Sabiranje razlomaka sa nepoznatim. Oduzimanje pravilnog razlomka od jedan

Detetu je teško razumeti frakcione izraze. Većina ljudi ima poteškoća sa. Prilikom proučavanja teme "sabiranje razlomaka sa cijelim brojevima", dijete pada u stupor, jer mu je teško riješiti problem. U mnogim primjerima, prije izvođenja radnje, mora se izvršiti niz izračuna. Na primjer, pretvoriti razlomke ili pretvoriti nepravilan razlomak u pravilan razlomak.

Objasnimo to djetetu jasno. Uzmimo tri jabuke, od kojih će dvije biti cijele, a treću iseći na 4 dijela. Odvojite jednu krišku od izrezane jabuke, a preostale tri stavite pored dva cijela voća. Dobijamo ¼ jabuke sa jedne strane i 2 ¾ sa druge strane. Ako ih spojimo, dobićemo tri jabuke. Pokušajmo smanjiti 2 ¾ jabuke za ¼, odnosno ukloniti još jednu krišku, dobićemo 2 2/4 jabuke.

Pogledajmo bliže operacije s razlomcima koji sadrže cijele brojeve:

Prvo, prisjetimo se pravila izračunavanja za frakcijske izraze sa zajedničkim nazivnikom:

Na prvi pogled sve je lako i jednostavno. Ali ovo se odnosi samo na izraze koji ne zahtijevaju konverziju.

Kako pronaći vrijednost izraza gdje su nazivnici različiti

U nekim zadacima morate pronaći značenje izraza gdje su nazivnici različiti. Pogledajmo konkretan slučaj:
3 2/7+6 1/3

Nađimo vrijednost ovog izraza tako što ćemo pronaći zajednički nazivnik za dva razlomka.

Za brojeve 7 i 3, ovo je 21. Cjelobrojne dijelove ostavljamo istim, a razlomke dovodimo do 21, za to množimo prvi razlomak sa 3, drugi sa 7, dobijamo:
6/21+7/21, ne zaboravite da se cijeli dijelovi ne mogu pretvoriti. Kao rezultat, dobijamo dva razlomka sa istim nazivnikom i izračunavamo njihov zbir:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Što ako zbrajanje rezultira nepravilnim razlomkom koji već ima cijeli broj:
2 1/3+3 2/3
U ovom slučaju, zbrajamo cjelobrojne dijelove i razlomke, dobivamo:
5 3/3, kao što znate, 3/3 je jedan, što znači 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

Pronalaženje zbira je jasno, pogledajmo oduzimanje:

Iz svega rečenog slijedi pravilo za operacije s mješovitim brojevima:

• Ako trebate oduzeti cijeli broj od razlomka, ne morate drugi broj predstaviti kao razlomak, dovoljno je izvršiti operaciju samo nad cijelim dijelovima.

Pokušajmo sami izračunati značenje izraza:

Pogledajmo pobliže primjer ispod slova "m":

4 5/11-2 8/11, brojilac prvog razlomka je manji od drugog. Da bismo to učinili, pozajmimo jedan cijeli broj iz prvog razlomka, dobijemo,
3 5/11+11/11=3 cijeli 16/11, oduzmi drugi od prvog razlomka:
3 16/11-2 8/11=1 cijeli 8/11

• Budite oprezni prilikom dovršavanja zadatka, ne zaboravite pretvoriti nepravilne razlomke u mješovite razlomke, naglašavajući cijeli dio. Da biste to učinili, trebate podijeliti vrijednost brojila s vrijednošću nazivnika, tada ono što se događa zauzima mjesto cijelog dijela, ostatak će biti brojilac, na primjer:

19/4=4 ¾, provjerimo: 4*4+3=19, nazivnik 4 ostaje nepromijenjen.

rezimirati:

Prije započinjanja zadatka koji se odnosi na razlomke, potrebno je analizirati o kakvom se izrazu radi, koje transformacije treba izvršiti na razlomku da bi rješenje bilo ispravno. Potražite racionalnije rješenje. Ne idi težim putem. Planirajte sve radnje, riješite ih prvo u obliku nacrta, a zatim ih prenesite u svoju školsku svesku.

Da biste izbjegli zabunu prilikom rješavanja frakcijskih izraza, morate slijediti pravilo konzistentnosti. O svemu odlučite pažljivo, bez žurbe.

