Proučavanje funkcije odvija se prema jasnoj shemi i zahtijeva od studenta solidno poznavanje osnovnih matematičkih pojmova kao što su domen definicije i vrijednosti, kontinuitet funkcije, asimptota, tačke ekstrema, paritet, periodičnost, itd. Učenik mora slobodno razlikovati funkcije i rješavati jednačine, koje su ponekad vrlo zamršene.

Odnosno, ovaj zadatak testira značajan sloj znanja, svaki jaz u kojem će postati prepreka za dobivanje ispravnog rješenja. Posebno često nastaju poteškoće sa konstrukcijom grafova funkcija. Ova greška odmah upada u oči nastavniku i može vam jako pokvariti ocjenu, čak i ako je sve ostalo ispravno urađeno. Ovdje možete pronaći zadaci za proučavanje funkcije na mreži: primjeri učenja, preuzimanje rješenja, narudžbe.

Istražite funkciju i dijagram: primjeri i rješenja na mreži

Pripremili smo za vas mnogo gotovih studija karakteristika, kako plaćenih u knjizi rješenja, tako i besplatnih u odjeljku Primjeri istraživanja karakteristika. Na osnovu ovih rešenih zadataka moći ćete da se detaljno upoznate sa metodologijom za izvođenje takvih zadataka, po analogiji izvršite sopstveno istraživanje.

Nudimo gotove primjere kompletnog proučavanja i crtanja grafa funkcija najčešćih tipova: polinoma, razlomka racionalnih, iracionalnih, eksponencijalnih, logaritamskih, trigonometrijskih funkcija. Svaki riješen problem prati gotov graf sa odabranim ključnim tačkama, asimptotama, maksimumima i minimumima, rješavanje se izvodi prema algoritmu za proučavanje funkcije.

Rešeni primeri će vam u svakom slučaju biti od dobre pomoći, jer pokrivaju najpopularnije vrste funkcija. Nudimo vam stotine već riješenih zadataka, ali, kao što znate, u svijetu postoji beskonačan broj matematičkih funkcija, a nastavnici su veliki stručnjaci u izmišljanju sve složenijih zadataka za siromašne učenike. Dakle, dragi studenti, kvalifikovana pomoć vam neće naškoditi.

Rješavanje zadataka za proučavanje funkcije po redu

U tom slučaju naši partneri će Vam ponuditi drugu uslugu - online istraživanje pune funkcije naručiti. Zadatak će biti završen za vas u skladu sa svim zahtjevima za algoritam za rješavanje ovakvih problema, što će uvelike zadovoljiti vašeg nastavnika.

Za vas ćemo napraviti kompletnu studiju funkcije: pronaći ćemo domen definicije i raspon vrijednosti, ispitati kontinuitet i diskontinuitet, postaviti paritet, provjeriti periodičnost vaše funkcije, pronaći točke presjeka s koordinatnim osa . I, naravno, dalje uz pomoć diferencijalnog računa: naći ćemo asimptote, izračunati ekstreme, tačke pregiba i izgraditi sam graf.

Već neko vrijeme u TheBat-u (nije jasno iz kog razloga) ugrađena baza certifikata za SSL prestala je da radi ispravno.

Prilikom provjere posta pojavljuje se greška:

Nepoznati CA certifikat
Server nije predstavio root certifikat u sesiji i odgovarajući root certifikat nije pronađen u adresaru.
Ova veza ne može biti tajna. Molim te
obratite se administratoru vašeg servera.

I nudi se izbor odgovora – DA/NE. I tako svaki put kada snimate poštu.

Rješenje

U ovom slučaju, morate zamijeniti standard implementacije S/MIME i TLS sa Microsoft CryptoAPI u TheBat!

Pošto sam morao da spojim sve fajlove u jedan, prvo sam konvertovao sve doc fajlove u jedan pdf fajl (pomoću programa Acrobat), a zatim ga prebacio u fb2 preko onlajn konvertera. Također možete konvertirati datoteke pojedinačno. Formati mogu biti apsolutno bilo koji (izvorni) i doc, i jpg, pa čak i zip arhiva!

