Savremeni problemi nauke i obrazovanja. Uzdužne vibracije homogenog štapa Primjeri rješavanja problema

Štap je tijelo čija jedna dimenzija, nazvana uzdužna, znatno premašuje njegove dimenzije u ravni koja je okomita na uzdužni smjer, tj. poprečne dimenzije. Glavno svojstvo štapa je otpornost na uzdužnu kompresiju (napon) i savijanje. Ovo svojstvo u osnovi razlikuje štap od strune, koja se ne rasteže i ne opire savijanju. Ako je gustina materijala štapa ista na svim njegovim tačkama, onda se štap naziva homogenim.

Tipično, proširena tijela omeđena zatvorenom cilindričnom površinom smatraju se šipkama. U ovom slučaju, površina poprečnog presjeka ostaje konstantna. Proučavaćemo ponašanje upravo takvog jednolikog štapa dužine l, pod pretpostavkom da je podložan samo kompresiji ili napetosti, poštujući Hookeov zakon. Prilikom proučavanja malih uzdužnih deformacija štapa, tzv hipoteza ravnih presjeka. Leži u činjenici da poprečni presjeci, krećući se pod pritiskom ili naprezanjem duž šipke, ostaju ravni i paralelni jedan s drugim.

Usmjerimo osu x duž uzdužne ose štapa (slika 19) i pretpostavićemo da su u početnom trenutku krajevi štapa u tačkama x=0 I x=l. Uzmimo proizvoljan dio štapa s koordinatom x. Označimo sa u(x,t) pomjeranje ove dionice u trenutku t, zatim pomak presjeka s koordinatom u istom trenutku će biti jednak

Zatim relativno izduženje štapa u presjeku x biće jednaki

Sila otpora ovom izduženju prema Hookeovom zakonu će biti jednaka

Gdje E– modul elastičnosti materijala štapa (Youngov modul), i S – površina poprečnog presjeka. Na granicama dijela šipke s dužinom dx sile deluju na njega Tx I T x + dx, usmjerena duž ose x. Rezultanta ovih sila će biti jednaka

,

a ubrzanje presjeka štapa koji se razmatra je jednako , tada će jednadžba gibanja ovog presjeka štapa imati oblik:

, (67)

Gdje ρ – gustina materijala štapa. Ako su ova gustina i Youngov modul konstantni, tada možemo unijeti količinu kroz i dijeljenjem obje strane jednačine sa Sdx, konačno dobiti jednadžba uzdužnih vibracija štapa u odsustvu spoljnih sila

(68)

Ova jednačina ima isti oblik kao jednadžba za poprečne vibracije strune i metode rješenja za njega su isti, međutim, koeficijent a Ove jednačine predstavljaju različite veličine. U jednačini niza, količina a 2 predstavlja razlomak čiji je brojilac konstantna sila zatezanja strune - T, a u nazivniku linearna gustina ρ , a u jednadžbi nizova brojnici sadrže Youngov modul i nazivnik – volumetrijski gustina materijala štapa ρ . Otuda i fizičko značenje količine a u ovim jednačinama je drugačija. Ako je za strunu ovaj koeficijent brzina prostiranja malog poprečnog pomaka, onda je za štap brzina prostiranja malog uzdužnog istezanja ili kompresije i naziva se brzina zvuka, budući da će se pri toj brzini male uzdužne vibracije, koje predstavljaju zvuk, širiti duž štapa.

Za jednačinu (68) postavljeni su početni uslovi koji određuju pomak i brzinu pomaka bilo kojeg dijela štapa u početno vrijeme:

Za ograničenu šipku, uslovi za pričvršćivanje ili primjenu sile na njenim krajevima navedeni su u obliku graničnih uslova 1., 2. i 3. vrste.

Granični uslovi prve vrste određuju uzdužni pomak na krajevima štapa:

Ako su krajevi štapa fiksirani nepomično, tada pod uslovima (6) . U ovom slučaju, kao iu problemu oscilovanja stegnute žice, primjenjujemo metodu razdvajanja varijabli.

U graničnim uvjetima druge vrste, elastične sile su specificirane na krajevima štapa, koje su rezultat deformacije prema Hookeovom zakonu ovisno o vremenu. Prema formuli (66), ove sile su do konstantnog faktora jednake derivatu u x, dakle, na krajevima su ovi derivati ​​specificirani kao funkcije vremena:

Ako je jedan kraj štapa slobodan, onda na ovom kraju u x = 0.

Granični uslovi treće vrste mogu se predstaviti kao uslovi pod kojima je opruga pričvršćena na svaki kraj štapa, čiji se drugi kraj kreće duž ose prema datom zakonu vremena θ (t), kao što je prikazano na sl. 20. Ovi uslovi se mogu napisati na sljedeći način

, (72)

Gdje k 1 i k 2 – krutost opruge.

Ako na štap po osi djeluje i vanjska sila str(x,t), izračunato po jedinici zapremine, tada umesto jednačine (50) treba napisati nehomogenu jednačinu

,

Koja, nakon dijeljenja sa, poprima oblik

, (73)

Gdje . Jednačina (73) je jednačina prisilnih uzdužnih vibracija štapa, koja se rješava analogno jednadžbi prisilnih vibracija strune.

Komentar. Treba napomenuti da su i struna i štap modeli stvarnih tijela, koja u stvarnosti mogu pokazati i svojstva tetive i štapa, u zavisnosti od uslova u kojima se nalaze. Osim toga, rezultirajuće jednadžbe ne uzimaju u obzir sile otpora okoline i sile unutrašnjeg trenja, zbog čega ove jednadžbe opisuju neprigušene oscilacije. Da bi se uzeo u obzir efekat prigušenja, u najjednostavnijem slučaju koristi se disipativna sila, proporcionalna brzini i usmjerena u smjeru suprotnom kretanju, tj. brzina. Kao rezultat, jednačina (73) poprima oblik

(74)

1

Predložena je frekventna metoda za rješavanje problema uzdužnih vibracija šipki stepenasto promjenjivog poprečnog presjeka sa ili bez uzimanja u obzir disipacije energije pri udaru o krutu prepreku. Jednačina uzdužnih vibracija štapa se transformiše prema Laplaceu u prisustvu početnih uslova koji nisu nula. Riješen je granični problem koji se sastoji u pronalaženju Laplace-transformiranih uzdužnih sila ruba kao funkcije pomaka rubova. Zatim se sastavlja sistem jednadžbi ravnoteže za čvorove, rešavanjem kojih se konstruišu amplitudsko-fazno-frekventne karakteristike (APFC) za preseke štapa od interesa. Izvođenjem inverzne Laplaceove transformacije konstruiše se proces tranzicije. Kao ogledni primjer razmatra se štap konstantnog poprečnog presjeka konačne dužine. Dato je poređenje sa poznatim talasnim rešenjem. Predložena metoda za dinamički proračun štapa u sudaru sa krutom preprekom omogućava generalizaciju na proizvoljan sistem štapa u prisustvu neograničenog broja elastično vezanih masa, sa proizvoljnom silom primijenjenom na krajevima i duž dužine. rod.

Frekvencijska metoda

uzdužne vibracije štapa

1. Biderman, V.L. Primijenjena teorija mehaničkih vibracija / V.L. Biderman. – M.: Viša škola, 1972. – 416 str.

2. Lavrentijev, M.A. Metode teorije funkcija kompleksne varijable / M.A. Lavrentijev, B.V. Šabat. – M.: Nauka, 1973. – 736 str.

3. Sankin, Yu.N. Dinamičke karakteristike viskoelastičnih sistema sa distribuiranim parametrima / Yu.N. Sankin. – Saratov: Izdavačka kuća Sarat. Univerzitet, 1977. – 312 str.

4. Sankin, Yu.N. Nestalne vibracije štapnih sistema pri sudaru sa preprekom / Yu.N. Sankin, N.A. Yuganova; pod generalom ed. Yu.N. Sankina. – Uljanovsk: Državni tehnički univerzitet Uljanovsk, 2010. – 174 str.

5. Sankin, Y.N. Uzdužne vibracije elastičnih šipki promjenjivog poprečnog presjeka pri sudaru sa krutom preprekom \ Yu. N. Sankin i N.A. Yuganova, J. Appl. Maths Mechs, Vol. 65, br. 3, str. 427–433, 2001.

Razmotrimo frekventnu metodu za rješavanje problema uzdužnih vibracija štapova stepenasto promjenjivog poprečnog presjeka sa ili bez uzimanja u obzir disipacije energije pri udaru o krutu prepreku, koju ćemo uporediti s poznatim valnim rješenjem i rješenjem u obliku niza modova vibracija (14).

