Kvadratna jednadžba u kojoj je diskriminanta 0. Primjeri rješavanja kvadratnih jednadžbi

Upotreba jednačina je široko rasprostranjena u našim životima. Koriste se u mnogim proračunima, izgradnji objekata, pa čak i u sportu. Jednadžbe je čovjek koristio od davnina i od tada se njihova upotreba samo povećava. Diskriminant vam omogućava da riješite bilo koje kvadratne jednadžbe koristeći opću formulu, koja ima sljedeći oblik:

Diskriminantna formula zavisi od stepena polinoma. Gornja formula je pogodna za rješavanje kvadratnih jednadžbi sljedećeg oblika:

Diskriminant ima sljedeća svojstva koja morate znati:

* "D" je 0 kada polinom ima višestruke korijene (jednaki korijeni);

* "D" je simetričan polinom u odnosu na korijene polinoma i stoga je polinom u svojim koeficijentima; štaviše, koeficijenti ovog polinoma su cijeli brojevi, bez obzira na ekstenziju u kojoj su korijeni uzeti.

Pretpostavimo da nam je data kvadratna jednadžba sljedećeg oblika:

1 jednadžba

Prema formuli imamo:

Pošto \, onda jednačina ima 2 korijena. Hajde da ih definišemo:

Gdje mogu riješiti jednačinu putem diskriminantnog online rješavača?

Jednačinu možete riješiti na našoj web stranici https://site. Besplatni online rješavač će vam omogućiti da za nekoliko sekundi riješite online jednadžbu bilo koje složenosti. Sve što treba da uradite je da unesete svoje podatke u rešavač. Također možete pogledati video instrukciju i naučiti kako riješiti jednačinu na našoj web stranici, a ako imate pitanja, možete ih postaviti u našoj Vkontakte grupi http://vk.com/pocketteacher. Pridružite se našoj grupi, mi ćemo vam uvijek rado pomoći.

U ovom članku ćemo razmotriti rješenje nepotpunih kvadratnih jednadžbi.

Ali prvo, hajde da ponovimo koje se jednačine nazivaju kvadratnim. Jednadžba oblika ax 2 + bx + c \u003d 0, gdje je x varijabla, a koeficijenti a, b i c su neki brojevi, a a ≠ 0, naziva se kvadrat. Kao što vidimo, koeficijent na x 2 nije jednak nuli, pa stoga koeficijenti na x ili slobodni član mogu biti jednaki nuli, u ovom slučaju dobijamo nepotpunu kvadratnu jednačinu.

Postoje tri vrste nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

1) Ako je b = 0, c ≠ 0, tada je ax 2 + c = 0;

2) Ako je b ≠ 0, c \u003d 0, tada je ax 2 + bx = 0;

3) Ako je b = 0, c = 0, onda je ax 2 = 0.

• Da vidimo kako će se riješiti jednačine oblika ax 2 + c = 0.

Da bismo riješili jednačinu, prenosimo slobodni član sa na desnu stranu jednačine, dobijamo

ax 2 = ‒s. Pošto je a ≠ 0, tada oba dijela jednadžbe dijelimo sa a, zatim x 2 \u003d -c / a.

Ako je ‒s/a > 0, tada jednačina ima dva korijena

x = ±√(–c/a) .

Ako je ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Pokušajmo na primjerima razumjeti kako riješiti takve jednadžbe.

Primjer 1. Riješite jednačinu 2x 2 - 32 = 0.

Odgovor: x 1 = - 4, x 2 \u003d 4.

Primjer 2. Riješite jednačinu 2x 2 + 8 = 0.

Odgovor: Jednačina nema rješenja.

• Da vidimo kako će se riješiti jednačine oblika ax 2 + bx = 0.

Da bismo riješili jednadžbu ax 2 + bx \u003d 0, razlažemo je na faktore, odnosno uzimamo x iz zagrada, dobivamo x (ax + b) = 0. Proizvod je nula ako je barem jedan od faktora je nula. Tada je ili h = 0 ili ah + b = 0. Rešavanjem jednačine ah + b = 0 dobijamo ah = – b, odakle je h = – b/a. Jednadžba oblika ax 2 + bx \u003d 0 uvijek ima dva korijena x 1 = 0 i x 2 \u003d - b / a. Pogledajte kako rješenje ovakvih jednačina izgleda na dijagramu.

