Pronađite izravni kalkulator nagiba. Kako pronaći nagib jednadžbe

Nastavak teme, jednadžba pravca na ravnini temelji se na proučavanju pravca iz lekcija algebre. Ovaj članak pruža opće informacije o temi jednadžbe ravne crte s nagibom. Razmotrimo definicije, shvatimo samu jednadžbu i identificirajmo vezu s drugim vrstama jednadžbi. O svemu će se govoriti na primjerima rješavanja problema.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Prije pisanja takve jednadžbe potrebno je definirati kut nagiba pravca prema osi O x s njihovim kutnim koeficijentom. Pretpostavimo da je zadan Kartezijev koordinatni sustav O x na ravnini.

Definicija 1

Kut nagiba ravne linije prema osi O x, koji se nalazi u kartezijevom koordinatnom sustavu O x y na ravnini, to je kut koji se mjeri od pozitivnog smjera O x do ravne crte u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

Kada je pravac paralelan s O x ili se u njemu podudara, kut nagiba je 0. Tada je kut nagiba zadanog pravca α definiran na intervalu [ 0 , π) .

Definicija 2

Izravni nagib je tangens kuta nagiba zadane ravne crte.

Standardna oznaka je k. Iz definicije nalazimo da je k = t g α . Kada je pravac paralelan s Ox, kažu da nagib ne postoji, jer ide u beskonačnost.

Nagib je pozitivan kada graf funkcije raste i obrnuto. Slika prikazuje različite varijacije položaja pravog kuta u odnosu na koordinatni sustav s vrijednošću koeficijenta.

Za pronalaženje tog kuta potrebno je primijeniti definiciju kutnog koeficijenta i izračunati tangens kuta nagiba u ravnini.

Riješenje

Iz uvjeta imamo da je α = 120°. Prema definiciji, nagib se mora izračunati. Nađimo ga iz formule k = t g α = 120 = - 3.

Odgovor: k = - 3 .

Ako je kutni koeficijent poznat, a potrebno je pronaći kut nagiba prema osi apscise, tada treba uzeti u obzir vrijednost kutnog koeficijenta. Ako je k > 0, tada je pravi kut oštar i nalazi se po formuli α = a r c t g k. Ako k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

Primjer 2

Odredite kut nagiba zadanog pravca prema O x s kutnim koeficijentom 3.

Riješenje

Iz uvjeta imamo da je kutni koeficijent pozitivan, što znači da je kut nagiba prema O x manji od 90 stupnjeva. Izračuni se rade pomoću formule α = a r c t g k = a r c t g 3.

Odgovor: α = a r c t g 3 .

Primjer 3

Odredite kut nagiba pravca prema osi O x ako je nagib = - 1 3.

Riješenje

Ako za oznaku kutnog koeficijenta uzmemo slovo k, tada je α kut nagiba prema danoj ravnoj liniji u pozitivnom smjeru O x. Stoga je k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6.

Odgovor: 5 π 6 .

Jednadžba oblika y = k x + b, gdje je k nagib, a b neki realni broj, naziva se jednadžba pravca s nagibom. Jednadžba je tipična za bilo koju ravnu liniju koja nije paralelna s Oy osi.

Ako detaljno razmotrimo ravnu liniju na ravnini u fiksnom koordinatnom sustavu, koja je određena jednadžbom s kutnim koeficijentom koji ima oblik y = k x + b. U ovom slučaju to znači da jednadžba odgovara koordinatama bilo koje točke na liniji. Ako koordinate točke M, M 1 (x 1, y 1) zamijenimo u jednadžbu y = k x + b, tada će u ovom slučaju pravac prolaziti kroz ovu točku, inače točka ne pripada pravcu.

Primjer 4

Dana je ravna crta s nagibom y = 1 3 x - 1. Izračunajte pripadaju li točke M 1 (3, 0) i M 2 (2, - 2) zadanom pravcu.

Riješenje

Potrebno je zamijeniti koordinate točke M 1 (3, 0) u zadanu jednadžbu, tada dobivamo 0 = 1 3 · 3 - 1 ⇔ 0 = 0. Jednakost je istinita, što znači da točka pripada pravcu.

Ako koordinate točke M 2 zamijenimo (2, - 2), tada ćemo dobiti netočnu jednakost oblika - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3. Možemo zaključiti da točka M 2 ne pripada pravcu.

Odgovor: M 1 pripada pravoj, ali M 2 ne pripada.