Diferencijalna jednadžba za uzdužne vibracije štapa, uzimajući u obzir sile unutrašnjeg otpora, ima oblik:

Postavimo sljedeće granične i početne uslove:

. (2)

Transformirajmo jednačinu (1) i granične uslove (2) prema Laplaceu za date početne uslove (2). Tada će jednačina (2) i granični uslovi (2) biti zapisani na sljedeći način:

; (3)

,

gdje su Laplace-transformirani pomaci točaka štapa; p je parametar Laplaceove transformacije.

Jednačina (3) bez uzimanja u obzir disipacije energije (at = 0) će poprimiti oblik:

. (4)

Za rezultirajuću nehomogenu diferencijalnu jednadžbu riješen je granični problem koji se sastoji u pronalaženju Laplace-transformiranih uzdužnih sila ruba kao funkcije pomaka rubova.

Da biste to učinili, razmotrite homogenu jednadžbu uzdužnih vibracija štapa uzimajući u obzir disipaciju energije

(5)

Određivanje

i prelazeći na novu promenljivu, dobijamo umesto (5)

(6)

Ako je, gdje je parametar frekvencije, onda

.

Rješenje homogene jednadžbe (6) ima oblik:

Konstante integracije c1 i c2 nalazimo iz početnih uslova:

u = u0 ; N = N0,

One. ;

Ovo rješenje odgovara sljedećoj matrici prijenosa:

. (7)

Zamjenom rezultirajućih izraza za elemente matrice prijenosa u formule metode pomaka dobijamo:

; (8)

;

Indeksi n i k označavaju početak i kraj preseka štapa, respektivno. A geometrijske i fizičke konstante s indeksima nk i kn odnose se na određeni dio štapa.

Dijeleći štap na elemente, koristeći formule (8), sastavit ćemo jednadžbe za dinamičku ravnotežu čvorova. Ove jednadžbe predstavljaju sistem jednadžbi za nepoznate pomake čvorova. Budući da se odgovarajući koeficijenti dobijaju točnim integrisanjem, dužina preseka štapa nije ograničena.

Rješavanjem rezultirajućeg sistema jednadžbi za , konstruiramo amplitudsko-fazno-frekventne karakteristike za presjeke štapa koji nas zanimaju. Ovi AFC-ovi se mogu smatrati grafičkom slikom jednosmjerne Fourierove transformacije, koja se poklapa sa Laplaceovom transformacijom pod impulsnim utjecajima. Budući da sve singularne točke odgovarajućih izraza leže lijevo od imaginarne ose, inverzna transformacija se može izvesti uz pretpostavku , tj. korištenjem izgrađenih AFC-ova. Zadatak konstruiranja AFC-a, gdje se polje početnih brzina pomnoženo sa gustinom štapa pojavljuje kao djelovanje sile, je pomoćno. Tipično, AFC se konstruišu od uticaja remetećih sila, zatim se inverzna Laplasova transformacija izvodi numeričkom integracijom ili nekom drugom metodom.

Kao jednostavan primjer, uzmimo ravan štap dužine l, koji se uzdužno sudara sa krutom preprekom brzinom V0 (slika 1).

Odredimo pomak tačaka štapa nakon udara. Pretpostavićemo da nakon udara ostaje kontakt između prepreke i štapa, tj. nema odskoka štapa. Ako je veza nesadržajna, onda se problem može smatrati komadno linearnim. Kriterijum za prelazak na drugu opciju rješenja je promjena predznaka brzine u tački kontakta.

U monografiji Lavrentyev M.A., Shabat B.V. dato je valno rješenje jednadžbe (4):

i pronađen je njegov original

, (9)

gdje je funkcija jediničnog koraka.

Drugi pristup rješavanju ovog problema može se provesti frekvencijskom metodom opisanom u. U vezi sa ovim problemom imaćemo:

; ;

; ;

; ;

. (10)

Hajde da nađemo original (11)

Rešimo isti problem metodom frekvencije. Iz jednadžbe ravnoteže 1. čvora:

(12)

dobijamo formulu za pomeranje kraja štapa.

Sada, ako se ispitna šipka konstantnog poprečnog presjeka podijeli na dva proizvoljna dijela dužine l1 i l2 (vidi sliku 1), tada će uvjeti ravnoteže za čvorove biti sljedeći:

(13)

Kao rezultat rješavanja sistema (13) dobijamo grafike fazno-frekventnog odziva za pomake u 1. i 2. presjeku (U1 i U2, respektivno). Dakle, slika za pomak ruba u zatvorenom obliku, uzimajući u obzir disipaciju energije, u slučaju (12) i (13) se poklapa i ima oblik:

. (14)

Provjerimo podudarnost rezultata na kraju štapa. Na sl. Na slici 2 prikazani su grafovi rješenja (10) pri x = l0.1 i kao rezultat rješavanja sistema (13). Oni su potpuno isti.

Diskretna Fourierova transformacija se može koristiti za dobijanje prelaznog procesa. Rezultat se može dobiti izvođenjem numeričke integracije pri t=0... koristeći formulu

. (15)

U AFC-u (vidi sliku 2), samo jedan vidljivi zaokret se značajno manifestuje. Stoga treba uzeti jedan član serije (15). Grafikoni na slici 3 pokazuju koliko se tačno rešenje (9) i rešenje za modove vibracija (11) poklapaju sa predloženim frekventnim rešenjem. Greška ne prelazi 18%. Nastala neslaganja se objašnjava činjenicom da rješenja (9) i (11) ne uzimaju u obzir disipaciju energije u materijalu štapa.

Rice. 3. Prolazni proces za kraj štapa; 1, 2, 3 - grafovi konstruisani prema formulama (9), (11), (15).

Kao složeniji primjer, razmotrite problem uzdužnih vibracija stepenastog štapa (slika 4) sa teretom na kraju, sudarajući se sa krutom preprekom brzinom V0, i neka masa tereta bude jednaka masi susjednog dijela štapa:.

Rice. 4. Proračunski dijagram uzdužnih vibracija stepenaste šipke sa opterećenjem na kraju

Uvedimo karakteristične presjeke 1,2,3 štapa u kojima ćemo izračunati pomake. Napravimo sistem rješavanja jednačina:

(16)

Kao rezultat rješavanja sistema (16), dobijamo grafike fazno-frekventnog odziva (slika 5) za pomake u drugom i trećem dijelu (U2() i U3(), respektivno. Proračuni su izvršeni sa sljedećim konstantnim vrijednostima: l = 2 m; E = 2,1×1011 Pa; F = 0,06 m2; = 7850 kg/m3; V = 10 m/s. U dobijenim AFC-ima, samo dva vidljiva zavoja se značajno manifestuju. Stoga, pri konstruiranju procesa tranzicije u odabranim presjecima, uzimamo dva člana serije (16). Da biste to učinili, prvo morate odrediti

Rice. 5. AFC pomaka u drugom i trećem dijelu stepenastog štapa (vidi sliku 4)

Proces tranzicije se konstruira na sličan način koristeći formulu (15).

Zaključak: razvijena je metoda za proračun uzdužnih vibracija šipki pri udaru o prepreku.

Recenzenti:

Lebedev A.M., doktor tehničkih nauka, vanredni profesor, profesor Visoke vazduhoplovne škole (Instituta) Uljanovsk, Uljanovsk.

Antonets I.V., doktor tehničkih nauka, profesor Uljanovskog državnog tehničkog univerziteta, Uljanovsk.

Bibliografska veza

Yuganova N.A. UZDUŽNE VIBRACIJE ŠTAPOVA U SUDARU SA TEŠKOM PREPREKOM // Savremeni problemi nauke i obrazovanja. – 2014. – br. 2.;
URL: http://science-education.ru/ru/article/view?id=12054 (datum pristupa: 15.01.2020.). Predstavljamo Vam časopise koje izdaje izdavačka kuća "Akademija prirodnih nauka"

Slobodne oscilacije sistema sa distribuiranim parametrima

Glavna karakteristika procesa slobodnih oscilacija sistema sa beskonačnim brojem stepeni slobode izražava se u beskonačnosti broja prirodnih frekvencija i oblika modova. Ovo je takođe povezano sa matematičkim karakteristikama: umesto običnih diferencijalnih jednačina koje opisuju oscilacije sistema sa konačnim brojem stepeni slobode, ovde se moramo baviti parcijalnim diferencijalnim jednačinama. Pored početnih uslova koji određuju početne pomake i brzine, potrebno je uzeti u obzir i granične uslove koji karakterišu fiksaciju sistema.

6.1. Uzdužne vibracije šipki

Prilikom analize uzdužnih vibracija pravog štapa (Sl. 67, a), pretpostavit ćemo da poprečni presjeci ostaju ravni i da čestice štapa ne vrše poprečna kretanja, već se kreću samo u uzdužnom smjeru.