Naziv stranice odgovara suštini :) Online Photoshop.

Ažuriranje maja 2015

Našao sam još jednu sjajnu stranicu! Još praktičniji i funkcionalniji za stvaranje potpuno proizvoljnog kolaža! Ova stranica je http://www.fotor.com/ru/collage/. Upotreba na zdravlje. I sam ću ga koristiti.

Suočen u životu sa popravkom električnih peći. Već sam dosta toga radio, puno naučio, ali nekako nisam imao veze sa pločicama. Bilo je potrebno zamijeniti kontakte na regulatorima i gorionicima. Postavilo se pitanje - kako odrediti promjer plamenika na električnoj peći?

Ispostavilo se da je odgovor jednostavan. Ne morate ništa mjeriti, možete mirno odrediti na oko koja vam je veličina potrebna.

Najmanji gorionik je 145 milimetara (14,5 centimetara)

Srednji plamenik je 180 milimetara (18 centimetara).

I na kraju najviše veliki gorionik je 225 milimetara (22,5 centimetara).

Dovoljno je odrediti veličinu na oko i razumjeti koji promjer vam je potreban za plamenik. Kada ovo nisam znao, letio sam sa ovim veličinama, nisam znao kako mjeriti, kojom ivicom da se krećem itd. Sada sam mudar :) Nadam se da je i vama pomoglo!

U životu sam se suočio sa takvim problemom. Mislim da nisam jedini.

Jedan od najvažnijih zadataka diferencijalnog računa je razvoj općih primjera proučavanja ponašanja funkcija.

Ako je funkcija y \u003d f (x) kontinuirana na intervalu, a njen izvod je pozitivan ili jednak 0 na intervalu (a, b), tada se y = f (x) povećava za (f "(x) 0). Ako je funkcija y \u003d f (x) kontinuirana na segmentu, a njen izvod je negativan ili jednak 0 na intervalu (a,b), tada se y=f(x) smanjuje za (f"( x)0)

Intervali u kojima se funkcija ne smanjuje ili ne povećava nazivaju se intervali monotonosti funkcije. Priroda monotonosti funkcije može se promijeniti samo u onim tačkama njenog domena definicije, u kojima se mijenja predznak prvog izvoda. Tačke u kojima prvi izvod funkcije nestaje ili se prekida nazivaju se kritične točke.

Teorema 1 (1. dovoljan uslov za postojanje ekstrema).

Neka je funkcija y=f(x) definirana u tački x 0 i neka postoji susjedstvo δ>0 takvo da je funkcija kontinuirana na segmentu , diferencibilna na intervalu (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , a njegov izvod zadržava konstantan predznak na svakom od ovih intervala. Tada ako su na x 0 -δ, x 0) i (x 0, x 0 + δ) predznaci derivacije različiti, tada je x 0 tačka ekstrema, a ako se poklapaju, onda x 0 nije tačka ekstrema . Štaviše, ako pri prolasku kroz tačku x0 derivacija promijeni predznak sa plusa na minus (lijevo od x 0, izvrši se f "(x)> 0, tada je x 0 maksimalna tačka; ako derivacija promijeni predznak od minusa do plusa (desno od x 0 izvršava f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Točke maksimuma i minimuma nazivaju se tačke ekstrema funkcije, a maksimumi i minimumi funkcije nazivaju se njene ekstremne vrijednosti.

Teorema 2 (neophodan kriterij za lokalni ekstrem).

Ako funkcija y=f(x) ima ekstrem na trenutnom x=x 0, tada ili f'(x 0)=0 ili f'(x 0) ne postoji.
U tačkama ekstrema diferencijabilne funkcije, tangenta na njen graf je paralelna sa Ox osom.

