بدیهیات اعداد حقیقی بدیهیات اعداد حقیقی تعریف بدیهی سیستم اعداد صحیح

برای اعداد واقعی که با (به اصطلاح R خرد شده) نشان داده می شوند، عملیات جمع ("+") معرفی می شود، یعنی برای هر جفت عنصر ( ایکس,y) از مجموعه اعداد واقعی عنصر تخصیص داده می شود ایکس + yاز همان مجموعه، به نام مجموع ایکسو y .

بدیهیات ضرب

عملیات ضرب ("·") معرفی شده است، یعنی برای هر جفت عنصر ( ایکس,y) از مجموعه اعداد واقعی، یک عنصر اختصاص داده می شود (یا به طور خلاصه، ایکسy) از همان مجموعه به نام محصول ایکسو y .

رابطه جمع و ضرب

بدیهیات نظم

در یک رابطه معین از مرتبه "" (کمتر یا مساوی)، یعنی برای هر جفت x، yحداقل از یکی از شرایط یا .

رابطه بین ترتیب و اضافه

رابطه ترتیب و ضرب

بدیهیات تداوم

یک نظر

این بدیهیات به این معنی است که اگر ایکسو Y- دو مجموعه غیر خالی از اعداد واقعی به طوری که هر عنصر از ایکساز هیچ عنصری تجاوز نمی کند Y، سپس یک عدد واقعی را می توان بین این مجموعه ها درج کرد. این اصل برای اعداد گویا صادق نیست. مثال کلاسیک: اعداد گویا مثبت را در نظر بگیرید و آنها را به مجموعه نسبت دهید ایکساعدادی که مربع آنها کمتر از 2 است و بقیه - به Y. سپس بین ایکسو Yشما نمی توانید یک عدد گویا وارد کنید (این عدد گویا نیست).

این اصل کلیدی چگالی را فراهم می کند و در نتیجه ساخت تحلیل ریاضی را ممکن می سازد. برای نشان دادن اهمیت آن، اجازه دهید به دو پیامد اساسی از آن اشاره کنیم.

نتایج بدیهیات

برخی از ویژگی‌های مهم اعداد حقیقی مستقیماً از بدیهیات ناشی می‌شوند، برای مثال،

• منحصر به فرد بودن صفر،
• منحصر به فرد بودن عناصر متضاد و معکوس.

ادبیات

• زوریچ وی.تجزیه و تحلیل ریاضی. جلد I. M.: Phasis، 1997، فصل 2.

همچنین ببینید

پیوندها

بنیاد ویکی مدیا 2010.

ببینید "Axiomatics of اعداد حقیقی" در سایر لغت نامه ها چیست:

اعداد حقیقی یا واقعی یک انتزاع ریاضی است که از نیاز به اندازه گیری مقادیر هندسی و فیزیکی جهان اطراف و همچنین انجام عملیاتی مانند استخراج ریشه ها، محاسبه لگاریتم ها، حل... ... ویکی پدیا ناشی می شود.

اعداد حقیقی یا واقعی یک انتزاع ریاضی هستند که به ویژه برای نمایش و مقایسه مقادیر مقادیر فیزیکی کاربرد دارد. چنین عددی را می توان به طور شهودی به عنوان توصیف موقعیت یک نقطه در یک خط نشان داد. ... ویکی پدیا

اعداد حقیقی یا واقعی یک انتزاع ریاضی هستند که به ویژه برای نمایش و مقایسه مقادیر مقادیر فیزیکی کاربرد دارد. چنین عددی را می توان به طور شهودی به عنوان توصیف موقعیت یک نقطه در یک خط نشان داد. ... ویکی پدیا

اعداد حقیقی یا واقعی یک انتزاع ریاضی هستند که به ویژه برای نمایش و مقایسه مقادیر مقادیر فیزیکی کاربرد دارد. چنین عددی را می توان به طور شهودی به عنوان توصیف موقعیت یک نقطه در یک خط نشان داد. ... ویکی پدیا

اعداد حقیقی یا واقعی یک انتزاع ریاضی هستند که به ویژه برای نمایش و مقایسه مقادیر مقادیر فیزیکی کاربرد دارد. چنین عددی را می توان به طور شهودی به عنوان توصیف موقعیت یک نقطه در یک خط نشان داد. ... ویکی پدیا

اعداد حقیقی یا واقعی یک انتزاع ریاضی هستند که به ویژه برای نمایش و مقایسه مقادیر مقادیر فیزیکی کاربرد دارد. چنین عددی را می توان به طور شهودی به عنوان توصیف موقعیت یک نقطه در یک خط نشان داد. ... ویکی پدیا

اعداد حقیقی یا واقعی یک انتزاع ریاضی هستند که به ویژه برای نمایش و مقایسه مقادیر مقادیر فیزیکی کاربرد دارد. چنین عددی را می توان به طور شهودی به عنوان توصیف موقعیت یک نقطه در یک خط نشان داد. ... ویکی پدیا

ویکی‌واژه دارای یک مقاله «اکسیوم» Axiom (یونانی باستان ... ویکی‌پدیا

بدیهی است که در سیستم های بدیهی مختلف یافت می شود. بدیهیات اعداد حقیقی بدیهیات هندسه اقلیدسی هیلبرت بدیهیات نظریه احتمالات کلموگروف ... ویکی پدیا

روش بدیهی در ریاضیات.

مفاهیم اساسی و روابط نظریه بدیهی سری طبیعی. تعریف عدد طبیعی

جمع اعداد طبیعی

ضرب اعداد طبیعی

ویژگی های مجموعه اعداد طبیعی

تفریق و تقسیم اعداد طبیعی.

روش بدیهی در ریاضیات

در ساخت بدیهی هر نظریه ریاضی، اصول زیر رعایت می شود: قوانین خاص:

1. برخی از مفاهیم نظریه به عنوان انتخاب شده است اصلیو بدون تعریف پذیرفته می شوند.

2. فرموله می شوند بدیهیاتکه در این نظریه بدون دلیل پذیرفته شده اند، ویژگی های مفاهیم اساسی را آشکار می کنند.

3. هر مفهومی از این نظریه که در فهرست پایه‌ها وجود ندارد، آورده شده است تعریف، معنای آن را با کمک مفاهیم اصلی و قبل توضیح می دهد.

4. هر گزاره از یک نظریه که در فهرست بدیهیات موجود نیست باید اثبات شود. چنین پیشنهاداتی نامیده می شود قضایاو آنها را بر اساس بدیهیات و قضایای قبل از موضوع مورد بررسی ثابت کنید.

سیستم بدیهیات باید به صورت زیر باشد:

الف) سازگار:ما باید مطمئن باشیم که با استخراج تمام نتایج ممکن از یک سیستم معین بدیهیات، هرگز به تناقضی نخواهیم رسید.

ب) مستقل: هیچ بدیهی نباید پیامد بدیهیات دیگر این سیستم باشد.

V) پر شده، اگر در چارچوب آن همیشه بتوان یک گزاره داده شده یا نفی آن را اثبات کرد.

اولین تجربه ساخت نظریه بدیهی را می توان ارائه هندسه توسط اقلیدس در «عناصر» (قرن سوم قبل از میلاد) دانست. سهم قابل توجهی در توسعه روش اصولی ساخت هندسه و جبر توسط N.I. لوباچفسکی و ای. گالوا. در پایان قرن نوزدهم. ریاضیدان ایتالیایی پیانو سیستمی از بدیهیات را برای حساب ایجاد کرد.

مفاهیم اساسی و روابط نظریه بدیهی اعداد طبیعی. تعریف عدد طبیعی

به عنوان یک مفهوم اساسی (تعریف نشده) در یک مجموعه خاص ن انتخاب شده است نگرش و همچنین از مفاهیم نظری مجموعه ها و همچنین قواعد منطق استفاده می کند.

عنصر بلافاصله پس از عنصر آ،مشخص کن آ".

رابطه "مستقیم دنبال کردن" بدیهیات زیر را برآورده می کند:

بدیهیات پیانو:

اصل 1. در فراوانی ن یک عنصر به طور مستقیم وجود دارد بعدی نیستبرای هیچ عنصری از این مجموعه نیست. بهش زنگ بزنیم واحدو با علامت مشخص می شود 1 .

اصل 2. برای هر عنصر آ از جانب ن فقط یک عنصر وجود دارد آ" ، بلافاصله پس از آ .

اصل 3. برای هر عنصر آ از جانب نحداکثر یک عنصر وجود دارد که بلافاصله پس از آن وجود دارد آ .

اصل 4.هر زیر مجموعه م مجموعه ها ن مصادف است با ن در صورتی که دارای خواص زیر باشد: 1) 1 موجود در م ; 2) از آنجا که آ موجود در م , نتیجه می شود که آ" موجود در م.

تعریف 1. یک دسته از ن ، که برای عناصر آن رابطه برقرار می شود "مستقیم دنبال کنید"، ارضای بدیهیات 1-4، نامیده می شود مجموعه ای از اعداد طبیعی، و عناصر آن هستند اعداد طبیعی.

این تعریف چیزی در مورد ماهیت عناصر مجموعه نمی گوید ن . بنابراین می تواند هر چیزی باشد. انتخاب به عنوان مجموعه ن برخی از مجموعه های خاص که در آن یک رابطه خاص "مستقیماً دنبال می شود" داده شده است، که بدیهیات 1-4 را برآورده می کند. مدل این سیستم اصل.

مدل استاندارد سیستم بدیهیات Peano مجموعه ای از اعداد است که در روند توسعه تاریخی جامعه پدید آمده است: 1،2،3،4،... سری طبیعی با عدد 1 شروع می شود (اصول 1). هر عدد طبیعی بلافاصله با یک عدد طبیعی منفرد دنبال می شود (اصول 2). هر عدد طبیعی بلافاصله حداکثر یک عدد طبیعی را دنبال می کند (اصول 3). با شروع از عدد 1 و حرکت به سمت اعداد طبیعی بلافاصله پس از یکدیگر، کل مجموعه این اعداد را به دست می آوریم (اصول 4).

بنابراین، ساخت بدیهی یک سیستم اعداد طبیعی را با انتخاب پایه آغاز کردیم رابطه "مستقیم دنبال کنید".و بدیهیاتی که خواص آن را توصیف می کند. ساخت بیشتر تئوری مستلزم در نظر گرفتن خواص شناخته شده اعداد طبیعی و عملیات روی آنها است. آنها باید در تعاریف و قضایا آشکار شوند، یعنی. کاملاً منطقی از رابطه "مستقیم دنبال کردن" و بدیهیات 1-4 مشتق شده اند.

اولین مفهومی که بعد از تعریف عدد طبیعی معرفی خواهیم کرد این است نگرش "بلافاصله قبل از" , که اغلب هنگام در نظر گرفتن خواص سری طبیعی استفاده می شود.

تعریف 2.اگر یک عدد طبیعی است ب مستقیماً دنبال می کندعدد طبیعی آ, آن عدد آ تماس گرفت بلافاصله قبل از(یا قبلی) شماره ب .

رابطه «قبلی» دارد تعدادی از خواص.

قضیه 1. واحد دارای یک عدد طبیعی قبل نیست.

قضیه 2. هر عدد طبیعی آ، به غیر از 1، یک عدد قبلی دارد ببه طوری که ب"= آ.

ساختار بدیهی نظریه اعداد طبیعی نه در مدارس ابتدایی و نه در دبیرستان مورد توجه قرار نمی گیرد. با این حال، آن خصوصیات رابطه "مستقیماً دنبال می شود" که در بدیهیات Peano منعکس شده است، موضوع مطالعه در دوره اولیه ریاضیات است. قبلاً در کلاس اول، با در نظر گرفتن اعداد ده اول، مشخص می شود که چگونه می توان هر عدد را به دست آورد. از مفاهیم "پیش می آید" و "قبلی" استفاده می شود. هر عدد جدید به عنوان ادامه بخش مورد مطالعه از سری طبیعی اعداد عمل می کند. دانش‌آموزان متقاعد شده‌اند که بعد از هر عدد عدد بعدی وجود دارد، و علاوه بر این، تنها یک چیز، این است که سری طبیعی اعداد نامحدود است.

جمع اعداد طبیعی

با توجه به قوانین ساخت یک نظریه بدیهی، تعریف جمع اعداد طبیعی باید تنها با استفاده از رابطه معرفی شود. "مستقیم دنبال کنید"، و مفاهیم "عدد طبیعی"و "شماره قبل".

اجازه دهید تعریف جمع را با ملاحظات زیر مقدمه کنیم. اگر به هر عدد طبیعی آ 1 را اضافه کنید، عدد را دریافت می کنیم آ"،بلافاصله پس از آ، یعنی آ+ 1= a"و بنابراین، قانون جمع کردن 1 به هر عدد طبیعی را دریافت می کنیم. اما چگونه می توان به یک عدد اضافه کرد آعدد طبیعی بمتفاوت از 1؟ بیایید از واقعیت زیر استفاده کنیم: اگر بدانیم که 2 + 3 = 5، آنگاه حاصل جمع 2 + 4 = 6 است که بلافاصله بعد از عدد 5 می آید. عدد 3. بنابراین، 2 + 4 = 2 + 3 " =(2+3)". به طور کلی داریم , .

این حقایق مبنای تعریف جمع اعداد طبیعی در نظریه بدیهیات را تشکیل می دهند.

تعریف 3. جمع کردن اعداد طبیعییک عملیات جبری است که دارای ویژگی های زیر است:

عدد a + b تماس گرفت مجموع اعداد آو ب , و خود اعداد آو ب - مقررات.

سیستم عدد صحیح

به یاد داشته باشیم که سری طبیعی برای فهرست کردن اشیاء ظاهر شد. اما اگر بخواهیم برخی از اعمال را با اشیا انجام دهیم، به عملیات حسابی روی اعداد نیاز خواهیم داشت. یعنی اگر بخواهیم سیب ها را روی هم بچینیم یا کیک را تقسیم کنیم، باید این اعمال را به زبان اعداد ترجمه کنیم.

لطفاً توجه داشته باشید که برای معرفی عملیات + و * به زبان اعداد طبیعی، لازم است بدیهیاتی را اضافه کنید که خصوصیات این عملیات را مشخص می کند. اما پس از آن خود مجموعه اعداد طبیعی نیز هستند در حال گسترش.

