MATEMATIČKI MODEL - prikaz pojave ili procesa koji se proučava u konkretnim znanstvenim spoznajama jezikom matematičkih pojmova. U ovom slučaju, očekuje se da će se niz svojstava fenomena koji se proučava dobiti proučavanjem stvarnih matematičkih karakteristika modela. Izgradnja M.m. najčešće je diktirana potrebom za kvantitativnom analizom pojava i procesa koji se proučavaju, bez koje je pak nemoguće dati eksperimentalno provjerljiva predviđanja o njihovu tijeku.

Proces matematičkog modeliranja, u pravilu, prolazi kroz sljedeće faze. U prvoj fazi utvrđuju se veze između glavnih parametara budućeg M.m. Riječ je prvenstveno o kvalitativnoj analizi fenomena koji se proučavaju i formuliranju obrazaca koji povezuju glavne objekte istraživanja. Na temelju toga identificiraju se objekti koji se mogu kvantitativno opisati. Faza završava izgradnjom hipotetskog modela, drugim riječima, bilježenjem u jeziku matematičkih pojmova kvalitativnih ideja o odnosima između glavnih objekata modela, koji se mogu kvantitativno karakterizirati.

U drugoj fazi proučavaju se stvarni matematički problemi do kojih vodi konstruirani hipotetski model. Glavna stvar u ovoj fazi je dobiti empirijski provjerljive teorijske posljedice (rješenje izravnog problema) kao rezultat matematičke analize modela. Istodobno, česti su slučajevi kada se radi konstruiranja i proučavanja M.m. u različitim područjima konkretnog znanstvenog znanja koristi se isti matematički aparat (primjerice, diferencijalne jednadžbe) i javljaju se matematički problemi iste vrste, iako vrlo netrivijalni u svakom konkretnom slučaju. Osim toga, u ovoj fazi, korištenje računala velike brzine (računala) postaje od velike važnosti, što omogućuje dobivanje približnih rješenja problema, često nemogućih u okviru čiste matematike, sa stupnjem točnosti koji je prije bio nedostupan ( bez upotrebe računala).

Treću fazu karakteriziraju aktivnosti na utvrđivanju stupnja adekvatnosti izgrađenog hipotetskog M.M. one pojave i procese za koje je namijenjeno proučavanje. Naime, ako su specificirani svi parametri modela, istraživači pokušavaju saznati u kojoj su mjeri, u granicama točnosti promatranja, njihovi rezultati sukladni teorijskim konzekvencama modela. Odstupanja iznad granica točnosti opažanja ukazuju na neadekvatnost modela. Međutim, česti su slučajevi kada pri izradi modela ostaje niz njegovih parametara

neizvjestan. Problemi u kojima su parametrijske karakteristike modela uspostavljene na takav način da su teorijske posljedice usporedive, unutar granica točnosti opažanja, s rezultatima empirijskih ispitivanja nazivaju se inverznim problemima.

U četvrtoj fazi, uzimajući u obzir identifikaciju stupnja adekvatnosti izgrađenog hipotetskog modela i pojavu novih eksperimentalnih podataka o fenomenima koji se proučavaju, dolazi do naknadne analize i modifikacije modela. Ovdje donesena odluka varira od bezuvjetnog odbacivanja primijenjenih matematičkih alata do prihvaćanja konstruiranog modela kao temelja za izgradnju temeljno nove znanstvene teorije.

Prvo M.m. pojavio u antičkoj znanosti. Tako je grčki matematičar i astronom Eudoksus, da bi modelirao Sunčev sustav, svakom planetu dao četiri kugle, čijom je kombinacijom kretanja nastao hippopedus – matematička krivulja slična opaženom kretanju planeta. Kako, međutim, ovaj model nije mogao objasniti sve uočene anomalije u kretanju planeta, kasnije je zamijenjen epicikličkim modelom Apolonija iz Perge. Posljednji model koristio je u svojim studijama Hiparh, a zatim, podvrgnuvši ga nekim izmjenama, Ptolomej. Ovaj model, kao i njegovi prethodnici, temeljio se na uvjerenju da se planeti gibaju ravnomjerno kružno, čije preklapanje objašnjava očite nepravilnosti. Treba napomenuti da je kopernikanski model bio fundamentalno nov samo u kvalitativnom smislu (ali ne i kao M.M.). I tek je Kepler, na temelju opažanja Tycha Brahea, izgradio novi M.M. Sunčev sustav, dokazujući da se planeti ne kreću po kružnim, već po eliptičnim orbitama.

Trenutačno se najprikladnijima smatraju oni koji su konstruirani za opis mehaničkih i fizikalnih pojava. O primjerenosti M.m. izvan fizike se može, uz neke iznimke, govoriti s priličnom dozom opreza. Ipak, fiksiranje hipotetičnosti, a često i jednostavno nedostatnosti M.m. u različitim područjima znanja ne treba podcjenjivati ​​njihovu ulogu u razvoju znanosti. Česti su slučajevi da su čak i modeli koji su daleko od adekvatnih značajno organizirali i potaknuli daljnja istraživanja, ali i pogrešni zaključci koji su sadržavali i zrnca istine koja je u potpunosti opravdala trud uložen u razvoj tih modela.

Književnost:

Matematičko modeliranje. M., 1979.;

Ružavin G.I. Matematizacija znanstvenih spoznaja. M., 1984.;

Tutubalin V.N., Barabasheva Yu.M., Grigoryan A.A., Devyatkova G.N., Uger E.G. Diferencijalne jednadžbe u ekologiji: povijesna i metodološka refleksija // Pitanja povijesti prirodnih znanosti i tehnologije. 1997. br.3.

Rječnik filozofskih pojmova. Znanstveno izdanje profesora V.G. Kuznjecova. M., INFRA-M, 2007., str. 310-311 (prikaz, ostalo).

Računalo je čvrsto ušlo u naše živote i praktički ne postoji područje ljudske djelatnosti gdje se računalo ne koristi. Računala se danas široko koriste u procesu stvaranja i istraživanja novih strojeva, novih tehnoloških procesa i traženja njihovih optimalnih mogućnosti; pri rješavanju ekonomskih problema, pri rješavanju problema planiranja i upravljanja proizvodnjom na različitim razinama. Izrada velikih objekata u raketnoj tehnici, zrakoplovnoj industriji, brodogradnji, kao i projektiranje brana, mostova itd. općenito je nemoguća bez upotrebe računala.

Za korištenje računala u rješavanju primijenjenih problema, prije svega, primijenjeni problem mora biti “preveden” na formalni matematički jezik, tj. za stvarni objekt, proces ili sustav mora se izgraditi njegov matematički model.

