Ako riešiť sústavy rovníc substitučnou metódou. Riešenie sústav rovníc substitučnou metódou

Riešenie sústav rovníc substitučnou metódou

Pripomeňme si, čo je to sústava rovníc.

Systém dvoch rovníc s dvoma premennými sú dve rovnice napísané pod sebou, spojené zloženou zátvorkou. Riešiť sústavu znamená nájsť pár čísel, ktoré vyriešia prvú aj druhú rovnicu súčasne.

V tejto lekcii sa zoznámime s takou metódou riešenia systémov, ako je substitučná metóda.

Pozrime sa na sústavu rovníc:

Tento systém môžete vyriešiť graficky. Aby sme to dosiahli, budeme musieť zostaviť grafy každej z rovníc v jednom súradnicovom systéme a transformovať ich do tvaru:

Potom nájdite súradnice priesečníka grafov, ktoré budú riešením systému. Ale grafická metóda nie je vždy vhodná, pretože sa líši nízkou presnosťou, či dokonca neprístupnosťou. Skúsme sa bližšie pozrieť na náš systém. Teraz to vyzerá takto:

Môžete si všimnúť, že ľavé strany rovníc sú rovnaké, čo znamená, že aj pravé strany musia byť rovnaké. Potom dostaneme rovnicu:

Toto je známa rovnica s jednou premennou, ktorú vieme vyriešiť. Presuňme neznáme pojmy na ľavú stranu a známe na pravú, pričom pri prenose nezabudnime zmeniť znamienka + a -. Dostaneme:

Teraz dosadíme nájdenú hodnotu x do ľubovoľnej rovnice systému a nájdeme hodnotu y. V našom systéme je vhodnejšie použiť druhú rovnicu y = 3 - x, po dosadení dostaneme y = 2. Teraz analyzujme vykonanú prácu. Najprv sme v prvej rovnici vyjadrili premennú y pomocou premennej x. Výsledný výraz - 2x + 4 sme potom dosadili do druhej rovnice namiesto premennej y. Potom sme výslednú rovnicu vyriešili s jednou premennou x a našli jej hodnotu. A nakoniec sme zistenú hodnotu x použili na nájdenie ďalšej premennej y. Tu vyvstáva otázka: bolo potrebné vyjadriť premennú y z oboch rovníc naraz? Samozrejme, že nie. Mohli by sme vyjadriť jednu premennú v termínoch inej iba v jednej rovnici systému a použiť ju namiesto zodpovedajúcej premennej v druhej. Okrem toho môžete vyjadriť akúkoľvek premennú z akejkoľvek rovnice. Tu výber závisí výlučne od pohodlia účtu. Matematici tento postup nazvali algoritmus na riešenie sústav dvoch rovníc s dvoma premennými pomocou substitučnej metódy. Takto vyzerá.

1. Vyjadrite jednu z premenných pomocou inej v jednej z rovníc sústavy.

2.Výsledný výraz namiesto zodpovedajúcej premennej dosaďte do inej rovnice sústavy.

3.Výslednú rovnicu riešte s jednou premennou.

4. Do výrazu získaného v prvom kroku dosaďte zistenú hodnotu premennej a nájdite hodnotu inej premennej.

5.Napíšte odpoveď vo forme dvojice čísel, ktoré sa našli v treťom a štvrtom kroku.

Pozrime sa na ďalší príklad. Vyriešte sústavu rovníc:

Tu je vhodnejšie vyjadriť premennú y z prvej rovnice. Dostaneme y = 8 - 2x. Výsledný výraz musí byť dosadený za y v druhej rovnici. Dostaneme:

Napíšme túto rovnicu samostatne a vyriešme ju. Najprv otvoríme zátvorky. Dostaneme rovnicu 3x - 16 + 4x = 5. Zozbierajme neznáme členy na ľavej strane rovnice a známe na pravej strane a predstavme podobné členy. Dostaneme rovnicu 7x = 21, teda x = 3.

Teraz pomocou nájdenej hodnoty x môžete nájsť:

Odpoveď: dvojica čísel (3; 2).

