Kako konstruirati kut jednak zadanom. Konstruiranje kuta jednakog zadanom

Ciljevi lekcije:

• Formiranje sposobnosti analize proučavanog materijala i vještina njegove primjene u rješavanju problema;
• Pokazati značaj pojmova koji se proučavaju;
• Razvijanje kognitivne aktivnosti i samostalnosti u stjecanju znanja;
• Njegovanje interesa za predmet i osjećaja za lijepo.

Ciljevi lekcije:

• Razvijati vještine konstruiranja kuta jednakog zadanom pomoću ravnala, šestara, kutomjera i crtanja trokuta.
• Provjerite vještine rješavanja problema učenika.

Plan učenja:

1. Ponavljanje.
2. Konstruiranje kuta jednakog zadanom.
3. Analiza.
4. Prvo primjer konstrukcije.
5. Drugi primjer konstrukcije.

Ponavljanje.

Kutak.

Ravni kut- neograničena geometrijska figura koju čine dvije zrake (stranice kuta) koje izlaze iz jedne točke (vrh kuta).

Kut se također naziva figura koju čine sve točke ravnine zatvorene između tih zraka (Općenito govoreći, dvije takve zrake odgovaraju dvama kutovima, budući da dijele ravninu na dva dijela. Jedan od tih kutova konvencionalno se naziva unutarnjim, a ostalo – vanjsko.
Ponekad se, radi sažetosti, kut naziva kutna mjera.

Postoji općeprihvaćeni simbol za označavanje kuta: , koji je 1634. predložio francuski matematičar Pierre Erigon.

Kutak je geometrijska figura (slika 1), koju tvore dvije zrake OA i OB (stranice kuta), koje izlaze iz jedne točke O (vrh kuta).

Kut se označava simbolom i tri slova koja označavaju krajeve zraka i vrh kuta: AOB (a slovo vrha je središnje). Kutovi se mjere količinom rotacije zrake OA oko vrha O dok zraka OA ne prijeđe u položaj OB. Postoje dvije široko korištene jedinice za mjerenje kutova: radijani i stupnjevi. Za radijansko mjerenje kutova, pogledajte dolje u paragrafu “Duljina luka”, kao iu poglavlju “Trigonometrija”.

Sustav stupnjeva za mjerenje kutova.

Ovdje je mjerna jedinica stupanj (njegova oznaka je °) - to je rotacija grede za 1/360 punog okretaja. Dakle, puna rotacija grede je 360 ​​o. Jedan stupanj podijeljen je na 60 minuta (simbol '); jednu minutu – odnosno 60 sekundi (oznaka “). Kut od 90° (slika 2) naziva se pravim; kut manji od 90° (slika 3) naziva se oštrim; kut veći od 90° (slika 4) naziva se tupim.

Ravne linije koje tvore pravi kut nazivaju se međusobno okomite. Ako su pravci AB i MK okomiti, to se označava: AB MK.

Konstruiranje kuta jednakog zadanom.

Prije početka gradnje ili rješavanja bilo kojeg problema, bez obzira na predmet, potrebno je izvršiti analiza. Shvatite što piše u zadatku, čitajte ga zamišljeno i polako. Ako nakon prvog puta imate nedoumica ili nešto nije bilo jasno ili jasno, ali ne u potpunosti, preporuča se ponovno pročitati. Ako radite zadatak u razredu, možete pitati učitelja. U suprotnom, vaš zadatak, koji ste pogrešno razumjeli, možda neće biti točno riješen ili ćete možda pronaći nešto što nije ono što se od vas tražilo, pa će se smatrati netočnim i morat ćete ga ponoviti. Što se mene tiče - Bolje je potrošiti malo više vremena na proučavanje zadatka nego ponavljati zadatak iznova.

Analiza.

Neka je a dana zraka s vrhom A, a kut (ab) željeni. Odaberimo točke B i C na zrakama a odnosno b. Spajanjem točaka B i C dobivamo trokut ABC. U jednaki trokuti pripadni kutovi su jednaki, pa stoga slijedi način konstrukcije. Ako na stranama zadani kut na neki prikladan način odaberite točke C i B, iz ove grede U zadanoj poluravnini konstruirajte trokut AB 1 C 1 jednak ABC (a to možete učiniti ako znate sve stranice trokuta), tada će zadatak biti riješen.

