Kako pronaći najveću i najmanju vrijednost funkcije u ograničenom zatvorenom području? Pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije na segmentu.

Najveća (najmanja) vrijednost funkcije je najveća (najmanja) prihvaćena vrijednost ordinate na razmatranom intervalu.

Da biste pronašli najveću ili najmanju vrijednost funkcije, trebate:

1. Provjerite koje su stacionarne točke uključene u dani segment.
2. Izračunajte vrijednost funkcije na krajevima segmenta i u stacionarnim točkama iz koraka 3
3. Od dobivenih rezultata odaberite najveću ili najmanju vrijednost.

Da biste pronašli maksimalne ili minimalne bodove trebate:

1. Nađite derivaciju funkcije $f"(x)$
2. Pronađite stacionarne točke rješavanjem jednadžbe $f"(x)=0$
3. Faktorizirajte derivaciju funkcije.
4. Nacrtajte koordinatni pravac, postavite na njega stacionarne točke i odredite predznake derivacije u dobivenim intervalima, koristeći zapis iz koraka 3.
5. Pronađite najviše ili najmanje točke prema pravilu: ako u nekoj točki derivacija promijeni predznak s plusa na minus, tada će to biti maksimalna točka (ako s minusa na plus, onda će to biti minimalna točka). U praksi je zgodno koristiti sliku strelica na intervalima: na intervalu gdje je derivacija pozitivna, strelica je povučena prema gore i obrnuto.

Tablica derivacija nekih elementarnih funkcija:

Osnovna pravila razlikovanja

1. Izvodnica zbroja i razlike jednaka je derivaciji svakog člana

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Pronađite derivaciju funkcije $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$

Derivacija zbroja i razlike jednaka je derivaciji svakog člana

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Derivat proizvoda.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Nađite derivaciju $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Derivacija kvocijenta

$((f(x))/(g(x)"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

Nađite derivaciju $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. Derivacija složene funkcije jednaka je umnošku derivacije vanjske funkcije i derivacije unutarnje funkcije

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Pronađite minimalnu točku funkcije $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

1. Nađi ODZ funkcije: $x+11>0; x>-11 dolara

2. Pronađite derivaciju funkcije $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$

3. Pronađite stacionarne točke izjednačavanjem derivacije s nulom

$(2x+21)/(x+11)=0$

Razlomak je jednak nuli ako je brojnik nula, a nazivnik nije nula.

$2x+21=0; x≠-11$

4. Nacrtajmo koordinatni pravac, postavimo na njega stacionarne točke i odredimo predznake derivacije u dobivenim intervalima. Da biste to učinili, zamijenite bilo koji broj iz krajnje desne regije u izvedenicu, na primjer, nulu.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. U točki minimuma derivacija mijenja predznak iz minusa u plus, stoga je točka $-10,5$ točka minimuma.

Odgovor: $-10,5 $

Pronađite najveću vrijednost funkcije $y=6x^5-90x^3-5$ na segmentu $[-5;1]$

1. Pronađite derivaciju funkcije $y′=30x^4-270x^2$

2. Izjednačiti derivaciju s nulom i pronaći stacionarne točke

$30x^4-270x^2=0$

Izbacimo ukupni faktor $30x^2$ iz zagrada

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

Izjednačimo svaki faktor s nulom

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Odaberite stacionarne točke koje pripadaju zadanom segmentu $[-5;1]$

Odgovaraju nam stacionarne točke $x=0$ i $x=-3$

4. Izračunajte vrijednost funkcije na krajevima segmenta iu stacionarnim točkama iz koraka 3

U ovom ću članku govoriti o tome kako primijeniti vještinu pronalaženja na proučavanje funkcije: pronaći njezinu najveću ili najmanju vrijednost. A zatim ćemo riješiti nekoliko zadataka iz Zadatka B15 iz Otvorene banke zadataka za.

Kao i obično, prvo se prisjetimo teorije.

Na početku svakog proučavanja funkcije nalazimo je

Da biste pronašli najveću ili najmanju vrijednost funkcije, potrebno je ispitati u kojim intervalima funkcija raste, au kojim opada.

Da bismo to učinili, moramo pronaći izvod funkcije i ispitati njezine intervale konstantnog predznaka, odnosno intervale u kojima izvod zadržava svoj predznak.

Intervali u kojima je derivacija funkcije pozitivna su intervali rastuće funkcije.

Intervali na kojima je derivacija funkcije negativna su intervali opadajuće funkcije.

