Kako riješiti jednostavne trigonometrijske nejednadžbe. Rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi

1.5 Trigonometrijske nejednadžbe i metode za njihovo rješavanje

1.5.1 Rješavanje jednostavnih trigonometrijskih nejednadžbi

Većina autora modernih udžbenika matematike predlaže da razmatranje ove teme započnemo rješavanjem najjednostavnijih trigonometrijskih nejednakosti. Princip rješavanja najjednostavnijih trigonometrijskih nejednadžbi temelji se na znanju i sposobnosti da se na trigonometrijskom krugu odrede vrijednosti ne samo glavnih trigonometrijskih kutova, već i drugih vrijednosti.

U međuvremenu, rješavanje nejednakosti oblika , , , može se provesti na sljedeći način: prvo pronađemo neki interval () na kojem je ta nejednakost točna, a zatim zapišemo konačni odgovor dodavanjem na krajeve pronađenog intervala višekratnik perioda sinusa ili kosinusa: ( ). U ovom slučaju vrijednost se lako pronalazi, jer ili . Traženje vrijednosti oslanja se na intuiciju učenika, njihovu sposobnost uočavanja jednakosti lukova ili odsječaka, koristeći simetriju pojedinih dijelova sinusnog ili kosinusnog grafa. A to je ponekad izvan moći prilično velikog broja učenika. Kako bi se prevladale navedene poteškoće u udžbenicima posljednjih godina korišten je drugačiji pristup rješavanju najjednostavnijih trigonometrijskih nejednadžbi, ali to nije poboljšalo ishode učenja.

Već niz godina prilično uspješno koristimo formule korijena odgovarajućih jednadžbi za pronalaženje rješenja trigonometrijskih nejednadžbi.

Ovu temu proučavamo na sljedeći način:

1. Gradimo grafove i y \u003d a, pretpostavljajući da .

Zatim zapišemo jednadžbu i njezino rješenje. Davanje n 0; jedan; 2, nalazimo tri korijena sastavljene jednadžbe: . Vrijednosti su apscise triju uzastopnih sjecišta grafova i y = a. očito je da nejednakost uvijek vrijedi na intervalu (), a na intervalu () - nejednakost .

Dodavanjem na krajeve ovih intervala broja koji je višekratnik perioda sinusa, u prvom slučaju dobivamo rješenje nejednadžbe u obliku: ; a u drugom slučaju rješenje nejednadžbe u obliku:

Samo za razliku od sinusa iz formule, koji je rješenje jednadžbe, za n = 0 dobivamo dva korijena, a treći korijen za n = 1 u obliku . I opet su tri uzastopne apscise sjecišta grafova i . U intervalu () nejednakost je ispunjena, u intervalu () nejednakost

Sada je lako napisati rješenja nejednadžbi i . U prvom slučaju dobivamo: ;

a u drugom: .

Rezimirati. Za rješavanje nejednadžbe ili , potrebno je sastaviti odgovarajuću jednadžbu i riješiti je. Iz dobivene formule pronađite korijene i , te odgovor nejednadžbe napišite u obliku: .

Pri rješavanju nejednadžbi , iz formule korijena odgovarajuće jednadžbe nalazimo korijene i , a odgovor nejednadžbe zapisujemo u obliku: .

Ova tehnika vam omogućuje da naučite sve učenike kako rješavati trigonometrijske nejednadžbe. ova se tehnika u potpunosti oslanja na vještine kojima su učenici čvrsto ovladali. To su sposobnost rješavanja najjednostavnijeg i pronalaska vrijednosti varijable pomoću formule. Osim toga, postaje potpuno nepotrebno pažljivo rješavanje velikog broja vježbi pod vodstvom nastavnika kako bi se demonstrirali sve vrste tehnika zaključivanja ovisno o predznaku nejednakosti, vrijednosti modula broja a i njegovom predznaku. I sam proces rješavanja nejednakosti postaje kratak i, što je vrlo važno, ujednačen.

Još jedna prednost ove metode je ta što olakšava rješavanje nejednakosti čak i kada desna strana nije tablična vrijednost sinusa ili kosinusa.

