Sistem homojendir. Lineer denklemlerin homojen sistemleri

doğrusal sistem denir homojen tüm serbest terimleri 0 ise.

Matris formunda homojen sistem şu şekilde yazılır:
.

Homojen sistem (2) her zaman tutarlıdır . Açıktır ki, sayılar kümesi
,
, …,
sistemin her denklemini karşılar. Çözüm
isminde sıfır veya önemsiz karar. Bu nedenle, homojen bir sistemin her zaman sıfır çözümü vardır.

Homojen sistemin (2) hangi koşullar altında sıfır olmayan (önemsiz olmayan) çözümleri olacaktır?

Teorem 1.3 Homojen sistem (2) sıfır olmayan çözümlere sahiptir ancak ve ancak sıralama R ana matrisi daha az bilinmeyen N .

Sistem (2) - belirsiz
.

Sonuç 1. Denklem sayısı ise M homojen sistem değişken sayısından daha azdır
, o zaman sistem belirsizdir ve sıfırdan farklı çözümler kümesine sahiptir.

Sonuç 2. Kare homojen sistem
sıfırdan farklı çözümlere sahipse ve bu sistemin ana matrisi ise dejenere, yani belirleyici
.

Aksi takdirde, eğer determinant
, kare homojen sistem vardır Sadece bir şey sıfır çözüm
.

Sistemin sıralamasına izin verin (2)
yani sistem (2) önemsiz olmayan çözümlere sahiptir.

İzin vermek Ve - bu sistemin özel çözümleri, örn.
Ve
.

Homojen Sistem Çözümlerinin Özellikleri

Gerçekten mi, .

Gerçekten mi, .

1) ve 2) özelliklerini birleştirerek şunu söyleyebiliriz:

…,
- homojen sistemin çözümleri (2), o zaman bunların herhangi bir doğrusal kombinasyonu da onun çözümüdür. Burada
keyfi gerçek sayılardır.

Bulunabilir
lineer bağımsız özel çözümler Bu sistemin başka herhangi bir özel çözümünü elde etmek için kullanılabilen homojen sistem (2), yani (2) sisteminin genel çözümünü elde edin.

Tanım 2.2 agrega
lineer bağımsız özel çözümler

…,
(2) sisteminin her bir çözümünün doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebildiği homojen sistem (2) olarak adlandırılır. temel karar sistemi homojen sistemin (FSR) (2).

İzin vermek

…,
temel çözüm sistemi ise, o zaman homojen sistemin (2) genel çözümü şu şekilde temsil edilebilir:

Nerede

.

Yorum. FSR'yi almak için özel çözümler bulmanız gerekir

…,
, sırayla herhangi bir serbest değişkene "1" değerini ve diğer tüm serbest değişkenlere - "0" değerini verir.

Elde etmek ,, …,- FSR.

Örnek. Homojen denklem sisteminin genel çözümünü ve temel çözüm sistemini bulun:

Çözüm. Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım, önce sistemin son denklemini birinci sıraya koyalım ve basamaklı forma indirgeyelim. Temel dönüşümler sonucunda denklemlerin sağ tarafları değişmediğinden, sütun sıfır olarak kalır.

yazılmamış olabilir.

̴
̴
̴

Sistem sıralaması nerede
- değişken sayısı. Sistem belirsizdir ve birçok çözümü vardır.

Değişkenlerle temel minör
sıfırdan farklı:
seçmek
temel değişkenler olarak, geri kalanı
- serbest değişkenler (herhangi bir gerçek değeri alın).

Zincirdeki son matris, kademeli denklem sistemine karşılık gelir:

(3)

Temel değişkenleri ifade edin
serbest değişkenler aracılığıyla
(Gauss yönteminin tersi).

ifade ettiğimiz son denklemden :
ve ilk denklemde yerine koyun. Alacağız. Parantezleri açıp benzerlerini veriyoruz ve ifade ediyoruz. :
.

varsayarak
,
,
, Nerede
, yazmak

sistemin genel çözümüdür.

Temel bir çözüm sistemi bulalım

,,.

O halde homojen sistemin genel çözümü şu şekilde yazılabilir:

Yorum. FSR, önce sistemin genel çözümünü bulmadan başka bir şekilde bulunabilir. Bunu yapmak için, ortaya çıkan adım sisteminin (3) üç kez çözülmesi gerekiyordu; :
; İçin :
; İçin :
.

