Encuentra el conjunto de todas las antiderivadas. Una función F(x) se llama antiderivada de una función f(x) si F`(x)=f(x) o dF(x)=f(x)dx

Antiderivada

Definición de una función antiderivada

• Función y=F(x) se llama antiderivada de la función y=f(x) en un intervalo dado X, si para todos X ∈X la igualdad se cumple: F′(x) = f(x)

Se puede leer de dos maneras:

1. F derivada de una función F
2. F antiderivada de una función F

Propiedad de las antiderivadas

• Si F(x)- antiderivada de una función f(x) en un intervalo dado, entonces la función f(x) tiene infinitas primitivas, y todas estas primitivas se pueden escribir en la forma F(x) + C, donde C es una constante arbitraria.

Interpretación geométrica

• Gráficas de todas las antiderivadas de una función dada. f(x) se obtienen de la gráfica de cualquier primitiva mediante traslaciones paralelas a lo largo del eje O en.

Reglas para calcular antiderivadas.

1. La antiderivada de la suma es igual a la suma de las antiderivadas.. Si F(x)- antiderivada para f(x), y G(x) es una antiderivada de gramo(x), Eso F(x) + G(x)- antiderivada para f(x) + g(x).
2. El factor constante se puede sacar del signo de la derivada.. Si F(x)- antiderivada para f(x), Y k- constante, entonces k·F(x)- antiderivada para kf(x).
3. Si F(x)- antiderivada para f(x), Y k, b- constante, y k ≠ 0, Eso 1/k F(kx + b)- antiderivada para f(kx+b).

¡Recordar!

Cualquier función F(x) = x2 + C , donde C es una constante arbitraria y solo dicha función es una antiderivada de la función f(x) = 2x.

• Por ejemplo:

  F"(x) = (x 2 + 1)" = 2x = f(x);

  f(x) = 2x, porque F"(x) = (x 2 – 1)" = 2x = f(x);

  f(x) = 2x, porque F"(x) = (x 2 –3)" = 2x = f(x);

Relación entre las gráficas de una función y su antiderivada:

1. Si la gráfica de una función f(x)>0 F(x) aumenta durante este intervalo.
2. Si la gráfica de una función f(x)<0 en el intervalo, entonces la gráfica de su primitiva F(x) disminuye durante este intervalo.
3. Si f(x)=0, entonces la gráfica de su primitiva F(x) en este punto cambia de creciente a decreciente (o viceversa).

Para denotar la primitiva se utiliza el signo de la integral indefinida, es decir, la integral sin indicar los límites de integración.

Integral indefinida

Definición:

• La integral indefinida de la función f(x) es la expresión F(x) + C, es decir, el conjunto de todas las primitivas de una función dada f(x). La integral indefinida se denota de la siguiente manera: \int f(x) dx = F(x) + C

• f(x)- llamada función integrando;
• f(x)dx- llamado integrando;
• X- llamada variable de integración;
• F(x)- una de las primitivas de la función f(x);
• CON- Constante arbitraria.

Propiedades de la integral indefinida

1. La derivada de la integral indefinida es igual al integrando: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
2. El factor constante del integrando se puede sacar del signo integral: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
3. La integral de la suma (diferencia) de funciones es igual a la suma (diferencia) de las integrales de estas funciones: \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
4. Si k, b son constantes, y k ≠ 0, entonces \int f(kx + b) dx = \frac(1)(k) \cdot F(kx + b) + C.