Pokažimo to konkretnim primjerom. Neka je potrebno riješiti nejednadžbu . Napišimo odgovarajuću jednadžbu i riješimo je:

Nađimo vrijednosti i .

Za n = 1

Za n = 2

Zapisujemo konačni odgovor na ovu nejednakost:

U razmatranom primjeru rješavanja najjednostavnijih trigonometrijskih nejednakosti može postojati samo jedan nedostatak - prisutnost određene količine formalizma. Ali ako se sve procjenjuje samo s ovih pozicija, tada će biti moguće optužiti za formalizam i formule korijena kvadratne jednadžbe, i sve formule za rješavanje trigonometrijskih jednadžbi, i još mnogo toga.

Predložena metoda, iako zauzima dostojno mjesto u formiranju vještina i sposobnosti za rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi, ne može se podcijeniti važnost i značajke drugih metoda za rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi. To uključuje metodu intervala.

Razmotrimo njegovu suštinu.

Postav uredio A.G. Mordkovich, iako ne treba zanemariti ni druge udžbenike. § 3. Metode podučavanja teme "Trigonometrijske funkcije" u tečaju algebre i početak analize U proučavanju trigonometrijskih funkcija u školi mogu se razlikovati dvije glavne faze: ü Početno upoznavanje s trigonometrijskim funkcijama ...

Tijekom istraživanja riješeni su sljedeći zadaci: 1) Analizirani su postojeći udžbenici algebre i početak matematičke analize kako bi se identificirala metodologija koja je u njima predstavljena za rješavanje iracionalnih jednadžbi i nejednadžbi. Provedena analiza omogućuje nam da izvučemo sljedeće zaključke: U srednjoj školi se nedovoljno pažnje posvećuje metodama rješavanja raznih iracionalnih jednadžbi, uglavnom ...

Algebrin projekt “Rješenje trigonometrijskih nejednakosti” Izvršila učenica 10. razreda “B” Julia Kazachkova Voditeljica: učiteljica matematike Kochakova N.N.

Svrha Objediniti gradivo na temu "Rješavanje trigonometrijskih nejednakosti" i izraditi podsjetnik za studente za pripremu za nadolazeći ispit.

Ciljevi Sažeti gradivo o temi. Organizirajte primljene informacije. Razmotrite ovu temu na ispitu.

Relevantnost Relevantnost teme koju sam odabrao leži u činjenici da su zadaci na temu "Rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi" uključeni u ispitne zadatke.

Trigonometrijske nejednadžbe Nejednadžba je relacija koja povezuje dva broja ili izraza jednim od predznaka: (veći od); ≥ (veće ili jednako). Trigonometrijska nejednadžba je nejednadžba koja sadrži trigonometrijske funkcije.

Trigonometrijske nejednadžbe Rješavanje nejednadžbi koje sadrže trigonometrijske funkcije svodi se u pravilu na rješavanje najjednostavnijih nejednadžbi oblika: sin x>a, sin x a, cos x a,tgx a, ctg x

Algoritam za rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi Na osi koja odgovara zadanoj trigonometrijskoj funkciji označite zadanu brojčanu vrijednost te funkcije. Kroz označenu točku nacrtaj liniju koja siječe jediničnu kružnicu. Odaberite točke sjecišta pravca i kruga, vodeći računa o strogom ili nestrogom znaku nejednakosti. Odaberite luk kružnice na kojoj se nalaze rješenja nejednadžbe. Odredite vrijednosti kutova na početnoj i krajnjoj točki kružnog luka. Zapišite rješenje nejednadžbe vodeći računa o periodičnosti zadane trigonometrijske funkcije.