Lineer cebirsel denklemlerin homojen sistemleri

dersler içinde Gauss yöntemi Ve Uyumsuz sistemler/ortak bir çözüme sahip sistemler Düşündük homojen olmayan lineer denklem sistemleri, Nerede Ücretsiz Üye(genellikle sağdadır) en az bir denklemlerin sayısı sıfırdan farklıydı.
Ve şimdi, iyi bir ısınmadan sonra matris sıralaması, tekniği cilalamaya devam edeceğiz temel dönüşümler Açık doğrusal denklemlerin homojen sistemi.
İlk paragraflara göre malzeme sıkıcı ve sıradan görünebilir ancak bu izlenim aldatıcıdır. Gelişen tekniklerin yanı sıra pek çok yeni bilgi de olacak bu nedenle bu yazıdaki örnekleri de ihmal etmemeye çalışın.

Homojen bir lineer denklem sistemi nedir?

Cevap kendini gösteriyor. Serbest terim ise bir lineer denklem sistemi homojendir. herkes sistem denklemi sıfırdır. Örneğin:

Şurası çok açık ki homojen sistem her zaman tutarlıdır, yani her zaman bir çözümü vardır. Ve her şeyden önce, sözde önemsizçözüm . Sıfatın anlamını hiç anlamayanlar için önemsiz, bespontovoe anlamına gelir. Elbette akademik olarak değil, ama anlaşılır bir şekilde =) ... Neden lafı dolandırmaya çalışalım, bu sistemin başka çözümleri olup olmadığını öğrenelim:

örnek 1

Çözüm: homojen bir sistemi çözmek için yazmak gerekir sistem matrisi ve temel dönüşümlerin yardımıyla onu kademeli bir forma getirin. Burada ücretsiz üyelerin dikey çubuğunu ve sıfır sütununu yazmanıza gerek olmadığını unutmayın - sonuçta, sıfırlarla ne yaparsanız yapın, sıfır olarak kalacaklardır:

(1) Birinci satır, ikinci satıra eklenir ve -2 ile çarpılır. Birinci satır üçüncü satıra eklenir, -3 ile çarpılır.

(2) Üçüncü satıra ikinci satır eklenir ve -1 ile çarpılır.

Üçüncü satırı 3'e bölmek pek mantıklı değil.

Temel dönüşümlerin bir sonucu olarak, eşdeğer bir homojen sistem elde edilir. ve Gauss yönteminin ters hareketini uygulayarak, çözümün benzersiz olduğunu doğrulamak kolaydır.

Cevap:

Bariz bir kriter formüle edelim: homojen bir doğrusal denklem sistemi vardır sadece önemsiz çözüm, Eğer sistem matris sıralaması(bu durumda 3) değişken sayısına eşittir (bu durumda 3 adet).

Radyomuzu bir temel dönüşüm dalgasına göre ısıtıyoruz ve ayarlıyoruz:

Örnek 2

Homojen bir lineer denklem sistemini çözme

makaleden Bir matrisin rankı nasıl bulunur? matrisin sayılarını tesadüfen azaltmanın rasyonel yöntemini hatırlıyoruz. Aksi takdirde, büyük ve genellikle ısıran balıkları kesmeniz gerekecektir. Dersin sonunda bir ödev örneği.

Sıfırlar iyi ve uygundur, ancak pratikte durum, sistemin matrisinin satırları olduğunda çok daha yaygındır. lineer bağımlı. Ve sonra genel bir çözümün ortaya çıkması kaçınılmazdır:

Örnek 3

Homojen bir lineer denklem sistemini çözme

Çözüm: sistemin matrisini yazıyoruz ve temel dönüşümleri kullanarak onu bir adım formuna getiriyoruz. İlk eylem, yalnızca tek bir değer elde etmeyi değil, aynı zamanda ilk sütundaki sayıları azaltmayı da amaçlar:

(1) Üçüncü satır birinci satıra eklenir ve -1 ile çarpılır. Üçüncü satır, ikinci satıra eklenir ve -2 ile çarpılır. Sol üstte, daha sonraki dönüşümler için genellikle çok daha uygun olan "eksi" olan bir birimim var.