Tabla de antiderivadas e integrales indefinidas

Función f(x)	Antiderivada F(x) + C	Integrales indefinidas \int f(x) dx = F(x) + C
0	C	\int 0 dx = C
f(x) = k	F(x) = kx + C	\int kdx = kx + C
f(x) = x^m, m\no =-1	F(x) = \frac(x^(m+1))(m+1) + C	\int x(^m)dx = \frac(x^(m+1))(m+1) + C
f(x) = \frac(1)(x)	F(x) = l n \lvert x \rvert + C	\int \frac(dx)(x) = l n \lvert x \rvert + C
f(x) = e^x	F(x) = e^x + C	\int e(^x)dx = e^x + C
f(x) = a^x	F(x) = \frac(a^x)(l na) + C	\int a(^x )dx = \frac(a^x)(l na) + C
f(x) = \sin x	F(x) = -\cos x + C	\int \sin x dx = -\cos x + C
f(x) = \cosx	F(x) =\sin x + C	\int \cos x dx = \sin x + C
f(x) = \frac(1)(\sin (^2) x)	F(x) = -\ctg x + C	\int \frac (dx)(\sin (^2) x) = -\ctg x + C
f(x) = \frac(1)(\cos (^2) x)	F(x) = \tg x + C	\int \frac(dx)(\sin (^2) x) = \tg x + C
f(x) = \sqrt(x)	F(x) =\frac(2x \sqrt(x))(3) + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(x))	F(x) =2\sqrt(x) + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(1-x^2))	F(x)=\arcsin x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1-x^2))=\arcsin x + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(1+x^2))	F(x)=\arctg x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1+x^2))=\arctg x + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2-x^2))	F(x)=\arcsen\frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2-x^2)) =\arcsin \frac (x)(a)+ C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2+x^2))	F(x)=\arctg \frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2+x^2)) = \frac (1)(a) \arctg \frac (x)(a)+ C
f(x) =\frac(1)( 1+x^2)	F(x)=\arctg + C	\int \frac(dx)( 1+x^2)=\arctg + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(x^2-a^2)) (a \not= 0)	F(x)=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C	\int \frac(dx)( \sqrt(x^2-a^2))=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C
f(x)=\tg x	F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C	\int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C
f(x)=\ctgx	F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C	\int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\sin x)	F(x)= l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C	\int \frac (dx)(\sin x) = l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\cos x)	F(x)= l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C	\int \frac (dx)(\cos x) = l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C

Fórmula de Newton-Leibniz

Dejar f(x) esta función F su antiderivada arbitraria.

\int_(a)^(b) f(x) dx =F(x)|_(a)^(b)= F(b) - F(a)

Dónde F(x)- antiderivada para f(x)

Es decir, la integral de la función. f(x) en un intervalo es igual a la diferencia de antiderivadas en los puntos b Y a.

Área de un trapecio curvo

trapezoide curvilíneo es una figura acotada por la gráfica de una función que es no negativa y continua en un intervalo F, Eje buey y rectas x = un Y x = segundo.

El área de un trapecio curvo se encuentra mediante la fórmula de Newton-Leibniz:

S= \int_(a)^(b) f(x)dx

Hemos visto que la derivada tiene numerosos usos: la derivada es la velocidad del movimiento (o, más generalmente, la velocidad de cualquier proceso); derivada es pendiente tangente a la gráfica de una función; utilizando la derivada, puedes examinar una función para determinar su monotonicidad y sus extremos; la derivada ayuda a resolver problemas de optimización.

Pero en la vida real también tenemos que resolver problemas inversos: por ejemplo, junto con el problema de encontrar la velocidad según una ley de movimiento conocida, también nos encontramos con el problema de restaurar la ley del movimiento según una velocidad conocida. Consideremos uno de estos problemas.

Ejemplo 1. Un punto material se mueve en línea recta, su velocidad en el tiempo t viene dada por la fórmula u = tg. Encuentra la ley del movimiento.

Solución. Sea s = s(t) la ley de movimiento deseada. Se sabe que s"(t) = u"(t). Esto significa que para resolver el problema necesitas elegir. función s = s(t), cuya derivada es igual a tg. No es difícil adivinar que

Observemos inmediatamente que el ejemplo se resuelve correctamente, pero de forma incompleta. Encontramos que, de hecho, el problema tiene infinitas soluciones: cualquier función de la forma una constante arbitraria puede servir como ley del movimiento, ya que

Para hacer la tarea más específica, necesitábamos arreglar la situación inicial: indicar la coordenada de un punto en movimiento en algún momento, por ejemplo, en t=0. Si, digamos, s(0) = s 0, entonces de la igualdad obtenemos s(0) = 0 + C, es decir, S 0 = C. Ahora la ley del movimiento está definida de forma única:
En matemáticas, las operaciones mutuamente inversas reciben diferentes nombres y se inventan notaciones especiales: por ejemplo, elevar al cuadrado (x 2) y extraer raíz cuadrada seno(senх) y arcoseno(arcosen x), etc. El proceso de encontrar la derivada con respecto a función dada se llama diferenciación, y la operación inversa, es decir el proceso de encontrar una función a partir de una derivada dada: integración.
El término "derivada" en sí puede justificarse "en la vida cotidiana": la función y - f(x) "da origen" a una nueva función y"= f"(x). La función y = f(x) actúa como. un “padre”, pero los matemáticos, naturalmente, no lo llaman “padre” o “productor” dicen que éste, en relación con la función y"=f"(x), es la imagen primaria, o, en En resumen, la antiderivada.

