F x 4x 3 6x 2 antiderivada. Integrales para tontos: cómo resolver, reglas de cálculo, explicación

Una de las operaciones de diferenciación es encontrar la derivada (diferencial) y aplicarla al estudio de funciones.

El problema inverso no es menos importante. Si se conoce el comportamiento de una función en las proximidades de cada punto de su definición, entonces ¿cómo se puede reconstruir la función en su conjunto, es decir, en todo el ámbito de su definición. Este problema es objeto de estudio del llamado cálculo integral.

La integración es la acción inversa de la diferenciación. O restaurar la función f(x) a partir de una derivada dada f`(x). La palabra latina “integro” significa restauración.

Ejemplo No. 1.

Sea (f(x))’ = 3x 2. Encontremos f(x).

Solución:

Con base en la regla de diferenciación, no es difícil adivinar que f(x) = x 3, porque

(x 3)’ = 3x 2 Sin embargo, puedes notar fácilmente que f(x) no se encuentra de forma única. Como f(x), puedes tomar f(x)= x 3 +1 f(x)= x 3 +2 f(x)= x 3 -3, etc.

Porque la derivada de cada uno de ellos es 3x 2. (La derivada de una constante es 0). Todas estas funciones se diferencian entre sí por un término constante. Es por eso decisión común el problema se puede escribir en la forma f(x)= x 3 +C, donde C es cualquier número real constante.

Cualquiera de las funciones encontradas f(x) se llama antiderivada para la función F`(x)= 3x 2

Definición.

Una función F(x) se llama antiderivada para una función f(x) en un intervalo dado J si para todo x de este intervalo F`(x)= f(x). Entonces la función F(x)=x 3 es antiderivada para f(x)=3x 2 en (- ∞ ; ∞). Dado que para todo x ~R la igualdad es verdadera: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Como ya hemos notado, esta función tiene un número infinito de antiderivadas.

Ejemplo No. 2.

La función es antiderivada para todos en el intervalo (0; +∞), porque para todo h de este intervalo, se cumple la igualdad.

El problema de la integración es función dada Encuentre todas sus antiderivadas. Al resolver este problema, la siguiente afirmación juega un papel importante:

Un signo de constancia de función. Si F"(x) = 0 en algún intervalo I, entonces la función F es constante en este intervalo.

Prueba.

Fijemos algún x 0 del intervalo I. Luego, para cualquier número x de dicho intervalo, en virtud de la fórmula de Lagrange, podemos indicar un número c contenido entre x y x 0 tal que

F(x) - F(x 0) = F"(c)(x-x 0).

Por condición, F’ (c) = 0, ya que c ∈1, por lo tanto,

F(x) - F(x 0) = 0.

Entonces, para todo x del intervalo I

es decir, la función F mantiene un valor constante.

Todas las funciones antiderivadas f se pueden escribir usando una fórmula, que se llama forma general de antiderivadas de la función F. El siguiente teorema es verdadero ( propiedad principal de las antiderivadas):

Teorema. Cualquier primitiva de una función f en el intervalo I se puede escribir en la forma

F(x) + C, (1) donde F (x) es una de las primitivas de la función f (x) en el intervalo I, y C es una constante arbitraria.

Expliquemos este enunciado, en el que se formulan brevemente dos propiedades de la antiderivada:

1. Cualquiera que sea el número que pongamos en la expresión (1) en lugar de C, obtenemos la primitiva de f en el intervalo I;
2. no importa qué antiderivada F para f en el intervalo I se tome, es posible seleccionar un número C tal que para todo x del intervalo I la igualdad

Prueba.

1. Por condición, la función F es antiderivada para f en el intervalo I. Por lo tanto, F"(x)= f (x) para cualquier x∈1, por lo tanto (F(x) + C)" = F"(x) + C"= f(x)+0=f(x), es decir, F(x) + C es una antiderivada de la función f.
2. Sea Ф (x) una de las antiderivadas de la función f en el mismo intervalo I, es decir, Ф "(x) = f (х) para todo x∈I.