(2) İlk iki satır aynıdır, biri kaldırılmıştır. Dürüst olmak gerekirse, kararı düzeltmedim - oldu. Bir şablonda dönüşümler gerçekleştirirseniz, o zaman doğrusal bağımlılıkçizgiler biraz sonra ortaya çıkacaktı.

(3) Üçüncü satıra, ikinci satırı 3 ile çarparak ekleyin.

(4) İlk satırın işareti değiştirildi.

Temel dönüşümlerin bir sonucu olarak, eşdeğer bir sistem elde edilir:

Algoritma, ile tamamen aynı şekilde çalışır. heterojen sistemler. "Basamaklarda oturan" değişkenler ana değişkenlerdir, "adımları" almayan değişken ücretsizdir.

Temel değişkenleri serbest değişken cinsinden ifade ediyoruz:

Cevap: ortak karar:

Önemsiz çözüm genel formülde yer alır ve ayrıca yazılmasına gerek yoktur.

Doğrulama ayrıca olağan şemaya göre gerçekleştirilir: elde edilen genel çözüm, sistemin her denkleminin sol tarafında değiştirilmelidir ve tüm ikameler için meşru bir sıfır elde edilmelidir.

Bu sessizce sona erdirilebilir, ancak homojen bir denklem sisteminin çözümünün genellikle temsil edilmesi gerekir. vektör biçiminde kullanarak temel karar sistemi. Lütfen geçici olarak unutun analitik geometri, çünkü şimdi hakkında bir makalede biraz açtığım genel cebirsel anlamda vektörlerden bahsedeceğiz. matris sıralaması. Terminolojiyi gölgelemeye gerek yok, her şey oldukça basit.

Doğrusal homojen denklem sistemleri- ∑a k ben x i = 0 şeklindedir. burada m > n veya m Homojen bir lineer denklem sistemi her zaman tutarlıdır, çünkü rangA = rangB . Kesinlikle sıfırlardan oluşan bir çözümü var, buna denir. önemsiz.

hizmet ataması. Çevrimiçi hesaplayıcı, SLAE'ye önemsiz ve temel bir çözüm bulmak için tasarlanmıştır. Ortaya çıkan çözüm bir Word dosyasına kaydedilir (çözüm örneğine bakın).

Talimat. Matrisin boyutunu seçin:

Doğrusal homojen denklem sistemlerinin özellikleri

Sistemin olması için önemsiz olmayan çözümler, matrisinin rankının bilinmeyen sayısından küçük olması gerekli ve yeterlidir.

teorem. m=n durumunda sistemin aşikar olmayan bir çözümü vardır, ancak ve ancak bu sistemin determinantı sıfıra eşitse.

teorem. Bir sistemdeki çözümlerin herhangi bir lineer kombinasyonu, aynı zamanda o sistem için de bir çözümdür.
Tanım. Bir doğrusal homojen denklem sisteminin çözüm kümesine denir. temel karar sistemi bu koleksiyon doğrusal olarak bağımsız çözümlerden oluşuyorsa ve sistemin herhangi bir çözümü bu çözümlerin doğrusal bir kombinasyonuysa.

teorem. Sistem matrisinin r sırası bilinmeyenlerin sayısından küçükse, o zaman (n-r) çözümlerden oluşan temel bir çözüm sistemi vardır.

Doğrusal homojen denklem sistemlerini çözmek için algoritma

1. Matrisin rankını bulun.
2. Temel minörü seçiyoruz. Bağımlı (temel) ve serbest bilinmeyenleri seçiyoruz.
3. Katsayıları temel minöre dahil edilmeyen sistemin denklemlerini, geri kalanının sonuçları oldukları için (temel küçük teoreme göre) çiziyoruz.
4. Serbest bilinmeyenler içeren denklemlerin terimleri sağ tarafa aktarılacaktır. Sonuç olarak, determinantı sıfırdan farklı olan, verilene eşdeğer, r bilinmeyenli bir r denklem sistemi elde ederiz.
5. Bilinmeyenleri eleyerek ortaya çıkan sistemi çözüyoruz. Bağımlı değişkenleri serbest olanlar cinsinden ifade eden ilişkiler buluyoruz.
6. Matrisin rankı değişken sayısına eşit değilse sistemin temel çözümünü buluruz.
7. rang = n durumunda önemsiz bir çözümümüz var.

