Pretvaranje razlomka u zajednički imenilac. Postovi označeni sa "najmanji zajednički imenilac"

Kako pretvoriti razlomke u zajednički imenilac

Ako obične frakcije imaju iste imenitelje, onda kažu da ovi razlomci se svode na zajednički nazivnik.

Primjer 1

Na primjer, razlomci $\frac(3)(18)$ i $\frac(20)(18)$ imaju iste nazivnike. Za njih se kaže da imaju zajednički imenitelj 18$. Razlomci $\frac(1)(29)$, $\frac(7)(29)$ i $\frac(100)(29)$ također imaju iste nazivnike. Za njih se kaže da imaju zajednički imenilac od 29$.

Ako razlomci imaju različite nazivnike, mogu se svesti na zajednički imenilac. Da biste to učinili, morate pomnožiti njihove brojnike i nazivnike određenim dodatnim faktorima.

Primjer 2

Kako svesti dva razlomka $\frac(6)(11)$ i $\frac(2)(7)$ na zajednički nazivnik.

Rješenje.

Pomnožimo razlomke $\frac(6)(11)$ i $\frac(2)(7)$ dodatnim faktorima $7$ i $11$, redom, i dovedemo ih do zajedničkog nazivnika $77$:

$\frac(6\cdot 7)(11\cdot 7)=\frac(42)(77)$

$\frac(2\cdot 11)(7\cdot 11)=\frac(22)(77)$

dakle, svođenje razlomaka na zajednički nazivnik je množenje brojnika i nazivnika datih razlomaka dodatnim faktorima, koji rezultiraju razlomcima sa istim nazivnicima.

Zajednički nazivnik

Definicija 1

Zove se svaki pozitivni zajednički višekratnik svih nazivnika nekog skupa razlomaka zajednički imenilac.

Drugim riječima, zajednički nazivnik datih običnih razlomaka je bilo koji prirodan broj koji se može podijeliti sa svim imeniteljima datih razlomaka.

Definicija implicira beskonačan broj zajedničkih nazivnika za dati skup razlomaka.

Primjer 3

Pronađite zajedničke nazivnike razlomaka $\frac(3)(7)$ i $\frac(2)(13)$.

Rješenje.

Ovi razlomci imaju nazivnike jednake 7$ i 13$, respektivno. Pozitivni zajednički višekratnici $2$ i $5$ su $91, 182, 273, 364$, itd.

Bilo koji od ovih brojeva može se koristiti kao zajednički nazivnik razlomaka $\frac(3)(7)$ i $\frac(2)(13)$.

Primjer 4

Odredite da li se razlomci $\frac(1)(2)$, $\frac(16)(7)$ i $\frac(11)(9)$ mogu svesti na zajednički nazivnik $252$.

Rješenje.

Da biste utvrdili kako pretvoriti razlomak u zajednički imenilac $252$, trebate provjeriti da li je broj $252$ zajednički višekratnik imenilaca $2, 7$ i $9$. Da biste to uradili, podijelite broj $252$ sa svakim od nazivnika:

$\frac(252)(2)=126,$ $\frac(252)(7)=36$, $\frac(252)(9)=28$.

Broj $252$ je djeljiv sa svim nazivnicima, tj. je zajednički višekratnik od $2, 7$ i $9$. To znači da se dati razlomci $\frac(1)(2)$, $\frac(16)(7)$ i $\frac(11)(9)$ mogu svesti na zajednički nazivnik $252$.

Odgovor: možete.

Najmanji zajednički imenilac

Definicija 2

Među svim zajedničkim nazivnicima datih razlomaka možemo razlikovati najmanji prirodni broj, koji se zove najmanji zajednički imenilac.

Jer LOC – najmanji pozitivan zajednički djelitelj zadati skup brojeva, tada je LCM nazivnika datih razlomaka najmanji zajednički imenilac datih razlomaka.

Stoga, da biste pronašli najmanji zajednički nazivnik razlomaka, morate pronaći LCM nazivnika ovih razlomaka.

Primjer 5

Dati razlomci su $\frac(4)(15)$ i $\frac(37)(18)$. Pronađite njihov najmanji zajednički imenilac.

Rješenje.

Imenioci ovih razlomaka su 15$ i 18$. Nađimo najmanji zajednički imenilac kao LCM brojeva $15$ i $18$. Da bismo to učinili, koristimo dekompoziciju brojeva na proste faktore:

$15=3\cdot 5$, $18=2\cdot 3\cdot 3$

$NOK(15, 18)=2\cdot 3\cdot 3\cdot 5=90$.

Odgovor: 90$.

Pravilo za svođenje razlomaka na najmanji zajednički imenilac

Najčešće pri rješavanju zadataka iz algebre, geometrije, fizike itd. Uobičajeno je da se obični razlomci svedu na najmanji zajednički nazivnik, a ne na bilo koji zajednički imenilac.

