V pátém století př. n. l. starověký řecký filozof Zenón z Elea formuloval své slavné aporie, z nichž nejznámější je aporie „Achilles a želva“. Zní to takto:

Řekněme, že Achilles běží desetkrát rychleji než želva a je tisíc kroků za ní. Během doby, během které Achilles uběhne tuto vzdálenost, želva ujde sto kroků stejným směrem. Když Achilles uběhne sto kroků, želva se plazí dalších deset kroků a tak dále. Proces bude pokračovat donekonečna, Achilles želvu nikdy nedohoní.

Tato úvaha se stala logickým šokem pro všechny následující generace. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Všichni tak či onak považovali Zenónovy aporie. Šok byl tak silný, že " ... diskuse pokračují i ​​v současné době, vědecká komunita se dosud nedokázala shodnout na podstatě paradoxů ... do studia problematiky byla zapojena matematická analýza, teorie množin, nové fyzikální a filozofické přístupy ; žádný z nich se nestal všeobecně přijímaným řešením problému..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Každý chápe, že je klamán, ale nikdo nechápe, co je to podvod.

Z hlediska matematiky Zeno ve svých aporiích jasně demonstroval přechod od hodnoty k. Tento přechod znamená použití místo konstant. Pokud jsem pochopil, matematický aparát pro aplikaci proměnných jednotek měření buď ještě nebyl vyvinut, nebo nebyl aplikován na Zenónovu aporii. Použití naší obvyklé logiky nás zavede do pasti. My setrvačností myšlení aplikujeme konstantní jednotky času na reciproční. Z fyzického hlediska to vypadá na zpomalení času až úplné zastavení ve chvíli, kdy Achilles želvu dožene. Pokud se čas zastaví, Achilles už nemůže želvu předběhnout.

Pokud obrátíme logiku, na kterou jsme zvyklí, vše do sebe zapadne. Achilles běží konstantní rychlostí. Každý následující úsek jeho cesty je desetkrát kratší než ten předchozí. Čas strávený na jeho překonání je tedy desetkrát kratší než ten předchozí. Pokud v této situaci použijeme pojem "nekonečno", pak by bylo správné říci "Achilles nekonečně rychle předběhne želvu."

Jak se této logické pasti vyhnout? Zůstaňte v konstantních jednotkách času a nepřecházejte na reciproční hodnoty. V Zenoově jazyce to vypadá takto:

Za dobu, kterou Achilles uběhne tisíc kroků, se želva plazí sto kroků stejným směrem. Během dalšího časového intervalu, který se rovná prvnímu, uběhne Achilles dalších tisíc kroků a želva ujde sto kroků. Nyní je Achilles osm set kroků před želvou.

Tento přístup adekvátně popisuje realitu bez jakýchkoli logických paradoxů. Ale to není úplné řešení problému. Einsteinův výrok o nepřekonatelnosti rychlosti světla je velmi podobný Zenónově aporii „Achilles a želva“. Tento problém musíme ještě studovat, přehodnotit a vyřešit. A řešení je třeba hledat ne v nekonečně velkém počtu, ale v měrných jednotkách.

Další zajímavá aporie Zeno vypráví o létajícím šípu:

Letící šíp je nehybný, protože je v každém okamžiku v klidu, a protože je v každém okamžiku v klidu, je vždy v klidu.

V této aporii se logický paradox překonává velmi jednoduše – stačí si ujasnit, že v každém okamžiku letící šíp spočívá v různých bodech prostoru, což je ve skutečnosti pohyb. Zde je třeba poznamenat ještě jeden bod. Z jedné fotografie auta na silnici není možné určit ani skutečnost jeho pohybu, ani vzdálenost k němu. K určení skutečnosti pohybu automobilu jsou zapotřebí dvě fotografie pořízené ze stejného bodu v různých časových okamžicích, ale nelze je použít k určení vzdálenosti. Pro určení vzdálenosti k autu potřebujete dvě fotografie pořízené z různých bodů v prostoru současně, ale nemůžete z nich určit skutečnost pohybu (přirozeně stále potřebujete další data pro výpočty, pomůže vám trigonometrie). Chci poukázat zejména na to, že dva body v čase a dva body v prostoru jsou dvě různé věci, které by se neměly zaměňovat, protože poskytují různé příležitosti k průzkumu.

Středa 4. července 2018

Velmi dobře jsou rozdíly mezi množinou a multimnožinou popsány na Wikipedii. Díváme se.

Jak vidíte, "sada nemůže mít dva stejné prvky", ale pokud jsou v sadě shodné prvky, nazývá se taková sada "multiset". Rozumné bytosti takovou logiku absurdity nikdy nepochopí. Toto je úroveň mluvících papoušků a cvičených opic, ve kterých mysl chybí u slova „zcela“. Matematici fungují jako obyčejní školitelé, kteří nám hlásají své absurdní myšlenky.

Kdysi byli inženýři, kteří most stavěli, při zkouškách mostu ve člunu pod mostem. Pokud se most zřítil, průměrný inženýr zemřel pod troskami svého výtvoru. Pokud most vydržel zatížení, talentovaný inženýr postavil další mosty.

Jakkoliv se matematici schovávají za větu „pozor, jsem v domě“, nebo spíše „matematika studuje abstraktní pojmy“, existuje jedna pupeční šňůra, která je nerozlučně spojuje s realitou. Tato pupeční šňůra jsou peníze. Aplikujme matematickou teorii množin na samotné matematiky.

Učili jsme se velmi dobře matematiku a teď sedíme u pokladny a platíme mzdy. Tady si k nám přijde matematik pro své peníze. Spočítáme mu celou částku a rozložíme ji na náš stůl do různých hromádek, do kterých vložíme bankovky stejné nominální hodnoty. Potom z každé hromádky vezmeme jednu bankovku a dáme matematikovi jeho „matematický platový soubor“. Matematiku vysvětlíme, že zbytek účtenek dostane, až když prokáže, že množina bez shodných prvků se nerovná množině se shodnými prvky. Tady začíná zábava.

V první řadě bude fungovat poslanecká logika: "na ostatní to můžeš aplikovat, ale na mě ne!" Dále se začnou ujišťovat, že na bankovkách stejné nominální hodnoty jsou různá čísla bankovek, což znamená, že je nelze považovat za identické prvky. No, plat počítáme v mincích - na mincích nejsou žádná čísla. Zde bude matematik zběsile vzpomínat na fyziku: různé mince mají různé množství nečistot, krystalová struktura a uspořádání atomů každé mince je jedinečné...

A teď mám tu nejzajímavější otázku: kde je ta hranice, za kterou se prvky multimnožiny mění v elementy množiny a naopak? Taková linie neexistuje – o všem rozhodují šamani, věda zde není ani zdaleka.

Podívej se sem. Vybíráme fotbalové stadiony se stejnou plochou hřiště. Plocha polí je stejná, což znamená, že máme multiset. Ale pokud vezmeme v úvahu názvy stejných stadionů, dostaneme hodně, protože názvy jsou různé. Jak vidíte, stejná množina prvků je zároveň množinou i multimnožinou. Jak správně? A tady matematik-šaman-šuller vytahuje z rukávu trumfové eso a začíná nám vyprávět buď o setu, nebo o multisetu. V každém případě nás přesvědčí, že má pravdu.

