO“ a žiadny z príkazov nemá hodnotu „true“. Preto je logický význam celého tohto tvrdenia „nepravdivý“.

4) Význam tvrdenia v zátvorkách je „nepravda“. Tomuto tvrdeniu predchádza logická operácia negácie. Preto je logický význam celého tohto tvrdenia „pravda“.

5) Výrok vo vnútorných zátvorkách je negovaný v prvých zátvorkách. Tento výrok vo vnútorných zátvorkách má význam „nepravda“, preto jeho negácia bude mať logický význam „pravda“. Vyhlásenie v druhej zátvorke znamená „nepravda“. Tieto dva výroky sú spojené logickou operáciou „AND“, teda získame „pravda A nepravda“. Preto je logický význam celého tohto tvrdenia „nepravdivý“.

6) Význam tvrdenia v prvej zátvorke je „pravda“, význam tvrdenia v druhej zátvorke je tiež „pravda“. Tieto dva výroky sú spojené logickou operáciou „AND“, teda získame „pravdu AND pravda“. Preto je logický význam celého daného tvrdenia „pravda“.

7) Význam tvrdenia v prvých zátvorkách je „pravda“. Význam výroku v druhej zátvorke je „nepravda“. Tieto dva výroky spája logická operácia „ALEBO“, teda „pravda ALEBO nepravda“. Preto je logický význam celého daného tvrdenia „pravda“.

Príklad 2 Napíšte nasledujúce zložité príkazy pomocou logických operácií:

1) „Používateľ nie je registrovaný“;

2) „Dnes je nedeľa a niektorí zamestnanci sú v práci“;

3) „Používateľ je zaregistrovaný vtedy a len vtedy, ak sa údaje poskytnuté používateľom považujú za platné.“

1) p- jeden príkaz „Používateľ je zaregistrovaný“, logická operácia: ;

2) p- jediný výrok „Dnes je nedeľa“, q- "Niektorí zamestnanci sú v práci", logická operácia: ;

3) p- jediné vyhlásenie „Používateľ je zaregistrovaný“, q- „Údaje odoslané používateľom boli platné“, logická operácia: .

Vyriešte si príklady výrokovej logiky sami a potom sa pozrite na riešenia

Príklad 3 Vypočítajte logické hodnoty nasledujúcich príkazov:

1) („Minúta má 70 sekúnd“) ALEBO („Hodiny ukazujú čas“);

2) (28 > 7) A (300/5 = 60);

3) („TV je elektrický spotrebič“) A („Sklo je drevo“);

4) Nie((300 > 100) ALEBO ("Smäd môžeš uhasiť vodou"));

5) (75 < 81) → (88 = 88) .

Príklad 4. Zapíšte si nasledujúce zložité príkazy pomocou logických operácií a vypočítajte ich logické hodnoty:

1) „Ak hodiny ukazujú nesprávne čas, môžete prísť do triedy v nesprávny čas“;

2) „V zrkadle môžete vidieť svoj odraz a Paríž, hlavné mesto USA“;

Príklad 5. Určite boolovskú hodnotu výrazu

(p → q) ↔ (r → s) ,

p = "278 > 5" ,

q= "Apple = Orange",

p = "0 = 9" ,

s= "Klobúk zakrýva hlavu".

Výrokové logické vzorce

Pojem logická forma komplexného výroku sa objasňuje pomocou pojmu výrokové logické vzorce .

V príkladoch 1 a 2 sme sa naučili písať zložité príkazy pomocou logických operácií. V skutočnosti sa nazývajú výrokové logické vzorce.

Na označenie výrokov, ako v spomínanom príklade, budeme naďalej používať písmená

p, q, r, ..., p 1 , q 1 , r 1 , ...

Tieto písmená budú hrať úlohu premenných, ktoré majú pravdivé hodnoty „pravda“ a „nepravda“ ako hodnoty. Tieto premenné sa tiež nazývajú výrokové premenné. Budeme ich ďalej volať elementárne vzorce alebo atómov .