Algoritam:

1. Odredite najmanji zajednički imenilac koristeći LCM nazivnika datih razlomaka.
2. 2.Izračunajte dodatni faktor za date razlomke. Da biste to učinili, pronađeni najmanji zajednički nazivnik mora se podijeliti sa nazivnikom svakog razlomka. Rezultirajući broj će biti dodatni faktor ovog razlomka.
3. Pomnožite brojilac i nazivnik svakog razlomka sa pronađenim dodatnim faktorom.

Primjer 6

Pronađite najmanji zajednički nazivnik razlomaka $\frac(4)(16)$ i $\frac(3)(22)$ i svedite oba razlomka na njega.

Rješenje.

Koristimo algoritam za svođenje razlomaka na najmanji zajednički nazivnik.

Izračunajmo najmanji zajednički umnožak brojeva $16$ i $22$:

Razložimo nazivnike u jednostavne faktore: $16=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$, $22=2\cdot 11$.

$NOK(16, 22)=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 11=176$.

Izračunajmo dodatne faktore za svaki razlomak:

$176\div 16=11$ – za razlomak $\frac(4)(16)$;

$176\div 22=8$ – za razlomak $\frac(3)(22)$.

Pomnožimo brojioce i nazivnike razlomaka $\frac(4)(16)$ i $\frac(3)(22)$ dodatnim faktorima $11$ i $8$, respektivno. Dobijamo:

$\frac(4)(16)=\frac(4\cdot 11)(16\cdot 11)=\frac(44)(176)$

$\frac(3)(22)=\frac(3\cdot 8)(22\cdot 8)=\frac(24)(176)$

Oba razlomka su smanjena na najmanji zajednički nazivnik $176$.

Odgovor: $\frac(4)(16)=\frac(44)(176)$, $\frac(3)(22)=\frac(24)(176)$.

Ponekad pronalaženje najnižeg zajedničkog nazivnika zahtijeva niz dugotrajnih proračuna, koji možda neće opravdati svrhu rješavanja problema. U ovom slučaju možete koristiti najviše jednostavan način– razlomke svesti na zajednički imenilac, koji je proizvod nazivnika ovih razlomaka.

Shema svođenja na zajednički nazivnik

1. Morate odrediti koji će biti najmanji zajednički višekratnik nazivnika razlomaka. Ako imate posla s mješovitim ili cijelim brojem, onda ga prvo morate pretvoriti u razlomak, a tek onda odrediti najmanji zajednički višekratnik. Da biste cijeli broj pretvorili u razlomak, potrebno je da sam broj upišete u brojilac i jedan u nazivnik. Na primjer, broj 5 kao razlomak bi izgledao ovako: 5/1. To mješoviti broj Da biste ga pretvorili u razlomak, trebate cijeli broj pomnožiti sa nazivnikom i dodati mu brojilac. Primjer: 8 cijelih brojeva i 3/5 kao razlomak = 8x5+3/5 = 43/5.
2. Nakon toga, potrebno je pronaći dodatni faktor, koji se određuje dijeljenjem NZ sa nazivnikom svakog razlomka.
3. Posljednji korak je množenje razlomka dodatnim faktorom.

Važno je zapamtiti da je svođenje na zajednički nazivnik potrebno ne samo za sabiranje ili oduzimanje. Da biste usporedili nekoliko razlomaka s različitim nazivnicima, također morate prvo svesti svaki od njih na zajednički nazivnik.

Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik

Da biste razumjeli kako razlomak svesti na zajednički nazivnik, morate razumjeti neka svojstva razlomaka. dakle, važna imovina, koji se koristi za redukciju na NOS, je jednakost razlomaka. Drugim riječima, ako se brojnik i nazivnik razlomka pomnože brojem, rezultat je razlomak jednak prethodnom. Uzmimo sljedeći primjer kao primjer. Da biste sveli razlomke 5/9 i 5/6 na njihov najmanji zajednički nazivnik, slijedite ove korake:

1. Prvo ćemo pronaći najmanji zajednički višekratnik nazivnika. U ovom slučaju, za brojeve 9 i 6 LCM će biti 18.
2. Određujemo dodatne faktore za svaki od razlomaka. To se radi na sljedeći način. LCM dijelimo sa nazivnikom svakog razlomka, kao rezultat dobijamo 18: 9 = 2 i 18: 6 = 3. Ovi brojevi će biti dodatni faktori.
3. Donosimo dva razlomka u NOS. Kada množite razlomak brojem, morate pomnožiti i brojnik i imenilac. Razlomak 5/9 se može pomnožiti dodatnim faktorom 2, što rezultira razlomkom jednakim datom - 10/18. Isto radimo i sa drugim razlomkom: pomnožimo 5/6 sa 3, što rezultira 15/18.