Konsolidirajmo svoje znanje na konkretnom primjeru.

Primjer 3. Riješite jednačinu 3x 2 - 12x = 0.

x(3x - 12) = 0

x = 0 ili 3x - 12 = 0

Odgovor: x 1 = 0, x 2 = 4.

• Jednačine trećeg tipa ax 2 = 0 reseno veoma jednostavno.

Ako je ax 2 = 0, onda je x 2 = 0. Jednačina ima dva jednaka korijena x 1 = 0, x 2 = 0.

Radi jasnoće, razmotrite dijagram.

Prilikom rješavanja primjera 4, pobrinut ćemo se da se jednačine ovog tipa rješavaju vrlo jednostavno.

Primjer 4 Riješite jednačinu 7x 2 = 0.

Odgovor: x 1, 2 = 0.

Nije uvijek odmah jasno kakvu vrstu nepotpune kvadratne jednačine moramo riješiti. Razmotrite sljedeći primjer.

Primjer 5 riješiti jednačinu

Pomnožite obje strane jednačine sa zajedničkim nazivnikom, odnosno sa 30

Hajde da presečemo

5 (5x 2 + 9) - 6 (4x 2 - 9) \u003d 90.

Hajde da otvorimo zagrade

25x2 + 45 - 24x2 + 54 = 90.

Evo sličnih

Pomaknimo 99 s lijeve strane jednačine na desnu, mijenjajući predznak u suprotan

Odgovor: nema korijena.

Analizirali smo kako se rješavaju nepotpune kvadratne jednadžbe. Nadam se da sada nećete imati poteškoća sa ovakvim zadacima. Budite oprezni kada određujete vrstu nepotpune kvadratne jednadžbe, tada ćete uspjeti.

Ako imate pitanja na ovu temu, prijavite se na moje lekcije, zajedno ćemo riješiti probleme.

stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.

Yakupova M.I. 1

Smirnova Yu.V. jedan

1 Opštinska budžetska obrazovna ustanova srednja škola br.11

Tekst rada je postavljen bez slika i formula.
Puna verzija rada dostupna je na kartici "Job Files" u PDF formatu

Istorija kvadratnih jednačina

Babilon

Potreba za rješavanjem jednačina ne samo prvog stepena, već i drugog u antičko doba bila je uzrokovana potrebom rješavanja problema vezanih za pronalaženje površina kopna, sa razvojem same astronomije i matematike. Kvadratne jednačine su uspjele riješiti oko 2000 godina prije Krista. e. Babilonci. Pravila za rješavanje ovih jednačina iznesena u babilonskim tekstovima u suštini se poklapaju sa modernim, ali ovim tekstovima nedostaje koncept negativnog broja i općih metoda za rješavanje kvadratnih jednačina.

Ancient Greece

U staroj Grčkoj, naučnici kao što su Diofant, Euklid i Heron takođe su se bavili rešavanjem kvadratnih jednačina. Diofant Diofant iz Aleksandrije je bio starogrčki matematičar koji je verovatno živeo u 3. veku nove ere. Glavno Diofantovo djelo je "Aritmetika" u 13 knjiga. Euklid. Euklid je starogrčki matematičar, autor prve teorijske rasprave o matematici koja je do nas došla, Heron. Heron - grčki matematičar i inženjer po prvi put u Grčkoj u 1. veku nove ere. daje čisto algebarski način rješavanja kvadratne jednadžbe

Indija

Problemi za kvadratne jednačine se već nalaze u astronomskoj raspravi Aryabhattam, koju je 499. godine sastavio indijski matematičar i astronom Aryabhatta. Drugi indijski naučnik, Brahmagupta (7. vek), izložio je opšte pravilo za rešavanje kvadratnih jednačina svedenih na jedan kanonski oblik: ax2 + bx = c, a> 0. (1) U jednačini (1), koeficijenti takođe mogu biti negativni . Brahmaguptino pravilo se u suštini poklapa s našim. U Indiji su javna takmičenja u rješavanju teških problema bila uobičajena. U jednoj od starih indijskih knjiga o takvim takmičenjima kaže se sljedeće: „Kao što sunce obasjava zvijezde svojim sjajem, tako će učena osoba zasjeniti slavu na javnim skupovima, predlažući i rješavajući algebarske probleme.“ Zadaci su često bili obučeni u poetsku formu.