Riječ "model" dolazi od latinske riječi modus (kopija, slika, obris). Modeliranje je zamjena nekog objekta A drugim objektom B. Zamijenjeni objekt A naziva se izvornik ili objekt modeliranja, a zamjena B naziva se model. Drugim riječima, model je zamjenski objekt za izvorni objekt, koji omogućava proučavanje nekih svojstava originala.

Svrha modeliranja je dobivanje, obrada, prezentiranje i korištenje informacija o objektima koji su u međusobnoj interakciji i interakciji s vanjskim okruženjem; a model ovdje djeluje kao sredstvo za razumijevanje svojstava i obrazaca ponašanja objekta.

Matematičko modeliranje je način proučavanja stvarnog objekta, procesa ili sustava zamjenom matematičkog modela koji je prikladniji za eksperimentalno istraživanje pomoću računala.

Matematičko modeliranje je proces konstruiranja i proučavanja matematičkih modela stvarnih procesa i pojava. Sve prirodne i društvene znanosti koje se služe matematičkim aparatom u biti se bave matematičkim modeliranjem: stvarni objekt zamjenjuju njegovim modelom, a zatim ga proučavaju. Kao i kod svakog modeliranja, matematički model ne opisuje u potpunosti fenomen koji se proučava, te su pitanja o primjenjivosti rezultata dobivenih na ovaj način vrlo smislena. Matematički model je pojednostavljeni opis stvarnosti pomoću matematičkih pojmova.

Matematički model izražava bitne značajke objekta ili procesa jezikom jednadžbi i drugih matematičkih alata. Zapravo, sama matematika duguje svoje postojanje onome što pokušava reflektirati, tj. modelirajte, na svom specifičnom jeziku, obrasce okolnog svijeta.

Na matematičko modeliranje proučavanje objekta provodi se putem modela formuliranog jezikom matematike uz korištenje određenih matematičkih metoda.

Put matematičkog modeliranja u naše vrijeme mnogo je opsežniji od modeliranja u punoj mjeri. Veliki poticaj razvoju matematičkog modeliranja dala je pojava računala, iako je sama metoda nastala paralelno s matematikom prije više tisuća godina.

Matematičko modeliranje kao takvo ne zahtijeva uvijek računalnu podršku. Svaki stručnjak koji se profesionalno bavi matematičkim modeliranjem čini sve što je u njegovoj moći da analitički prouči model. Analitička rješenja (tj. predstavljena formulama koje izražavaju rezultate studije kroz izvorne podatke) obično su praktičnija i informativnija od numeričkih. Mogućnosti analitičkih metoda za rješavanje složenih matematičkih problema su, međutim, vrlo ograničene i u pravilu su te metode znatno složenije od numeričkih.

Matematički model je približan prikaz stvarnih objekata, procesa ili sustava, izražen matematičkim pojmovima i koji čuva bitne značajke originala. Matematički modeli u kvantitativnom obliku, pomoću logičkih i matematičkih konstrukata, opisuju osnovna svojstva objekta, procesa ili sustava, njegove parametre, unutarnje i vanjske veze.

Svi modeli mogu se podijeliti u dvije klase:

1. stvaran,
2. savršen.

S druge strane, pravi modeli se mogu podijeliti na:

1. u punoj veličini,
2. fizički,
3. matematički.

Idealni modeli se mogu podijeliti na:

1. vizualni,
2. ikoničan,
3. matematički.

Pravi modeli u punom mjerilu su stvarni objekti, procesi i sustavi na kojima se provode znanstveni, tehnički i industrijski eksperimenti.

Pravi fizikalni modeli su modeli, lutke koje reproduciraju fizikalna svojstva originala (kinematički, dinamički, hidraulički, toplinski, električni, svjetlosni modeli).

Pravi matematički modeli su analogni, strukturni, geometrijski, grafički, digitalni i kibernetički modeli.

Idealni vizualni modeli su dijagrami, karte, crteži, dijagrami, grafovi, analozi, strukturni i geometrijski modeli.

Idealni znakovni modeli su simboli, abeceda, programski jezici, uređena notacija, topološka notacija, mrežna reprezentacija.

Idealni matematički modeli su analitički, funkcionalni, simulacijski i kombinirani modeli.

U gornjoj klasifikaciji neki modeli imaju dvostruko tumačenje (na primjer, analogno). Svi modeli, osim onih u punoj veličini, mogu se kombinirati u jednu klasu mentalnih modela, jer oni su proizvod ljudskog apstraktnog mišljenja.

Elementi teorije igara

U općem slučaju, rješavanje igre prilično je težak problem, a složenost problema i količina izračuna potrebnih za njegovo rješavanje naglo raste s povećanjem . Međutim, ove poteškoće nisu fundamentalne prirode i povezane su samo s vrlo velikim opsegom izračuna, što se u nekim slučajevima može pokazati praktički nemogućim. Načelni aspekt metode pronalaženja rješenja ostaje za sve onaj isti.

Ilustrirajmo to na primjeru igre. Dajmo mu geometrijsku interpretaciju – već prostornu. Naše tri strategije bit će predstavljene s tri točke na ravnini ; prvi leži u ishodištu (slika 1). drugi i treći - na osi Oh I OU na udaljenosti 1 od početka.

Osi I-I, II-II i III-III povučene su kroz točke, okomite na ravninu . Na osi I-I su isplate za strategiju; na osi II-II i III-III su isplate za strategije. Svaka neprijateljska strategija bit će predstavljena ravninom koja odsijeca na osi I-I, II-II i III-III, segmenti jednaki dobicima

uz odgovarajuću strategiju i strategiju . Nakon što smo tako konstruirali sve neprijateljske strategije, dobivamo familiju ravnina nad trokutom (slika 2).

Za ovu obitelj također možete konstruirati donju granicu za isplatu, kao što smo mi učinili u ovom slučaju, i pronaći na toj granici točku N s maksimalnom visinom na ravnini . Ova visina će biti cijena igre.

Učestalosti strategija u optimalnoj strategiji bit će određene koordinatama (x, y) točke N, odnosno:

Međutim, takvu geometrijsku konstrukciju, čak i za slučaj, nije lako izvesti i zahtijeva puno vremena i truda mašte. U općem slučaju igre, ona se prenosi u -dimenzionalni prostor i gubi svu jasnoću, iako korištenje geometrijske terminologije u brojnim slučajevima može biti korisno. Pri rješavanju igara u praksi prikladnije je koristiti ne geometrijske analogije, već izračunate analitičke metode, pogotovo jer su te metode jedine prikladne za rješavanje problema na računalima.