بیایید ببینیم که چگونه مجموعه اعداد طبیعی منبسط می شود. ساده ترین عملیات، که یکی از اولین موارد مورد نیاز بود، افزودن است. اگر بخواهیم عمل جمع را تعریف کنیم، باید معکوس - تفریق آن را تعریف کنیم. در واقع، اگر بدانیم نتیجه جمع مثلاً 5 و 2 چه خواهد شد، باید بتوانیم مسائلی مانند: چه چیزی را به 4 اضافه کنیم تا 11 حاصل شود. یعنی مسائل مربوط به جمع قطعاً حل خواهد شد. نیاز به توانایی انجام عمل معکوس - تفریق. اما اگر با جمع اعداد طبیعی دوباره یک عدد طبیعی بدست آید، پس از تفریق اعداد طبیعی نتیجه ای حاصل می شود که در N نمی گنجد. اعداد دیگری لازم بود. با قیاس با تفریق قابل درک یک عدد کوچکتر از یک عدد بزرگتر، قانون تفریق عدد بزرگتر از یک عدد کوچکتر معرفی شد - اینگونه اعداد صحیح منفی ظاهر شدند.

با تکمیل سری طبیعی با عملیات + و - به مجموعه اعداد صحیح می رسیم.

Z=N+عملیات(+-)

سیستم اعداد گویا به عنوان یک زبان حسابی

بیایید اکنون پیچیده ترین عمل بعدی را در نظر بگیریم - ضرب. در اصل، این اضافه کردن مکرر است. و حاصل ضرب اعداد صحیح یک عدد صحیح باقی می ماند.

اما عمل معکوس ضرب، تقسیم است. اما همیشه بهترین نتیجه را نمی دهد. و دوباره با یک دوراهی روبرو هستیم - یا قبول کنیم که نتیجه تقسیم ممکن است "وجود نداشته باشد" یا به اعدادی از نوع جدیدی برسیم. اینگونه بود که اعداد گویا ظاهر شدند.

بیایید سیستمی از اعداد صحیح را در نظر بگیریم و آن را با بدیهیاتی تکمیل کنیم که عملیات ضرب و تقسیم را تعریف می کنند. ما سیستمی از اعداد گویا را بدست می آوریم.

Q=Z+عملیات(*/)

بنابراین، زبان اعداد گویا به ما امکان تولید را می دهد تمام عملیات های حسابیبیش از اعداد زبان اعداد طبیعی برای این کار کافی نبود.

اجازه دهید یک تعریف بدیهی از سیستم اعداد گویا ارائه دهیم.

تعریف. مجموعه Q را مجموعه ای از اعداد گویا و عناصر آن را اعداد گویا می نامند، در صورتی که مجموعه شرایط زیر، که اصل اعداد گویا نامیده می شود، برآورده شود:

بدیهیات عملیات جمع. برای هر جفت سفارش داده شده x، yعناصر از سبرخی از عناصر تعریف شده است x+y OQ، جمع نامیده می شود ایکسو در. در این صورت شرایط زیر رعایت می شود:

1. (وجود صفر) یک عنصر 0 (صفر) وجود دارد که برای هر ایکسÎQ

ایکس+0=0+ایکس=ایکس.

2. برای هر عنصر ایکسО Q یک عنصر وجود دارد - ایکسО Q (مقابل ایکس) به طوری که

ایکس+ (-ایکس) = (-ایکس) + ایکس = 0.

3. (تبدیل) برای هر x، yО Q

4. (Associativity) برای هر x,y,zO Q

x + (y + z) = (x + y) + z

بدیهیات عملیات ضرب.

برای هر جفت سفارش داده شده x، yعناصر از Q برخی از عناصر تعریف شده است xyО Q، محصول نامیده می شود ایکسو تودر این صورت شرایط زیر رعایت می شود:

5. (وجود عنصر واحد) عنصر 1 О Q وجود دارد به طوری که برای هر ایکسО Q

ایکس . 1 = 1. x = x

6. برای هر عنصر ایکسО Q, ( ایکس≠ 0) یک عنصر معکوس وجود دارد ایکس-1 ≠0 طوری که

ایکس. x -1 = x -1. x = 1

7. (Associativity) برای هر x، y، zО Q

ایکس . (y . z) = (x . y) . z

8. (Cututativity) برای هر x، yО Q

اصل ارتباط بین جمع و ضرب.

9. (توزیع) برای هر x، y، zО Q

(x+y) . z = x . z+y . z

بدیهیات نظم.

هر دو عنصر x، y،О Q وارد یک رابطه مقایسه ≤ شوید. در این صورت شرایط زیر رعایت می شود:

10. (ایکس≤در) L ( در≤ایکس) ó x=y

11. (ایکس≤y) L ( y≤ z) => ایکس≤z

12. برای هر کسی x، yО Q یا x< у, либо у < x .

نگرش< называется строгим неравенством,

رابطه = برابری عناصر از Q نامیده می شود.

اصل ارتباط بین جمع و ترتیب.

13. برای هر x، y، z ОQ، (x £ y) Þ x+z £ y+z

اصل ارتباط بین ضرب و ترتیب.

14. (0 £ x)Ç(0 £ y) Þ (0 £ x´y)

اصل موضوع تداوم ارشمیدس.

15. برای هر a > b > 0، m О N و n О Q وجود دارد به طوری که m³ 1، n< b и a= mb+n.

*****************************************

بنابراین، سیستم اعداد گویا زبان حساب است.

با این حال، این زبان برای حل مسائل محاسباتی عملی کافی نیست.

هنگام ساختن اصولی هر نظریه ریاضی، مشخص است قوانین:

برخی از مفاهیم نظریه به عنوان پایه انتخاب شده و بدون تعریف پذیرفته شده است.

· هر مفهومی از نظریه که در فهرست مفاهیم اساسی موجود نیست، یک تعریف داده می شود.

· بدیهیات فرمول بندی می شوند - گزاره هایی که در یک نظریه معین بدون اثبات پذیرفته می شوند. آنها ویژگی های مفاهیم اساسی را آشکار می کنند.

هر گزاره از نظریه که در فهرست بدیهیات موجود نیست باید اثبات شود. این گونه قضایا را قضایا می نامند و بر اساس بدیهیات و قضایا اثبات می شوند.

در ساخت بدیهی یک نظریه، همه گزاره ها از بدیهیات از طریق اثبات مشتق می شوند.

بنابراین، الزامات خاصی برای سیستم بدیهیات اعمال می شود. الزامات:

· سازگاری (نظام بدیهیات را اگر نتوان به طور منطقی از آن استنتاج کرد که دو گزاره متقابلاً مجزا از یکدیگر استنتاج شوند، سازگار نامیده می شود).

· استقلال (اگر هیچ یک از بدیهیات این سیستم پیامد بدیهیات دیگر نباشد، به سیستمی از بدیهیات مستقل گفته می شود).

مجموعه ای با یک رابطه مشخص شده در آن، مدل یک سیستم بدیهی معین نامیده می شود که تمام بدیهیات سیستم داده شده در آن برآورده شود.

راه های زیادی برای ساختن یک سیستم بدیهیات برای مجموعه ای از اعداد طبیعی وجود دارد. به عنوان مثال، مجموع اعداد یا یک رابطه ترتیبی را می توان به عنوان یک مفهوم اساسی در نظر گرفت. در هر صورت، شما باید سیستمی از بدیهیات را تعریف کنید که ویژگی های مفاهیم اساسی را توصیف کند.

اجازه دهید سیستمی از بدیهیات ارائه دهیم که مفهوم اصلی عمل جمع را می پذیرد.

مجموعه غیر خالی نبیایید آن را مجموعه ای از اعداد طبیعی بنامیم اگر عملیات در آن تعریف شده باشد (آ؛ ب) → a + b، جمع نامیده می شود و دارای ویژگی های زیر است:

1. جمع جابجایی است، یعنی. a + b = b + a.

2. اضافه تداعی است، یعنی. (a + b) + c = a + (b + c).

4. در هر مجموعه آ، که زیرمجموعه ای از مجموعه است ن، جایی که آیک عدد و چنین است که همه چیز وجود دارد ها، برابر هستند a+b، جایی که bN.

اصول 1 تا 4 برای ساختن کل حساب اعداد طبیعی کافی است. اما با چنین ساختاری دیگر نمی توان به ویژگی های مجموعه های محدودی که در این بدیهیات منعکس نشده اند تکیه کرد.

اجازه دهید به عنوان مفهوم اصلی رابطه "مستقیم دنبال کردن..." را که در مجموعه ای غیر خالی تعریف شده است، در نظر بگیریم ن. سپس سری طبیعی اعداد مجموعه N خواهد بود که در آن رابطه "بلافاصله دنبال می شود" تعریف می شود و تمام عناصر N اعداد طبیعی نامیده می شوند و موارد زیر برقرار است: بدیهیات پیانو:

AXIOM 1.

در فراوانینعنصری وجود دارد که بلافاصله هیچ عنصری از این مجموعه را دنبال نمی کند. آن را وحدت می نامیم و با علامت 1 نشان می دهیم.

AXIOM 2.

برای هر عنصر a ازنیک عنصر منفرد بلافاصله پس از a وجود دارد.

AXIOM 3.

برای هر عنصر a ازنحداکثر یک عنصر بلافاصله بعد از a وجود دارد.

AXOIMA 4.

هر زیر مجموعه M از مجموعهنمصادف است بان، اگر دارای ویژگی های زیر باشد: 1) 1 در M موجود است. 2) از این که a در M موجود است، نتیجه می شود که a نیز در M موجود است.

یک دسته از N،برای عناصری که رابطه "مستقیماً دنبال می شود ..." برقرار است، ارضای بدیهیات 1 - 4 نامیده می شود. مجموعه ای از اعداد طبیعی ، و عناصر آن هستند اعداد طبیعی.

اگر به صورت مجموعه نمجموعه خاصی را انتخاب کنید که در آن یک رابطه خاص "مستقیماً دنبال کنید ..." داده می شود، که بدیهیات 1 - 4 را برآورده می کند، سپس متفاوت می شویم تفاسیر (مدل ها) داده شده سیستم های بدیهی

مدل استاندارد سیستم بدیهیات Peano مجموعه ای از اعداد است که در روند توسعه تاریخی جامعه پدید آمده است: 1، 2، 3، 4، 5، ...

مدل بدیهیات Peano می تواند هر مجموعه قابل شمارش باشد.

به عنوان مثال، I، II، III، III، ...

اوه اوه اوه اوه ...

یک دو سه چهار، …

بیایید دنباله ای از مجموعه ها را در نظر بگیریم که در آن مجموعه (oo) عنصر اولیه است و هر مجموعه بعدی با افزودن یک دایره دیگر از مجموعه قبلی به دست می آید (شکل 15).

سپس نمجموعه ای متشکل از مجموعه هایی از شکل توصیف شده وجود دارد و مدلی از سیستم بدیهیات Peano است.

در واقع، در بسیاری از نیک عنصر (oo) وجود دارد که بلافاصله از هیچ عنصری از مجموعه داده شده پیروی نمی کند. اصل 1 برای هر مجموعه راضی است آاز جمعیت مورد نظر یک مجموعه واحد وجود دارد که از آن به دست می آید آبا افزودن یک دایره، یعنی. اصل 2 برای هر مجموعه صادق است آحداکثر یک مجموعه وجود دارد که از آن یک مجموعه تشکیل می شود آبا افزودن یک دایره، یعنی. اصل 3 صادق است منو معلوم است که بسیاری آموجود در م،نتیجه می شود که مجموعه ای که در آن یک دایره بیشتر از مجموعه وجود دارد آ، همچنین موجود در م، آن M =ن، و بنابراین اصل 4 برآورده می شود.

در تعریف اعداد طبیعی، هیچ یک از بدیهیات را نمی توان حذف کرد.

اجازه دهید مشخص کنیم کدام یک از مجموعه های نشان داده شده در شکل. 16 مدلی از بدیهیات Peano هستند.

1 a b d a ز) شکل 16

راه حل.شکل 16 a) مجموعه ای را نشان می دهد که در آن بدیهیات 2 و 3 برآورده می شوند، در واقع، برای هر عنصر یک عنصر منحصر به فرد وجود دارد که بلافاصله پس از آن وجود دارد، و یک عنصر منحصر به فرد وجود دارد که از آن پیروی می کند. اما در این مجموعه، اصل 1 ارضا نمی شود (اصول 4 معنی ندارد، زیرا هیچ عنصری در مجموعه وجود ندارد که بلافاصله پس از دیگری نباشد). بنابراین، این مجموعه مدلی از بدیهیات Peano نیست.

شکل 16 ب) مجموعه ای را نشان می دهد که در آن بدیهیات 1، 3 و 4 برآورده شده اند، اما در پشت عنصر آدو عنصر بلافاصله دنبال می‌شوند و نه یکی، همانطور که در اصل 2 لازم است. بنابراین، این مجموعه مدلی از بدیهیات Peano نیست.

در شکل 16 ج) مجموعه ای را نشان می دهد که در آن بدیهیات 1، 2، 4 برآورده می شوند، اما عنصر بابلافاصله دو عنصر را بلافاصله دنبال می کند. بنابراین، این مجموعه مدلی از بدیهیات Peano نیست.

در شکل 16 د) مجموعه ای را نشان می دهد که اصول 2 و 3 را برآورده می کند و اگر عدد 5 را به عنوان عنصر اولیه در نظر بگیریم، این مجموعه بدیهیات 1 و 4 را برآورده می کند. یعنی در این مجموعه برای هر عنصر بلافاصله یک عنصر منحصر به فرد وجود دارد. به دنبال آن، و یک عنصر واحد وجود دارد که از آن پیروی می کند. همچنین یک عنصر وجود دارد که بلافاصله هیچ عنصری از این مجموعه را دنبال نمی کند، این 5 است , آن ها Axiom 1 بر این اساس، Axiom 4 نیز ارضا خواهد شد، بنابراین، این مجموعه یک مدل از بدیهیات Peano است.

با استفاده از بدیهیات Peano، می توانیم تعدادی از گزاره ها را ثابت کنیم x x.

اثباتاجازه دهید با نشان دادن آمجموعه اعداد طبیعی که برای آن aعدد 1 متعلق است آ، زیرا از هیچ عددی پیروی نمی کند نیعنی خود به خود دنبال نمی شود: 1 1. اجازه دهید aAسپس aبیایید نشان دهیم آاز طریق ب. بر اساس اصل 3، آبآن ها ب بو bA.