Entonces (Ф(x) - F (x))" = Ф"(x)-F' (x) = f(x)-f(x)=0.

De aquí se sigue c. la potencia del signo de constancia de la función, que la diferencia Ф(х) - F(х) es una función que toma algún valor constante C en el intervalo I.

Por lo tanto, para todo x del intervalo I, la igualdad Ф(x) - F(x)=С es verdadera, lo cual era necesario demostrar. A la propiedad principal de la antiderivada se le puede dar un significado geométrico: Las gráficas de dos primitivas cualesquiera para la función f se obtienen entre sí mediante traslación paralela a lo largo del eje Oy.

Preguntas para notas

La función F(x) es una primitiva de la función f(x). Encuentre F(1) si f(x)=9x2 - 6x + 1 y F(-1) = 2.

Encuentra todas las antiderivadas de la función.

Para la función (x) = cos2 * sin2x, encuentre la primitiva de F(x) si F(0) = 0.

Para una función, encuentre una antiderivada cuya gráfica pase por el punto

Definición de antiderivada.

Una primitiva de una función f(x) en el intervalo (a; b) es una función F(x) tal que la igualdad se cumple para cualquier x del intervalo dado.

Si tenemos en cuenta el hecho de que la derivada de la constante C es igual a cero, entonces la igualdad es verdadera. . Así, la función f(x) tiene un conjunto de antiderivadas F(x)+C, para una constante arbitraria C, y estas antiderivadas difieren entre sí en un valor constante arbitrario.

Definición de integral indefinida.

El conjunto completo de primitivas de la función f(x) se llama integral indefinida de esta función y se denota .

La expresión se llama integrando, y f(x) – función integrando. El integrando representa el diferencial de la función f(x).

La acción de encontrar una función desconocida dada su diferencial se llama incierto integración, porque el resultado de la integración no es una función F(x), sino un conjunto de sus primitivas F(x)+C.

Con base en las propiedades de la derivada, se puede formular y probar. propiedades de la integral indefinida(propiedades de una antiderivada).

Las igualdades intermedias de la primera y segunda propiedades de la integral indefinida se dan para mayor claridad.

Para demostrar la tercera y cuarta propiedades, basta con encontrar las derivadas de los lados derechos de las igualdades:

Estas derivadas son iguales a los integrandos, lo cual es una prueba debida a la primera propiedad. También se utiliza en las últimas transiciones.

Por tanto, el problema de integración es el inverso del problema de diferenciación y existe una conexión muy estrecha entre estos problemas:

• la primera propiedad permite comprobar la integración. Para comprobar la exactitud de la integración realizada, basta con calcular la derivada del resultado obtenido. Si la función obtenida como resultado de la diferenciación resulta ser igual al integrando, esto significará que la integración se realizó correctamente;
• la segunda propiedad de la integral indefinida permite encontrar su primitiva a partir de un diferencial conocido de una función. El cálculo directo de integrales indefinidas se basa en esta propiedad.

Veamos un ejemplo.

Ejemplo.

Encuentra la primitiva de la función cuyo valor es igual a uno en x = 1.

Solución.

Lo sabemos por calculo diferencial, Qué (basta con mirar la tabla de derivadas de la básica funciones elementales). De este modo, . Por la segunda propiedad . Es decir, tenemos muchas antiderivadas. Para x = 1 obtenemos el valor. Según la condición, este valor debe ser igual a uno, por tanto, C = 1. La antiderivada deseada tomará la forma.

Ejemplo.

Encuentra la integral indefinida y comprobar el resultado por diferenciación.

Solución.

Usando la fórmula del seno de doble ángulo de trigonometría , Es por eso

Función antiderivada e integral indefinida

Hecho 1. La integración es la acción inversa de la diferenciación, es decir, restaurar una función a partir de la derivada conocida de esta función. La función así restablecida F(X) se llama antiderivada para función F(X).