Definición 1. La función y = F(x) se llama antiderivada para la función y = f(x) en un intervalo dado X si para todo x de X se cumple la igualdad F"(x)=f(x).

En la práctica, el intervalo X no suele especificarse, pero está implícito (como dominio natural de definición de la función).

Aquí hay unos ejemplos:

1) La función y = x 2 es antiderivada para la función y = 2x, ya que para todo x la igualdad (x 2)" = 2x es verdadera.
2) la función y - x 3 es antiderivada para la función y-3x 2, ya que para todo x la igualdad (x 3)" = 3x 2 es verdadera.
3) La función y-sinх es antiderivada para la función y = cosx, ya que para todo x la igualdad (senx)" = cosx es cierta.
4) La función es antiderivada para una función en el intervalo ya que para todo x > 0 la igualdad es verdadera
En general, conociendo las fórmulas para encontrar derivadas, no es difícil compilar una tabla de fórmulas para encontrar antiderivadas.

Esperamos que entiendas cómo está compilada esta tabla: la derivada de la función, que está escrita en la segunda columna, es igual a la función que está escrita en la fila correspondiente de la primera columna (compruébalo, no seas perezoso, es muy útil). Por ejemplo, para la función y = x 5 la antiderivada, como establecerás, es la función (ver la cuarta fila de la tabla).

Notas: 1. A continuación demostraremos el teorema de que si y = F(x) es una antiderivada de la función y = f(x), entonces la función y = f(x) tiene infinitas antiderivadas y todas tienen la forma y = F(x ) + C. Por lo tanto, sería más correcto agregar el término C en todas partes de la segunda columna de la tabla, donde C es un número real arbitrario.
2. En aras de la brevedad, a veces en lugar de la frase “la función y = F(x) es una antiderivada de la función y = f(x)”, dicen que F(x) es una antiderivada de f(x) .”

2. Reglas para encontrar antiderivadas

Al encontrar antiderivadas, así como al encontrar derivadas, no solo se utilizan fórmulas (se enumeran en la tabla de la página 196), sino también algunas reglas. Están directamente relacionados con las reglas correspondientes para el cálculo de derivados.

Sabemos que la derivada de una suma es igual a la suma de sus derivadas. Esta regla genera la regla correspondiente para encontrar antiderivadas.

Regla 1. La antiderivada de una suma es igual a la suma de las antiderivadas.

Llamamos su atención sobre la cierta “ligereza” de esta formulación. De hecho, habría que formular el teorema: si las funciones y = f(x) e y = g(x) tienen antiderivadas en el intervalo X, respectivamente y-F(x) e y-G(x), entonces la suma de las funciones y = f(x)+g(x) tiene una antiderivada en el intervalo X, y esta antiderivada es la función y = F(x)+G(x). Pero normalmente, al formular reglas (y no teoremas), dejan sólo palabras clave- esto hace que sea más conveniente aplicar la regla en la práctica

Ejemplo 2. Encuentra la primitiva de la función y = 2x + cos x.

Solución. La primitiva de 2x es x"; la primitiva de cox es sen x. Esto significa que la primitiva de la función y = 2x + cos x será la función y = x 2 + sen x (y en general cualquier función de la forma Y = x 1 + senx + C).
Sabemos que el factor constante se puede quitar del signo de la derivada. Esta regla genera la regla correspondiente para encontrar antiderivadas.

Regla 2. El factor constante se puede quitar del signo de la primitiva.

Ejemplo 3.