Evo jednog od problema poznatog indijskog matematičara iz XII veka. Bhaskara.

„Razigrano jato majmuna

I dvanaest duž vinove loze

Počeli su skakati, vješati se

Njihov kvadratni dio osam

Koliko je majmuna bilo

Zabavljati se na livadi

Reci mi, u ovom jatu?

Bhaskarino rješenje ukazuje da je autor bio svjestan dvovrijednosti korijena kvadratnih jednačina. Bhaskar zapisuje jednačinu koja odgovara problemu u obliku x2 - 64x = - 768 i, da bi dopunio lijevu stranu ove jednačine na kvadrat, dodaje 322 na oba dijela, a zatim dobiva: x2 - b4x + 322 = - 768 + 1024, (x - 32) 2 = 256, x - 32 = ± 16, x1 = 16, x2 \u003d 48.

Kvadratne jednačine u Evropi 17. veka

Formule za rješavanje kvadratnih jednačina po uzoru na Al - Khorezmi u Evropi su prvi put izložene u "Knjizi Abacusa", koju je 1202. godine napisao italijanski matematičar Leonardo Fibonacci. Ovo obimno djelo, koje odražava utjecaj matematike, kako u zemljama islama tako i u staroj Grčkoj, odlikuje se i potpunošću i jasnoćom izlaganja. Autor je samostalno razvio neke nove algebarske primjere rješavanja problema i prvi u Europi pristupio uvođenju negativnih brojeva. Njegova knjiga je doprinijela širenju algebarskog znanja ne samo u Italiji, već iu Njemačkoj, Francuskoj i drugim evropskim zemljama. Mnogi zadaci iz "Knjige Abakusa" ušli su u gotovo sve evropske udžbenike 16. - 17. vijeka. i dijelom XVIII. Vieta ima opći izvod formule za rješavanje kvadratne jednadžbe, ali Vieta je prepoznao samo pozitivne korijene. Italijanski matematičari Tartaglia, Cardano, Bombelli bili su među prvima u 16. veku. Uzmite u obzir, pored pozitivnih, i negativne korijene. Tek u XVII veku. Zahvaljujući radovima Girarda, Descartesa, Newtona i drugih naučnika, način rješavanja kvadratnih jednačina poprima moderan izgled.

Definicija kvadratne jednadžbe

Jednačina oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje su a, b, c brojevi, naziva se kvadratna jednačina.

Koeficijenti kvadratne jednadžbe

Brojevi a, b, c su koeficijenti kvadratne jednadžbe, a je prvi koeficijent (prije x²), a ≠ 0; b je drugi koeficijent (prije x); c je slobodni član (bez x).

Koja od ovih jednačina nije kvadratna?

1. 4x² + 4x + 1 = 0; 2. 5x - 7 = 0; 3. - x² - 5x - 1 \u003d 0; 4. 2/x² + 3x + 4 = 0;5. ¼ x² - 6x + 1 \u003d 0; 6. 2x² = 0;

7. 4x² + 1 = 0; 8. x² - 1 / x \u003d 0; 9. 2x² - x \u003d 0; 10. x² -16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12. -8h²= 0;13. 5x³ +6x -8= 0.

Vrste kvadratnih jednadžbi

Poziva se redukovana kvadratna jednadžba u kojoj je vodeći koeficijent jednak jedan. Takva jednačina se može dobiti dijeljenjem cijelog izraza vodećim koeficijentom a:

x 2 + px + q =0, p = b/a, q = c/a

Kaže se da je kvadratna jednačina potpuna ako su svi njeni koeficijenti različiti od nule.

Takva kvadratna jednadžba se naziva nepotpunom ako je barem jedan od koeficijenata, osim najvećeg (ili drugi koeficijent ili slobodni član), jednak nuli.

Načini rješavanja kvadratnih jednačina

I način. Opća formula za izračunavanje korijena

Pronaći korijene kvadratne jednadžbe sjekira 2 + b + c = 0 Općenito, treba koristiti sljedeći algoritam:

Izračunajte vrijednost diskriminanta kvadratne jednadžbe: ovo je izraz za nju D= b 2 - 4ac

Derivacija formule:

Bilješka: očito je da je formula za korijen višestrukosti 2 poseban slučaj opće formule, dobiva se zamjenom jednakosti D=0 u nju, a zaključak o odsustvu realnih korijena sa D0, i (displaystyle ( sqrt (-1))=i) = i.