Neka u - uzdužno pomeranje strujnog preseka štapa tokom vibracija; ovo kretanje zavisi od lokacije preseka (koordinate x) i od vremena t. Dakle, postoji funkcija dvije varijable; njegova definicija predstavlja glavni zadatak. Pomak beskonačno bliskog presjeka jednak je , dakle, apsolutno izduženje beskonačno malog elementa je jednako (slika 67, b), a njegovo relativno izduženje je .

Prema tome, uzdužna sila u presjeku sa koordinatom X može se napisati kao

,(173)

gdje je krutost štapa u napetosti (kompresiji). Sila N je također funkcija dvaju argumenata - koordinata X i vrijeme t.

Razmotrimo element štapa koji se nalazi između dva beskonačno bliska dijela (slika 67, c). Na lijevu stranu elementa primjenjuje se sila N, a na desnu stranu. Ako označimo gustinu materijala štapa, tada je masa elementa u pitanju . Dakle, jednadžba kretanja u projekciji na osu X

,

Uzimajući u obzir(173)iprihvatam A= const, dobijamo

Prateći Furijeovu metodu, tražimo posebno rješenje diferencijalne jednadžbe (175) u obliku

,(177)

one. pretpostavimo da je kretanje u može se predstaviti kao proizvod dvije funkcije, od kojih jedna ovisi samo o argumentu X, a drugi samo iz argumenta t. Tada, umjesto definiranja funkcije dvije varijable u (x, t), potrebno je definirati dvije funkcije X(x) i T(t), od kojih svaka zavisi od samo jedne varijable.

Zamjenom (177) u (174) dobivamo

gdje prosti brojevi označavaju operaciju diferencijacije u odnosu na x, i po tačkama t. Zapišimo ovu jednačinu na sljedeći način:

Ovdje lijeva strana zavisi samo od x, a desna samo od t. Da bi ova jednakost vrijedila identično (za bilo koje x i t) potrebno je da svaki njegov dio bude jednak konstanti, koju označavamo sa:

; .(178)

Ovo dovodi do dvije jednačine:

;.(179)

Prva jednadžba ima rješenje:

,(180)

što ukazuje na oscilatornu prirodu, a iz (180) je jasno da nepoznata veličina ima značenje frekvencije slobodnih oscilacija.

Druga jednačina (179) ima rješenje:

,(181)

određivanje oblika vibracija.

Jednačina frekvencije koja određuje vrijednost kompajlira se korištenjem graničnih uvjeta. Ova jednadžba je uvijek transcendentalna i ima beskonačan broj korijena. Dakle, broj prirodnih frekvencija je beskonačan, a svaka vrijednost frekvencije odgovara vlastitoj funkciji T n (t), određenoj ovisnošću (180), i vlastitoj funkciji Xn (x), određenoj ovisnošću (181). Rješenje (177) je samo djelomično i ne daje potpuni opis kretanja. Kompletno rješenje se dobija superponiranjem svih parcijalnih rješenja:

.

Pozivaju se funkcije X n (x). vlastite funkcije probleme i opisuju svoje vlastite načine vibracije. One ne zavise od početnih uslova i zadovoljavaju uslov ortogonalnosti, koji za A = const ima oblik

, Ako .

Razmotrimo neke opcije za granične uslove.

Fiksni kraj štapa(Sl. 68, a). Na krajnjem dijelu, pomak u mora biti nula; slijedi da u ovom dijelu

X=0(182)

Slobodni kraj štapa(Sl. 68, b). Na krajnjem dijelu, uzdužna sila

(183)

mora biti identično jednak nuli, što je moguće ako je na krajnjem dijelu X"=0.

Otporan kraj štapa(Sl. 68, c).

Prilikom kretanja u krajnja šipka, dolazi do reakcije elastične potpore , gdje je C o krutost oslonca. Uzimajući u obzir (183) za uzdužnu silu, dobijamo granični uslov

ako se oslonac nalazi na lijevom kraju šipke (Sl. 68, c), i

ako se oslonac nalazi na desnom kraju šipke (Sl. 68, d).

Koncentrisana masa na kraju štapa.

Inercijska sila koju razvija masa:

.

Budući da se, prema prvoj od jednadžbi (179), , sila inercije može zapisati u obliku . Dobijamo granični uslov

,

ako je masa na lijevom kraju (Sl. 68, d), i

, (184)

ako je masa spojena na desni kraj (sl. 68, e).

Odredimo prirodne frekvencije konzolne šipke (slika 68,a").

Prema (182) i (183), granični uslovi

X=0at x=0;

X"=0 at x= .

Zamjenom ovih uslova jedan po jedan u rješenje (181), dobijamo

Uslov C0 dovodi do jednačine frekvencije:

Korijeni ove jednadžbe

(n=1,2,…)

odrediti prirodne frekvencije:

(n=1,2,…).(185)

Prva (najniža) frekvencija na n=1:

.

Druga frekvencija (na n=2):

Odredimo prirodne frekvencije štapa sa masom na kraju (slika 68, f).

Prema (182) i (184) imamo

X=0 pri x=0;

na x= .

Zamjenom ovih uslova u rješenje (181) dobijamo:

D=0; .

Shodno tome, jednačina frekvencije kada se uzme u obzir (176) ima oblik

.

Ovdje desna strana predstavlja omjer mase šipke i mase krajnjeg opterećenja.

Za rješavanje rezultirajuće transcendentalne jednačine potrebno je koristiti neku približnu metodu.

Na i vrijednosti najvažnijeg najnižeg korijena bit će 0,32 i 0,65, respektivno.

Pri malom omjeru opterećenje ima odlučujući utjecaj i približno rješenje daje dobre rezultate

.

Za šipke promjenjivog poprečnog presjeka, tj. za Aconst, iz (173) i (174) jednačina kretanja se dobija u obliku

.

Ova diferencijalna jednadžba se ne može riješiti u zatvorenom obliku. Stoga je u takvim slučajevima potrebno pribjeći približnim metodama za određivanje prirodnih frekvencija.

6.2. Torzione vibracije vratila

Torzione vibracije osovina s kontinuirano raspoređenom masom (sl. 69, a) opisane su jednadžbama koje se po strukturi potpuno poklapaju s gornjim jednadžbama za uzdužne vibracije šipki.

Moment M u presjeku sa apscisom X je povezan s kutom rotacije diferencijalnom ovisnošću sličnom (173):

Gdje Jp-polarni moment inercije poprečnog presjeka.

U dijelu koji se nalazi na udaljenosti dx, moment je jednak (slika 69, b):

Označavajući kroz (gdje je gustina materijala osovine) intenzitet momenta inercije mase osovine u odnosu na njenu osu (tj. momenta inercije po jedinici dužine), jednadžba gibanja elementarnog presjeka osovine može se napisati na sljedeći način:

,

ili slično (174):

.

Zamjenjujući izraz (186) ovdje, sa Jp=const dobijamo, slično kao (175):

, (187)

Opće rješenje jednačine (187), kao i jednačina (175), ima oblik

,

(188)

Prirodne frekvencije i vlastite funkcije određene su specifičnim graničnim uvjetima.

U glavnim slučajevima pričvršćivanja krajeva, slično kao kod uzdužnih vibracija, dobijamo

a) fiksni kraj (=0): X=0;

b) slobodni kraj (M=0): X"=0;

V) otporan lijevi kraj: CoH=GJpX "(koeficijent ko-krutnosti);

G) otporan desni kraj: -CoX=GJpX ";

d) disk na lijevom kraju: (Jo je moment inercije diska u odnosu na osu štapa);

e) disk na desnom kraju: .

Ako je osovina fiksirana na lijevom kraju (x=0), a desni kraj (x=) je slobodan, tada je X=0 na x=0 i X"=0 na x=; prirodne frekvencije se određuju slično kao ( 185):

(n=1,2,…).

Ako je lijevi kraj fiksiran, a na desnom je disk, dobijamo transcendentnu jednačinu:

.

Ako su oba kraja osovine fiksirana, tada će granični uvjeti biti X=0 za x=0 i x=. U ovom slučaju iz (188) dobijamo

one.

(n=1,2,…),

odavde nalazimo prirodne frekvencije:

Ako je lijevi kraj osovine slobodan, a na desnom je disk, tada je X"=0 za x=0;Jo X=GJpX "za x=.

Koristeći (188) nalazimo

C=0; ,

ili jednadžba transcendentalne frekvencije:

.

6.3. Vibracije savijanja greda

6.3.1. Osnovna jednadžba

Iz kursa o čvrstoći materijala poznate su diferencijalne zavisnosti za savijanje greda:

gdje je EJ krutost na savijanje; y=y (x, t) - otklon; M=M(x, t) - moment savijanja; q je intenzitet raspoređenog opterećenja.

Kombinujući (189) i (190), dobijamo

.(191)

U problemu slobodnih vibracija, opterećenje za elastični kostur su raspoređene inercijalne sile:

gdje je m intenzitet mase grede (mase po jedinici dužine), a jednačina (191) ima oblik

.