Kao što možemo vidjeti iz gornjeg primjera, oba razlomka su svedena na njihov najmanji zajednički nazivnik. Da biste konačno shvatili kako pronaći zajednički nazivnik, morate savladati još jedno svojstvo razlomaka. Ona leži u činjenici da se brojnik i nazivnik razlomka mogu smanjiti za isti broj, koji se naziva zajednički djelitelj. Na primjer, razlomak 12/30 može se smanjiti na 2/5 ako se podijeli svojim zajedničkim djeliteljem - brojem 6.

U ovoj lekciji ćemo se osvrnuti na svođenje razlomaka na zajednički nazivnik i rješavati probleme na ovu temu. Definirajmo pojam zajedničkog nazivnika i dodatnog faktora, podsjetimo se na uzajamni primarni brojevi. Hajde da definišemo koncept najnižeg zajedničkog nazivnika (LCD) i rešimo niz zadataka da ga pronađemo.

Tema: Sabiranje i oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima

Lekcija: Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik

Ponavljanje. Glavno svojstvo razlomka.

Ako se brojnik i nazivnik razlomka pomnože ili podijele istim prirodnim brojem, dobićete jednak razlomak.

Na primjer, brojnik i nazivnik razlomka se mogu podijeliti sa 2. Dobijamo razlomak. Ova operacija se naziva redukcija frakcije. Također možete izvršiti inverznu transformaciju množenjem brojnika i nazivnika razlomka sa 2. U ovom slučaju kažemo da smo razlomak sveli na novi imenilac. Broj 2 se naziva dodatni faktor.

Zaključak. Razlomak se može svesti na bilo koji nazivnik koji je višekratnik nazivnika datog razlomka. Da bi se razlomak doveo do novog nazivnika, njegov brojnik i imenilac se množe sa dodatnim faktorom.

1. Smanjite razlomak na imenilac 35.

Broj 35 je višekratnik broja 7, odnosno 35 je djeljiv sa 7 bez ostatka. To znači da je ova transformacija moguća. Hajde da pronađemo dodatni faktor. Da biste to učinili, podijelite 35 sa 7. Dobijamo 5. Pomnožite brojilac i nazivnik originalnog razlomka sa 5.

2. Smanjite razlomak na imenilac 18.

Hajde da pronađemo dodatni faktor. Da biste to učinili, podijelite novi nazivnik s originalnim. Dobijamo 3. Pomnožimo brojilac i imenilac ovog razlomka sa 3.

3. Smanjite razlomak na imenilac 60.

Dijeljenje 60 sa 15 daje dodatni faktor. Jednako je sa 4. Pomnožite brojilac i imenilac sa 4.

4. Smanjite razlomak na imenilac 24

U jednostavnim slučajevima, svođenje na novi nazivnik se izvodi mentalno. Uobičajeno je samo označiti dodatni faktor iza zagrade malo udesno i iznad originalnog razlomka.

Razlomak se može svesti na imenilac 15, a razlomak na imenilac 15. Razlomci takođe imaju zajednički imenilac 15.

Zajednički imenilac razlomaka može biti bilo koji zajednički višekratnik njihovih nazivnika. Radi jednostavnosti, razlomci su svedeni na njihov najmanji zajednički nazivnik. Jednaka je najmanjem zajedničkom višekratniku nazivnika datih razlomaka.

Primjer. Svesti na najmanji zajednički nazivnik razlomka i .

Prvo, pronađimo najmanji zajednički višekratnik nazivnika ovih razlomaka. Ovaj broj je 12. Nađimo dodatni faktor za prvi i drugi razlomak. Da biste to učinili, podijelite 12 sa 4 i 6. Tri je dodatni faktor za prvi razlomak, a dva je za drugi. Dovedemo razlomke do imenioca 12.

Razlomke smo doveli na zajednički imenilac, odnosno našli smo jednake razlomke koji imaju isti imenilac.

Pravilo. Da biste sveli razlomke na njihov najmanji zajednički nazivnik, morate

Prvo, pronađite najmanji zajednički višekratnik nazivnika ovih razlomaka, to će biti njihov najmanji zajednički imenilac;

Drugo, podijelite najmanji zajednički imenilac sa nazivnicima ovih razlomaka, tj. pronađite dodatni faktor za svaki razlomak.

Treće, pomnožite brojilac i imenilac svakog razlomka njegovim dodatnim faktorom.

a) Svesti razlomke i na zajednički imenilac.

Najmanji zajednički imenilac je 12. Dodatni faktor za prvi razlomak je 4, za drugi - 3. Razlomke svodimo na imenilac 24.

b) Razlomke svesti na zajednički imenilac.