Opisana metoda je univerzalna, ali daleko od toga da je jedina. Rješenju jedne jednadžbe može se pristupiti na različite načine, preferencije obično zavise od samog rješavača. Osim toga, često se za to neka od metoda pokaže mnogo elegantnijom, jednostavnijom, manje dugotrajnom od standardne.

II način. Korijeni kvadratne jednadžbe s parnim koeficijentom b III način. Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

IV način. Korištenje parcijalnih omjera koeficijenata

Postoje posebni slučajevi kvadratnih jednadžbi u kojima su koeficijenti međusobno proporcionalni, što znatno olakšava njihovo rješavanje.

Korijeni kvadratne jednadžbe u kojoj je zbroj vodećeg koeficijenta i slobodnog člana jednak drugom koeficijentu

Ako je u kvadratnoj jednadžbi sjekira 2 + bx + c = 0 zbir prvog koeficijenta i slobodnog člana jednak je drugom koeficijentu: a+b=c, tada su njegovi korijeni -1 i broj suprotan omjeru slobodnog člana i vodećeg koeficijenta ( -c/a).

Dakle, prije rješavanja bilo koje kvadratne jednačine, treba provjeriti mogućnost primjene ove teoreme na nju: uporediti zbir glavnog koeficijenta i slobodnog člana sa drugim koeficijentom.

Korijeni kvadratne jednadžbe čiji je zbir svih koeficijenata nula

Ako je u kvadratnoj jednadžbi zbir svih njenih koeficijenata jednak nuli, tada su korijeni takve jednadžbe 1 i omjer slobodnog člana i vodećeg koeficijenta ( c/a).

Dakle, prije rješavanja jednačine standardnim metodama, treba provjeriti primjenjivost ove teoreme na nju: sabrati sve koeficijente ove jednačine i vidjeti da li je ovaj zbir jednak nuli.

V način. Dekompozicija kvadratnog trinoma na linearne faktore

Ako je trinom oblika (stil prikaza ax^(2)+bx+c(anot =0))ax 2 + bx + c(a ≠ 0) može se nekako predstaviti kao proizvod linearnih faktora (stil prikaza (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx + n), tada možemo pronaći korijene jednadžbe sjekira 2 + bx + c = 0- oni će biti -m / k i n / l, zaista, jer (stil prikaza (kx+m)(lx+n)=0Duga lijevodesnostrelica kx+m=0šalica lx+n=0)(kx + m)(lx + n) = 0 kx + mUlx + n, a rješavanjem navedenih linearnih jednačina dobijamo gore navedeno. Imajte na umu da kvadratni trinom nije uvijek razložen na linearne faktore sa realnim koeficijentima: to je moguće ako jednačina koja mu odgovara ima realne korijene.

Razmotrite neke posebne slučajeve

Koristeći formulu za kvadrat sume (razlike)

Ako kvadratni trinom ima oblik (displaystyle (ax)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2 , tada primjenom gornje formule na njega možemo ga razložiti u linearne faktore i, dakle, pronađite korijene:

(ax) 2 + 2abx + b 2 = (ax + b) 2

Odabir punog kvadrata zbira (razlika)

Takođe, imenovana formula se koristi metodom koja se zove "izbor punog kvadrata zbira (razlike)". U odnosu na datu kvadratnu jednačinu sa prethodno uvedenom notacijom, to znači sljedeće:

Bilješka: ako primijetite, ova formula se poklapa s onom predloženom u odjeljku “Korijeni redukovane kvadratne jednadžbe”, koja se, pak, može dobiti iz opće formule (1) zamjenom jednakosti a=1. Ova činjenica nije samo slučajnost: opisanom metodom, međutim, uz dodatno rezonovanje, moguće je izvesti opštu formulu, kao i dokazati svojstva diskriminanta.

VI način. Korištenje direktne i inverzne Vietine teoreme

Vietina direktna teorema (vidi dolje u istoimenom dijelu) i njena inverzna teorema nam omogućavaju da usmeno riješimo redukovane kvadratne jednačine bez pribjegavanja prilično glomaznim proračunima koristeći formulu (1).