Poznato je da je pravac definiran jednadžbom y = k · x + b, koja prolazi kroz M 1 (0, b), supstitucijom smo dobili jednakost oblika b = k · 0 + b ⇔ b = b. Iz ovoga možemo zaključiti da jednadžba pravca s kutnim koeficijentom y = k x + b na ravnini definira pravac koji prolazi kroz točku 0, b. S pozitivnim smjerom osi O x čini kut α, gdje je k = t g α.

Razmotrimo, kao primjer, ravnu liniju definiranu pomoću kutnog koeficijenta navedenog u obliku y = 3 x - 1. Dobivamo da će pravac prolaziti točkom s koordinatama 0, - 1 s nagibom α = a r c t g 3 = π 3 radijana u pozitivnom smjeru osi O x. To pokazuje da je koeficijent 3.

Jednadžba pravca s nagibom koji prolazi kroz zadanu točku

Potrebno je riješiti zadatak u kojem je potrebno dobiti jednadžbu pravca zadanog nagiba koji prolazi točkom M 1 (x 1, y 1).

Jednakost y 1 = k · x + b može se smatrati valjanom jer pravac prolazi točkom M 1 (x 1, y 1). Za uklanjanje broja b potrebno je jednadžbu s nagibom oduzeti s lijeve i desne strane. Iz ovoga slijedi da je y - y 1 = k · (x - x 1) . Ova se jednakost naziva jednadžbom pravca sa zadanim nagibom k, koji prolazi kroz koordinate točke M 1 (x 1, y 1).

Primjer 5

Napišite jednadžbu za ravnu liniju koja prolazi točkom M 1 s koordinatama (4, - 1), s kutnim koeficijentom jednakim - 2.

Riješenje

Prema uvjetu imamo da je x 1 = 4, y 1 = - 1, k = - 2. Odavde će jednadžba pravca biti zapisana na sljedeći način: y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7 .

Odgovor: y = - 2 x + 7 .

Primjer 6

Napišite jednadžbu pravca s kutnim koeficijentom koji prolazi točkom M 1 s koordinatama (3, 5), paralelno s pravcem y = 2 x - 2.

Riješenje

Po uvjetu imamo da paralelni pravci imaju jednake kutove nagiba, što znači da su kutni koeficijenti jednaki. Da biste pronašli nagib iz ove jednadžbe, morate se sjetiti njezine osnovne formule y = 2 x - 2, iz koje slijedi da je k = 2. Sastavljamo jednadžbu s koeficijentom nagiba i dobivamo:

y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

Odgovor: y = 2 x - 1 .

Prijelaz s jednadžbe pravca s nagibom na druge vrste jednadžbi pravca i natrag

Ova jednadžba nije uvijek primjenjiva za rješavanje problema, jer nije baš zgodno napisana. Da biste to učinili, morate ga predstaviti u drugom obliku. Na primjer, jednadžba oblika y = k x + b ne dopušta nam da zapišemo koordinate vektora smjera pravca ili koordinate vektora normale. Da biste to učinili, morate naučiti predstavljati jednadžbama drugačijeg tipa.

Kanonsku jednadžbu pravca na ravnini možemo dobiti pomoću jednadžbe pravca s kutnim koeficijentom. Dobivamo x - x 1 a x = y - y 1 a y . Potrebno je pomaknuti član b na lijevu stranu i podijeliti s izrazom dobivene nejednadžbe. Tada dobivamo jednadžbu oblika y = k · x + b ⇔ y - b = k · x ⇔ k · x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k.

Jednadžba pravca s nagibom postala je kanonska jednadžba ovog pravca.

Primjer 7

Dovedite jednadžbu pravca s kutnim koeficijentom y = - 3 x + 12 u kanonski oblik.

Riješenje

Izračunajmo ga i predstavimo u obliku kanonske jednadžbe pravca. Dobivamo jednadžbu oblika:

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

Odgovor: x 1 = y - 12 - 3.

Opću jednadžbu pravca najlakše je dobiti iz y = k · x + b, ali za to je potrebno napraviti transformacije: y = k · x + b ⇔ k · x - y + b = 0. Izvodi se prijelaz s opće jednadžbe pravca na jednadžbe drugog tipa.

Primjer 8

Dana je jednadžba ravnog pravca oblika y = 1 7 x - 2 . Utvrdite je li vektor s koordinatama a → = (- 1, 7) vektor normale?