Definición 1. Función F(X F(X) en algún intervalo X, si para todos los valores X a partir de este intervalo se cumple la igualdad F "(X)=F(X), es decir, esta función F(X) es la derivada de la función antiderivada F(X). .

Por ejemplo, la función F(X) = pecado X es una antiderivada de la función F(X) = porque X en toda la recta numérica, ya que para cualquier valor de x (pecado X)" = (porque X) .

Definición 2. Integral indefinida de una función F(X) es el conjunto de todas sus antiderivadas. En este caso se utiliza la notación

∫

F(X)dx

,

donde esta la señal ∫ llamada signo integral, la función F(X) – función integrando, y F(X)dx – expresión integrando.

Así, si F(X) – alguna antiderivada para F(X) , Eso

∫

F(X)dx = F(X) +C

Dónde C - constante arbitraria (constante).

Para comprender el significado del conjunto de primitivas de una función como integral indefinida, resulta apropiada la siguiente analogía. Que haya una puerta (puerta tradicional de madera). Su función es “ser una puerta”. ¿De qué está hecha la puerta? Hecho de madera. Esto significa que el conjunto de primitivas del integrando de la función “ser una puerta”, es decir, su integral indefinida, es la función “ser un árbol + C”, donde C es una constante, que en este contexto puede denota, por ejemplo, el tipo de árbol. Así como una puerta se hace de madera usando algunas herramientas, una derivada de una función se “hace” a partir de una función antiderivada usando fórmulas que aprendimos mientras estudiamos la derivada .

Entonces la tabla de funciones de los objetos comunes y sus correspondientes antiderivadas (“ser una puerta” - “ser un árbol”, “ser una cuchara” - “ser metal”, etc.) es similar a la tabla de funciones básicas integrales indefinidas, que se darán a continuación. La tabla de integrales indefinidas enumera funciones comunes con una indicación de las antiderivadas a partir de las cuales se “hacen” estas funciones. En parte de los problemas para encontrar la integral indefinida se dan integrandos que se pueden integrar directamente sin mucho esfuerzo, es decir, usando la tabla de integrales indefinidas. En problemas más complejos, primero se debe transformar el integrando para poder utilizar integrales de tabla.

Hecho 2. Al restaurar una función como antiderivada, debemos tener en cuenta una constante arbitraria (constante) C, y para no escribir una lista de antiderivadas con varias constantes del 1 al infinito, es necesario escribir un conjunto de antiderivadas con una constante arbitraria C, por ejemplo, así: 5 X³+C. Entonces, se incluye una constante arbitraria (constante) en la expresión de la antiderivada, ya que la antiderivada puede ser una función, por ejemplo, 5 X³+4 o 5 X³+3 y cuando se diferencia, 4 o 3, o cualquier otra constante va a cero.

Planteemos el problema de integración: para esta función F(X) encontrar tal función F(X), cuyo derivado igual a F(X).

Ejemplo 1. Encuentra el conjunto de primitivas de una función.

Solución. Para esta función, la antiderivada es la función

Función F(X) se llama antiderivada de la función F(X), si la derivada F(X) es igual a F(X), o, lo que es lo mismo, diferencial F(X) es igual F(X) dx, es decir.

(2)

Por tanto, la función es una primitiva de la función. Sin embargo, no es la única antiderivada de . También cumplen funciones

Dónde CON- Constante arbitraria. Esto se puede verificar mediante diferenciación.

Por lo tanto, si hay una primitiva para una función, entonces para ella hay un número infinito de primitivas que difieren en un término constante. Todas las primitivas de una función se escriben en la forma anterior. Esto se desprende del siguiente teorema.

Teorema (declaración formal de hecho 2). Si F(X) – antiderivada de la función F(X) en algún intervalo X, entonces cualquier otra antiderivada para F(X) en el mismo intervalo se puede representar en la forma F(X) + C, Dónde CON- Constante arbitraria.