Solución. a) La primitiva de sen x es -soz x; Esto significa que para la función y = 5 sen x la función antiderivada será la función y = -5 cos x.

b) La primitiva de cos x es sen x; Esto significa que la primitiva de una función es la función.
c) La primitiva de x 3 es la primitiva de x, la primitiva de la función y = 1 es la función y = x. Usando la primera y segunda reglas para encontrar antiderivadas, encontramos que la antiderivada de la función y = 12x 3 + 8x-1 es la función
Comentario. Como se sabe, la derivada de un producto no es igual al producto de derivadas (la regla para diferenciar un producto es más compleja) y la derivada de un cociente no es igual al cociente de derivadas. Por tanto, no existen reglas para encontrar la antiderivada del producto o la antiderivada del cociente de dos funciones. ¡Ten cuidado!
Obtengamos otra regla para encontrar antiderivadas. Sabemos que la derivada de la función y = f(kx+m) se calcula mediante la fórmula

Esta regla genera la regla correspondiente para encontrar antiderivadas.
Regla 3. Si y = F(x) es una primitiva de la función y = f(x), entonces la primitiva de la función y=f(kx+m) es la función

En efecto,

Esto significa que es una antiderivada de la función y = f(kx+m).
El significado de la tercera regla es el siguiente. Si sabes que la primitiva de la función y = f(x) es la función y = F(x), y necesitas encontrar la primitiva de la función y = f(kx+m), entonces procede así: toma la misma función F, pero en lugar del argumento x, sustituye la expresión kx+m; Además, no olvide escribir “factor de corrección” antes del signo de función.
Ejemplo 4. Encuentre antiderivadas para funciones dadas:

Solución, a) La antiderivada de sen x es -soz x; Esto significa que para la función y = sin2x la antiderivada será la función
b) La primitiva de cos x es sen x; Esto significa que la primitiva de una función es la función

c) La antiderivada para x 7 significa que para la función y = (4-5x) 7 la antiderivada será la función

3. Integral indefinida

Ya hemos señalado anteriormente que el problema de encontrar una antiderivada para una función dada y = f(x) tiene más de una solución. Analicemos este tema con más detalle.

Prueba. 1. Sea y = F(x) la antiderivada de la función y = f(x) en el intervalo X. Esto significa que para todo x de X se cumple la igualdad x"(x) = f(x). encuentre la derivada de cualquier función de la forma y = F(x)+C:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).

Entonces, (F(x)+C) = f(x). Esto significa que y = F(x) + C es una antiderivada de la función y = f(x).
Así, hemos demostrado que si la función y = f(x) tiene una primitiva y=F(x), entonces la función (f = f(x) tiene infinitas primitivas, por ejemplo, cualquier función de la forma y = F(x) +C es una antiderivada.
2. Demostremos ahora que el tipo de funciones indicado agota todo el conjunto de antiderivadas.

Sean y=F 1 (x) e y=F(x) dos antiderivadas de la función Y = f(x) en el intervalo X. Esto significa que para todo x del intervalo X se cumplen las siguientes relaciones: F^ ( x) = f (X); F"(x) = f(x).

Consideremos la función y = F 1 (x) -.F(x) y encontremos su derivada: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x ) - f(x) = 0.
Se sabe que si la derivada de una función en un intervalo X es idénticamente igual a cero, entonces la función es constante en el intervalo X (ver Teorema 3 del § 35). Esto significa que F 1 (x) - F (x) = C, es decir Fx) = F(x)+C.

El teorema ha sido demostrado.

Ejemplo 5. La ley del cambio de velocidad con el tiempo está dada: v = -5sin2t. Encuentre la ley del movimiento s = s(t), si se sabe que en el momento t=0 la coordenada del punto era igual al número 1,5 (es decir, s(t) = 1,5).