1 . Riješimo zadatak B15 (br. 245184)

Da bismo ga riješili, slijedit ćemo sljedeći algoritam:

a) Pronađite domenu definicije funkcije

b) Nađimo izvod funkcije.

c) Izjednačimo ga s nulom.

d) Nađimo intervale konstantnog predznaka funkcije.

e) Pronađite točku u kojoj funkcija poprima najveću vrijednost.

f) Pronađite vrijednost funkcije u ovoj točki.

Detaljno rješenje ovog zadatka objašnjavam u VIDEO TUTORIALU:

Vaš preglednik vjerojatno nije podržan. Da biste koristili simulator "Sat jedinstvenog državnog ispita", pokušajte preuzeti
Firefox

2. Riješimo zadatak B15 (br. 282862)

Pronađite najveću vrijednost funkcije na segmentu

Očito je da funkcija poprima najveću vrijednost na segmentu u točki maksimuma, pri x=2. Pronađimo vrijednost funkcije u ovom trenutku:

Odgovor: 5

3. Riješimo zadatak B15 (br. 245180):

Pronađite najveću vrijednost funkcije

1. title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. Jer prema domeni definicije originalne funkcije title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. Brojnik je jednak nuli na . Provjerimo pripada li ODZ funkciji. Da bismo to učinili, provjerimo je li uvjet title="4-2x-x^2>0"> при .!}

Title="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

to znači da točka pripada funkciji ODZ

Ispitajmo predznak derivacije desno i lijevo od točke:

Vidimo da funkcija poprima svoju najveću vrijednost u točki . Pronađimo sada vrijednost funkcije na:

Napomena 1. Uočimo da u ovom zadatku nismo pronašli domenu definicije funkcije: samo smo popravili ograničenja i provjerili pripada li točka u kojoj je derivacija jednaka nuli domeni definicije funkcije. To se pokazalo dovoljnim za ovaj zadatak. Međutim, to nije uvijek slučaj. Ovisi o zadatku.

Napomena 2. Kada proučavate ponašanje složene funkcije, možete koristiti sljedeće pravilo:

• ako vanjska funkcija složene funkcije raste, tada funkcija poprima svoju najveću vrijednost u istoj točki u kojoj unutarnja funkcija poprima svoju najveću vrijednost. To proizlazi iz definicije rastuće funkcije: funkcija raste na intervalu I ako veća vrijednost argumenta iz tog intervala odgovara većoj vrijednosti funkcije.
• ako je vanjska funkcija složene funkcije opadajuća, tada funkcija poprima najveću vrijednost u istoj točki u kojoj unutarnja funkcija poprima najmanju vrijednost . To proizlazi iz definicije opadajuće funkcije: funkcija opada na intervalu I ako manja vrijednost funkcije odgovara većoj vrijednosti argumenta iz tog intervala

U našem primjeru, vanjska funkcija raste kroz cijelu domenu definicije. Pod znakom logaritma nalazi se izraz - kvadratni trinom, koji uz negativan vodeći koeficijent poprima najveću vrijednost u točki . Zatim zamijenimo ovu vrijednost x u jednadžbu funkcije i pronaći njegovu najveću vrijednost.

Standardni algoritam za rješavanje takvih problema uključuje, nakon pronalaženja nula funkcija, određivanje predznaka derivacije na intervalima. Zatim izračunavanje vrijednosti na pronađenim maksimalnim (ili minimalnim) točkama i na granici intervala, ovisno o tome koje je pitanje u uvjetu.

Savjetujem vam da stvari radite malo drugačije. Zašto? Pisao sam o ovome.

Predlažem da se takvi problemi riješe na sljedeći način:

1. Nađi izvod.
2. Nađi nulte točke izvoda.
3. Odredi koji od njih pripadaju ovom intervalu.
4. Izračunavamo vrijednosti funkcije na granicama intervala i točaka koraka 3.
5. Izvodimo zaključak (odgovaramo na postavljeno pitanje).

Prilikom rješavanja prikazanih primjera, rješavanje kvadratnih jednadžbi se ne raspravlja u detalje, to morate znati. Također bi trebali znati.

Pogledajmo primjere:

77422. Odredi najveću vrijednost funkcije y=x 3 –3x+4 na segmentu [–2;0].

Nađimo nule derivacije:

Točka x = –1 pripada intervalu navedenom u uvjetu.

Izračunavamo vrijednosti funkcije u točkama –2, –1 i 0:

Najveća vrijednost funkcije je 6.

Odgovor: 6

77425. Odredi najmanju vrijednost funkcije y = x 3 – 3x 2 + 2 na segmentu.

Nađimo izvod zadane funkcije:

Nađimo nule derivacije:

Točka x = 2 pripada intervalu navedenom u uvjetu.

