Napomena 1

Booleova funkcija se može napisati korištenjem Booleovog izraza, a zatim se može premjestiti u logičko kolo. Potrebno je pojednostaviti logičke izraze kako bi se dobio što jednostavniji (a samim tim i jeftiniji) logički sklop. U stvari, logička funkcija, logički izraz i logičko kolo su tri različita jezika koji govore o jednom entitetu.

Za pojednostavljenje logičkih izraza koristite zakoni algebarske logike.

Neke transformacije su slične transformacijama formula u klasičnoj algebri (vađenje zajedničkog faktora iz zagrada, korištenje komutativnih i kombinacijskih zakona, itd.), dok se druge transformacije temelje na svojstvima koja operacije klasične algebre nemaju (koristeći distributivnu zakon konjunkcije, zakoni apsorpcije, lepljenja, de Morganova pravila itd.).

Zakoni logičke algebre formulisani su za osnovne logičke operacije – “NE” – inverzija (negacija), “I” – konjunkcija (logičko množenje) i “ILI” – disjunkcija (logičko sabiranje).

Zakon dvostruke negacije znači da je operacija „NE“ reverzibilna: ako je primijenite dvaput, na kraju se logička vrijednost neće promijeniti.

Zakon isključene sredine kaže da je svaki logički izraz ili istinit ili lažan („nema trećeg“). Dakle, ako je $A=1$, onda je $\bar(A)=0$ (i obrnuto), što znači da je konjunkcija ovih veličina uvijek jednaka nuli, a disjunkcija je uvijek jednaka jedan.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Hajde da pojednostavimo ovu formulu:

Slika 3.

Iz toga slijedi da je $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.

odgovor: Učenici $B$, $C$ i $D$ igraju šah, ali učenik $A$ ne igra.

Kada pojednostavljujete logičke izraze, možete izvršiti sljedeći niz radnji:

1. Zamijenite sve “ne-osnovne” operacije (ekvivalentnost, implikacije, ekskluzivno OR, itd.) njihovim izrazima kroz osnovne operacije inverzije, konjunkcije i disjunkcije.
2. Proširite inverzije složenih izraza prema De Morganovim pravilima na takav način da operacije negacije ostaju samo za pojedinačne varijable.
3. Zatim pojednostavite izraz koristeći početne zagrade, stavljajući zajedničke faktore izvan zagrada i druge zakone logičke algebre.

Primjer 2

Ovdje se sukcesivno koriste De Morganovo pravilo, distributivni zakon, zakon isključene sredine, komutativni zakon, zakon ponavljanja, opet komutativni zakon i zakon apsorpcije.

Svaki pojam i dodajte dobijene proizvode. Ovo pravilo izražava distributivno svojstvo množenja u odnosu na sabiranje. Koristeći slova piše se ovako:

(a + b)c = ac + bc

Izrazi (9 - 5) 3 i 9 3 - 5 3 imaju ista značenja, jer (9 - 5) 3 = 4 3 = 12 i 9 3 - 5 3 = 27 - 15 = 12.

Da biste razliku pomnožili brojem, možete pomnožiti minus i oduzetak ovim brojem i oduzeti drugi od prvog proizvoda.

Ovo pravilo se naziva distributivno svojstvo množenje u vezi sa oduzimanjem.
Koristeći slova piše se ovako:

(a - b)c = ac - be.

Distributivno svojstvo množenja nam omogućava da pojednostavimo izraze oblika 3 + la ili 26x - 12x.

Imamo: Za + 7a = (3 + 7)a = 10a.

Obično odmah napišu:

Za + 7a = 10a (tri a i sedam a jednako je deset a).

26x - 12x = (26-12)x= 14x.

Obično odmah napišu:

26x - 12x = 14x (26 x minus 12 x jednako je 14 x).

a) 23a + 37a; c) 48x + x; e) 27r - 17r; g) 32l - l;
b) 4y + 26y; d) od 4-56 g; e) 84b - 80b; h) 1000k - k.

564. Neka je cijena 1 kg brašna a r., a cijena 1 kg šećera b r. Šta znači izraz:

a) 9a + 9b; b) 9(a + b); c) 10b - 10a?

565. Udaljenost između dva sela je 18 km. Iz njih su izašla dva biciklista u suprotnim smjerovima. Jedan putuje t km na sat, a drugi putuje p km. Kolika će biti udaljenost između njih nakon 4 sata?

566. Pronađite značenje izraza:

a) 38a + 62a na a = 238; 489;

b) 375b - 175b kod b = 48; 517.

567. Pronađite značenje izraza:

a) 32x + 32y, ako je x = 4, y = 26;
b) 11m - 11n, ako je m = 308, n = 208.

568. Riješite jednačinu:

a) 4x + 4x = 424; c) 9z -z = 500; e) 4l + 5l + l = 1200
b) 15y - 8y = 714; d) 10k - k = 702; e) 6t + 3t +t = 6400

569. Nađite pri kojoj vrijednosti slova:

a) izraz 7x je veći od 4x za 51;
b) izraz 6p je manji od 23p? na 102;
c) zbir 8a i 3a je 4466;
d) razlika između 25c i 5c je 6060.