Sve se ove metode u suštini svode na rješavanje problema kroz uzastopne pokušaje, ali poredak niza pokušaja omogućuje vam da izgradite algoritam koji vodi do rješenja na najekonomičniji način.

Ovdje ćemo se ukratko osvrnuti na jednu metodu izračuna za rješavanje igara - metodom takozvanog linearnog programiranja.

Da bismo to učinili, najprije dajemo opću formulaciju problema pronalaženja rješenja igre. Neka se igra sa T strategije igrača A I n strategije igrača U i data je matrica plaćanja

Potrebno je pronaći rješenje igre, odnosno dvije optimalne mješovite strategije igrača A i B

gdje (neki od brojeva i mogu biti jednaki nuli).

Naša optimalna strategija S*A trebao bi nam osigurati dobitak ne manji od , za bilo kakvo ponašanje neprijatelja, i dobitak jednak , za njegovo optimalno ponašanje (strategija S*B).Slična strategija S*B treba osigurati neprijatelju gubitak ne veći od , za bilo koje naše ponašanje i jednak za naše optimalno ponašanje (strategija S*A).

Vrijednost igre u ovom slučaju nije nam poznata; pretpostavit ćemo da je jednak nekom pozitivnom broju. Vjerujući na ovaj način, ne kršimo općenitost zaključivanja; Da bi on bio > 0, očito je dovoljno da su svi elementi matrice nenegativni. To se uvijek može postići dodavanjem dovoljno velike pozitivne vrijednosti L elementima; u tom slučaju će se cijena igre povećati za L, ali se rješenje neće promijeniti.

Izaberimo svoju optimalnu strategiju S*A. Tada će naša prosječna isplata prema protivničkoj strategiji biti jednaka:

Naša optimalna strategija S*A ima svojstvo da, za bilo koje ponašanje neprijatelja, daje dobitak ne manji od; dakle, nijedan od brojeva ne može biti manji od . Dobivamo niz uvjeta:

(1)

Podijelimo nejednadžbe (1) pozitivnom vrijednošću i označimo:

Tada će uvjet (1) biti napisan kao

(2)

gdje su nenegativni brojevi. Jer količine zadovoljavaju uvjet

Želimo naše zajamčene dobitke učiniti što većim; Očito je da u ovom slučaju desna strana jednakosti (3) poprima minimalnu vrijednost.

Dakle, problem pronalaska rješenja igre svodi se na sljedeći matematički problem: odrediti nenegativne veličine , koji zadovoljava uvjete (2), tako da njihov zbroj

bila minimalna.

Obično se pri rješavanju problema povezanih s pronalaženjem ekstremnih vrijednosti (maksimuma i minimuma) funkcija diferencira, a derivacije se postavljaju na nulu. Ali takva je tehnika u ovom slučaju beskorisna, budući da funkcija F, koja moram minimizirati, linearan je, a njegove derivacije u odnosu na sve argumente jednake su jedinici, tj. nigdje ne nestaju. Posljedično, maksimum funkcije postiže se negdje na granici raspona promjena argumenata, što je određeno zahtjevom nenegativnosti argumenata i uvjeta (2). Tehnika pronalaženja ekstremnih vrijednosti pomoću diferencijacije također je neprikladna u slučajevima kada je maksimum donje (ili minimum gornje) granice dobitka određen za rješavanje igre, kao što smo mi učinili. Na primjer, to su učinili pri rješavanju igara Doista, donju granicu čine dijelovi ravnih linija, a maksimum se ne postiže u točki gdje je derivacija jednaka nuli (takve točke uopće nema), ali na granici intervala ili na mjestu presjeka ravnih dionica.

Za rješavanje takvih problema, koji se često susreću u praksi, u matematici je razvijena posebna aparatura linearno programiranje.

Problem linearnog programiranja formuliran je na sljedeći način.

Zadan je sustav linearnih jednadžbi:

(4)

Potrebno je pronaći nenegativne vrijednosti veličina koje zadovoljavaju uvjete (4) i ujedno minimiziraju zadanu homogenu linearnu funkciju veličina (linearni oblik):

Lako je vidjeti da je gore postavljeni problem teorije igara poseban slučaj problema linearnog programiranja s

Na prvi pogled može se činiti da uvjeti (2) nisu ekvivalentni uvjetima (4), jer umjesto znakova jednakosti sadrže znakove nejednakosti. Međutim, lako se riješiti znakova nejednakosti uvođenjem novih lažnih nenegativnih varijabli i ispisivanjem uvjeta (2) u obliku:

(5)

Oblik Φ koji treba minimizirati jednak je

Aparat za linearno programiranje omogućuje odabir vrijednosti pomoću relativno malog broja uzastopnih uzoraka , zadovoljavajući navedene zahtjeve. Radi veće jasnoće, ovdje ćemo demonstrirati korištenje ovog aparata izravno na materijalu rješavanja određenih igara.

Vrste matematičkih modela

Ovisno o tome kojim se sredstvima, pod kojim uvjetima iu odnosu na koje objekte spoznaje ostvaruje sposobnost modela da odražavaju stvarnost, nastaje njihova velika raznolikost, a s njom i klasifikacije. Generalizacijom postojećih klasifikacija identificirat ćemo osnovne modele na temelju korištenog matematičkog aparata, na temelju kojih se razvijaju posebni modeli (slika 8.1).

Slika 8.1 - Formalna klasifikacija modela

Matematički modeli prikazuju objekte koji se proučavaju (procese, sustave) u obliku eksplicitnih funkcionalnih odnosa: algebarskih jednakosti i nejednakosti, integrala i diferencijala, konačnih razlika i drugih matematičkih izraza (zakon raspodjele slučajne varijable, regresijski modeli itd.). ), kao i relacije matematičke logike.

Ovisno o dvjema temeljnim značajkama konstruiranja matematičkog modela - vrsti opisa uzročno-posljedičnih veza i njihovim promjenama tijekom vremena - razlikuju se deterministički i stohastički, statički i dinamički modeli (slika 8.2).

Svrha dijagrama prikazanog na slici je prikazati sljedeće značajke:

1) matematički modeli mogu biti i deterministički i stohastički;

2) deterministički i stohastički modeli mogu biti i statični i dinamički.