Solución. Dado que la velocidad es una derivada de la coordenada en función del tiempo, primero necesitamos encontrar la antiderivada de la velocidad, es decir antiderivada de la función v = -5sin2t. Una de esas antiderivadas es la función , y el conjunto de todas las antiderivadas tiene la forma:

Para encontrar el valor específico de la constante C, usamos condiciones iniciales, según el cual, s(0) = 1,5. Sustituyendo los valores t=0, S = 1,5 en la fórmula (1), obtenemos:

Sustituyendo el valor encontrado de C en la fórmula (1), obtenemos la ley del movimiento que nos interesa:

Definición 2. Si una función y = f(x) tiene una primitiva y = F(x) en un intervalo X, entonces el conjunto de todas las primitivas, es decir el conjunto de funciones de la forma y = F(x) + C se llama integral indefinida de la función y = f(x) y se denota por:

(léase: “integral indefinida ef de x de x”).
En el siguiente párrafo descubriremos qué es Significado oculto la designación indicada.
A partir de la tabla de antiderivadas disponible en esta sección, elaboraremos una tabla de las principales integrales indefinidas:

Con base en las tres reglas anteriores para encontrar antiderivadas, podemos formular las reglas de integración correspondientes.

Regla 1. La integral de la suma de funciones es igual a la suma de las integrales de estas funciones:

Regla 2. El factor constante se puede sacar del signo integral:

Regla 3. Si

Ejemplo 6. Encuentra integrales indefinidas:

Solución, a) Utilizando la primera y segunda reglas de integración, obtenemos:

Ahora usemos la tercera y cuarta fórmulas de integración:

Como resultado obtenemos:

b) Utilizando la tercera regla de integración y la fórmula 8, obtenemos:

c) Para encontrar directamente una integral dada, no tenemos ni la fórmula correspondiente ni la regla correspondiente. En tales casos, a veces ayudan las transformaciones idénticas realizadas previamente de la expresión contenida bajo el signo integral.

Usemos la fórmula trigonométrica para reducir el grado:

Luego encontramos secuencialmente:

A.G. Álgebra de Mordkovich décimo grado

Planificación temática del calendario en matemáticas, video en matemáticas en línea, Matemáticas en la escuela

Hay tres reglas básicas para encontrar funciones antiderivadas. Son muy similares a las reglas de diferenciación correspondientes.

Regla 1

Si F es una primitiva de alguna función f, y G es una primitiva de alguna función g, entonces F + G será una primitiva de f + g.

Por definición de antiderivada, F’ = f. G' = g. Y dado que se cumplen estas condiciones, entonces de acuerdo con la regla para calcular la derivada de la suma de funciones tendremos:

(F + G)’ = F’ + G’ = f + g.

Regla 2

Si F es una primitiva de alguna función f, y k es alguna constante. Entonces k*F es la antiderivada de la función k*f. Esta regla se deriva de la regla para calcular la derivada de una función compleja.

Tenemos: (k*F)’ = k*F’ = k*f.

Regla 3

Si F(x) es una primitiva de la función f(x), y k y b son algunas constantes, y k no es igual a cero, entonces (1/k)*F*(k*x+b) será una antiderivada de la función f (k*x+b).

Esta regla se deriva de la regla para calcular la derivada de una función compleja:

((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b).

Veamos algunos ejemplos de cómo se aplican estas reglas:

Ejemplo 1. Encuentra la forma general de las primitivas de la función f(x) = x^3 +1/x^2. Para la función x^3 una de las antiderivadas será la función (x^4)/4, y para la función 1/x^2 una de las antiderivadas será la función -1/x. Usando la primera regla tenemos:

F(x) = x^4/4 - 1/x +C.

Ejemplo 2. Encontremos la forma general de las antiderivadas de la función f(x) = 5*cos(x). Para la función cos(x), una de las primitivas será la función sin(x). Si aplicamos ahora la segunda regla tendremos:

F(x) = 5*sen(x).

Ejemplo 3. Encuentra una de las primitivas de la función y = sin(3*x-2). Para la función sin(x) una de las primitivas será la función -cos(x). Si aplicamos ahora la tercera regla, obtenemos una expresión para la antiderivada:

F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)

Ejemplo 4. Encuentre la primitiva de la función f(x) = 1/(7-3*x)^5

La primitiva de la función 1/x^5 será la función (-1/(4*x^4)). Ahora, usando la tercera regla, obtenemos.

Para cada operacion matematica hay un efecto contrario. Para la acción de diferenciación (encontrar derivadas de funciones), también existe una acción inversa: la integración. Mediante la integración, una función se encuentra (reconstruye) a partir de su derivada o diferencial dada. La función encontrada se llama antiderivada.