570. Napiši rečenicu kao jednakost i saznaj za koje slovo je ta jednakost tačna:

a) zbir Zx i bx je jednak 96;
b) razlika između 11y i 2y je 99;
c) Zz je veći od z za 48;

d) 27m je 12 manje od 201;
e) 8n je upola manje od 208;
e) 380 je 19 puta više od 10 rubalja.

571. Sastavite jednačinu na osnovu slike 54 i riješite je.

572. Koje su stranice na slici 55 ako je njen obim 240 cm?

573. Pojednostavite izraz:

a) Za + 17 + Za + 14;
b) k + 35 4- 4k + 26.

574. Riješite jednačinu:

a) 3x 4- 7x + 18 = 178;
b) 6y - 2y + 25 = 65;
c) 7z + 62 - 13 = 130; " bx cm
d) 21t - 4t - 17 = 17.

575. Pojednostavite izraz:

a) 6 3 k; b) 8 p 21; c) r 14 17

576. Riješite jednačinu:

a) 4 25 x = 800;
b) za 5 20 = 500;

c) 21 8 p = 168;
d) m 3 33 = 990.

577. Imam broj na umu. Ako ga povećate za 15 i pomnožite rezultat sa 8, dobićete 160. Koji broj sam imao na umu?

578. Knjiga sadrži priču i priču, koje zajedno zauzimaju 70 stranica. Priča zauzima 4 puta više stranica od kratke priče. Koliko stranica ima priča, a koliko stranica?

Rješenje. Neka priča zauzima x stranica, onda priča zauzima 4x stranice. Po stanju zadataka, priča i priča zajedno zauzimaju 70 stranica. Dobijamo jednačinu: 4x + x = 70. Otuda je bx = 70, x = 70: 5, x = 14. To znači da priča traje 14 stranica, a priča 56 stranica (14 4 = 56).

Provjera korijena jednadžbe: 14 + 56 = 70.

579. U toku berbe krompira sakupili smo 1650 kg dnevno. Poslije ručka smo prikupili 2 puta manje nego prije ručka. Koliko ste krompira ubrali posle ručka?

580. Za školu je kupljeno 220 stolova i stolica, a stolica je bilo 9 puta više nego stolova. Koliko ste stolova i koliko stolica kupili?

581. Površina kuhinje je 3 puta manja od površine prostorije, tako da je za popravku kuhinjskog poda bilo potrebno 24 m2 linoleuma manje nego za sobu. Šta je kuhinjski prostor?

582. Tačka M dijeli segment AB na dva segmenta: AM i MB. Segment linije AM je 5 puta duži od segmenta MB, a segment MB je 24 mm kraći od segmenta AM. Odrediti dužinu segmenta AM, dužinu segmenta MB i dužinu segmenta AB.

583. Za pripremu pića uzmite 2 dijela sirupa od višanja i 5 dijelova vode. Koliko sirupa treba uzeti da dobijete 700 g pića?

Rješenje. Neka masa jednog dela napitka bude x g. Tada je masa sirupa 2x g, a masa napitka je (2x + bx) g je 700 g Dobijamo jednačinu: 2x + bx = 700.

Dakle, 7x = 700, x = 700: 7 i x = 100, odnosno masa jednog dijela je 100 g. Dakle, potrebno je uzeti 200 g sirupa (100 2 = 200) i 500 g vode (100). 5 = 500).

Provjerite: 200 + 500 = 700.

584. Prilikom mljevenja raži dobije se 6 dijelova brašna i 2 dijela mekinja. Koliko ćete brašna dobiti ako sameljete 1 tonu raži?

585. Za pripremu kompozicije za poliranje bakrenih proizvoda, uzmite 10 dijelova vode, 5 dijelova amonijaka i 2 dijela krede (po težini). Koliko grama svake supstance treba uzeti da se pripremi 340 g kompozicije?

586. Za pripremu stakla za flaše uzmite 25 dijelova pijeska, 9 dijelova sode i 5 dijelova vapna (po težini). Koliko će sode biti potrebno da se napravi 390 kg stakla?

587. Sladoled sadrži 7 dijelova vode, 2 dijela mliječne masti i 2 dijela šećera (po težini). Koliko šećera je potrebno da se napravi 4400 kg sladoleda?

588. Na jednoj strani ulice je duplo više kuća nego na drugoj. Kada je u ulici izgrađeno još 12 kuća, ukupno je bilo 99 kuća. Koliko je kuća bilo sa svake strane ulice?

589. Koristeći numeričku jednakost 3-12 + 4- 12+ 15- 12 = 264, napravi jednačinu koja ima korijen 12 i tri puta sadrži slovo x. Napravite problem koristeći ovu jednačinu.