دانشگاه آموزشی دولتی OMSK
شعبه دانشگاه آموزشی دولتی اومسک در TAR
BBK با تصمیم سرمقاله و انتشارات منتشر شد
بخش 22ya73 شعبه دانشگاه آموزشی دولتی اومسک در تارا
Ch67

این توصیه ها برای دانشجویان دانشگاه های آموزشی در نظر گرفته شده است که رشته "جبر و نظریه اعداد" را مطالعه می کنند. در چهارچوب این رشته مطابق با استاندارد دولتی در ترم 6 بخش "سیستم های عددی" مطالعه می شود. این توصیه ها مطالبی را در مورد ساخت بدیهی سیستم های اعداد طبیعی (سیستم بدیهیات Peano)، سیستم های اعداد صحیح و اعداد گویا ارائه می دهند. این بدیهیات به ما این امکان را می دهد که بهتر بفهمیم عدد چیست که یکی از مفاهیم اساسی درس ریاضی مدرسه است. برای جذب بهتر مطالب، مسائل مربوط به موضوعات مرتبط آورده شده است. در پایان توصیه ها پاسخ ها، دستورالعمل ها و راه حل هایی برای مشکلات وجود دارد.

داور: دکترای علوم تربیتی، پروفسور دالینگر V.A.

ج) موژان ن.ن.

امضا برای انتشار - 98/10/22

کاغذ روزنامه
تیراژ 100 نسخه.
روش چاپ عملیاتی
دانشگاه آموزشی دولتی Omsk, 644099, Omsk, emb. توخاچفسکی، 14
شعبه 644500 تارا خ. شکولنایا، 69

1. اعداد طبیعی.

در ساخت بدیهی یک سیستم اعداد طبیعی، فرض می کنیم که مفهوم مجموعه، روابط، توابع و سایر مفاهیم نظری مجموعه شناخته شده است.

1.1 سیستم بدیهیات Peano و ساده ترین پیامدها.

مفاهیم اولیه در نظریه بدیهی Peano عبارتند از مجموعه N (که ما آن را مجموعه اعداد طبیعی می نامیم)، عدد ویژه صفر (0) از آن، و رابطه دودویی "به دنبال" در N، با نشان S(a) (یا) آ()).
بدیهیات:
1. ((a(N) a"(0 (عدد طبیعی 0 وجود دارد که از هیچ عددی پیروی نمی کند.)
2. a=b (a"=b" (برای هر عدد طبیعی a یک عدد طبیعی a" به دنبال آن وجود دارد و فقط یک عدد.)
3. a"=b" (a=b (هر عدد طبیعی حداکثر یک عدد را دنبال می کند.)
4. (اصول القایی) اگر مجموعه M(N و M دو شرط را برآورده کند:
الف) 0 (M;
ب) ((a(N) a(M ® a"(M، سپس M=N.
در اصطلاح عملکردی، این بدان معنی است که نگاشت S:N®N تزریقی است. از اصل 1 چنین برمی‌آید که نگاشت S:N®N فرارو نیست. اصل 4 مبنای اثبات گزاره ها "با روش استقرای ریاضی" است.
اجازه دهید به برخی از ویژگی‌های اعداد طبیعی که مستقیماً از بدیهیات ناشی می‌شوند توجه کنیم.
خاصیت 1. هر عدد طبیعی a(0 به دنبال یک و تنها یک عدد است.
اثبات فرض کنید M مجموعه ای از اعداد طبیعی حاوی صفر و تمام آن اعداد طبیعی را که هر کدام از یک عدد به دنبال دارد را نشان می دهد. کافی است نشان دهیم که M=N، یکتایی از اصل 3 ناشی می شود. اجازه دهید اصل استقرا 4 را اعمال کنیم:
الف) 0 (M - با ساخت مجموعه M;
ب) اگر a(M، a"(M، زیرا a" به دنبال a است.
این به این معنی است که با اصل 4، M=N.
خاصیت 2. اگر a(b، سپس a"(b).
این خاصیت با استفاده از اصل 3 با تناقض اثبات می شود. ویژگی زیر با استفاده از اصل 2 به روشی مشابه اثبات می شود.
خاصیت 3. اگر a"(b)، آنگاه a(b.
خاصیت 4. ((a(N)a(a). (هیچ عدد طبیعی به دنبال خودش نمی آید.)
اثبات فرض کنید M=(x (x(N, x(x")). کافی است نشان دهیم که M=N. زیرا طبق اصل 1 ((x(N)x"(0، سپس به طور خاص 0"(0 و بنابراین، شرط A) اصل 4 0(M - برآورده می شود. اگر x(M، یعنی x(x)، پس با خاصیت 2 x"((x)"، که به این معنی است که شرط B) x (M ® x"(M. اما پس از آن، طبق اصل 4، M=N.
اجازه دهید ( برخی از ویژگی های اعداد طبیعی باشد. این واقعیت که یک عدد a دارای خاصیت () باشد، خواهیم نوشت ((a).
وظیفه 1.1.1. ثابت کنید که اصل 4 از تعریف مجموعه اعداد طبیعی معادل عبارت زیر است: برای هر خاصیت (, if ((0) and then.
وظیفه 1.1.2. در یک مجموعه سه عنصری A=(a,b,c)، عملیات یکنواخت ( به صورت زیر تعریف می شود: a(=c, b(=c, c(=a. کدام یک از بدیهیات Peano در مجموعه درست است. الف با عملیات (?
وظیفه 1.1.3. فرض کنید A=(a) یک مجموعه تک تنی باشد، a(=a. کدام یک از بدیهیات Peano در مجموعه A با عمل (؟
وظیفه 1.1.4. در مجموعه N یک عملیات یکنواخت را با فرض هر یک تعریف می کنیم. دریابید که آیا عبارات بدیهیات Peano که بر حسب عملیات فرموله شده اند در N درست خواهند بود یا خیر.
مشکل 1.1.5. بگذار باشد. ثابت کنید که A تحت عمل بسته است (. صحت بدیهیات Peano را در مجموعه A با عمل (.
مشکل 1.1.6. بگذار باشد، . اجازه دهید یک عملیات یکنواخت را در تنظیمات A تعریف کنیم. کدام یک از بدیهیات Peano در مجموعه A با عملیات درست است؟

1.2. سازگاری و طبقه بندی سیستم بدیهیات Peano.