Riješenje

Za rješavanje potrebno je prijeći na drugi oblik ove jednadžbe, za to pišemo:

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

Koeficijenti ispred varijabli su koordinate vektora normale pravca. Zapišimo to ovako: n → = 1 7, - 1, stoga je 1 7 x - y - 2 = 0. Jasno je da je vektor a → = (- 1, 7) kolinearan vektoru n → = 1 7, - 1, budući da imamo fer odnos a → = - 7 · n →. Slijedi da je izvorni vektor a → = - 1, 7 normalni vektor pravca 1 7 x - y - 2 = 0, što znači da se smatra normalnim vektorom za pravac y = 1 7 x - 2.

Odgovor: Je

Riješimo inverzni problem ovog.

Potrebno je prijeći s općeg oblika jednadžbe A x + B y + C = 0, gdje je B ≠ 0, na jednadžbu s kutnim koeficijentom. Da bismo to učinili, rješavamo jednadžbu za y. Dobivamo A x + B y + C = 0 ⇔ - A B x - C B .

Rezultat je jednadžba s nagibom jednakim - A B .

Primjer 9

Dana je jednadžba ravne linije oblika 2 3 x - 4 y + 1 = 0. Dobiti jednadžbu zadanog pravca s kutnim koeficijentom.

Riješenje

Na temelju uvjeta potrebno je riješiti y, tada dobivamo jednadžbu oblika:

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .

Odgovor: y = 1 6 x + 1 4 .

Na sličan način rješava se jednadžba oblika x a + y b = 1, koja se naziva jednadžba pravca u segmentima, odnosno kanonička oblika x - x 1 a x = y - y 1 a y. Moramo ga riješiti za y, samo tada dobivamo jednadžbu s nagibom:

x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a · x + b.

Kanonička jednadžba može se svesti na oblik s kutnim koeficijentom. Za ovo:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x · (y - y 1) ⇔ ⇔ a x · y = a y · x - a y · x 1 + a x · y 1 ⇔ y = a y a x · x - a y a x · x 1 + y 1

Primjer 10

Postoji ravna crta dana jednadžbom x 2 + y - 3 = 1. Svesti na oblik jednadžbe s kutnim koeficijentom.

Riješenje.

Na temelju uvjeta, potrebno je transformirati, tada dobivamo jednadžbu oblika _formula_. Obje strane jednadžbe moraju se pomnožiti s - 3 da bi se dobila tražena jednadžba nagiba. Transformacijom dobivamo:

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 · y - 3 = - 3 · 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .

Odgovor: y = 3 2 x - 3 .

Primjer 11

Reducirajte jednadžbu ravnog pravca oblika x - 2 2 = y + 1 5 na oblik s kutnim koeficijentom.

Riješenje

Potrebno je izračunati izraz x - 2 2 = y + 1 5 kao proporciju. Dobivamo da je 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Sada ga morate u potpunosti omogućiti, da biste učinili sljedeće:

5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

Odgovor: y = 5 2 x - 6 .

Da bi se riješili takvi problemi, parametarske jednadžbe pravca oblika x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ treba svesti na kanoničku jednadžbu pravca, tek nakon toga može se prijeći na jednadžbu s koeficijent nagiba.

Primjer 12

Odredite nagib pravca ako je dan parametarskim jednadžbama x = λ y = - 1 + 2 · λ.

Riješenje

Potreban je prijelaz iz parametarskog prikaza u nagib. Da bismo to učinili, nalazimo kanoničku jednadžbu iz dane parametarske:

x = λ y = - 1 + 2 · λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .

Sada je potrebno razriješiti ovu jednakost u odnosu na y da bi se dobila jednadžba pravca s kutnim koeficijentom. Da bismo to učinili, zapišimo to ovako:

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

Slijedi da je nagib linije 2. Ovo je zapisano kao k = 2.

Odgovor: k = 2.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Naučiti izvoditi funkcije. Derivacija karakterizira brzinu promjene funkcije u određenoj točki koja leži na grafu ove funkcije. U ovom slučaju, grafikon može biti ravna ili zakrivljena linija. To jest, derivacija karakterizira brzinu promjene funkcije u određenom trenutku u vremenu. Zapamtite opća pravila po kojima se izvode, a tek onda prijeđite na sljedeći korak.

• Pročitaj članak.
• Opisano je kako uzeti najjednostavnije derivacije, npr. derivaciju eksponencijalne jednadžbe. Izračuni prikazani u sljedećim koracima temeljit će se na tamo opisanim metodama.