Sabiranje i oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima
Sabiranje i oduzimanje razlomaka sa različiti imenioci
Koncept NOC-a
Svođenje razlomaka na isti nazivnik
Kako sabrati cijeli broj i razlomak

1 Sabiranje i oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima

Da biste zbrojili razlomke s istim nazivnicima, morate dodati njihove brojnike, ali ostavite nazivnik isti, na primjer:

Da biste oduzeli razlomke s istim nazivnicima, potrebno je da oduzmete brojilac drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostane isti, na primjer:

Da biste dodali mješovite razlomke, potrebno je posebno sabrati njihove cijele dijelove, a zatim dodati njihove razlomke i rezultat napisati kao mješoviti razlomak,

Ako pri sabiranju razlomaka dobijete nepravilan razlomak, odaberite cijeli dio iz njega i dodajte ga cijelom dijelu, na primjer:

2 Sabiranje i oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima

Da biste dodali ili oduzeli razlomke s različitim nazivnicima, prvo ih morate svesti na isti nazivnik, a zatim nastaviti kako je navedeno na početku ovog članka. Zajednički nazivnik nekoliko razlomaka je LCM (najmanji zajednički višekratnik). Za brojnik svakog razlomka, dodatni faktori se nalaze dijeljenjem LCM-a sa nazivnikom ovog razlomka. Kasnije ćemo pogledati primjer, nakon što shvatimo šta je NOC.

3 Najmanji zajednički višekratnik (LCM)

Najmanji zajednički višekratnik dva broja (LCM) je najmanji prirodni broj, koji je djeljiv sa oba ova broja bez ostatka. Ponekad se NOC može birati usmeno, ali češće, posebno kada se radi sa njim veliki brojevi, morate pronaći LOC u pisanoj formi koristeći sljedeći algoritam:

Da biste pronašli LCM nekoliko brojeva, trebate:

1. Podijelite ove brojeve na primarni faktori
2. Uzmite najveće proširenje i zapišite ove brojeve kao proizvod
3. U drugim dekompozicijama odaberite brojeve koji se ne pojavljuju u najvećoj dekompoziciji (ili se u njoj pojavljuju manje puta) i dodajte ih u proizvod.
4. Pomnožite sve brojeve u proizvodu, to će biti LCM.

Na primjer, pronađimo LCM brojeva 28 i 21:

4Svođenje razlomaka na isti nazivnik

Vratimo se sabiranju razlomaka sa različitim nazivnicima.

Kada razlomke svedemo na isti nazivnik, jednak LCM oba nazivnika, moramo pomnožiti brojioce ovih razlomaka sa dodatni množitelji. Možete ih pronaći tako da LCM podijelite sa nazivnikom odgovarajućeg razlomka, na primjer:

Dakle, da biste sveli razlomke na isti eksponent, prvo morate pronaći LCM (tj. najmanji broj, koji je djeljiv sa oba nazivnika) nazivnika ovih razlomaka, a zatim dodajte dodatne faktore brojiocima razlomaka. Možete ih pronaći tako što zajednički imenilac (CLD) podijelite sa nazivnikom odgovarajućeg razlomka. Zatim morate pomnožiti brojilac svakog razlomka dodatnim faktorom i staviti LCM kao imenilac.

5Kako sabrati cijeli broj i razlomak

Da biste sabrali cijeli broj i razlomak, samo trebate dodati ovaj broj prije razlomka i dobit ćete mješovita frakcija, Na primjer.

On ovu lekciju Razmatrat će se sabiranje i oduzimanje algebarskih razlomaka s različitim nazivnicima. Već znamo kako sabirati i oduzimati obične razlomke s različitim nazivnicima. Da biste to učinili, razlomci se moraju svesti na zajednički nazivnik. Ispostavilo se da algebarski razlomci slijede ista pravila. U isto vrijeme, već znamo kako svesti algebarske razlomke na zajednički nazivnik. Sabiranje i oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima jedan je od najvažnijih i teške teme u kursu 8.razreda. Gde ovu temu pojavit će se u mnogim temama kurseva algebre koje ćete proučavati u budućnosti. U sklopu lekcije proučavat ćemo pravila za sabiranje i oduzimanje algebarskih razlomaka s različitim nazivnicima, te analizirati cela linija tipični primjeri.

Hajde da razmotrimo najjednostavniji primjer za obične razlomke.

Primjer 1. Dodaj razlomke: .

Rješenje:

Prisjetimo se pravila za sabiranje razlomaka. Za početak, razlomci se moraju svesti na zajednički nazivnik. U ulozi zajednički imenilac za obične frakcije stoji najmanji zajednički višekratnik(LCM) originalnih nazivnika.