Formule za rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi sinx >a; x (arcsin a + 2πn; π- arcsin a + 2πn). sinx a; x (- arccos a + 2πn; arccos a + 2πn). cosxa; x (arctg a + πn ; + πn). tgx a; x (πn; arctg + πn). ctgx

Grafičko rješavanje glavnih trigonometrijskih nejednadžbi sinx >a

Grafičko rješavanje glavnih trigonometrijskih nejednadžbi sinx

Grafičko rješavanje glavnih trigonometrijskih nejednadžbi cosx >a

Grafičko rješenje glavnih trigonometrijskih nejednadžbi cosx

Grafičko rješavanje glavnih trigonometrijskih nejednadžbi tgx >a

Grafičko rješavanje glavnih trigonometrijskih nejednadžbi tgx

Grafičko rješavanje glavnih trigonometrijskih nejednadžbi ctgx >a

Grafičko rješavanje glavnih trigonometrijskih nejednadžbi ctgx

Načini rješavanja trigonometrijskih nejednadžbi Rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi pomoću brojevne kružnice; Rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi pomoću grafa funkcije. :

Rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi pomoću brojevnog kruga Primjer 1: : Odgovor:

Rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi pomoću kružnice s brojevima Primjer 1: Odgovor:

Rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi pomoću grafa funkcije Primjer: Odgovor:

Rezultat rada učvrstio sam svoje znanje o temi "Rješenje trigonometrijskih nejednakosti". Sistematizirao sam informacije primljene na ovu temu radi praktičnosti njihove percepcije: izveo sam algoritam za rješavanje trigonometrijskih nejednakosti; zacrtala dva načina rješavanja; pokazao primjere rješenja. :

Rezultat rada Također, kao gotov proizvod, uz moj projekt priložen je i “Podsjetnik za učenike za pripremu ispita iz algebre”. Microsoft Office Word dokument (2). docx:

Korištena literatura Udžbenik Algebra za 10. razred "Algebra i početak analize" uredio A.N. Kolmogorov http://festival.1september.ru/articles/514580/ http://www.mathematics-repetition.com http:// www. calc.ru http://www.pomochnik-vsem.ru:

Algoritam za rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih nejednadžbi i prepoznavanje načina rješavanja trigonometrijskih nejednadžbi.

Nastavnici najviše kvalifikacijske kategorije:

Širko F.M. Selo Napretka, MOBU-SOSH №6

Sankina L.S. Armavir, PEI Srednja škola "Novi put"

Ne postoje univerzalne metode poučavanja prirodno-matematičkih disciplina. Svaki učitelj pronalazi svoje načine poučavanja koji su samo njemu prihvatljivi.

Naše dugogodišnje iskustvo u podučavanju pokazuje da učenici lakše usvajaju gradivo koje zahtijeva koncentraciju i pohranjivanje velike količine informacija u memoriju ako ih se u početnoj fazi učenja složene teme nauči koristiti algoritme u svojim aktivnostima. Takva tema, po našem mišljenju, je tema rješavanja trigonometrijskih nejednadžbi.

Dakle, prije nego što s učenicima počnemo identificirati tehnike i metode za rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi, razradit ćemo i popraviti algoritam za rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih nejednadžbi.

Algoritam za rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih nejednadžbi

Označavamo točke na odgovarajućoj osi ( za grijeh x- y os, zacos x- OX os)

Vraćamo okomicu na os, koja će presijecati krug u dvije točke.

Prvo na kružnici označimo točku koja po definiciji pripada intervalu raspona vrijednosti funkcije luka.

Polazeći od označene točke, osjenčamo luk kružnice koji odgovara osjenčanom dijelu osi.

Posebnu pozornost obraćamo na smjer obilaznice. Ako je prelazak u smjeru kazaljke na satu (tj. postoji prijelaz kroz 0), tada će druga točka na krugu biti negativna, ako je u smjeru suprotnom od kazaljke na satu - pozitivna.

Odgovor zapisujemo kao interval, vodeći računa o periodičnosti funkcije.

Razmotrimo rad algoritma s primjerima.

1) grijeh ≥ 1/2;

Riješenje:

Nacrtaj jediničnu kružnicu.;

Označimo točku ½ na y-osi.

Vratite okomito na os,

koja siječe krug u dvije točke.

Po definiciji arcsina, označavamo prvo

točka π/6.

Osjenčamo dio osi koji odgovara

dana nejednakost, iznad točke ½.