Prilikom provođenja bilo koje konstrukcije Budite izuzetno oprezni i pokušajte pažljivo izvesti sve konstrukcije. Budući da svaka nedosljednost može rezultirati nekom vrstom pogreške, odstupanja, što može dovesti do netočnog odgovora. A ako se zadatak ove vrste izvodi prvi put, pogrešku će biti vrlo teško pronaći i popraviti.

Prvo primjer konstrukcije.

Nacrtajmo krug sa središtem u vrhu tog kuta. Neka su B i C točke presjeka kružnice sa stranicama kuta. Polumjerom AB nacrtamo kružnicu sa središtem u točki A 1 – početnoj točki ove zrake. Označimo točku presjeka ove kružnice s ovom zrakom kao B 1 . Opišimo kružnicu sa središtem u B 1 i polumjerom BC. Sjecište C 1 konstruiranih kružnica u naznačenoj poluravnini leži na stranici traženog kuta.

Trokuti ABC i A 1 B 1 C 1 jednaki su na tri stranice. Kutovi A i A 1 su odgovarajući kutovi ovih trokuta. Stoga je ∠CAB = ∠C 1 A 1 B 1

Za veću jasnoću, možete detaljnije razmotriti iste konstrukcije.

Drugi primjer konstrukcije.

Ostaje zadatak da se sa zadanog polupravca u zadanu poluravninu odvoji i kut jednak zadanom kutu.

Izgradnja.

Korak 1. Nacrtajmo kružnicu proizvoljnog polumjera sa središtem u vrhu A zadanog kuta. Neka su B i C točke presjeka kružnice sa stranicama kuta. I nacrtajmo segment BC.

Korak 2. Nacrtajmo kružnicu polumjera AB sa središtem u točki O - početnoj točki ovog polupravca. Označimo točku presjeka kružnice sa zrakom kao B 1 .

3. korak Sada opisujemo kružnicu sa središtem B 1 i polumjerom BC. Neka je točka C 1 sjecište konstruiranih kružnica u naznačenoj poluravnini.

Korak 4. Povucimo zraku iz točke O kroz točku C 1. Kut C 1 OB 1 bit će željeni.

Dokaz.

Trokuti ABC i OB 1 C 1 sukladni su trokuti s odgovarajućim stranicama. Stoga su kutovi CAB i C 1 OB 1 jednaki.

Zanimljiva činjenica:

U brojkama.

U predmetima okolnog svijeta prije svega uočavate njihova individualna svojstva koja razlikuju jedan predmet od drugog.

Obilje pojedinih, pojedinačnih svojstava zamagljuje opća svojstva svojstvena apsolutno svim predmetima, pa je stoga takva svojstva uvijek teže otkriti.

Jedno od najvažnijih općih svojstava objekata je da se svi objekti mogu prebrojati i izmjeriti. Mi to odražavamo opća svojina objekti u pojmu broja.

Ljudi su proces brojanja, odnosno pojam broja, svladavali vrlo sporo, stoljećima, u ustrajnoj borbi za svoju egzistenciju.

Da bi se moglo brojati, ne samo da se moraju imati objekti koji se mogu prebrojati, već se mora imati i sposobnost apstrahiranja pri razmatranju tih predmeta od svih njihovih drugih svojstava osim broja, a ta je sposobnost rezultat dugog povijesnog razvoja temeljenog na iskustvu .

Sada svaki čovjek neprimjetno u djetinjstvu nauči brojati uz pomoć brojeva, gotovo istodobno s progovorom, ali to brojanje, koje nam je poznato, prošlo je dugi put razvoja i imalo je različite oblike.

Nekada su se za brojanje predmeta koristila samo dva broja: jedan i dva. U procesu daljnjeg širenja brojevnog sustava bili su uključeni dijelovi ljudsko tijelo i to prije svega prste, a ako ovakvi “brojevi” nisu bili dovoljni, onda i palice, kamenje i ostalo.