Naučiti razlikovati zadatke u kojima koeficijent nagiba treba izračunati preko derivacije funkcije. Problemi ne traže uvijek da pronađete nagib ili derivaciju funkcije. Na primjer, od vas se može tražiti da pronađete brzinu promjene funkcije u točki A(x,y). Od vas se također može tražiti da pronađete nagib tangente u točki A(x,y). U oba slučaja potrebno je uzeti izvod funkcije.

Slika prikazuje kut nagiba ravne crte i označava vrijednost kutnog koeficijenta za različite opcije za položaj ravne crte u odnosu na pravokutni koordinatni sustav.

Određivanje nagiba ravne linije s poznatim kutom nagiba prema osi Ox ne predstavlja nikakve poteškoće. Da biste to učinili, dovoljno je podsjetiti se na definiciju kutnog koeficijenta i izračunati tangens kuta nagiba.

Primjer.

Odredite nagib pravca ako je njegov kut nagiba prema osi apscisa jednak .

Riješenje.

Po stanju. Zatim po definiciji nagiba pravca računamo .

Odgovor:

Zadatak pronalaženja kuta nagiba ravne crte prema x-osi s poznatim nagibom malo je kompliciraniji. Ovdje je potrebno uzeti u obzir znak nagiba. Kada je kut nagiba pravca oštar i nalazi se kao . Kada je kut nagiba ravne linije tup i može se odrediti formulom .

Primjer.

Odredite kut nagiba pravca prema osi apscisa ako je njegov nagib jednak 3.

Riješenje.

Budući da je prema uvjetu kutni koeficijent pozitivan, kut nagiba pravca prema osi Ox je oštar. Izračunavamo ga pomoću formule.

Odgovor:

Primjer.

Nagib pravca je . Odredite kut nagiba pravca prema osi Ox.

Riješenje.

Označimo k je kutni koeficijent pravca, - kut nagiba ovog pravca prema pozitivnom smjeru osi Ox. Jer , tada koristimo formulu za pronalaženje kuta nagiba pravca sljedećeg oblika . U njega zamjenjujemo podatke iz uvjeta: .

Odgovor:

Jednadžba pravca s kutnim koeficijentom.

Jednadžba pravca s nagibom ima oblik , gdje je k nagib pravca, b neki realni broj. Pomoću jednadžbe ravne linije s kutnim koeficijentom možete odrediti bilo koju ravnu liniju koja nije paralelna s osi Oy (za ravnu liniju paralelnu s osi ordinata, kutni koeficijent nije definiran).

Razumimo značenje izraza: "ravna linija na ravnini u fiksnom koordinatnom sustavu dana je jednadžbom s kutnim koeficijentom oblika "." To znači da jednadžbu zadovoljavaju koordinate bilo koje točke na pravcu, a ne zadovoljavaju je koordinate nijedne druge točke na ravnini. Dakle, ako se pri zamjeni koordinata točke dobije točna jednakost, tada ravna linija prolazi kroz ovu točku. U suprotnom, točka ne leži na pravcu.

Primjer.

Pravac je dan jednadžbom s nagibom. Pripadaju li i točke ovom pravcu?

Riješenje.

Zamijenimo koordinate točke u izvornu jednadžbu pravca s nagibom: . Dobili smo točnu jednakost, dakle, točka M 1 leži na pravcu.

Prilikom zamjene koordinata točke dobivamo netočnu jednakost: . Dakle, točka M 2 ne leži na pravcu.

Odgovor:

Točka M 1 pripada liniji, M 2 ne pripada.

Valja napomenuti da kroz točku prolazi pravac definiran jednadžbom pravca s kutnim koeficijentom, budući da kada njegove koordinate zamijenimo u jednadžbu dobivamo točnu jednakost: .

Dakle, jednadžba pravca s kutnim koeficijentom definira na ravnini pravac koji prolazi točkom i tvori kut s pozitivnim smjerom osi apscisa, i .

Kao primjer, zamislimo ravnu liniju definiranu jednadžbom prave s kutnim koeficijentom oblika . Ova linija prolazi kroz točku i ima nagib radijana (60 stupnjeva) u pozitivnom smjeru osi Ox. Njegov nagib je jednak .

Jednadžba pravca s nagibom koji prolazi kroz zadanu točku.

Sada ćemo riješiti vrlo važan problem: dobit ćemo jednadžbu pravca zadanog nagiba k koji prolazi kroz točku .