Matematički model je tzv deterministički (deterministički), ako su svi njegovi parametri i varijable jednoznačno određene veličine, a uz to je zadovoljen i uvjet potpune sigurnosti informacije. Inače, u uvjetima informacijske nesigurnosti, kada su parametri i varijable modela slučajne varijable, model se naziva stohastički (probabilistički).

Slika 8.2 – Klase matematičkih modela

Model se zove dinamičan, ako se barem jedna varijabla mijenja tijekom vremenskih razdoblja, i statički, ako se prihvati hipoteza da se varijable ne mijenjaju tijekom vremenskih razdoblja.

U najjednostavnijem slučaju modeli ravnoteže djeluju u obliku bilančne jednadžbe, gdje je na lijevoj strani iznos eventualnih primitaka, a na desnoj rashodni dio, također u obliku zbroja. Na primjer, ovako se prikazuje godišnji proračun organizacije.

Na temelju statističkih podataka mogu se graditi ne samo modeli bilance, već i korelacijski i regresijski modeli.

Ako funkcija Y ne ovisi samo o varijablama x 1, x 2, ... x n, već i o drugim čimbenicima, veza između Y i x 1, x 2, ... x n je netočna ili korelacijska, za razliku od točna ili funkcionalna veza. Korelativne su, na primjer, u većini slučajeva veze uočene između izlaznih parametara OPS-a i čimbenika njegovog unutarnjeg i vanjskog okruženja (vidi temu 5).

Korelacijsko-regresijski modeli dobivaju se proučavanjem utjecaja čitavog kompleksa čimbenika na vrijednost pojedinog obilježja korištenjem statističkog aparata. U ovom slučaju zadatak nije samo uspostaviti korelacijski odnos, već i analitički izraziti taj odnos, odnosno odabrati jednadžbe koje opisuju tu korelacijsku ovisnost (regresijska jednadžba).

Za pronalaženje numeričkih vrijednosti parametara regresijske jednadžbe koristi se metoda najmanjih kvadrata. Bit ove metode je odabrati liniju tako da zbroj kvadrata odstupanja Y ordinata pojedinih točaka od nje bude najmanji.

Korelacijsko-regresijski modeli često se koriste u proučavanju pojava kada postoji potreba za uspostavljanjem odnosa između relevantnih karakteristika u dva ili više serija. U ovom slučaju uglavnom se koristi uparena i višestruka linearna regresija obrasca

y = a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n + b.

Kao rezultat primjene metode najmanjih kvadrata utvrđuju se vrijednosti parametara a ili a 1 , a 2 , ..., a n i b, a zatim točnost aproksimacije i značaj rezultirajuće regresijske jednadžbe se procjenjuju.

Dodijeljena je posebna skupina grafičko-analitički modeli . Koriste različite grafičke slike i stoga imaju dobru jasnoću.

Teorija grafova jedna je od teorija diskretne matematike koja proučava grafove, koji se shvaćaju kao skup točaka i linija koje ih povezuju. Graf je neovisni matematički objekt (prvi ga je predstavio D. Koenig). Modeli stabla i mreže najčešće se grade na temelju teorije grafova.

Model stabla (stablo) je neusmjereni povezani graf koji ne sadrži petlje ili cikluse. Primjer takvog modela je stablo ciljeva.

Mrežni modeli našli su široku primjenu u upravljanju radom. Mrežni modeli (grafovi) odražavaju redoslijed rada i trajanje svakog rada (slika 8.3).

Slika 8.3 - Mrežni model proizvodnje rada

Svaka linija mrežnog dijagrama je neki posao. Broj pored njega označava trajanje njegovog izvršenja.

Mrežni modeli omogućuju pronalaženje tzv. kritičnog puta i optimiziranje rasporeda rada tijekom vremena uz ograničenja drugih resursa.

Mrežni modeli mogu biti deterministički ili stohastički. U potonjem slučaju, trajanje rada određeno je zakonima raspodjele slučajnih varijabli.

Optimizacijski modeli služe za određivanje optimalne putanje sustava da postigne svoj cilj uz nametanje određenih ograničenja na kontrolu njegovog ponašanja i kretanja. Optimizacijski modeli u ovom slučaju opisuju različite vrste problema nalaženja ekstremuma određene funkcije cilja (kriterij optimizacije).

Za prepoznavanje optimalnog načina za postizanje ciljeva upravljanja u uvjetima ograničenih resursa - tehničkih, materijalnih, radnih i financijskih - koriste se metode operacijskog istraživanja. Tu spadaju metode matematičkog programiranja (linearno i nelinearno, cjelobrojno, dinamičko i stohastičko programiranje), analitičke i probabilističko-statističke metode, mrežne metode, metode teorije čekanja, teorije igara (teorija konfliktnih situacija) itd.

Optimizacijski modeli koriste se za planiranje obujma i rasporeda, upravljanje zalihama, raspodjelu resursa i rada, zamjenu, parametrizaciju i standardizaciju opreme, raspodjelu tokova robnih zaliha na transportnoj mreži i druge zadaće upravljanja.

Jedno od glavnih postignuća teorije operacijskih istraživanja je tipizacija upravljačkih modela i metoda za rješavanje problema. Na primjer, za rješavanje transportnog problema, ovisno o njegovoj dimenziji, razvijene su standardne metode - Vogelova metoda, potencijalna metoda, simpleks metoda. Također, pri rješavanju problema upravljanja zalihama, ovisno o njegovoj formulaciji, mogu se koristiti analitičke i probabilističko-statističke metode, metode dinamičkog i stohastičkog programiranja.

U menadžmentu se posebna važnost pridaje metodama mrežnog planiranja. Ove su metode omogućile pronalazak novog i vrlo zgodnog jezika za opisivanje, modeliranje i analizu složenih višefaznih radova i projekata. U operacijskim istraživanjima značajno se mjesto pridaje poboljšanju upravljanja složenim sustavima primjenom metoda teorije čekanja (vidi odjeljak 8.3) i aparature Markovljevih procesa.

Modeli Markovljevih slučajnih procesa- sustav diferencijalnih jednadžbi koje opisuju funkcioniranje sustava ili njegovih procesa u obliku skupa uređenih stanja duž određene trajektorije ponašanja sustava. Ova klasa modela široko se koristi u matematičkom modeliranju funkcioniranja složenih sustava.

Modeli teorije igara služe za odabir optimalne strategije u uvjetima ograničenih slučajnih informacija ili potpune neizvjesnosti.

Igra je matematički model stvarne konfliktne situacije, čije se rješavanje provodi prema određenim pravilima i algoritmima koji opisuju određenu strategiju ponašanja donositelja odluka u uvjetima neizvjesnosti.