V tejto lekcii sme sa teda naučili riešiť sústavy rovníc s dvoma neznámymi analytickým a presným spôsobom bez toho, aby sme sa uchyľovali k pochybným grafickým metódam.

Zoznam použitej literatúry:

1. Mordkovich A.G., Algebra 7. ročník v 2 častiach, 1. časť, Učebnica pre všeobecnovzdelávacie inštitúcie / A.G. Mordkovič. – 10. vydanie, revidované – Moskva, „Mnemosyne“, 2007.
2. Mordkovich A.G., Algebra 7. ročník v 2 častiach, 2. časť, Problémová kniha pre vzdelávacie inštitúcie / [A.G. Mordkovich a ďalší]; upravil A.G. Mordkovich - 10. vydanie, revidované - Moskva, „Mnemosyne“, 2007.
3. JA. Tulchinskaya, Algebra 7. ročník. Bleskový prieskum: príručka pre študentov inštitúcií všeobecného vzdelávania, 4. vydanie, revidované a rozšírené, Moskva, Mnemosyne, 2008.
4. Alexandrova L.A., Algebra 7. ročník. Tematické testové práce v novej podobe pre študentov všeobecnovzdelávacích inštitúcií v redakcii A.G. Mordkovich, Moskva, „Mnemosyne“, 2011.
5. Alexandrova L.A. Algebra 7. ročník. Samostatné práce pre študentov všeobecnovzdelávacích inštitúcií v redakcii A.G. Mordkovich - 6. vydanie, stereotypné, Moskva, „Mnemosyne“, 2010.

1 . CELÉ MENO. učitelia: ____Tkachuk Natalya Petrovna ________________________________________________________________________________________

2. Trieda: _8 Termín: .11.03________Predmet_-matematika, hodina č.71 podľa rozvrhu:

3. Téma lekcie Riešenie systémov substitúciou 4 . Miesto a úloha lekcie v preberanej téme :. Lekcia na upevnenie vedomostí. Účel lekcie :

Vzdelávacie: rozvíjať vedomosti o riešení sústav rovníc substitučnou metódou. Vedieť/rozumieť: ak majú grafy spoločné body, potom systém má riešenia; ak grafy nemajú spoločné body, potom systém nemá riešenia; Algoritmus riešenia sústav rovníc.Byť schopný riešiť systémy substitúciou Podporovať rozvoj zručností na uplatnenie získaných vedomostí v neštandardných (štandardných) podmienkachvývojové: Podporovať rozvoj schopností študentov zovšeobecňovať získané vedomosti, vykonávať analýzy, syntézy, porovnávania a vyvodzovať potrebné závery. Podporovať rozvoj zručností aplikovať získané vedomosti v neštandardných a štandardných podmienkach.Vzdelávacie: Podporovať rozvoj tvorivého postoja k vzdelávacím aktivitám

Charakteristika fáz vyučovacej hodiny

študentov

Sebaurčenie.

Aktivujte kognitívnu aktivitu

Vyriešte systém

verbálne

Predné

Pozdrav študentov. vykonávanie. Vytvorenie situácie pripravenosti na lekciu, úspech v nadchádzajúcej lekcii.

Skontrolujte pripravenosť na lekciu.

2. Aktualizácia vedomostí.

Identifikujte kvalitu a úroveň zvládnutia vedomostí a zručností získaných v predchádzajúcich lekciách na danú tému

Zistite, či je dvojica čísel riešením systému. x=5 y=9

Aké operácie možno vykonávať s rovnicami?

(vynásobte obe strany rovnice rovnakým číslom, vydeľte číslom, ktoré sa nerovná nule...)

Skupinová práca

Predné. Guppovaya - analýza algoritmov na riešenie problémov;

V prípade potreby kladie hlavné otázky.

Odpovedajú na položené otázky.

3. Stanovenie výchovno-vzdelávacej úlohy, ciele vyučovacej hodiny.

Tvorenie

a rozvoj zručností

definovať a formulovať

problém, cieľ a téma

študovať línie

Ako riešiť sústavu rovníc sčítaním, substitúciou.

Akú metódu je vhodné použiť pri riešení. tento systém?

Skupinová práca.

Individuálne.

