Cómo construir un ángulo igual a uno dado. Construyendo un ángulo igual a uno dado

Objetivos de la lección:

• Formación de habilidades para analizar el material estudiado y habilidades para aplicarlo a la resolución de problemas;
• Mostrar el significado de los conceptos que se estudian;
• Desarrollo de la actividad cognitiva e independencia en la obtención de conocimientos;
• El aumento de interés en el tema, un sentido de la belleza.

Objetivos de la lección:

• Formar destrezas en la construcción de un ángulo igual a uno dado utilizando regla de escala, compás, transportador y dibujo de triángulo.
• Comprobar la capacidad de los alumnos para resolver problemas.

Plan de estudios:

1. Repetición.
2. Construcción de un ángulo igual a uno dado.
3. Análisis.
4. Construcción del primer ejemplo.
5. Construcción del segundo ejemplo.

Repetición.

Esquina.

esquina plana- una figura geométrica ilimitada formada por dos rayos (lados de un ángulo) que emergen de un punto (el vértice del ángulo).

Un ángulo también se llama una figura formada por todos los puntos del plano encerrados entre estos rayos (En términos generales, dos rayos de este tipo corresponden a dos ángulos, ya que dividen el plano en dos partes. Uno de estos ángulos se llama condicionalmente interno, y el otro externo.
A veces, por brevedad, un ángulo se llama medida angular.

Para designar un ángulo, existe un símbolo generalmente aceptado: , propuesto en 1634 por el matemático francés Pierre Erigon.

Esquina- esta es una figura geométrica (Fig. 1), formada por dos rayos OA y OB (lados de las esquinas), que emanan de un punto O (vértice de la esquina).

Un ángulo se denota con un símbolo y tres letras que indican los extremos de los rayos y el vértice del ángulo: AOB (además, la letra del vértice es la del medio). Los ángulos se miden por la cantidad de rotación del rayo OA alrededor del vértice O hasta que el rayo OA pasa a la posición OB. Hay dos unidades comúnmente usadas para medir ángulos: radianes y grados. Para la medición de ángulos en radianes, véase a continuación en "Longitud de arco" y también en el capítulo "Trigonometría".

Sistema de grados para medir ángulos.

Aquí, la unidad de medida es el grado (su designación es °): esta es la rotación del haz en 1/360 de una vuelta completa. Por lo tanto, una rotación completa de la viga es de 360°. Un grado se divide en 60 minutos (notación '); un minuto - respectivamente durante 60 segundos (designación “). Un ángulo de 90 ° (Fig. 2) se llama recto; un ángulo menor de 90° (Fig. 3) se llama agudo; un ángulo mayor a 90° (Fig. 4) se llama obtuso.

Las rectas que forman un ángulo recto se llaman mutuamente perpendiculares. Si las líneas AB y MK son perpendiculares, esto se denota: AB MK.

Construcción de un ángulo igual a uno dado.

Antes de iniciar la construcción o resolver cualquier problema, independientemente del tema, es necesario realizar análisis. Comprenda de qué se trata la tarea, léala atenta y lentamente. Si después de la primera vez surgen dudas o algo no quedó claro o claro pero no del todo, se recomienda volver a leerlo. Si estás haciendo una tarea en clase, puedes preguntarle al maestro. De lo contrario, es posible que tu tarea, que malinterpretaste, no se resuelva correctamente, o que encuentres algo que no es lo que se requería de ti y se considerará incorrecto y tendrás que volver a hacerlo. Como para mí - es mejor pasar un poco más de tiempo estudiando la tarea que rehacerla de nuevo.

Análisis.

Sea a un rayo dado con vértice A, y sea (ab) el ángulo buscado. Elegimos los puntos B y C en los rayos a y b, respectivamente. Conectando los puntos B y C, obtenemos el triángulo ABC. En triángulos iguales, los ángulos correspondientes son iguales y, por lo tanto, sigue el método de construcción. Si los puntos C y B se eligen de alguna manera conveniente en los lados de un ángulo dado, se construye un triángulo AB 1 C 1 igual a ABC desde el rayo dado hasta el semiplano dado (y esto se puede hacer si todos los lados de se conocen los triángulos), entonces el problema se resolverá.