Definición. función diferenciable F(x) se llama antiderivada de la función f(x) en un intervalo dado, si para todos X a partir de este intervalo se cumple la siguiente igualdad: F′(x)=f (x).

Ejemplos. Encuentre antiderivadas para las funciones: 1) f (x)=2x; 2) f(x)=3cos3x.

1) Dado que (x²)′=2x, entonces, por definición, la función F (x)=x² será una antiderivada de la función f (x)=2x.

2) (sin3x)′=3cos3x. Si denotamos f (x)=3cos3x y F (x)=sin3x, entonces, por definición de primitiva, tenemos: F′(x)=f (x), y, por tanto, F (x)=sin3x es una antiderivada para f (x)=3cos3x.

Tenga en cuenta que (sen3x +5 )′= 3cos3x, y (sen3x -8,2 )′= 3cos3x, ... V vista general se puede escribir: (sen3x +C)′= 3cos3x, Dónde CON- algún valor constante. Estos ejemplos indican la ambigüedad de la acción de integración, en contraste con la acción de diferenciación, cuando cualquier función diferenciable tiene una única derivada.

Definición. Si la función F(x) es una antiderivada de la función f(x) en un cierto intervalo, entonces el conjunto de todas las primitivas de esta función tiene la forma:

F(x)+C, donde C es cualquier número real.

El conjunto de todas las primitivas F (x) + C de la función f (x) en el intervalo considerado se llama integral indefinida y se denota con el símbolo ∫ (signo integral). Anote: ∫f (x) dx=F (x)+C.

Expresión ∫f(x)dx léase: “ef integral de x a de x”.

f(x)dx- expresión integrando,

f(x)— función integrando,

X es la variable de integración.

F(x)- antiderivada de una función f(x),

CON- algún valor constante.

Ahora los ejemplos considerados se pueden escribir de la siguiente manera:

1) ∫ 2xdx=x²+C. 2) ∫ 3cos3xdx=sin3x+C.

¿Qué significa el signo d?

d- signo diferencial: tiene un doble propósito: en primer lugar, este signo separa el integrando de la variable de integración; en segundo lugar, todo lo que viene después de este signo se diferencia por defecto y se multiplica por el integrando.

Ejemplos. Encuentra las integrales: 3) ∫ 2pxdx; 4) ∫ 2pxdp.

3) Después del icono diferencial d costos XX, A R

∫ 2хрdx=рх²+С. Comparar con el ejemplo 1).

Hagamos un control. F′(x)=(px²+C)′=p·(x²)′+C′=p·2x=2px=f (x).

4) Después del icono diferencial d costos R. Esto significa que la variable de integración R, y el multiplicador X debe considerarse un valor constante.

∫ 2хрдр=р²х+С. Comparar con ejemplos 1) Y 3).

Hagamos un control. F′(p)=(p²x+C)′=x·(p²)′+C′=x·2p=2px=f (p).

Anteriormente, dada una función determinada, guiándonos por varias fórmulas y reglas, encontramos su derivada. La derivada tiene numerosos usos: es la velocidad de movimiento (o, más generalmente, la velocidad de cualquier proceso); el coeficiente angular de la tangente a la gráfica de la función; utilizando la derivada, puedes examinar una función para determinar su monotonicidad y sus extremos; Ayuda a resolver problemas de optimización.

Pero junto con el problema de encontrar la velocidad según una ley de movimiento conocida, también existe un problema inverso: el problema de restaurar la ley del movimiento según una velocidad conocida. Consideremos uno de estos problemas.

Ejemplo 1. Un punto material se mueve en línea recta, su velocidad en el tiempo t viene dada por la fórmula v=gt. Encuentra la ley del movimiento.
Solución. Sea s = s(t) la ley de movimiento deseada. Se sabe que s"(t) = v(t). Esto significa que para resolver el problema es necesario seleccionar una función s = s(t), cuya derivada sea igual a gt. No es difícil adivinar que \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2)\).
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Respuesta: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

Observemos inmediatamente que el ejemplo se resuelve correctamente, pero de forma incompleta. Obtuvimos \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). De hecho, el problema tiene infinitas soluciones: cualquier función de la forma \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), donde C es una constante arbitraria, puede servir como ley de movimiento, ya que \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)