Örnek. Vektörler sisteminin (a 1 , a 2 ,...,a m) tabanını bulun, vektörleri sıralayın ve taban cinsinden ifade edin. a 1 =(0,0,1,-1) ve 2 =(1,1,2,0) ve 3 =(1,1,1,1) ve 4 =(3,2,1 ,4) ise , ve 5 =(2,1,0,3).
Sistemin ana matrisini yazıyoruz:

3. satırı (-3) ile çarpın. 3. satıra 4. satırı ekleyelim:

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
3	2	1	4
2	1	0	3

4. satırı (-2) ile çarpın. 5. satırı (3) ile çarpın. 4. satıra 5. satırı ekleyelim:
2. satırı 1. satıra ekleyelim:
Matrisin rankını bulun.
Bu matrisin katsayılarına sahip sistem, orijinal sisteme eşdeğerdir ve şu şekildedir:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2 x 3 = - x 4
2x1 + x2 = - 3x4
Bilinmeyenleri ortadan kaldırma yöntemiyle önemsiz olmayan bir çözüm buluyoruz:
x 1, x 2, x 3'ten serbest x 4'e kadar bağımlı değişkenleri ifade eden ilişkilerimiz var, yani genel bir çözüm bulduk:
x3 = x4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4

sistem M lineer denklemler c N bilinmeyen denir lineer homojen sistem tüm serbest terimler sıfıra eşitse denklemler. Böyle bir sistem şuna benzer:

Nerede ve ben (ben = 1, 2, …, M; J = 1, 2, …, N) - verilen sayılar; x ben- Bilinmeyen.

Doğrusal homojen denklemler sistemi her zaman tutarlıdır, çünkü R(bir) = R(). Her zaman en az sıfıra sahiptir ( önemsiz) çözüm (0; 0; ...; 0).

Homojen sistemlerin hangi koşullar altında sıfır olmayan çözümlere sahip olduğunu düşünelim.

teorem 1. Bir lineer homojen denklem sisteminin sıfır olmayan çözümleri vardır, ancak ve ancak ana matrisinin rankı R daha az bilinmeyen N, yani R < N.

□ 1). Doğrusal homojen denklem sisteminin sıfır olmayan bir çözümü olsun. Rank, matrisin boyutunu aşamadığı için açıktır ki R ≤ N. İzin vermek R = N. Sonra küçük boylardan biri n n sıfırdan farklı Bu nedenle, karşılık gelen doğrusal denklem sisteminin benzersiz bir çözümü vardır: , , . Bu nedenle, önemsiz olanlardan başka çözüm yoktur. Öyleyse, önemsiz olmayan bir çözüm varsa, o zaman R < N.

2). İzin vermek R < N. O halde tutarlı olan homojen bir sistem belirsizdir. Bu nedenle, sonsuz sayıda çözümü vardır, yani. sıfır olmayan çözümleri de vardır. ■

Homojen bir sistem düşünün N lineer denklemler c N Bilinmeyen:

(2)

Teorem 2. homojen sistem N lineer denklemler c N bilinmeyenler (2), ancak ve ancak determinantı sıfıra eşitse sıfır olmayan çözümlere sahiptir: = 0.

□ Eğer sistem (2)'nin sıfır olmayan bir çözümü varsa, o zaman = 0. için, sistemin yalnızca tek bir sıfır çözümü vardır. Eğer = 0 ise, sıralama R sistemin ana matrisi bilinmeyen sayısından daha azdır, yani R < N. Ve bu nedenle, sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır, yani. sıfır olmayan çözümleri de vardır. ■

Sistemin çözümünü belirtin (1) X 1 = k 1 , X 2 = k 2 , …, x n = kn dizi olarak .

Bir lineer homojen denklem sisteminin çözümleri aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1. eğer dize sistem (1) için bir çözümdür, o zaman dizi de sistem (1) için bir çözümdür.

2. eğer çizgiler ve (1) sisteminin çözümleridir, o zaman herhangi bir değer için İle 1 ve İle 2 lineer kombinasyonları da sistem (1) için bir çözümdür.

Bu özelliklerin geçerliliğini, bunları doğrudan sistemin denklemlerinde yerine koyarak kontrol edebilirsiniz.

Formüle edilmiş özelliklerden, doğrusal homojen denklemler sistemine yönelik herhangi bir doğrusal çözüm kombinasyonunun da bu sistem için bir çözüm olduğu sonucu çıkar.