Prema inverznoj teoremi, bilo koji par brojeva (broj) (prikaz x_(1),x_(2)) x 1 , x 2 je rješenje sistema jednačina ispod, korijeni su jednadžbe

U opštem slučaju, to jest za neredukovanu kvadratnu jednačinu ax 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 \u003d -b / a, x 1 * x 2 \u003d c / a

Direktna teorema će vam pomoći da usmeno odaberete brojeve koji zadovoljavaju ove jednačine. Uz njegovu pomoć možete odrediti znakove korijena bez poznavanja samih korijena. Da biste to učinili, slijedite pravilo:

1) ako je slobodni član negativan, tada korijeni imaju drugačiji predznak, a najveća apsolutna vrijednost korijena je znak suprotan predznaku drugog koeficijenta jednačine;

2) ako je slobodni član pozitivan, tada oba korijena imaju isti predznak, a to je suprotan predznak drugog koeficijenta.

7th way. Metod prenosa

Metoda tzv. "transfera" omogućava da se rješenja nereduciranih i netransformabilnih jednadžbi svedu na oblik redukovanih s cijelim koeficijentima tako što se dijele vodećim koeficijentom jednadžbi na rješenje jednačina redukovanih cijelim brojem. koeficijenti. To je kako slijedi:

Zatim se jednačina rješava usmeno na gore opisan način, zatim se vraćaju na izvornu varijablu i pronalaze korijene jednadžbi (displaystyle y_(1)=ax_(1)) y 1 = ax 1 i y 2 = ax 2 .(style prikaza y_(2)=ax_(2))

geometrijskog smisla

Graf kvadratne funkcije je parabola. Rješenja (korijeni) kvadratne jednadžbe su apscise točaka presjeka parabole sa osom apscise. Ako parabola opisana kvadratnom funkcijom ne siječe x-osu, jednadžba nema pravi korijen. Ako parabola siječe x-osu u jednoj tački (u vrhu parabole), jednačina ima jedan pravi korijen (također se kaže da jednačina ima dva podudarna korijena). Ako parabola siječe x-osu u dvije tačke, jednadžba ima dva realna korijena (pogledajte sliku desno.)

Ako koeficijent (stil prikaza a) a pozitivne, grane parabole su usmjerene prema gore i obrnuto. Ako je koeficijent (stil prikaza b) bpozitivan (kada je pozitivan (stil prikaza a) a, ako je negativan, obrnuto), tada vrh parabole leži u lijevoj poluravni i obrnuto.

Primjena kvadratnih jednadžbi u životu

Kvadratna jednačina je široko rasprostranjena. Koristi se u mnogim proračunima, konstrukcijama, sportovima, ali i oko nas.

Razmotrite i navedite nekoliko primjera primjene kvadratne jednadžbe.

Sport. Skokovi u vis: kada skakač poleti, za najprecizniji pogodak u šipku odbijanja i visok let, koriste se proračuni vezani za parabolu.

Takođe, slične kalkulacije su potrebne i u bacanju. Domet leta objekta ovisi o kvadratnoj jednadžbi.

Astronomija. Putanja planeta mogu se pronaći pomoću kvadratne jednadžbe.

Let avionom. Poletanje aviona je glavna komponenta leta. Ovdje se proračun uzima za mali otpor i ubrzanje uzlijetanja.

Takođe, kvadratne jednačine se koriste u raznim ekonomskim disciplinama, u programima za obradu zvuka, videa, vektorske i rasterske grafike.

Zaključak

Kao rezultat obavljenog posla, pokazalo se da su kvadratne jednačine ponovo privukle naučnike davna vremena, već su nailazili na njih prilikom rješavanja nekih problema i pokušavali ih riješiti. Razmatrajući različite načine rješavanja kvadratnih jednadžbi, došao sam do zaključka da nisu svi jednostavni. Po mom mišljenju, najbolji način za rješavanje kvadratnih jednadžbi je korištenje formula. Formule se lako pamte, ova metoda je univerzalna. Potvrđena je hipoteza da se jednačine široko koriste u životu i matematici. Nakon proučavanja teme, naučio sam puno zanimljivih činjenica o kvadratnim jednadžbama, njihovoj upotrebi, primjeni, vrstama, rješenjima. I nastaviću da ih proučavam sa zadovoljstvom. Nadam se da će mi ovo pomoći da dobro položim ispite.