Postoje “igre s prirodom” i “igre s neprijateljem”. Na temelju situacije određuju se metode i kriteriji za ocjenu donošenja odluka. Tako se u “igranju s prirodom” koriste sljedeći kriteriji: Laplace, maksimin (Waldov kriterij) i minimaks, Hurwitz i Savage te niz drugih algoritamskih pravila. U “igrama s protivnikom” za donošenje odluka koriste se platne matrice, maximin i minimax kriteriji, kao i posebne matematičke transformacije, jer se donositelj odluke suočava s neprijateljskim protivnikom.

Razmatrane vrste matematičkih modela ne pokrivaju njihovu cjelokupnu moguću raznolikost, već samo karakteriziraju pojedine vrste ovisno o prihvaćenom aspektu klasifikacije. V.A. Kardash je pokušao stvoriti sustav za klasifikaciju modela prema četiri aspekta detalja (slika 8.4).

A - modeli bez prostornog razlikovanja parametara;

B - modeli s prostornom diferencijacijom parametara

Slika 8.4 - Klasifikacija modela prema četiri aspekta detalja

S razvojem računalnih alata, jedna od najčešćih metoda odlučivanja je poslovna igra, koja je numerički eksperiment u kojem aktivno sudjeluje osoba. Postoje stotine poslovnih igara. Koriste se za proučavanje niza problema u menadžmentu, ekonomiji, organizacijskoj teoriji, psihologiji, financijama i trgovini.

Što je matematički model?

Pojam matematičkog modela.

Matematički model je vrlo jednostavan koncept. I vrlo važno. Upravo matematički modeli povezuju matematiku i stvarni život.

Jednostavno rečeno, matematički model je matematički opis bilo koje situacije. To je sve. Model može biti primitivan ili može biti super složen. Kakva god situacija, takav je i model.)

U bilo kojem (ponavljam - u bilo kojem!) u slučaju kada trebate nešto računati i izračunati - bavimo se matematičkim modeliranjem. Čak i ako u to ne sumnjamo.)

P = 2 CB + 3 CM

Ovaj će unos biti matematički model troškova naših kupnji. Model ne uzima u obzir boju ambalaže, rok trajanja, ljubaznost blagajnika itd. Zato ona model, nije stvarna kupnja. Ali troškovi, tj. što nam treba- saznat ćemo sigurno. Ako je model ispravan, naravno.

Korisno je zamisliti što je matematički model, ali nije dovoljno. Najvažnije je moći izgraditi te modele.

Izrada (konstrukcija) matematičkog modela problema.

Stvoriti matematički model znači prevesti uvjete problema u matematički oblik. Oni. pretvoriti riječi u jednadžbu, formulu, nejednakost itd. Štoviše, transformirajte ga tako da ova matematika strogo odgovara izvornom tekstu. Inače ćemo dobiti matematički model nekog drugog nama nepoznatog problema.)

Točnije, trebate

U svijetu postoji beskonačan broj zadataka. Stoga ponudite jasne korak-po-korak upute za izradu matematičkog modela bilo koji zadaci su nemogući.

Ali postoje tri glavne točke na koje morate obratiti pozornost.

1. Bilo koji problem sadrži tekst, čudno.) Ovaj tekst, u pravilu, sadrži eksplicitne, otvorene informacije. Brojevi, vrijednosti itd.

2. Svaki problem ima skrivene informacije. Ovo je tekst koji pretpostavlja dodatno znanje u glavi. Nema načina bez njih. Osim toga, matematičke informacije često su skrivene iza jednostavnih riječi i... promiču pozornosti.

3. Svaki zadatak mora biti zadan međusobno povezivanje podataka. Ta se veza može dati u običnom tekstu (nešto je jednako nešto), ili se može sakriti iza jednostavnih riječi. Ali jednostavne i jasne činjenice često se zanemaruju. A model nije ni na koji način kompiliran.

Odmah ću reći: da biste primijenili ove tri točke, morate pročitati problem (i to pažljivo!) nekoliko puta. Uobičajena stvar.

A sada - primjeri.

Počnimo s jednostavnim problemom:

Petrovich se vratio iz ribolova i ponosno predstavio svoj ulov obitelji. Pomnijim ispitivanjem pokazalo se da 8 riba dolazi iz sjevernih mora, 20% svih riba dolazi iz južnih mora, a niti jedna nije dolazila iz lokalne rijeke gdje je Petrovich lovio. Koliko je riba Petrovich kupio u trgovini Seafood?

Sve ove riječi treba pretvoriti u neku vrstu jednadžbe. Da biste to učinili, trebate, ponavljam, uspostaviti matematičku vezu između svih podataka u problemu.

Gdje započeti? Najprije izdvojimo sve podatke iz zadatka. Krenimo redom:

Obratimo pozornost na prvu točku.

Koji je ovdje? eksplicitan matematičke informacije? 8 riba i 20%. Ne puno, ali ne treba nam puno.)

Obratimo pozornost na drugu točku.

traže skriven informacija. Ovdje je. Ovo su riječi: „20% sve ribe"Ovdje treba razumjeti što su postoci i kako se računaju. U protivnom se problem ne može riješiti. To je upravo dodatna informacija koja bi trebala biti u vašoj glavi.

Postoji također matematički informacije koje su potpuno nevidljive. Ovaj pitanje zadatka: "Koliko sam ribe kupio..." Ovo je također broj. A bez toga se niti jedan model neće formirati. Stoga ovaj broj označimo slovom "X". Još ne znamo koliko je x jednako, ali ova oznaka će nam biti vrlo korisna. Više detalja o tome što uzeti za X i kako se nositi s njim napisano je u lekciji Kako riješiti probleme iz matematike? Zapišimo odmah:

x komada - ukupan broj riba.

U našem problemu, južne ribe su dane u postocima. Moramo ih pretvoriti u dijelove. Za što? Što onda u bilo koji mora se izraditi problem modela u istoj vrsti količina. Komadi - znači sve je u komadima. Ako su dati, recimo, sati i minute, sve prevodimo u jednu stvar - ili samo sate, ili samo minute. Nije važno što je. Važno je da sve su vrijednosti bile istog tipa.

Vratimo se na otkrivanje informacija. Tko ne zna koliki je postotak, nikad neće otkriti, da... Ali tko zna, odmah će reći da su ovdje postoci prema ukupnom broju riba. A ovaj broj ne znamo. Ništa neće uspjeti!

Ne pišemo uzalud ukupan broj riba (u komadima!) "X" naznačeno. Neće biti moguće izbrojati južne ribe, ali možemo ih zapisati? Kao ovo:

0,2 x komada - broj riba iz južnih mora.