U posebnom slučaju konstantnog poprečnog presjeka, kada je EJ = const, m = const, imamo:

.(192)

Za rješavanje jednačine (192), pretpostavljamo, kao što je gore navedeno,

y= X ( x)× T ( t ).(193)

Zamjenom (193) u (192) dolazimo do jednačine:

.

Da bi se ova jednakost ispunila identično, potrebno je da svaki od dijelova jednakosti bude konstantan. Označavajući ovu konstantu sa , dobijamo dve jednačine:

.(195)

Prva jednadžba pokazuje da je kretanje oscilatorno sa frekvencijom.

Druga jednačina određuje oblik vibracija. Rješenje jednačine (195) sadrži četiri konstante i ima oblik

Pogodno je koristiti varijantu pisanja općeg rješenja koju je predložio A.N.

(198)

predstavljaju funkcije A.N.Krylova.

Obratimo pažnju na činjenicu da je S=1, T=U=V=0 na x=0. Funkcije S,T,U,V su međusobno povezane na sljedeći način:

Stoga su derivatni izrazi (197) zapisani u obliku

(200)

U problemima klase koja se razmatra, broj prirodnih frekvencija je beskonačno velik; svaki od njih ima svoju vlastitu vremensku funkciju T n i svoju osnovnu funkciju X n . Opće rješenje se dobiva nametanjem parcijalnih rješenja oblika (193)

.(201)

Za određivanje prirodnih frekvencija i formula potrebno je uzeti u obzir granične uslove.

6.3.2. Granični uslovi

Za svaki kraj šipke možete odrediti dva granična uslova .

Slobodni kraj štapa(Sl. 70, a). Poprečna sila Q=EJX""T i moment savijanja M=EJX""T jednaki su nuli, dakle, granični uslovi imaju oblik

X""=0; X"""=0 .(202)

Zglobno oslonjeni kraj šipke(Sl. 70, b). Otklon y=XT i moment savijanja M=EJX""T jednaki su nuli. Prema tome, granični uslovi su:

X=0 ; X""=0 .(203)

Stisnut kraj(Sl. 70, c). Otklon y=XT i ugao rotacije jednaki su nuli. Granični uslovi:

X=0; X"=0 . (204)

Na kraju štapa nalazi se tačkasta masa(Sl. 70, d). Njegova inercijalna sila može se napisati pomoću jednačine (194) na sljedeći način: ; mora biti jednaka sili smicanja Q=EJX"""T, tako da granični uslovi imaju oblik

; X""=0 .(205)

U prvom uvjetu uzima se znak plus kada je točkasto opterećenje spojeno na lijevi kraj šipke, a znak minus kada je spojeno na desni kraj šipke. Drugi uslov proizlazi iz odsustva momenta savijanja.

Elastično podržan kraj šipke(Sl. 70, d). Ovdje je moment savijanja nula, a poprečna sila Q=EJX"""T jednaka je reakciji oslonca (C o - koeficijent krutosti nosača).

Granični uslovi:

X""=0 ; (206)

(znak minus se uzima kada je elastični oslonac lijevi, a znak plus kada je desni).

6.3.3. Frekvencijska jednačina i svojstvene forme

Prošireno snimanje graničnih uslova dovodi do homogenih jednačina u odnosu na konstante C 1, C 2, C 3, C 4.

Da ove konstante ne bi bile jednake nuli, determinanta koju čine koeficijenti sistema mora biti jednaka nuli; ovo dovodi do frekvencijske jednačine. Tokom ovih operacija razjašnjavaju se odnosi između C 1, C 2, C 3, C 4, tj. određuju se prirodni modovi vibracija (do konstantnog faktora).

Pratimo kompoziciju frekvencijskih jednačina na primjerima.

Za gredu sa zglobnim krajevima, prema (203), imamo sledeće granične uslove: X=0; X""=0 za x=0 i x= . Koristeći (197)-(200) iz prva dva uslova dobijamo: C 1 =C 3 =0. Dva preostala uslova mogu se zapisati kao

Da C 2 i C 4 ne bi bili jednaki nuli, determinanta mora biti jednaka nuli:

.

Dakle, jednadžba frekvencija ima oblik

.

Zamjenom izraza T i U dobijamo

Od , konačna frekvencijska jednadžba se piše na sljedeći način:

. (207)

Korijeni ove jednadžbe su:

,(n =1,2,3,...).

Uzimajući u obzir (196), dobijamo

.(208)

Idemo dalje na definiranje vlastitih oblika. Iz gore napisanih homogenih jednačina, slijedi sljedeća veza između konstanti C 2 i C 4:

.

Prema tome, (197) poprima oblik

Prema (207), imamo

,(209)

gdje je nova konstanta, čija vrijednost ostaje neizvjesna sve dok se početni uslovi ne uvedu u razmatranje.

6.3.4. Određivanje kretanja na osnovu početnih uslova

Ako je potrebno odrediti kretanje nakon početnog poremećaja, tada je potrebno navesti i početne pomake i početne brzine za sve tačke grede:

(210)

i koristi svojstvo ortogonalnosti svojstvenih oblika:

.

Opće rješenje (201) pišemo na sljedeći način:

.(211)

Brzina je data sa

.(212)

Zamjenom početnih pomaka i brzina za koje se pretpostavlja da su poznati u desnu stranu jednadžbi (211) i (212) iu lijeve strane, dobivamo

.

Pomnožimo ove izraze sa i integrišemo po cijeloj dužini, imamo

(213)

Beskonačne sume na desnim stranama su nestale zbog svojstva ortogonalnosti. Iz (213) slijede formule za konstante i

(214)

Sada ove rezultate treba zamijeniti rješenjem (211).

Ponovo naglasimo da je izbor skale svojstvenih oblika nebitan. Ako, na primjer, u izrazu svojstvenog oblika (209) umjesto toga uzmemo vrijednost koja je puta veća, tada će (214) dati rezultate koji su puta manji; nakon zamjene u rješenje (211), ove razlike se međusobno kompenzuju. Ipak, oni često koriste normalizirane vlastite funkcije, birajući njihovu skalu tako da su nazivnici izraza (214) jednaki jedan, što pojednostavljuje izraze i .

6.3.5. Utjecaj konstantne uzdužne sile

Razmotrimo slučaj kada oscilirajući snop doživljava uzdužnu silu N, čija se veličina ne mijenja tokom procesa oscilovanja. U ovom slučaju, jednadžba statičke savijanja postaje složenija i poprima oblik (pod uvjetom da se tlačna sila smatra pozitivnom)

.

Pretpostavljajući i uzimajući u obzir konstantu krutosti, dobijamo jednačinu slobodnih vibracija

.(215)

I dalje prihvatamo određeno rešenje u formi.

Tada se jednačina (215) dijeli na dvije jednačine:

Prva jednadžba izražava oscilatornu prirodu rješenja, druga određuje oblik oscilacija, a također vam omogućava da pronađete frekvencije. Hajde da to prepišemo na ovaj način:

(216)

Gdje K određuje se formulom (196), i

Rješenje jednačine (216) ima oblik

Razmotrimo slučaj kada oba kraja šipke imaju zglobne oslonce. Uslovi na lijevom kraju dati . Zadovoljavanje istih uslova na desnom kraju, dobijamo

Izjednačavajući na nulu determinantu sastavljenu od koeficijenata za količine i , dolazimo do jednačine

Korijeni ove frekvencijske jednadžbe su:

Stoga se prirodna frekvencija određuje iz jednačine

.

Odavde, uzimajući u obzir (217), nalazimo

.(219)

Kada se rastegne, frekvencija se povećava, kada se kompresuje smanjuje. Kada se tlačna sila N približi kritičnoj vrijednosti, korijen teži nuli.

6.3.6. Učinak lančanih sila

Ranije se uzdužna sila smatrala datom i nezavisnom od pomaka sistema. U nekim praktičnim problemima, uzdužna sila koja prati proces poprečnih vibracija nastaje zbog savijanja grede i ima karakter reakcije oslonca. Razmotrite, na primjer, gredu na dva zglobna i fiksna nosača. Kada se savija, dolazi do horizontalnih reakcija nosača, što uzrokuje rastezanje grede; uobičajeno se naziva odgovarajuća horizontalna sila lančana sila. Ako greda oscilira poprečno, sila lanca će se vremenom mijenjati.

Ako je u trenutku t progib grede određen funkcijom, tada se izduženje ose može pronaći pomoću formule

.

Odgovarajuću lančanu silu nalazimo koristeći Hookeov zakon

.

Zamijenimo ovaj rezultat u (215) umjesto uzdužne sile N (uzimajući u obzir predznak)

.(220)

Rezultirajuća nelinearna integrodiferencijalni jednadžba se pojednostavljuje zamjenom

,(221)

gdje je bezdimenzionalna funkcija vremena, čija se maksimalna vrijednost može postaviti jednaka bilo kojem broju, na primjer, jedinica; amplituda oscilacija.