Spisak korišćene literature

Materijali sajta:

Wikipedia

Otvori lekciju.rf

Priručnik za osnovnu matematiku Vygodsky M. Ya.

Samo. Prema formulama i jasnim jednostavnim pravilima. U prvoj fazi

potrebno je datu jednačinu dovesti u standardni oblik, tj. do pogleda:

Ako vam je jednadžba već data u ovom obliku, ne morate raditi prvu fazu. Najvažnije je ispravno

odrediti sve koeficijente a, b i c.

Formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe.

Izraz pod znakom korijena se zove diskriminatorno . Kao što vidite, da pronađemo x, mi

koristiti samo a, b i c. One. odds from kvadratna jednačina. Samo pažljivo umetnite

vrijednosti a, b i c u ovu formulu i računajte. Zamjena sa njihov znakovi!

Na primjer, u jednadžbi:

a =1; b = 3; c = -4.

Zamijenite vrijednosti i napišite:

Primjer skoro riješen:

Ovo je odgovor.

Najčešće greške su zabuna sa znakovima vrijednosti a, b i With. Tačnije, sa zamjenom

negativne vrijednosti u formulu za izračunavanje korijena. Ovdje se sprema detaljna formula

sa određenim brojevima. Ako imate problema sa proračunima, uradite to!

Pretpostavimo da trebamo riješiti sljedeći primjer:

Evo a = -6; b = -5; c = -1

Sve slikamo detaljno, pažljivo, ne propuštajući ništa sa svim znakovima i zagradama:

Često kvadratne jednadžbe izgledaju malo drugačije. Na primjer, ovako:

Sada uzmite u obzir praktične tehnike koje dramatično smanjuju broj grešaka.

Prvi prijem. Ne budi lijen prije rješavanje kvadratne jednačine dovesti ga u standardni oblik.

Šta to znači?

Pretpostavimo da nakon bilo koje transformacije dobijete sljedeću jednačinu:

Nemojte žuriti s pisanjem formule korijena! Gotovo sigurno ćete pomiješati šanse a, b i c.

Napravi primjer ispravno. Prvo, x na kvadrat, zatim bez kvadrata, zatim slobodni član. Volim ovo:

Riješite se minusa. Kako? Moramo pomnožiti cijelu jednačinu sa -1. Dobijamo:

A sada možete sigurno zapisati formulu za korijene, izračunati diskriminanta i dovršiti primjer.

Odlučite sami. Trebali biste završiti s korijenima 2 i -1.

Drugi prijem. Provjerite svoje korijene! By Vietin teorem.

Za rješavanje zadatih kvadratnih jednadžbi, tj. ako je koeficijent

x2+bx+c=0,

ondax 1 x 2 =c

x1 +x2 =−b

Za potpunu kvadratnu jednačinu u kojoj a≠1:

x 2 +bx+c=0,

podijelite cijelu jednačinu sa a:

→ →

gdje x 1 i x 2 - korijeni jednadžbe.

Prijem treći. Ako vaša jednadžba ima koeficijente razlomaka, riješite se razlomaka! Pomnožite

jednadžba za zajednički imenilac.

Zaključak. Praktični savjeti:

1. Prije rješavanja, dovodimo kvadratnu jednačinu u standardni oblik, gradimo je u pravu.

2. Ako postoji negativan koeficijent ispred x u kvadratu, eliminiramo ga tako što sve pomnožimo

jednadžbe za -1.

3. Ako su koeficijenti razlomljeni, eliminiramo razlomke množenjem cijele jednačine odgovarajućim

faktor.

4. Ako je x na kvadrat čist, koeficijent za njega jednak je jedan, rješenje se lako može provjeriti pomoću

Formule za korijene kvadratne jednadžbe. Razmatraju se slučajevi realnih, višestrukih i složenih korijena. Faktorizacija kvadratnog trinoma. Geometrijska interpretacija. Primjeri određivanja korijena i faktorizacije.

Osnovne formule

Razmotrimo kvadratnu jednačinu:
(1) .
Korijeni kvadratne jednadžbe(1) određuju se formulama:
; .
Ove formule mogu se kombinirati na sljedeći način:
.
Kada su korijeni kvadratne jednadžbe poznati, tada se polinom drugog stepena može predstaviti kao proizvod faktora (faktoriziranih):
.