Budući da pravac prolazi točkom, jednakost je istinita . Ne znamo broj b. Da bismo ga se riješili, oduzimamo lijevu i desnu stranu posljednje jednakosti od lijeve odnosno desne strane jednadžbe pravca s koeficijentom nagiba. U ovom slučaju dobivamo . Ova jednakost je jednadžba pravca zadanog nagiba k, koji prolazi kroz zadanu točku.

Pogledajmo primjer.

Primjer.

Napišite jednadžbu pravca koji prolazi točkom, nagib tog pravca je -2.

Riješenje.

Iz stanja koje imamo . Tada će jednadžba pravca s kutnim koeficijentom poprimiti oblik .

Odgovor:

Primjer.

Napiši jednadžbu pravca ako je poznato da prolazi točkom i da je kut nagiba na pozitivni smjer osi Ox jednak .

Riješenje.

Prvo izračunajmo nagib pravca čiju jednadžbu tražimo (taj problem smo riješili u prethodnom odlomku ovog članka). A-priorat . Sada imamo sve podatke za pisanje jednadžbe ravne linije s kutnim koeficijentom:

Odgovor:

Primjer.

Napišite jednadžbu pravca s kutnim koeficijentom koji prolazi kroz točku paralelnu s pravcem.

Riješenje.

Očito, kutovi nagiba paralelnih linija prema osi Ox podudaraju se (ako je potrebno, pogledajte članak paralelizam linija), stoga su kutni koeficijenti paralelnih linija jednaki. Tada je nagib pravca, čiju jednadžbu trebamo dobiti, jednak 2, jer je nagib pravca jednak 2. Sada možemo stvoriti traženu jednadžbu ravne linije s nagibom:

Odgovor:

Prijelaz s jednadžbe pravca s kutnim koeficijentom na druge vrste jednadžbi pravca i obrnuto.

Unatoč svoj poznatosti, jednadžba ravne linije s kutnim koeficijentom nije uvijek prikladna za korištenje pri rješavanju problema. U nekim slučajevima probleme je lakše riješiti kada se jednadžba pravca prikaže u drugom obliku. Na primjer, jednadžba ravne crte s kutnim koeficijentom ne dopušta vam da odmah zapišete koordinate usmjeravajućeg vektora ravne crte ili koordinate normalnog vektora ravne crte. Stoga biste trebali naučiti prijeći s jednadžbe ravne crte s kutnim koeficijentom na druge vrste jednadžbi ove ravne crte.

Iz jednadžbe pravca s kutnim koeficijentom lako je dobiti kanoničku jednadžbu pravca na ravnini oblika . Da bismo to učinili, premjestimo član b s desne strane jednadžbe na lijevu stranu sa suprotnim predznakom, a zatim podijelimo obje strane dobivene jednakosti s nagibom k: . Ove nas radnje vode od jednadžbe pravca s kutnim koeficijentom do kanonske jednadžbe pravca.

Primjer.

Navedite jednadžbu pravca s kutnim koeficijentom kanonskom obliku.

Riješenje.

Provedimo potrebne transformacije: .

Odgovor:

Primjer.

Pravac je dan jednadžbom pravca s kutnim koeficijentom. Je li vektor normalni vektor ovog pravca?

Riješenje.

Da bismo riješili ovaj problem, prijeđimo s jednadžbe ravne crte s kutnim koeficijentom na opću jednadžbu ove ravne crte: . Znamo da su koeficijenti varijabli x i y u općoj jednadžbi pravca odgovarajuće koordinate vektora normale tog pravca, odnosno vektora normale pravca . Očito je da je vektor kolinearan vektoru, jer relacija vrijedi (ako je potrebno, pogledajte članak). Dakle, izvorni vektor je također vektor normalne linije , te je, prema tome, normalni vektor i izvorni pravac.

Odgovor:

Da je.

A sada ćemo riješiti inverzni problem - problem redukcije jednadžbe pravca na ravnini na jednadžbu pravca s kutnim koeficijentom.

Iz opće jednadžbe ravne linije oblika , u kojoj je vrlo lako doći do jednadžbe s koeficijentom nagiba. Da biste to učinili, trebate riješiti opću jednadžbu pravca s obzirom na y. U ovom slučaju dobivamo. Rezultirajuća jednakost je jednadžba ravne linije s kutnim koeficijentom jednakim .