Zamjenom (221) u (220) dobijamo običnu diferencijalnu jednačinu

,(222)

čiji koeficijenti imaju sljedeće vrijednosti:

;.

Diferencijalna jednačina (222) je nelinearna, pa frekvencija slobodnih oscilacija zavisi od njihove amplitude.

Tačno rješenje za frekvenciju poprečnih vibracija ima oblik

gdje je frekvencija poprečnih vibracija, izračunata bez uzimanja u obzir lančanih sila; faktor korekcije u zavisnosti od odnosa amplitude oscilovanja i radijusa rotacije poprečnog preseka; vrijednost je data u referentnoj literaturi.

Kada su amplituda i radijus rotacije poprečnog presjeka srazmjerni, korekcija frekvencije postaje značajna. Ako je, na primjer, amplituda vibracije okrugle šipke jednaka njegovom promjeru, tada je , a frekvencija je gotovo dvostruko veća nego u slučaju slobodnog pomaka nosača.

Kućište odgovara nultoj vrijednosti radijusa inercije, kada je krutost grede na savijanje nestajuća mala - struna. U isto vrijeme, formula za daje neizvjesnost. Otkrivajući ovu nesigurnost, dobijamo formulu za frekvenciju vibracije strune

.

Ova formula se odnosi na slučaj kada je napetost nula u ravnotežnom položaju. Često se problem oscilacija strune postavlja pod drugim pretpostavkama: vjeruje se da su pomaci mali, a zatezna sila je data i ostaje nepromijenjena tokom procesa oscilovanja.

U ovom slučaju, formula za frekvenciju ima oblik

gdje je N konstantna vlačna sila.

6.4. Učinak viskoznog trenja

Prethodno se pretpostavljalo da je materijal šipki savršeno elastičan i da nema trenja. Razmotrimo uticaj unutrašnjeg trenja, uz pretpostavku da je ono viskozno; tada se odnos između napona i deformacije opisuje relacijama

;.(223)

Neka štap sa raspoređenim parametrima izvodi slobodne uzdužne vibracije. U ovom slučaju, uzdužna sila će biti zapisana u obliku

Iz jednačine kretanja štapnog elementa dobijena je relacija (174).

Zamjenom (224) ovdje dolazimo do glavne diferencijalne jednačine

,(225)

koji se od (175) razlikuje po drugom članu, koji izražava uticaj sila viskoznog trenja.

Prateći Fourierovu metodu, tražimo rješenje jednačine (225) u obliku

,(226)

gdje je funkcija samo koordinate x, a funkcija samo vrijeme t.

U ovom slučaju, svaki član niza mora zadovoljiti granične uslove problema, a cijeli zbir također mora zadovoljiti početne uslove. Zamjenjujući (226) u (225) i zahtijevajući da jednakost bude zadovoljena za bilo koji broj r, dobijamo

,(227)

gdje prosti brojevi označavaju diferencijaciju u odnosu na koordinatu x, a tačke su diferencijacija u odnosu na vrijeme t.

Dijeljenje (227) sa proizvodom , dolazimo do jednakosti

,(228)

lijevoj strani, što može ovisiti samo o koordinatama x, a desna - samo od vremena t. Da bi se jednakost (228) ispunila identično, potrebno je da oba dijela budu jednaka istoj konstanti, koju označavamo sa .

Iz ovoga slijede jednačine

(229)

.(230)

Jednačina (229) ne zavisi od koeficijenta viskoznosti K i, posebno, ostaje ista u slučaju savršeno elastičnog sistema, kada je . Stoga se brojevi potpuno poklapaju s onima koji su ranije pronađeni; međutim, kao što će biti pokazano u nastavku, vrijednost daje samo približnu vrijednost prirodne frekvencije. Imajte na umu da su svojstveni oblici potpuno nezavisni od viskoznih svojstava štapa, tj. oblici slobodnih prigušenih oscilacija poklapaju se sa oblicima slobodnih neprigušenih oscilacija.

Sada pređimo na jednačinu (230), koja opisuje proces prigušenih oscilacija; njegovo rješenje ima oblik

.(233)

Izraz (232) određuje brzinu opadanja, a (233) određuje frekvenciju oscilovanja.

Dakle, kompletno rješenje jednačine problema

.(234)

Konstantan i uvijek se može naći na osnovu datih početnih uslova. Neka se početni pomaci i početne brzine svih sekcija štapa specificiraju na sljedeći način:

;,(235)

gdje su i poznate funkcije.

Tada za , prema (211) i (212), imamo

množenjem obe strane ovih jednakosti sa i integrisanjem po celoj dužini štapa, dobijamo

(236)

Prema uslovu ortogonalnosti svojstvenih oblika, svi ostali članovi uključeni u desnu stranu ovih jednakosti postaju nula. Sada je iz jednakosti (236) lako naći za bilo koji broj r.

Uzimajući u obzir (232) i (234), napominjemo da što je veći broj moda vibracije, to je brže njegovo prigušivanje. Osim toga, pojmovi uključeni u (234) opisuju prigušene oscilacije ako postoji realan broj. Iz (233) je jasno da se to događa samo za nekoliko početnih vrijednosti r sve dok je nejednakost zadovoljena

Za dovoljno velike vrijednosti r nejednakost (237) je narušena i količina postaje imaginarna. U ovom slučaju, odgovarajući članovi općeg rješenja (234) više neće opisivati ​​prigušene oscilacije, već će predstavljati aperiodično prigušeno kretanje. Drugim riječima, vibracije se, u uobičajenom smislu riječi, izražavaju samo određenim konačnim dijelom zbira (234).

Svi ovi kvalitativni zaključci odnose se ne samo na slučaj uzdužnih vibracija, već i na slučajeve torzijskih i savijajućih vibracija.

6.5. Vibracije šipki promjenjivog poprečnog presjeka

U slučajevima kada su raspoređena masa i poprečni presjek štapa promjenjivi duž njegove dužine, umjesto jednačine uzdužnih vibracija (175) treba poći od jednačine

.(238)

Jednačina torzionih vibracija (187) mora se zamijeniti jednadžbom

,(239)

a jednadžba poprečnih vibracija (192) je jednačina

.(240)

Jednadžbe (238)-(240) uz pomoć sličnih supstitucija ;;mogu se svesti na obične diferencijalne jednadžbe za funkciju

MEHANIKA

UDK 531.01/534.112

UZDUŽNE VIBRACIJE PAKETA ŠIPKI

A.M. Pavlov, A.N. Temnov

MSTU im. N.E. Bauman, Moskva, Ruska Federacija e-mail: [email protected]; [email protected]

U pitanjima dinamike raketa na tečno gorivo, važnu ulogu igra problem stabilnosti kretanja rakete kada se javljaju uzdužne elastične oscilacije. Pojava takvih oscilacija može dovesti do uspostavljanja autooscilacija, koje, ako je raketa nestabilna u uzdužnom smjeru, mogu dovesti do njenog brzog uništenja. Formuliran je problem uzdužnih oscilacija paketne rakete kao proračunski model. Prihvaćeno je da je tečnost u raketnim rezervoarima „zamrznuta“, tj. vlastita kretanja tečnosti se ne uzimaju u obzir. Formulisan je zakon bilansa ukupne energije za problem koji se razmatra i data je njegova operatorska formulacija. Dat je numerički primjer za koji su određene frekvencije, te konstruirani i analizirani oblici prirodnih oscilacija.

Ključne riječi: longitudinalne vibracije, učestalost i oblik vibracija, paket šipki, zakon ukupne energije, samoprilagođeni operator, vibracijski spektar, POGO.

SISTEM UZDUŽNIH VIBRACIJA ŠIPKI A.M. Pavlov, AL. Temnov

Moskovski državni tehnički univerzitet Bauman, Moskva, Ruska Federacija e-mail: [email protected]; [email protected]

U pitanjima dinamike raketa na tečno gorivo problem stabilnosti kretanja ove rakete ima važnu ulogu sa pojavom uzdužnih elastičnih vibracija. Pojava takve vrste vibracija može izazvati vlastite vibracije koje mogu uzrokovati brzo uništenje rakete u slučaju nestabilnosti rakete u uzdužnom smjeru. Problem uzdužnih vibracija rakete na tekuće gorivo na osnovu paketne šeme je formulisan korišćenjem paketnih štapova kao proračunskog modela. Pretpostavlja se da je tečnost u raketnim rezervoarima „zamrznuta“, tj. pravilna kretanja tečnosti nisu uključena. Za ovaj problem formulisan je princip očuvanja energije i dat je njegov operatorski stepen. Postoji numerički primjer za koji su određene frekvencije, izgrađeni i analizirani oblici Eigen vibracija.