Sada smo preuzeli sve podatke iz zadatka. I očito i skriveno.

Obratimo pozornost na treću točku.

traže matematička veza između podataka o zadatku. Ta veza je toliko jednostavna da je mnogi ne primjećuju... To se često događa. Ovdje je korisno jednostavno zapisati prikupljene podatke na hrpu i vidjeti što je što.

Što imamo? Jesti 8 komada sjeverna riba, 0,2 x komada- južna riba i x riba- ukupan iznos. Je li moguće te podatke nekako povezati? Da Lako! Ukupan broj riba jednaki zbroj južnog i sjevernog! Pa, tko bi rekao...) Dakle, zapisujemo:

x = 8 + 0,2x

Ovo je jednadžba matematički model našeg problema.

Imajte na umu da u ovom problemu Od nas se ne traži da bilo što presavijemo! Sami smo, iz glave, shvatili da će nam zbroj južne i sjeverne ribe dati ukupan broj. Stvar je toliko očita da ostaje nezapažena. Ali bez ovih dokaza ne može se stvoriti matematički model. Kao ovo.

Sada možete koristiti svu snagu matematike za rješavanje ove jednadžbe). Upravo zbog toga je sastavljen matematički model. Rješavamo ovu linearnu jednadžbu i dobivamo odgovor.

Odgovor: x=10

Kreirajmo matematički model drugog problema:

Pitali su Petroviča: "Imate li puno novca?" Petrovich je počeo plakati i odgovorio: "Da, samo malo, ako potrošim pola novca, a ostatak će mi ostati samo jedna vreća novca..." Koliko novca ima Petrovich. ?

Opet radimo točku po točku.

1. Tražimo eksplicitne informacije. Nećete ga odmah pronaći! Eksplicitna informacija je jedan torba za novac. Postoje neke druge polovice... Pa, to ćemo pogledati u drugom odlomku.

2. Tražimo skrivene informacije. Ovo su polovice. Što? Nije baš jasno. Tražimo dalje. Ima još jedno pitanje: "Koliko novca ima Petrovich?" Označimo iznos novca slovom "X":

x- sav novac

I opet čitamo problem. Već poznavajući tog Petroviča x novac. Ovdje će polovice raditi! Zapisujemo:

0,5 x- polovica sveg novca.

Ostatak će također biti polovica, tj. 0,5 x. A pola od pola može se napisati ovako:

0,5 0,5 x = 0,25x- polovica ostatka.

Sada su sve skrivene informacije otkrivene i snimljene.

3. Tražimo vezu između snimljenih podataka. Ovdje možete jednostavno pročitati Petrovičevu patnju i matematički je zapisati):

Ako potrošim polovicu svega novca...

Snimimo ovaj proces. Sav novac - X. pola - 0,5 x. Potrošiti znači oduzeti. Izraz se pretvara u snimku:

x - 0,5 x

da pola ostalo...

Oduzmimo drugu polovicu ostatka:

x - 0,5 x - 0,25x

onda će mi ostati samo jedna vreća novca...

I tu smo našli ravnopravnost! Nakon svih oduzimanja ostaje jedna vreća novca:

x - 0,5 x - 0,25x = 1

Evo ga, matematički model! Ovo je opet linearna jednadžba, riješimo je, dobijemo:

Pitanje za razmatranje. Što je četiri? Rublja, dolar, juan? A u kojim je jedinicama zapisan novac u našem matematičkom modelu? U vrećicama! To znači četiri vrećica novac od Petroviča. Dobro također.)

Zadaci su, naravno, elementarni. Ovo je posebno da bi se uhvatila bit izrade matematičkog modela. Neki zadaci mogu sadržavati puno više podataka u kojima se lako izgubiti. To se često događa u tzv. kompetencijski zadaci. Kako izdvojiti matematički sadržaj iz hrpe riječi i brojeva prikazano je na primjerima

Još jedna napomena. U klasičnim školskim problemima (cijevi pune bazen, čamci koji negdje plutaju itd.) svi se podaci, u pravilu, biraju vrlo pažljivo. Postoje dva pravila:
- u problemu ima dovoljno informacija za njegovo rješavanje,
- U problemu nema nepotrebnih informacija.

Ovo je nagovještaj. Ako je neka vrijednost ostala neiskorištena u matematičkom modelu, razmislite postoji li greška. Ako nema dovoljno podataka, najvjerojatnije nisu identificirane i zabilježene sve skrivene informacije.

U kompetencijskim i drugim životnim poslovima ova se pravila ne poštuju striktno. Nema pojma. Ali i takvi se problemi mogu riješiti. Ako, naravno, vježbate na klasičnim.)

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učimo - sa zanimanjem!)

Možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.

Prva razina

Matematički modeli za OGE i Jedinstveni državni ispit (2019.)

Pojam matematičkog modela

Zamislite avion: krila, trup, rep, sve to zajedno - pravi golemi, golemi, cijeli avion. Ili možete napraviti model aviona, mali, ali baš kao u stvarnom životu, ista krila itd., ali kompaktan. Takav je i matematički model. Postoji problem s tekstom, glomazan, možete ga gledati, čitati, ali ga ne možete sasvim razumjeti, a još više nije jasno kako ga riješiti. Što ako napravite mali model velikog problema s riječima, matematički model? Što matematički znači? To znači, korištenjem pravila i zakona matematičke notacije, transformirati tekst u logički ispravan prikaz pomoću brojeva i aritmetičkih znakova. Tako, matematički model je prikaz stvarne situacije pomoću matematičkog jezika.

Počnimo s jednostavnim: broj je veći od broja za. Ovo trebamo zapisati bez korištenja riječi, već samo jezikom matematike. Ako postoji više od, onda ispada da ako oduzmemo od, tada će ista razlika ovih brojeva ostati jednaka. Oni. ili. Shvaćate poantu?

Sada je teže, sada će biti tekst koji trebate pokušati prikazati u obliku matematičkog modela, nemojte još čitati kako ću ja to učiniti, pokušajte sami! Postoje četiri broja: , i. Proizvod je dvostruko veći od proizvoda.

Što se dogodilo?

U obliku matematičkog modela to će izgledati ovako:

Oni. proizvod se odnosi kao dva prema jedan, ali to se može dodatno pojednostaviti:

Pa, u redu, s jednostavnim primjerima shvatit ćete poantu, mislim. Prijeđimo na potpune probleme u kojima također treba riješiti ove matematičke modele! Evo izazova.