Najmanji zajednički imenilac je 45. Deljenjem 45 sa 9 sa 15 dobijamo 5, odnosno 3. Razlomke svodimo na imenilac 45.

c) Razlomke svesti na zajednički imenilac.

Zajednički imenilac je 24. Dodatni faktori su 2 i 3, respektivno.

Ponekad može biti teško verbalno pronaći najmanji zajednički višekratnik nazivnika datih razlomaka. Tada se zajednički imenilac i dodatni faktori pronalaze korištenjem prostih faktora.

Svedite razlomke i na zajednički imenilac.

Razložimo brojeve 60 i 168 u proste faktore. Napišimo proširenje broja 60 i dodajmo faktore koji nedostaju 2 i 7 iz drugog proširenja. Pomnožimo 60 sa 14 i dobijemo zajednički imenilac 840. Dodatni faktor za prvi razlomak je 14. Dodatni faktor za drugi razlomak je 5. Dovedimo razlomke na zajednički imenilac od 840.

Bibliografija

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. i dr. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6. razred. - Gimnazija, 2006.

3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Iza stranica udžbenika matematike. - Prosvjeta, 1989.

4. Rurukin A.N., Čajkovski I.V. Zadaci za predmet matematike za 5-6 razred. - ZŠ MEPhI, 2011.

5. Rurukin A.N., Sočilov S.V., Čajkovski K.G. Matematika 5-6. Priručnik za učenike 6. razreda dopisne škole MEPhI. - ZŠ MEPhI, 2011.

6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. i dr. Matematika: Udžbenik-sagovornik za 5-6 razred srednja škola. Biblioteka nastavnika matematike. - Prosvjeta, 1989.

Možete preuzeti knjige navedene u tački 1.2. ove lekcije.

Zadaća

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. i drugi Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (link vidi 1.2).

Domaći: br. 297, br. 298, br. 300.

Ostali zadaci: br. 270, br. 290

Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik

Razlomci imam iste nazivnike. Kažu da imaju zajednički imenilac 25. Razlomci i imaju različiti imenioci, ali se mogu svesti na zajednički nazivnik koristeći osnovno svojstvo razlomaka. Da bismo to učinili, pronaći ćemo broj koji je djeljiv sa 8 i 3, na primjer, 24. Dovedemo razlomke do nazivnika 24, da bismo to učinili, pomnožimo brojilac i nazivnik razlomka sa dodatni množitelj 3. Dodatni faktor se obično piše lijevo iznad brojilaca:

Pomnožite brojilac i nazivnik razlomka dodatnim faktorom 8:

Dovedemo razlomke na zajednički imenilac. Najčešće se razlomci svode na najmanji zajednički nazivnik, koji je najmanji zajednički višekratnik nazivnika datih razlomaka. Pošto je LCM (8, 12) = 24, onda se razlomci mogu svesti na imenilac od 24. Nađimo dodatne faktore razlomaka: 24:8 = 3, 24:12 = 2. Tada

Nekoliko razlomaka se može svesti na zajednički nazivnik.

Primjer. Dovedemo razlomke na zajednički imenilac. Kako je 25 = 5 2, 10 = 2 5, 6 = 2 3, onda je LCM (25, 10, 6) = 2 3 5 2 = 150.

Hajde da pronađemo dodatne faktore razlomaka i dovedemo ih do imenioca 150:

Poređenje razlomaka

Na sl. Na slici 4.7 prikazan je segment AB dužine 1. Podijeljen je na 7 jednaki dijelovi. Segment AC ima dužinu , a segment AD ima dužinu .

Dužina segmenta AD je veća od dužine segmenta AC, tj. razlomak je veći od razlomka

Od dva razlomka sa zajedničkim nazivnikom, veći je onaj sa većim brojnikom, tj.

Na primjer, ili

Da biste uporedili bilo koja dva razlomka, svedite ih na zajednički nazivnik, a zatim primijenite pravilo za poređenje razlomaka sa zajedničkim nazivnikom.

Primjer. Uporedite razlomke

Rješenje. LCM (8, 14) = 56. Tada je 21 > 20

Ako je prvi razlomak manje od drugog, a drugi je manji od trećeg, onda je prvi manji od trećeg.

Dokaz. Neka su data tri razlomka. Hajde da ih dovedemo do zajedničkog imenioca. Neka onda izgledaju kao Pošto je prvi razlomak manji

drugo, zatim r< s. Так как вторая дробь меньше третьей, то s < t. Из полученных неравенств для prirodni brojevi slijedi da je r< t, тогда первая дробь меньше третьей.

Razlomak se zove ispravan, ako mu je brojilac manji od nazivnika.

Razlomak se zove pogrešno, ako je njegov brojnik veći ili jednak nazivniku.

Na primjer, razlomci su pravilni, a razlomci nepravilni.

Pravi razlomak je manji od 1, i nepravilan razlomak veći ili jednak 1.