Ključne riječi: longitudinalne vibracije, vlastiti modovi i frekvencije, model štapova, princip očuvanja energije, samopridruženi operator, spektar vibracija, POGO.

Uvod. Trenutno se u Rusiji i inostranstvu za lansiranje korisnog tereta u potrebnu orbitu često koriste lansirne rakete paketnog rasporeda sa identičnim bočnim blokovima ravnomerno raspoređenim oko centralnog bloka.

Proučavanje vibracija paketnih struktura nailazi na određene poteškoće povezane s dinamičkim djelovanjem bočnih i središnjih blokova. U slučaju simetrije rasporeda lansirne rakete, složena, prostorna interakcija blokova dizajna paketa može se podijeliti na konačan broj tipova vibracija, od kojih su jedna uzdužne vibracije središnjeg i bočnog bloka. U radu je detaljno obrađen matematički model uzdužnih vibracija takve konstrukcije u obliku paketa štapova tankih stijenki. Rice. 1. Shema central- Ovaj članak predstavlja teorijski štap i proračunske rezultate longitudinalnog

vibracije paketa šipki, dopunjujući studiju koju je sproveo A.A. Šteta.

Formulacija problema. Razmotrimo druge uzdužne vibracije paketa štapova koji se sastoji od centralnog štapa dužine l0 i N bočnih šipki iste dužine j = l, (l0 > lj), j = 1, 2,..., N, pričvršćenih u tački A (xA = l) (slika 1) sa centralnim opružnim elementima krutosti k.

Uvedemo fiksni referentni okvir OX i pretpostavimo da su krutost štapova EFj (x), distribuirana masa mj (x) i poremećaj q (x,t) ograničene funkcije koordinate x:

0

0 < mj < mj (x) < Mj; (1)

0

Neka pri uzdužnim vibracijama nastaju pomaci Uj (x, t) u presjecima štapova sa koordinatom x, određenim jednadžbama

mj (x) ^ - ¿(eFj (x) ^ = qj (x,t), j = 0,1, 2,..., N, (2)

granični uslovi za odsustvo normalnih sila na krajevima štapova

3 =0, x = 0, ^ = 1, 2,

0, x = 0, x = l0;

uslovi jednakosti normalnih sila koje nastaju u štapovima,

EF-3 = F x = l

elastične sile opružnih elemenata

FpPJ = k (š (ha) - u (¡,)); (4)

EUodX (xa - 0) - EFodX (xa + 0) = , x = xa;

uslov jednakosti pomaka u tački xa centralnog štapa

Shch (ha-o) = Shch (xa+o) i početni uslovi

Shch y (x, 0) - Shch (x); , _

u(x, 0) = u(x),

gdje je u(x, 0) = "d^1(x, 0).

Zakon ukupnog energetskog bilansa. Pomnožimo jednačinu (2) sa u(x,ξ), integrirajmo po dužini svakog štapa i zbrojimo rezultate koristeći granične uvjete (3) i uvjet podudaranja (4). Kao rezultat dobijamo

(( 1 ^ [ (diL 2

TZ (x) "BT" (x+

dt | 2 ^ J 3 w V dt

N x „ h 2 .. N „ i.

1 ^ G „„ , f dp3\ , 1 ^ Gj

1 N /* i dpl 2 1 N fl j

EF3 dx +2^Uo I (x - -)(ne - Uj)2 dx

= / ^ (x, £) oni y (x, £) (x, (6)

gdje je 8 (x - ¡y) Diracova delta funkcija. U jednačini (6), prvi član u vitičastim zagradama predstavlja kinetičku energiju T (¿) sistema, drugi je potencijalnu energiju Pr (£), uzrokovanu deformacijom štapova, a treći je potencijalna energija Pk (£) opružnih elemenata, koji se u prisustvu elastičnih deformacija šipkama mogu zapisati u obliku

Pk (*) = 2 £ / Cy (¡y) 8 (x - ¡1) E^ (¡y) (ddit (¡1)) 2 (x, Cy = Eu.

Jednačina (6) pokazuje da je promjena ukupne energije po jedinici vremena mehaničkog sistema koji se razmatra jednaka snazi

spoljni uticaj. U odsustvu spoljašnjeg poremećaja q (x,t), dobijamo zakon održanja ukupne energije:

T (t) + Pr (t) + Pk (t) = T (0) + Pr (0) + Pk (0).

Kinematografija. Zakon o ravnoteži energije pokazuje da se za bilo koje vrijeme t funkcije Uj (x, t) mogu smatrati elementima Hilbertovog prostora L2j(; m3 (x)), definiranim na dužini ¡i skalarnim umnoškom

(us,Vk)j = J mj (x) usVkdx 0

i odgovarajuću normu.

Uvedemo Hilbertov prostor H jednak ortogonalnoj sumi L2j, H = L20 F L21 F... F L2N, vektorsku funkciju U = (uo, Ui,..., uN)t i operator A koji djeluje u prostor H prema relaciji

AU = dijagnoza (A00U0, A11U1,..., Annun).

mj(x)dx\jdx"

operatori definisani na

skup B (A33) S N funkcija koje zadovoljavaju uslove (3) i (4).

Originalni problem (1)-(5) zajedno sa početnim uslovima biće zapisan u obliku

Au = f (*), u (0) = u0, 17(0) = u1, (7)

gdje je f (*) = (do (*),51 (*),..., Yam (¿))t.

Lemma. 1. Ako su prva dva uslova (1) zadovoljena, tada je operator A u evolucionom problemu (7) neograničen, samoprilagođen, pozitivno određen operator u prostoru H

(Au,K)n = (u,AK)n, (Au, u)i > c2 (i, u)i.

2. Operator A generiše energetski prostor NA sa normom jednakom dvostrukoj potencijalnoj energiji oscilacija paketa štapova

3\^I h)2 = 2P > 0. (8)

IIIUIIA = £/ EF^^J dx + k £ (uo - U)2 = 2P > 0.

< Оператор А неограничен в пространстве Н, поскольку неограничен каждый диагональный элемент А33. Самосопряженность и положительная определенность оператора А проверяются непосредственно:

(AU, v)h =/m (x) (-^| (EFo (x) ^j) Vo (x) dx+

+£ jm(x) (- jx) | (ef- (x) dndxa))v-(x) dx=... =

EFo (x) uo (x) vo (x) dx - EFo (x) U) (x) vo (x)

J EFo (x) uo (x) vo (x) dx - EFo (x) uo (x) ?o (x)

+ ^^ / EF- (x) u- (x) vo (x) dx - ^^ EF- (x) u- (x) v- (x)

J EFo (x) uo (x) v" (x) dx - EFo (xa - 0) uo (xa - 0) vo (xa) + 0

EFo (xa + 0) uo (xa + 0) vo (xa) - £ EF- (/-) u- (/-) v- (/-) +

J EF- (x) u- (x) v- (x) dx = J EFo (x) uo (x) vo (x) dx+ -=100

+ £ / EF.,- (x) u- (x) g?- (x) dx+ o

O(xa)-

£ EF- (/-) u- (/-) v?"- (/-) = EFo (x) uo (x) v?"o (x) dx+ -=10

+ £ / EF- (x) u- (x) v- (x) dx+ -=1 0 -

+ £ k (uo (xa) - u- (/-)) (vo (xa) - v- (/-)) = (U, A?)H

(AU, U)H = ... = I EF0 (x) u"2 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x)

J EF0 (x) u"0 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x)

+ ^^ / EFj (x) u"2 (x) dx - ^^ EFj (x) uj (x) u3 (x)

"J EF°(x) u"2 (x) dx 4EF0 (x) u"2 (x) dx+£ JEFj (x) u"2 (x) dx

U^ k (u0 (l) uj (l) - u2 (/)) + u0 (l) ^ k (u0 (l) - uj (l)) =

EF0 (x) u"2 (x) dx + / EF0 (x) u"0 (x) dx +

S / EFj (x) u"2 (x) dx + k ^ (u0 (l) - uj (l))2 > c2 (U, U)H

Iz navedenih rezultata proizilazi da je energetska norma operatora A izražena formulom (8).

Rješivost evolucijskog problema. Formulirajmo sljedeću teoremu.

Teorema 1. Neka su uslovi ispunjeni

U0 £ D (A1/2), U0 £ H, f (t) £ C (; H),

onda problem (7) ima jedinstveno slabo rješenje U (t) na intervalu, definisanom formulom

U (t) = U0 cos (tA1/2) +U1 sin (tA1/2) +/sin ((t - s) A1/2) A-1/2f (s) ds.

5 u odsustvu spoljašnjih smetnji f (£), zakon održanja energije je zadovoljen

1 II A 1/2UI2 = 1

1 II A1/2U 0|H.

< Эволюционная задача (7) - это стандартная задача Коши для дифференциального операторного уравнения гиперболического типа, для которого выполнены все условия теоремы о разрешимости .

