F x 4x 3 6x 2 antiderivacija. Integrali za lutke: kako riješiti, pravila izračuna, objašnjenje

Jedna od operacija diferenciranja je pronalaženje izvoda (diferencijala) i njegova primjena na proučavanje funkcija.

Ništa manje važan nije ni obrnuti problem. Ako je poznato ponašanje funkcije u blizini svake točke njezine definicije, kako se onda može rekonstruirati funkcija kao cjelina, tj. u cijelom opsegu svoje definicije. Ovaj problem je predmet proučavanja tzv. integralnog računa.

Integracija je inverzna akcija diferencijacije. Ili vraćanje funkcije f(x) iz dane derivacije f`(x). Latinska riječ “integro” znači restauracija.

Primjer br. 1.

Neka je (f(x))' = 3x 2. Nađimo f(x).

Riješenje:

Na temelju pravila diferenciranja nije teško pogoditi da je f(x) = x 3, jer

(x 3)’ = 3x 2 Međutim, lako se može vidjeti da se f(x) ne može pronaći jednoznačno. Kao f(x), možete uzeti f(x)= x 3 +1 f(x)= x 3 +2 f(x)= x 3 -3, itd.

Jer derivacija svakog od njih je 3x 2. (Derivacija konstante je 0). Sve te funkcije se međusobno razlikuju konstantnim članom. Zato zajednička odluka problem se može napisati u obliku f(x)= x 3 +C, gdje je C bilo koji konstantni realni broj.

Poziva se bilo koja od pronađenih funkcija f(x). antiderivat za funkciju F`(x)= 3x 2

Definicija.

Funkciju F(x) nazivamo antiderivacijom za funkciju f(x) na danom intervalu J ako je za sve x iz tog intervala F`(x)= f(x). Dakle, funkcija F(x)=x 3 je antiderivativna za f(x)=3x 2 na (- ∞ ; ∞). Budući da za sve x ~R vrijedi jednakost: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Kao što smo već primijetili, ova funkcija ima beskonačan broj antiderivacija.

Primjer br. 2.

Funkcija je antiderivativna za sve na intervalu (0; +∞), jer za sve h iz ovog intervala vrijedi jednakost.

Problem integracije je da se dana funkcija pronaći sve njegove antiderivate. Prilikom rješavanja ovog problema važnu ulogu igra sljedeća izjava:

Znak stalnosti funkcije. Ako je F"(x) = 0 na nekom intervalu I, tada je funkcija F konstantna na tom intervalu.

Dokaz.

Fiksirajmo neki x 0 iz intervala I. Tada za bilo koji broj x iz takvog intervala, pomoću Lagrangeove formule, možemo označiti broj c koji se nalazi između x i x 0 tako da je

F(x) - F(x 0) = F"(c)(x-x 0).

Prema uvjetu, F’ (c) = 0, budući da je c ∈1, dakle,

F(x) - F(x 0) = 0.

Dakle, za sve x iz intervala I

odnosno funkcija F održava konstantnu vrijednost.

Sve antiderivativne funkcije f mogu se napisati pomoću jedne formule koja se zove opći oblik antiderivacija za funkciju f. Sljedeći teorem je istinit ( glavno svojstvo antiderivata):

Teorema. Svaka antiderivacija za funkciju f na intervalu I može se napisati u obliku

F(x) + C, (1) gdje je F (x) jedna od antiderivacija za funkciju f (x) na intervalu I, a C je proizvoljna konstanta.

Objasnimo ovu tvrdnju u kojoj su ukratko formulirana dva svojstva antiderivacije:

1. Koji god broj stavili u izraz (1) umjesto C, dobivamo antiderivaciju za f na intervalu I;
2. bez obzira koja se antiderivacija F za f na intervalu I uzme, moguće je odabrati broj C tako da za sve x iz intervala I vrijedi jednakost

Dokaz.

1. Prema uvjetu, funkcija F je antiderivativna za f na intervalu I. Prema tome, F"(x)= f (x) za bilo koji x∈1, dakle (F(x) + C)" = F"(x) + C"= f(x)+0=f(x), tj. F(x) + C je antiderivacija za funkciju f.
2. Neka je F (x) jedna od antiderivacija za funkciju f na istom intervalu I, tj. F "(x) = f (h) za sve x∈I.