Abychom pochopili, jak moderní šamani operují s teorií množin a spojují ji s realitou, stačí odpovědět na jednu otázku: jak se liší prvky jedné množiny od prvků jiné množiny? Ukážu vám to bez jakéhokoli „nemyslitelného jako jeden celek“ nebo „nemyslitelného jako jeden celek“.

Neděle 18. března 2018

Součet číslic čísla je tanec šamanů s tamburínou, který nemá s matematikou nic společného. Ano, v hodinách matematiky nás učí najít součet číslic čísla a použít ho, ale na to jsou šamani, učit své potomky jejich dovednostem a moudrosti, jinak šamani prostě vymřou.

Potřebujete důkaz? Otevřete Wikipedii a zkuste najít stránku „Součet číslic čísla“. Ona neexistuje. V matematice neexistuje vzorec, pomocí kterého byste našli součet číslic libovolného čísla. Čísla jsou přece grafické symboly, kterými píšeme čísla a v řeči matematiky zní úkol takto: "Najdi součet grafických symbolů představujících libovolné číslo." Matematici tento problém vyřešit nedokážou, ale šamani to elementárně dokážou.

Pojďme zjistit, co a jak děláme, abychom našli součet číslic daného čísla. A tak dejme tomu, že máme číslo 12345. Co je potřeba udělat, abychom našli součet číslic tohoto čísla? Zvažme všechny kroky v pořadí.

1. Zapište si číslo na kus papíru. Co jsme udělali? Číslo jsme převedli na číselný grafický symbol. Toto není matematická operace.

2. Jeden přijatý obrázek rozřežeme na několik obrázků obsahujících samostatná čísla. Vyříznutí obrázku není matematická operace.

3. Převeďte jednotlivé grafické znaky na čísla. Toto není matematická operace.

4. Sečtěte výsledná čísla. Teď je to matematika.

Součet číslic čísla 12345 je 15. Jedná se o „kurzy stříhání a šití“ od šamanů, které používají matematici. Ale to není vše.

Z hlediska matematiky je jedno, v jaké číselné soustavě číslo zapíšeme. V různých číselných soustavách se tedy součet číslic stejného čísla bude lišit. V matematice se číselná soustava označuje jako dolní index napravo od čísla. S velkým číslem 12345 si nechci klamat hlavu, zvažte číslo 26 z článku o. Zapišme toto číslo v dvojkové, osmičkové, desítkové a šestnáctkové číselné soustavě. Nebudeme zvažovat každý krok pod mikroskopem, to už jsme udělali. Podívejme se na výsledek.

Jak vidíte, v různých číselných soustavách se součet číslic stejného čísla liší. Tento výsledek nemá nic společného s matematikou. Je to jako najít plochu obdélníku v metrech a centimetrech, což by vám dalo úplně jiné výsledky.

Nula ve všech číselných soustavách vypadá stejně a nemá žádný součet číslic. To je další argument ve prospěch skutečnosti, že . Otázka pro matematiky: jak se v matematice označuje to, co není číslo? Co pro matematiky neexistuje nic jiného než čísla? U šamanů to mohu dovolit, ale u vědců ne. Realita není jen o číslech.

Získaný výsledek by měl být považován za důkaz, že číselné soustavy jsou jednotkami měření čísel. Nemůžeme přece porovnávat čísla s různými měrnými jednotkami. Pokud stejné akce s různými jednotkami měření stejné veličiny vedou po jejich srovnání k různým výsledkům, pak to nemá nic společného s matematikou.

Co je skutečná matematika? To je, když výsledek matematické akce nezávisí na hodnotě čísla, použité měrné jednotce a na tom, kdo tuto akci provádí.

Podepsat na dveře Otevře dveře a říká:

Ach! Není to dámská toaleta?
- Mladá žena! Toto je laboratoř pro studium neurčité svatosti duší při vzestupu do nebe! Nimbus nahoře a šipka nahoru. Jaký jiný záchod?

Žena... Svatozář nahoře a šipka dolů je muž.

Pokud se vám takové umělecké dílo mihne před očima několikrát denně,

Pak není divu, že najednou ve svém autě najdete podivnou ikonu:

Osobně se na sobě snažím vidět u kakajícího člověka mínus čtyři stupně (jeden obrázek) (složení více obrázků: znaménko mínus, číslo čtyři, označení stupňů). A tuto dívku nepovažuji za blázna, který nezná fyziku. Má prostě obloukový stereotyp vnímání grafických obrazů. A matematici nás to neustále učí. Zde je příklad.

1A není "minus čtyři stupně" nebo "jedno a". Toto je "kakající muž" nebo číslo "šestadvacet" v šestnáctkové soustavě čísel. Lidé, kteří neustále pracují v této číselné soustavě, automaticky vnímají číslo a písmeno jako jeden grafický symbol.

Výkonové vzorce používá se v procesu redukce a zjednodušování složitých výrazů, při řešení rovnic a nerovnic.

Číslo C je n-tá mocnina čísla A Když:

Operace se stupni.

1. Vynásobením stupňů se stejným základem se jejich ukazatele sečtou:

a ma n = a m + n.

2. Při dělení stupňů se stejným základem se jejich ukazatele odečítají:

3. Stupeň součinu 2 nebo více faktorů se rovná součinu stupňů těchto faktorů:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Stupeň zlomku se rovná poměru stupňů dividendy a dělitele:

(a/b) n = a n/bn.

5. Zvýšením mocniny na mocninu se exponenty vynásobí:

(am) n = a m n .

Každý výše uvedený vzorec je správný ve směru zleva doprava a naopak.

Například. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operace s kořeny.

1. Kořen součinu několika faktorů se rovná součinu kořenů těchto faktorů:

2. Odmocnina poměru se rovná poměru dividendy a dělitele odmocnin:

3. Při zvýšení odmocniny na mocninu stačí zvýšit odmocninu na tuto mocninu:

4. Zvýšíme-li stupeň kořene v n jednou a zároveň zvýšit na n mocnina je číslo odmocniny, pak se hodnota odmocniny nezmění:

5. Pokud snížíme stupeň kořene v n root ve stejnou dobu n stupně od radikálního čísla, pak se hodnota odmocniny nezmění:

Stupeň se záporným exponentem. Stupeň čísla s nekladným (celočíselným) exponentem je definován jako jeden dělený stupněm stejného čísla s exponentem rovným absolutní hodnotě nekladného exponentu:

Vzorec a m:a n = a m - n lze použít nejen pro m> n, ale také na m< n.

Například. A4:a7 = a4-7 = a-3.

Formulovat a m:a n = a m - n se stal spravedlivým m=n, potřebujete přítomnost nultého stupně.

Stupeň s nulovým exponentem. Mocnina libovolného nenulového čísla s nulovým exponentem je rovna jedné.

Například. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Stupeň se zlomkovým exponentem. Chcete-li zvýšit skutečné číslo A do určité míry m/n, musíte extrahovat kořen n tý stupeň m mocninu tohoto čísla A.

Umocňování je operace úzce související s násobením, tato operace je výsledkem vícenásobného násobení čísla samo o sobě. Představme si vzorec: a1 * a2 * ... * an = an.

Například a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

Obecně se umocňování často používá v různých vzorcích v matematice a fyzice. Tato funkce má více vědecký účel než čtyři základní: sčítání, odčítání, násobení, dělení.