Matematički model u praksi

Problem 1

Nakon kiše može doći do porasta razine vode u bunaru. Dječak mjeri vrijeme pada kamenčića u bunar i izračunava udaljenost do vode pomoću formule, gdje je udaljenost u metrima, a vrijeme pada u sekundama. Prije kiše vrijeme padanja kamenčića bilo je s. Koliko mora porasti razina vode nakon kiše da izmjereno vrijeme prijeđe u s? Izrazi svoj odgovor u metrima.

O Bože! Kakve formule, kakav bunar, što se događa, što učiniti? Jesam li ti pročitao misli? Opustite se, u problemima ovog tipa postoje još strašniji uvjeti, glavna stvar je zapamtiti da vas u ovom problemu zanimaju formule i odnosi između varijabli, a što sve to znači u većini slučajeva nije previše važno. Što vidite ovdje korisnog? Ja to osobno vidim. Princip rješavanja ovih problema je sljedeći: uzmete sve poznate veličine i zamijenite ih.ALI, ponekad treba razmisliti!

Slijedeći moj prvi savjet i zamjenjujući sve poznato u jednadžbu, dobivamo:

Ja sam bio taj koji je zamijenio vrijeme sekunde i pronašao visinu koju je kamen odletio prije kiše. Sada trebamo brojati nakon kiše i pronaći razliku!

Sada poslušajte drugi savjet i razmislite o tome, pitanje specificira "koliko razina vode mora porasti nakon kiše da se izmjereno vrijeme promijeni u s." Odmah morate shvatiti da nakon kiše razina vode raste, što znači da je vrijeme pada kamena na razinu vode kraće, a ovdje kitnjasta fraza “tako da se izmjereno vrijeme promijeni” dobiva specifično značenje: padanje vrijeme se ne povećava, već se smanjuje za naznačene sekunde. To znači da u slučaju bacanja nakon kiše samo trebamo oduzeti c od početnog vremena c i dobivamo jednadžbu za visinu na koju će kamen odletjeti nakon kiše:

I na kraju, da biste saznali koliko mora porasti razina vode nakon kiše da bi izmjereno vrijeme priješlo u s., trebate samo oduzeti drugu od prve visine pada!

Dobivamo odgovor: po metru.

Kao što vidite, nema ništa komplicirano, glavno je da se ne zamarate previše otkud tako nerazumljiva i ponekad složena jednadžba u uvjetima i što sve u njoj znači, vjerujte mi na riječ, većina te jednadžbe su preuzete iz fizike, a tamo je džungla gora nego u algebri. Ponekad mi se čini da su ti zadaci izmišljeni kako bi zastrašili učenika na Jedinstvenom državnom ispitu s obiljem složenih formula i pojmova, au većini slučajeva ne zahtijevaju gotovo nikakvo znanje. Samo pažljivo pročitajte uvjet i zamijenite poznate količine u formulu!

Evo još jednog zadatka, ne više iz fizike, već iz svijeta ekonomske teorije, iako se ovdje opet ne traži poznavanje drugih znanosti osim matematike.

Problem 2

Ovisnost obujma potražnje (jedinica mjesečno) za proizvode monopolističkog poduzeća o cijeni (tisuća rubalja) dana je formulom

Prihod poduzeća za mjesec (u tisućama rubalja) izračunava se pomoću formule. Odredite najvišu cijenu po kojoj će mjesečni prihod biti najmanje tisuću rubalja. Dajte svoj odgovor u tisućama rubalja.

Pogodi što ću sada učiniti? Da, počet ću uključivati ​​ono što znamo, ali, opet, još ću morati malo razmisliti. Idemo od kraja, moramo pronaći na kojem. Dakle, postoji, jednako je nečemu, nalazimo čemu je još ovo jednako, i jednako je tome, pa to zapisujemo. Kao što vidite, zapravo se ne zamaram značenjem svih ovih količina, samo gledam iz uvjeta da vidim što je čemu jednako, to je ono što trebate učiniti. Vratimo se na problem, već ga imate, ali kao što se sjećate iz jedne jednadžbe s dvije varijable ne možete pronaći niti jednu, što trebate učiniti? Da, još uvijek imamo neiskorišteni komad u stanju. Sada već postoje dvije jednadžbe i dvije varijable, što znači da se sada mogu pronaći obje varijable - super!

– možete li riješiti takav sustav?

Rješavamo supstitucijom; to je već izraženo, pa ga zamijenimo u prvoj jednadžbi i pojednostavimo.

Dobivamo ovu kvadratnu jednadžbu: , rješavamo, korijeni su ovakvi, . Zadatak zahtijeva pronalaženje najveće cijene uz koju će biti ispunjeni svi uvjeti koje smo uzeli u obzir pri izradi sustava. Oh, pokazalo se da je to bila cijena. Cool, pa smo pronašli cijene: i. Najveća cijena, kažete? U redu, najveći od njih, očito, pišemo kao odgovor. Pa, je li teško? Mislim da ne, i nema potrebe previše ulaziti u to!

A evo i zastrašujuće fizike, odnosno još jednog problema:

Problem 3

Za određivanje efektivne temperature zvijezda koristi se Stefan–Boltzmannov zakon prema kojem, gdje je snaga zračenja zvijezde, je konstanta, je površina zvijezde, a je temperatura. Poznato je da je površina određene zvijezde jednaka, a snaga njenog zračenja jednaka je W. Pronađite temperaturu ove zvijezde u stupnjevima Kelvina.

Kako je jasno? Da, uvjet kaže što je čemu jednako. Ranije sam preporučio zamjenu svih nepoznanica odjednom, ali ovdje je bolje prvo izraziti traženu nepoznanicu. Pogledajte kako je jednostavno: postoji formula iu njoj znamo, i (ovo je grčko slovo "sigma". Općenito, fizičari vole grčka slova, naviknite se na to). A temperatura je nepoznata. Izrazimo to u obliku formule. Nadam se da znate kako to učiniti? Obično se daju takvi zadaci za državni ispit u 9. razredu:

Sada preostaje samo zamijeniti brojeve umjesto slova s ​​desne strane i pojednostaviti:

Evo odgovora: stupnjevi Kelvina! A kakav je to bio užasan zadatak!

Nastavljamo mučiti probleme fizike.

Problem 4

Visina bačene lopte iznad tla mijenja se prema zakonu, gdje je visina u metrima, a vrijeme u sekundama koje je proteklo od trenutka bacanja. Koliko će sekundi lopta ostati na visini od najmanje tri metra?