Tada je (F(x) - F (x))" = F"(x)-F' (x) = f(x)-f(x)=0.

Odavde slijedi c. potencija predznaka stalnosti funkcije, da je razlika F(h) - F(h) funkcija koja na intervalu I poprima neku konstantnu vrijednost C.

Dakle, za sve x iz intervala I vrijedi jednakost F(x) - F(x)=S, što je i trebalo dokazati. Glavnom svojstvu antiderivacije može se dati geometrijsko značenje: grafovi bilo koje dvije antiderivacije za funkciju f dobiveni su jedan iz drugoga paralelnom translacijom duž Oy osi

Pitanja za bilješke

Funkcija F(x) je antiderivacija funkcije f(x). Nađite F(1) ako je f(x)=9x2 - 6x + 1 i F(-1) = 2.

Pronađite sve antiderivacije za funkciju

Za funkciju (x) = cos2 * sin2x pronađite antiderivaciju od F(x) ako je F(0) = 0.

Za funkciju pronađite antiderivaciju čiji graf prolazi kroz točku

Definicija antiderivacije.

Antiderivacija funkcije f(x) na intervalu (a; b) je funkcija F(x) takva da jednakost vrijedi za bilo koji x iz danog intervala.

Ako uzmemo u obzir činjenicu da je derivacija konstante C jednaka nuli, onda vrijedi jednakost . Dakle, funkcija f(x) ima skup antiderivacija F(x)+C, za proizvoljnu konstantu C, a te se antiderivacije međusobno razlikuju po proizvoljnoj konstantnoj vrijednosti.

Definicija neodređenog integrala.

Cijeli skup antiderivacija funkcije f(x) naziva se neodređenim integralom te funkcije i označava se .

Izraz se zove integrand, i f(x) – funkcija integranda. Integrand predstavlja diferencijal funkcije f(x) .

Radnja pronalaženja nepoznate funkcije s obzirom na njezin diferencijal naziva se neizvjestan integracija, jer rezultat integracije nije jedna funkcija F(x), već skup njenih antiderivacija F(x)+C.

Na temelju svojstava derivacije može se formulirati i dokazati svojstva neodređenog integrala(svojstva antiderivacije).

Radi pojašnjenja date su međujednakosti prvog i drugog svojstva neodređenog integrala.

Za dokaz trećeg i četvrtog svojstva dovoljno je pronaći derivacije desnih strana jednakosti:

Te su derivacije jednake integrandima, što je dokaz zbog prvog svojstva. Također se koristi u posljednjim prijelazima.

Dakle, problem integracije je inverzan problemu diferencijacije, a postoji vrlo bliska veza između ovih problema:

• prvo svojstvo omogućuje provjeru integracije. Za provjeru ispravnosti provedene integracije dovoljno je izračunati derivaciju dobivenog rezultata. Ako se funkcija dobivena kao rezultat diferenciranja pokaže jednakom integrandu, to će značiti da je integracija izvršena ispravno;
• drugo svojstvo neodređenog integrala omogućuje pronalaženje njegove antiderivacije iz poznatog diferencijala funkcije. Na ovom se svojstvu temelji izravan izračun neodređenih integrala.

Pogledajmo primjer.

Primjer.

Nađite antiderivaciju funkcije čija je vrijednost jednaka jedan u x = 1.

Riješenje.

Znamo iz diferencijalni račun, Što (samo pogledajte tablicu izvedenica osnovne elementarne funkcije). Tako, . Po drugom svojstvu . Odnosno, imamo mnogo antiderivata. Za x = 1 dobivamo vrijednost . Prema uvjetu ta vrijednost mora biti jednaka jedinici, dakle C = 1. Željeni antiderivat poprimit će oblik .

Primjer.

Nađi neodređeni integral a rezultat provjeriti diferenciranjem.

Riješenje.

Korištenje formule sinusa dvostrukog kuta iz trigonometrije , Zato

Antiderivativna funkcija i neodređeni integral

Činjenica 1. Integracija je inverzna radnja diferencijacije, naime vraćanje funkcije iz poznate derivacije te funkcije. Funkcija je tako obnovljena F(x) Zove se antiderivat za funkciju f(x).