590. Izračunaj usmeno:

591. Pronađite značenje izraza na najpogodniji način:

a) 125 23 8; b) 11 16 125; c) 19 + 78 + 845 + 81 + 155.

592. Pronađite korijen jednačine:

a) 45 = 45 + y c) y - 45 = 45;
b) 45 - y = 45; d) 0 = 45 - x.

593. Pogodi korijene jednadžbe:

a) x- 197 = 2945 - 197;
b) y: 89 = 1068: 89;
c) 365a = 53,365.

594. Izmislite problem koristeći jednačinu:

a) Za + 2a = 75;
b) s + s + s = 46 + s;
c) m + 5m = 90.

595. Kada se dodaju, koji brojevi mogu rezultirati 0? Razmislite o slučajevima u kojima dobijate broj 0 pri oduzimanju, pri množenju, prilikom dijeljenja.

596. Zbir pet prirodni brojevi jednak je proizvodu ovih brojeva. Koji su to brojevi?

597. Sasha voli rješavati teške probleme. Rekao je da je za 4 dana uspio riješiti 23 problema. Svakog narednog dana rješavao je više zadataka nego prethodnog dana, a četvrtog dana je rješavao četiri puta više nego prvog. Koliko je zadataka Saša riješio svaki od ova četiri dana?

598. Šifra za otvaranje sefa sastoji se od četiri cifre. Koliko različitih opcija koda postoji za ovaj sef?

599. Izvrši deljenje sa ostatkom:

978: 13; 780: 24; 4295: 126.

600. Nađi dividendu ako je nepotpuni količnik 25, djelitelj 8, ostatak 5.

601. Riješite jednačinu:

a) x: 16 = 324 + 284;
b) 1344: y = 543 - 487;
c) z 49 = 927 + 935;
d) (3724 + p): 54 = 69;
e) 992: (130- k) = 8;
e) (148-m) 31 = 1581.

602. Koristeći sliku 56, napravite jednačinu i pronađite masu svake vekne. (Masa utega je data u kilogramima.)

603. Koristeći sliku 57, nađi dužinu segmenta BC ako je AD = 40 cm.

604. Obim trougla ABC je 64 cm, stranica AB je 7 cm manja od stranice AC, ali je veća od stranice BC za 12 cm.

605. U gađanju je učestvovalo 12 ljudi. Koliko je patrona dobio svaki učesnik ako je bilo potrebno 8 kutija od po 30 kertridža?

606. Tri kombajna prikupila su 240 kg ljekovitog bilja. Prvi je skupio 87 kg, a prvi i drugi zajedno - 174 kg. Koliko je kilograma ljekovitog bilja sakupio drugi, a koliko treći?

607. Riješite problem:

1) Biciklista je vozio 2 sata određenom brzinom. Nakon što prijeđe još 4 km, njegova udaljenost će postati 30 km. Koliko brzo je išao biciklista?

2) Motociklista je vozio 3 sata određenom brzinom. Ako prijeđe još 12 km, njegova će udaljenost postati 132 km. Koliko brzo je išao motociklista?

3) U vreći je 20 kg žitarica. Nakon što je nekoliko vreća od 3 kg napunjeno žitaricama, u vreći je ostalo 5 kg. Koliko je vreća bilo napunjeno žitaricama?

4) U konzervi ima 39 litara mlijeka. Nakon što je nekoliko dvolitarskih kanti napunjeno mlijekom, u kanti je ostalo 7 litara. Koliko ste tegli napunili?

608. Pronađite značenje izraza:

1) 47 040: 14:7: 32; 3) 46 9520: 68: 7;
2) 101 376: 48: 24: 8; 4) 319 488: 96: 64 23.

609. Primijenite distributivno svojstvo množenja:

a) 11 (60 + a); c) (x - 9) 24;
b) 21 (38 - b); d) (y + 4) 38.

610. Pronađite vrijednost izraza primjenom distributivnog svojstva množenja:

a) (250 + 25) 4; c) 8 11 + 8 29;
b) 6 (150 + 16); d) 36.184 + 36.816.

611. Pronađite značenje izraza:

a) (30 - 2) 5; c) 85 137 - 75 137;
b) 7 (60 - 2); d) 78.214 - 78.204.

612. Pojednostavite izraz:

a) 4a + 90a; b) 86b - 77b; c) 209m + m; d) 302n - n.

613. Pronađite značenje izraza:

a) 24a + 47a + 53a + 76a, ako je a = 47;
b) 128r - 72r - 28r, ako je p = 11.

614. Riješite jednačinu:

a) 14x + 27x = 656; c) 49z - z = 384;
b) 81u - 38u = 645; d) 102k - 4k = 1960.

615. Pri kojoj vrijednosti z je zbir 5z i 15z jednak 840?

616. Masa jednog metra šine je 32 kg. Koliko će vagona nosivosti 60 tona biti potrebno da se prevezu sve šine potrebne za izgradnju jednokolosečne pruge dužine 180 km?