Zvyšování čísla na mocninu

Zvýšení čísla na mocninu není obtížná operace. Souvisí s násobením jako vztah mezi násobením a sčítáním. Záznam an - krátký záznam n-tého počtu čísel "a" vynásobených navzájem.

Zvažte umocňování na nejjednodušších příkladech a přejděte ke složitějším.

Například 42. 42 = 4 * 4 = 16 . Čtyři na druhou (na druhou mocninu) se rovná šestnácti. Pokud nerozumíte násobení 4 * 4, přečtěte si náš článek o násobení.

Podívejme se na další příklad: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Pět krychlových (na třetí mocninu) se rovná sto dvaceti pěti.

Další příklad: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Devět krychlových se rovná sedm set dvacet devět.

Vzorce umocňování

Abyste správně zvýšili na moc, musíte si zapamatovat a znát níže uvedené vzorce. V tom není nic nadpřirozeného, ​​hlavní věcí je pochopit podstatu a pak si je nejen zapamatují, ale také se budou zdát snadné.

Povýšení monomiálu na moc

Co je to monomial? Jedná se o součin čísel a proměnných v libovolném množství. Například dvojka je jednočlenný. A tento článek je o povýšení takových monomií na moc.

Pomocí umocňovacích vzorců nebude těžké vypočítat umocnění jednočlenu na mocninu.

Například, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Pokud umocníte jednočlen na mocninu, pak se každá složka jednočlenu zvýší na mocninu.

Při zvýšení proměnné, která již má stupeň na mocninu, se stupně násobí. Například (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Povýšení na negativní sílu

Záporný exponent je převrácená hodnota čísla. Co je to reciproční? Pro libovolné číslo X je převrácená hodnota 1/X. To je X-1=1/X. To je podstata negativního stupně.

Zvažte příklad (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

proč tomu tak je? Protože je ve stupni mínus, jednoduše převedeme tento výraz do jmenovatele a poté jej zvýšíme na třetí mocninu. Akorát?

Zvýšení na zlomkovou moc

Začněme konkrétním příkladem. 43/2. Co znamená moc 3/2? 3 - čitatel, znamená zvýšení čísla (v tomto případě 4) na kostku. Číslo 2 je jmenovatel, jedná se o extrakci druhé odmocniny čísla (v tomto případě 4).

Pak dostaneme druhou odmocninu z 43 = 2^3 = 8 . Odpověď: 8.

Takže jmenovatel zlomkového stupně může být buď 3 nebo 4, a do nekonečna libovolné číslo, a toto číslo určuje stupeň odmocniny extrahované z daného čísla. Jmenovatel samozřejmě nemůže být nula.

Pozvednout kořen k moci

Pokud je kořen povýšen na sílu rovnající se síle samotného kořene, pak je odpovědí radikální výraz. Například (√x)2 = x. A tak v každém případě rovnost stupně kořene a stupně zvednutí kořene.

Pokud (√x)^4. Potom (√x)^4=x^2. Pro kontrolu řešení přeložíme výraz na výraz se zlomkovým stupněm. Protože je odmocnina čtvercová, jmenovatel je 2. A pokud je odmocnina zvýšena na čtvrtou mocninu, pak je čitatel 4. Dostaneme 4/2=2. Odpověď: x = 2.

V každém případě je nejlepší možností jednoduše převést výraz na zlomkový exponent. Pokud se zlomek nezmenšuje, pak taková odpověď bude, za předpokladu, že není přiřazen kořen daného čísla.

Umocňování komplexního čísla

Co je komplexní číslo? Komplexní číslo je výraz, který má vzorec a + b * i; a, b jsou reálná čísla. i je číslo, které po umocnění dává číslo -1.

Zvažte příklad. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i + (3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Přihlaste se do kurzu „Urychlete mentální počítání, NE mentální aritmetiku“, abyste se naučili rychle a správně sčítat, odčítat, násobit, dělit, odmocňovat čísla a dokonce i odmocňovat. Za 30 dní se naučíte používat jednoduché triky ke zjednodušení aritmetických operací. Každá lekce obsahuje nové techniky, jasné příklady a užitečné úkoly.

Umocňování online

Pomocí naší kalkulačky můžete vypočítat umocnění čísla na mocninu:

Stupeň umocnění 7

Povyšování k moci začíná školákům procházet až v sedmé třídě.

Umocňování je operace úzce související s násobením, tato operace je výsledkem vícenásobného násobení čísla samo o sobě. Představme si vzorec: a1 * a2 * … * an=an .

Například, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Příklady řešení:

Prezentace umocňování

Prezentace o umocňování, určená pro žáky sedmých tříd. Prezentace může objasnit některé nepochopitelné body, ale takové body pravděpodobně díky našemu článku nebudou.

Výsledek

Uvažovali jsme pouze o špičce ledovce, abychom lépe porozuměli matematice - přihlaste se do našeho kurzu: Zrychlete mentální počítání - NE mentální aritmetika.

Z kurzu se nejen naučíte desítky triků pro zjednodušené a rychlé násobení, sčítání, násobení, dělení, počítání procent, ale také je vypracujete ve speciálních úkolech a výukových hrách! Mentální počítání vyžaduje také hodně pozornosti a soustředění, které se aktivně trénují v řešení zajímavých problémů.

Jak víte, v matematice existují nejen kladná čísla, ale i záporná. Pokud seznámení s kladnými stupni začíná určením plochy čtverce, pak u záporných je vše poněkud komplikovanější.

Toto by mělo být známo:

1. Zvýšení čísla na přirozenou mocninu je vynásobením čísla (pojem číslo a číslo v článku budeme považovat za ekvivalentní) samo sebou v takovém množství, jako je exponent (v dalším budeme používat slovo indikátor v paralelně a jednoduše). 6^3 = 6*6*6 = 36*6 = 216. Obecně to vypadá takto: m^n = m*m*m*…*m (nkrát).
2. Je třeba mít na paměti, že když je záporné číslo umocněno na přirozenou mocninu, stane se kladným, pokud je exponent sudý.
3. Zvýšením čísla na exponent 0 dostaneme jednotku za předpokladu, že se nerovná nule. Nula až mocnina nuly je považována za nedefinovanou. 17^0 = 1.
4. Vyjmutí odmocniny určitého stupně z čísla se nazývá nalezení čísla, které, když je zvýšeno na vhodný indikátor, dá požadovanou hodnotu. Takže odmocnina čísla 125 je 5, protože 5^3 = 125.
5. Pokud chcete zvýšit číslo na kladnou zlomkovou mocninu, musíte číslo zvýšit na jmenovatele a extrahovat z něj kořen čitatele. 6^5/7 = 7. odmocnina z 6*6*6*6*6.
6. Pokud chcete zvýšit číslo na záporný exponent, musíte najít jeho převrácenou hodnotu. x^-3 = 1/x^3. 8^-4 = 1/8^4 = 1/8*8*8*8 = 1/4096.

Zvýšení čísla na záporný modul výkonu z nuly na jedničku

Nejprve si musíme pamatovat co je modul. Toto je vzdálenost na souřadnicové čáře od hodnoty, kterou jsme zvolili, k počátku (nula souřadnicové čáry). Podle definice nemůže být nikdy negativní.