Na zostavenie výrokových logických vzorcov sa okrem vyššie uvedených písmen používajú aj znaky logických operácií

~, ∧, ∨, →, ↔,

ako aj symboly, ktoré poskytujú možnosť jednoznačného čítania vzorcov – ľavá a pravá zátvorka.

koncepcia výrokové logické vzorce definujme to takto:

1) elementárne formuly (atómy) sú formule výrokovej logiky;

2) ak A A B- výrokové logické vzorce, potom ~ A , (A ∧ B) , (A ∨ B) , (A → B) , (A ↔ B) sú tiež formuly výrokovej logiky;

3) výrokovými logickými vzorcami sú iba tie výrazy, pre ktoré to vyplýva z 1) a 2).

Definícia výrokovej logickej formuly obsahuje zoznam pravidiel pre tvorbu týchto vzorcov. Podľa definície je každý výrokový logický vzorec buď atómom, alebo je vytvorený z atómov v dôsledku dôslednej aplikácie pravidla 2).

Príklad 6. Nechaj p- jediný výrok (atóm) „Všetky racionálne čísla sú reálne“, q- "Niektoré reálne čísla sú racionálne čísla" r- "niektoré racionálne čísla sú skutočné." Preložte nasledujúce vzorce výrokovej logiky do podoby slovných výrokov:

6) .

1) „neexistujú žiadne reálne čísla, ktoré by boli racionálne“;

2) „ak nie všetky racionálne čísla sú reálne, potom neexistujú žiadne racionálne čísla, ktoré sú reálne“;

3) „ak sú všetky racionálne čísla reálne, potom niektoré reálne čísla sú racionálne čísla a niektoré racionálne čísla sú reálne“;

4) „všetky reálne čísla sú racionálne čísla a niektoré reálne čísla sú racionálne čísla a niektoré racionálne čísla sú reálne čísla“;

5) „všetky racionálne čísla sú reálne vtedy a len vtedy, ak nie všetky racionálne čísla sú reálne“;

6) „Nie je to tak, že nie všetky racionálne čísla sú reálne a neexistujú žiadne reálne čísla, ktoré sú racionálne, alebo neexistujú žiadne racionálne čísla, ktoré sú reálne“.

Príklad 7. Vytvorte pravdivostnú tabuľku pre výrokový logický vzorec , ktoré je možné v tabuľke označiť f .

Riešenie. Začneme zostavovať pravdivostnú tabuľku zaznamenaním hodnôt („pravda“ alebo „nepravda“) pre jednotlivé výroky (atómy) p , q A r. Všetky možné hodnoty sú zapísané v ôsmich riadkoch tabuľky. Ďalej, pri určovaní hodnôt operácie implikácie a posúvaní sa v tabuľke doprava si pamätáme, že hodnota sa rovná „false“, keď „false“ vyplýva z „pravda“.

p	q	r					f
A	A	A	A	A	A	A	A
A	A	L	A	A	A	L	A
A	L	A	A	L	L	L	L
A	L	L	A	L	L	A	A
L	A	A	L	A	L	A	A
L	A	L	L	A	L	A	L
L	L	A	A	A	A	A	A
L	L	L	A	A	A	L	A

Všimnite si, že žiadny atóm nemá tvar ~ A , (A ∧ B) , (A ∨ B) , (A → B) , (A ↔ B). Komplexné vzorce majú tento typ.

Počet zátvoriek vo výrokových logických vzorcoch sa môže znížiť, ak to prijmeme

1) v zložitom vzorci vynecháme vonkajšiu dvojicu zátvoriek;

2) usporiadajme znaky logických operácií „v poradí priority“:

↔, →, ∨, ∧, ~ .

V tomto zozname má znak ↔ najväčší rozsah a znak ~ najmenší. Rozsah prevádzkového znaku sa vzťahuje na tie časti vzorca výrokovej logiky, na ktoré sa vzťahuje výskyt tohto znaku (na ktoré pôsobí). Preto je možné v akomkoľvek vzorci vynechať tie dvojice zátvoriek, ktoré možno obnoviť, berúc do úvahy „poradie“. A pri obnove zátvoriek sa najprv umiestnia všetky zátvorky súvisiace so všetkými výskytmi znamienka ~ (presunieme sa zľava doprava), potom ku všetkým výskytom znamienka ∧ atď.