Osjenčamo luk kruga koji odgovara osjenčanom dijelu osi.

Premosnica je napravljena suprotno od kazaljke na satu, dobili smo točku 5π/6.

Odgovor zapisujemo kao interval, uzimajući u obzir periodičnost funkcije;

Odgovor:x;[π/6 + 2π n, 5π/6 + 2π n], n Z.

Najjednostavnija nejednadžba rješava se istim algoritmom ako u zapisu odgovora nema tablične vrijednosti.

Učenici na prvim satovima rješavajući nejednadžbe na ploči glasno izgovaraju svaki korak algoritma.

2) 5 cos x – 1 ≥ 0;

R Riješenje:na

5 cos x – 1 ≥ 0;

cos x ≥ 1/5;

Nacrtaj jedinični krug.

Označimo na OX osi točku s koordinatom 1/5.

Vraćamo okomicu na os, koja

siječe krug u dvije točke.

Prvo na kružnici označimo točku koja pripada intervalu raspona vrijednosti arkkosinusa po definiciji (0; π).

Osjenčamo dio osi koji odgovara ovoj nejednadžbi.

Počevši od potpisane točke arccos 1/5, osjenčajte luk kruga koji odgovara osjenčanom dijelu osi.

Premosnica se vrši u smjeru kazaljke na satu (tj. postoji prijelaz kroz 0), što znači da će druga točka na krugu biti negativna - arccos 1/5.

Odgovor zapisujemo kao interval, vodeći računa o periodičnosti funkcije, od manje vrijednosti prema većoj.

Odgovor: x  [-arccos 1/5 + 2π n, arccos 1/5 + 2π n], n Z.

Usavršavanje sposobnosti rješavanja trigonometrijskih nejednadžbi olakšavaju pitanja: “Kako ćemo riješiti skupinu nejednadžbi?”; “Kako se jedna nejednakost razlikuje od druge?”; “Po čemu je jedna nejednakost slična drugoj?”; Kako bi se promijenio odgovor da je dana striktna nejednakost? Kako bi se promijenio odgovor da umjesto znaka "" stoji znak

Zadatak analize popisa nejednakosti sa stajališta načina za njihovo rješavanje omogućuje vam da razradite njihovo prepoznavanje.

Učenici dobivaju nejednadžbe koje rješavaju u razredu.

Pitanje: Istaknite nejednadžbe koje zahtijevaju primjenu ekvivalentnih transformacija pri svođenju trigonometrijske nejednadžbe na najjednostavniju?

Odgovor 1, 3, 5.

Pitanje: Koje su to nejednakosti u kojima se složeni argument mora smatrati jednostavnim?

Odgovor: 1, 2, 3, 5, 6.

Pitanje: Koje su nejednadžbe na koje se mogu primijeniti trigonometrijske formule?

Odgovor: 2, 3, 6.

Pitanje: Navedite nejednadžbe kod kojih možete primijeniti metodu uvođenja nove varijable?

Odgovor: 6.

Zadatak analize popisa nejednakosti sa stajališta načina za njihovo rješavanje omogućuje vam da razradite njihovo prepoznavanje. Pri razvijanju vještina važno je izdvojiti faze njegove provedbe i formulirati ih u općem obliku, koji je prikazan u algoritmu za rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih nejednadžbi.

Većina učenika ne voli trigonometrijske nejednakosti. Ali uzalud. Kako je jedan lik govorio,

“Samo ih ne znaš skuhati”

Dakle, kako "kuhati" i čime podnijeti nejednakost sa sinusom, shvatit ćemo u ovom članku. Riješit ćemo na najjednostavniji način – pomoću jedinične kružnice.

Dakle, prije svega, trebamo sljedeći algoritam.