Izračunavamo vrijednosti funkcije u točkama 1, 2 i 4:

Najmanja vrijednost funkcije je –2.

Odgovor: –2

77426. Pronađite najveću vrijednost funkcije y = x 3 – 6x 2 na odsječku [–3;3].

Nađimo izvod zadane funkcije:

Nađimo nule derivacije:

Interval naveden u uvjetu sadrži točku x = 0.

Izračunavamo vrijednosti funkcije u točkama –3, 0 i 3:

Najmanja vrijednost funkcije je 0.

Odgovor: 0

77429. Odredi najmanju vrijednost funkcije y = x 3 – 2x 2 + x +3 na odsječku.

Nađimo izvod zadane funkcije:

3x 2 – 4x + 1 = 0

Dobivamo korijene: x 1 = 1 x 1 = 1/3.

Interval naveden u uvjetu sadrži samo x = 1.

Nađimo vrijednosti funkcije u točkama 1 i 4:

Utvrdili smo da je najmanja vrijednost funkcije 3.

Odgovor: 3

77430. Pronađite najveću vrijednost funkcije y = x 3 + 2x 2 + x + 3 na odsječku [– 4; -1].

Nađimo izvod zadane funkcije:

Nađimo nulte točke derivacije i riješimo kvadratnu jednadžbu:

3x 2 + 4x + 1 = 0

Uzmimo korijene:

Interval naveden u uvjetu sadrži korijen x = –1.

Nalazimo vrijednosti funkcije u točkama –4, –1, –1/3 i 1:

Otkrili smo da je najveća vrijednost funkcije 3.

Odgovor: 3

77433. Pronađite najmanju vrijednost funkcije y = x 3 – x 2 – 40x +3 na odsječku.

Nađimo izvod zadane funkcije:

Nađimo nulte točke derivacije i riješimo kvadratnu jednadžbu:

3x 2 – 2x – 40 = 0

Uzmimo korijene:

Interval naveden u uvjetu sadrži korijen x = 4.

Pronađite vrijednosti funkcije u točkama 0 i 4:

Utvrdili smo da je najmanja vrijednost funkcije –109.

Odgovor: –109

Razmotrimo način određivanja najvećih i najmanjih vrijednosti funkcija bez derivata. Ovaj pristup se može koristiti ako imate velikih problema s određivanjem derivacije. Princip je jednostavan - zamijenimo sve cjelobrojne vrijednosti iz intervala u funkciju (činjenica je da je u svim takvim prototipovima odgovor cijeli broj).

77437. Pronađite najmanju vrijednost funkcije y=7+12x–x 3 na odsječku [–2;2].

Zamijenite bodove od –2 do 2: Pogledaj rješenje

77434. Nađi najveću vrijednost funkcije y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 na odsječku [–2;0].

To je sve. Sretno ti!

S poštovanjem, Alexander Krutitskikh.

P.S: Bio bih vam zahvalan ako biste mi rekli nešto o stranici na društvenim mrežama.

Kako pronaći najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu?

Za ovo slijedimo dobro poznati algoritam:

1 . Pronalaženje ODZ funkcija.

2 . Pronalaženje izvoda funkcije

3 . Izjednačavanje derivacije s nulom

4 . Nađemo intervale u kojima derivacija zadržava predznak i iz njih odredimo intervale porasta i opadanja funkcije:

Ako je na intervalu I izvod funkcije 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} povećava u ovom intervalu.

Ako je na intervalu I izvod funkcije , tada funkcija smanjuje u ovom intervalu.

5 . Pronašli smo maksimalne i minimalne točke funkcije.

U u točki maksimuma funkcije derivacija mijenja predznak iz “+” u “-”.

U minimalna točka funkcijeizvod mijenja predznak iz "-" u "+".

6 . Nalazimo vrijednost funkcije na krajevima segmenta,

• zatim uspoređujemo vrijednost funkcije na krajevima segmenta iu maksimalnim točkama, te odaberite najveću od njih ako želite pronaći najveću vrijednost funkcije
• ili usporediti vrijednost funkcije na krajevima segmenta iu minimalnim točkama, te odaberite najmanji od njih ako želite pronaći najmanju vrijednost funkcije

Međutim, ovisno o tome kako se funkcija ponaša na segmentu, ovaj se algoritam može znatno reducirati.

Razmotrite funkciju . Graf ove funkcije izgleda ovako:

Pogledajmo nekoliko primjera rješavanja problema iz Open Task Bank za

1 . Zadatak B15 (br. 26695)

Na segmentu.