U matematici, jedan od parametara koji opisuje položaj pravca na Kartezijevoj koordinatnoj ravnini je kutni koeficijent tog pravca. Ovaj parametar karakterizira nagib ravne linije prema osi apscise. Da biste razumjeli kako pronaći nagib, prvo se prisjetite općeg oblika jednadžbe ravne linije u XY koordinatnom sustavu.

Općenito, svaki pravac se može prikazati izrazom ax+by=c, gdje su a, b i c proizvoljni realni brojevi, ali a 2 + b 2 ≠ 0.

Koristeći jednostavne transformacije, takva se jednadžba može dovesti u oblik y=kx+d, u kojem su k i d realni brojevi. Broj k je nagib, a jednadžba pravca ovog tipa naziva se jednadžba s nagibom. Ispada da za pronalaženje nagiba jednostavno trebate svesti izvornu jednadžbu na gore navedeni oblik. Za potpunije razumijevanje, razmotrite konkretan primjer:

Problem: Pronađite nagib linije zadane jednadžbom 36x - 18y = 108

Rješenje: transformirajmo izvornu jednadžbu.

Odgovor: Traženi nagib ove linije je 2.

Ako smo tijekom transformacije jednadžbe dobili izraz poput x = const i kao rezultat ne možemo prikazati y kao funkciju od x, tada imamo posla s ravnom linijom paralelnom s osi X. Kutni koeficijent takve ravna linija jednaka je beskonačnosti.

Za linije izražene jednadžbom poput y = const, nagib je nula. To je tipično za ravne linije paralelne s osi apscisa. Na primjer:

Problem: Pronađite nagib pravca danog jednadžbom 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4

Rješenje: Dovedimo izvornu jednadžbu u njen opći oblik

24x + 12y - 12y + 28 = 4

Nemoguće je izraziti y iz dobivenog izraza, stoga je kutni koeficijent ove linije jednak beskonačnosti, a sama linija će biti paralelna s Y osi.

Geometrijsko značenje

Za bolje razumijevanje, pogledajmo sliku:

Na slici vidimo graf funkcije poput y = kx. Da pojednostavimo, uzmimo koeficijent c = 0. U trokutu OAB omjer stranice BA i AO bit će jednak kutnom koeficijentu k. Ujedno je omjer BA/AO tangens šiljastog kuta α u pravokutnom trokutu OAB. Ispada da je kutni koeficijent pravca jednak tangensu kuta koji taj pravac zatvara s osi apscisa koordinatne mreže.

Rješavajući problem kako pronaći kutni koeficijent ravne linije, nalazimo tangens kuta između njega i X osi koordinatne mreže. Rubni slučajevi, kada je dotični pravac paralelan s koordinatnim osima, potvrđuju navedeno. Doista, za ravnu liniju opisanu jednadžbom y=const, kut između nje i apscisne osi je nula. Tangens nultog kuta također je nula i nagib je također nula.

Za ravne crte okomite na os apscisa i opisane jednadžbom x=const, kut između njih i X osi je 90 stupnjeva. Tangens pravog kuta jednak je beskonačno, a kutni koeficijent sličnih ravnih pravaca također je jednak beskonačno, što potvrđuje gore napisano.

Tangentni nagib

Čest zadatak koji se često susreće u praksi također je pronaći nagib tangente na graf funkcije u određenoj točki. Tangenta je ravna crta, stoga je koncept nagiba primjenjiv i na nju.

Da bismo shvatili kako pronaći nagib tangente, morat ćemo se prisjetiti koncepta derivacije. Derivacija bilo koje funkcije u određenoj točki je konstanta numerički jednaka tangensu kuta koji se formira između tangente u određenoj točki na graf te funkcije i apscisne osi. Ispada da za određivanje kutnog koeficijenta tangente u točki x 0 moramo izračunati vrijednost derivacije izvorne funkcije u ovoj točki k = f"(x 0). Pogledajmo primjer:

Zadatak: Pronađite nagib pravca tangente na funkciju y = 12x 2 + 2xe x pri x = 0,1.

Rješenje: Pronađite derivaciju izvorne funkcije u općem obliku

y"(0.1) = 24. 0.1 + 2. 0.1. e 0.1 + 2. e 0.1

Odgovor: Traženi nagib u točki x = 0,1 je 4,831

Padina je ravna. U ovom članku ćemo pogledati probleme vezane uz koordinatnu ravninu uključenu u Jedinstveni državni ispit iz matematike. Ovo su zadaci za:

— određivanje kutnog koeficijenta pravca kada su poznate dvije točke kroz koje on prolazi;
— određivanje apscise ili ordinate sjecišta dviju ravnih linija na ravnini.