Algoritam za rješavanje nejednakosti sa sinusom:

1. stavite broj $a$ na sinusnu os i povucite ravnu liniju paralelnu s kosinusnom osi dok se ne siječe s kružnicom;
2. točke sjecišta ove crte s kružnicom bit će popunjene ako nejednadžba nije stroga, a neće biti popunjene ako je nejednadžba stroga;
3. područje rješenja nejednadžbe bit će iznad crte i do kruga ako nejednadžba sadrži znak “$>$”, a ispod crte i do kruga ako nejednadžba sadrži znak “$<$”;
4. da bismo pronašli sjecišne točke, rješavamo trigonometrijsku jednadžbu $\sin(x)=a$, dobivamo $x=(-1)^(n)\arcsin(a) + \pi n$;
5. postavljanjem $n=0$ nalazimo prvu sjecišnu točku (nalazi se ili u prvom ili u četvrtom kvadrantu);
6. da bismo pronašli drugu točku, gledamo u kojem smjeru idemo područjem do druge sjecišne točke: ako u pozitivnom smjeru, tada treba uzeti $n=1$, a ako u negativnom smjeru, onda $n= -1$;
7. kao odgovor ispisuje se interval od manje sjecišne točke $+ 2\pi n$ do veće $+ 2\pi n$.

Ograničenje algoritma

Važno: d ovaj algoritam Ne radi za nejednakosti oblika $\sin(x) > 1; \ \sin(x) \geq 1, \ \sin(x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.

Posebni slučajevi kod rješavanja nejednadžbe sinusom

Također je važno primijetiti sljedeće slučajeve, koje je mnogo praktičnije riješiti logički bez korištenja gornjeg algoritma.

Poseban slučaj 1. Riješite nejednadžbu:

$\sin(x) \leq 1.$

Budući da je domena trigonometrijske funkcije $y=\sin(x)$ najviše $1$, lijeva strana nejednadžbe za bilo koje$x$ iz domene (a domena sinusa su svi realni brojevi) nije veća od $1$. I, stoga, kao odgovor pišemo: $x \in R$.

Posljedica:

$\sin(x) \geq -1.$

Poseban slučaj 2. Riješite nejednadžbu:

$\sin(x)< 1.$

Primjenom argumenata sličnih posebnom slučaju 1, dobivamo da je lijeva strana nejednadžbe manja od $1$ za sve $x \in R$, osim za točke koje su rješenje jednadžbe $\sin(x) = 1 $. Rješavanjem ove jednadžbe imat ćemo:

$x = (-1)^(n)\arcsin(1)+ \pi n = (-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n.$

I, stoga, kao odgovor pišemo: $x \in R \backslash \left\((-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n\right\)$.

Posljedica: nejednadžba se rješava slično

$\sin(x) > -1.$

Primjeri rješavanja nejednadžbi pomoću algoritma.

Primjer 1: Riješite nejednadžbu:

$\sin(x) \geq \frac(1)(2).$

1. Zabilježite koordinatu $\frac(1)(2)$ na sinusnoj osi.
2. Nacrtajte liniju paralelnu s kosinusnom osi koja prolazi kroz ovu točku.
3. Zabilježite točke sjecišta. Oni će biti osjenčani jer nejednakost nije stroga.
4. Znak nejednakosti je $\geq$, što znači da bojimo područje iznad crte, tj. manji polukrug.
5. Pronađite prvu točku sjecišta. Da biste to učinili, pretvorite nejednadžbu u jednakost i riješite je: $\sin(x)=\frac(1)(2) \ \Rightarrow \ x=(-1)^(n)\arcsin(\frac(1 )(2) )+\pi n =(-1)^(n)\frac(\pi)(6) + \pi n$. Nadalje postavljamo $n=0$ i nalazimo prvu sjecišnu točku: $x_(1)=\frac(\pi)(6)$.
6. Nalazimo drugu točku. Naše područje ide u pozitivnom smjeru od prve točke, pa postavljamo $n$ jednako $1$: $x_(2)=(-1)^(1)\frac(\pi)(6) + \pi \ cdot 1 = \ pi - \frac(\pi)(6) = \frac(5\pi)(6)$.

