Provedite kompletnu studiju funkcija kalkulatora. Istraživanje funkcija na mreži

Uputstvo

Pronađite opseg funkcije. Na primjer, funkcija sin(x) je definirana na cijelom intervalu od -∞ do +∞, a funkcija 1/x je definirana od -∞ do +∞, osim točke x = 0.

Definirajte područja kontinuiteta i tačke prekida. Obično je funkcija kontinuirana u istoj domeni gdje je definirana. Da biste otkrili diskontinuitete, morate izračunati kada se argument približi izolovanim tačkama unutar domene definicije. Na primjer, funkcija 1/x teži beskonačnosti kada je x→0+ i minus beskonačnosti kada je x→0-. To znači da u tački x = 0 ima diskontinuitet druge vrste.
Ako su granice u tački diskontinuiteta konačne, ali nisu jednake, onda je ovo diskontinuitet prve vrste. Ako su jednaki, onda se funkcija smatra kontinuiranom, iako nije definirana u izoliranoj tački.

Pronađite vertikalne asimptote, ako ih ima. Tu će vam pomoći proračuni iz prethodnog koraka, budući da je vertikalna asimptota gotovo uvijek u tački diskontinuiteta druge vrste. Međutim, ponekad se iz domena definicije ne isključuju pojedinačne tačke, već čitavi intervali tačaka i tada se vertikalne asimptote mogu locirati na rubovima ovih intervala.

Provjerite ima li funkcija posebna svojstva: parna, neparna i periodična.
Funkcija će biti parna ako je za bilo koji x u domeni f(x) = f(-x). Na primjer, cos(x) i x^2 su parne funkcije.

Periodičnost je svojstvo koje kaže da postoji određeni broj T koji se zove period, a koji je za bilo koje x f(x) = f(x + T). Na primjer, sve osnovne trigonometrijske funkcije (sinus, kosinus, tangenta) su periodične.

Pronađite bodove. Da biste to učinili, izračunajte derivaciju date funkcije i pronađite one x vrijednosti gdje ona nestaje. Na primjer, funkcija f(x) = x^3 + 9x^2 -15 ima izvod g(x) = 3x^2 + 18x koji nestaje na x = 0 i x = -6.

Da biste odredili koje su tačke ekstrema maksimumi, a koje minimumi, pratite promjenu predznaka derivacije u pronađenim nulama. g(x) mijenja predznak sa plusa na x = -6 i nazad iz minusa u plus na x = 0. Dakle, funkcija f(x) ima minimum u prvoj tački i minimum u drugoj.

Tako ste takođe pronašli područja monotonosti: f(x) monotono raste na intervalu -∞;-6, monotono opada na -6;0 i ponovo raste na 0;+∞.

Pronađite drugi izvod. Njegovi korijeni će pokazati gdje će graf date funkcije biti konveksan, a gdje konkavan. Na primjer, drugi izvod funkcije f(x) bit će h(x) = 6x + 18. Nestaje na x = -3, mijenjajući svoj predznak sa minus na plus. Dakle, graf f (x) prije ove tačke će biti konveksan, nakon njega - konkavan, a sama ova tačka će biti tačka pregiba.

Funkcija može imati druge asimptote, osim vertikalnih, ali samo ako njena domena definicije uključuje . Da biste ih pronašli, izračunajte granicu f(x) kada je x→∞ ili x→-∞. Ako je konačan, onda ste pronašli horizontalnu asimptotu.

Kosa asimptota je prava linija oblika kx + b. Da biste pronašli k, izračunajte granicu f(x)/x kao x→∞. Naći b - granicu (f(x) – kx) sa istim x→∞.

Iscrtajte funkciju na izračunatim podacima. Označite asimptote, ako ih ima. Označite točke ekstrema i vrijednosti funkcije u njima. Za veću točnost grafikona, izračunajte vrijednosti funkcije u još nekoliko međutočaka. Istraživanje završeno.