U ovom odjeljku je opisano što je apscisa i ordinata točke. U njemu smo već razmotrili nekoliko problema vezanih uz koordinatnu ravninu. Što trebate razumjeti za vrstu problema koji razmatrate? Malo teorije.

Jednadžba pravca na koordinatnoj ravni ima oblik:

Gdje k – ovo je nagib linije.

Sljedeći trenutak! Nagib pravca jednak je tangensu kuta nagiba pravca. Ovo je kut između zadane linije i osiOh.

Ona se kreće od 0 do 180 stupnjeva.

To jest, ako jednadžbu ravne crte svedemo na oblik g = kx + b, tada uvijek možemo odrediti koeficijent k (koeficijent nagiba).

Također, ako na temelju uvjeta možemo odrediti tangens kuta nagiba pravca, tada ćemo time pronaći njegov kutni koeficijent.

Sljedeća teoretska točka!Jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije zadane točke.Formula izgleda ovako:

Razmotrimo zadatke (slične zadacima iz otvorene banke zadataka):

Odredite nagib pravca koji prolazi kroz točke s koordinatama (–6;0) i (0;6).

U ovom zadatku najracionalniji način rješavanja je pronaći tangens kuta između osi x i zadane ravnice. Poznato je da je jednak nagibu. Razmotrimo pravokutni trokut koji čine ravna crta i osi x i oy:

Tangens kuta u pravokutnom trokutu je omjer suprotne stranice i susjedne stranice:

*Obje katete su jednake šest (ovo su njihove duljine).

Naravno, ovaj se problem može riješiti pomoću formule za pronalaženje jednadžbe pravca koji prolazi kroz dvije zadane točke. Ali ovo će biti dugotrajnije rješenje.

Odgovor: 1

Odredite nagib pravca koji prolazi kroz točke s koordinatama (5;0) i (0;5).

Naše točke imaju koordinate (5;0) i (0;5). Sredstva,

Dovedimo formulu u formu g = kx + b

Utvrdili smo da je nagib k = – 1.

Odgovor: –1

Ravno a prolazi kroz točke s koordinatama (0;6) i (8;0). Ravno b prolazi točkom s koordinatama (0;10) i paralelna je s pravcem a b s osovinom Oh.

U ovom zadatku možete pronaći jednadžbu pravca a, odredite nagib za to. Na ravnoj liniji b nagib će biti isti budući da su paralelni. Zatim možete pronaći jednadžbu linije b. A zatim, zamijenivši vrijednost y = 0 u nju, pronađite apscisu. ALI!

U ovom slučaju lakše je koristiti svojstvo sličnosti trokuta.

Pravokutni trokuti koje čine te (paralelne) pravci i koordinatne osi slični su, što znači da su im omjeri pripadnih stranica jednaki.

Tražena apscisa je 40/3.

Odgovor: 40/3

Ravno a prolazi kroz točke s koordinatama (0;8) i (–12;0). Ravno b prolazi kroz točku s koordinatama (0; –12) i paralelna je s pravcem a. Nađite apscisu točke presjeka pravca b s osovinom Oh.

Za ovaj problem najracionalniji način rješavanja je korištenje svojstva sličnosti trokuta. Ali mi ćemo to riješiti na drugačiji način.

Znamo točke kroz koje pravac prolazi A. Možemo napisati jednadžbu za ravnu liniju. Formula za jednadžbu pravca koji prolazi kroz dvije zadane točke ima oblik:

Prema uvjetu, točke imaju koordinate (0;8) i (–12;0). Sredstva,

Prisjetimo se toga g = kx + b:

Imam taj kut k = 2/3.

*Kutni koeficijent se može pronaći kroz tangens kuta u pravokutnom trokutu s katetama 8 i 12.

Poznato je da paralelni pravci imaju jednake kutne koeficijente. To znači da jednadžba pravca koja prolazi točkom (0;-12) ima oblik:

Pronađite vrijednost b možemo zamijeniti apscisu i ordinatu u jednadžbu:

Dakle, ravna linija izgleda ovako:

Sada, da biste pronašli željenu apscisu točke presjeka linije s osi x, trebate zamijeniti y = 0:

Odgovor: 18

Odredite ordinatu sjecišta osi Oh i pravac koji prolazi kroz točku B(10;12) i paralelan je s pravcem koji prolazi kroz ishodište i točku A(10;24).