Para hacer el problema más específico, tuvimos que arreglar la situación inicial: indicar la coordenada de un punto en movimiento en algún momento, por ejemplo en t = 0. Si, digamos, s(0) = s 0, entonces a partir del igualdad s(t) = (gt 2)/2 + C obtenemos: s(0) = 0 + C, es decir C = s 0. Ahora la ley del movimiento está definida de forma única: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

En matemáticas, las operaciones mutuamente inversas reciben diferentes nombres, se inventan notaciones especiales, por ejemplo: elevación al cuadrado (x 2) y raíz cuadrada (\(\sqrt(x) \)), seno (sin x) y arcoseno (arcsin x) y etc. El proceso de encontrar la derivada de una función dada se llama diferenciación, y la operación inversa, es decir, el proceso de encontrar una función a partir de una derivada dada, es integración.

El propio término “derivada” puede justificarse “en términos cotidianos”: la función y = f(x) “da origen” a una nueva función y" = f"(x). La función y = f(x) actúa como “padre”, pero los matemáticos, naturalmente, no la llaman “padre” o “productor”; dicen que lo es, en relación a la función y" = f"(; x), imagen primaria o primitiva.

Definición. La función y = F(x) se llama antiderivada para la función y = f(x) en el intervalo X si la igualdad F"(x) = f(x) se cumple para \(x \in X\)

En la práctica, el intervalo X no suele especificarse, pero está implícito (como dominio natural de definición de la función).

Pongamos ejemplos.
1) La función y = x 2 es antiderivada para la función y = 2x, ya que para cualquier x la igualdad (x 2)" = 2x es verdadera
2) La función y = x 3 es antiderivada para la función y = 3x 2, ya que para cualquier x la igualdad (x 3)" = 3x 2 es cierta
3) La función y = sin(x) es antiderivada para la función y = cos(x), ya que para cualquier x la igualdad (sin(x))" = cos(x) es cierta

Al encontrar antiderivadas, así como derivadas, no solo se utilizan fórmulas, sino también algunas reglas. Están directamente relacionados con las reglas correspondientes para el cálculo de derivados.

Sabemos que la derivada de una suma es igual a la suma de sus derivadas. Esta regla genera la regla correspondiente para encontrar antiderivadas.

Regla 1. La antiderivada de una suma es igual a la suma de las antiderivadas.

Sabemos que el factor constante se puede quitar del signo de la derivada. Esta regla genera la regla correspondiente para encontrar antiderivadas.

Regla 2. Si F(x) es una antiderivada de f(x), entonces kF(x) es una antiderivada de kf(x).

Teorema 1. Si y = F(x) es una primitiva de la función y = f(x), entonces la primitiva de la función y = f(kx + m) es la función \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)

Teorema 2. Si y = F(x) es una primitiva de la función y = f(x) en el intervalo X, entonces la función y = f(x) tiene infinitas primitivas, y todas tienen la forma y = F(x) + C.

Métodos de integración

Método de reemplazo de variables (método de sustitución)

El método de integración por sustitución implica introducir una nueva variable de integración (es decir, sustitución). En este caso, la integral dada se reduce a una nueva integral, que es tabular o reducible a ella. Métodos comunes no hay selección de sustituciones. La capacidad de determinar correctamente la sustitución se adquiere mediante la práctica.
Sea necesario calcular la integral \(\textstyle \int F(x)dx \). Hagamos la sustitución \(x= \varphi(t) \) donde \(\varphi(t) \) es una función que tiene una derivada continua.
Entonces \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) y con base en la propiedad de invariancia de la fórmula de integración para la integral indefinida, obtenemos la fórmula de integración por sustitución:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

Integración de expresiones de la forma \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)

Si m es impar, m > 0, entonces es más conveniente hacer la sustitución sen x = t.
Si n es impar, n > 0, entonces es más conveniente hacer la sustitución cos x = t.
Si n y m son pares, entonces es más conveniente realizar la sustitución tg x = t.

Integración por partes

Integración por partes - aplicando la siguiente fórmula de integración:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
o:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Tabla de integrales indefinidas (antiderivadas) de algunas funciones

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch )x+C$$