Prirodne vibracije paketa štapova. Pretpostavimo da na sistem štapova ne utiče polje spoljašnjih sila: f (t) = 0. U ovom slučaju, kretanje štapova će se zvati slobodnim. Slobodno kretanje štapova, ovisno o vremenu t prema zakonu exp (iwt), nazvat ćemo prirodne vibracije. Uzimajući U (x, t) = U (x) eiWÍ u jednačini (7), dobijamo spektralni problem za operator A:

AU - AEU = 0, L = w2. (9)

Svojstva operatora A nam omogućavaju da formulišemo teoremu o spektru i svojstvima sopstvenih funkcija.

Teorema 2. Spektralni problem (9) o prirodnim vibracijama paketa štapova ima diskretni pozitivni spektar

0 < Ai < Л2 < ... < Ak < ..., Ak ^ то

i sistem svojstvenih funkcija (Uk (x))^=0, potpun i ortogonan u prostorima H i HA, a zadovoljene su sljedeće formule ortogonalnosti:

(Ufe, Us)H = £ m (xj UfejMSjdx = j=0 0

(Uk= £/T^) d*+

K (“feo - Mfej) (uso -) = Afeífes. j=i

Proučavanje spektralnog problema u slučaju homogenog paketa štapova. Nakon što smo predstavili funkciju pomaka m- (x, £) u obliku m- (x, £) = m- (x), nakon odvajanja varijabli dobijamo spektralne probleme za svaki štap:

^Ou + Lm = 0, ^ = 0,1,2,..., N (10)

koje zapisujemo u matričnom obliku

4 £ + Li = 0,

A = -,-,-,...,-

\ t0 t1 t2 t «

u = (u0, u1, u2,..., u«)t.

Rješenje i analiza dobijenih rezultata. Označimo funkcije pomaka za središnji štap u presjeku kao u01, a u presjeku kao u02 (g). U ovom slučaju, za funkciju u02 pomičemo ishodište koordinata u tačku s koordinatom /. Za svaki štap predstavljamo rješenje jednadžbe (10) u obliku

Da bismo pronašli nepoznate konstante u (11), koristimo granične uslove formulisane gore. Iz homogenih graničnih uslova moguće je odrediti neke konstante, i to:

C02 = C12 = C22 = C32 = C42 = ... = CN 2 = 0.

Kao rezultat, ostaje pronaći N + 3 konstante: C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., CN1. Da bismo to učinili, rješavamo N + 3 jednadžbe za N + 3 nepoznate.

Zapišimo rezultujući sistem u matričnom obliku: (A) (C) = (0) . Ovdje (C) = (C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., Cn 1)t je vektor nepoznanica; (A) - karakteristična matrica,

cos (A1) EF0 A sin (A1) +

L sin (L (Zo - 1)) L cos (L (Zo - 1)) 0 00 0 \ -1 0 0000

0 y 00 00 0 000Y

a = k soe ^ ^A-L^ ; in = -k co8((.40-01L)1/2 ^ ;

7 = (A4"-1 l) 1/2 ap ((A"1l) 1/2 + k sov ((A"1l) 1/2;

(~ \ 1/2 ~ L= ^L] ; A--: 3 = 0.

Da bismo pronašli netrivijalno rješenje, uzimamo konstantu C01 € M kao varijablu. Imamo dvije opcije: C01 = 0; C01 = 0.

Neka je C01 = 0, tada je C03 = C04 = 0. U ovom slučaju, netrivijalno rješenje se može dobiti ako je 7 = 0 iz (12) kada je ispunjen dodatni uvjet

£ s-1 = 0, (13)

što se može dobiti iz treće jednačine sistema (12). Kao rezultat, dobijamo jednostavnu frekvencijsku jednačinu

EP (A"1 L)1/2 W ((A"1^1/2 P +

zz \V zz

K cos ^ (A-/a) 1/2 ^ = 0, j G ,

koja se poklapa sa frekvencijskom jednadžbom za štap elastično fiksiran na jednom kraju, koji se može smatrati prvim parcijalnim sistemom.

U ovom slučaju, sve moguće kombinacije kretanja bočnih šipki koje zadovoljavaju uvjet (13) mogu se uvjetno podijeliti u grupe koje odgovaraju različitim kombinacijama faza (u predmetnom slučaju faza je određena predznakom C.d). Ako pretpostavimo da su bočne šipke identične, onda imamo dvije mogućnosti:

1) Sd = 0, tada se broj takvih kombinacija n za različita N može izračunati pomoću formule n = N 2, gdje je funkcija dijeljenja bez ostatka;

2) bilo koja (ili bilo koja) od konstanti C- jednaka je 0, tada se broj mogućih kombinacija povećava i može se odrediti formulom

£ [(N - m) div 2].

Neka je Coi = 0, tada je Cn = C21 = C31 = C41 = ... = CN1 = = C01 (-v/t), gdje su in i y kompleksi uključeni u (12). Iz sistema (12) imamo i: C03 = C01 cos (Af); C04=C03 tg (L (/0 - /)) = C01 cos (A/) x x tg (L (/0 - /)), tj. sve konstante su izražene kroz C01. Jednačina frekvencije ima oblik

EFo U-o1 L tg A-1 L) " (lo - l)) -

K2 cos | í a!-,1 L

Kao primjer, razmotrite sistem sa četiri bočne šipke. Pored gore opisane metode, za ovaj primjer možete zapisati frekvencijsku jednačinu za cijeli sistem tako što ćete izračunati determinantu matrice A i izjednačiti je sa nulom. Hajde da damo njegovu formu

Y4 (L sin (L (/o - /)) cos (L/) EFoL+

L cos (L (/o - /)) (EFoL sin (L/) + 4v)) -

4av3L cos (L(/0 - /)) = 0.

Grafovi jednadžbi transcendentalnih frekvencija za gore razmatrane slučajeve prikazani su na Sl. 2. Kao početni podaci uzeti su: EF = 2,109 N; EF0 = 2,2 109 N; k = 7 107 N/m; m = 5900 kg/m; mo = 6000 kg/m; / = 23; /o = 33 m Vrijednosti prve tri frekvencije oscilacija razmatranog kola su date u nastavku:

n................................................

i drago/s.....................................

1 2 3 20,08 31,53 63,50

Rice. 2. Grafovi transcendentalnih frekvencijskih jednadžbi za Coi = 0 (i) i Coi = 0 (2)

Predstavimo modove vibracija koji odgovaraju dobijenim rešenjima (u opštem slučaju, modovi vibracija nisu normalizovani). Oblici vibracija koji odgovaraju prvoj, drugoj, trećoj, četvrtoj, 13 i 14 frekvenciji prikazani su na Sl. 3. Na prvoj frekvenciji vibracije, bočne šipke vibriraju istog oblika, ali u parovima u antifazi

Fig.3. Oblici vibracije bočne (1) i centralne (2) šipke, odgovaraju prvom V = 3,20 Hz (a), drugom V = 5,02 Hz (b), trećem V = 10,11 Hz (c), četvrtom V = 13,60 Hz (d), 13. V = 45,90 Hz (d) i 14. V = 50,88 Hz (f) frekvencije

(Sl. 3, a), sa drugim, centralni štap osciluje, a bočni osciliraju u istom obliku u fazi (Sl. 3, b). Treba napomenuti da prva i druga frekvencija vibracija razmatranog sistema štapova odgovaraju vibracijama sistema koji se sastoji od čvrstih tijela.

Kada sistem oscilira sa trećom prirodnom frekvencijom, prvi put se pojavljuju čvorovi (slika 3c). Treća i naredne frekvencije (slika 3d) odgovaraju elastičnim vibracijama sistema. Sa povećanjem frekvencije vibracija, povezanim sa smanjenjem utjecaja elastičnih elemenata, frekvencije i oblici vibracija imaju tendenciju da budu parcijalni (sl. 3, e, f).

Krive funkcija čije su točke presjeka sa osom apscisa rješenja transcendentalnih jednačina prikazane su na sl. 4. Prema slici, prirodne frekvencije oscilacija sistema nalaze se u blizini parcijalnih frekvencija. Kao što je gore navedeno, sa povećanjem frekvencije, povećava se konvergencija prirodnih frekvencija s parcijalnim. Kao rezultat toga, frekvencije na kojima cijeli sistem oscilira se konvencionalno dijele u dvije grupe: one bliske parcijalnim frekvencijama bočne šipke i frekvencije bliske parcijalnim frekvencijama centralne šipke.

Zaključci. Razmatra se problem uzdužnih vibracija paketa šipki. Opisana su svojstva postavljenog graničnog problema i spektar njegovih vlastitih vrijednosti. Predloženo je rješenje spektralnog problema za proizvoljan broj homogenih bočnih šipki. Za numerički primjer, nalaze se vrijednosti prvih frekvencija oscilacija i konstruiraju se odgovarajući oblici. Identificirana su i neka karakteristična svojstva konstruiranih modova vibracija.