Al realizar cualquier construcciones Sea extremadamente cuidadoso e intente realizar todas las construcciones con cuidado. Dado que cualquier inconsistencia puede dar lugar a algún tipo de error, desviaciones, que pueden dar lugar a una respuesta incorrecta. Y si una tarea de este tipo se realiza por primera vez, el error será muy difícil de encontrar y corregir.

Construcción del primer ejemplo.

Dibuja un círculo centrado en el vértice del ángulo dado. Sean B y C los puntos de intersección de la circunferencia con los lados del ángulo. Dibuja un círculo con radio AB centrado en el punto A 1 - el punto de partida de este rayo. El punto de intersección de este círculo con el rayo dado se denotará por B 1 . Describamos un círculo con centro B 1 y radio BC. El punto de intersección C 1 de los círculos construidos en el semiplano especificado se encuentra en el lado del ángulo requerido.

Los triángulos ABC y A 1 B 1 C 1 son iguales en tres lados. Los ángulos A y A 1 son los ángulos correspondientes de estos triángulos. Por lo tanto, ∠CAB = ∠C 1 A 1 B 1

Para mayor claridad, podemos considerar las mismas construcciones con más detalle.

Construcción del segundo ejemplo.

También queda la tarea de posponer desde la semirrecta dada al semiplano dado un ángulo igual al ángulo dado.

Construcción.

Paso 1. Dibujemos un círculo con un radio arbitrario y centros en el vértice A del ángulo dado. Sean B y C los puntos de intersección de la circunferencia con los lados del ángulo. Y dibuja el segmento BC.

Paso 2 Dibuja un círculo de radio AB con centro en el punto O, el punto inicial de esta semirrecta. Denote el punto de intersección del círculo con el rayo B 1 .

Paso 3 Ahora describamos un círculo con centro B 1 y radio BC. Sea el punto C 1 la intersección de los círculos construidos en el semiplano especificado.

Etapa 4 Dibujemos un rayo desde el punto O hasta el punto C 1 . El ángulo C 1 OB 1 será el deseado.

Prueba.

Los triángulos ABC y OB 1 C 1 son congruentes como triángulos con lados correspondientes. Y por lo tanto los ángulos CAB y C 1 OB 1 son iguales.

Dato interesante:

En números.

En los objetos del mundo que te rodea, en primer lugar, notas sus propiedades individuales que distinguen un objeto de otro.

La abundancia de propiedades particulares e individuales eclipsa las propiedades generales inherentes a absolutamente todos los objetos y, por lo tanto, siempre es más difícil detectar tales propiedades.

Una de las propiedades comunes más importantes de los objetos es que todos los objetos se pueden contar y medir. Reflejamos esta propiedad común de los objetos en el concepto de número.

La gente dominó el proceso de contar, es decir, el concepto de número, muy lentamente, durante siglos, en una lucha obstinada por su existencia.

Para contar, uno no solo debe tener objetos que se puedan contar, sino que ya debe tener la capacidad de distraerse al considerar estos objetos de todas sus otras propiedades, excepto el número, y esta capacidad es el resultado de un largo desarrollo histórico basado en en la experiencia

Toda persona ahora aprende a contar con la ayuda de los números de manera imperceptible, incluso en la infancia, casi simultáneamente con la forma en que comienza a hablar, pero este conteo habitual para nosotros ha recorrido un largo camino de desarrollo y ha tomado diferentes formas.

Hubo un tiempo en que solo se usaban dos números para contar objetos: uno y dos. En el proceso de una mayor expansión del sistema numérico, se involucraron partes del cuerpo humano y, en primer lugar, los dedos, y si no había suficientes "números", luego palos, guijarros y otras cosas.

NN Miklukho-Maclay en su libro "Excursiones" habla de una divertida forma de contar usada por los nativos de Nueva Guinea:

Preguntas:

1. ¿Cuál es la definición de un ángulo?
2. ¿Cuáles son los tipos de esquinas?
3. ¿Cuál es la diferencia entre diámetro y radio?