En el siguiente ejemplo, pasamos a la tabla de integrales, que se dará en el párrafo 3, después de las propiedades de la integral indefinida. Hacemos esto antes de leer toda la tabla para que quede clara la esencia de lo anterior. Y después de la tabla y las propiedades, las usaremos en su totalidad durante la integración.

Ejemplo 2. encontrar conjuntos funciones antiderivadas:

Solución. Encontramos conjuntos de funciones antiderivadas a partir de las cuales se “hacen” estas funciones. Cuando mencione fórmulas de la tabla de integrales, por ahora acepte que existen tales fórmulas y estudiaremos la tabla de integrales indefinidas un poco más.

1) Aplicando la fórmula (7) de la tabla de integrales para norte= 3, obtenemos

2) Usando la fórmula (10) de la tabla de integrales para norte= 1/3, tenemos

3) Desde

luego de acuerdo con la fórmula (7) con norte= -1/4 encontramos

No es la función en sí la que está escrita bajo el signo integral. F, y su producto por el diferencial dx. Esto se hace principalmente para indicar con qué variable se busca la antiderivada. Por ejemplo,

, ;

aquí en ambos casos el integrando es igual a , pero sus integrales indefinidas en los casos considerados resultan diferentes. En el primer caso, esta función se considera como función de la variable X, y en el segundo - en función de z .

El proceso de encontrar la integral indefinida de una función se llama integrar esa función.

Significado geométrico de la integral indefinida.

Supongamos que necesitamos encontrar una curva y=F(x) y ya sabemos que la tangente del ángulo tangente en cada uno de sus puntos es una función dada f(x) abscisa de este punto.

Según el significado geométrico de la derivada, la tangente del ángulo de inclinación de la tangente en un punto dado de la curva. y=F(x) igual al valor de la derivada F"(x). Entonces necesitamos encontrar tal función. F(x), para cual F"(x)=f(x). Función requerida en la tarea. F(x) es una antiderivada de f(x). Las condiciones del problema no se satisfacen con una curva, sino con una familia de curvas. y=F(x)- una de estas curvas, y cualquier otra curva se puede obtener a partir de ella mediante traslación paralela a lo largo del eje Oye.

Llamemos a la gráfica de la función antiderivada de f(x) curva integral. Si F"(x)=f(x), entonces la gráfica de la función y=F(x) hay una curva integral.

Hecho 3. La integral indefinida está representada geométricamente por la familia de todas las curvas integrales. , como en la imagen de abajo. La distancia de cada curva desde el origen de coordenadas está determinada por una constante de integración arbitraria. C.

Propiedades de la integral indefinida

Hecho 4. Teorema 1. La derivada de una integral indefinida es igual al integrando y su diferencial es igual al integrando.

Hecho 5. Teorema 2. Integral indefinida del diferencial de una función F(X) es igual a la función F(X) hasta un término constante , es decir.

(3)

Los teoremas 1 y 2 muestran que la diferenciación y la integración son operaciones mutuamente inversas.

Hecho 6. Teorema 3. El factor constante en el integrando se puede sacar del signo de la integral indefinida , es decir.

Tabla de antiderivadas

Definición. La función F(x) en un intervalo dado se llama antiderivada para la función f(x), para todo x de este intervalo, si F"(x)=f(x) .

La operación de encontrar una primitiva para una función se llama integración. Es la inversa de la operación de diferenciación.

Teorema. Toda función (x) continua en un intervalo tiene una primitiva en el mismo intervalo.

Teorema (la propiedad principal de la antiderivada). Si en algún intervalo la función F(x) es una primitiva de la función f(x), entonces en este intervalo la función F(x)+C también será una primitiva de f(x), donde C es una constante arbitraria .

De este teorema se deduce que cuando f(x) tiene una función antiderivada F(x) en un intervalo dado, entonces hay muchas de estas primitivas. Dando C arbitraria valores numéricos, cada vez obtendremos una función antiderivada.

Para encontrar antiderivadas use tabla de antiderivadas. Se obtiene de la tabla de derivadas.

El concepto de integral indefinida.