Hodnota větší než nula

S hodnotou číslice v rozsahu od nuly do jedné záporný indikátor zvyšuje samotnou číslici. K tomu dochází, protože jmenovatel klesá, zatímco zůstává kladný.

Podívejme se na příklady:

• 1/7^-3 = 1/(1/7^3) = 1/(1/343) = 343;
• 0,2^-5 = 1/0,2^5 = 1/0,2*0,2*0,2*0,2*0,2 = 1/0,00032 = 3125.

Navíc, čím větší je modul indikátoru, tím aktivněji číslo roste. Protože jmenovatel má tendenci k nule, samotný zlomek má tendenci k plus nekonečnu.

Hodnota menší než nula

Nyní se podívejme, jak zvýšit na zápornou mocninu, pokud je číslo menší než nula. Princip je stejný jako v předchozím díle, ale záleží zde na znaménku exponentu.

Podívejme se znovu na příklady:

• -19 / 21^-4 = 1/(-19/21)^4 = 1/(-19)^4/21^4 = 21^4/(-19)^4 = 21*21*21*21/(-19)*(-19)*(-19)*(-19) = 194481/130321 = 1,4923228;
• -29/40^-5 = 1/(-29/40)^5 = 1/(-29)^5/40^5 = 40^5/(-29)^5 = 40*40*40*40*40/(-29)*(-29)*(-29)*(-29)*(-29) = 102400000/(-20511149) = -4,9924.

V tomto případě to vidíme modul stále roste, ale znaménko závisí na tom, zda je exponent sudý nebo lichý.

Je třeba poznamenat, že pokud postavíme jednotku, vždy zůstane sama sebou. Pokud potřebujete zvýšit číslo mínus jedna, pak se sudým exponentem změní na jedničku, s lichým zůstane mínus jedna.

Zvýšení na zápornou mocninu celého čísla, pokud je modul větší než jedna

Pro číslice, jejichž modul je větší než jedna, mají své vlastní charakteristiky jednání. Nejprve je potřeba převést celou část zlomku na čitatel, tedy převést na nesprávný zlomek. Pokud máme desetinný zlomek, pak je třeba ho převést na běžný. To se provádí následovně:

• 6 celých čísel 7/17 = 109/17;
• 2,54 = 254/100.

Nyní zvažte, jak za těchto podmínek zvýšit číslo na zápornou mocninu. Již z výše uvedeného můžeme předpokládat, co bychom měli od výsledku výpočtů očekávat. Protože se dvojitý zlomek během zjednodušení obrací, modul číslice se bude snižovat tím rychleji, čím větší je modul indikátoru.

Nejprve zvažte situaci, kdy dané číslo je kladné.

Za prvé je jasné, že konečný výsledek bude větší než nula, protože dělením dvou kladných hodnot je vždy kladné. Znovu se podívejme na příklady, jak se to dělá:

• 6 celých čísel 1/20 na mínus pátou mocninu = 121/20^-5 = 1/(121/20)^5 = 1/121^5/20^5 = 20^5/121^5 = 3200000/25937424601 = 0,0001234;
• 2,25^-6 = (225/100)^-6 = 1/(225/100)^6 = 1/225^6/100^6 = 100^6/225^6 = 100*100*100*100*100*100/225*225*225*225*225*225 = 0,007413.

Jak vidíte, akce nezpůsobují žádné zvláštní potíže a všechny naše počáteční předpoklady se ukázaly jako pravdivé.

Nyní přejdeme k případu záporné číslice.

Pro začátek můžeme předpokládat, že pokud je indikátor sudý, pak bude výsledek pozitivní, pokud je indikátor lichý, pak bude výsledek negativní. Všechny naše předchozí výpočty v této části budou nyní považovány za platné. Podívejme se znovu na příklady:

• -3 celé číslo 1/2 na mínus šestou mocninu = (-7/2)^-6 = 1/(-7/2)^6 = 1/(-7)^6/2^6 = 2*2* 2 *2*2*2/(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7) = 64/117649 = 0,000544;
• -1,25^-5 = (-125/100)^-5 = 1/(-125/100)^5 = 1/(-125)^5/100^5 = 100^5/(-125)^5 = 100*100*100*100*100/(-125)*(-125)*(-125)*(-125)*(-125) = 10000000000/(-30517578125) = -0.32768.

Všechny naše úvahy se tedy ukázaly jako správné.

Zvyšování v případě záporného zlomkového exponentu

Zde si musíte pamatovat, že taková erekce existuje extrahování kořene stupně ve jmenovateli z čísla ve stupni v čitateli. Všechny naše předchozí úvahy zůstávají pravdivé i tentokrát. Vysvětleme naše jednání na příkladu:

• 4^-3/2 = 1/4^3/2 = 1/rad(4^3) = 1/rad64 = 1/8.

V tomto případě musíte mít na paměti, že extrahování kořenů na vysoké úrovni je možné pouze ve speciálně vybrané formě a s největší pravděpodobností se nebudete moci zbavit znaku radikálu (druhá odmocnina, krychlový kořen, a tak dále) s přesnými výpočty.

Nicméně po podrobném prostudování předchozích kapitol bychom neměli očekávat potíže ve školních výpočtech.

Je třeba poznamenat, že popis této kapitoly také zahrnuje erekce se záměrně iracionálním exponentem, například pokud je indikátor mínus PI. Musíte jednat podle výše popsaných zásad. Výpočty se však v takových případech stávají natolik složitými, že je zvládnou pouze výkonné elektronické počítače.

Závěr

Akce, kterou jsme studovali je jedním z nejtěžších problémů v matematice(zejména v případě zlomkově racionální nebo iracionální hodnoty). Po podrobném prostudování tohoto návodu a krok za krokem se však můžete naučit, jak to udělat zcela automaticky a bez problémů.

První úroveň

Stupeň a jeho vlastnosti. Komplexní průvodce (2019)

Proč jsou potřebné tituly? Kde je potřebujete? Proč potřebujete trávit čas jejich studiem?

Chcete-li se dozvědět vše o titulech, k čemu jsou, jak využít své znalosti v každodenním životě, přečtěte si tento článek.

A samozřejmě znalost titulů vás přiblíží k úspěšnému složení OGE nebo Unified State Examination a vstupu na univerzitu vašich snů.

Pojďme... (Pojďme!)

Důležitá poznámka! Pokud místo vzorců vidíte bláboly, vymažte mezipaměť. Chcete-li to provést, stiskněte CTRL+F5 (v systému Windows) nebo Cmd+R (v systému Mac).

PRVNÍ ÚROVEŇ

Umocňování je stejná matematická operace jako sčítání, odčítání, násobení nebo dělení.

Nyní vše vysvětlím lidskou řečí na velmi jednoduchých příkladech. Buď opatrný. Příklady jsou elementární, ale vysvětlují důležité věci.

Začněme sčítáním.

Tady není co vysvětlovat. Všechno už víte: je nás osm. Každý má dvě láhve coly. Kolik coly? Správně - 16 lahví.

Nyní násobení.

Stejný příklad s colou lze napsat jiným způsobem: . Matematici jsou mazaní a líní lidé. Nejprve si všimnou nějakých vzorců a pak vymyslí způsob, jak je „spočítat“ rychleji. V našem případě si všimli, že každý z osmi lidí má stejný počet lahví coly a přišli s technikou zvanou násobení. Souhlasíte, je to považováno za jednodušší a rychlejší než.