Jedan od najvažnijih zadataka diferencijalnog računa je razvoj općih primjera proučavanja ponašanja funkcija.

Ako je funkcija y \u003d f (x) kontinuirana na intervalu, a njen izvod je pozitivan ili jednak 0 na intervalu (a, b), tada se y = f (x) povećava za (f "(x) 0). Ako je funkcija y \u003d f (x) kontinuirana na segmentu, a njen izvod je negativan ili jednak 0 na intervalu (a,b), tada se y=f(x) smanjuje za (f"( x)0)

Intervali u kojima se funkcija ne smanjuje ili ne povećava nazivaju se intervali monotonosti funkcije. Priroda monotonosti funkcije može se promijeniti samo u onim tačkama njenog domena definicije, u kojima se mijenja predznak prvog izvoda. Tačke u kojima prvi izvod funkcije nestaje ili se prekida nazivaju se kritične točke.

Teorema 1 (1. dovoljan uslov za postojanje ekstrema).

Neka je funkcija y=f(x) definirana u tački x 0 i neka postoji susjedstvo δ>0 takvo da je funkcija kontinuirana na segmentu , diferencibilna na intervalu (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , a njegov izvod zadržava konstantan predznak na svakom od ovih intervala. Tada ako su na x 0 -δ, x 0) i (x 0, x 0 + δ) predznaci derivacije različiti, tada je x 0 tačka ekstrema, a ako se poklapaju, onda x 0 nije tačka ekstrema . Štaviše, ako pri prolasku kroz tačku x0 derivacija promijeni predznak sa plusa na minus (lijevo od x 0, izvrši se f "(x)> 0, tada je x 0 maksimalna tačka; ako derivacija promijeni predznak od minusa do plusa (desno od x 0 izvršava f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Točke maksimuma i minimuma nazivaju se tačke ekstrema funkcije, a maksimumi i minimumi funkcije nazivaju se njene ekstremne vrijednosti.

Teorema 2 (neophodan kriterij za lokalni ekstrem).

Ako funkcija y=f(x) ima ekstrem na trenutnom x=x 0, tada ili f'(x 0)=0 ili f'(x 0) ne postoji.
U tačkama ekstrema diferencijabilne funkcije, tangenta na njen graf je paralelna sa Ox osom.

Algoritam za proučavanje funkcije za ekstrem:

1) Pronađite izvod funkcije.
2) Pronađite kritične tačke, tj. tačke u kojima je funkcija kontinuirana, a derivacija nula ili ne postoji.
3) Razmotrite susjedstvo svake od tačaka i ispitajte predznak izvoda lijevo i desno od ove tačke.
4) Odredite koordinate ekstremnih tačaka, za ovu vrijednost kritičnih tačaka, zamijenite u ovu funkciju. Koristeći dovoljne ekstremne uslove, izvucite odgovarajuće zaključke.

Primjer 18. Istražiti funkciju y=x 3 -9x 2 +24x

Rješenje.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Izjednačavajući derivaciju sa nulom, nalazimo x 1 =2, x 2 =4. U ovom slučaju, derivacija je svuda definisana; dakle, osim dvije pronađene tačke, nema drugih kritičnih tačaka.
3) Predznak izvoda y"=3(x-2)(x-4) se menja u zavisnosti od intervala kao što je prikazano na slici 1. Prilikom prolaska kroz tačku x=2 derivacija menja predznak sa plus na minus, a pri prolasku kroz tačku x=4 - od minusa do plusa.
4) U tački x=2 funkcija ima maksimum y max =20, a u tački x=4 - minimum y min =16.

Teorema 3. (2. dovoljan uslov za postojanje ekstrema).

Neka f "(x 0) i f "" (x 0) postoje u tački x 0. Tada ako je f "" (x 0)> 0, onda je x 0 minimalna tačka, a ako je f "" (x 0 )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Na segmentu, funkcija y = f (x) može doseći najmanju (najmanje) ili najveću (najviše) vrijednost bilo na kritičnim točkama funkcije koje leže u intervalu (a; b), ili na krajevima segmenta.