Definicija 1. Funkcija F(x f(x) na nekom intervalu x, ako je za sve vrijednosti x iz ovog intervala vrijedi jednakost F "(x)=f(x), odnosno ovu funkciju f(x) je derivacija antiderivacijske funkcije F(x). .

Na primjer, funkcija F(x) = grijeh x je antiderivacija funkcije f(x) = cos x na cijelom brojevnom pravcu, jer za bilo koju vrijednost x (grijeh x)" = (cos x) .

Definicija 2. Neodređeni integral funkcije f(x) je skup svih njegovih antiderivata. U ovom slučaju koristi se notacija

∫

f(x)dx

,

gdje je znak ∫ naziva integralni znak, funkcija f(x) – funkcija integranda, i f(x)dx – izraz integranda.

Dakle, ako F(x) – neki antiderivat za f(x) , To

∫

f(x)dx = F(x) +C

Gdje C - proizvoljna konstanta (konstanta).

Za razumijevanje značenja skupa antiderivacija funkcije kao neodređenog integrala prikladna je sljedeća analogija. Neka budu vrata (tradicionalna drvena vrata). Njegova je funkcija "biti vrata". Od čega su napravljena vrata? Napravljeno od drveta. To znači da je skup antiderivacija integranda funkcije “biti vrata”, odnosno njenog neodređenog integrala, funkcija “biti stablo + C”, gdje je C konstanta, koja u ovom kontekstu može označavaju, na primjer, vrstu drveta. Baš kao što su vrata izrađena od drva korištenjem nekih alata, derivat funkcije je "napravljen" od antiderivativne funkcije pomoću formule koje smo naučili proučavajući izvod .

Zatim je tablica funkcija uobičajenih predmeta i njihovih odgovarajućih antiderivata ("biti vrata" - "biti drvo", "biti žlica" - "biti metal", itd.) slična tablici osnovnih neodređeni integrali, koji će biti navedeni u nastavku. U tablici neodređenih integrala navedene su uobičajene funkcije s naznakom antiderivacija od kojih su te funkcije “napravljene”. U dijelu zadataka nalaženja neodređenog integrala dani su integranti koji se mogu integrirati izravno bez većeg napora, odnosno pomoću tablice neodređenih integrala. U složenijim problemima, integrand se prvo mora transformirati kako bi se mogli koristiti tablični integrali.

Činjenica 2. Kada obnavljamo funkciju kao antiderivaciju, moramo uzeti u obzir proizvoljnu konstantu (konstantu) C, a kako ne biste pisali popis antiderivacija s raznim konstantama od 1 do beskonačno, trebate napisati skup antiderivacija s proizvoljnom konstantom C, na primjer, ovako: 5 x³+C. Dakle, proizvoljna konstanta (konstanta) je uključena u izraz antiderivacije, budući da antiderivacija može biti funkcija, npr. 5 x³+4 ili 5 x³+3 i kada se diferencira, 4 ili 3, ili bilo koja druga konstanta ide na nulu.

Postavimo problem integracije: za ovu funkciju f(x) pronaći takvu funkciju F(x), čiji derivat jednak f(x).

Primjer 1. Pronađite skup antiderivacija funkcije

Riješenje. Za ovu funkciju antiderivacija je funkcija

Funkcija F(x) naziva se antiderivacija za funkciju f(x), ako je derivat F(x) jednako je f(x), ili, što je isto, diferencijal F(x) je jednako f(x) dx, tj.

(2)

Stoga je funkcija antiderivat funkcije. Međutim, to nije jedini antiderivat za . Oni također služe kao funkcije

Gdje S– proizvoljna konstanta. To se može provjeriti diferencijacijom.

Dakle, ako postoji jedna antiderivacija za funkciju, tada za nju postoji beskonačan broj antiderivacija koje se razlikuju po konstantnom članu. Sve antiderivacije za funkciju napisane su u gornjem obliku. To slijedi iz sljedećeg teorema.

Teorem (formalna izjava činjenice 2). Ako F(x) – antiderivacija za funkciju f(x) na nekom intervalu x, zatim bilo koji drugi antiderivat za f(x) na istom intervalu mogu se prikazati u obliku F(x) + C, Gdje S– proizvoljna konstanta.