Algoritam za proučavanje funkcije za ekstrem:

1) Pronađite izvod funkcije.
2) Pronađite kritične tačke, tj. tačke u kojima je funkcija kontinuirana, a derivacija nula ili ne postoji.
3) Razmotrite susjedstvo svake od tačaka i ispitajte predznak izvoda lijevo i desno od ove tačke.
4) Odredite koordinate ekstremnih tačaka, za ovu vrijednost kritičnih tačaka, zamijenite u ovu funkciju. Koristeći dovoljne ekstremne uslove, izvucite odgovarajuće zaključke.

Primjer 18. Istražiti funkciju y=x 3 -9x 2 +24x

Rješenje.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Izjednačavajući derivaciju sa nulom, nalazimo x 1 =2, x 2 =4. U ovom slučaju, derivacija je svuda definisana; dakle, osim dvije pronađene tačke, nema drugih kritičnih tačaka.
3) Predznak izvoda y"=3(x-2)(x-4) se menja u zavisnosti od intervala kao što je prikazano na slici 1. Prilikom prolaska kroz tačku x=2 derivacija menja predznak sa plus na minus, a pri prolasku kroz tačku x=4 - od minusa do plusa.
4) U tački x=2 funkcija ima maksimum y max =20, a u tački x=4 - minimum y min =16.

Teorema 3. (2. dovoljan uslov za postojanje ekstrema).

Neka f "(x 0) i f "" (x 0) postoje u tački x 0. Tada ako je f "" (x 0)> 0, onda je x 0 minimalna tačka, a ako je f "" (x 0 )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Na segmentu, funkcija y = f (x) može doseći najmanju (najmanje) ili najveću (najviše) vrijednost bilo na kritičnim točkama funkcije koje leže u intervalu (a; b), ili na krajevima segmenta.

Algoritam za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti kontinuirane funkcije y=f(x) na segmentu:

1) Pronađite f "(x).
2) Pronađite tačke u kojima f "(x) = 0 ili f" (x) - ne postoji, i izaberite od njih one koje leže unutar segmenta.
3) Izračunajte vrijednost funkcije y = f (x) u tačkama dobijenim u paragrafu 2), kao i na krajevima segmenta i odaberite najveći i najmanji od njih: oni su, respektivno, najveći ( za najveću) i najmanju (za najmanju) vrijednost funkcije na segmentu.

Primjer 19. Pronađite najveću vrijednost kontinuirane funkcije y=x 3 -3x 2 -45+225 na segmentu .

1) Imamo y "=3x 2 -6x-45 na segmentu
2) Izvod y" postoji za sva x. Nađimo tačke u kojima je y"=0; dobijamo:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) Izračunajte vrijednost funkcije u tačkama x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Samo tačka x=5 pripada segmentu. Najveća od pronađenih vrijednosti funkcije je 225, a najmanja je broj 50. Dakle, pri max = 225, pri max = 50.

Istraživanje funkcije na konveksnost

Na slici su prikazani grafikoni dvije funkcije. Prvi od njih je okrenut ispupčenjem prema gore, drugi - ispupčenjem prema dolje.

Funkcija y=f(x) je kontinuirana na segmentu i diferencibilna u intervalu (a;b), naziva se konveksna gore (dolje) na ovom segmentu, ako za axb njen graf nije viši (ne niži) od tangente nacrtana u bilo kojoj tački M 0 (x 0 ;f(x 0)), gdje je axb.

Teorema 4. Neka funkcija y=f(x) ima drugi izvod u bilo kojoj unutrašnjoj tački x segmenta i neka je kontinuirana na krajevima ovog segmenta. Tada ako je nejednakost f""(x)0 zadovoljena na intervalu (a;b), tada je funkcija na dolje konveksna na segmentu; ako je nejednakost f""(x)0 zadovoljena na intervalu (a;b), tada je funkcija konveksna prema gore na .

Teorema 5. Ako funkcija y=f(x) ima drugi izvod na intervalu (a;b) i ako promijeni predznak pri prolasku kroz tačku x 0 , tada je M(x 0 ;f(x 0)) tačka pregiba.