Lista de fuentes utilizadas:

1. Mazur K. I. "Resolviendo los principales problemas competitivos en matemáticas de la colección editada por M. I. Scanavi"
2. Ingenio matemático. LICENCIADO EN LETRAS. Kordemsky. Moscú.
3. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina "Geometría, 7 - 9: un libro de texto para instituciones educativas"

Trabajó en la lección:

Levchenko vs.

Poturnak S.A.

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En las tareas de construcción, consideraremos la construcción de una figura geométrica, que se puede realizar con una regla y un compás.

Con una regla, puedes:

línea arbitraria;

una línea arbitraria que pasa por un punto dado;

recta que pasa por dos puntos dados.

Usando una brújula, puedes describir un círculo de un radio dado desde un centro dado.

Se puede usar una brújula para dibujar un segmento en una línea dada desde un punto dado.

Considere las tareas principales para la construcción.

Tarea 1. Construya un triángulo con lados dados a, b, c (Fig. 1).

Solución. Con la ayuda de una regla, dibuje una línea recta arbitraria y tome en ella un punto arbitrario B. Con una apertura de compás igual a a, describimos un círculo con centro B y radio a. Sea C el punto de su intersección con la recta. Con una apertura de compás igual a c, describimos un círculo desde el centro B, y con una apertura de compás igual a b, un círculo desde el centro C. Sea A el punto de intersección de estos círculos. El triángulo ABC tiene lados iguales a a, b, c.

Comentario. Para que tres segmentos de recta sirvan como lados de un triángulo, es necesario que el mayor de ellos sea menor que la suma de los otros dos (y< b + с).

Tarea 2.

Solución. Este ángulo con el vértice A y la viga OM se muestran en la Figura 2.

Dibuja un círculo arbitrario con centro en el vértice A del ángulo dado. Sean B y C los puntos de intersección del círculo con los lados del ángulo (Fig. 3, a). Dibujemos un círculo con radio AB con el centro en el punto O, el punto de partida de este rayo (Fig. 3, b). El punto de intersección de este círculo con el rayo dado se denotará como С 1 . Describamos un círculo con centro C 1 y radio BC. El punto B 1 de la intersección de dos círculos se encuentra en el lado del ángulo deseado. Esto se deduce de la igualdad Δ ABC \u003d Δ OB 1 C 1 (el tercer criterio para la igualdad de triángulos).

Tarea 3. Construya la bisectriz del ángulo dado (Fig. 4).

Solución. Desde el vértice A de un ángulo dado, como desde el centro, trazamos un círculo de radio arbitrario. Sean B y C los puntos de su intersección con los lados del ángulo. A partir de los puntos B y C con el mismo radio describimos círculos. Sea D su punto de intersección, diferente de A. El rayo AD divide el ángulo A por la mitad. Esto se sigue de la igualdad ΔABD = ΔACD (el tercer criterio para la igualdad de triángulos).

Tarea 4. Dibuja una mediana perpendicular a este segmento (Fig. 5).

Solución. Con una apertura de compás arbitraria pero idéntica (grande 1/2 AB), describimos dos arcos con centros en los puntos A y B, que se cortan entre sí en algunos puntos C y D. La línea recta CD será la perpendicular requerida. De hecho, como se puede ver en la construcción, cada uno de los puntos C y D está a la misma distancia de A y B; por lo tanto, estos puntos deben estar en la bisectriz perpendicular al segmento AB.

Tarea 5. Divide este segmento por la mitad. Se resuelve de la misma forma que el problema 4 (ver Fig. 5).

Tarea 6. A través de un punto dado, traza una línea perpendicular a la línea dada.

Solución. Dos casos son posibles:

1) el punto O dado se encuentra en la línea recta dada a (Fig. 6).

Desde el punto O dibujamos un círculo con un radio arbitrario que corta la línea a en los puntos A y B. Desde los puntos A y B dibujamos círculos con el mismo radio. Sea О 1 su punto de intersección diferente de О Obtenemos ОО 1 ⊥ AB. De hecho, los puntos O y O 1 son equidistantes de los extremos del segmento AB y, por lo tanto, se encuentran en la bisectriz perpendicular a este segmento.