N. N. Miklouho-Maclay u svojoj knjizi "izleti" govori o smiješnoj metodi brojanja koju koriste domoroci Nove Gvineje:

Pitanja:

1. Definirajte kut?
2. Koje vrste kutova postoje?
3. Koja je razlika između promjera i radijusa?

Popis korištenih izvora:

1. Mazur K. I. “Rješavanje glavnih problema natjecanja u matematici zbirke koju je uredio M. I. Skanavi”
2. Matematička pamet. B.A. Kordemskog. Moskva.
3. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina “Geometrija, 7 – 9: udžbenik za obrazovne ustanove”

Radili na lekciji:

Levchenko V.S.

Poturnak S.A.

Postavite pitanje o moderno obrazovanje, izraziti ideju ili riješiti gorući problem, možete Obrazovni forum, gdje se obrazovno vijeće svježe misli i djelovanja sastaje na međunarodnoj razini. Stvorivši blog, Ne samo da ćete unaprijediti svoj status kompetentnog učitelja, već ćete dati značajan doprinos razvoju škole budućnosti. Ceh obrazovnih lidera otvara vrata vrhunskim stručnjacima i poziva ih na suradnju u stvaranju najboljih škola na svijetu.

U konstrukcijskim problemima razmotrit ćemo konstrukciju geometrijski likšto se može učiniti pomoću ravnala i šestara.

Pomoću ravnala možete:

proizvoljna ravna linija;

proizvoljna ravna linija koja prolazi kroz zadanu točku;

pravac koji prolazi kroz dvije zadane točke.

Koristeći šestar, možete opisati kružnicu zadanog polumjera iz zadanog središta.

Koristeći kompas možete iscrtati segment na zadanoj liniji iz zadane točke.

Razmotrimo glavne zadatke izgradnje.

Zadatak 1. Konstruirajte trokut sa zadanim stranicama a, b, c (slika 1).

Riješenje. Pomoću ravnala nacrtajte proizvoljnu ravnu crtu i na njoj uzmite proizvoljnu točku B Šestarom jednakim a opišemo kružnicu sa središtem B i polumjerom a. Neka je C točka njegova sjecišta s pravcem. Otvorom šestara jednakim c opisujemo kružnicu iz središta B, a otvorom šestara jednakim b opisujemo kružnicu iz središta C. Neka je A sjecište tih kružnica. Trokut ABC ima stranice jednake a, b, c.

Komentar. Da bi tri odsječka ravne linije služila kao stranice trokuta, potrebno je da najveća od njih bude manja od zbroja druga dva (i< b + с).

Zadatak 2.

Riješenje. Taj kut s vrhom A i poluprava OM prikazani su na slici 2.

Izvršimo proizvoljan krug sa središtem u vrhu A zadanog kuta. Neka su B i C točke presjeka kruga sa stranama kuta (slika 3, a). S radijusom AB nacrtamo krug sa središtem u točki O - početnoj točki ove zrake (slika 3, b). Označimo točku presjeka ove kružnice s ovom zrakom kao C 1 . Opišimo kružnicu sa središtem C 1 i polumjerom BC. Točka B 1 sjecišta dviju kružnica leži na stranici traženog kuta. To slijedi iz jednakosti Δ ABC = Δ OB 1 C 1 (treći znak jednakosti trokuta).

Zadatak 3. Konstruirajte simetralu tog kuta (slika 4).

Riješenje. Iz vrha A zadanog kuta, kao iz središta, nacrtamo kružnicu proizvoljnog radijusa. Neka su B i C točke njegova sjecišta sa stranicama kuta. Iz točaka B i C opišemo kružnice s istim polumjerom. Neka je D njihova sjecišna točka, različita od A. Zraka AD raspolavlja kut A. To proizlazi iz jednakosti Δ ABD = Δ ACD (treći kriterij jednakosti trokuta).

Zadatak 4. Nacrtajte simetralu okomitu na ovaj segment (slika 5).

Riješenje. Proizvoljnim ali identičnim otvorom šestara (većim od 1/2 AB) opišemo dva luka sa središtima u točkama A i B, koji će se sijeći u nekim točkama C i D. Pravac CD bit će željena okomica. Doista, kao što se vidi iz konstrukcije, svaka od točaka C i D jednako je udaljena od A i B; stoga te točke moraju ležati na simetrali okomice na segment AB.