Lineer bağımsız çözümler sistemi e 1 , e 2 , …, er isminde esas, eğer sistem (1)'in her çözümü bu çözümlerin lineer bir kombinasyonu ise e 1 , e 2 , …, er.

Teorem 3. eğer rütbe R doğrusal homojen denklemler sisteminin değişkenleri için katsayı matrisi (1), değişken sayısından daha azdır N, o zaman (1) sistemine yönelik herhangi bir temel çözüm sistemi şunlardan oluşur: n-rçözümler.

Bu yüzden ortak karar doğrusal homojen denklem sistemi (1) şu şekildedir:

Nerede e 1 , e 2 , …, er sisteme (9) yönelik herhangi bir temel çözüm sistemidir, İle 1 , İle 2 , …, p ile- isteğe bağlı sayılar, R = n-r.

Teorem 4. Genel sistem çözümü M lineer denklemler c N bilinmeyenler, karşılık gelen lineer homojen denklemler sisteminin (1) genel çözümünün ve bu sistemin keyfi bir özel çözümünün (1) toplamına eşittir.

Örnek. sistemi çöz

Çözüm. bu sistem için M = N= 3. Belirleyici

Teorem 2'ye göre, sistemin yalnızca önemsiz bir çözümü vardır: X = y = z = 0.

Örnek. 1) Sistemin genel ve özel çözümlerini bulun

2) Temel bir çözüm sistemi bulun.

Çözüm. 1) Bu sistem için M = N= 3. Belirleyici

Teorem 2'ye göre, sistemin sıfır olmayan çözümleri vardır.

Sistemde tek bir bağımsız denklem olduğu için

X + y – 4z = 0,

sonra ondan ifade ederiz X =4z- y. Sonsuz bir çözüm kümesi elde ettiğimiz yerden: (4 z- y, y, z) sistemin genel çözümüdür.

-de z= 1, y= -1, belirli bir çözüm elde ederiz: (5, -1, 1). koyarak z= 3, y= 2, ikinci özel çözümü elde ederiz: (10, 2, 3), vb.

2) Genel çözümde (4 z- y, y, z) değişkenler y Ve zücretsiz ve değişken X- onlara bağlı. Temel çözüm sistemini bulmak için, serbest değişkenlere değerler atarız: önce y = 1, z= 0, o zaman y = 0, z= 1. Temel çözüm sistemini oluşturan özel çözümler (-1, 1, 0), (4, 0, 1) elde ediyoruz.

İllüstrasyonlar:

Pirinç. 1 Doğrusal denklem sistemlerinin sınıflandırılması

Pirinç. 2 Doğrusal denklem sistemlerinin incelenmesi

Sunumlar:

SLAE_matrix yöntemini çözme

Çözüm SLAU_Cramer'ın yöntemi

Çözüm SLAE_Gauss yöntemi

· Matematik problemlerini çözmek için paketler Matematik: lineer denklem sistemlerinin analitik ve sayısal çözümlerini aramak

Kontrol soruları:

1. Doğrusal bir denklem tanımlayın

2. Ne tür bir sistem M doğrusal denklemler N Bilinmeyen?

3. Doğrusal denklem sistemlerinin çözümüne ne denir?

4. Hangi sistemlere eşdeğer denir?

5. Hangi sisteme uyumsuz denir?

6. Hangi sisteme eklem denir?

7. Hangi sisteme tanımlı denir?

8. Hangi sisteme belirsiz denir

9. Doğrusal denklem sistemlerinin temel dönüşümlerini listeleyin

10. Matrislerin temel dönüşümlerini listeleyin

11. Temel dönüşümlerin bir lineer denklem sistemine uygulanmasına ilişkin bir teorem formüle edin

12. Matris yöntemi ile hangi sistemler çözülebilir?

13. Cramer yöntemi ile hangi sistemler çözülebilir?

14. Hangi sistemler Gauss yöntemi ile çözülebilir?

15. Gauss yöntemini kullanarak doğrusal denklem sistemlerini çözerken ortaya çıkan 3 olası durumu listeleyin

16. Doğrusal denklem sistemlerini çözmek için matris yöntemini tanımlayın.

17. Lineer denklem sistemlerini çözmek için Cramer'in yöntemini tanımlayın

18. Doğrusal denklem sistemlerini çözmek için Gauss yöntemini tanımlayın.

19. Ters matris kullanılarak hangi sistemler çözülebilir?

20. Lineer denklem sistemlerini Cramer yöntemini kullanarak çözerken ortaya çıkan 3 olası durumu listeleyin

Edebiyat:

1. Ekonomistler için yüksek matematik: Üniversiteler için ders kitabı / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, MN Fridman. Ed. N.Ş. Kremer. - M.: UNITI, 2005. - 471 s.