Definicija

Najmanji prirodni broj koji je djeljiv i brojevima i .

Da biste pronašli LCM, potrebno je da činioce delite u proste faktore, a zatim odaberete sve proste faktore koji su uključeni u proširenje oba nazivnika.

; . Tada LCM brojeva mora uključivati ​​dvije dvojke i dvije trojke: .

Nakon što pronađete zajednički imenilac, morate pronaći dodatni faktor za svaki razlomak (zapravo, podijelite zajednički imenilac sa imeniocem odgovarajućeg razlomka).

Svaki razlomak se zatim množi sa rezultujućim dodatnim faktorom. Dobijamo razlomke sa istim nazivnicima, koje smo naučili sabirati i oduzimati u prethodnim lekcijama.

Dobijamo: .

odgovor:.

Razmotrimo sada sabiranje algebarskih razlomaka s različitim nazivnicima. Prvo, pogledajmo razlomke čiji su imenioci brojevi.

Primjer 2. Dodaj razlomke: .

Rješenje:

Algoritam rješenja je apsolutno sličan prethodnom primjeru. Lako je pronaći zajednički nazivnik ovih razlomaka: i dodatne faktore za svaki od njih.

.

odgovor:.

Dakle, hajde da formulišemo algoritam za sabiranje i oduzimanje algebarskih razlomaka sa različitim nazivnicima:

1. Pronađite najmanji zajednički imenilac razlomaka.

2. Pronađite dodatne faktore za svaki od razlomaka (dijeleći zajednički imenilac sa imeniocem datog razlomka).

3. Pomnožite brojioce odgovarajućim dodatnim faktorima.

4. Dodajte ili oduzmite razlomke koristeći pravila za sabiranje i oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima.

Razmotrimo sada primjer s razlomcima čiji nazivnik sadrži doslovni izrazi.

Primjer 3. Dodaj razlomke: .

Rješenje:

Budući da su slovni izrazi u oba nazivnika isti, trebali biste pronaći zajednički nazivnik za brojeve. Konačni zajednički imenilac će izgledati ovako: . Dakle, rješenje ovog primjera izgleda ovako:.

odgovor:.

Primjer 4. Oduzmite razlomke: .

Rješenje:

Ako ne možete "prevariti" pri odabiru zajedničkog nazivnika (ne možete ga rastaviti na faktore ili koristiti skraćene formule za množenje), tada morate uzeti umnožak nazivnika oba razlomka kao zajednički nazivnik.

odgovor:.

Općenito, pri rješavanju ovakvih primjera najteži je zadatak pronaći zajednički nazivnik.

Pogledajmo složeniji primjer.

Primjer 5. Pojednostavite: .

Rješenje:

Prilikom pronalaženja zajedničkog nazivnika, prvo morate pokušati rastaviti nazivnike originalnih razlomaka (da biste pojednostavili zajednički imenilac).

U ovom konkretnom slučaju:

Tada je lako odrediti zajednički imenilac: .

Određujemo dodatne faktore i rješavamo ovaj primjer:

odgovor:.

Sada uspostavimo pravila za sabiranje i oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima.

Primjer 6. Pojednostavite: .

Rješenje:

odgovor:.

Primjer 7. Pojednostavite: .

Rješenje:

.

odgovor:.

Razmotrimo sada primjer u kojem se zbrajaju ne dva, već tri razlomka (na kraju krajeva, pravila sabiranja i oduzimanja za veći broj razlomaka ostaju ista).

Primjer 8. Pojednostavite: .

Ova lekcija će pokriti sabiranje i oduzimanje algebarskih razlomaka sa različitim nazivnicima. Već znamo kako sabirati i oduzimati obične razlomke s različitim nazivnicima. Da biste to učinili, razlomci se moraju svesti na zajednički nazivnik. Ispostavilo se da algebarski razlomci slijede ista pravila. U isto vrijeme, već znamo kako svesti algebarske razlomke na zajednički nazivnik. Sabiranje i oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima jedna je od najvažnijih i najtežih tema u predmetu 8. razred. Štaviše, ova tema će se pojaviti u mnogim temama u kursu algebre koji ćete učiti u budućnosti. U sklopu lekcije proučavat ćemo pravila za sabiranje i oduzimanje algebarskih razlomaka s različitim nazivnicima, a također ćemo analizirati niz tipičnih primjera.