Construcción de un ángulo igual a uno dado. Dado: semirrecta, ángulo. Construcción. V. A. C. 7. Para probarlo, basta notar que los triángulos ABC y OB1C1 son congruentes como triángulos con lados respectivamente iguales. Los ángulos A y O son los ángulos correspondientes de estos triángulos. Es necesario: posponer desde la semirrecta dada al semiplano dado un ángulo igual al ángulo dado. C1. EN 1. A. 1. Dibuje un círculo arbitrario con centro en el vértice A del ángulo dado. 2. Sean B y C los puntos de intersección de la circunferencia con los lados del ángulo. 3. Dibuja un círculo de radio AB con centro en el punto O, el punto inicial de esta semirrecta. 4. Denote el punto de intersección de este círculo con la semirrecta dada por B1. 5. Describe un círculo con centro B1 y radio BC. 6. El punto de intersección C1 de los círculos construidos en el semiplano especificado se encuentra en el lado del ángulo requerido.

Geometría Grado 7

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Construcción de un ángulo igual a uno dado. Dado: ángulo A. A Ángulo construido O. B C O D E Demostrar: A \u003d O Prueba: considere los triángulos ABC y ODE. 1.AC=OE, como radios de un círculo. 2.AB=OD, como los radios de un círculo. 3.BC=DE, como radios de un círculo. ABC \u003d ODE (3 premios) A \u003d O

Probemos que la semirrecta AB es una bisectriz A P L A N 1. Construcción adicional. 2. Probemos la igualdad de los triángulos ACB y ADB. 3. Conclusiones A B C D 1.AC=AD, como radios de un círculo. 2.CB=DB, como radios de un círculo. 3.AB - lado común. ASV \u003d ADB, según el III signo de igualdad de triángulos Viga AB - bisectriz Construcción de la bisectriz del ángulo.

A N B A C 1 = 2 12 En el triángulo r/b AMB, el segmento MC es una bisectriz y, por lo tanto, la altura. Entonces, y MN. M Probemos que a MN Veamos la ubicación de las brújulas. AM=AN=MB=BN como radios iguales. MN es el lado común. MBN= MAN, en tres lados Construcción de líneas perpendiculares. ma

Q P VA APQ \u003d BPQ, en tres lados \u003d 2 Triángulo ARV r / b. El segmento RO es una bisectriz y, por lo tanto, una mediana. Entonces el punto O es el punto medio de AB. О Probemos que О es el punto medio del segmento AB. Construcción de la mitad del segmento.

D С Construcción de un triángulo dados dos lados y un ángulo entre ellos. Ángulo hk h 1. Construyamos una viga a. 2. Reserva el segmento AB, igual a P 1 Q 1. 3. Construye un ángulo igual a este. 4. Apartar el segmento AC, igual a P 2 Q 2. B A El triángulo ABC es el deseado. Justifique con el signo I. Dado: Segmentos P 1 Q 1 y P 2 Q 2 Q1Q1 P1P1 P2P2 Q2Q2 a k

D С Construcción de un triángulo por un lado y dos ángulos adyacentes a él. Ángulo h 1 k 1 h2h2 1. Construyamos una viga a. 2. Apartar el segmento AB, igual a P 1 Q 1. 3. Construir un ángulo igual al h 1 k 1 dado. 4. Construir un ángulo igual a h 2 k 2. B A El triángulo ABC es el deseado. Justifica usando el segundo signo. Dado: Segmento P 1 Q 1 Q1Q1 P1P1 a k2k2 h1h1 k1k1 N

C 1. Construyamos un rayo. 2. Aparta el segmento AB, igual a P 1 Q 1. 3. Construye un arco con centro en el punto A y radio P 2 Q 2. 4. Construye un arco con centro en el punto B y radio P 3 Q 3. B A Triángulo ABC deseado. Justifique usando el signo III. Dados: segmentos P 1 Q 1, P 2 Q 2, P 3 Q 3. Q1Q1 P1P1 P3P3 Q2Q2 y P2P2 Q3Q3 Construcción de un triángulo en tres lados.