Algoritam za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti kontinuirane funkcije y=f(x) na segmentu:

1) Pronađite f "(x).
2) Pronađite tačke u kojima f "(x) = 0 ili f" (x) - ne postoji, i izaberite od njih one koje leže unutar segmenta.
3) Izračunajte vrijednost funkcije y = f (x) u tačkama dobijenim u paragrafu 2), kao i na krajevima segmenta i odaberite najveći i najmanji od njih: oni su, respektivno, najveći ( za najveću) i najmanju (za najmanju) vrijednost funkcije na intervalu .

Primjer 19. Pronađite najveću vrijednost kontinuirane funkcije y=x 3 -3x 2 -45+225 na segmentu .

1) Imamo y "=3x 2 -6x-45 na segmentu
2) Izvod y" postoji za sva x. Nađimo tačke u kojima je y"=0; dobijamo:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) Izračunajte vrijednost funkcije u tačkama x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Samo tačka x=5 pripada segmentu. Najveća od pronađenih vrijednosti funkcije je 225, a najmanja je broj 50. Dakle, pri max = 225, pri max = 50.

Istraživanje funkcije na konveksnost

Na slici su prikazani grafikoni dvije funkcije. Prvi od njih je okrenut ispupčenjem prema gore, drugi - ispupčenjem prema dolje.

Funkcija y=f(x) je kontinuirana na segmentu i diferencibilna u intervalu (a;b), naziva se konveksna gore (dolje) na ovom segmentu, ako za axb njen graf nije viši (ne niži) od tangente nacrtana u bilo kojoj tački M 0 (x 0 ;f(x 0)), gdje je axb.

Teorema 4. Neka funkcija y=f(x) ima drugi izvod u bilo kojoj unutrašnjoj tački x segmenta i neka je kontinuirana na krajevima ovog segmenta. Tada ako je nejednakost f""(x)0 zadovoljena na intervalu (a;b), tada je funkcija na dolje konveksna na segmentu; ako je nejednakost f""(x)0 zadovoljena na intervalu (a;b), tada je funkcija konveksna prema gore na .

Teorema 5. Ako funkcija y=f(x) ima drugi izvod na intervalu (a;b) i ako promijeni predznak pri prolasku kroz tačku x 0 , tada je M(x 0 ;f(x 0)) tačka pregiba.

Pravilo za pronalaženje prevojnih tačaka:

1) Pronađite tačke u kojima f""(x) ne postoji ili nestaje.
2) Ispitajte znak f""(x) lijevo i desno od svake tačke pronađene u prvom koraku.
3) Na osnovu teoreme 4 izvedite zaključak.

Primjer 20. Naći tačke ekstrema i prevojne tačke grafa funkcije y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Imamo f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Očigledno, f"(x)=0 za x 1 =0, x 2 =1. Derivat, prolaskom kroz tačku x=0, menja predznak iz minusa u plus, a pri prolasku kroz tačku x=1 ne menja predznak. To znači da je x=0 tačka minimuma (y min =12), i da nema ekstrema u tački x=1. Dalje, nalazimo . Drugi izvod nestaje u tačkama x 1 =1, x 2 =1/3. Znaci druge derivacije se mijenjaju na sljedeći način: Na zraku (-∞;) imamo f""(x)>0, na intervalu (;1) imamo f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Dakle, x= je tačka pregiba grafa funkcije (prijelaz iz konveksnosti naniže u konveksnost prema gore) i x=1 je također tačka pregiba (prijelaz iz konveksnosti nagore na konveksnost prema dolje). Ako je x=, tada je y= ; ako, onda je x=1, y=13.