سیستمی از بدیهیات در صورتی سازگار نامیده می شود که از بدیهیات آن نتوان قضیه T و نفی آن را اثبات کرد. نظریه قوانین دنیای واقعی را منعکس نمی کند، بنابراین، سازگاری سیستم بدیهیات یک الزام کاملاً ضروری است.
اگر قضیه T و نفی آن در یک نظریه بدیهیات یافت نشود، این بدان معنا نیست که چنین نظریه هایی ممکن است در آینده ظاهر شوند متداول‌ترین راه برای اثبات سازگاری، روش تفسیر است، بر این اساس که اگر تفسیری از سیستم بدیهیات در یک نظریه واضح S وجود داشته باشد، در واقع، اگر سیستم بدیهیات ناسازگار بود، آنگاه قضایای T و (T) در آن قابل اثبات خواهند بود، اما در آن صورت این قضایا و در تفسیر آن معتبر خواهند بود و این با قوام نظریه S در تضاد است. .
تفاسیر مختلفی را می توان برای سیستم بدیهی Peano ساخت. نظریه مجموعه ها به ویژه در تفاسیر غنی است. به یکی از این تفاسیر اشاره می کنیم. مجموعه های (، (()، ((())، (((()))،... را اعداد طبیعی در نظر می گیریم؛ صفر را یک عدد خاص در نظر می گیریم (. رابطه "دنبال" خواهد بود. به صورت زیر تفسیر شود: مجموعه M توسط مجموعه (M) دنبال می شود، که تنها عنصر آن خود M است، بنابراین، ("=(()"=(())، و غیره امکان سنجی بدیهیات 1-4 را می توان به راحتی تأیید کرد، با این حال، اثربخشی چنین تفسیری اندک است: این نشان می دهد که اگر نظریه مجموعه ها سازگار باشد، سیستم بدیهیات Peano سازگار است. اما اثبات ثبات سیستم بدیهیات نظریه مجموعه ها حتی دشوارتر است. تکلیف متقاعد کننده ترین تفسیر سیستم بدیهیات Peano محاسبات شهودی است که قوام آن توسط قرن ها توسعه آن تأیید شده است.
یک سیستم منسجم از بدیهیات در صورتی مستقل نامیده می شود که هر یک از اصول این سیستم را نتوان به عنوان یک قضیه بر اساس بدیهیات دیگر اثبات کرد. برای اثبات اینکه اصل موضوع (به دیگر بدیهیات سیستم بستگی ندارد
(1، (2، ...، (n، ((1)
کافی است ثابت کنیم که نظام بدیهیات سازگار است
(1، (2، ...، (n، (((2)
در واقع، اگر (بر اساس بدیهیات باقیمانده سیستم (1) ثابت شود، سیستم (2) متناقض خواهد بود، زیرا در آن قضیه (و بدیهیات ((.
پس برای اثبات استقلال بدیهیات (از دیگر بدیهیات نظام (1) کافی است که تفسیری از نظام بدیهیات (2) بسازیم.
استقلال سیستم بدیهیات یک الزام اختیاری است. گاهی اوقات، به منظور اجتناب از اثبات قضایای «دشوار»، سیستمی از بدیهیات عمداً اضافی (وابسته) ساخته می‌شود. با این حال، بدیهیات «اضافی» مطالعه نقش بدیهیات در نظریه و همچنین ارتباطات منطقی درونی بین بخش‌های مختلف نظریه را دشوار می‌سازد. علاوه بر این، ساختن تفاسیر برای سیستم‌های وابسته بدیهیات بسیار دشوارتر از تفسیرهای مستقل است. پس از همه، ما باید اعتبار بدیهیات "اضافی" را بررسی کنیم. به این دلایل، موضوع وابستگی بین بدیهیات از زمان های قدیم اهمیت فوق العاده ای داشته است. در یک زمان، تلاش هایی برای اثبات فرض 5 در بدیهیات اقلیدس "حداکثر یک خط وجود دارد که از نقطه A موازی با خط عبور می کند (" یک قضیه است (یعنی بستگی به بدیهیات باقی مانده دارد) و منجر به کشف لوباچفسکی شد. هندسه.
اگر هر گزاره A از یک نظریه معین را بتوان اثبات کرد یا ابطال کرد، یک سیستم منسجم از نظر قیاسی کامل نامیده می شود، یعنی یا A یا (A قضیه این نظریه است. اگر گزاره ای وجود داشته باشد که نه قابل اثبات است و نه قابل رد، آنگاه سیستم بدیهیات از نظر قیاسی ناقص نامیده می شود. در این نظریه‌ها نمی‌توان یک گزاره را اثبات یا رد کرد: «یک گروه (حلقه، میدان) دارای تعداد محدودی از عناصر است.
لازم به ذکر است که در بسیاری از نظریه‌های بدیهی (یعنی در نظریه‌های غیر رسمی)، مجموعه گزاره‌ها را نمی‌توان به طور دقیق تعریف کرد و بنابراین نمی‌توان کامل بودن قیاسی نظام بدیهی چنین نظریه‌ای را اثبات کرد. یکی دیگر از حس های کامل بودن، طبقه بندی نامیده می شود. یک سیستم بدیهیات را در صورتی طبقه بندی می نامند که هر دو تفسیر آن هم شکل باشد، یعنی چنین مطابقت یک به یک بین مجموعه اشیاء اولیه یک و تفسیر دیگر وجود داشته باشد که تحت همه روابط اولیه حفظ شود. دسته بندی نیز یک شرط اختیاری است. به عنوان مثال، سیستم بدیهیات نظریه گروه مقوله ای نیست. این از این واقعیت ناشی می شود که یک گروه محدود نمی تواند به یک گروه نامتناهی هم شکل باشد. با این حال، هنگام بدیهی سازی نظریه هر سیستم عددی، طبقه بندی الزامی است. برای مثال، ماهیت طبقه‌بندی سیستم بدیهیات که اعداد طبیعی را تعریف می‌کنند به این معنی است که تا هم‌مورفیسم، تنها یک سری طبیعی وجود دارد.
اجازه دهید ماهیت طبقه بندی سیستم بدیهیات Peano را ثابت کنیم. فرض کنید (N1, s1, 01) و (N2, s2, 02) هر دو تفسیر از سیستم بدیهیات Peano باشند. لازم است یک نگاشت دوطرفه (یک به یک) f:N1®N2 نشان داده شود که شرایط زیر برای آن برآورده شود:
الف) f(s1(x)=s2(f(x)) برای هر x از N1;
ب) f(01)=02
اگر هر دو عملیات یکنواخت s1 و s2 با اول یکسان نشان داده شوند، شرط a) به صورت بازنویسی می شود.
الف) f(x()=f(x)(.
اجازه دهید یک رابطه دودویی f را در مجموعه N1(N2) با شرایط زیر تعریف کنیم:
1) 01f02;
2) اگر xfy، سپس x(fy(.
اجازه دهید مطمئن شویم که این رابطه یک نقشه برداری از N1 به N2 است، یعنی برای هر x از N1
((y(N2) xfy (1)
اجازه دهید M1 مجموعه ای از تمام عناصر x از N1 را نشان دهد که شرط (1) برای آنها برقرار است. سپس
الف) 01 (M1 به دلیل 1)؛
ب) x(M1 ® x((M1 به موجب 2) و خواص 1 بند 1.
از اینجا، طبق اصل 4، نتیجه می گیریم که M1=N1، و این بدان معناست که رابطه f نگاشت N1 به N2 است. علاوه بر این، از 1) نتیجه می شود که f(01)=02. شرط 2) به این شکل نوشته شده است: اگر f(x)=y، پس f(x()=y(. نتیجه می شود که f(x()=f(x)().بنابراین، برای نمایش f شرط a ) و ب) راضی هستند ثابت کنیم که نگاشت f دوگانه است.
اجازه دهید مجموعه ای از عناصر N2 را با M2 نشان دهیم که هر کدام از آنها تصویر یک و تنها یک عنصر از N1 در زیر نگاشت f است.
از آنجایی که f(01)=02، پس 02 یک تصویر است. علاوه بر این، اگر x(N2 و x(01) باشد، آنگاه با خاصیت 1 مورد 1 x از عنصر c از N1 پیروی می کند و سپس f(x)=f(c()=f(c)((02. این یعنی 02 تصویر تنها عنصر 01 است، یعنی 02(M2.
اجازه دهید y(M2 و y=f(x)، که در آن x تنها تصویر معکوس عنصر y است. سپس، با شرط a) y(=f(x)(=f(x())، یعنی، y(تصویر عنصر x است (. فرض کنید c هر تصویر معکوس عنصر y(، یعنی f(c)=y(. از آنجایی که y((02، پس c(01 و برای c قبلی عنصری که آن را با d نشان می دهیم، سپس y(=f(c)=f(d()=f(d)()، از آنجایی که با اصل 3 y=f(d) است. x، از آنجا c=d(=x(. ما ثابت کردیم که اگر y تصویر یک عنصر منحصر به فرد است، پس y(تصویر یک عنصر منحصر به فرد است، یعنی y(M2 ® y((M2. هر دو شرایط اصل 4 برآورده می شود و بنابراین M2=N2 که اثبات طبقه بندی را کامل می کند.
تمام ریاضیات پیش از یونان ماهیت تجربی داشتند. عناصر منفرد این نظریه در انبوه روش های تجربی برای حل مسائل عملی غرق شدند. یونانیان این مطالب تجربی را در معرض پردازش منطقی قرار دادند و سعی کردند بین اطلاعات تجربی مختلف ارتباط پیدا کنند. از این نظر فیثاغورث و مکتب او (قرن پنجم قبل از میلاد) نقش عمده ای در هندسه داشتند. ایده های روش بدیهی به وضوح در آثار ارسطو (قرن چهارم قبل از میلاد) شنیده می شد. با این حال، اجرای عملی این ایده ها توسط اقلیدس در عناصر خود (قرن سوم قبل از میلاد) انجام شد.
در حال حاضر، سه شکل از نظریه های بدیهی را می توان تشخیص داد.
1). بدیهیات معنادار، که تا اواسط قرن گذشته تنها بود.
2). بدیهیات نیمه رسمی که در ربع آخر قرن گذشته پدید آمد.
3). بدیهیات رسمی (یا رسمی) که تاریخ تولد آن را می توان 1904 در نظر گرفت، زمانی که دی. هیلبرت برنامه معروف خود را در مورد اصول اساسی ریاضیات رسمی منتشر کرد.
هر صورت جدید، شکل قبلی را انکار نمی کند، بلکه توسعه و شفاف سازی آن است، به طوری که میزان سختگیری هر صورت جدید از شکل قبلی بالاتر است.
بدیهیات فشرده با این واقعیت مشخص می شود که مفاهیم اولیه حتی قبل از اینکه بدیهیات فرموله شوند به طور شهودی معنای واضحی دارند. بنابراین، در عناصر اقلیدس، یک نقطه دقیقاً به معنای چیزی است که ما به طور شهودی با این مفهوم درک می کنیم. در این مورد از زبان معمولی و منطق شهودی معمولی استفاده می شود که قدمت آن به ارسطو می رسد.
نظریه های بدیهی نیمه رسمی نیز از زبان معمولی و منطق شهودی استفاده می کنند. با این حال، بر خلاف بدیهیات معنادار، مفاهیم اولیه هیچ معنای شهودی ندارند و تنها با بدیهیات مشخص می شوند. این سخت گیری را افزایش می دهد، زیرا شهود تا حدی با سخت گیری تداخل می کند. علاوه بر این، کلیت اکتسابی است زیرا هر قضیه ای که در چنین نظریه ای ثابت شود در هر تفسیری معتبر خواهد بود. یک نمونه از یک نظریه بدیهی نیمه رسمی، نظریه هیلبرت است که در کتاب او "مبانی هندسه" (1899) ارائه شده است. نمونه هایی از نظریه های نیمه رسمی نیز نظریه حلقه ها و تعدادی دیگر از نظریه های ارائه شده در یک دوره جبر است.
نمونه ای از یک نظریه رسمی، حساب گزاره ای است که در دوره ای در منطق ریاضی مطالعه شده است. برخلاف بدیهیات ماهوی و نیمه رسمی، نظریه رسمی شده از زبان نمادین خاصی استفاده می کند. یعنی الفبای نظریه داده شده است، یعنی مجموعه خاصی از نمادها که همان نقش حروف را در زبان معمولی ایفا می کنند. هر دنباله متناهی از کاراکترها عبارت یا کلمه نامیده می شود. در میان عبارات، یک کلاس از فرمول ها متمایز می شود، و یک معیار دقیق نشان داده شده است که به هر عبارت اجازه می دهد تا بفهمد آیا یک فرمول است یا خیر. فرمول ها مانند جملات در زبان معمولی نقش دارند. برخی از فرمول ها بدیهیات اعلام شده اند. علاوه بر این، قوانین استنتاج منطقی نیز مشخص شده است. هر یک از این قوانین به این معنی است که یک فرمول کاملاً مشخص بلافاصله از مجموعه خاصی از فرمول ها ناشی می شود. خود اثبات قضیه یک زنجیره متناهی از فرمول ها است که در آن آخرین فرمول خود قضیه است و هر فرمول یا یک اصل است یا یک قضیه قبلاً اثبات شده یا مستقیماً از فرمول های قبلی زنجیره مطابق یکی از آنها پیروی می کند. قواعد استنباط بنابراین، مطلقاً در مورد سختی مدرک وجود ندارد: یا یک زنجیره معین مدرک است یا هیچ مدرک مشکوکی وجود ندارد. در این راستا، بدیهیات رسمی در سؤالات ظریف به ویژه اثبات نظریه های ریاضی استفاده می شود، زمانی که منطق شهودی معمولی می تواند منجر به نتایج اشتباه شود، که عمدتاً به دلیل نادرستی ها و ابهامات زبان عادی ما رخ می دهد.
از آنجایی که در یک نظریه رسمی شده می توان در مورد هر عبارت گفت که آیا آن یک فرمول است، بنابراین مجموعه جملات یک نظریه رسمی شده را می توان قطعی دانست. در این زمینه، اصولاً می توان بدون توسل به تفسیر، مسئله اثبات تمامیت قیاسی و نیز اثبات قوام را مطرح کرد. در تعدادی از موارد ساده می توان به این امر دست یافت. برای مثال، قوام حساب گزاره ای بدون تفسیر ثابت می شود.
در نظریه های غیررسمی، بسیاری از گزاره ها به وضوح تعریف نشده اند، بنابراین طرح مسئله اثبات سازگاری بدون توسل به تفاسیر بیهوده است. همین امر در مورد اثبات کامل بودن قیاسی نیز صدق می کند. با این حال، اگر با پیشنهادی از یک نظریه غیررسمی مواجه شد که نه می‌توان آن را اثبات کرد و نه رد کرد، آنگاه این نظریه به‌طور قیاسی آشکارا ناقص است.
روش بدیهی نه تنها در ریاضیات، بلکه در فیزیک نیز از دیرباز مورد استفاده قرار گرفته است. اولین تلاش ها در این جهت توسط ارسطو انجام شد، اما روش بدیهی کاربرد واقعی خود را در فیزیک تنها در آثار نیوتن در مورد مکانیک دریافت کرد.
در ارتباط با روند سریع ریاضی‌سازی علوم، فرآیند بدیهی‌سازی نیز وجود دارد. در حال حاضر، روش بدیهی حتی در برخی از زمینه های زیست شناسی، به عنوان مثال، در ژنتیک استفاده می شود.
با این وجود، امکانات روش بدیهی بی حد و حصر نیست.
اول از همه، متذکر می شویم که حتی در نظریه های رسمی نیز نمی توان به طور کامل از شهود اجتناب کرد. خود نظریه رسمی شده بدون تفسیر معنایی ندارد. بنابراین، تعدادی سؤال در مورد رابطه بین یک نظریه رسمی و تفسیر آن مطرح می شود. علاوه بر این، مانند نظریه های رسمی، سؤالاتی در مورد سازگاری، استقلال و کامل بودن سیستم بدیهیات مطرح می شود. مجموع تمام این سؤالات محتوای نظریه دیگری را تشکیل می دهد که به آن فرانظریه یک نظریه رسمی می گویند. بر خلاف یک نظریه رسمی، زبان فرانظریه زبان عادی روزمره است و استدلال منطقی با قواعد منطق شهودی معمولی انجام می شود. بنابراین، شهود، به طور کامل از نظریه رسمی شده، در فرانظریه خود ظاهر می شود.
اما این نقطه ضعف اصلی روش بدیهی نیست. ما قبلاً به برنامه دی. هیلبرت اشاره کردیم که اساس روش بدیهی رسمی شده را قرار داد. ایده اصلی هیلبرت بیان ریاضیات کلاسیک به عنوان یک نظریه بدیهی رسمی و سپس اثبات سازگاری آن بود. با این حال، این برنامه در نکات اصلی خود آرمان‌شهری بود. در سال 1931، کی. گودل، ریاضیدان اتریشی، قضایای معروف خود را اثبات کرد، که از آنها نتیجه گرفت که هر دو مسئله اصلی مطرح شده توسط هیلبرت غیرممکن است. او با استفاده از روش کدگذاری خود، موفق شد برخی مفروضات درست را از فرانظریه با استفاده از فرمول های حساب رسمی بیان کند و ثابت کند که این فرمول ها در حساب رسمی قابل استنتاج نیستند. بنابراین، محاسبات رسمی شده از نظر قیاسی ناقص بود. از نتایج گودل نتیجه گرفت که اگر این فرمول غیرقابل اثبات در تعداد بدیهیات گنجانده شود، فرمول غیرقابل اثبات دیگری وجود خواهد داشت که گزاره‌ای درست را بیان می‌کند. همه اینها به این معنی بود که نه تنها تمام ریاضیات، بلکه حتی حساب - ساده ترین بخش آن - نمی توانند کاملاً رسمی شوند. به طور خاص، گودل فرمولی مطابق با جمله "حساب رسمی شده سازگار است" ساخت و نشان داد که این فرمول نیز قابل مشتق نیست. این واقعیت به این معنی است که قوام حساب رسمی را نمی توان در خود حساب ثابت کرد. البته می‌توان نظریه رسمی‌سازی شده قوی‌تری ساخت و از ابزار آن برای اثبات سازگاری حساب رسمی‌شده استفاده کرد، اما پس از آن سؤال دشوارتری در مورد سازگاری این نظریه جدید مطرح می‌شود.
نتایج گودل بیانگر محدودیت های روش بدیهی است. و با این حال، مطلقاً هیچ مبنایی برای نتیجه گیری های بدبینانه در نظریه دانش وجود ندارد که حقایق ناشناخته وجود دارد. اینکه حقایق حسابی وجود دارد که در حساب رسمی قابل اثبات نیست، به معنای وجود حقایق ناشناخته نیست و به معنای محدود بودن تفکر انسان نیست. این فقط به این معنی است که امکانات تفکر ما محدود به رویه های کاملاً رسمی نیست و بشریت هنوز اصول اثبات جدیدی را کشف و ابداع نکرده است.