Pravilo za pronalaženje prevojnih tačaka:

1) Pronađite tačke u kojima f""(x) ne postoji ili nestaje.
2) Ispitajte znak f""(x) lijevo i desno od svake tačke pronađene u prvom koraku.
3) Na osnovu teoreme 4 izvedite zaključak.

Primjer 20. Naći tačke ekstrema i prevojne tačke grafa funkcije y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Imamo f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Očigledno, f"(x)=0 za x 1 =0, x 2 =1. Derivat, prolaskom kroz tačku x=0, menja predznak iz minusa u plus, a pri prolasku kroz tačku x=1 ne menja predznak. To znači da je x=0 tačka minimuma (y min =12), i da nema ekstrema u tački x=1. Dalje, nalazimo . Drugi izvod nestaje u tačkama x 1 =1, x 2 =1/3. Znaci druge derivacije se mijenjaju na sljedeći način: Na zraku (-∞;) imamo f""(x)>0, na intervalu (;1) imamo f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Dakle, x= je tačka pregiba grafa funkcije (prijelaz iz konveksnosti naniže u konveksnost prema gore) i x=1 je također tačka pregiba (prijelaz iz konveksnosti nagore na konveksnost prema dolje). Ako je x=, tada je y=; ako, onda je x=1, y=13.

Algoritam za pronalaženje asimptote grafa

I. Ako je y=f(x) kao x → a, tada je x=a vertikalna asimptota.
II. Ako je y=f(x) kao x → ∞ ili x → -∞ onda je y=A horizontalna asimptota.
III. Za pronalaženje kose asimptote koristimo sljedeći algoritam:
1) Izračunajte . Ako granica postoji i jednaka je b, tada je y=b horizontalna asimptota; ako , onda idite na drugi korak.
2) Izračunajte . Ako ova granica ne postoji, onda ne postoji asimptota; ako postoji i jednak je k, idite na treći korak.
3) Izračunajte . Ako ova granica ne postoji, onda ne postoji asimptota; ako postoji i jednako je b, onda idite na četvrti korak.
4) Zapišite jednačinu kose asimptote y=kx+b.

Primjer 21: Pronađite asimptotu za funkciju

1)
2)
3)
4) Jednačina kose asimptote ima oblik

Šema proučavanja funkcije i konstrukcije njenog grafa

I. Pronađite domenu funkcije.
II. Pronađite točke presjeka grafa funkcije sa koordinatnim osa.
III. Pronađite asimptote.
IV. Pronađite tačke mogućeg ekstremuma.
V. Pronađite kritične tačke.
VI. Pomoću pomoćnog crteža istražiti predznak prve i druge derivacije. Odrediti područja povećanja i smanjenja funkcije, pronaći smjer konveksnosti grafa, tačke ekstrema i točke pregiba.
VII. Napravite grafikon, uzimajući u obzir studiju sprovedenu u paragrafima 1-6.

Primjer 22: Nacrtajte graf funkcije prema gornjoj šemi

Rješenje.
I. Domen funkcije je skup svih realnih brojeva, osim za x=1.
II. Kako jednadžba x 2 +1=0 nema realne korijene, onda graf funkcije nema presječne točke sa Ox osom, već siječe osu Oy u tački (0; -1).
III. Razjasnimo pitanje postojanja asimptota. Istražujemo ponašanje funkcije u blizini tačke diskontinuiteta x=1. Kako je y → ∞ za x → -∞, y → +∞ za x → 1+, tada je prava x=1 vertikalna asimptota grafa funkcije.
Ako je x → +∞(x → -∞), tada je y → +∞(y → -∞); dakle, graf nema horizontalnu asimptotu. Dalje, od postojanja granica

Rješavajući jednačinu x 2 -2x-1=0, dobijamo dvije tačke mogućeg ekstremuma:
x 1 =1-√2 i x 2 =1+√2

V. Da bismo pronašli kritične tačke, izračunavamo drugi izvod:

Pošto f""(x) ne nestaje, nema kritičnih tačaka.
VI. Istražujemo predznak prve i druge derivacije. Moguće tačke ekstrema koje treba uzeti u obzir: x 1 =1-√2 i x 2 =1+√2, podijelite područje postojanja funkcije na intervale (-∞;1-√2),(1-√2 ;1+√2) i (1+√2;+∞).