Príklad 8. Obnovte zátvorky vo výrokovej logike B ↔ ~ C ∨ D ∧ A .

Riešenie. Zátvorky sa obnovujú krok za krokom takto:

B ↔ (~ C) ∨ D ∧ A

B ↔ (~ C) ∨ (D ∧ A)

B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ A))

(B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ A)))

Nie každý výrokový logický vzorec sa dá napísať bez zátvoriek. Napríklad vo vzorcoch A → (B → C) a ~( A → B) ďalšie vylúčenie zátvoriek nie je možné.

Tautológie a rozpory

Logické tautológie (alebo jednoducho tautológie) sú formuly výrokovej logiky, že ak sú písmená svojvoľne nahradené tvrdeniami (pravdivé alebo nepravdivé), výsledkom bude vždy pravdivé tvrdenie.

Keďže pravdivosť alebo nepravdivosť zložitých výrokov závisí len od významov, a nie od obsahu výrokov, z ktorých každý zodpovedá určitému písmenu, potom je možné overenie, či daný výrok je tautológiou, vykonať nasledujúcim spôsobom. V skúmanom výraze sú hodnoty 1 a 0 (resp. „pravda“ a „nepravda“) nahradené písmenami všetkými možnými spôsobmi a logické hodnoty výrazov sa vypočítavajú pomocou logických operácií. Ak sa všetky tieto hodnoty rovnajú 1, potom skúmaný výraz je tautológia a ak aspoň jedna substitúcia dáva 0, potom to nie je tautológia.

Preto sa výrokový logický vzorec, ktorý má hodnotu „pravda“ pre akúkoľvek distribúciu hodnôt atómov zahrnutých v tomto vzorci, nazýva identické so skutočným vzorcom alebo tautológia .

Opačný význam je logický rozpor. Ak sa všetky hodnoty výrokov rovnajú 0, potom je výraz logickým rozporom.

Preto sa výrokový logický vzorec, ktorý má hodnotu „false“ pre akúkoľvek distribúciu hodnôt atómov zahrnutých v tomto vzorci, nazýva rovnako nepravdivý vzorec alebo rozpor .

Okrem tautológií a logických rozporov existujú vzorce výrokovej logiky, ktoré nie sú ani tautológiami, ani rozpormi.

Príklad 9. Zostavte pravdivostnú tabuľku pre výrokovú logickú formulu a určite, či ide o tautológiu, rozpor alebo ani jedno.

Riešenie. Vytvorme pravdivostnú tabuľku:

A	A	A	A	A
A	L	L	L	A
L	A	L	A	A
L	L	L	L	A

Vo významoch implikácie nenájdeme riadok, v ktorom „pravda“ implikuje „nepravda“. Všetky hodnoty pôvodného tvrdenia sa rovnajú "pravda". V dôsledku toho je tento vzorec výrokovej logiky tautológiou.

Milujeme múdre výroky skvelých ľudí. Tí, ktorých mená sú zapísané zlatým písmom do dejín sveta. Ale aj obyčajní ľudia, naši kamaráti, známi, spolužiaci, občas niečo také urobia – či už stojíte alebo padáte. Na tejto stránke sme pre vás zozbierali mix tých podľa nás najzaujímavejších výrokov o živote, osude a láske. Kreatívne, vtipné, múdre, pôsobivé, dojemné, srdcervúce, pozitívne... pre každú farbu a vkus)

1. O práci a plate

2. O lži a pravde

Klamstvá... majú širokú cestu... Pravda... má úzku cestu... Klamstvá... majú veľa jazykov... Ale pravda... je skúpa na slová... Klamstvá... sú klzké slová... ale tie sa vkradnú do každého uší... Ale pravda... je tenká struna... ale preráža duše!!!

3. Tajomné sú cesty Pána...

Boh ti nedáva ľudí, ktorých chceš. Dáva vám ľudí, ktorých potrebujete. Ubližujú ti, milujú ťa, učia ťa, lámu ťa, aby ťa sformovali do toho, kým máš byť.

4. V pohode!!!

Tak úžasné! Pracovať až po 20 rokoch!)

5. Výpočtový systém...

Zdá sa, že za všetko platia peniazmi. Za všetko skutočne dôležité platia kúskami duše...