1.3.جمع اعداد طبیعی

عملیات جمع و ضرب اعداد طبیعی توسط سیستم بدیهیات Peano فرض نشده است.
تعریف. جمع اعداد طبیعی یک عملیات جبری باینری + روی مجموعه N است که دارای ویژگی های زیر است:
1s. ((a(N) a+0=a;
2c. ((a,b(N) a+b(=(a+b)(.
این سوال مطرح می شود: آیا چنین عملیاتی وجود دارد و اگر چنین است، آیا تنها آن است؟
قضیه. فقط یک عدد جمع اعداد طبیعی وجود دارد.
اثبات یک عملیات جبری باینری در مجموعه N، نگاشت (:N(N®N) است. لازم است ثابت شود که یک نگاشت منحصر به فرد وجود دارد (:N(N®N) با خواص: 1) ((x(N) ( (x,0)=x ; 2) ((x,y(N) ((x,y()=((x,y)(). اگر برای هر عدد طبیعی x وجود یک نقشه برداری را ثابت کنیم fx:N®N با ویژگی های 1() fx(0)=x2() fx(y()=fx(y)()، سپس تابع ((x,y)، که با برابری ((x) تعریف شده است. ,y) (fx(y)، شرایط 1) و 2 را برآورده می کند.
در مجموعه N، رابطه باینری fx را با شرایط تعریف می کنیم:
الف) 0fxx؛
ب) اگر yfxz، پس y(fxz(.
اجازه دهید مطمئن شویم که این رابطه یک نگاشت از N به N است، یعنی برای هر y از N
(((z(N) yfxz (1)
فرض کنید M مجموعه اعداد طبیعی y را نشان دهد که شرط (1) برای آنها برقرار است. سپس از شرط a) نتیجه می شود که 0(M، و از شرط b) و خاصیت 1 بند 1 نتیجه می شود که اگر y(M، پس y((M. از اینجا، بر اساس اصل 4، نتیجه می گیریم که M = N، و این بدان معنی است که رابطه fx یک نگاشت از N به N است. برای این نگاشت شرایط زیر وجود دارد:
1() fx(0)=x - به دلیل a);
2() fx((y)=fx(y() - به موجب b).
بنابراین، وجود اضافه ثابت می شود.
بیایید بی نظیر بودن را ثابت کنیم. فرض کنید + و ( هر دو عملیات جبری باینری در مجموعه N با خصوصیات 1c و 2c باشند. باید ثابت کنیم که
((x,y(N) x+y=x(y
اجازه دهید یک عدد دلخواه x را ثابت کنیم و با S مجموعه ای از اعداد طبیعی y را که برابری آنها
x+y=x(y (2)
انجام. از آنجایی که طبق 1c x+0=x و x(0=x، پس
الف) 0 (S
اکنون y(S، یعنی برابری (2) برآورده شده است. چون x+y(=(x+y)(، x(y(=(x(y)(و x+y=x(y)) سپس با اصل 2 x+y(=x(y(، یعنی شرط برآورده شده است
ب) y(S ® y((S.
از این رو، طبق اصل 4، S=N که اثبات قضیه را کامل می کند.
اجازه دهید برخی از خواص جمع را اثبات کنیم.
1. عدد 0 یک عنصر خنثی جمع است، یعنی a+0=0+a=a برای هر عدد طبیعی a.
اثبات برابری a+0=a از شرط 1c به دست می آید. بیایید برابری 0+a=a را ثابت کنیم.
فرض کنید M مجموعه اعدادی را که برای آنها صادق است نشان دهد. بدیهی است که 0+0=0 و بنابراین 0(M. اجازه دهید a(M، یعنی 0+a=a. سپس 0+a(=(0+a)(=a(و بنابراین، a((M) این یعنی M=N که باید ثابت شود.
بعد ما به یک لم نیاز داریم.
لما a(+b=(a+b)(.
اثبات فرض کنید M مجموعه تمام اعداد طبیعی b باشد که برابری a(+b=(a+b) برای هر مقدار a درست است. سپس:
A) 0(M، زیرا a(+0=(a+0)(;
B) b(M ® b((M. در واقع، از این واقعیت که b(M و 2c، ما داریم
a(+b(=(a(+b)(=((a+b)()(=(a+b())(،
یعنی b((M. این یعنی M=N که باید ثابت شود.
2. جمع اعداد طبیعی جابجایی است.
اثبات فرض کنید M=(a(a(N(((b(N)a+b=b+a) برای اثبات M=N کافی است. داریم:
الف) 0 (M - به دلیل خاصیت 1.
ب) a(M ® a((M. در واقع، با استفاده از لم و این واقعیت که a(M، به دست می آوریم:
a(+b=(a+b)(=(b+a)(=b+a(.
این به معنای a((M، و با اصل 4 M=N است.
3. جمع تداعی کننده است.
اثبات اجازه دهید
M=(c(c(N(((a,b(N)(a+b)+c=a+(b+c)))
لازم است ثابت شود که M=N. از آنجایی که (a+b)+0=a+b و a+(b+0)=a+b، پس 0(M. بگذارید c(M، یعنی (a+b)+c=a+(b+c) . سپس
(a+b)+c(=[(a+b)+c](=a+(b+c)(=a+(b+c().
این به معنای c((M و با اصل 4 M=N است.
4. a+1=a(، که در آن 1=0(.
اثبات a+1=a+0(=(a+0)(=a(.
5. اگر b(0، پس ((a(N)a+b(a.
اثبات فرض کنید M=(a(a(N(a+b(a). از آنجایی که 0+b=b(0، سپس 0(M. به علاوه، اگر a(M، یعنی a+b(a)، سپس توسط ویژگی 2 مورد 1 (a+b)((a(یا a(+b(a(. بنابراین a((M و M=N.
6. اگر b(0، پس ((a(N)a+b(0.
اثبات اگر a=0، آنگاه 0+b=b(0، اما اگر a(0 و a=c(، آنگاه a+b=c(+b=(c+b)(0. بنابراین، در هر صورت a + b(0.
7. (قانون تریکوتومی جمع). برای هر اعداد طبیعی a و b، یک و تنها یکی از سه رابطه درست است:
1) a=b;
2) b=a+u، که در آن u(0;
3) a=b+v، که در آن v(0.
اثبات اجازه دهید یک عدد دلخواه a را ثابت کنیم و مجموعه تمام اعداد طبیعی b را که حداقل یکی از روابط 1)، 2، 3) برای آنها برقرار است را با M نشان دهیم. لازم است ثابت شود که M=N. بگذارید b=0. سپس اگر a=0 باشد، رابطه 1 درست است، و اگر a(0، رابطه 3 درست است)، زیرا a=0+a. بنابراین 0 (M.
اکنون فرض می کنیم که b(M، یعنی برای انتخاب a، یکی از روابط 1)، 2، 3) برآورده می شود. اگر a=b، آنگاه b(=a(=a+1، یعنی برای b(رابطه 2 برقرار است. اگر b=a+u، آنگاه b(=a+u(، یعنی برای b( رابطه 2 اگر a=b+v، دو حالت ممکن است: v=1 و v(1. اگر v=1، آنگاه a=b+v=b»، یعنی برای b» روابط 1 هستند. راضی است. b" رابطه 3 ارضا می شود). بنابراین، ما ثابت کردیم که b(M®b"(M، و بنابراین M=N، یعنی برای هر a و b حداقل یکی از روابط 1)، 2)، 3 است. اطمینان حاصل کنیم که هیچ دو مورد از آنها نمی توانند به طور همزمان برآورده شوند: در واقع اگر روابط 1) و 2) راضی باشند، آنها b=b+u خواهند داشت، که در آن u(0) و این با خاصیت 5 در تضاد است. عدم امکان ارضای 1) و به روشی مشابه بررسی می شود، در نهایت، اگر روابط 2) و 3) ارضا شوند، a=(a+u)+v = a+ +(u+v) خواهیم داشت. ) و این به دلیل خواص 5 و 6 غیر ممکن است. خاصیت 7 کاملاً ثابت شده است.
وظیفه 1.3.1. اجازه دهید 1(=2، 2(=3، 3(=4، 4(=5، 5(=6، 6(=7، 7(=8، 8(=9). ثابت کنید که 3+5=8، 2+4=6.

1.4. ضرب اعداد طبیعی.

تعریف 1. ضرب اعداد طبیعی چنین عملیات دودویی است (در مجموعه N، که شرایط زیر برای آن وجود دارد:
1у. ((x(N) x(0=0;
2u. ((x,y(N) x(y"=x(y+x.
مجدداً این سؤال مطرح می شود: آیا چنین عملیاتی وجود دارد و اگر وجود دارد، آیا تنها آن است؟
قضیه. تنها یک عمل برای ضرب اعداد طبیعی وجود دارد.
اثبات تقریباً مشابه با اضافه کردن انجام می شود. لازم است یک نقشه برداری (:N(N®N) پیدا شود که شرایط را برآورده کند
1) ((x(N) ((x,0)=0;
2) ((x,y(N) ((x,y")= ((x,y)+x.
اجازه دهید عدد x را به دلخواه تصحیح کنیم. اگر برای هر x(N وجود یک fx نگاشت: N®N با خصوصیات ثابت کنیم
1") fx(0)=0;
2") ((y(N) fx(y")=fx(y)+x،
سپس تابع ((x,y) تعریف شده با برابری ((x,y)=fx(y) شرایط 1) و 2 را برآورده می کند.
بنابراین، اثبات قضیه به اثبات وجود و منحصر به فرد بودن هر x تابع fx(y) با خواص 1") و 2" کاهش می یابد. اجازه دهید مطابق قانون زیر روی مجموعه N مطابقت داشته باشیم:
الف) عدد صفر با عدد 0 قابل مقایسه است،
ب) اگر عدد y با عدد c مرتبط باشد، عدد y (عدد c+x را مرتبط کنید.
اجازه دهید مطمئن شویم که با چنین مقایسه‌ای، هر عدد y یک تصویر منحصربه‌فرد دارد: این به این معنی است که مطابقت، نگاشت N به N است. اجازه دهید مجموعه اعداد طبیعی y را که دارای یک تصویر منحصربه‌فرد هستند، با M نشان دهیم. از شرط a) و اصل 1 نتیجه می شود که 0(M. اجازه دهید y(M. سپس از شرط b) و اصل 2 نتیجه می گیرد که y((M. این به معنای M=N است، یعنی مطابقت ما یک نگاشت N در N است. اجازه دهید آن را با fx نشان دهیم سپس به دلیل شرط a) fx(y)=fx(y)+x را نشان دهیم.
پس وجود عمل ضرب ثابت می شود. حالا اجازه دهید (و ( هر دو عملیات باینری در مجموعه N با ویژگی های 1у و 2у باشد. باید ثابت کنیم که ((x,y(N) x(y=x(y. اجازه دهید یک عدد دلخواه x را ثابت کنیم و اجازه دهید
S=(y?y(N (x(y=x(y)
از آنجایی که به موجب 1y x(0=0 و x(0=0، سپس 0(S. بگذارید y(S، یعنی x(y=x(y. سپس
x(y(=x(y+x=x(y+x=x(y(
و بنابراین y((S. این به معنای S=N است که اثبات قضیه را کامل می کند.
اجازه دهید به برخی از خواص ضرب توجه کنیم.
1. عنصر خنثی نسبت به ضرب عدد 1=0(، یعنی ((a(N) a(1=1(a=a) است.
اثبات a(1=a(0(=a(0+a=0+a=a. بنابراین، تساوی a(1=a ثابت می شود. باقی می ماند تا برابری 1(a=a) ثابت شود. بگذارید M=(a ?a(N (1(a=a). از آنجایی که 1(0=0، سپس 0(M. بگذارید a(M، یعنی 1(a=a. سپس 1(a(=1(a+1= a+1= a(، و بنابراین، a((M. این به این معنی است که در اصل 4، M=N، که باید ثابت شود.
2. برای ضرب، قانون توزیع صحیح معتبر است، یعنی
((a,b,c(N) (a+b)c=ac+bc.
اثبات فرض کنید M=(c (c(N (((a,b(N) (a+b)c=ac+bc). چون (a+b)0=0 و a(0+b(0=0) سپس 0(M. اگر c(M، یعنی (a+b)c=ac+bc، آنگاه (a + b)(c(= (a + b)c +(a + b) = ac + bc + a+b=(ac+a)+(bc+b)=ac(+bc(. بنابراین، c((M و M=N.
3. ضرب اعداد طبیعی جابجایی است یعنی ((a,b(N) ab=ba.
اثبات اجازه دهید ابتدا برای هر b(N برابری 0(b=b(0=0) ثابت کنیم. تساوی b(0=0 از شرط 1y حاصل می شود. فرض کنید M=(b (b(N (0(b=0). از آنجایی که 0(0=0، سپس 0(M. اگر b(M، یعنی 0(b=0، سپس 0(b(=0(b+0=0 و بنابراین، b((M. پس M =N، یعنی برابری 0(b=b(0 برای همه b(N) ثابت شده است. اجازه دهید S=(a (a(N (ab=ba)) باشد. چون 0(b=b(0، سپس 0(S. بگذارید a (S، یعنی ab=ba. سپس a(b=(a+1)b=ab+b=ba+b=ba(، یعنی a((S. این یعنی S =N که باید ثابت شود.
4. ضرب نسبت به جمع توزیعی است. این ویژگی از خواص 3 و 4 به دست می آید.
5. ضرب انجمنی است، یعنی ((a,b,c(N) (ab)c=a(bc).
اثبات، همانطور که برای جمع، با استقرا در ج انجام می شود.
6. اگر a(b=0، a=0 یا b=0، یعنی N هیچ مقسوم علیه صفر دارد.
اثبات اجازه دهید b(0 و b=c(. اگر ab=0 باشد، آنگاه ac(=ac+a=0، که به این معنی است که به موجب ویژگی 6 بند 3، a=0 است.
وظیفه 1.4.1. اجازه دهید 1(=2، 2(=3، 3(=4، 4(=5، 5(=6، 6(=7، 7(=8، 8(=9) شوید. ثابت کنید که 2(4=8، 3(3=9.
بگذارید n, a1, a2,...,an اعداد طبیعی باشند. مجموع اعداد a1, a2,...,an عددی است که با شرایط مشخص شده و با آن مشخص می شود. برای هر عدد طبیعی k
حاصل ضرب اعداد a1, a2,...,an یک عدد طبیعی است که با این شرایط مشخص می شود: ; برای هر عدد طبیعی k
اگر، آنگاه عدد با علامت نشان داده می شود.
وظیفه 1.4.2. ثابت کنیم که
آ) ؛
ب)؛
V)؛
ز)؛
د)؛
ه)؛
و)؛
ح)؛
و) .

1.5. نظم سیستم اعداد طبیعی.

رابطه "پیرو" ضد بازتابی و ضد متقارن است، اما گذرا نیست و بنابراین یک رابطه ترتیبی نیست. ما یک رابطه ترتیبی را بر اساس جمع اعداد طبیعی تعریف خواهیم کرد.
تعریف 1. الف
تعریف 2. a(b (((x(N) b=a+x.
بیایید مطمئن شویم که رابطه اجازه دهید برخی از خصوصیات اعداد طبیعی را در رابطه با روابط تساوی و نامساوی توجه کنیم.
1.
1.1 a=b (a+c=b+c.
1.2 a=b (ac=bc.
1.3a
1.4a
1.5 a+c=b+c (a=b.
1.6 ac=bc (c(0 (a=b.
1.7 a+c
1.8 ac
1.9a
1.10 a
اثبات. خواص 1.1 و 1.2 از منحصر به فرد بودن عملیات جمع و ضرب ناشی می شود. اگر یک
2. ((a(N) a
اثبات از آنجایی که a(=a+1، سپس a
3. کوچکترین عنصر در N 0 و کوچکترین عنصر در N\(0) عدد 1 است.
اثبات از آنجایی که ((a(N) a=0+a، پس 0(a، و بنابراین 0 کوچکترین عنصر در N است. به علاوه، اگر x(N\(0)، آنگاه x=y(، y(N، یا x=y+1 بدین ترتیب است که ((x(N\(0)) 1(x، یعنی 1 کوچکترین عنصر در N\(0) است.
4. رابطه ((a,b(N)((n(N)b(0 (nb > a.
اثبات بدیهی است که برای هر عدد طبیعی a یک عدد طبیعی n وجود دارد به طوری که
a چنین عددی است، برای مثال، n=a(. علاوه بر این، اگر b(N\(0)، سپس توسط ویژگی 3
1 (b (2)
از (1) و (2) بر اساس خواص 1.10 و 1.4، aa را به دست می آوریم.

1.6. سفارش کامل سیستم اعداد طبیعی.