U svakom od ovih intervala derivacija zadržava svoj znak: u prvom - plus, u drugom - minus, u trećem - plus. Redoslijed predznaka prve derivacije zapisuje se na sljedeći način: +, -, +.
Dobijamo da funkcija na (-∞;1-√2) raste, na (1-√2;1+√2) opada, a na (1+√2;+∞) ponovo raste. Ekstremne tačke: maksimum na x=1-√2, štaviše f(1-√2)=2-2√2 minimum na x=1+√2, štaviše f(1+√2)=2+2√2. Na (-∞;1) graf je konveksan prema gore, a na (1;+∞) - prema dolje.
VII Napravimo tabelu dobijenih vrijednosti

VIII Na osnovu dobijenih podataka gradimo skicu grafika funkcije

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke kako bismo vam poslali važna obavještenja i komunikacije.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim licima

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• U slučaju da je to potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim nalogom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno iz razloga sigurnosti, provođenja zakona ili drugih razloga javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo relevantnom trećem licu nasljedniku.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i striktno provodimo praksu privatnosti.

Provedite kompletnu studiju i nacrtajte graf funkcije

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Opseg funkcije. Pošto je funkcija razlomak, potrebno je pronaći nule nazivnika.

1−x=0,⇒x=1.1−x=0,⇒x=1.

Isključujemo jedinu tačku x=1x=1 iz područja definicije funkcije i dobijamo:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Proučimo ponašanje funkcije u blizini tačke diskontinuiteta. Pronađite jednostrane granice:

Pošto su granice jednake beskonačnosti, tačka x=1x=1 je diskontinuitet druge vrste, prava x=1x=1 je vertikalna asimptota.

3) Odredimo tačke preseka grafa funkcije sa koordinatnim osa.

Nađimo tačke presjeka sa ordinatnom osom OyOy, za koje izjednačavamo x=0x=0:

Dakle, tačka preseka sa osom OyOy ima koordinate (0;8)(0;8).

Nađimo tačke preseka sa apscisnom osom OxOx, za koje postavljamo y=0y=0:

Jednadžba nema korijena, tako da nema tačaka presjeka sa OxOx osom.

Imajte na umu da x2+8>0x2+8>0 za bilo koje xx. Dakle, za x∈(−∞;1)x∈(−∞;1), funkcija y>0y>0 (uzima pozitivne vrijednosti, grafik je iznad x-ose), za x∈(1;+∞ )x∈(1; +∞) funkcija y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Funkcija nije ni parna ni neparna jer:

5) Istražujemo funkciju na periodičnost. Funkcija nije periodična, jer je razlomka racionalna funkcija.

6) Istražujemo funkciju za ekstreme i monotonost. Da bismo to učinili, nalazimo prvi izvod funkcije:

Izjednačimo prvi izvod sa nulom i pronađemo stacionarne tačke (u kojima je y′=0y′=0):

Dobili smo tri kritične tačke: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Cijelu domenu funkcije podijelimo na intervale po datim točkama i odredimo predznake derivacije u svakom intervalu:

Za x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) izvod y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

Za x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) derivaciju y′>0y′>0, funkcija raste na ovim intervalima.

U ovom slučaju, x=−2x=−2 je lokalna minimalna tačka (funkcija se smanjuje pa raste), x=4x=4 je lokalna tačka maksimuma (funkcija raste, a zatim opada).

Nađimo vrijednosti funkcije u ovim točkama:

Dakle, minimalna tačka je (−2;4)(−2;4), maksimalna tačka je (4;−8)(4;−8).