Dakle, rješenje će imati oblik:

$x \in \lijevo[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\desno], \n \in Z.$

Primjer 2: Riješite nejednadžbu:

$\sin(x)< -\frac{1}{2}$

Označimo koordinatu $- \frac(1)(2)$ na sinusnoj osi i povučemo ravnu liniju paralelnu s kosinusnom osi koja prolazi kroz tu točku. Zabilježite točke sjecišta. Neće biti zasjenjene, jer je nejednakost stroga. Znak nejednakosti $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:

$\sin(x)=-\frac(1)(2)$

$x=(-1)^(n)\arcsin(\lijevo(-\frac(1)(2)\desno))+ \pi n =(-1)^(n+1)\frac(\pi )(6) + \pi n$.

Postavljajući dalje $n=0$, nalazimo prvu sjecišnu točku: $x_(1)=-\frac(\pi)(6)$. Naše područje ide u negativnom smjeru od prve točke, pa postavljamo $n$ jednako $-1$: $x_(2)=(-1)^(-1+1)\frac(\pi)(6 ) + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac(\pi)(6) = -\frac(5\pi)(6)$.

Dakle, rješenje ove nejednakosti bit će interval:

$x \in \lijevo(-\frac(5\pi)(6) + 2\pi n; -\frac(\pi)(6) + 2 \pi n\desno), \ n \in Z.$

Primjer 3: Riješite nejednadžbu:

$1 – 2\sin(\lijevo(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\desno)) \leq 0.$

Ovaj se primjer ne može odmah riješiti pomoću algoritma. Prvo ga trebate pretvoriti. Činimo točno ono što bismo učinili s jednadžbom, ali ne zaboravite na znak. Dijeljenje ili množenje s negativnim brojem obrće ga!

Dakle, pomaknimo sve što ne sadrži trigonometrijsku funkciju na desnu stranu. Dobivamo:

$- 2\sin(\lijevo(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\desno)) \leq -1.$

Podijelite lijevu i desnu stranu s $-2$ (ne zaboravite na znak!). Imat će:

$\sin(\lijevo(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\desno)) \geq \frac(1)(2).$

Opet smo dobili nejednadžbu koju ne možemo riješiti pomoću algoritma. Ali ovdje je dovoljno napraviti promjenu varijable:

$t=\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6).$

Dobivamo trigonometrijsku nejednadžbu, koja se može riješiti pomoću algoritma:

$\sin(t) \geq \frac(1)(2).$

Ova nejednakost je riješena u primjeru 1, pa ćemo odatle posuditi odgovor:

$t \in \lijevo[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\desno].$

Ipak, odluka još nije gotova. Moramo se vratiti na izvornu varijablu.

$(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)) \in \lijevo[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\desno].$

Predstavimo jaz kao sustav:

$\lijevo\(\begin(array)(c) \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n, \\ \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n.\end(array) \right.$

Na lijevoj strani sustava je izraz ($\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)$), koji pripada intervalu. Lijeva granica intervala je odgovorna za prvu nejednakost, a desna granica je odgovorna za drugu. Štoviše, zagrade igraju važnu ulogu: ako je zagrada četvrtasta, tada će nejednakost biti nestroga, a ako je okrugla, tada će nejednakost biti stroga. naš zadatak je dobiti $x$ s lijeve strane u obje nejednakosti.

Pomaknimo $\frac(\pi)(6)$ s lijeve strane na desnu stranu, dobivamo:

$\lijevo\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n -\frac(\pi)(6), \\ \frac(x)(4) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n – \frac(\pi)(6).\end(niz) \right.$

Pojednostavljeno, imat ćemo:

$\lijevo\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq 2\pi n, \\ \frac(x)(4) \leq \frac(2\pi)(3) + 2 \pi n.\end(niz) \desno.$

Množenjem lijeve i desne strane sa $4$, dobivamo:

$\lijevo\(\begin(niz)(c) x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n. \end(niz) \desno. $

Sastavljajući sustav u interval, dobivamo odgovor:

$x \in \lijevo[ 8\pi n; \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n\desno], \n \in Z.$

Nejednakosti su relacije oblika a › b, gdje su a i b izrazi koji sadrže barem jednu varijablu. Nejednakosti mogu biti stroge - ‹, › i nestroge - ≥, ≤.