Chcete-li tedy počítat rychleji, snadněji a bez chyb, stačí si pamatovat násobilka. Samozřejmě vše můžete dělat pomaleji, tvrději a s chybami! Ale…

Zde je tabulka násobení. Opakovat.

A další, hezčí:

A jaké další záludné počítací triky vymysleli líní matematici? Že jo - zvýšení čísla na mocninu.

Zvyšování čísla na mocninu

Pokud potřebujete vynásobit číslo samo o sobě pětkrát, pak matematici říkají, že musíte toto číslo zvýšit na pátou mocninu. Například, . Matematici si pamatují, že dvě až pátá mocnina je. A takové problémy řeší ve své mysli – rychleji, snadněji a bez chyb.

K tomu potřebujete pouze zapamatujte si, co je barevně zvýrazněno v tabulce mocnin čísel. Věřte mi, že vám to hodně usnadní život.

Mimochodem, proč se říká druhému stupni náměstíčísla a třetí krychle? Co to znamená? Velmi dobrá otázka. Nyní budete mít čtverce i kostky.

Příklad ze života #1

Začněme druhou mocninou čísla.

Představte si čtvercový bazén o rozměrech metry na metry. Bazén je na vaší zahradě. Je horko a moc se mi chce plavat. Ale ... bazén bez dna! Dno bazénu je nutné obložit dlažbou. Kolik dlaždic potřebujete? Abyste to mohli určit, musíte znát oblast dna bazénu.

Jednoduše šťouchnutím prstu spočítáte, že dno bazénu se skládá z kostek metr po metru. Pokud jsou vaše dlaždice metr po metru, budete potřebovat kusy. Je to snadné... Ale kde jsi viděl takovou dlaždici? Dlaždice bude spíše cm na cm a pak vás bude trápit „počítání prstem“. Pak musíte násobit. Takže na jednu stranu dna bazénu položíme dlaždice (kusy) a na druhou také dlaždice. Vynásobením získáte dlaždice ().

Všimli jste si, že jsme vynásobili stejné číslo, abychom určili plochu dna bazénu? Co to znamená? Protože se stejné číslo násobí, můžeme použít techniku ​​umocňování. (Samozřejmě, když máte jen dvě čísla, musíte je ještě vynásobit nebo je umocnit na mocninu. Pokud jich ale máte hodně, pak je umocnění mnohem jednodušší a také je ve výpočtech méně chyb U zkoušky je to velmi důležité).
Takže třicet až druhý stupeň bude (). Nebo můžete říci, že bude třicet čtverečních. Jinými slovy, druhá mocnina čísla může být vždy reprezentována jako čtverec. A naopak, pokud vidíte čtverec, je to VŽDY druhá mocnina nějakého čísla. Čtverec je obrazem druhé mocniny čísla.

Příklad ze života číslo 2

Zde je úkol pro vás, spočítat, kolik polí je na šachovnici pomocí druhé mocniny čísla... Na jedné straně buněk a na druhé také. Chcete-li spočítat jejich počet, musíte vynásobit osm osmi, nebo ... pokud si všimnete, že šachovnice je pole se stranou, můžete odmocnit osm. Získejte buňky. () Tak?

Příklad ze života číslo 3

Nyní krychle nebo třetí mocnina čísla. Stejný bazén. Nyní však musíte zjistit, kolik vody bude nutné do tohoto bazénu nalít. Musíte vypočítat objem. (Mimochodem, objemy a kapaliny se měří v metrech krychlových. Nečekané, že?) Nakreslete bazén: dno o velikosti jeden metr a hloubce metr a zkuste spočítat, kolik krychlí o rozměrech metr na metr vstoupí do vašeho bazén.

Stačí ukázat prstem a počítat! Jedna, dva, tři, čtyři...dvacet dva, dvacet tři... Kolik to vyšlo? Neztratili jste se? Je těžké počítat prstem? Aby! Vezměte si příklad od matematiků. Jsou líní, a tak si všimli, že pro výpočet objemu bazénu je potřeba vynásobit jeho délku, šířku a výšku navzájem. V našem případě bude objem bazénu roven kostkám ... Jednodušší, že?

A teď si představte, jak jsou matematici líní a mazaní, když to příliš zjednodušují. Vše zredukováno na jednu akci. Všimli si, že délka, šířka a výška jsou stejné a že stejné číslo se samo násobí... A co to znamená? To znamená, že můžete použít stupeň. Takže to, co jste kdysi spočítali prstem, udělají v jedné akci: tři v kostce se rovnají. Píše se to takto:

Zůstává pouze zapamatovat si tabulku stupňů. Pokud ovšem nejste líní a mazaní jako matematici. Pokud rádi tvrdě pracujete a děláte chyby, můžete dál počítat prstem.

Abychom vás konečně přesvědčili, že tituly vymysleli povaleči a mazaní lidé, aby řešili své životní problémy, a ne aby vám dělali problémy, zde je pár dalších příkladů ze života.

Příklad ze života #4

Máte milion rublů. Na začátku každého roku si za každý milion vyděláte další milion. To znamená, že každý váš milion se na začátku každého roku zdvojnásobí. Kolik peněz budete mít za roky? Pokud teď sedíte a „počítáte prstem“, pak jste velmi pracovitý člověk a .. hloupý. Ale s největší pravděpodobností dáš odpověď za pár sekund, protože jsi chytrý! Takže v prvním roce - dvakrát dva ... ve druhém roce - co se stalo, o dva více, ve třetím roce ... Stop! Všimli jste si, že číslo se jednou násobí samo sebou. Takže dvě ku páté mocnině je milion! Teď si představte, že máte soutěž a ten, kdo počítá rychleji, dostane tyto miliony ... Má cenu si připomínat stupně čísel, co myslíte?

Příklad ze života číslo 5

Máte milion. Na začátku každého roku vyděláte za každý milion dva další. Je to skvělé, že? Každý milion se ztrojnásobí. Kolik peněz budete mít za rok? Pojďme počítat. První rok - násobte, pak výsledek dalším... Už je to nuda, protože už jste všemu rozuměli: tři se násobí samo sebou krát. Čtvrtá mocnina je tedy milion. Jen je třeba si uvědomit, že tři až čtvrtá mocnina je nebo.

Nyní už víte, že zvýšením čísla na mocninu si značně usnadníte život. Pojďme se dále podívat na to, co můžete dělat s tituly a co o nich potřebujete vědět.

Termíny a pojmy ... abyste se nepletli

Nejprve si tedy definujme pojmy. Co myslíš, co je exponent? Je to velmi jednoduché – jde o číslo, které je „nahoře“ mocniny čísla. Není to vědecké, ale jasné a snadno zapamatovatelné...

No a zároveň co takový základ stupně? Ještě jednodušší je číslo, které je dole, na základně.

Tady máte pro jistotu obrázek.

No, obecně řečeno, abychom zobecnili a lépe si zapamatovali ... Titul se základem "" a indikátorem "" se čte jako "ve stupni" a zapisuje se takto:

Mocnina čísla s přirozeným exponentem

Pravděpodobně už tušíte: protože exponent je přirozené číslo. Ano, ale co je přirozené číslo? Základní! Přirozená čísla jsou ta, která se používají při počítání při výpisu položek: jedna, dvě, tři ... Když počítáme položky, neříkáme: „mínus pět“, „mínus šest“, „mínus sedm“. Neříkáme ani „jedna třetina“ nebo „nula bod pět desetin“. To nejsou přirozená čísla. Jaká jsou podle vás tato čísla?