Sve su to bile jednadžbe, ali ovdje treba odrediti koliko je lopta bila na visini od najmanje tri metra, što znači na visini. Što ćemo izmisliti? Nejednakost, točno! Imamo funkciju koja opisuje kako lopta leti, gdje - ovo je točno ista visina u metrima, potrebna nam je visina. Sredstva

A sada jednostavno riješite nejednadžbu, glavno je da ne zaboravite promijeniti predznak nejednakosti s više ili jednako na manje ili jednako kada množite s obje strane nejednadžbe kako biste se riješili minusa ispred.

Ovo su korijeni, konstruiramo intervale za nejednakost:

Zanima nas interval u kojem je znak minus, budući da nejednakost tamo poprima negativne vrijednosti, to je od do uključivo oba. Sada uključimo mozak i dobro razmislimo: za nejednakost smo koristili jednadžbu koja opisuje let lopte, ona nekako leti po paraboli, tj. poleti, dostigne vrhunac i padne, kako shvatiti koliko dugo će ostati na visini od najmanje metara? Pronašli smo 2 prekretnice, tj. trenutak kada se vine iznad metara i trenutak kada, padajući, dostigne istu oznaku, ove dvije točke su izražene u obliku vremena, tj. znamo u kojoj je sekundi leta ušao u zonu koja nas zanima (iznad metara), au kojoj je iz nje izašao (pao ispod oznake u metar). Koliko je sekundi bio u ovoj zoni? Logično je da uzmemo vrijeme izlaska iz zone i od njega oduzmemo vrijeme ulaska u tu zonu. Prema tome: - bio je toliko dugo u zoni iznad metara, ovo je odgovor.

Imaš sreće što se većina primjera na ovu temu može uzeti iz kategorije problema iz fizike, pa uhvati još jedan, posljednji je, pa guraj, ostalo je još malo!

Problem 5

Za grijaće tijelo određenog uređaja eksperimentalno je dobivena ovisnost temperature o vremenu rada:

Gdje je vrijeme u minutama, . Poznato je da ako je temperatura grijaćeg tijela viša, uređaj se može pokvariti, pa se mora isključiti. Pronađite najdulje vrijeme nakon početka rada koje vam je potrebno da isključite uređaj. Izrazite svoj odgovor u nekoliko minuta.

Djelujemo prema dobro utvrđenoj shemi, prvo zapišemo sve što je dano:

Sada uzmemo formulu i izjednačimo je s vrijednošću temperature na koju se uređaj može zagrijati što je više moguće dok ne izgori, to jest:

Sada umjesto slova zamjenjujemo brojeve tamo gdje su poznati:

Kao što vidite, temperatura tijekom rada uređaja opisana je kvadratnom jednadžbom, što znači da je raspoređena duž parabole, tj. Uređaj se zagrijava do određene temperature, a zatim se hladi. Dobili smo odgovore i, dakle, u i u minutama zagrijavanja temperatura je jednaka kritičnoj, ali između i minuta - čak je i viša od granice!

To znači da trebate isključiti uređaj nakon nekoliko minuta.

MATEMATIČKI MODELI. UKRATKO O GLAVNOM

Najčešće se matematički modeli koriste u fizici: vjerojatno ste morali zapamtiti desetke fizičkih formula. A formula je matematički prikaz situacije.

U OGE i Jedinstvenom državnom ispitu postoje zadaci upravo na ovu temu. U Jedinstvenom državnom ispitu (profil) ovo je zadatak broj 11 (prije B12). U OGE - zadatak broj 20.

Shema rješenja je očita:

1) Iz teksta uvjeta potrebno je “izolirati” korisnu informaciju – ono što u problemima fizike pišemo pod riječju “Zadano”. Ova korisna informacija je:

• Formula
• Poznate fizikalne veličine.

Odnosno, svako slovo iz formule mora biti povezano s određenim brojem.

2) Uzmite sve poznate količine i zamijenite ih u formulu. Nepoznata količina ostaje u obliku slova. Sada samo trebate riješiti jednadžbu (obično vrlo jednostavnu) i odgovor je spreman.

Pa tema je gotova. Ako čitate ove retke, znači da ste vrlo cool.

Jer samo 5% ljudi je u stanju svladati nešto samostalno. A ako pročitate do kraja, onda ste u ovih 5%!

Sada ono najvažnije.

Razumjeli ste teoriju o ovoj temi. I, ponavljam, ovo... ovo je jednostavno super! Već si bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što to možda neće biti dovoljno...

Za što?

Za uspješno položen Jedinstveni državni ispit, za upis na proračun na fakultet i, ŠTO JE NAJVAŽNIJE, za život.

Neću te uvjeravati ni u što, samo ću jedno reći...

Ljudi koji su stekli dobro obrazovanje zarađuju puno više od onih koji ga nisu stekli. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavno da su SRETNIJI (postoje takve studije). Možda zato što se pred njima otvara mnogo više prilika i život postaje svjetliji? ne znam...

Ali razmislite sami...

Što je potrebno da biste bili bolji od drugih na Jedinstvenom državnom ispitu i na kraju bili... sretniji?

USPORITE SE RJEŠAVANJEM ZADATAKA NA OVU TEMU.

Tijekom ispita nećete tražiti teoriju.

Trebat će vam rješavati probleme protiv vremena.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu pogrešku ili jednostavno nećete imati vremena.

To je kao u sportu - trebaš ponoviti mnogo puta da bi sigurno pobijedio.

Pronađite kolekciju gdje god želite, obavezno s rješenjima, detaljnom analizom i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (neobavezno) i mi ih, naravno, preporučujemo.

Kako biste se bolje snašli u našim zadacima, morate pomoći produžiti vijek trajanja udžbenika YouClever koji upravo čitate.

Kako? Postoje dvije mogućnosti:

1. Otključajte sve skrivene zadatke u ovom članku - 299 rub.
2. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka udžbenika - 999 rub.

Da, imamo 99 takvih članaka u našem udžbeniku i odmah se otvara pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima.

U drugom slučaju mi ćemo vam dati simulator “6000 problema s rješenjima i odgovorima, za svaku temu, na svim razinama složenosti.” To će svakako biti dovoljno da se dočepate rješavanja problema na bilo koju temu.

Zapravo, ovo je puno više od običnog simulatora - cijeli program obuke. Po potrebi ga možete koristiti i BESPLATNO.

Pristup svim tekstovima i programima je omogućen za CIJELO razdoblje postojanja stranice.

U zaključku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati na teoriji.

“Razumijem” i “Mogu riješiti” potpuno su različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!