Trigonometrijske nejednadžbe su izrazi oblika: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, u kojima je F(x) predstavljen jednom ili više trigonometrijskih funkcija .

Primjer najjednostavnije trigonometrijske nejednakosti je: sin x ‹ 1/2. Uobičajeno je rješavati takve probleme grafički; za to su razvijene dvije metode.

Metoda 1 - Rješavanje nejednakosti iscrtavanjem funkcije

Da biste pronašli interval koji zadovoljava uvjete nejednakosti sin x ‹ 1/2, morate učiniti sljedeće:

1. Na koordinatnoj osi konstruirajte sinusoidu y = sin x.
2. Na istoj osi nacrtajte graf numeričkog argumenta nejednakosti, tj. ravnu liniju koja prolazi točkom ½ OY ordinate.
3. Označite točke presjeka dvaju grafova.
4. Osjenčaj segment koji je rješenje primjera.

Kada u izrazu postoje jaki znakovi, točke sjecišta nisu rješenja. Budući da je najmanji pozitivni period sinusoide 2π, zapisujemo odgovor na sljedeći način:

Ako predznaci izraza nisu strogi, tada se interval rješenja mora staviti u uglate zagrade - . Odgovor na problem također se može napisati kao druga nejednakost:

Metoda 2 - Rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi pomoću jedinične kružnice

Slični problemi se lako rješavaju uz pomoć trigonometrijske kružnice. Algoritam pretraživanja je vrlo jednostavan:

1. Prvo nacrtajte jedinični krug.
2. Zatim morate zabilježiti vrijednost funkcije luka argumenta desne strane nejednadžbe na luku kružnice.
3. Potrebno je povući ravnu liniju koja prolazi kroz vrijednost lučne funkcije paralelno s x-osi (OX).
4. Nakon toga preostaje samo odabrati kružni luk koji je skup rješenja trigonometrijske nejednadžbe.
5. Odgovor upišite u traženi obrazac.

Analizirajmo korake rješenja koristeći nejednadžbu sin x › 1/2 kao primjer. Na krugu su označene točke α i β – vrijednosti

Točke luka koje se nalaze iznad α i β su interval za rješavanje zadane nejednadžbe.

Ako trebate riješiti primjer za cos, tada će luk odgovora biti smješten simetrično na os OX, a ne OY. Razliku između intervala rješenja za sin i cos možete razmotriti na dijagramima ispod u tekstu.

Grafička rješenja nejednakosti tangensa i kotangensa razlikovat će se i od sinusa i od kosinusa. To je zbog svojstava funkcija.

Arkutangens i arkotangens su tangente na trigonometrijsku kružnicu, a minimalni pozitivni period za obje funkcije je π. Da biste brzo i pravilno koristili drugu metodu, morate zapamtiti na kojoj su osi iscrtane vrijednosti sin, cos, tg i ctg.

Tangenta tangente ide paralelno s osi OY. Ako nanesemo vrijednost arctg a na jediničnu kružnicu, tada će se druga tražena točka nalaziti u dijagonalnoj četvrtini. kutovi

One su prijelomne točke za funkciju jer im graf teži, ali ih nikada ne doseže.

U slučaju kotangensa, tangenta teče paralelno s osi OX, a funkcija se prekida u točkama π i 2π.

Složene trigonometrijske nejednadžbe

Ako argument funkcije nejednakosti nije predstavljen samo varijablom, već cijelim izrazom koji sadrži nepoznanicu, tada govorimo o složenoj nejednakosti. Tijek i redoslijed njegovog rješavanja nešto se razlikuju od gore opisanih metoda. Pretpostavimo da trebamo pronaći rješenje sljedeće nejednadžbe:

Grafičko rješenje omogućuje konstrukciju obične sinusoide y = sin x za proizvoljno odabrane vrijednosti x. Izračunajmo tablicu s koordinatama za referentne točke karte:

Rezultat bi trebala biti lijepa krivulja.

Radi lakšeg pronalaženja rješenja, zamjenjujemo argument složene funkcije