2. Ekonomistler için yüksek matematik genel kursu: Ders Kitabı. / Ed. İÇİNDE VE. Yermakov. -M.: INFRA-M, 2006. - 655 s.

3. Ekonomistler için yüksek matematik problemlerinin toplanması: Ders Kitabı / Düzenleyen V.I. Yermakov. M.: INFRA-M, 2006. - 574 s.

4. V. E. Gmurman, Olasılık Teorisi ve Magmatik İstatistikte Problem Çözme Rehberi. - M.: Yüksekokul, 2005. - 400 s.

5. Gmurman. VE Olasılık Teorisi ve Matematiksel İstatistik. - M.: Lise, 2005.

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Alıştırmalarda ve görevlerde daha yüksek matematik. Bölüm 1, 2. - M .: Onyx 21. yüzyıl: Dünya ve eğitim, 2005. - 304 s. Bölüm 1; – 416 s. Bölüm 2

7. İktisatta Matematik: Ders Kitabı: 2 saatte / A.S. Solodovnikov, V. A. Babaitsev, A.V. Brailov, I.G. Şandara. - M.: Finans ve istatistik, 2006.

8. Shipachev V.S. Yüksek Matematik: Öğrenciler için ders kitabı. üniversiteler - M .: Yüksek okul, 2007. - 479 s.

Benzer bilgiler.

Dikkate almak homojen sistem n değişkenli m lineer denklemler:

(15)

Homojen lineer denklem sistemi her zaman uyumludur, çünkü her zaman sıfır (önemsiz) bir çözümü vardır (0,0,…,0).

(15) sisteminde ise m=n ve , o zaman sistemin teorem ve Cramer formüllerinden çıkan yalnızca sıfır çözümü vardır.

teorem 1. Homojen sistem (15), ancak ve ancak matrisinin sıralaması değişken sayısından küçükse önemsiz olmayan bir çözüme sahiptir, yani. . R(A)< N.

Kanıt. Önemsiz olmayan bir sistem (15) çözümünün varlığı, sistem matrisinin sütunlarının doğrusal bağımlılığına eşdeğerdir (yani, böyle sayılar vardır x 1 , x 2 ,…, x n , hepsi sıfıra eşit değil , eşitliklerin (15) geçerli olduğu).

Temel minör teoreme göre, bir matrisin sütunları lineer olarak  bağımlıdır, bu matrisin tüm sütunları temel olmadığında, yani  matrisin temel minör sırası r, sütunlarının n sayısından küçük olduğunda. Ch.t.d.

Sonuçlar. Bir kare homojen sistemin |A|=0 olduğunda önemsiz olmayan  çözümleri vardır.

teorem 2. Homojen sistemin çözümünün x (1), x (2), ..., x (s) sütunları AX=0 ise, bunların herhangi bir lineer kombinasyonu da bu sistemin bir çözümüdür.

Kanıt. Herhangi bir çözüm kombinasyonunu düşünün:

O zaman AX=A()===0. h.t.d.

Sonuç 1. Homojen bir sistemin önemsiz olmayan bir çözümü varsa, o zaman sonsuz sayıda çözümü vardır.

O. Ax = 0 sisteminin x(1), x(2), ..., x(s) gibi çözümlerini bulmak gereklidir, böylece bu sistemin diğer herhangi bir çözümü bunların lineer bir kombinasyonu olarak gösterilebilir ve , dahası, benzersiz bir şekilde.