Nađimo jednadžbu pravca koji prolazi kroz točke s koordinatama (0;0) i (10;24).

Formula za jednadžbu pravca koji prolazi kroz dvije zadane točke ima oblik:

Naše točke imaju koordinate (0;0) i (10;24). Sredstva,

Prisjetimo se toga g = kx + b

Kutni koeficijenti paralelnih pravaca su jednaki. To znači da jednadžba pravca koja prolazi točkom B(10;12) ima oblik:

Značenje b Nađimo zamjenom koordinata točke B(10;12) u ovu jednadžbu:

Dobili smo jednadžbu ravne linije:

Za pronalaženje ordinate točke presjeka ovog pravca s osi OU potrebno zamijeniti u pronađenu jednadžbu x= 0:

*Najjednostavnije rješenje. Koristeći paralelnu translaciju, pomičemo ovu liniju prema dolje duž osi OU do točke (10;12). Pomak se događa za 12 jedinica, odnosno točka A(10;24) se „pomaknula“ u točku B(10;12), a točka O(0;0) „pomaknula“ se u točku (0;–12). To znači da će rezultirajuća ravna linija presijecati os OU u točki (0;–12).

Tražena ordinata je –12.

Odgovor: –12

Odredite ordinatu sjecišta pravca zadanog jednadžbom

3x + 2u = 6, s osi Joj.

Koordinata točke presjeka zadane linije s osi OU ima oblik (0; na). Zamijenimo apscisu u jednadžbu x= 0 i pronađite ordinatu:

Ordinata točke presjeka pravca i osi OU jednako 3.

*Sustav je riješen:

Odgovor: 3

Odredite ordinatu sjecišta pravaca zadanih jednadžbama

3x + 2y = 6 I y = – x.

Kada su zadane dvije crte, a pitanje je nalaženje koordinata točke presjeka tih linija, rješava se sustav ovih jednadžbi:

U prvoj jednadžbi zamijenimo - x umjesto na:

Ordinata je jednaka minus šest.

Odgovor: – 6

Odredite nagib pravca koji prolazi kroz točke s koordinatama (–2;0) i (0;2).

Odredite nagib pravca koji prolazi kroz točke s koordinatama (2;0) i (0;2).

Pravac a prolazi točkama s koordinatama (0;4) i (6;0). Pravac b prolazi točkom s koordinatama (0;8) i paralelan je s pravcem a. Odredite apscisu točke presjeka pravca b s osi Ox.

Odredite ordinatu sjecišta osi oy i pravca koji prolazi kroz točku B (6;4) i paralelan je s pravcem koji prolazi kroz ishodište i točku A (6;8).

1. Potrebno je jasno razumjeti da je kutni koeficijent ravne crte jednak tangensu kuta nagiba ravne crte. To će vam pomoći u rješavanju mnogih problema ove vrste.

2. Mora se razumjeti formula za pronalaženje pravca koji prolazi kroz dvije zadane točke. Uz njegovu pomoć uvijek ćete pronaći jednadžbu pravca ako su zadane koordinate njegovih dviju točaka.

3. Zapamtite da su nagibi paralelnih pravaca jednaki.

4. Kao što razumijete, u nekim je problemima prikladno koristiti značajku sličnosti trokuta. Zadaci se rješavaju praktično usmeno.

5. Grafički se rješavaju zadaci u kojima su zadana dva pravca i traži se apscisa ili ordinata točke njihova sjecišta. Odnosno, izgradite ih na koordinatnoj ravnini (na listu papira u kvadratu) i vizualno odredite točku sjecišta. *Ali ova metoda nije uvijek primjenjiva.

6. I za kraj. Ako su zadane ravna crta i koordinate točaka njezina sjecišta s koordinatnim osima, tada je u takvim problemima prikladno pronaći kutni koeficijent pronalaženjem tangente kuta u formiranom pravokutnom trokutu. Kako "vidjeti" ovaj trokut s različitim položajima ravnih linija na ravnini shematski je prikazano u nastavku:

>> Ravni kut od 0 do 90 stupnjeva<<

>> Ravni kut od 90 do 180 stupnjeva<<

To je sve. Sretno ti!

S poštovanjem, Alexander.

P.S: Bio bih vam zahvalan ako biste mi rekli nešto o stranici na društvenim mrežama.