Pogledajmo najjednostavniji primjer za obične razlomke.

Primjer 1. Dodaj razlomke: .

Rješenje:

Prisjetimo se pravila za sabiranje razlomaka. Za početak, razlomci se moraju svesti na zajednički nazivnik. Zajednički nazivnik za obične razlomke je najmanji zajednički višekratnik(LCM) originalnih nazivnika.

Definicija

Najmanji prirodni broj koji je djeljiv i brojevima i .

Da biste pronašli LCM, potrebno je da činioce delite u proste faktore, a zatim odaberete sve proste faktore koji su uključeni u proširenje oba nazivnika.

; . Tada LCM brojeva mora uključivati ​​dvije dvojke i dvije trojke: .

Nakon što pronađete zajednički imenilac, morate pronaći dodatni faktor za svaki razlomak (zapravo, podijelite zajednički imenilac sa imeniocem odgovarajućeg razlomka).

Svaki razlomak se zatim množi sa rezultujućim dodatnim faktorom. Dobijamo razlomke sa istim nazivnicima, koje smo naučili sabirati i oduzimati u prethodnim lekcijama.

Dobijamo: .

odgovor:.

Razmotrimo sada sabiranje algebarskih razlomaka s različitim nazivnicima. Prvo, pogledajmo razlomke čiji su imenioci brojevi.

Primjer 2. Dodaj razlomke: .

Rješenje:

Algoritam rješenja je apsolutno sličan prethodnom primjeru. Lako je pronaći zajednički nazivnik ovih razlomaka: i dodatne faktore za svaki od njih.

.

odgovor:.

Dakle, hajde da formulišemo algoritam za sabiranje i oduzimanje algebarskih razlomaka sa različitim nazivnicima:

1. Pronađite najmanji zajednički imenilac razlomaka.

2. Pronađite dodatne faktore za svaki od razlomaka (dijeleći zajednički imenilac sa imeniocem datog razlomka).

3. Pomnožite brojioce odgovarajućim dodatnim faktorima.

4. Dodajte ili oduzmite razlomke koristeći pravila za sabiranje i oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima.

Razmotrimo sada primjer s razlomcima čiji nazivnik sadrži slovne izraze.

Primjer 3. Dodaj razlomke: .

Rješenje:

Budući da su slovni izrazi u oba nazivnika isti, trebali biste pronaći zajednički nazivnik za brojeve. Konačni zajednički imenilac će izgledati ovako: . Dakle, rješenje ovog primjera izgleda ovako:.

odgovor:.

Primjer 4. Oduzmite razlomke: .

Rješenje:

Ako ne možete "prevariti" pri odabiru zajedničkog nazivnika (ne možete ga rastaviti na faktore ili koristiti skraćene formule za množenje), tada morate uzeti umnožak nazivnika oba razlomka kao zajednički nazivnik.

odgovor:.

Općenito, pri rješavanju ovakvih primjera najteži je zadatak pronaći zajednički nazivnik.

Pogledajmo složeniji primjer.

Primjer 5. Pojednostavite: .

Rješenje:

Prilikom pronalaženja zajedničkog nazivnika, prvo morate pokušati rastaviti nazivnike originalnih razlomaka (da biste pojednostavili zajednički imenilac).

U ovom konkretnom slučaju:

Tada je lako odrediti zajednički imenilac: .

Određujemo dodatne faktore i rješavamo ovaj primjer:

odgovor:.

Sada uspostavimo pravila za sabiranje i oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima.

Primjer 6. Pojednostavite: .

Rješenje:

odgovor:.

Primjer 7. Pojednostavite: .

Rješenje:

.

odgovor:.

Razmotrimo sada primjer u kojem se zbrajaju ne dva, već tri razlomka (na kraju krajeva, pravila sabiranja i oduzimanja za veći broj razlomaka ostaju ista).

Primjer 8. Pojednostavite: .

Brojilac, a ono što je podijeljeno je imenilac.

Da biste napisali razlomak, prvo napišite brojilac, zatim povucite vodoravnu liniju ispod broja i upišite nazivnik ispod linije. Horizontalna linija koja razdvaja brojnik i imenilac naziva se razlomka. Ponekad se prikazuje kao kosi "/" ili "∕". U ovom slučaju, brojilac se piše lijevo od reda, a nazivnik desno. Tako će, na primjer, razlomak "dvije trećine" biti napisan kao 2/3. Radi jasnoće, brojilac se obično piše na vrhu reda, a nazivnik na dnu, odnosno umjesto 2/3 možete pronaći: ⅔.