Tanım. Ax=0 sisteminin x(1) ,x(2) ,…,x(k) lineer bağımsız çözümlerinin k=n-r (n sistemdeki bilinmeyen sayısıdır, r=rg A) sistemine denir. temel karar sistemi bu sistem.

teorem 3. n bilinmeyenli ve r=rg A homojen bir Ax=0 sistemi verilsin.Daha sonra bu sistemin x(1) ,x(2) ,…,x(k) k=n-r çözümlerinin bir kümesi vardır. temel çözüm sistemi

Kanıt. Genelliği kaybetmeden, A matrisinin taban minörünün sol üst köşede olduğunu varsayabiliriz. Daha sonra, temel minör teoremine göre, A matrisinin geri kalan satırları, temel satırların doğrusal kombinasyonlarıdır. Bu, x 1 ,x 2 ,…,x n değerlerinin ilk r denklemini karşılaması anlamına gelir, yani. temel minörün sıralarına karşılık gelen denklemler), o zaman diğer denklemleri de sağlarlar. Bu nedenle, (r + 1)'den başlayan tüm denklemler atılırsa sistemin çözüm kümesi değişmeyecektir. Sistemi alıyoruz:

Serbest bilinmeyen x r +1, x r +2 ,…,x n'yi sağ tarafa taşıyalım ve temel x 1 , x 2 ,…, x r'yi sol tarafta bırakalım:

(16)

Çünkü bu durumda, tüm b i = 0, o zaman formüller yerine

c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a ben , r +1)-…-c n M j (a inç)) j=1,2,…,r ((13), şunu elde ederiz:

c j =-(c r +1 M j (a ben , r +1)-…-c n M j (a inç)) j=1,2,…,r (13)

Serbest bilinmeyenler х r +1 ,х r +2 ,…,x n keyfi değerlere ayarlanırsa, o zaman temel bilinmeyenlere göre benzersiz bir çözümü olan tekil olmayan bir matrise sahip bir kare SLAE elde ederiz. Bu nedenle, homojen bir SLAE'nin herhangi bir çözümü, benzersiz olarak serbest bilinmeyenlerin değerleri tarafından belirlenir х r +1 ,х r +2 ,…,x n . Aşağıdaki k=n-r serisi ücretsiz bilinmeyenleri göz önünde bulundurun:

1, =0, ….,=0,

1, =0, ….,=0, (17)

………………………………………………

1, =0, ….,=0,

(Seri numarası parantez içinde üst simge ile gösterilir ve değerler dizisi sütunlara yazılır. Her dizide i=j ise =1 ve ij ise =0.

Serbest bilinmeyenlerin i-th serisi değerleri benzersiz bir şekilde temel bilinmeyenlerin değerlerine karşılık gelir. Serbest ve temel bilinmeyenlerin değerleri birlikte sisteme çözümler verir (17).

e i =,i=1,2,…,k sütunlarının (18) olduğunu gösterelim.

temel bir çözüm sistemi oluşturur.

Çünkü bu sütunlar yapısal olarak Ax=0 homojen sisteminin çözümleridir ve sayıları k'ye eşittir, o zaman geriye çözümlerin doğrusal bağımsızlığını kanıtlamak kalır (16). Çözümlerin doğrusal bir kombinasyonu olsun e 1 , e 2 ,…, e k(x (1) , x (2) ,…, x (k)), sıfır sütununa eşittir:

 1 e 1 +  2 e 2 +…+ k e k ( 1 X (1) + 2 X(2) +…+ k X(k) = 0)

O halde bu eşitliğin sol tarafı r+1,r+2,…,n numaralı bileşenleri sıfıra eşit olan bir sütundur. Ancak (r+1)inci bileşen  1 1+ 2 0+…+ k 0= 1'e eşittir. Benzer şekilde, (r+2)-inci bileşen  2 ,…'ye eşittir, k-inci bileşen  k'ye eşittir. Bu nedenle  1 =  2 = …= k =0, yani çözümlerin lineer bağımsızlığı e 1 , e 2 ,…, e k ( x (1) , x (2) ,…, x (k)).

Oluşturulan temel çözüm sistemine (18) denir. normal. Formül (13) sayesinde, aşağıdaki forma sahiptir:

(20)

Sonuç 2. İzin vermek e 1 , e 2 ,…, e k-homojen bir sistemin normal temel çözüm sistemi, daha sonra tüm çözümlerin kümesi aşağıdaki formülle açıklanabilir:

x=c 1 e 1 + 2'den e 2 +…+с k e k (21)

burada с 1 ,с 2 ,…,с k – isteğe bağlı değerler alır.