تعریف 1. اگر هر زیرمجموعه غیر خالی از مجموعه مرتب شده (M؛ اجازه دهید مطمئن شویم که ترتیب کامل خطی است. بگذارید a و b هر دو عنصر از مجموعه کاملاً مرتب شده باشند (M; Lemma . 1) الف
اثبات.
1) a((b (b=a(+k, k(N (b=a+k(, k((N\(0) (a
2) a(b (b=a+k, k(N (b(=a+k(, k((N\(0) (a
قضیه 1. ترتیب طبیعی مجموعه اعداد طبیعی، ترتیب کل است.
اثبات فرض کنید M هر مجموعه غیر خالی از اعداد طبیعی باشد و S مجموعه کرانهای پایین آن در N باشد، یعنی S=(x (x(N (((m(M) x(m). از ویژگی 3 از بند 5 نتیجه می شود که 0(S. اگر شرط دوم اصل 4 n(S (n((S)) نیز برآورده می شد، S=N خواهیم داشت. در واقع S(N؛ یعنی اگر a( M، سپس a((S به دلیل نابرابری a
قضیه 2. هر مجموعه غیر خالی از اعداد طبیعی محدود شده در بالا دارای بزرگترین عنصر است.
اثبات فرض کنید M هر مجموعه غیر خالی از اعداد طبیعی محدود شده در بالا، و S مجموعه کران بالایی آن باشد، یعنی S=(x(x(N (((m(M) m(x) باشد. اجازه دهید x0 نشان دهنده کوچکترین عنصر در S. سپس نابرابری m(x0 برای همه اعداد m از M و نابرابری شدید m صادق است
وظیفه 1.6.1. ثابت کنیم که
آ) ؛
ب)؛
V) .
مشکل 1.6.2. فرض کنید ( یک خاصیت اعداد طبیعی و k یک عدد طبیعی دلخواه باشد. ثابت کنید
الف) هر عدد طبیعی دارای خاصیت (، به محض اینکه 0 به ازای هر n (0) این ویژگی را داشته باشد
ب) هر عدد طبیعی بزرگتر یا مساوی k دارای خاصیت (، به محض اینکه k این ویژگی را داشته باشد و به ازای هر n (k(n) از این فرض که n دارای خاصیت است (، نتیجه می شود که عدد n+1 این خاصیت را نیز دارد;
ج) هر عدد طبیعی بزرگتر یا مساوی k دارای خاصیت (، به محض اینکه k این ویژگی را داشته باشد و برای هر n (n>k) با این فرض که تمام اعداد t که با شرط k(t تعریف شده اند

1.7. اصل القاء.

با استفاده از ترتیب کامل سیستم اعداد طبیعی می توان قضیه زیر را که یکی از روش های اثبات بر آن استوار است به نام روش استقراء ریاضی اثبات کرد.
قضیه (اصل استقراء). تمام عبارات دنباله A1، A2، ...، An، ... در صورتی درست هستند که شرایط زیر وجود داشته باشند:
1) عبارت A1 درست است.
2) اگر عبارات Ak برای k صادق باشد
اثبات اجازه دهید برعکس فرض کنیم: شرایط 1) و 2) برقرار است، اما قضیه درست نیست، یعنی مجموعه M=(m(m(N\(0)، Am نادرست است) خالی نیست. در قضیه 1 از بند 6، کوچکترین عنصر وجود دارد که آن را با n نشان می دهیم، زیرا طبق شرط 1) A1 درست است و An نادرست است، پس 1(n و بنابراین 1).
هنگام اثبات با استقرا، دو مرحله قابل تشخیص است. در مرحله اول که مبنای القایی نامیده می شود، امکان سنجی شرط 1 بررسی می شود. در مرحله دوم که مرحله القایی نامیده می شود، امکان سنجی شرط 2) اثبات می شود. در این مورد، اغلب مواردی وجود دارد که برای اثبات صحت گزاره ها نیازی به استفاده از صدق گزاره های Ak برای k نیست.
مثال. نابرابری Put =Sk را ثابت کنید. برای اثبات درستی گزاره‌های Ak=(Sk) باید دنباله گزاره‌های مورد اشاره در قضیه 1 را از گزاره A(n) تعریف شده بر روی مجموعه N یا زیر مجموعه آن Nk=(x (x(N) به دست آورد. ، x(k)، که در آن k هر عدد طبیعی ثابتی است.
به طور خاص، اگر k=1، N1=N\(0)، و شماره گذاری عبارات را می توان با استفاده از برابری های A1=A(1)، A2=A(2)، ...، An=A انجام داد. (n)، ... اگر k(1)، دنباله گزاره ها را می توان با استفاده از برابری های A1=A(k)، A2=A(k+1)، ...، An=A(k+n) به دست آورد. -1)، .. مطابق با چنین نمادگذاری، قضیه 1 را می توان به شکل دیگری فرموله کرد.
قضیه 2. گزاره A(m) به طور یکسان در مجموعه Nk صادق است اگر شرایط زیر برآورده شود:
1) عبارت A(k) درست است.
2) اگر عبارات A(m) برای m صادق باشد
وظیفه 1.7.1. ثابت کنید که معادلات زیر در حوزه اعداد طبیعی راه حلی ندارند:
الف) x+y=1;
ب) 3x=2;
ج) x2=2;
د) 3x+2=4;
ه) x2+y2=6;
f) 2x+1=2y.
وظیفه 1.7.2. با استفاده از اصل استقراء ریاضی ثابت کنید:
الف) (n3+(n+1)3+(n+2)3)(9;
ب)؛
V)؛
ز)؛
د)؛
ه) .

1.8. تفریق و تقسیم اعداد طبیعی.

تعریف 1. تفاوت اعداد طبیعی a و b یک عدد طبیعی x است به طوری که b+x=a. تفاوت بین اعداد طبیعی a و b با a-b نشان داده می شود و عمل یافتن تفاوت را تفریق می گویند. تفریق یک عملیات جبری نیست. این از قضیه زیر حاصل می شود.
قضیه 1. تفاوت a-b وجود دارد اگر و فقط اگر b(a. اگر تفاوت وجود داشته باشد، آنگاه فقط یک وجود دارد.
اثبات اگر b(a، پس با تعریف رابطه (یک عدد طبیعی x وجود دارد به طوری که b+x=a. اما این نیز به این معنی است که x=a-b. برعکس، اگر تفاوت a-b وجود داشته باشد، در تعریف 1 یک وجود دارد. عدد طبیعی x، که b+x=a، اما این نیز به این معنی است که b(a.
اجازه دهید منحصر به فرد بودن تفاوت a-b را ثابت کنیم. بگذارید a-b=x و a-b=y. سپس طبق تعریف 1 b+x=a، b+y=a. از این رو b+x=b+y و بنابراین، x=y.
تعریف 2. ضریب دو عدد طبیعی a و b(0) یک عدد طبیعی c است به طوری که عمل یافتن ضریب را تقسیم می گویند تقسیم پذیری
قضیه 2. اگر یک ضریب وجود داشته باشد، تنها یک وجود دارد.
اثبات اجازه دهید =x و =y. سپس طبق تعریف 2 a=bx و a=by. از این رو bx=by و بنابراین x=y.
توجه داشته باشید که عمل تفریق و تقسیم تقریباً کلمه به کلمه مانند کتاب های درسی مدارس تعریف شده است. این بدان معنی است که در پاراگراف های 1-7، بر اساس بدیهیات Peano، یک پایه نظری محکم برای محاسبه اعداد طبیعی گذاشته شده است و ارائه بیشتر آن به طور مداوم در درس ریاضی مدرسه و در دوره دانشگاهی "جبر و نظریه اعداد" انجام می شود. .
وظیفه 1.8.1. صحت عبارات زیر را با فرض وجود تمام تفاوت های موجود در فرمول بندی آنها ثابت کنید:
الف) (a-b)+c=(a+c)-b;
ب) (a-b)(c=a(c-b(c;
ج) (a+b)-(c+b)=a-c;
د) a-(b+c)=(a-b)-c;
ه) (a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d);
ه) (a-b)-(c-d)=a-c;
ز) (a+b)-(b-c)=a+c;
ح) (a-b)-(c-d)=(a+d)-(b+c);
i) a-(b-c)=(a+c)-b;
ی) (a-b)-(c+d)=(a-c)-(b+d);
ک) (a-b)(c+d)=(ac+ad)-(bc+bd);
م) (a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc);
م) (a-b)2=(a2+b2)-2ab;
o) a2-b2=(a-b)(a+b).
مشکل 1.8.2. صحت عبارات زیر را با فرض وجود تمام ضرایب موجود در فرمول های آنها ثابت کنید.
آ) ؛ ب)؛ V)؛ ز)؛ د)؛ ه)؛ و)؛ ح)؛ و)؛ به) ؛ ل)؛ م)؛ ن)؛ O)؛ پ) ؛ ر) .
مشکل 1.8.3. ثابت کنید که معادلات زیر نمی توانند دو جواب طبیعی متفاوت داشته باشند: الف) ax2+bx=c (a,b,c(N)؛ b) x2=ax+b (a,b(N)؛ ج) 2x=ax2 + b (a,b(N).
مشکل 1.8.4. معادلات زیر را با اعداد طبیعی حل کنید:
الف) x2+(x+1)2=(x+2)2; ب) x+y=x(y; c); د) x2+2y2=12; ه) x2-y2=3; ه) x+y+z=x(y(z.
مشکل 1.8.5. ثابت کنید که معادلات زیر در زمینه اعداد طبیعی جواب ندارند: a) x2-y2=14; ب) x-y=xy; V)؛ ز)؛ ه) x2=2x+1; ه) x2=2y2.
مشکل 1.8.6. نامعادلات زیر را در اعداد طبیعی حل کنید: a) ; ب)؛ V)؛ د) x+y2 مسئله 1.8.7. ثابت کنید که در حوزه اعداد طبیعی روابط زیر معتبر هستند: الف) 2ab(a2+b2؛ ب) ab+bc+ac(a2+b2+c2؛ ج) c2=a2+b2 (a2+b2+c2 1.9 اعداد طبیعی به معنای کمی.
در عمل، اعداد طبیعی عمدتاً برای شمارش عناصر استفاده می‌شوند و برای این منظور لازم است معنای کمی اعداد طبیعی در نظریه Peano مشخص شود.
تعریف 1. مجموعه (x (x(N, 1(x(n)) پاره‌ای از سری طبیعی نامیده می‌شود و با (1;n( نشان داده می‌شود.
تعریف 2. مجموعه متناهی هر مجموعه ای است که برابر با بخش خاصی از سری طبیعی و همچنین یک مجموعه خالی باشد. مجموعه ای که متناهی نباشد نامتناهی نامیده می شود.
قضیه 1. یک مجموعه محدود A معادل هیچ یک از زیرمجموعه های خود نیست (یعنی زیر مجموعه ای متفاوت از A).
اثبات اگر A=(، آنگاه قضیه درست است، زیرا مجموعه خالی هیچ زیرمجموعه مناسبی ندارد. بگذارید A((و A) به یک اندازه قدرتمند باشند (1,n((A(((1,n()). قضیه را اثبات خواهیم کرد. با القاء روی n، یعنی A((1,1(، پس تنها زیرمجموعه مناسب مجموعه A، مجموعه خالی است. واضح است که A(و بنابراین، برای n=1 فرض کنید قضیه برای n=m درست است، یعنی همه مجموعه های متناهی معادل قطعه (1,m() زیرمجموعه های مناسبی ندارند.بگذارید A هر مجموعه ای برابر با قطعه (1,m) باشد. +1(و (:(1,m+1(®A - مقداری نقشه دوگانه از بخش (1,m+1(در A. اگر ((k) با ak نشان داده شود، k=1,2,.. .,m+1، سپس مجموعه A را می توان به صورت A=(a1, a2, ... , am,+1) نوشت. اجازه دهید B(A، B(A، B(A و f: A®B) یک نقشه دوگانه باشد. ما می توانیم نقشه های دوگانه را به این ترتیب انتخاب کنیم. (و f به گونه ای که am+1(B و f(am+1) = am+1.
مجموعه های A1=A\(am+1) و B1=B\(am+1) را در نظر بگیرید. از آنجایی که f(am+1)=am+1، تابع f یک نگاشت دوگانه از مجموعه A1 بر روی مجموعه B1 انجام می دهد. بنابراین، مجموعه A1 برابر با زیر مجموعه B1 خود خواهد بود. اما از آنجایی که A1((1,m(، این با فرض القایی در تضاد است.
نتیجه 1. مجموعه اعداد طبیعی بی نهایت است.
اثبات از بدیهیات Peano نتیجه می شود که نگاشت S:N®N\(0)، S(x)=x( دوجکتیو است. به این معنی که N برابر است با زیرمجموعه N\(0) خودش و به موجب قضیه 1، محدود نیست.
نتیجه 2. هر مجموعه متناهی غیر خالی A معادل یک و تنها یک بخش از سری طبیعی است.
اثبات اجازه دهید A((1,m(و A((1,n(. سپس (1,m((((1,n(، که از قضیه 1 نتیجه می شود که m=n. در واقع، اگر فرض کنیم که متر
نتیجه 2 به ما اجازه می دهد تا یک تعریف را معرفی کنیم.
تعریف 3. اگر A((1,n((، آنگاه عدد طبیعی n را تعداد عناصر مجموعه A می نامند و فرآیند ایجاد یک تناظر یک به یک بین مجموعه های A و (1,n( شمارش عناصر مجموعه A نامیده می شود. طبیعی است که تعداد عناصر مجموعه خالی عدد صفر را در نظر بگیریم.
صحبت از اهمیت بسیار زیاد شمارش در زندگی عملی ضروری نیست.
توجه داشته باشید که با دانستن معنای کمی یک عدد طبیعی، می توان عملیات ضرب را از طریق جمع تعریف کرد، یعنی:
.
ما عمداً این مسیر را طی نکردیم تا نشان دهیم که حساب به خودی خود نیازی به حس کمی ندارد: معنای کمی یک عدد طبیعی فقط در کاربردهای حساب مورد نیاز است.

1.10. سیستم اعداد طبیعی به عنوان یک مجموعه گسسته کاملاً مرتب.