Predné.

Aké kroky sme podnikli, aby sme zistili kúpnu cenu?

Akú tému budeme študovať?

Vyjadrujú sa.

4. Etapa aktualizácie vedomostí o danej téme

Podporovať rozvoj schopností rozlišovať a porovnávať línie. Poskytnite podmienky na rozvoj schopností vyjadrovať svoje myšlienky kompetentne, jasne a presne.

№ 621

Zistite vzájomnú polohu čiar

2x+0,5y= 1,2 a x-4y=0

Dá sa podľa ich koeficientov určiť, či sa priamky pretínajú alebo nie?

2. vytvorte rovnice priamok, ktoré sú navzájom rovnobežné.

Práca so študentom

Pracujte vo dvojiciach s autotestom

Čelné, individuálne. workshop riešenia problémov

V prípade potreby kladie hlavné otázky. Kreslí paralely s predtým študovaným materiálom.

Poskytuje motiváciu na dokončenie navrhovaných úloh.

Vedie žiakov k záveru o existencii vzorcov.

Vyriešte problémy, v prípade potreby odpovedzte na otázky učiteľa Cvičenie urobte do zošita.

Striedavo komentujte, analyzujte, identifikujte dôvody a riešenia.

5. Pracujte samostatne

aplikácia nadobudnutých vedomostí. Aktualizácia vedomostí a zručností pri riešení problémov.

Formovanie a rozvoj zručností v čítaní čísel Plánovanie vašich aktivít pri riešení zadanej úlohy, sledovanie dosiahnutého výsledku, oprava získaného výsledku, sebaregulácia

1 var –

2 var

Samostatná práca. Kontrola suseda.

"brainstorm",

Sleduje vykonávanie prác.

Poskytuje: individuálnu kontrolu; selektívna kontrola.

Povzbudzuje vás, aby ste vyjadrili svoj názor.

Riešiť problémy. Vykonajte: sebahodnotenie, vzájomné overenie; poskytnúť predbežné hodnotenie.

6. Hodnotenie lekcie, sebahodnotenie.

Formovanie a rozvoj schopnosti analyzovať a pochopiť svoje úspechy.

Schopnosť určiť úroveň zvládnutia vzdelávacieho materiálu.

Hodnotenie priebežných výsledkov a sebaregulácia na zvýšenie motivácie k vzdelávacím aktivitám

Hodnotenie v každej fáze

1. Viete vykresliť lineárne rovnice?

2. Dokážete určiť, či sa pretínajú alebo nie?

3. Poznáte algoritmus na riešenie sústav rovníc?

4. aké metódy poznáte na riešenie sústav rovníc?

Skupinová práca.

Skupinové aj individuálne...

Povzbudzuje vás, aby ste vyjadrili svoj názor.

Vykonajte: sebahodnotenie a hodnotenie priateľa.

7. Zhrnutie lekcie. Domáca úloha.

Schopnosť korelovať ciele a výsledky vlastných aktivít. Udržiavanie zdravého súťažného ducha na udržanie motivácie pre vzdelávacie aktivity; účasť na kolektívnej diskusii o problémoch.

str. 4.4 č. 623

Skupinová práca.

Frontálny - Identifikácia a formulácia kognitívneho cieľa, reflexia metód a podmienok konania

Analýza a syntéza objektov

Povzbudzuje vás, aby ste vyjadrili svoj názor.

Dáva komentáre k domácej úlohe; úloha hľadať vlastnosti v texte...

Deti sa zapájajú do diskusie, analyzujú, rozprávajú. Zamyslite sa a zaznamenajte ich úspechy.

Dnes som sa v triede naučila...

Dnes som sa v triede naučila...

Späť dopredu

Pozor! Ukážky snímok slúžia len na informačné účely a nemusia predstavovať všetky funkcie prezentácie. Ak vás táto práca zaujala, stiahnite si plnú verziu.