617. U konzervi je 36 litara mlijeka. Kada su 4 litre iz njega prelili u drugu konzervu, mleko u obe limenke postalo je jednako. Koliko litara mlijeka je bilo u drugoj konzervi?

618. U dva džepa je bilo 28 oraha, au lijevom džepu bilo je 3 puta više nego u desnom. Koliko je oraha bilo u svakom džepu?

619. Površina sale za fizičko vaspitanje je 6 puta veća od površine učionice. Nađite površinu sale ako je 250 m2 veća od površine učionice.

620. Na zalihama je samo 88 litara soka; Ima limenki soka od narandže od tri litre koliko i limenki soka od jabuke od pet litara. Koliko litara soka od pomorandže ima na zalihama?

621. Za pravljenje kazeinskog ljepila uzmite 11 dijelova vode, 5 dijelova amonijaka i 4 dijela kazeina (po težini). Koliko će se kazeinskog ljepila proizvesti ako se koristi 60 g manje amonijaka od vode?

622. Za pripremu džema od višanja uzmite 2 dijela višanja i 3 dijela šećera (po težini). Koliko je trešanja i koliko šećera utrošeno za pekmez, ako je utrošeno 7 kg 600 g šećera više od trešanja?

623. Sa dva stabla jabuke sakupljeno je 67 kg jabuka, a sa jednog stabla jabuke 19 kg više nego sa drugog. Koliko je kilograma jabuka sakupljeno sa svakog stabla jabuke?

624. Od 523 kokoši uzgojene u inkubatoru, petlova je bilo 25 manje nego kokošaka. Koliko kokošaka, a koliko petlova je izleženo u inkubatoru?

Prvi nivo

Pretvaranje izraza. Detaljna teorija (2019)

Pretvaranje izraza

Često čujemo ovu neugodnu frazu: "pojednostavite izraz". Obično vidimo neku vrstu čudovišta poput ovog:

„Mnogo je jednostavnije“, kažemo, ali takav odgovor obično ne funkcioniše.

Sada ću vas naučiti da se ne plašite takvih zadataka. Štaviše, na kraju lekcije, sami ćete pojednostaviti ovaj primjer na (samo!) običan broj (da, dovraga s ovim slovima).

Ali prije nego što započnete ovu lekciju, morate znati rukovati razlomcima i faktorskim polinomima. Stoga, prvo, ako to ranije niste radili, svakako savladajte teme “” i “”.

Jeste li ga pročitali? Ako jeste, onda ste sada spremni.

Osnovne operacije pojednostavljivanja

Pogledajmo sada osnovne tehnike koje se koriste za pojednostavljenje izraza.

Najjednostavniji je

1. Donošenje sličnog

Šta su slični? Uzeli ste ovo u 7. razredu, kada su se u matematici prvi put pojavila slova umjesto brojeva. Slični su pojmovi (monomi) sa istim slovnim dijelom. Na primjer, u zbroju, slični pojmovi su i.

Sjećaš li se?

Donijeti slično znači dodati nekoliko sličnih pojmova jedan drugom i dobiti jedan pojam.

Kako možemo spojiti slova? - pitate.

Ovo je vrlo lako razumjeti ako zamislite da su slova neka vrsta objekata. Na primjer, pismo je stolica. Čemu je onda izraz jednak? Dvije stolice plus tri stolice, koliko će to biti? Tako je, stolice: .

Sada pokušajte s ovim izrazom: .

Kako biste izbjegli zabunu, neka različita slova predstavljaju različite objekte. Na primjer, - je (kao i obično) stolica, a - je stol. onda:

stolice stolovi stolovi stolovi stolice stolice stolovi

Zovu se brojevi kojima se množe slova u takvim terminima koeficijenti. Na primjer, u monomu koeficijent je jednak. I u njemu je jednako.

Dakle, pravilo za donošenje sličnih je:

primjeri:

Dajte slične:

odgovori:

2. (i slično, jer, dakle, ovi pojmovi imaju isti slovni dio).

2. Faktorizacija

Ovo je obično najvažniji dio u pojednostavljivanju izraza. Nakon što ste dali slične, najčešće je rezultirajući izraz potrebno faktorizirati, odnosno predstaviti kao proizvod. Ovo je posebno važno kod razlomaka: da bismo mogli smanjiti razlomak, brojnik i imenilac moraju biti predstavljeni kao proizvod.

Detaljno ste prošli kroz metode faktoringa izraza u temi “”, tako da ovdje samo trebate zapamtiti šta ste naučili. Da biste to učinili, odlučite nekoliko primjeri(potrebno je faktorizirati):

rješenja:

3. Smanjenje razlomka.

Pa, što bi moglo biti ugodnije nego precrtati dio brojnika i nazivnika i izbaciti ih iz svog života?

To je ljepota smanjenja broja zaposlenih.

jednostavno je:

Ako brojnik i nazivnik sadrže iste faktore, oni se mogu smanjiti, odnosno ukloniti iz razlomka.