ما نشان دادیم که مجموعه اعداد طبیعی کاملاً نسبت به نظم طبیعی مرتب شده است. علاوه بر این، ((a(N) a
1. برای هر عدد a(N یک همسایه وجود دارد که در رابطه 2 به دنبال آن می آید. برای هر عدد a(N\(0) یک همسایه وجود دارد که قبل از آن در رابطه A مجموعه کاملا مرتب شده است (A;() با ویژگی های 1 و 2 مجموعه کاملا مرتب شده گسسته را می نامیم. معلوم می شود که ترتیب کامل با ویژگی های 1 و 2 یک ویژگی مشخصه سیستم اعداد طبیعی است با خصوصیات 1 و 2. اجازه دهید رابطه "follows" را در مجموعه A به صورت زیر تعریف کنیم: a(=b، اگر b یک عنصر همسایه به دنبال a در رابطه باشد (. واضح است که کوچکترین عنصر مجموعه A از هیچ عنصری پیروی نمی کند و بنابراین، اصل 1 Peano برآورده می شود.
از آنجایی که رابطه (یک ترتیب خطی است، پس برای هر عنصر a یک عنصر منحصر به فرد به دنبال آن و حداکثر یک عنصر همسایه قبلی وجود دارد. این نشان دهنده اعتبار بدیهیات 2 و 3 است. حال فرض کنید M هر زیر مجموعه ای از مجموعه A باشد. که شرایط زیر رعایت می شود:
1) a0(M، که در آن a0 کوچکترین عنصر در A است.
2) a(M (a((M.
بیایید ثابت کنیم که M=N. اجازه دهید برعکس را فرض کنیم، یعنی A\M((. اجازه دهید با b کوچکترین عنصر در A\M را نشان دهیم. از آنجایی که a0(M، سپس b(a0 و بنابراین، یک عنصر c وجود دارد که c( =ب از آنجایی که ج
بنابراین، ما امکان تعریف دیگری از سیستم اعداد طبیعی را ثابت کرده ایم.
تعریف. سیستم اعداد طبیعی هر مجموعه منظمی است که در آن شرایط زیر برآورده شود:
1. برای هر عنصر یک عنصر مجاور به دنبال آن وجود دارد.
2. برای هر عنصری غیر از کوچکترین، یک عنصر مجاور قبل از آن وجود دارد.
روش های دیگری برای تعریف سیستم اعداد طبیعی وجود دارد که در اینجا به آنها نمی پردازیم.

2. اعداد صحیح و گویا.

2.1. تعریف و ویژگی های سیستم اعداد صحیح.
مشخص است که مجموعه اعداد صحیح در درک شهودی آنها یک حلقه از نظر جمع و ضرب است و این حلقه شامل تمام اعداد طبیعی است. همچنین واضح است که در حلقه اعداد صحیح زیرشاخه مناسبی وجود ندارد که شامل همه اعداد طبیعی باشد. به نظر می رسد که این ویژگی ها می توانند به عنوان مبنایی برای تعریف دقیق سیستم اعداد صحیح مورد استفاده قرار گیرند. در بندهای 2.2 و 2.3 صحت این تعریف ثابت خواهد شد.
تعاریف 1. سیستم اعداد صحیح یک سیستم جبری است که شرایط زیر برای آن وجود دارد:
1. نظام جبری یک حلقه است;
2-مجموعه اعداد طبیعی موجود است و جمع و ضرب در یک حلقه در یک زیرمجموعه با جمع و ضرب اعداد طبیعی منطبق است.
3. (شرط حداقلی). Z یک مجموعه حداقلی با ویژگی های 1 و 2 است. به عبارت دیگر، اگر یک حلقه فرعی از یک حلقه شامل همه اعداد طبیعی باشد، Z0=Z است.
تعریف 1 را می توان یک خصیصه بدیهی گسترده داد. مفاهیم اولیه در این نظریه بدیهی عبارتند از:
1) مجموعه Z که عناصر آن را اعداد صحیح می نامند.
2) یک عدد صحیح خاص که صفر نامیده می شود و با 0 نشان داده می شود.
3) روابط سه تایی + و (.
طبق معمول، N مجموعه اعداد طبیعی را با جمع (و ضرب () نشان می دهد. مطابق با تعریف 1، سیستم اعداد صحیح یک سیستم جبری است (Z; +، (، N) که بدیهیات زیر برای آن صادق است:
1. (بدیهیات حلقه.)
1.1.
این اصل به این معنی است که + یک عملیات جبری باینری در مجموعه Z است.
1.2. ((a,b,c(Z) (a+b)+c=a+(b+c).
1.3. ((a,b(Z) a+b=b+a.
1.4. ((a(Z) a+0=a، یعنی عدد 0 یک عنصر خنثی نسبت به جمع است.
1.5. ((a(Z)((a((Z) a+a(=0، یعنی برای هر عدد صحیح یک عدد مقابل a((.
1.6. ((a,b(Z)((! d(Z) a(b=d.
این اصل به این معنی است که ضرب یک عملیات جبری باینری بر روی مجموعه Z است.
1.7. ((a,b,c(Z) (a(b)(c=a((b(c).
1.8. ((a,b,c(Z) (a+b)(c=a(c+b(c, c((a+b)=c(a+c(b.
2. (اصول مربوط به حلقه Z به سیستم اعداد طبیعی.)
2.1. N(Z.
2.2. ((a,b(N) a+b=a(b.
2.3. ((a,b(N) a(b=a(b.
3. (اصول حداقلی.)
اگر Z0 حلقه فرعی از حلقه Z و N(Z0 باشد، Z0=Z است.
اجازه دهید به برخی از ویژگی های سیستم عدد صحیح توجه کنیم.
1. هر عدد صحیح را می توان به عنوان اختلاف دو عدد طبیعی نشان داد. این نمایش مبهم است، با z=a-b و z=c-d، که در آن a,b,c,d(N، اگر و فقط اگر a+d=b+c باشد.
اثبات اجازه دهید مجموعه تمام اعداد صحیح را با Z0 نشان دهیم که هر کدام را می توان به عنوان اختلاف دو عدد طبیعی نشان داد. بدیهی است که ((a(N) a=a-0 و بنابراین N(Z0.
بعد، اجازه دهید x,y(Z0، یعنی x=a-b، y=c-d، جایی که a,b,c,d(N. سپس x-y=(a-b)-(c-d)=(a+d)--( b + c)=(a(d)-(b(c), x(y=(a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc)=(a(c(b(d)- (a(d(b(c). از اینجا مشخص می شود که x-y، x(y(Z0 و بنابراین، Z0 زیر حلقه ای از حلقه Z است که مجموعه N را در بر می گیرد. اما پس از آن، توسط اصل 3، Z0=Z و بدین ترتیب قسمت اول خاصیت 1 ثابت می شود گزاره دوم این خاصیت بدیهی است.
2. حلقه اعداد صحیح یک حلقه جابجایی واحد است و صفر این حلقه عدد طبیعی 0 و واحد این حلقه عدد طبیعی 1 است.
اثبات اجازه دهید x,y(Z. با توجه به ویژگی 1 x=a-b، y=c-d، که در آن a,b,c,d(N. سپس x(y=(a-b)((c-d)=(ac+bd)-( ad +bc)=(a(c(b(d)-(a(d(b(c)، y(x=(c-d)(a-b)=(ca+db)-(da+cb)=(c (a(d(b)-(d(a(c(b). بنابراین، با توجه به جابجایی ضرب اعداد طبیعی، نتیجه می گیریم که xy=yx. جابجایی ضرب در حلقه Z ثابت شده است. گزاره های باقی مانده از خاصیت 2 از تساوی های آشکار زیر ناشی می شوند که در آنها 0 و 1 نشان دهنده اعداد طبیعی صفر و یک هستند: x+0=(a-b)+0=(a+(-b))+0=(a+0) +(-b)=(a(0)+ (-b)=a-b=x. x(1=(a-b)(1=a(1-b(1=a(1-b(1=a-b=x .

2.2. وجود سیستمی از اعداد کامل.

سیستم عدد صحیح در 2.1 به عنوان حلقه گنجاندن-حداقل شامل تمام اعداد طبیعی تعریف شده است. این سوال مطرح می شود: آیا چنین حلقه ای وجود دارد؟ به عبارت دیگر، آیا سیستم بدیهیات از 2.1 سازگار است؟ برای اثبات سازگاری این نظام بدیهیات، لازم است تفسیر آن را در یک نظریه آشکارا سازگار ساخته شود. چنین نظریه ای را می توان حسابی اعداد طبیعی دانست.
بنابراین، بیایید شروع به ساختن تفسیری از سیستم بدیهیات 2.1 کنیم. مجموعه را به عنوان مجموعه اولیه در نظر خواهیم گرفت. در این مجموعه دو عملیات باینری و یک رابطه باینری تعریف می کنیم. از آنجایی که جمع و ضرب زوج ها به جمع و ضرب اعداد طبیعی کاهش می یابد، پس مانند اعداد طبیعی، جمع و ضرب زوج ها جابجایی، تداعی و ضرب نسبت به جمع توزیعی است. اجازه دهید، برای مثال، جابجایی جمع جفت ها را بررسی کنیم: +===+.
بیایید ویژگی های رابطه ~ را در نظر بگیریم. از آنجایی که a+b=b+a پس ~ یعنی رابطه ~ بازتابی است. اگر ~، یعنی a+b1=b+a1، آنگاه a1+b=b1+a، یعنی ~. این بدان معنی است که این رابطه متقارن است. اجازه دهید بیشتر ~ و ~. سپس تساوی a+b1=b+a1 و a1+b2=b1+a2 درست است. با اضافه کردن این برابری ها، a+b2=b+a2 به دست می آید، یعنی ~. این بدان معنی است که رابطه ~ نیز متعدی است و بنابراین یک هم ارزی است. کلاس هم ارزی حاوی یک جفت با نشان داده می شود. بنابراین، یک کلاس هم ارزی را می توان با هر یک از جفت های آن و در همان زمان مشخص کرد
(1)
مجموعه تمام کلاس های هم ارزی را با نشان می دهیم. وظیفه ما این است که نشان دهیم این مجموعه با تعریف مناسب از عملیات جمع و ضرب، تفسیری از سیستم بدیهیات از 2.1 خواهد بود. ما عملیات روی یک مجموعه را با برابری ها تعریف می کنیم:
(2)
(3)
اگر و، یعنی در مجموعه N برابری های a+b(=b+a(, c+d(=a+c() درست باشد، تساوی (a+c)+(b(+d( )=(b +d)+(a(+c())، که به موجب (1) آن را به دست می آوریم. این بدان معنی است که تساوی (2) یک عمل جمع منحصر به فرد را بر روی یک مجموعه، مستقل از انتخاب جفت‌هایی که کلاس‌های در حال اضافه شدن را نشان می‌دهند، به روشی مشابه و منحصر به فرد بودن ضرب کلاس بررسی می‌شود.
از آنجایی که جمع و ضرب کلاس ها به جمع و ضرب جفت ها کاهش می یابد، این عملیات جابجایی، تداعی و ضرب کلاس ها با توجه به جمع توزیعی است. از برابری ها نتیجه می گیریم که کلاس از نظر جمع یک عنصر خنثی است و برای هر کلاس یک کلاس مقابل آن وجود دارد. این بدان معنی است که مجموعه یک حلقه است، یعنی بدیهیات گروه 1 از 2.1 برآورده شده است.
زیر مجموعه ای از یک حلقه را در نظر بگیرید. اگر a(b، سپس توسط (1) و اگر a
در مجموعه ما رابطه باینری را تعریف می کنیم (به شرح زیر است (؛ یعنی یک کلاس توسط یک کلاس دنبال می شود، که در آن x(عددی طبیعی به دنبال x است. کلاس زیر به طور طبیعی با (. مشخص است که یک کلاس از آن پیروی نمی کند. هر کلاس و هر کلاسی که از آن پیروی می کند یک کلاس وجود دارد و علاوه بر این، فقط یکی است.
بیایید نقشه برداری را در نظر بگیریم. بدیهی است که این نگاشت دوطرفه است و شرایط f(0)= , f(x()==(=f(x)() می باشد.به این معنی که نگاشت f یک هم شکلی از جبر است (N;0,() بر روی جبر (;، (). به عبارت دیگر، جبر (;،() تفسیری از سیستم بدیهی Peano است. با شناسایی این جبرهای هم شکل، یعنی با فرض اینکه مجموعه N خود زیرمجموعه ای از حلقه یکسان در برابری های آشکار منجر به برابری های a(c=a+c) می شود که به این معنی است که جمع و ضرب در یک حلقه در زیر مجموعه N با جمع و ضرب اعداد طبیعی منطبق است. بنابراین، رضایتمندی بدیهیات گروه 2 ثابت شده است.
فرض کنید Z0 هر حلقه فرعی حلقه حاوی مجموعه N و باشد. توجه داشته باشید که و بنابراین، . اما از آنجایی که Z0 یک حلقه است، تفاوت این کلاس ها نیز متعلق به حلقه Z0 است. از برابری های -= (= نتیجه می گیریم که (Z0 و بنابراین Z0=. سازگاری سیستم بدیهیات در بند 2.1 ثابت شده است.

2.3. منحصر به فرد بودن سیستم اعداد کامل.

تنها یک سیستم از اعداد صحیح وجود دارد که به طور شهودی درک می شوند. این بدان معنی است که سیستم بدیهی که اعداد صحیح را تعریف می کند باید طبقه بندی شود، یعنی هر دو تفسیر از این سیستم بدیهی باید هم شکل باشد. مقوله ای به این معنی است که تا ایزومورفیسم، تنها یک سیستم از اعداد صحیح وجود دارد. بیایید مطمئن شویم که این واقعاً چنین است.
فرض کنید (Z1;+,(,N) و (Z2;(,(,N)) هر دو تفسیر از سیستم بدیهی بند 2.1 باشد.برای اثبات وجود چنین نگاشت دوطرفه f:Z1®Z2 کافی است. که برای آن اعداد طبیعی ثابت می مانند و به جز برای هر عنصر x و y از حلقه Z1 برابری های زیر برقرار است:
(1)
. (2)
توجه داشته باشید که از N(Z1 و ​​N(Z2)، پس
, a(b=a(b. (3)
اجازه دهید x(Z1 و ​​x=a-b، جایی که a,b(N. اجازه دهید عنصر u=a(b را با این عنصر x=a-b مرتبط کنیم، جایی که (تفریق در حلقه Z2. اگر a-b=c-d، a+d =b+c، از این رو، به موجب (3)، a(d=b(c و، بنابراین، a(b=c(d. این بدان معناست که مطابقت ما به نماینده عنصر x در شکل اختلاف دو عدد طبیعی و بنابراین نگاشت f تعیین می شود: Z1®Z2، f(a-b)=a(b. واضح است که اگر v(Z2 و v=c(d، آنگاه v=f(c-d این به این معنی است که هر عنصر از Z2 یک تصویر زیر نگاشت f است و بنابراین، نگاشت f سوژه است.
اگر x=a-b، y=c-d، جایی که a,b,c,d(N و f(x)=f(y)، آنگاه a(b=c(d. اما سپس a(d=b(d، در نیروی (3) a+d=b+c، یعنی a-b=c-d ثابت کردیم که برابری f(x)=f(y) دلالت بر برابری x=y دارد، یعنی نگاشت f است. تزریقی
اگر a(N، آنگاه a=a-0 و f(a)=f(a-0)=a(0=a. این بدان معناست که اعداد طبیعی تحت نگاشت f ثابت هستند. به علاوه، اگر x=a-b، y=c-d، که در آن a,b,c,d(N، سپس x+y=(a+c)- و f(x+y) = (a+c)((b+d)=(a(c) )((b (d)=(a(b)((c(d)=f(x)+f(y). اعتبار تساوی (1) ثابت شده است. بیایید تساوی (2) را بررسی کنیم. زیرا f( xy)=(ac+bd )((ad+bc)=(a(c(b(d)(a(d(b(c)) و از طرف دیگر f(x)(f(y)=( a(b)((c (d)=(a(c(b(d)((a(d(b(c). این به معنی f(xy)=f(x)(f(y)، که کامل می شود اثبات طبقه بندی سیستم بدیهیات ص 2.1.