Definición. El conjunto de todas las funciones primitivas para la función f(x) se llama integral indefinida y es designado.

En este caso f(x) se llama función integrando, y f(x) dx - integrando.

Por lo tanto, si F(x) es antiderivada de f(x) entonces .

Propiedades de la integral indefinida

El concepto de integral definida.

Considere una figura plana, limitado por horario continuo y no negativo en el intervalo [a; b] función f(x), segmento [a; b] , y rectas x=a y x=b .

La figura resultante se llama trapecio curvo. Calculemos su área.

Para ello dividimos el segmento [a; b] en n segmentos iguales. Las longitudes de cada segmento son iguales a Δx.

Este es un dibujo dinámico de GeoGebra.
Los elementos rojos se pueden cambiar.

Arroz. 1. El concepto de integral definida

En cada segmento construiremos rectángulos con alturas f(x k-1) (Fig. 1).

El área de cada uno de esos rectángulos es igual a S k = f(x k-1)Δx k.

El área de todos esos rectángulos es igual a .

Esta cantidad se llama suma integral para la función f(x) .

Si n→∞ entonces el área de la figura construida de esta manera diferirá cada vez menos del área del trapecio curvilíneo.

Definición. El límite de la suma integral cuando n→∞ se llama integral definida, y está escrito así: .

lee: "integral de a a b f de xdx"

El número a se llama límite inferior de integración, b es el límite superior de integración, el segmento [a; b] – intervalo de integración.

Propiedades de una integral definida

Fórmula de Newton-Leibniz

La integral definida está estrechamente relacionada con la integral antiderivada y la integral indefinida. Fórmula de Newton-Leibniz

.

Usando la integral

El cálculo integral se utiliza ampliamente para resolver una variedad de problemas prácticos. Veamos algunos de ellos.

Cálculo de volúmenes de cuerpos.

Sea una función que especifique el área de la sección transversal del cuerpo dependiendo de alguna variable S = s(x), x[a; b] . Entonces el volumen de un cuerpo dado se puede encontrar integrando esta función dentro de límites apropiados.
Si nos dan un cuerpo que se obtiene girando un trapezoide curvilíneo alrededor del eje Ox limitado por alguna función f(x), x [a; b] . (Fig. 3). Luego, las áreas de la sección transversal se pueden calcular utilizando la conocida fórmula S = π f 2 (x). Por lo tanto, la fórmula para el volumen de tal cuerpo de revolución es

Anteriormente, dada una función determinada, guiándonos por varias fórmulas y reglas, encontramos su derivada. La derivada tiene numerosos usos: es la velocidad de movimiento (o, más generalmente, la velocidad de cualquier proceso); pendiente tangente a la gráfica de una función; utilizando la derivada, puedes examinar la función en busca de monotonicidad y extremos; Ayuda a resolver problemas de optimización.

Pero junto con el problema de encontrar la velocidad según una ley de movimiento conocida, también existe un problema inverso: el problema de restaurar la ley del movimiento según una velocidad conocida. Consideremos uno de estos problemas.

Ejemplo 1. Un punto material se mueve en línea recta, la velocidad de su movimiento en el tiempo t viene dada por la fórmula v=gt. Encuentra la ley del movimiento.
Solución. Sea s = s(t) la ley de movimiento deseada. Se sabe que s"(t) = v(t). Esto significa que para resolver el problema es necesario seleccionar una función s = s(t), cuya derivada sea igual a gt. No es difícil adivinar que \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2)\).
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Respuesta: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

Observemos inmediatamente que el ejemplo se resuelve correctamente, pero de forma incompleta. Obtuvimos \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). De hecho, el problema tiene infinitas soluciones: cualquier función de la forma \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), donde C es una constante arbitraria, puede servir como ley de movimiento, ya que \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)

Para hacer el problema más específico, tuvimos que arreglar la situación inicial: indicar la coordenada de un punto en movimiento en algún momento, por ejemplo en t = 0. Si, digamos, s(0) = s 0, entonces a partir del igualdad s(t) = (gt 2)/2 + C obtenemos: s(0) = 0 + C, es decir C = s 0. Ahora la ley del movimiento está definida de forma única: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