Miesto lekcie v systéme lekcií: tretia lekcia na tému „Sústavy dvoch lineárnych rovníc s dvoma premennými“

Typ lekcie: učenie sa novým poznatkom

Vzdelávacia technológia: rozvíjať kritické myslenie prostredníctvom čítania a písania

Vyučovacia metóda:štúdium

Ciele lekcie: osvojiť si ďalší spôsob riešenia sústav lineárnych rovníc s dvoma premennými - metódu sčítania

Úlohy:

• predmet: formovanie praktických zručností pri riešení sústav lineárnych rovníc metódou substitúcie;
• metapredmet: rozvíjať myslenie, vedomé vnímanie vzdelávacieho materiálu;
• osobné: podpora kognitívnej činnosti, kultúry komunikácie a vzbudzovanie záujmu o predmet.

V dôsledku toho študent:

• Pozná definíciu sústavy lineárnych rovníc s dvoma premennými;
• Vie, čo znamená riešiť sústavu lineárnych rovníc v dvoch premenných;
• Dokáže napísať sústavu lineárnych rovníc s dvoma premennými;
• Chápe, koľko riešení môže mať sústava lineárnych rovníc s dvoma premennými;
• Dokáže určiť, či má systém riešenia, a ak áno, koľko;
• Pozná algoritmus riešenia sústav lineárnych rovníc pomocou substitučných, algebraických a grafických metód.

Problematická otázka:"Ako vyriešiť systém lineárnych rovníc v dvoch premenných?"

Kľúčové otázky: Ako a prečo v živote používame rovnice?

Vybavenie: prezentácia; multimediálny projektor; obrazovka; počítač, pracovný zošit z algebry: 7. ročník: k učebnici A.G. Mordkovich a kol. „Algebra – 7“ 2012

Zdroje (odkiaľ pochádzajú informácie o danej téme: knihy, učebnice, internet atď.): učebnica „Algebra – 7“ 2012, A.G. Mordkovič

Formy organizovania vzdelávacích aktivít žiakov (skupinové, párovo-skupinové, frontálne a pod.): samostatná, čiastočne čelná, čiastočne parná miestnosť

Hodnotiace kritériá:

• A – vedomosti a porozumenie +
• B – žiadosť a zdôvodnenie
• C – správa +
• D – reflexia a hodnotenie

Oblasti interakcie:

• ATL – vedieť efektívne využívať čas, plánovať si aktivity v súlade s vašimi cieľmi a zámermi a určiť najracionálnejší sled aktivít. Schopnosť odpovedať na otázky, zdôvodňovať, argumentovať. Vedieť analyzovať a hodnotiť svoje vlastné vzdelávacie a kognitívne aktivity, nájsť spôsoby riešenia problémov.
• HI študenti skúmajú dôsledky ľudskej činnosti

Počas vyučovania

I. Organizácia lekcie

II. Kontrola vlastnej prípravy

a) Č. 12.2(b, c).

Odpoveď: (5; 3). Odpoveď: (2; 3).

Odpoveď: (4;2)

Vyjadrite jednu premennú pomocou inej:

• p = p /(g * h) – hustota kvapaliny
• p = g * p * h - tlak kvapaliny na dne nádoby
• h = p /(g * p) – výška
• p = m / V - hustota
• m = V*p-hmotnosť
• p = m / V – hustota

Algoritmus na riešenie systému dvoch rovníc s dvoma premennými pomocou substitučnej metódy:

1. Vyjadrite y pomocou x z prvej (alebo druhej) rovnice systému.
2. Do druhej (prvej) rovnice sústavy dosaďte namiesto y výraz získaný v prvom kroku.
3. Vyriešte rovnicu získanú v druhom kroku pre x.
4. Dosaďte hodnotu x zistenú v treťom kroku do výrazu y v zmysle x získaného v prvom kroku.
5. Odpoveď napíšte ako dvojicu hodnôt (x; y), ktoré boli nájdené v treťom a štvrtom kroku.

Samostatná práca:

V zošite s. 46 – 47.

• do „3“ č. 6(a);
• do „4“ č. 6(b);
• do „5“ č. 7.

III. Aktualizácia referenčných znalostí

Čo je to systém lineárnych rovníc v dvoch premenných?

Sústava rovníc sú dve alebo viac rovníc, pre ktoré je potrebné nájsť všetky ich spoločné riešenia.