Kanıt. Teorem 2'ye göre, sütun (19), Ax=0 homojen sisteminin bir çözümüdür. Geriye bu sistemin herhangi bir çözümünün (17) biçiminde temsil edilebileceğini kanıtlamak kalır. Bir sütun düşünün X=y r +1 e 1 +…+yn e k. Bu sütun r+1,…,n numaralı elemanlar açısından y sütununa denk gelir ve (16)'nın çözümüdür. Bu nedenle sütunlar X Ve de maç, çünkü (16) sisteminin çözümleri, serbest bilinmeyenlerinin x r +1 ,…,x n değerleri kümesi ve sütunları tarafından benzersiz bir şekilde belirlenir. de Ve X bu setler eşleşir. Buradan, de=X= y r +1 e 1 +…+yn e k, yani çözüm de sütunların doğrusal birleşimidir e 1 ,…,y n normal FSR. Ch.t.d.

Kanıtlanan iddia, yalnızca normal FSR için değil, aynı zamanda homojen bir SLAE'nin keyfi bir FSR'si için de doğrudur.

X=C 1 X 1 + C 2 X 2 +…+s N - R X N - R - ortak karar doğrusal homojen denklem sistemleri

Х 1 ,Х 2 ,…,Х n - r herhangi bir temel çözüm sistemi olduğunda,

c 1 ,c 2 ,…,с n - r rastgele sayılardır.

Örnek. (s. 78)

Homojen olmayan SLAE'nin çözümleri arasında bir bağlantı kuralım. (1) ve karşılık gelen homojen SLAE (15)

teorem 4. Homojen olmayan bir sistem (1) ile karşılık gelen homojen sistemin (15) herhangi bir çözümünün toplamı, sistem (1) için bir çözümdür.

Kanıt. Eğer c 1 ,…,cn, (1) sisteminin bir çözümüyse ve d 1 ,…,dn, (15) sisteminin bir çözümüyse, o zaman sistem (1)'in herhangi bir (örneğin, i-inci) denkleminde ikame c 1 +d 1 ,…,c n +d n bilinmeyen sayıları yerine şunu elde ederiz:

B ben +0=b ben

teorem 5. Homojen olmayan sistemin (1) keyfi iki çözümünün farkı, homojen sistemin (15) çözümüdür.

Kanıt. Eğer c 1 ,…,cn ve c 1 ,…,cn, sistem (1)'in çözümleriyse, o zaman sistem (1)'in herhangi bir (örneğin, i-th) denkleminde bilinmeyen yerine ikame etme c 1 -с 1 ,…,c n -сn sayıları, şunu elde ederiz:

B ben -b ben \u003d 0 h.t.d.

Kanıtlanmış teoremlerden, n değişkenli m doğrusal homojen denklem sisteminin genel çözümünün, karşılık gelen homojen doğrusal denklem sisteminin (15) genel çözümünün ve bunun gelişigüzel sayıda özel çözümlerinin toplamına eşit olduğu sonucu çıkar. sistem (15).

X neod. = X Toplam bir +X sık birden fazla (22)

Homojen olmayan bir sistemin özel çözümü olarak, c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M formüllerinde ise elde edilen çözümünün alınması doğaldır. j (a in)) j=1,2,…,r ((13) sıfıra eşit tüm sayılar c r +1 ,…,c n , yani.

Ø 0 =(,…,,0,0,…,0) (23)

Bu özel çözümü genel çözüme eklemek X=C 1 X 1 + C 2 X 2 +…+s N - R X N - R karşılık gelen homojen sistem, şunu elde ederiz:

X neod. = X 0 +C 1 X 1 +C 2 X 2 +…+C N - R X N - R (24)

İki değişkenli iki denklemli bir sistem düşünün:

katsayılardan en az birinin olduğu ay 0.

Çözmek için, ilk denklemi 22 ile ve ikincisini (-a 12) ile çarparak ve bunları ekleyerek x 2'yi ortadan kaldırırız: İlk denklemi (-a 21) ve ikincisini 11 ile çarparak x 1'i ortadan kaldırırız. ve bunları ekleyerek: Parantez içindeki ifade - determinant

gösteren ,, o zaman sistem: şeklini alacaktır, yani eğer, o zaman sistemin benzersiz bir çözümü vardır:,.

Δ=0 ise, a (veya), o zaman sistem tutarsızdır, çünkü Δ=Δ 1 =Δ 2 =0 ise sistem belirsizdir, çünkü akla getirdi