Rice. 4. Krive funkcija čije su točke presjeka sa osom apscisa rješenja transcendentalnih jednadžbi, za CoX = 0 (1), Cox = 0 (2) poklapaju se sa prvim parcijalnim sistemom (bočni štap fiksiran na elastični element u tački x = I) i drugi parcijalni sistem (5) (centralna šipka pričvršćena na četiri elastična elementa u tački A)

LITERATURA

1. Kolesnikov K.S. Dinamika raketa. M.: Mašinstvo, 2003. 520 str.

2. Balističke rakete i lansirne rakete / O.M. Alifanov, A.N. Andreev, V.N. Gushchin i dr. M.: Drfa, 2004. 511 str.

3. Rabinovich B.I. Uvod u dinamiku raketa lansirnih letelica. M.: Mašinstvo, 1974. 396 str.

4. Studija parametara o POGO stabilnosti tekućih raketa / Z. Zhao, G. Ren, Z. Yu, B. Tang, Q. Zhang // J. of Spacecraft and Rockets. 2011. Vol. 48. Is. 3. P. 537-541.

5. Balakirev Yu.G. Metode za analizu uzdužnih vibracija lansirnih vozila na tekuće gorivo // Cosmonautics and Rocket Science. 1995. br. 5. str. 50-58.

6. Balakirev Yu.G. Osobine matematičkog modela tečne rakete šaržnog rasporeda kao upravljačkog objekta // Odabrani problemi čvrstoće savremenog mašinstva. 2008. str. 43-55.

7. Dokuchaev L.V. Poboljšanje metoda za proučavanje dinamike paketnog lansirnog vozila, uzimajući u obzir njihovu simetriju // Cosmonautics and Rocket Science. 2005. br. 2. str. 112-121.

8. Pozhalostin A.A. Razvoj približnih analitičkih metoda za proračun prirodnih i prisilnih vibracija elastičnih ljuski s tekućinom: dis. ...Dr.Tech. Sci. M., 2005. 220 str.

9. Crane S.G. Linearne diferencijalne jednadžbe u Banahovim prostorima. M.: Nauka, 1967. 464 str.

10. Kopachevsky I.D. Operatorske metode matematičke fizike. Simferopolj: DOO "Forma", 2008. 140 str.

Kolesnikov K.S. Dinamika raket. Moskva, Mašinostroenie Publ., 2003. 520 str.

Alifanov O.N., Andreev A.N., Gushchin V.N., ur. Ballisticheskie rakety i rakety-nositeli. Moskva, Drofa Publ., 2003. 511 str.

Rabinovich B.I. Vvedenie v dinamiku raket-nositelej kosmičeskih aparata. Moskva, Mašinostroenie Publ., 1974. 396 str.

Zhao Z., Ren G., Yu Z., Tang B., Zhang Q. Studija parametara o stabilnosti POGO rakete na tekuće gorivo. J. Svemirske letjelice i rakete, 2011, vol. 48, br. 3, str. 537-541.

Balakirev Yu.G. Metode analize uzdužnih vibracija raketa-nosača sa motorom na tečno gorivo. Kosm. i raketostr. , 1995, br. 5, str. 50-58 (na ruskom).

Balakirev Yu.G. Osobennosti matematicheskoy modeli zhidkostnoy rakety paketnoy komponovki kak ob"ekta upravlenii. Sb. "Izbrannye problemy prochnosti sovremennogo mashinostroeniya". Moskva, Fizmatlit Publ., 2008. 204 str. (citirano str. 4355).

Dokuchaev L.V. Unapređenje metoda za proučavanje dinamike klasterskih lansirnih vozila s obzirom na njihovu simetriju. Kosm. i raketostr. , 2005, br. 2, str. 112-121 (na ruskom).

Pozhalostin A.A. Razrabotka priblizennyh analiticheskih metodov rascheta sobstvennykh i vynuzhdennyh kolebaniy uprugikh obolochek s zhidkost"yu. Diss. doct. tehn. nauk .

Kreyn S.G. Lineynye differentsial"nye uravneniya v Banakhovykh prostranstvakh. Moskva, Nauka Publ., 1967. 464 str. Kopachevskiy I.D. Operatornye metody matematicheskoy fiziki. Simferopol", Forma Publ., 2008. 140 str.

Članak je urednici primio 28.04.2014

Arsenij Mihajlovič Pavlov - student Odsjeka za svemirske letjelice i lansirna vozila na Moskovskom državnom tehničkom univerzitetu. N.E. Bauman. Specijalizovan je u oblasti raketne i svemirske tehnologije.

MSTU im. N.E. Baumash, Ruska Federacija, 105005, Moskva, 2. Baumanskaja, 5.

Pavlov A.M. - student odsjeka "Svemirske letjelice i lansirna vozila" Moskovskog državnog tehničkog univerziteta Bauman. Specijalista u oblasti raketno-kosmičke tehnologije. Moskovski državni tehnički univerzitet Bauman, Baumanskaya 2-ya ul. 5, Moskva, 105005 Ruska Federacija.

Temnov Aleksandar Nikolajevič - Dr. fizike i matematike nauka, vanredni profesor na Katedri za svemirske letelice i lansirna vozila Moskovskog državnog tehničkog univerziteta. N.E. Bauman. Autor više od 20 naučnih radova iz oblasti mehanike fluida i gasa i raketne i svemirske tehnologije. MSTU im. N.E. Baumash, Ruska Federacija, 105005, Moskva, 2. Baumanskaja, 5.

Temnov A.N. - Cand. Sci. (fizi.-mate.), vanr. profesor na odsjeku "Svemirske letjelice i lansirna vozila" Moskovskog državnog tehničkog univerziteta Bauman. Autor više od 20 publikacija iz oblasti mehanike fluida i gasa i raketno-kosmičke tehnologije.

Moskovski državni tehnički univerzitet Bauman, Baumanskaya 2-ya ul. 5, Moskva, 105005 Ruska Federacija.

> Longitudinalni talasi

Naučite širenje, smjer i brzinu longitudinalni talas: šta su longitudinalni valovi, kako se šire, primjeri i oscilacije, kako nastaju, grafikon.

Ponekad se longitudinalni valovi nazivaju kompresijskim valovima. Oni fluktuiraju u smjeru širenja.

Cilj učenja

• Identifikujte svojstva i primjere tipa longitudinalnog talasa.

Glavne tačke

• Oscilacije longitudinalnih talasa se javljaju u pravcu širenja, ali su premale i imaju ravnotežne položaje, pa ne pomeraju masu.
• Ovaj tip se može smatrati impulsima koji prenose energiju duž ose propagacije.
• Takođe se mogu percipirati kao talasi pritiska sa karakterističnom kompresijom i razrjeđivanjem.

Uslovi

• Razrjeđivanje je smanjenje gustine materijala (prvenstveno za tekućinu).
• Uzdužno - u smjeru dužine ose.
• Kompresija – povećanje gustine.

Primjer

Koji su talasi uzdužni? Najbolji primjer je zvučni val. Sadrži impulse koji nastaju kompresijom zraka.

Longitudinalni talasi

U smjeru vibracije, uzdužni valovi se poklapaju sa smjerom kretanja. Odnosno, kretanje medija se nalazi u istom smjeru kao i kretanje valova. Neki longitudinalni talasi se takođe nazivaju kompresijskim talasima. Ako želite eksperimentirati, samo kupite Slinky igračku (oprugu) i držite je na oba kraja. U trenutku kompresije i slabljenja, impuls će se kretati prema kraju.

Komprimirani Slinky je primjer longitudinalnog vala. Proširuje se u istom smjeru kao i vibracije

Uzdužne (kao i poprečne) ne istiskuju masu. Razlika je u tome što će svaka čestica u mediju kroz koju se širi longitudinalni talas oscilirati duž ose širenja. Ako mislite na Slinky, zavojnice osciliraju u tačkama, ali se neće kretati duž dužine opruge. Ne zaboravite da se ovdje ne prenosi masa, već energija u obliku impulsa.

U nekim slučajevima takvi talasi deluju kao talasi pritiska. Upečatljiv primjer je zvuk. Nastaju kompresijom medija (najčešće zraka). Longitudinalni zvučni valovi su naizmjenična odstupanja tlaka od uravnoteženog tlaka, što dovodi do lokalnih područja kompresije i razrjeđivanja.

Materija u medijumu se periodično pomera zvučnim talasom i osciluje. Da biste proizveli zvuk, morate komprimirati čestice zraka do određene količine. Tako nastaju poprečni talasi. Uši osetljivo reaguju na različite pritiske i prevode talase u tonove.