6. Vo všetkom musíte vidieť to pozitívne)

Ak vám osud nadelil kyslý citrón, porozmýšľajte, kde zoženiete tequilu a poriadne sa zabavte.

7. Od Ericha Maria Remarqua

Kto sa chce držať, prehráva. S úsmevom sa snažia držať tých, ktorí sú pripravení pustiť.

8. Rozdiel medzi psom a človekom...

Ak zoberiete hladného psa a naplníte jeho život, nikdy vás neuhryzne. Toto je základný rozdiel medzi psom a človekom.

9. Len TOTO!

10. Cesta osudu

Každý človek si tým musí v živote prejsť. Zlomiť srdce niekoho iného. Prelomte svoje. A potom sa naučte zaobchádzať opatrne so svojím srdcom aj so srdcom iných ľudí.

11. Aká je sila charakteru?

Sila charakteru nespočíva v schopnosti preraziť steny, ale v schopnosti nájsť dvere.

12. Vaše dieťa sa dobre vyvíja)

Dievčatá, šťastie nie je potiahnutie cigarety a dúšok piva, šťastie je, keď prídete k lekárovi a povie vám: „Vaše dieťa sa dobre vyvíja, neexistujú žiadne odchýlky!“

13. Od Matky Terezy životne dôležitá myšlienka...

Na vytvorenie rodiny stačí milovať. A aby ste sa zachovali, musíte sa naučiť vydržať a odpúšťať.

14. Zdalo sa)

Ako dieťa sa zdalo, že po tridsiatke je staroba... Vďakabohu sa to tak zdalo!

15. Oddeľte zrno od pliev...

Naučte sa rozlišovať medzi dôležitým a nedôležitým. Vyššie vzdelanie nie je ukazovateľom inteligencie. Krásne slová nie sú znakom lásky. Dobrý vzhľad nie je znakom krásnej osoby. Naučte sa vážiť si svoju dušu, verte vo svoje činy a pozerajte sa na svoje činy.

16. Od veľkej Fainy Ranevskej

Postarajte sa o svoje milované ženy. Veď kým ona nadáva, trápi sa a vyvádza, miluje, no akonáhle sa začne usmievať a byť ľahostajná, stratili ste ju.

17. O deťoch...

Rozhodnutie mať dieťa je vážna vec. To znamená rozhodnúť sa nechať svoje srdce chodiť mimo tela odteraz a navždy.

18. Veľmi múdre portugalské príslovie

Chata, kde sa smejú, má väčšiu cenu ako palác, kde plačú.

19. Počúvaj...

V živote treba mať jednu dôležitú zásadu – vždy zdvihnúť telefón, ak vám zavolá blízky. Aj keď vás urazí, aj keď nechcete hovoriť, a ešte viac, ak mu chcete dať lekciu. Určite musíte zdvihnúť telefón a počúvať, čo vám chce povedať. Možno to bude niečo naozaj dôležité. Život je však príliš nepredvídateľný a ktovie, či tohto človeka ešte niekedy budete počuť.

20. Všetko sa dá prežiť

Všetko sa dá v tomto živote prežiť, pokiaľ je pre čo žiť, koho milovať, na kom sa starať a komu dôverovať.

21. Chyby... kto ich nemá?

Vaše chyby, vaša sila. Stromy stoja silnejšie na krivých koreňoch.

22. Jednoduchá modlitba

Môj anjel strážny... Už som zase unavený... Podaj mi ruku, prosím a objím ma svojim krídlom... Pevne ma drž, aby som nespadol... A ak zakopnem, Ty zdvihni ja hore...

23. Od nádhernej Marilyn Monroe)

Samozrejme, moja postava nie je anjelská, nie každý to zvládne. No, prepáčte... a ja nie som pre každého!

24. Komunikujte...

Je hlúpe nekomunikovať s osobou, na ktorej vám záleží. A je jedno, čo sa stalo. Každú chvíľu môže byť preč. Vieš si predstaviť? navždy. A nedostaneš nič späť.

25. Životný rozmer

S dĺžkou svojho života neurobíte nič, ale s jeho šírkou a hĺbkou môžete urobiť veľa.