Čísla jako "mínus pět", "mínus šest", "mínus sedm" odkazují celá čísla. Obecně platí, že celá čísla zahrnují všechna přirozená čísla, čísla opačná k přirozeným číslům (tj. braná se znaménkem mínus) a číslo. Nula je snadno pochopitelná - to je, když není nic. A co znamenají záporná („mínusová“) čísla? Byly však vynalezeny především k označení dluhů: pokud máte na telefonu zůstatek v rublech, znamená to, že dlužíte operátorovi v rublech.

Všechny zlomky jsou racionální čísla. Jak k nim došlo, co myslíte? Velmi jednoduché. Před několika tisíci lety naši předkové zjistili, že nemají dostatek přirozených čísel k měření délky, hmotnosti, plochy atd. A přišli na to racionální čísla… Zajímavé, že?

Existují i ​​iracionální čísla. Jaká jsou tato čísla? Zkrátka nekonečný desetinný zlomek. Pokud například vydělíte obvod kruhu jeho průměrem, dostanete iracionální číslo.

Souhrn:

Definujme si pojem stupně, jehož exponentem je přirozené číslo (tedy celé a kladné).

1. Jakékoli číslo k první mocnině se rovná samo sobě:
2. Odmocnit číslo znamená vynásobit ho samo sebou:
3. Krychlit číslo znamená vynásobit ho samo sebou třikrát:

Definice. Zvýšit číslo na přirozenou mocninu znamená vynásobit číslo samo o sobě krát:
.

Vlastnosti stupně

Kde se tyto vlastnosti vzaly? Teď vám to ukážu.

Podívejme se, co je A ?

A-priory:

Kolik je celkem násobitelů?

Je to velmi jednoduché: k faktorům jsme přidali faktory a výsledkem jsou faktory.

Ale podle definice se jedná o stupeň čísla s exponentem, tedy: , který musel být dokázán.

Příklad: Zjednodušte výraz.

Řešení:

Příklad: Zjednodušte výraz.

Řešení: Je důležité si uvědomit, že v našem pravidle Nezbytně musí to být stejný důvod!
Proto kombinujeme stupně se základnou, ale zůstáváme samostatným faktorem:

pouze pro produkty sil!

V žádném případě to nepište.

2. to je -tá mocnina čísla

Stejně jako u předchozí vlastnosti se vraťme k definici stupně:

Ukazuje se, že výraz se sám násobí jednou, to znamená, že podle definice je to ta mocnina čísla:

Ve skutečnosti to lze nazvat „závorkováním indikátoru“. Ale nikdy to nemůžete udělat úplně:

Připomeňme si vzorce pro zkrácené násobení: kolikrát jsme chtěli psát?

Ale to není pravda, opravdu.

Titul se záporným základem

Do této chvíle jsme diskutovali pouze o tom, jaký by měl být exponent.

Co by ale mělo být základem?

Ve stupních od přirozený indikátor základ může být jakékoliv číslo. Ve skutečnosti můžeme násobit navzájem libovolné číslo, ať už je kladné, záporné nebo sudé.

Zamysleme se nad tím, která znaménka (" " nebo "") budou mít stupně kladných a záporných čísel?

Bude například číslo kladné nebo záporné? A? ? U prvního je vše jasné: bez ohledu na to, kolik kladných čísel navzájem vynásobíme, výsledek bude kladný.

Ale ty negativní jsou o něco zajímavější. Ostatně si pamatujeme jednoduché pravidlo ze 6. třídy: „mínus krát mínus dává plus“. To znamená, popř. Ale když to vynásobíme, vyjde to.

Určete sami, jaké znamení budou mít následující výrazy:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Zvládli jste to?

Zde jsou odpovědi: V prvních čtyřech příkladech je doufám vše jasné? Jednoduše se podíváme na základ a exponent a použijeme příslušné pravidlo.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

V příkladu 5) také není všechno tak děsivé, jak se zdá: nezáleží na tom, čemu se rovná základna - stupeň je sudý, což znamená, že výsledek bude vždy pozitivní.

Tedy kromě případů, kdy je základ nula. Základ není stejný, že? Očividně ne, protože (protože).

Příklad 6) již není tak jednoduchý!

6 praktických příkladů

Rozbor řešení 6 příkladů

Pokud nebudeme věnovat pozornost osmému stupni, co zde vidíme? Pojďme se podívat na program 7. třídy. Takže, pamatuješ? To je zkrácený násobící vzorec, totiž rozdíl druhých mocnin! Dostaneme:

Pečlivě se podíváme na jmenovatele. Vypadá to hodně jako jeden z faktorů čitatele, ale co je špatně? Špatné pořadí termínů. Pokud by došlo k jejich záměně, mohlo by platit pravidlo.

Ale jak to udělat? Ukazuje se, že je to velmi snadné: zde nám pomáhá sudý stupeň jmenovatele.

Termíny magicky změnily místa. Tento „fenomén“ platí pro jakýkoli výraz v sudé míře: znaménka v závorkách můžeme libovolně měnit.

Ale je důležité si pamatovat: všechny znaky se mění současně!

Vraťme se k příkladu:

A opět vzorec:

Celý pojmenováváme přirozená čísla, jejich protiklady (tedy brané se znaménkem "") a číslo.

kladné celé číslo, a neliší se od přírodního, pak vše vypadá přesně jako v předchozí části.

Nyní se podívejme na nové případy. Začněme s ukazatelem rovným.

Jakékoli číslo s nulovou mocninou se rovná jedné:

Jako vždy se ptáme sami sebe: proč tomu tak je?

Zvažte nějakou sílu se základnou. Vezměte si například a vynásobte:

Takže jsme číslo vynásobili a dostali jsme stejné, jako bylo -. Jakým číslem se musí vynásobit, aby se nic nezměnilo? Přesně tak, dál. Prostředek.

Totéž můžeme udělat s libovolným číslem:

Zopakujme si pravidlo:

Jakékoli číslo s nulovou mocninou se rovná jedné.

Ale existují výjimky z mnoha pravidel. A tady je to také tam - toto je číslo (jako základ).

Na jednu stranu se musí rovnat libovolnému stupni – ať násobíte nulu jakkoli sama sebou, stejně dostanete nulu, to je jasné. Ale na druhou stranu, jako každé číslo na nulový stupeň se musí rovnat. Tak co je na tom pravdy? Matematici se rozhodli nezasahovat a odmítli zvýšit nulu na nulovou mocninu. To znamená, že nyní můžeme nejen dělit nulou, ale také zvýšit na nulovou mocninu.

Pojďme dále. Kromě přirozených čísel a čísel zahrnují celá čísla i záporná čísla. Abychom pochopili, co je záporný stupeň, udělejme totéž jako minule: vynásobíme nějaké normální číslo stejným v záporném stupni:

Odtud je již snadné vyjádřit požadované:

Nyní rozšíříme výsledné pravidlo na libovolnou míru:

Pojďme tedy formulovat pravidlo:

Číslo k záporné mocnině je inverzí stejného čísla ke kladné mocnině. Ale v tu samou dobu základ nemůže být null:(protože to nejde rozdělit).