1. Funkcija je definirana za sve realne vrijednosti x

Očito, ova jednadžba nema rješenja, a derivacija je pozitivna za sve vrijednosti x. Posljedično, funkcija raste i najveću vrijednost poprima na desnom kraju intervala, odnosno pri x=0.

Odgovor: 5.

2 . Zadatak B15 (br. 26702)

Pronađite najveću vrijednost funkcije na segmentu.

1. ODZ funkcije title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Derivacija je jednaka nuli na , ali u tim točkama ne mijenja predznak:

Prema tome, title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} raste i poprima najveću vrijednost na desnom kraju intervala, na .

Da bi bilo jasno zašto derivacija ne mijenja predznak, transformiramo izraz za derivaciju na sljedeći način:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Odgovor: 5.

3. Zadatak B15 (br. 26708)

Pronađite najmanju vrijednost funkcije na segmentu.

1. ODZ funkcije: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Postavimo korijene ove jednadžbe na trigonometrijsku kružnicu.

Interval sadrži dva broja: i

Postavimo znakove. Da bismo to učinili, odredimo predznak derivacije u točki x=0: . Prolaskom kroz točke i derivacija mijenja predznak.

Oslikajmo promjenu predznaka derivacije funkcije na koordinatnoj liniji:

Očito, točka je minimalna točka (u kojoj derivat mijenja predznak s "-" na "+"), a da biste pronašli najmanju vrijednost funkcije na segmentu, morate usporediti vrijednosti funkcije na minimalnoj točki i na lijevom kraju segmenta, .

Proučavanje takvog objekta matematičke analize kao što je funkcija od velike je važnosti značenje i u drugim područjima znanosti. Na primjer, u ekonomskoj analizi postoji stalna potreba za procjenom ponašanja funkcije dobiti, naime odrediti njezinu najveću značenje i razviti strategiju za postizanje toga.

upute

Proučavanje bilo kojeg ponašanja uvijek treba započeti potragom za domenom definicije. Obično je prema uvjetima konkretnog problema potrebno odrediti najveću značenje funkcije bilo na cijelom ovom području, bilo na određenom njegovom dijelu s otvorenim ili zatvorenim granicama.

Na temelju , najveći je značenje funkcije y(x0), u kojoj za bilo koju točku u domeni definicije vrijedi nejednakost y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0). Grafički, ova će točka biti najviša ako su vrijednosti argumenata postavljene duž osi apscise, a sama funkcija duž osi ordinate.

Za utvrđivanje najvećeg značenje funkcije, slijedite algoritam u tri koraka. Imajte na umu da morate znati raditi s jednostranim i , kao i izračunati derivaciju. Dakle, neka je dana neka funkcija y(x) i trebate pronaći njen najveći značenje na određenom intervalu s graničnim vrijednostima A i B.

Utvrdite je li taj interval unutar opsega definicije funkcije. Da biste to učinili, morate ga pronaći uzimajući u obzir sva moguća ograničenja: prisutnost razlomka, kvadratnog korijena itd. u izrazu. Domena definicije je skup vrijednosti argumenata za koje funkcija ima smisla. Odredite je li dati interval njegov podskup. Ako da, prijeđite na sljedeći korak.

Nađi izvedenicu funkcije te dobivenu jednadžbu riješiti izjednačavanjem derivacije s nulom. Na taj način ćete dobiti vrijednosti tzv. stacionarnih točaka. Ocijenite da li barem jedan od njih pripada intervalu A, B.

U trećoj fazi, razmotrite ove točke i zamijenite njihove vrijednosti u funkciji. Ovisno o vrsti intervala, izvršite sljedeće dodatne korake. Ako postoji segment oblika [A, B], granične točke su uključene u interval; to je označeno zagradama. Izračunajte vrijednosti funkcije za x = A i x = B. Ako je interval otvoren (A, B), granične vrijednosti su probijene, tj. nisu uključeni u njega. Riješite jednostrane granice za x→A i x→B. Kombinirani interval oblika [A, B) ili (A, B), čija mu jedna granica pripada, a druga ne. Pronađite jednostranu granicu dok x teži iscrtanoj vrijednosti, a drugu zamijenite u Beskonačni dvostrani interval (-∞, +∞) ili jednostrani beskonačni intervali oblika: , (-∞, B). Za stvarne limite A i B postupite prema već opisanim principima, a za beskonačne, potražite granice za x→-∞ odnosno x→+∞.

Zadatak u ovoj fazi