2.4. تعریف و ویژگی های سیستم اعداد گویا.

مجموعه Q از اعداد گویا در درک شهودی آنها میدانی است که مجموعه Z از اعداد صحیح یک حلقه فرعی برای آن است. بدیهی است که اگر Q0 یک زیرفیلد از فیلد Q باشد که همه اعداد صحیح را شامل می شود، Q0=Q است. ما از این ویژگی ها به عنوان مبنایی برای تعریف دقیق سیستم اعداد گویا استفاده خواهیم کرد.
تعریف 1. سیستم اعداد گویا یک سیستم جبری (Q;+,(;Z) است که شرایط زیر برای آن برقرار است:
1. سیستم جبری (Q;+،() یک میدان است.
2. حلقه Z از اعداد صحیح، حلقه فرعی فیلد Q است.
3. (شرط حداقلی) اگر زیر فیلد Q0 فیلد Q حاوی زیرحلقه Z باشد، Q0=Q.
به طور خلاصه، سیستم اعداد گویا یک میدان شامل حداقلی است که شامل زیرشاخه ای از اعداد صحیح است. می توان تعریف بدیهی تری از سیستم اعداد گویا ارائه داد.
قضیه. هر عدد گویا x را می توان به عنوان ضریب دو عدد صحیح نشان داد
، جایی که a,b(Z, b(0. (1)
این نمایش مبهم است و جایی که a,b,c,d(Z, b(0, d(0.
اثبات اجازه دهید مجموعه تمام اعداد گویا را که به شکل (1) قابل نمایش هستند با Q0 نشان دهیم. کافی است مطمئن شوید که Q0=Q. اجازه دهید، جایی که a,b,c,d(Z, b(0, d(0. سپس با ویژگی های فیلد داریم: , و برای c(0. این یعنی Q0 با تفریق و تقسیم بر اعداد بسته می شود. از آنجایی که هر عدد صحیح a به شکل قابل نمایش است، Z(Q0. از اینجا به دلیل شرایط حداقلی، Q0=Q نتیجه می شود. قسمت دوم قضیه واضح است.

2.5. وجود سیستمی از اعداد گویا.

سیستم اعداد گویا به عنوان یک میدان حداقلی شامل زیرشاخه ای از اعداد صحیح تعریف می شود. این سؤال به طور طبیعی مطرح می شود: آیا چنین میدانی وجود دارد، یعنی آیا سیستم بدیهیاتی که اعداد گویا را تعریف می کند سازگار است؟ برای اثبات سازگاری، لازم است تفسیری از این سیستم بدیهیات ساخته شود. در این صورت می توان به وجود سیستمی از اعداد صحیح تکیه کرد. هنگام ساخت یک تفسیر، مجموعه Z(Z\(0) را به عنوان نقطه شروع در نظر می گیریم، در این مجموعه دو عملیات جبری باینری تعریف می کنیم.
, (1)
(2)
و رابطه باینری
(3)
مصلحت دقیقاً این تعریف از عملیات و روابط از این واقعیت ناشی می شود که در تفسیری که ما می سازیم، جفت امر خاص را بیان می کند.
به راحتی می توان بررسی کرد که عملیات (1) و (2) جابجایی، ارتباطی و ضرب توزیعی با توجه به جمع هستند. همه این ویژگی ها در برابر ویژگی های مربوط به جمع و ضرب اعداد صحیح آزمایش می شوند. بیایید، برای مثال، ارتباط ضرب جفت را بررسی کنیم: .
به طور مشابه، تأیید می شود که رابطه ~ یک هم ارزی است و بنابراین، مجموعه Z(Z\(0) به کلاس های هم ارزی تقسیم می شود. مجموعه همه کلاس ها را با و کلاس حاوی یک جفت را با نشان می دهیم. ، یک کلاس را می توان با هر یک از جفت های آن نشان داد و با توجه به شرط (3) به دست می آوریم:
. (4)
وظیفه ما این است که عملیات جمع و ضرب را روی یک مجموعه تعریف کنیم تا یک فیلد باشد. ما این عملیات را با برابری ها تعریف می کنیم:
, (5)
(6)
اگر، یعنی ab1=ba1 و، یعنی cd1=dc1، سپس با ضرب این برابری ها، (ac)(b1d1)=(bd)(a1c1) به دست می آید، به این معنی که این ما را متقاعد می کند که برابری (6) در واقع یک عملیات منحصر به فرد را بر روی مجموعه ای از کلاس ها، مستقل از انتخاب نمایندگان در هر کلاس تعریف می کند. منحصر به فرد بودن عملیات (5) به همین ترتیب بررسی می شود.
از آنجایی که جمع و ضرب کلاس ها به جمع و ضرب جفت کاهش می یابد، عملیات (5) و (6) جابجایی، انجمنی و ضرب توزیعی نسبت به جمع است.
از تساوی ها نتیجه می گیریم که کلاس از نظر جمع عناصر خنثی است و برای هر کلاس یک عنصر مقابل آن وجود دارد. به همین ترتیب، از برابری ها چنین بر می آید که یک کلاس یک عنصر خنثی نسبت به ضرب است و برای هر کلاس یک کلاس معکوس وجود دارد. این بدان معناست که با توجه به عملیات (5) و (6) یک میدان است. شرط اول در تعریف بند 2.4 برقرار است.
اجازه دهید در ادامه مجموعه را در نظر بگیریم. به طور مشخص، . مجموعه تحت تفریق و ضرب بسته می شود و بنابراین، زیرشاخه میدان است. واقعا، . اجازه دهید در ادامه نقشه برداری را در نظر بگیریم. سطحی بودن این نقشه برداری آشکار است. اگر f(x)=f(y)، یعنی x(1=y(1 یا x=y. از این رو نگاشت f نیز تزریقی است. علاوه بر این، نگاشت f هم شکلی از یک حلقه در با شناسایی حلقه‌های هم‌شکل، می‌توان فرض کرد که حلقه Z یک حلقه فرعی از میدان است، یعنی شرط 2 در تعریف پاراگراف 2.4 برآورده می‌شود فیلد فرعی و let، پس ضریب این عناصر نیز متعلق به میدان است.

2.6. منحصر به فرد بودن سیستم اعداد گویا.

از آنجایی که در درک شهودی آنها فقط یک سیستم از اعداد گویا وجود دارد، نظریه بدیهی اعداد گویا که در اینجا ارائه می شود، باید مقوله ای باشد. مقوله ای به این معنی است که تا ایزومورفیسم، تنها یک سیستم از اعداد گویا وجود دارد. بیایید نشان دهیم که واقعاً چنین است.
فرض کنید (Q1;+, (; Z) و (Q2; (, (; Z)) هر دو سیستم اعداد گویا باشند. برای اثبات وجود یک نگاشت دوطرفه که تحت آن همه اعداد صحیح ثابت می مانند و بعلاوه کافی است. ، شرایط برقرار است
(1)
(2)
برای هر عنصر x و y از فیلد Q1.
ضریب عناصر a و b در فیلد Q1 و در فیلد Q2 با a:b نشان داده می شود. از آنجایی که Z زیرشاخه ای از هر یک از فیلدهای Q1 و Q2 است، پس برای هر اعداد صحیح a و b برابری درست است.
, . (3)
اجازه دهید و، کجا، . اجازه دهید عنصر y=a:b را از فیلد Q2 با این عنصر x مرتبط کنیم. اگر برابری در فیلد Q1 صادق باشد، در آن صورت، با قضیه 2.4 در حلقه Z برابری ab1=ba1 برقرار است، یا به موجب (3) برابری برقرار است، و سپس با همان قضیه برابری a:b= برقرار است. a1:b1 در فیلد Q2 وجود دارد. به این معنی که با مرتبط کردن عنصر y=a:b از فیلد Q2 با عنصری از فیلد Q1، یک نگاشت تعریف می کنیم.
هر عنصر از فیلد Q2 را می توان به صورت a:b نشان داد، جایی که و بنابراین، تصویر یک عنصر از فیلد Q1 است. این به این معنی است که نگاشت f به صورت سوجکتیو است.
اگر، سپس در فیلد Q1 و سپس. بنابراین، نگاشت f دوگانه است و همه اعداد صحیح ثابت می مانند. باقی می ماند تا صحت برابری های (1) و (2) اثبات شود. اجازه دهید و، که در آن a،b،c،d(Z، b(0، d(0. سپس و، از کجا، به موجب (3) f(x+y)=f(x)(f(y). به طور مشابه، و در کجا.
ایزومورفیسم تفاسیر (Q1;+، (; Z) و (Q2؛ (، (; Z)) ثابت شده است.

پاسخ ها، دستورالعمل ها، راه حل ها.

1.1.1. راه حل. فرض کنید شرط اصل 4 صادق باشد (ویژگی اعداد طبیعی به گونه ای که ((0) و. اجازه دهید. سپس M فرض اصل 4 را برآورده می کند، زیرا ((0)(0(M و. بنابراین M=N، یعنی هر عدد طبیعی دارای خاصیت (. برعکس. فرض کنید برای هر خاصیت (از این واقعیت است که ((0) و از آن نتیجه می شود. فرض کنید M زیر مجموعه ای از N باشد به طوری که 0(M و. M = N. اجازه دهید ویژگی را معرفی کنیم (، با فرض. سپس ((0)، زیرا، و. بنابراین، بنابراین M=N.
1.1.2. پاسخ: گزاره های بدیهیات 1 و 4 Peano درست است. گزاره اصل دوم نادرست است.
1.1.3. پاسخ: گزاره های ۲،۳،۴ بدیهیات پیانو درست است. بیانیه اصل اول نادرست است.
1.1.4. عبارات 1، 2، 3 بدیهیات Peano درست است. گزاره اصل چهارم نادرست است. جهت: ثابت کنید که مجموعه با فرض اصل 4 که بر اساس عملیات اما فرموله شده است را برآورده می کند.
1.1.5. نکته: برای اثبات درستی گزاره اصل 4، زیرمجموعه M از A را در نظر بگیرید که شرایط زیر را داشته باشد: a) 1((M, b) و مجموعه، ثابت کنید و سپس M=A.
1.1.6. گزاره های بدیهیات 1، 2، و 3 Peano درست است. بیانیه اصل چهارم Peano نادرست است.
1.6.1. الف) راه حل: ابتدا ثابت کنید که اگر 1 بامداد. بازگشت. اجازه بده
1.6.2. الف) راه حل: برعکس فرض کنیم. اجازه دهید M مجموعه ای از تمام اعدادی را نشان دهد که دارای خاصیت نیستند (. بر اساس فرض، M((. با قضیه 1، M کوچکترین عنصر n(0) را دارد. هر عدد x
1.8.1. و) از موارد e) و موارد ج استفاده کنید: (a-c)+(c-b)=(a+c)-(c+b)=a-b، بنابراین (a-b)-(c-b)=a-c.
ح) از ملک استفاده کنید.
ک) از مورد ب استفاده کنید.
م) از موارد ب) و موارد h) استفاده کنید.
1.8.2. ج) بنابراین، ما داریم. بنابراین، .
د) داریم. از این رو، .
و) .
1.8.3. الف) اگر (و (و راه حل های مختلف معادله ax2+bx=c هستند، a(2+b(=a(2+b(). از طرف دیگر، اگر مثلاً (b) اجازه دهید (و ( حل های مختلف معادله باشد. اگر (
ج) اجازه دهید (و ( ریشه های مختلف معادله باشد و (>(. سپس 2((-()=(a(2+b)-(a(2+b)=a((-())(( (+( ) بنابراین a((+()=2، اما (+(>2، بنابراین a((+()>2، که غیرممکن است.
1.8.4. الف) x=3; ب) x=y=2. نکته: از آنجایی که و، x=y داریم. ج) x=y(y+2)، y - هر عدد طبیعی. د) x=y=2; ه) x=2، y=1; و) تا جایگشت های x=1، y=2، z=3. راه حل: اجازه دهید، برای مثال، x(y(z. سپس xyz=x+y+z(3z، یعنی xy(3. اگر xy=1، پس x=y=1 و z=2+z، که غیرممکن است. اگر xy=2، آنگاه x=1، y=2، یعنی اگر xy=3، آنگاه x=1، y=3، یعنی z=2 فرض y(z.
1.8.5. ب) اگر x=a، y=b جواب معادله است، ab+b=a، یعنی. a>ab که غیر ممکن است. د) اگر x=a، y=b جواب معادله است، آنگاه b
1.8.6. a) x=ky، که در آن k,y اعداد طبیعی دلخواه هستند و y(1. b) x یک عدد طبیعی دلخواه است، y=1. ج) x یک عدد طبیعی دلخواه است، y=1. د) راه حلی وجود ندارد. ه) x1=1; x2=2; x3=3. ه) x> 5.
1.8.7. الف) اگر a=b، 2ab=a2+b2 است. اجازه دهید، برای مثال، یک

ادبیات

1. Redkov M.I. سیستم های عددی /توصیه های روش شناسی مطالعه درس «سیستم های عددی». قسمت 1.- Omsk: Omsk State Pedagogical Institute, 1984.- 46 p.
2. Ershova T.I. سیستم های عددی / توسعه روش شناختی برای آموزش عملی - Sverdlovsk: SGPI, 1981. - 68 p.