Da biste izračunali proizvod razlomaka, prvo pomnožite brojnik jedan razlomci u brojiocu je drugačija. Rezultat upišite u brojnik novog razlomci. Nakon toga pomnožite nazivnike. Unesite ukupnu vrijednost u novi razlomci. Na primjer, 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).

Da biste podijelili jedan razlomak s drugim, prvo pomnožite brojnik prvog sa nazivnikom drugog. Uradite isto sa drugim razlomkom (djeliteljem). Ili, prije nego što izvršite sve radnje, prvo "okrenite" djelitelj, ako vam je zgodnije: nazivnik bi trebao biti na mjestu brojnika. Zatim pomnožite nazivnik dividende sa novim imeniocem djelitelja i pomnožite brojnike. Na primjer, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3).

Izvori:

• Osnovni problemi s razlomcima

Razlomci se mogu izraziti u u različitim oblicima tačna vrijednost količine. Možete raditi iste matematičke operacije s razlomcima kao i s cijelim brojevima: oduzimanje, sabiranje, množenje i dijeljenje. Da naučim odlučivati razlomci, moramo zapamtiti neke njihove karakteristike. Zavise od vrste razlomci, prisustvo cijelog broja, zajednički nazivnik. Neke aritmetičke operacije zahtijevaju da se razlomak rezultata smanji nakon izvršenja.

Trebaće ti

• - kalkulator

Instrukcije

Pažljivo pogledajte brojke. Ako među razlomcima postoje decimale i nepravilne, ponekad je prikladnije prvo izvršiti operacije s decimalima, a zatim ih pretvoriti u nepravilan oblik. Možete li prevesti? razlomci u ovom obliku na početku, upisujući vrijednost iza decimalne točke u brojiocu i stavljajući 10 u nazivnik. Ako je potrebno, smanjite razlomak tako što ćete brojeve iznad i ispod podijeliti jednim djeliteljem. Razlomci u kojima se ističu cijeli dio, stavite ga u pogrešan oblik tako što ćete ga pomnožiti sa nazivnikom i rezultatu dodati brojilac. Data vrijednostće postati novi brojilac razlomci. Za odabir cijelog dijela od inicijalno pogrešnog razlomci, potrebno je podijeliti brojilac sa nazivnikom. Napišite cijeli rezultat iz razlomci. A ostatak dijeljenja će postati novi brojnik, nazivnik razlomci ne menja se. Za razlomke s cijelim dijelom moguće je izvršiti radnje odvojeno, prvo za cijeli broj, a zatim za razlomke. Na primjer, zbir 1 2/3 i 2 ¾ može se izračunati:
- Pretvaranje razlomaka u pogrešan oblik:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Zbrajanje odvojeno celobrojnih i razlomaka članova:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Prepišite ih koristeći separator “:” i nastavite s normalnim dijeljenjem.

Da biste dobili konačni rezultat, smanjite rezultujući razlomak dijeljenjem brojnika i nazivnika s jednim cijelim brojem, najvećim mogućim u ovom slučaju. U ovom slučaju, moraju postojati cijeli brojevi iznad i ispod linije.

Bilješka

Ne izvodite aritmetiku sa razlomcima čiji su imenioci različiti. Odaberite broj tako da kada pomnožite brojilac i nazivnik svakog razlomka s njim, rezultat je da su nazivnici oba razlomka jednaki.

Koristan savjet

Prilikom snimanja razlomci brojeva Dividenda je ispisana iznad linije. Ova količina je označena kao brojilac razlomka. Delitelj, ili imenilac, razlomka je napisan ispod linije. Na primjer, jedan i po kilogram riže kao frakcija bit će napisan na sljedeći način: 1 ½ kg riže. Ako je nazivnik razlomka 10, razlomak se naziva decimalni. U ovom slučaju, brojilac (dividenda) se piše desno od cijelog dijela, odvojenog zarezom: 1,5 kg riže. Radi lakšeg izračuna, takav razlomak se uvijek može napisati u pogrešnom obliku: 1 2/10 kg krompira. Da biste pojednostavili, možete smanjiti vrijednosti brojnika i nazivnika tako što ćete ih podijeliti s jednim cijelim brojem. IN u ovom primjeru može se podijeliti sa 2. Rezultat će biti 1 1/5 kg krompira. Uvjerite se da su brojevi s kojima ćete izvoditi aritmetiku prikazani u istom obliku.