Ovo pravilo proizlazi iz osnovne osobine razlomka:

Odnosno, suština operacije redukcije je to Brojilac i imenilac razlomka dijelimo istim brojem (ili istim izrazom).

Da biste smanjili razlomak potrebno vam je:

1) brojilac i imenilac faktorisati

2) ako brojilac i imenilac sadrže zajednički faktori, mogu se precrtati.

Mislim da je princip jasan?

Skrenuo bih vam pažnju na jednu tipičnu grešku pri skraćivanju. Iako je ova tema jednostavna, mnogi ljudi sve rade pogrešno, a da to ne razumiju smanjiti- ovo znači podijeliti brojilac i imenilac su isti broj.

Nema skraćenica ako je brojilac ili nazivnik zbir.

Na primjer: trebamo pojednostaviti.

Neki ljudi rade ovo: što je apsolutno pogrešno.

Drugi primjer: smanjiti.

“Najpametniji” će uraditi ovo: .

Reci mi šta nije u redu? Čini se: - ovo je množitelj, što znači da se može smanjiti.

Ali ne: - ovo je faktor samo jednog člana u brojiocu, ali sam brojilac u cjelini nije faktoriziran.

Evo još jednog primjera: .

Ovaj izraz je faktorizovan, što znači da ga možete smanjiti, odnosno podijeliti brojilac i imenilac sa, a zatim sa:

Možete ga odmah podijeliti na:

Da biste izbjegli takve greške, zapamtite jednostavan način da odredite je li izraz faktoriziran:

Aritmetička operacija koja se izvodi posljednja prilikom izračunavanja vrijednosti izraza je “master” operacija. Odnosno, ako zamijenite neke (bilo koje) brojeve umjesto slova i pokušate izračunati vrijednost izraza, onda ako je posljednja radnja množenje, onda imamo proizvod (izraz je faktoriziran). Ako je posljednja radnja zbrajanje ili oduzimanje, to znači da izraz nije faktoriziran (i stoga se ne može smanjiti).

Za konsolidaciju, riješite nekoliko sami primjeri:

odgovori:

1. Nadam se da niste odmah požurili da sečete i? Još uvijek nije bilo dovoljno "smanjiti" jedinice ovako:

Prvi korak bi trebao biti faktorizacija:

4. Sabiranje i oduzimanje razlomaka. Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik.

Sabiranje i oduzimanje običnih razlomaka je poznata operacija: tražimo zajednički nazivnik, množimo svaki razlomak faktorom koji nedostaje i dodajemo/oduzimamo brojioce. prisjetimo se:

odgovori:

1. Imenioci i su relativno prosti, odnosno nemaju zajedničke faktore. Stoga je LCM ovih brojeva jednak njihovom proizvodu. Ovo će biti zajednički imenilac:

2. Ovdje je zajednički imenilac:

3. Ovdje, prije svega, pretvaramo miješane razlomke u nepravilne, a zatim prema uobičajenoj shemi:

Potpuno je druga stvar ako razlomci sadrže slova, na primjer:

Počnimo s nečim jednostavnim:

a) Imenioci ne sadrže slova

Ovdje je sve isto kao i sa običnim brojčanim razlomcima: nađemo zajednički nazivnik, pomnožimo svaki razlomak faktorom koji nedostaje i zbrojimo/oduzmemo brojioce:

Sada u brojiocu možete dati slične, ako ih ima, i razložiti ih:

Probajte sami:

b) Imenioci sadrže slova

Prisjetimo se principa pronalaženja zajedničkog nazivnika bez slova:

· prije svega, utvrđujemo zajedničke faktore;

· zatim ispisujemo sve zajedničke faktore jedan po jedan;

· i pomnožite ih sa svim drugim neuobičajenim faktorima.

Da bismo odredili zajedničke činioce nazivnika, prvo ih činimo u proste faktore:

Istaknimo uobičajene faktore:

Sada napišimo uobičajene faktore jedan po jedan i dodajmo im sve neobične (nepodvučene) faktore:

Ovo je zajednički imenitelj.

Vratimo se pismima. Imenioci su dati na potpuno isti način:

· faktor imenilaca;

· odrediti zajedničke (identične) faktore;

· jednom ispisati sve zajedničke faktore;

· pomnožite ih sa svim drugim neuobičajenim faktorima.

Dakle, redom:

1) rastaviti na faktore imenitelje:

2) odrediti zajedničke (identične) faktore:

3) napišite sve zajedničke faktore jednom i pomnožite ih sa svim ostalim (nepodvučenim) faktorima:

Dakle, ovde postoji zajednički imenitelj. Prvi razlomak se mora pomnožiti sa, a drugi sa:

Usput, postoji jedan trik:

Na primjer: .

Vidimo iste faktore u nazivnicima, samo svi sa različitim pokazateljima. Zajednički imenilac će biti:

do stepena

do stepena

do stepena

do stepena.

Zakomplikujmo zadatak:

Kako napraviti da razlomci imaju isti imenilac?