En matemáticas, las operaciones mutuamente inversas reciben diferentes nombres y se inventan notaciones especiales, por ejemplo: elevar al cuadrado (x 2) y extraer raíz cuadrada(\(\sqrt(x) \)), seno (sin x) y arcoseno (arcsin x), etc. El proceso de encontrar la derivada de una función dada se llama diferenciación, y la operación inversa, es decir, el proceso de encontrar una función a partir de una derivada dada, es integración.

El propio término “derivada” puede justificarse “en términos cotidianos”: la función y = f(x) “da origen” a una nueva función y" = f"(x). La función y = f(x) actúa como “padre”, pero los matemáticos, naturalmente, no la llaman “padre” o “productor”; dicen que lo es, en relación con la función y" = f"(; x), imagen primaria o primitiva.

Definición. La función y = F(x) se llama antiderivada para la función y = f(x) en el intervalo X si la igualdad F"(x) = f(x) se cumple para \(x \in X\)

En la práctica, el intervalo X no suele especificarse, pero está implícito (como dominio natural de definición de la función).

Pongamos ejemplos.
1) La función y = x 2 es antiderivada para la función y = 2x, ya que para cualquier x la igualdad (x 2)" = 2x es verdadera
2) La función y = x 3 es antiderivada para la función y = 3x 2, ya que para cualquier x la igualdad (x 3)" = 3x 2 es cierta
3) La función y = sin(x) es antiderivada para la función y = cos(x), ya que para cualquier x la igualdad (sin(x))" = cos(x) es cierta

Al encontrar antiderivadas, así como derivadas, no solo se utilizan fórmulas, sino también algunas reglas. Están directamente relacionados con las reglas correspondientes para el cálculo de derivados.

Sabemos que la derivada de una suma es igual a la suma de sus derivadas. Esta regla genera la regla correspondiente para encontrar antiderivadas.

Regla 1. La antiderivada de una suma es igual a la suma de las antiderivadas.

Sabemos que el factor constante se puede quitar del signo de la derivada. Esta regla genera la regla correspondiente para encontrar antiderivadas.

Regla 2. Si F(x) es una antiderivada de f(x), entonces kF(x) es una antiderivada de kf(x).

Teorema 1. Si y = F(x) es una primitiva de la función y = f(x), entonces la primitiva de la función y = f(kx + m) es la función \(y=\frac(1)(k)F (kx+m)\)

Teorema 2. Si y = F(x) es una primitiva de la función y = f(x) en el intervalo X, entonces la función y = f(x) tiene infinitas primitivas, y todas tienen la forma y = F(x) + C.

Métodos de integración

Método de reemplazo de variables (método de sustitución)

El método de integración por sustitución implica introducir una nueva variable de integración (es decir, sustitución). En este caso, la integral dada se reduce a una nueva integral, que es tabular o reducible a ella. Métodos comunes no hay selección de sustituciones. La capacidad de determinar correctamente la sustitución se adquiere mediante la práctica.
Sea necesario calcular la integral \(\textstyle \int F(x)dx \). Hagamos la sustitución \(x= \varphi(t) \) donde \(\varphi(t) \) es una función que tiene una derivada continua.
Entonces \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) y con base en la propiedad de invariancia de la fórmula de integración para la integral indefinida, obtenemos la fórmula de integración por sustitución:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

Integración de expresiones de la forma \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)

Si m es impar, m > 0, entonces es más conveniente hacer la sustitución sen x = t.
Si n es impar, n > 0, entonces es más conveniente hacer la sustitución cos x = t.
Si n y m son pares, entonces es más conveniente realizar la sustitución tg x = t.

Integración por partes

Integración por partes - aplicando la siguiente fórmula de integración:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
o:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Tabla de integrales indefinidas (antiderivadas) de algunas funciones

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C\;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch )x+C$$