Zadatak 5. Podijelite ovaj segment na pola. Rješava se na isti način kao i problem 4 (vidi sl. 5).

Zadatak 6. Kroz zadanu točku povuci pravac okomit na zadani pravac.

Riješenje. Dva su moguća slučaja:

1) zadana točka O leži na zadanoj pravci a (slika 6).

Iz točke O nacrtamo kružnicu proizvoljnog polumjera koja siječe pravac a u točkama A i B. Iz točaka A i B nacrtamo kružnice istog polumjera. Neka je O 1 točka njihova sjecišta, različita od O. Dobivamo OO 1 ⊥ AB. Zapravo, točke O i O 1 su jednako udaljene od krajeva segmenta AB i, prema tome, leže na okomitoj simetrali na ovaj segment.

Konstruiranje kuta jednakog zadanom. Zadano: polupravac, kut. Izgradnja. V.A.S. 7. Za dokaz je dovoljno primijetiti da su trokuti ABC i OB1C1 sukladni kao trokuti s jednakim stranicama. Kutovi A i O su odgovarajući kutovi ovih trokuta. Potrebno je: od zadanog polupravca u zadanu poluravninu odložiti kut jednak zadanom kutu. C1. U 1. A. 1. Nacrtajmo proizvoljnu kružnicu sa središtem u vrhu A zadanog kuta. 2. Neka su B i C točke presjeka kružnice sa stranicama kuta. 3. Polumjerom AB nacrtamo kružnicu sa središtem u točki O - početnoj točki ovog polupravca. 4. Označimo točku presjeka ove kružnice s ovim polupravcem kao B1. 5. Opišimo kružnicu sa središtem B1 i polumjerom BC. 6. Točka C1 presjeka konstruiranih kružnica u navedenoj poluravnini leži na stranici traženog kuta.

Geometrija 7. razred

“Iskokračni trokut” - Teorem. Trokut je najjednostavniji zatvoreni pravocrtni lik. Rješavanje problema. Nađi kut KBA. Jednakost trokuta. Pogodi rebus. ABC – jednakokračan. Nabrojite sukladne elemente trokuta. Razvrstavanje trokuta po stranicama. U jednakokračnom trokutu AMK AM = AK. Podjela trokuta prema veličini njihovih kutova. strane. Trokut kojem su sve stranice jednake. Jednakokračan trokut.

“Mjerenje segmenata i kutova” - Usporedba segmenata. http://www.physicsdepartment.ru/blog/images/0166.jpg. F3 = F4. MN > CD. 1m =. Sredina segmenta. 1km. Za što najveći broj dijelovi mogu rastaviti ravninu s 4 različite ravne linije? Ostale mjerne jedinice. Usporedba oblika pomoću preklapanja. Usporedba kutova. Udružile su se strane VM i EU. Na koliko se dijelova ravnina može podijeliti s 3 različite ravne crte? http://www.robertagor.it/calibro.jpg.

"Pravokutni trokut, njegova svojstva" - Jedan od kutova pravokutni trokut. Riješenje. Koji se trokut naziva pravokutnim? Pravokutni trokut. Svojstva pravokutnog trokuta. Zagrijati se. Razvoj logičkog mišljenja. Simetrala. Krak pravokutnog trokuta. Napravimo jednadžbu. Pažljivo pogledajmo crtež. Svojstvo pravokutnog trokuta. Stanovnici tri kuće. Trokut.

“Definicija kuta” - Koncepti kutova. Nacrtajte zrake. Pripremna faza lekcije. Kutak. Objašnjenje novog gradiva. Kut dijeli ravninu. Pojmovi unutarnje i vanjske površine kuta. Zainteresirajte se za temu. Zraka na slici dijeli kut. Definicija ravnog kuta. Razvoj logičkog mišljenja. Tup kut. Oštar kut. Uvodne riječi. Obojite unutarnje područje kuta. Kutovi. Zraka BM dijeli kut ABC na dva kuta.