Prisjetimo se osnovnog svojstva razlomka:

Nigdje se ne kaže da se isti broj može oduzeti (ili dodati) od brojnika i nazivnika razlomka. Jer to nije istina!

Uvjerite se sami: uzmite bilo koji razlomak, na primjer, i dodajte neki broj brojniku i nazivniku, na primjer, . Šta si naučio?

Dakle, još jedno nepokolebljivo pravilo:

Kada razlomke svodite na zajednički nazivnik, koristite samo operaciju množenja!

Ali sa čim trebate pomnožiti da biste dobili?

Dakle, pomnožite sa. I pomnožite sa:

Izraze koji se ne mogu rastaviti na faktor ćemo nazvati "elementarnim faktorima". Na primjer, - ovo je elementarni faktor. - Isto. Ali ne: može se faktorizirati.

Šta je sa izrazom? Da li je osnovno?

Ne, jer se može faktorizirati:

(o faktorizaciji ste već čitali u temi “”).

Dakle, elementarni faktori na koje rastavljate izraz sa slovima su analogni jednostavnim faktorima u koje rastavljate brojeve. I mi ćemo se nositi s njima na isti način.

Vidimo da oba imenioca imaju množitelj. Ići će na zajednički imenilac do stepena (sjećate li se zašto?).

Faktor je elementaran i nemaju zajednički faktor, što znači da će se prvi razlomak jednostavno morati pomnožiti s njim:

Drugi primjer:

Rješenje:

Prije nego što panično pomnožite ove nazivnike, trebate razmisliti o tome kako ih rastaviti na faktore? Obojica predstavljaju:

Odlično! onda:

Drugi primjer:

Rješenje:

Kao i obično, hajde da faktorizujemo nazivnike. U prvom nazivniku jednostavno ga stavljamo iz zagrada; u drugom - razlika kvadrata:

Čini se da nema zajedničkih faktora. Ali ako bolje pogledate, oni su slični... I istina je:

Pa da napišemo:

Odnosno, ispalo je ovako: unutar zagrade smo zamijenili pojmove, a istovremeno se znak ispred razlomka promijenio u suprotan. Imajte na umu, ovo ćete morati često raditi.

Sada da to dovedemo do zajedničkog imenioca:

Jasno? Hajde da to sada proverimo.

Zadaci za samostalno rješavanje:

odgovori:

Ovdje moramo zapamtiti još jednu stvar - razliku kocki:

Imajte na umu da nazivnik drugog razlomka ne sadrži formulu „kvadrat zbira“! Kvadrat sume bi izgledao ovako: .

A je takozvani nepotpuni kvadrat zbira: drugi član u njemu je proizvod prvog i posljednjeg, a ne njihov dvostruki proizvod. Parcijalni kvadrat zbira je jedan od faktora u proširenju razlike kocki:

Šta učiniti ako već postoje tri razlomka?

Da, ista stvar! Prije svega, uvjerimo se da je maksimalni broj faktora u nazivnicima isti:

Imajte na umu: ako promijenite znakove unutar jedne zagrade, znak ispred razlomka mijenja se u suprotan. Kada promijenimo predznake u drugoj zagradi, znak ispred razlomka se ponovo mijenja u suprotan. Kao rezultat toga, on (znak ispred razlomka) se nije promijenio.

Čitav prvi imenilac ispisujemo u zajednički imenilac, a zatim mu dodajemo sve faktore koji još nisu upisani, iz drugog, pa iz trećeg (i tako dalje, ako ima više razlomaka). Odnosno, ispada ovako:

Hm... Jasno je šta raditi sa razlomcima. Ali šta je sa njih dvoje?

Jednostavno je: znate kako sabirati razlomke, zar ne? Dakle, potrebno je da dva postane razlomak! Podsjetimo: razlomak je operacija dijeljenja (brojnik je podijeljen imeniocem, ako ste zaboravili). I nema ništa lakše nego podijeliti broj sa. U ovom slučaju, sam broj se neće promijeniti, već će se pretvoriti u razlomak:

Upravo ono što je potrebno!

5. Množenje i dijeljenje razlomaka.

Pa, najteži dio je sada gotov. A pred nama je ono najjednostavnije, ali ujedno i najvažnije:

Procedura

Koja je procedura za izračunavanje numeričkog izraza? Zapamtite tako što ćete izračunati značenje ovog izraza:

Jeste li brojali?

Trebalo bi da radi.

Dakle, da vas podsjetim.

Prvi korak je izračunavanje stepena.

Drugi je množenje i dijeljenje. Ako postoji više množenja i dijeljenja u isto vrijeme, mogu se izvršiti bilo kojim redoslijedom.

I na kraju, izvodimo sabiranje i oduzimanje. Opet, bilo kojim redoslijedom.

Ali: izraz u zagradama se vrednuje van redova!

Ako se nekoliko zagrada međusobno pomnoži ili podijeli, prvo izračunamo izraz u svakoj od zagrada, a zatim ih množimo ili podijelimo.