U sljedećem primjeru prelazimo na tablicu integrala koja će biti dana u paragrafu 3, nakon svojstava neodređenog integrala. To radimo prije čitanja cijele tablice kako bi bila jasna suština navedenog. A nakon tablice i svojstava, koristit ćemo ih u cijelosti tijekom integracije.

Primjer 2. Pronađite skupove antiderivacijske funkcije:

Riješenje. Pronalazimo skupove antiderivacijskih funkcija od kojih su te funkcije "napravljene". Kad spominjemo formule iz tablice integrala, za sada samo prihvatite da takve formule postoje, a samu tablicu neodređenih integrala ćemo malo dalje proučiti.

1) Primjenom formule (7) iz tablice integrala za n= 3, dobivamo

2) Pomoću formule (10) iz tablice integrala za n= 1/3, imamo

3) Budući da

tada prema formuli (7) sa n= -1/4 nalazimo

Pod znakom integrala nije zapisana sama funkcija f, a njegov umnožak s diferencijalom dx. Ovo je prvenstveno učinjeno kako bi se pokazalo po kojoj se varijabli traži antiderivacija. Na primjer,

, ;

ovdje je u oba slučaja integrand jednak , ali se njegovi neodređeni integrali u razmatranim slučajevima pokazuju različitima. U prvom slučaju ova se funkcija smatra funkcijom varijable x, au drugom - kao funkcija z .

Proces pronalaženja neodređenog integrala funkcije naziva se integriranje te funkcije.

Geometrijsko značenje neodređenog integrala

Pretpostavimo da trebamo pronaći krivulju y=F(x) a već znamo da je tangens tangentnog kuta u svakoj njegovoj točki zadana funkcija f(x) apscisa ove točke.

Prema geometrijskom značenju izvoda, tangens kuta nagiba tangente u danoj točki krivulje y=F(x) jednaka vrijednosti derivata F"(x). Dakle, moramo pronaći takvu funkciju F(x), za koji F"(x)=f(x). Funkcija potrebna u zadatku F(x) je antiderivat od f(x). Uvjete problema ne zadovoljava jedna krivulja, već porodica krivulja. y=F(x)- jedna od takvih krivulja, a iz nje se paralelnom translacijom duž osi može dobiti bilo koja druga krivulja Joj.

Nazovimo graf antiderivacijske funkcije od f(x) integralna krivulja. Ako F"(x)=f(x), zatim graf funkcije y=F(x) postoji integralna krivulja.

Činjenica 3. Neodređeni integral je geometrijski predstavljen skupom svih integralnih krivulja , kao na slici ispod. Udaljenost svake krivulje od ishodišta koordinata određena je proizvoljnom integracijskom konstantom C.

Svojstva neodređenog integrala

Činjenica 4. Teorem 1. Derivacija neodređenog integrala jednaka je integrandu, a njegov diferencijal jednak je integrandu.

Činjenica 5. Teorem 2. Neodređeni integral diferencijala funkcije f(x) jednaka je funkciji f(x) do konstantnog člana , tj.

(3)

Teoremi 1 i 2 pokazuju da su diferenciranje i integracija međusobno inverzne operacije.

Činjenica 6. Teorem 3. Konstantni faktor u integrandu može se skinuti s predznaka neodređenog integrala , tj.

Tablica antiderivata

Definicija. Funkcija F(x) na zadanom intervalu naziva se antiderivacija za funkciju f(x) , za sve x iz ovog intervala, ako je F"(x)=f(x) .

Operacija nalaženja antiderivacije za funkciju naziva se integracija. To je inverzna operacija diferenciranja.

Teorema. Svaka funkcija (x) kontinuirana na intervalu ima antiderivaciju na istom intervalu.

Teorem (glavno svojstvo antiderivacije). Ako je na nekom intervalu funkcija F(x) antiderivacija funkcije f(x), tada će na tom intervalu funkcija F(x)+C također biti antiderivacija f(x), gdje je C proizvoljna konstanta .

Iz ovog teorema slijedi da kada f(x) ima antiderivativnu funkciju F(x) na danom intervalu, tada postoji mnogo ovih primitiva. Davanje C proizvoljno brojčane vrijednosti, svaki put ćemo dobiti antiderivacijsku funkciju.

Pronaći upotrebu antiderivata tablica antiderivata. Dobiva se iz tablice izvoda.