7) Ispitujemo funkciju za kinkove i konveksnost. Nađimo drugi izvod funkcije:

Izjednačite drugi izvod sa nulom:

Rezultirajuća jednačina nema korijen, tako da nema prevojnih tačaka. Štaviše, kada je x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 zadovoljena, to jest, funkcija je konkavna kada je x∈(1;+∞)x∈(1 ;+ ∞) y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Istražujemo ponašanje funkcije na beskonačnosti, odnosno na .

Pošto su granice beskonačne, ne postoje horizontalne asimptote.

Pokušajmo odrediti kose asimptote oblika y=kx+by=kx+b. Izračunavamo vrijednosti k,bk,b prema poznatim formulama:

Otkrili smo da funkcija ima jednu kosu asimptotu y=−x−1y=−x−1.

9) Dodatne točke. Izračunajmo vrijednost funkcije u nekim drugim tačkama kako bismo preciznije napravili graf.

y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.

10) Na osnovu dobijenih podataka izgradićemo graf, dopuniti ga asimptotama x=1x=1 (plava), y=−x−1y=−x−1 (zelena) i označiti karakteristične tačke (presek sa ordinatna os je ljubičasta, ekstremi su narandžasti, dodatne tačke su crne):

Zadatak 4: Geometrijski, ekonomski problemi (nemam pojma šta, evo okvirnog izbora zadataka sa rješenjem i formulama)

Primjer 3.23. a

Rješenje. x i y y
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Kako je x = a/4 jedina kritična tačka, provjerimo mijenja li se predznak derivacije pri prolasku kroz ovu tačku. Za xa/4 S "> 0, a za x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Primjer 3.24.

Rješenje.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Primjer 3.22. Naći ekstreme funkcije f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Rješenje. Budući da je f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6 (x - 2) (x - 3), onda su kritične tačke funkcije x 1 = 2 i x 2 = 3. Ekstremne tačke mogu biti samo u ovim tačkama. Dakle, kada prolazi kroz tačku x 1 \u003d 2, derivacija mijenja znak plus u minus, tada u ovoj tački funkcija ima maksimum. Prilikom prolaska kroz tačku x 2 = 3, derivacija mijenja znak minus u plus, dakle, u tački x 2 = 3, funkcija ima minimum. Izračunavanje vrijednosti funkcije u tačkama
x 1 = 2 i x 2 = 3, nalazimo ekstreme funkcije: maksimum f(2) = 14 i minimum f(3) = 13.

Primjer 3.23. U blizini kamenog zida potrebno je izgraditi pravougaoni prostor tako da je sa tri strane ograđen žičanom mrežom, a sa četvrte strane uz zid. Za ovo postoji a linearnih metara mreže. U kom omjeru stranica će imati najveću površinu?

Rješenje. Označite strane stranice kroz x i y. Površina lokacije je S = xy. Neka y je dužina stranice uz zid. Tada, pod uslovom, mora vrijediti jednakost 2x + y = a. Stoga je y = a - 2x i S = x(a - 2x), gdje je
0 ≤ x ≤ a/2 (dužina i širina područja ne mogu biti negativne). S "= a - 4x, a - 4x = 0 za x = a/4, odakle
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Kako je x = a/4 jedina kritična tačka, provjerimo mijenja li se predznak derivacije pri prolasku kroz ovu tačku. Za xa/4 S "> 0, a za x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Primjer 3.24. Potrebno je izraditi zatvoreni cilindrični rezervoar kapaciteta V=16p ≈ 50 m 3 . Koje bi trebale biti dimenzije rezervoara (radijus R i visina H) da bi se koristila najmanja količina materijala za njegovu izradu?

Rješenje. Ukupna površina cilindra je S = 2pR(R+H). Znamo zapreminu cilindra V = pR 2 H Þ H = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Dakle, S(R) = 2p(R 2 +16/R). Nalazimo derivaciju ove funkcije:
S "(R) = 2p (2R- 16 / R 2) = 4p (R- 8 / R 2). S " (R) = 0 za R 3 \u003d 8, dakle,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Slične informacije.