Šta ako ima više zagrada unutar zagrada? Pa, razmislimo: neki izraz je napisan unutar zagrada. Prilikom izračunavanja izraza, šta prvo treba da uradite? Tako je, izračunajte zagrade. Pa, shvatili smo: prvo izračunamo unutrašnje zagrade, pa sve ostalo.

Dakle, procedura za gornji izraz je sljedeća (trenutna radnja je označena crvenom bojom, odnosno radnja koju trenutno izvodim):

Ok, sve je jednostavno.

Ali ovo nije isto što i izraz sa slovima?

Ne, to je isto! Samo umjesto aritmetičkih operacija, morate raditi algebarske, odnosno radnje opisane u prethodnom odjeljku: donoseći slično, zbrajanje razlomaka, smanjenje razlomaka i tako dalje. Jedina razlika će biti djelovanje faktoringa polinoma (ovo često koristimo kada radimo sa razlomcima). Najčešće, da biste rastavili na faktore, trebate koristiti I ili jednostavno staviti zajednički faktor iz zagrada.

Obično je naš cilj da izraz predstavimo kao proizvod ili količnik.

Na primjer:

Hajde da pojednostavimo izraz.

1) Prvo, pojednostavljujemo izraz u zagradama. Tu imamo razliku razlomaka, a cilj nam je da je predstavimo kao proizvod ili količnik. Dakle, dovodimo razlomke na zajednički nazivnik i dodajemo:

Nemoguće je dalje pojednostaviti ovaj izraz, svi faktori ovdje su elementarni (da li se još uvijek sjećate šta to znači?).

2) Dobijamo:

Množenje razlomaka: šta može biti jednostavnije.

3) Sada možete skratiti:

OK, sve je gotovo. Ništa komplikovano, zar ne?

Drugi primjer:

Pojednostavite izraz.

Prvo pokušajte sami to riješiti, pa tek onda pogledajte rješenje.

Prije svega, odredimo redoslijed radnji. Prvo, dodajmo razlomke u zagradama, tako da umjesto dva razlomka dobijemo jedan. Zatim ćemo uraditi dijeljenje razlomaka. Pa, dodajmo rezultat sa zadnjim razlomkom. Šematski ću numerisati korake:

Sada ću vam pokazati proces, tonirajući trenutnu akciju u crveno:

Na kraju ću vam dati dva korisna savjeta:

1. Ako ima sličnih, moraju se odmah doneti. U kom god trenutku se slične pojave kod nas, preporučljivo je odmah ih pokrenuti.

2. Isto važi i za smanjenje razlomaka: čim se pojavi prilika za smanjenje, mora se iskoristiti. Izuzetak su razlomci koje dodajete ili oduzimate: ako sada imaju iste nazivnike, smanjenje treba ostaviti za kasnije.

Evo nekoliko zadataka koje možete sami riješiti:

I ono što je obećano na samom početku:

Rješenja (ukratko):

Ako ste se snašli s barem prva tri primjera, smatrajte da ste savladali temu.

Sada na učenje!

PRETVARANJE IZRAZA. SAŽETAK I OSNOVNE FORMULE

Osnovne operacije pojednostavljivanja:

• Dovođenje sličnih: da biste dodali (smanjili) slične pojmove, potrebno je dodati njihove koeficijente i dodijeliti dio slova.
• Faktorizacija: stavljanje zajedničkog faktora iz zagrada, njegova primjena, itd.
• Smanjenje razlomka: Brojilac i imenilac razlomka se mogu pomnožiti ili podijeliti istim brojem koji nije nula, što ne mijenja vrijednost razlomka.
  1) brojilac i imenilac faktorisati
  2) ako brojilac i imenilac imaju zajedničke činioce, mogu se precrtati.

  VAŽNO: samo se množitelji mogu smanjiti!

• Sabiranje i oduzimanje razlomaka:
  ;
• Množenje i dijeljenje razlomaka:
  ;

Algebarski izraz u kojem se, uz operacije sabiranja, oduzimanja i množenja, koristi i dijeljenje na slovne izraze, naziva se frakcijski algebarski izraz. To su, na primjer, izrazi

Algebarskim razlomkom nazivamo algebarski izraz koji ima oblik kvocijenta podjele dva cjelobrojna algebarska izraza (na primjer, monomi ili polinomi). To su, na primjer, izrazi

Treći od izraza).

Identične transformacije frakcionih algebarskih izraza uglavnom su usmjerene na njihovo predstavljanje u obliku algebarskog razlomka. Za pronalaženje zajedničkog imenioca koristi se faktorizacija nazivnika razlomaka – pojmova kako bi se pronašao njihov najmanji zajednički višekratnik. Prilikom redukcije algebarskih razlomaka može se narušiti strogi identitet izraza: potrebno je isključiti vrijednosti veličina pri kojima faktor kojim se smanjuje postaje nula.

Navedimo primjere identičnih transformacija frakcionih algebarskih izraza.