Pojďme si to shrnout:

I. Výraz není definován v case. Pokud, tak.

II. Jakékoli číslo s nulovou mocninou se rovná jedné: .

III. Číslo, které se nerovná nule k záporné mocnině, je inverzí stejného čísla k kladné mocnině: .

Úkoly pro samostatné řešení:

No, jako obvykle, příklady pro nezávislé řešení:

Analýza úloh pro samostatné řešení:

Já vím, já vím, čísla jsou děsivá, ale u zkoušky musíte být připraveni na všechno! Vyřešte tyto příklady nebo rozeberte jejich řešení, pokud jste to nedokázali vyřešit a ve zkoušce se naučíte, jak si s nimi snadno poradit!

Pokračujme v rozšiřování okruhu čísel „vhodných“ jako exponent.

Nyní zvažte racionální čísla. Jaká čísla se nazývají racionální?

Odpověď: vše, co může být reprezentováno jako zlomek, kde a jsou celá čísla, navíc.

Abychom pochopili, co je "zlomkový stupeň" Uvažujme zlomek:

Uveďme obě strany rovnice na mocninu:

Nyní si zapamatujte pravidlo "od stupně ke stupni":

Jaké číslo musí být zvýšeno na mocninu, abyste získali?

Tato formulace je definicí kořene tého stupně.

Dovolte mi, abych vám připomněl: odmocnina tý mocniny čísla () je číslo, které se po umocnění rovná.

To znamená, že kořen tého stupně je inverzní operace umocňování: .

Ukázalo se, že. Tento speciální případ lze samozřejmě rozšířit: .

Nyní přidejte čitatel: co to je? Odpověď lze snadno získat pomocí pravidla power-to-power:

Ale může být základem jakékoliv číslo? Koneckonců, kořen nelze extrahovat ze všech čísel.

Žádný!

Pamatujte na pravidlo: každé číslo umocněné na sudou mocninu je kladné číslo. To znamená, že je nemožné extrahovat kořeny sudého stupně ze záporných čísel!

A to znamená, že taková čísla nelze umocnit na zlomkovou mocninu se sudým jmenovatelem, to znamená, že výraz nedává smysl.

A co výraz?

Zde však nastává problém.

Číslo může být reprezentováno jako jiné, redukované zlomky, například, popř.

A ukáže se, že existuje, ale neexistuje, a to jsou jen dva různé záznamy stejného čísla.

Nebo jiný příklad: jednou, pak si to můžete zapsat. Jakmile ale zapíšeme indikátor jiným způsobem, opět máme problém: (to znamená, že jsme dostali úplně jiný výsledek!).

Abyste se vyhnuli takovým paradoxům, zvažte pouze kladný základní exponent se zlomkovým exponentem.

Takže když:

• - přirozené číslo;
• je celé číslo;

Příklady:

Mocniny s racionálním exponentem jsou velmi užitečné pro transformaci výrazů s kořeny, například:

5 praktických příkladů

Rozbor 5 příkladů pro školení

No, teď - to nejtěžší. Nyní budeme analyzovat stupně s iracionálním exponentem.

Všechna pravidla a vlastnosti stupňů jsou zde úplně stejné jako pro stupně s racionálním exponentem, s výjimkou

Ve skutečnosti jsou iracionální čísla podle definice čísla, která nelze reprezentovat jako zlomek, kde a jsou celá čísla (to znamená, že iracionální čísla jsou všechna reálná čísla kromě racionálních).

Při studiu titulů s přirozeným, celočíselným a racionálním ukazatelem jsme si pokaždé vytvořili určitý „obraz“, „analogii“ nebo popis ve známějších pojmech.

Například přirozený exponent je číslo násobené sebou samým několikrát;

...nulový výkon- je to jakoby číslo, které se jednou vynásobilo samo sebou, to znamená, že se ještě nezačalo násobit, to znamená, že se samotné číslo ještě ani neobjevilo - výsledkem je tedy pouze určité „číslo prázdné“ , jmenovitě číslo;

...záporný exponent celého čísla- jako by proběhl určitý „obrácený proces“, to znamená, že číslo nebylo samo násobeno, ale rozděleno.

Mimochodem, věda často používá stupeň s komplexním exponentem, to znamená, že exponent není ani skutečné číslo.

Ale ve škole o takových potížích nepřemýšlíme, v ústavu budete mít příležitost porozumět těmto novým konceptům.

KAM JSME JISTÍ, ŽE PŮJDETE! (pokud se naučíte řešit takové příklady :))

Například:

Rozhodněte se sami:

Analýza řešení:

1. Začněme již obvyklým pravidlem pro zvyšování titulu na stupeň:

Nyní se podívejte na skóre. Připomíná vám něco? Připomínáme vzorec pro zkrácené násobení rozdílu čtverců:

V tomto případě,

Ukázalo se, že:

Odpovědět: .

2. Zlomky v exponentech přivedeme do stejného tvaru: buď oba desetinné, nebo oba obyčejné. Dostáváme například:

Odpověď: 16

3. Nic zvláštního, aplikujeme obvyklé vlastnosti stupňů:

POKROČILÁ ÚROVEŇ

Definice stupně

Stupeň je vyjádřením tvaru: , kde:

• — základ stupně;
• - exponent.

Stupeň s přirozeným exponentem (n = 1, 2, 3,...)

Zvýšení čísla na přirozenou mocninu n znamená vynásobení čísla samo o sobě krát:

Mocnina s celočíselným exponentem (0, ±1, ±2,...)

Pokud je exponent kladné celé čísločíslo:

erekce na nulový výkon:

Výraz je neurčitý, protože na jedné straně je do jakéhokoli stupně toto a na druhé straně jakékoli číslo do tého stupně je toto.

Pokud je exponent celé číslo zápornéčíslo:

(protože to nejde rozdělit).

Ještě jednou o nulách: výraz není v případě definován. Pokud, tak.

Příklady:

Stupeň s racionálním exponentem

• - přirozené číslo;
• je celé číslo;

Příklady:

Vlastnosti stupně

Abychom usnadnili řešení problémů, pokusme se pochopit: odkud se tyto vlastnosti vzaly? Pojďme je dokázat.

Podívejme se: co je a?

A-priory:

Takže na pravé straně tohoto výrazu se získá následující produkt:

Ale podle definice se jedná o mocninu čísla s exponentem, tedy:

Q.E.D.

Příklad : Zjednodušte výraz.

Řešení : .

Příklad : Zjednodušte výraz.

Řešení : Je důležité si uvědomit, že v našem pravidle Nezbytně musí být na stejném základě. Proto kombinujeme stupně se základnou, ale zůstáváme samostatným faktorem:

Další důležitá poznámka: toto pravidlo - pouze pro produkty mocností!

To bych za žádných okolností neměl psát.

Stejně jako u předchozí vlastnosti se vraťme k definici stupně:

Přeuspořádejme to takto:

Ukazuje se, že výraz se sám násobí jednou, to znamená, že podle definice je to -tá mocnina čísla:

Ve skutečnosti to lze nazvat „závorkováním indikátoru“. Ale nikdy to nemůžete udělat úplně:!

Připomeňme si vzorce pro zkrácené násobení: kolikrát jsme chtěli psát? Ale to není pravda, opravdu.