Nadalje, pretpostavljamo da su to realni brojevi.
Razmislite diskriminanta kvadratne jednačine:
.
Ako je diskriminant pozitivan, tada kvadratna jednadžba (1) ima dva različita realna korijena:
; .
Tada faktorizacija kvadratnog trinoma ima oblik:
.
Ako je diskriminanta nula, tada kvadratna jednadžba (1) ima dva višestruka (jednaka) realna korijena:
.
Faktorizacija:
.
Ako je diskriminanta negativna, tada kvadratna jednadžba (1) ima dva kompleksna konjugirana korijena:
;
.
Ovdje je imaginarna jedinica, ;
i su stvarni i imaginarni dijelovi korijena:
; .
Onda

.

Grafička interpretacija

Ako grafički prikažemo funkciju
,
što je parabola, tada će tačke presjeka grafa sa osom biti korijeni jednadžbe
.
Kada je , graf siječe osu apscise (os) u dvije točke.
Kada je , graf dodiruje x-osu u jednoj tački.
Kada je , graf ne prelazi x-osu.

Ispod su primjeri takvih grafikona.

Korisne formule vezane za kvadratnu jednačinu

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Izvođenje formule za korijene kvadratne jednadžbe

Izvodimo transformacije i primjenjujemo formule (f.1) i (f.3):




,
gdje
; .

Dakle, dobili smo formulu za polinom drugog stepena u obliku:
.
Iz ovoga se može vidjeti da je jednačina

izvedeno u
i .
To jest, i su korijeni kvadratne jednadžbe
.

Primjeri određivanja korijena kvadratne jednadžbe

Primjer 1

(1.1) .

Rješenje

.
Upoređujući s našom jednadžbom (1.1), nalazimo vrijednosti koeficijenata:
.
Pronalaženje diskriminanta:
.
Pošto je diskriminanta pozitivan, jednačina ima dva realna korijena:
;
;
.

Odavde dobijamo dekompoziciju kvadratnog trinoma na faktore:

.

Grafikon funkcije y = 2 x 2 + 7 x + 3 prelazi x-osu u dvije tačke.

Nacrtajmo funkciju
.
Graf ove funkcije je parabola. Presijeca x-osu (os) u dvije tačke:
i .
Ove tačke su korijeni originalne jednačine (1.1).

Odgovori

;
;
.

Primjer 2

Pronađite korijene kvadratne jednadžbe:
(2.1) .

Rješenje

Kvadratnu jednačinu pišemo u opštem obliku:
.
Upoređujući s originalnom jednadžbom (2.1), nalazimo vrijednosti koeficijenata:
.
Pronalaženje diskriminanta:
.
Pošto je diskriminanta nula, jednačina ima dva višestruka (jednaka) korijena:
;
.

Tada faktorizacija trinoma ima oblik:
.

Grafikon funkcije y = x 2 - 4 x + 4 dodiruje x-osu u jednoj tački.

Nacrtajmo funkciju
.
Graf ove funkcije je parabola. Dodiruje x-osu (os) u jednoj tački:
.
Ova tačka je korijen originalne jednačine (2.1). Pošto se ovaj korijen rastavlja dva puta:
,
onda se takav korijen naziva višestrukim. To jest, oni smatraju da postoje dva jednaka korijena:
.

Odgovori

;
.

Primjer 3

Pronađite korijene kvadratne jednadžbe:
(3.1) .

Rješenje

Kvadratnu jednačinu pišemo u opštem obliku:
(1) .
Prepišimo prvobitnu jednačinu (3.1):
.
Upoređujući sa (1), nalazimo vrijednosti koeficijenata:
.
Pronalaženje diskriminanta:
.
Diskriminant je negativan, . Dakle, nema pravih korena.

Možete pronaći složene korijene:
;
;
.

Onda


.

Grafikon funkcije ne prelazi x-osu. Nema pravih korena.

Nacrtajmo funkciju
.
Graf ove funkcije je parabola. Ne prelazi apscisu (os). Dakle, nema pravih korena.

Odgovori

Nema pravih korena. Složeni korijeni:
;
;
.