Pojam neodređenog integrala

Definicija. Skup svih antiderivacijskih funkcija za funkciju f(x) naziva se neodređeni integral i označen je .

U ovom slučaju poziva se f(x). funkcija integranda i f(x) dx - integrand.

Prema tome, ako je F(x) antiderivacija f(x) tada .

Svojstva neodređenog integrala

Pojam određenog integrala

Razmotrimo ravnu figuru, ograničen rasporedom kontinuirani i nenegativni na intervalu [a; b] funkcija f(x) , segment [a; b] , te prave x=a i x=b .

Dobivena figura zove se zakrivljeni trapez. Izračunajmo njegovu površinu.

Da bismo to učinili, podijelimo segment [a; b] na n jednakih segmenata. Duljine svakog segmenta jednake su Δx.

Ovo je dinamički GeoGebra crtež.
Crveni elementi se mogu mijenjati

Riža. 1. Pojam određenog integrala

Na svakom segmentu ćemo konstruirati pravokutnike visine f(x k-1) (slika 1).

Površina svakog takvog pravokutnika jednaka je S k = f(x k-1)Δx k.

Površina svih takvih pravokutnika jednaka je .

Ovaj iznos se zove integralni zbroj za funkciju f(x) .

Ako je n→∞ tada će se površina ovako konstruirane figure sve manje razlikovati od površine krivocrtnog trapeza.

Definicija. Granica integralnog zbroja kada je n→∞ zove se određeni integral, a piše se ovako: .

glasi: "integral od a do b f od xdx"

Broj a naziva se donja granica integracije, b je gornja granica integracije, segment [a; b] – interval integracije.

Svojstva određenog integrala

Newton-Leibnizova formula

Određeni integral je usko povezan s antiderivacijskim i neodređenim integralom Newton-Leibnizova formula

.

Korištenje Integrala

Integralni račun naširoko se koristi u rješavanju niza praktičnih problema. Pogledajmo neke od njih.

Izračunavanje volumena tijela

Neka je dana funkcija koja zadaje površinu poprečnog presjeka tijela ovisno o nekoj varijabli S = s(x), x[a; b] . Tada se volumen zadanog tijela može pronaći integriranjem ovu funkciju u odgovarajućim granicama.
Ako nam je zadano tijelo koje je dobiveno rotacijom krivocrtnog trapeza oko osi Ox ograničeno nekom funkcijom f(x), x [a; b] . (slika 3). Tada se površine poprečnog presjeka mogu izračunati pomoću dobro poznate formule S = π f 2 (x). Stoga je formula za volumen takvog tijela revolucije

Prethodno smo za zadanu funkciju, vođeni različitim formulama i pravilima, pronašli njezinu derivaciju. Izvedenica ima brojne namjene: to je brzina kretanja (ili, općenitije, brzina bilo kojeg procesa); nagib tangenta na graf funkcije; koristeći izvod, možete ispitati funkciju na monotonost i ekstreme; pomaže u rješavanju problema optimizacije.

Ali uz problem nalaženja brzine prema poznatom zakonu gibanja, postoji i obrnuti problem - problem vraćanja zakona gibanja prema poznatoj brzini. Razmotrimo jedan od ovih problema.

Primjer 1. Materijalna točka se giba pravocrtno, njena brzina u trenutku t dana je formulom v=gt. Pronađite zakon gibanja.
Riješenje. Neka je s = s(t) željeni zakon gibanja. Poznato je da je s"(t) = v(t). To znači da za rješavanje problema trebate odabrati funkciju s = s(t), čija je derivacija jednaka gt. Nije teško pogoditi da je \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2)\).
\(s"(t) = \lijevo(\frac(gt^2)(2) \desno)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Odgovor: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

Odmah napomenimo da je primjer riješen točno, ali nepotpuno. Dobili smo \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Zapravo, problem ima beskonačno mnogo rješenja: bilo koja funkcija oblika \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), gdje je C proizvoljna konstanta, može poslužiti kao zakon kretanje, jer \(\lijevo (\frac(gt^2)(2) +C \desno)" = gt \)