Primjer 1: Pojednostavite izraz

Svi članovi se mogu svesti na zajednički nazivnik (zgodno je promijeniti predznak u nazivniku posljednjeg člana i znak ispred njega):

Naš izraz je jednak jedinici za sve vrijednosti osim ovih vrijednosti je nedefiniran i smanjenje razlomka je nezakonito).

Primjer 2. Predstavite izraz kao algebarski razlomak

Rješenje. Izraz se može uzeti kao zajednički imenitelj. Pronalazimo redom:

Vježbe

1. Pronađite vrijednosti algebarskih izraza za navedene vrijednosti parametara:

2. Faktorizirajte.

Među različitim izrazima koji se razmatraju u algebri, zbroji monoma zauzimaju važno mjesto. Evo primjera takvih izraza:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

Zbir monoma naziva se polinom. Pojmovi u polinomu nazivaju se pojmovi polinoma. Monomi se takođe klasifikuju kao polinomi, smatrajući da je monom polinom koji se sastoji od jednog člana.

Na primjer, polinom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
može se pojednostaviti.

Predstavimo sve pojmove u obliku monoma standardnog oblika:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Predstavimo slične pojmove u rezultirajućem polinomu:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Rezultat je polinom čiji su svi članovi monomi standardnog oblika, a među njima nema sličnih. Takvi polinomi se nazivaju polinomi standardnog oblika.

Iza stepen polinoma standardnog oblika preuzimaju najviša ovlašćenja svojih članova. Dakle, binom \(12a^2b - 7b\) ima treći stepen, a trinom \(2b^2 -7b + 6\) drugi.

Tipično, termini polinoma standardnog oblika koji sadrže jednu varijablu su raspoređeni u opadajućem redoslijedu eksponenata. Na primjer:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Zbir nekoliko polinoma može se transformirati (pojednostaviti) u polinom standardnog oblika.

Ponekad se termini polinoma moraju podijeliti u grupe, stavljajući svaku grupu u zagrade. Budući da je zatvorene zagrade inverzna transformacija otvarajućih zagrada, lako je formulirati pravila za otvaranje zagrada:

Ako se ispred zagrada stavi znak „+“, tada se termini u zagradama pišu istim znakovima.

Ako se ispred zagrada stavi znak “-”, tada se termini u zagradama pišu sa suprotnim znacima.

Transformacija (pojednostavljenje) proizvoda monoma i polinoma

Koristeći distributivno svojstvo množenja, možete transformirati (pojednostaviti) proizvod monoma i polinoma u polinom. Na primjer:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Proizvod monoma i polinoma identično je jednak zbiru proizvoda ovog monoma i svakog od članova polinoma.

Ovaj rezultat se obično formuliše kao pravilo.

Da biste pomnožili monom polinomom, morate taj monom pomnožiti sa svakim od članova polinoma.

Ovo pravilo smo već koristili nekoliko puta za množenje sa sumom.

Proizvod polinoma. Transformacija (pojednostavljenje) proizvoda dva polinoma

Općenito, proizvod dva polinoma identično je jednak zbiru proizvoda svakog člana jednog polinoma i svakog člana drugog polinoma.

Obično se koristi sljedeće pravilo.

Da pomnožite polinom polinomom, trebate pomnožiti svaki član jednog polinoma sa svakim članom drugog i dodati rezultirajuće proizvode.

Skraćene formule za množenje. Zbroj kvadrata, razlika i razlika kvadrata

Morate se baviti nekim izrazima u algebarskim transformacijama češće od drugih. Možda su najčešći izrazi \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) i \(a^2 - b^2 \), tj. kvadrat zbira, kvadrat razlika i razlika kvadrata. Primijetili ste da nazivi ovih izraza izgledaju nepotpuni, na primjer, \((a + b)^2 \) nije, naravno, samo kvadrat zbira, već kvadrat zbira a i b . Međutim, kvadrat zbira a i b po pravilu se ne pojavljuje često, umjesto slova a i b sadrži različite, ponekad prilično složene izraze.

Izrazi \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) se mogu lako pretvoriti (pojednostaviti) u polinome standardnog oblika, u stvari, već ste se susreli sa ovim zadatkom prilikom množenja polinoma:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Korisno je zapamtiti rezultirajuće identitete i primijeniti ih bez srednjih proračuna. U tome pomažu kratke verbalne formulacije.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - kvadrat zbira jednak je zbiru kvadrata i dvostrukog proizvoda.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kvadrat razlike je jednak zbiru kvadrata bez udvostručenog proizvoda.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - razlika kvadrata jednaka je proizvodu razlike i zbroja.

Ova tri identiteta omogućavaju u transformacijama da se njihovi levi delovi zamene desnim i obrnuto – desni delovi levim. Najteže je vidjeti odgovarajuće izraze i razumjeti kako se u njima zamjenjuju varijable a i b. Pogledajmo nekoliko primjera korištenja skraćenih formula za množenje.