Aké je riešenie sústavy rovníc v dvoch premenných?

Riešením sústavy dvoch rovníc s dvomi neznámymi je dvojica čísel (x,y) taká, že ak tieto čísla dosadíme do rovníc sústavy, každá z rovníc sústavy sa zmení na skutočnú rovnosť.

Koľko riešení môže mať sústava lineárnych rovníc v dvoch premenných?

Ak sú svahy rovnaké, potom sú čiary rovnobežné a neexistujú žiadne korene.

Ak uhlové koeficienty nie sú rovnaké, potom sa čiary pretínajú, jeden koreň (súradnice priesečníka).

Ak sú sklony rovnaké, potom sa čiary zhodujú a koreň je nekonečne veľký.

IV. Učenie sa nového materiálu

Doplňte prázdne miesta: Príloha 1 (nasleduje autotest na sklíčkach)

V. Práca na téme vyučovacej hodiny

V triede: Č. 13,2 (a, d), 13,3 (a, d).

VI. Domáca úloha

Odsek 13 – učebnica; slovník; Č. 13,2 (b, c), 13,3 (b, c).

VII. Zhrnutie lekcie

• Hurá!!! Rozumiem všetkému!
• Na niektorých veciach musím popracovať!
• Boli neúspechy, ale všetko prekonám!

VIII. Riešenie problémov s vojenskou zložkou

Hlavný bojový tank T-80.

Prijatý do prevádzky v roku 1976. Prvý sériový tank na svete s hlavnou elektrárňou založenou na motore s plynovou turbínou.

Základné taktické a technické údaje (TTD):

Hmotnosť, t – 46

Rýchlosť, km/h – 70

Cestovný dosah, km – 335-370

Výzbroj: 125 mm kanón s hladkou hlavňou (40 kusov streliva);

12,7 mm guľomet (300 kusov streliva);

7,62 mm guľomet PKT (strelivo 2000 ks)

Ako dlho môže zostať tank T-80 v pohybe bez tankovania?

Používanie rovníc je v našich životoch veľmi rozšírené. Používajú sa pri mnohých výpočtoch, stavbe konštrukcií a dokonca aj v športe. Človek používal rovnice v staroveku a odvtedy sa ich používanie len zvyšuje. Substitučná metóda umožňuje jednoducho riešiť sústavy lineárnych rovníc akejkoľvek zložitosti. Podstatou metódy je, že pomocou prvého výrazu systému vyjadríme „y“ a výsledný výraz potom dosadíme do druhej rovnice systému namiesto „y“. Keďže rovnica už neobsahuje dve neznáme, ale iba jednu, môžeme ľahko nájsť hodnotu tejto premennej a potom ju použiť na určenie hodnoty druhej.

Predpokladajme, že máme systém lineárnych rovníc nasledujúceho tvaru:

\[\vľavo\(\začiatok(matica) 3x-y-10=0\\ x+4y-12=0 \koniec(matica)\vpravo.\]

Vyjadrime \

\[\vľavo\(\začiatok(matica) 3x-10=y\\ x+4y-12=0 \koniec(matica)\vpravo.\]

Výsledný výraz dosadíme do rovnice 2:

\[\vľavo\(\začiatok(matica) y=3x-10\\ x+4(3x-10)-12=0 \koniec(matica)\vpravo.\]

Poďme nájsť hodnotu \

Zjednodušme a vyriešime rovnicu otvorením zátvoriek a zohľadňme pravidlá na prenos výrazov:

Teraz poznáme hodnotu \ Použime to na nájdenie hodnoty \

Odpoveď: \[(4;2).\]

Kde môžem vyriešiť systém rovníc online pomocou substitučnej metódy?

Systém rovníc môžete vyriešiť na našej webovej stránke. Bezplatný online riešiteľ vám umožní vyriešiť online rovnice akejkoľvek zložitosti v priebehu niekoľkých sekúnd. Všetko, čo musíte urobiť, je jednoducho zadať svoje údaje do riešiteľa. Ako vyriešiť rovnicu nájdete aj na našej webovej stránke. A ak máte stále otázky, môžete sa ich opýtať v našej skupine VKontakte.