Da bismo problem učinili specifičnijim, morali smo popraviti početnu situaciju: označiti koordinatu pomične točke u nekom trenutku u vremenu, na primjer u t = 0. Ako je, recimo, s(0) = s 0, tada iz jednakosti s(t) = (gt 2)/2 + C dobivamo: s(0) = 0 + C, tj. C = s 0. Sada je zakon gibanja jedinstveno definiran: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

U matematici se međusobno obrnutim operacijama daju različiti nazivi i izmišljene su posebne oznake, na primjer: kvadriranje (x 2) i izdvajanje korijen(\(\sqrt(x) \)), sinus (sin x) i arcsinus (arcsin x), itd. Proces pronalaženja derivacije zadane funkcije naziva se diferencijacija, a inverzna operacija, tj. postupak nalaženja funkcije iz zadane derivacije je integracija.

Sam termin “derivacija” može biti opravdan “u svakodnevnom smislu”: funkcija y = f(x) “rađa” novu funkciju y" = f"(x). Funkcija y = f(x) djeluje kao “roditelj”, ali je matematičari, naravno, ne nazivaju “roditelj” ili “proizvođač” nego kažu da jest, u odnosu na funkciju y" = f"( x), primarna slika ili primitivna.

Definicija. Funkcija y = F(x) se zove antiderivacija za funkciju y = f(x) na intervalu X ako jednakost F"(x) = f(x) vrijedi za \(x \u X\)

U praksi se interval X obično ne specificira, ali se podrazumijeva (kao prirodno područje definiranja funkcije).

Navedimo primjere.
1) Funkcija y = x 2 je antiderivativna za funkciju y = 2x, jer za bilo koji x vrijedi jednakost (x 2)" = 2x
2) Funkcija y = x 3 je antiderivativna za funkciju y = 3x 2, jer za bilo koji x vrijedi jednakost (x 3)" = 3x 2
3) Funkcija y = sin(x) je antiderivativna za funkciju y = cos(x), jer za bilo koji x vrijedi jednakost (sin(x))" = cos(x)

Pri pronalaženju antiderivata, kao i derivata, ne koriste se samo formule, već i neka pravila. Oni su izravno povezani s odgovarajućim pravilima za izračun izvedenica.

Znamo da je derivacija zbroja jednaka zbroju njegovih derivacija. Ovo pravilo generira odgovarajuće pravilo za pronalaženje antiderivata.

Pravilo 1. Antiderivacija zbroja jednaka je zbroju antiderivacija.

Znamo da se faktor konstante može uzeti iz predznaka derivacije. Ovo pravilo generira odgovarajuće pravilo za pronalaženje antiderivata.

Pravilo 2. Ako je F(x) antiderivacija za f(x), onda je kF(x) antiderivacija za kf(x).

Teorem 1. Ako je y = F(x) antiderivacija za funkciju y = f(x), tada je antiderivacija za funkciju y = f(kx + m) funkcija \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)

Teorem 2. Ako je y = F(x) antiderivacija za funkciju y = f(x) na intervalu X, tada funkcija y = f(x) ima beskonačno mnogo antiderivacija, a sve imaju oblik y = F(x) + C.

Metode integracije

Metoda zamjene varijable (metoda zamjene)

Metoda integracije supstitucijom uključuje uvođenje nove integracijske varijable (odnosno supstitucije). U tom se slučaju zadani integral svodi na novi integral, koji je tablični ili se na njega može svesti. Uobičajene metode nema izbora zamjena. Sposobnost pravilnog određivanja zamjene stječe se vježbom.
Neka je potrebno izračunati integral \(\textstyle \int F(x)dx \). Napravimo zamjenu \(x= \varphi(t) \) gdje je \(\varphi(t) \) funkcija koja ima kontinuiranu derivaciju.
Zatim \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) i na temelju svojstva invarijantnosti integracijske formule za neodređeni integral, dobivamo integracijsku formulu supstitucijom:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

Integracija izraza oblika \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)

Ako je m neparan, m > 0, tada je prikladnije izvršiti zamjenu sin x = t.
Ako je n neparan, n > 0, tada je prikladnije izvršiti zamjenu cos x = t.
Ako su n i m parni, tada je prikladnije napraviti zamjenu tg x = t.

Integracija po dijelovima

Integracija po dijelovima - primjenom sljedeće formule za integraciju:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
ili:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Tablica neodređenih integrala (antiderivacija) nekih funkcija

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$