Algoritam za pronalaženje asimptote grafa

I. Ako je y=f(x) kao x → a, tada je x=a vertikalna asimptota.
II. Ako je y=f(x) kao x → ∞ ili x → -∞ onda je y=A horizontalna asimptota.
III. Za pronalaženje kose asimptote koristimo sljedeći algoritam:
1) Izračunajte . Ako granica postoji i jednaka je b, tada je y=b horizontalna asimptota; ako , onda idite na drugi korak.
2) Izračunajte . Ako ova granica ne postoji, onda ne postoji asimptota; ako postoji i jednak je k, idite na treći korak.
3) Izračunajte . Ako ova granica ne postoji, onda ne postoji asimptota; ako postoji i jednako je b, onda idite na četvrti korak.
4) Zapišite jednačinu kose asimptote y=kx+b.

Primjer 21: Pronađite asimptotu za funkciju

1)
2)
3)
4) Jednačina kose asimptote ima oblik

Šema proučavanja funkcije i konstrukcije njenog grafa

I. Pronađite domenu funkcije.
II. Pronađite točke presjeka grafa funkcije sa koordinatnim osa.
III. Pronađite asimptote.
IV. Pronađite tačke mogućeg ekstremuma.
V. Pronađite kritične tačke.
VI. Pomoću pomoćnog crteža istražiti predznak prve i druge derivacije. Odrediti područja povećanja i smanjenja funkcije, pronaći smjer konveksnosti grafa, tačke ekstrema i točke pregiba.
VII. Napravite grafikon, uzimajući u obzir studiju sprovedenu u paragrafima 1-6.

Primjer 22: Nacrtajte graf funkcije prema gornjoj šemi

Rješenje.
I. Domen funkcije je skup svih realnih brojeva, osim za x=1.
II. Kako jednadžba x 2 +1=0 nema realne korijene, onda graf funkcije nema presječne točke sa Ox osom, već siječe osu Oy u tački (0; -1).
III. Razjasnimo pitanje postojanja asimptota. Istražujemo ponašanje funkcije u blizini tačke diskontinuiteta x=1. Kako je y → ∞ za x → -∞, y → +∞ za x → 1+, tada je prava x=1 vertikalna asimptota grafa funkcije.
Ako je x → +∞(x → -∞), tada je y → +∞(y → -∞); dakle, graf nema horizontalnu asimptotu. Dalje, od postojanja granica

Rješavajući jednačinu x 2 -2x-1=0, dobijamo dvije tačke mogućeg ekstremuma:
x 1 =1-√2 i x 2 =1+√2

V. Da bismo pronašli kritične tačke, izračunavamo drugi izvod:

Pošto f""(x) ne nestaje, nema kritičnih tačaka.
VI. Istražujemo predznak prve i druge derivacije. Moguće tačke ekstrema koje treba uzeti u obzir: x 1 =1-√2 i x 2 =1+√2, podijelite područje postojanja funkcije na intervale (-∞;1-√2),(1-√2 ;1+√2) i (1+√2;+∞).

U svakom od ovih intervala derivacija zadržava svoj znak: u prvom - plus, u drugom - minus, u trećem - plus. Redoslijed predznaka prve derivacije zapisuje se na sljedeći način: +, -, +.
Dobijamo da funkcija na (-∞;1-√2) raste, na (1-√2;1+√2) opada, a na (1+√2;+∞) ponovo raste. Ekstremne tačke: maksimum na x=1-√2, štaviše f(1-√2)=2-2√2 minimum na x=1+√2, štaviše f(1+√2)=2+2√2. Na (-∞;1) graf je konveksan prema gore, a na (1;+∞) - prema dolje.
VII Napravimo tabelu dobijenih vrijednosti

VIII Na osnovu dobijenih podataka gradimo skicu grafika funkcije

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke kako bismo vam poslali važna obavještenja i poruke.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim licima

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• U slučaju da je to potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim nalogom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno iz razloga sigurnosti, provođenja zakona ili drugih razloga javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo relevantnom trećem licu nasljedniku.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo prakse privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.