Moc s negativní bází.

Do této chvíle jsme diskutovali pouze o tom, co by mělo být index stupeň. Co by ale mělo být základem? Ve stupních od přírodní indikátor základ může být jakékoliv číslo .

Ve skutečnosti můžeme násobit navzájem libovolné číslo, ať už je kladné, záporné nebo sudé. Zamysleme se nad tím, která znaménka ("" nebo "") budou mít stupně kladných a záporných čísel?

Bude například číslo kladné nebo záporné? A? ?

U prvního je vše jasné: bez ohledu na to, kolik kladných čísel navzájem vynásobíme, výsledek bude kladný.

Ale ty negativní jsou o něco zajímavější. Ostatně si pamatujeme jednoduché pravidlo ze 6. třídy: „mínus krát mínus dává plus“. To znamená, popř. Pokud ale vynásobíme (), dostaneme -.

A tak dále ad infinitum: s každým dalším násobením se znaménko změní. Můžete formulovat tato jednoduchá pravidla:

1. dokonce stupeň, - číslo pozitivní.
2. Záporné číslo zvýšeno na zvláštní stupeň, - číslo negativní.
3. Kladné číslo k libovolné mocnině je kladné číslo.
4. Nula k libovolné mocnině se rovná nule.

Určete sami, jaké znamení budou mít následující výrazy:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Zvládli jste to? Zde jsou odpovědi:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

V prvních čtyřech příkladech je doufám vše jasné? Jednoduše se podíváme na základ a exponent a použijeme příslušné pravidlo.

V příkladu 5) také není všechno tak děsivé, jak se zdá: nezáleží na tom, čemu se rovná základna - stupeň je sudý, což znamená, že výsledek bude vždy pozitivní. Tedy kromě případů, kdy je základ nula. Základ není stejný, že? Očividně ne, protože (protože).

Příklad 6) již není tak jednoduchý. Zde musíte zjistit, co je méně: nebo? Pokud si to pamatujete, je to jasné, což znamená, že základna je menší než nula. To znamená, že použijeme pravidlo 2: výsledek bude záporný.

A opět použijeme definici stupně:

Vše je jako obvykle - zapíšeme definici stupňů a rozdělíme je na sebe, rozdělíme do dvojic a dostaneme:

Před analýzou posledního pravidla vyřešme několik příkladů.

Vypočítejte hodnoty výrazů:

Řešení :

Pokud nebudeme věnovat pozornost osmému stupni, co zde vidíme? Pojďme se podívat na program 7. třídy. Takže, pamatuješ? To je zkrácený násobící vzorec, totiž rozdíl druhých mocnin!

Dostaneme:

Pozorně se podíváme na jmenovatele. Vypadá to hodně jako jeden z faktorů čitatele, ale co je špatně? Špatné pořadí termínů. Pokud by byly obráceny, mohlo by být aplikováno pravidlo 3. Ale jak to udělat? Ukazuje se, že je to velmi snadné: zde nám pomáhá sudý stupeň jmenovatele.

Když to vynásobíte, nic se nezmění, že? Ale teď to vypadá takto:

Termíny magicky změnily místa. Tento „fenomén“ platí pro jakýkoli výraz v sudé míře: znaménka v závorkách můžeme libovolně měnit. Ale je důležité si pamatovat: všechna znamení se mění současně! Nelze to nahradit změnou pouze jednoho pro nás nežádoucího mínus!

Vraťme se k příkladu:

A opět vzorec:

Takže teď poslední pravidlo:

Jak to chceme dokázat? Samozřejmě, jako obvykle: rozšíříme koncept stupně a zjednodušíme:

No, teď otevřeme závorky. Kolik bude písmen? časy násobiteli - jak to vypadá? To není nic jiného než definice operace násobení: celkem se ukázalo, že existují multiplikátory. To znamená, že je to podle definice mocnina čísla s exponentem:

Příklad:

Stupeň s iracionálním exponentem

Kromě informací o stupních pro průměrnou úroveň budeme analyzovat stupeň s iracionálním ukazatelem. Všechna pravidla a vlastnosti stupňů jsou zde úplně stejné jako u stupně s racionálním exponentem, s výjimkou - ostatně iracionální čísla jsou z definice čísla, která nelze reprezentovat jako zlomek, kde a jsou celá čísla (tj. , iracionální čísla jsou všechna reálná čísla kromě racionálních).

Při studiu titulů s přirozeným, celočíselným a racionálním ukazatelem jsme si pokaždé vytvořili určitý „obraz“, „analogii“ nebo popis ve známějších pojmech. Například přirozený exponent je číslo násobené sebou samým několikrát; číslo do nultého stupně je jakoby číslo, které se jednou násobí samo sebou, to znamená, že se ještě nezačalo násobit, což znamená, že se číslo samotné ještě ani neobjevilo - výsledkem je tedy pouze určitá „příprava čísla“, jmenovitě číslo; stupeň s celočíselným záporným ukazatelem - jako by nastal určitý „obrácený proces“, to znamená, že číslo nebylo vynásobeno samo sebou, ale rozděleno.

Je extrémně obtížné si představit stupeň s iracionálním exponentem (stejně jako je obtížné si představit 4-rozměrný prostor). Jde spíše o čistě matematický objekt, který matematici vytvořili, aby rozšířili pojem stupně na celý prostor čísel.

Mimochodem, věda často používá stupeň s komplexním exponentem, to znamená, že exponent není ani skutečné číslo. Ale ve škole o takových potížích nepřemýšlíme, v ústavu budete mít příležitost porozumět těmto novým konceptům.

Co tedy uděláme, když vidíme iracionální exponent? Snažíme se, abychom se toho zbavili! :)

Například:

Rozhodněte se sami:

1)

2)

3)

Odpovědi:

1. Pamatujte na rozdíl ve vzorcích čtverců. Odpovědět: .
2. Zlomky přivedeme do stejného tvaru: buď obě desetinná místa, nebo obě obyčejná. Dostáváme například: .
3. Nic zvláštního, aplikujeme obvyklé vlastnosti stupňů:

SHRNUTÍ ODDÍLU A ZÁKLADNÍ VZORCE

Stupeň se nazývá výraz ve tvaru: , kde:

Stupeň s celočíselným exponentem

stupně, jehož exponentem je přirozené číslo (tedy celé a kladné).

Stupeň s racionálním exponentem

stupně, jehož ukazatelem jsou záporná a zlomková čísla.

Stupeň s iracionálním exponentem

exponent, jehož exponent je nekonečný desetinný zlomek nebo odmocnina.

Vlastnosti stupně

Vlastnosti stupňů.

• Záporné číslo zvýšeno na dokonce stupeň, - číslo pozitivní.
• Záporné číslo zvýšeno na zvláštní stupeň, - číslo negativní.
• Kladné číslo k libovolné mocnině je kladné číslo.
• Nula se rovná jakékoli síle.
• Jakékoli číslo s nulovou mocninou se rovná.

TEĎ MÁTE SLOVO...

Jak se vám článek líbí? Dejte mi vědět v komentářích níže, jestli se vám to líbilo nebo ne.

Řekněte nám o svých zkušenostech s vlastnostmi napájení.

Možná máte otázky. Nebo návrhy.

Pište do komentářů.

A hodně štěstí u zkoušek!