"Drugi i treći znak jednakosti trokuta" - strane. Medijan u jednakokračnom trokutu. Drugi i treći znak jednakosti trokuta. Riješenje. Tri stranice jednog trokuta. Baza. Dokazati. Svojstva jednakokračnog trokuta. Znakovi jednakosti trokuta. Rješavanje problema. Matematički diktat. Kutovi. Zadatak. Opseg jednakokračnog trokuta.

“Kartezijev koordinatni sustav na ravnini” - ravnina na kojoj je određen Kartezijev koordinatni sustav. Koordinate u životima ljudi. Sustav zemljopisne koordinate. Kartezijev koordinatni sustav na ravnini. Projekt Algebra. Znanstvenici koji su autori koordinata. Starogrčki astronom Klaudije. Ćelija na igralištu. Točka sjecišta osi. Uvođenje jednostavnijeg zapisa u algebru. Mjesto u kinu. Značenje Kartezijevog koordinatnog sustava.

Konstruiranje kuta jednakog zadanom. Zadano je: kut A. A Konstruirani kut O. B C KOD E Dokažite: A = O Dokaz: razmotrite trokute ABC i ODE. 1.AC = OE, poput polumjera jedne kružnice. 2.AB=OD, kao polumjeri jedne kružnice. 3.VS=DE, kao polumjeri jedne kružnice. ABC = ODE (3. nagrada) A = O

Dokažimo da je poluprava AB simetrala A P L A N 1.Dopunska konstrukcija. 2. Dokažimo jednakost trokuta ACB i ADB. 3. Zaključci A B C D 1.AC = AD, kao polumjeri jedne kružnice. 2.CB=DB, kao polumjeri jedne kružnice. 3.AB – zajednička strana. ACB = ADB, prema III kriteriju jednakosti trokuta Zraka AB - simetrala Konstrukcija simetrale kuta.

A N B A C 1 = 2 12 U r/b trokutu AMB isječak MC je simetrala, a time i visina. Zatim, i MN. M Dokažimo da je MN. Pogledajmo gdje su kompasi. AM=AN=MB=BN, kao jednaki radijusi. MN-zajednička strana. MVN= ČOVJEK, na tri strane Konstrukcija okomitih linija. M a

Q P BA ARQ = BPQ, na tri strane = 2 trokuta ARV r/b. Odsječak PO je simetrala, a time i središnja. Tada je točka O sredina AB. O Dokažimo da je O polovište duži AB. Konstruiranje polovišta odsječka

D C Konstruiranje trokuta pomoću dviju stranica i kuta između njih. Kut hk h 1. Konstruirajmo polupravu a. 2. Odvojimo dužinu AB jednaku P 1 Q 1. 3. Konstruiraj kut jednak ovome. 4. Odvojimo dužinu AC jednaku P 2 Q 2. VA Trokut ABC je traženi. Opravdajte korištenje prvog znaka. Zadano: Segmenti P 1 Q 1 i P 2 Q 2 Q1Q1 P1P1 P2P2 Q2Q2 a k

D C Konstruiranje trokuta pomoću stranice i dva susjedna kuta. Kut h 1 k 1 h2h2 1. Konstruiraj polupravu a. 2. Odvojimo dužinu AB jednaku P 1 Q 1. 3. Konstruiramo kut jednak zadanom h 1 k 1. 4. Konstruiramo kut jednak h 2 k 2. BA A Trokut ABC je traženi. Opravdajte korištenje drugog znaka. Zadano: Segment P 1 Q 1 Q1Q1 P1P1 a k2k2 h1h1 k1k1 N

C 1. Sagradimo zraku a. 2. Odvojite dužinu AB jednaku P 1 Q 1. 3. Konstruirajte luk sa središtem u točki A i polumjerom P 2 Q 2. 4. Konstruirajte luk sa središtem u točki B i polumjerom P 3 Q 3. BA A Trokut ABC tražen Opravdajte korištenje trećeg znaka. Zadani su: odsječci P 1 Q 1, P 2 Q 2, P 3 Q 3. Q1Q1 P1P1 P3P3 Q2Q2 a P2P2 Q3Q3 Konstrukcija trokuta pomoću triju stranica.