ทฤษฎีบทที่สองของเกอเดล ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจและเคล็ดลับที่เป็นประโยชน์

ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดล

อุสเพนสกี้ วี.เอ.

บางทีทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดลก็มีเอกลักษณ์เฉพาะตัวอย่างแท้จริง มีความพิเศษตรงที่มันถูกกล่าวถึงเมื่อพวกเขาต้องการพิสูจน์ "ทุกสิ่งในโลก" ตั้งแต่การสถิตย์ของพระเจ้าไปจนถึงการไม่มีสติปัญญา ฉันสนใจ "คำถามหลัก" มากกว่ามาโดยตลอด - คำถามใดที่อ้างถึงทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ไม่เพียงแต่กำหนดเท่านั้น แต่ยังพิสูจน์ได้ด้วย ฉันกำลังเผยแพร่บทความนี้ด้วยเหตุผลที่กำหนดสูตรทฤษฎีบทของGödelที่เข้าถึงได้อย่างสมบูรณ์ ฉันขอแนะนำให้คุณอ่านบทความของ Tullio Regge Kurt Gödel และทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงของเขาก่อน

ข้อสรุปเกี่ยวกับความเป็นไปไม่ได้ของเกณฑ์สากลแห่งความจริงนั้นเป็นผลโดยตรงของผลลัพธ์ที่ Tarski ได้รับโดยการรวมทฤษฎีบทของเกอเดลในเรื่องความไม่แน่นอนเข้ากับทฤษฎีความจริงของเขาเอง ซึ่งไม่สามารถมีเกณฑ์สากลของความจริงได้แม้จะค่อนข้างแคบก็ตาม สาขาทฤษฎีจำนวน ดังนั้นสำหรับวิทยาศาสตร์ใดๆ ที่ใช้เลขคณิต โดยธรรมชาติแล้ว ผลลัพธ์นี้ใช้ fortiori กับแนวคิดเรื่องความจริงในสาขาความรู้ที่ไม่ใช่คณิตศาสตร์ซึ่งมีการใช้เลขคณิตกันอย่างแพร่หลาย

คาร์ล ป๊อปเปอร์

Uspensky Vladimir Andreevich เกิดเมื่อวันที่ 27 พฤศจิกายน พ.ศ. 2473 ที่กรุงมอสโก สำเร็จการศึกษาจากคณะกลศาสตร์และคณิตศาสตร์ของมหาวิทยาลัยแห่งรัฐมอสโก (2495) วิทยาศาสตรดุษฎีบัณฑิต สาขากายภาพและคณิตศาสตร์ (2507) ศาสตราจารย์ หัวหน้าภาควิชาตรรกศาสตร์คณิตศาสตร์และทฤษฎีอัลกอริทึม คณะกลศาสตร์และคณิตศาสตร์ (2509) ให้หลักสูตรการบรรยาย "ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับตรรกะทางคณิตศาสตร์", "ฟังก์ชันการคำนวณ", "ทฤษฎีบทของเกอเดลเรื่องความสมบูรณ์" เตรียมผู้สมัคร 25 คน และแพทย์ศาสตร์ 2 คน

1. คำชี้แจงของปัญหา

ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ซึ่งเป็นสูตรที่แน่นอนซึ่งเราจะให้ในตอนท้ายของบทนี้ และบางทีในภายหลัง (หากผู้อ่านสนใจในเรื่องนี้) และการพิสูจน์ ระบุไว้โดยประมาณต่อไปนี้: ภายใต้เงื่อนไขบางประการในภาษาใด ๆ ก็ตามที่เป็นจริง แต่ ข้อความที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้

เมื่อเรากำหนดทฤษฎีบทด้วยวิธีนี้ เกือบทุกคำต้องมีคำอธิบายบางอย่าง เราจึงขอเริ่มด้วยการอธิบายความหมายของคำที่เราใช้ในสูตรนี้

1.1. ภาษา

เราจะไม่ให้คำจำกัดความทั่วไปของภาษาที่เป็นไปได้ โดยเลือกที่จะจำกัดตัวเองอยู่แค่แนวคิดทางภาษาที่เราจะต้องใช้ในภายหลัง มีสองแนวคิดดังกล่าว: "ตัวอักษรของภาษา" และ "ชุดข้อความที่แท้จริงของภาษา"

1.1.1. ตัวอักษร

ตามตัวอักษรเราหมายถึงชุดสัญญาณเบื้องต้นที่มีขอบเขตจำกัด (นั่นคือสิ่งต่างๆ ที่ไม่สามารถแยกย่อยออกเป็นส่วนต่างๆ ได้) สัญญาณเหล่านี้เรียกว่าตัวอักษรของตัวอักษร เมื่อใช้คำในตัวอักษร เราหมายถึงลำดับตัวอักษรที่มีขอบเขตจำกัด ตัวอย่างเช่น คำธรรมดาในภาษาอังกฤษ (รวมถึงชื่อเฉพาะ) คือคำที่ประกอบด้วยตัวอักษร 54 ตัว (ตัวอักษรเล็ก 26 ตัว ตัวพิมพ์ใหญ่ 26 ตัว ขีดกลาง และเครื่องหมายอะพอสทรอฟี) อีกตัวอย่างหนึ่งคือตัวเลขธรรมชาติในรูปแบบทศนิยมคือคำที่มีตัวอักษร 10 ตัวซึ่งมีตัวอักษรเป็นเครื่องหมาย: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 เราจะใช้เพื่อแสดงตัวอักษร ตัวพิมพ์ใหญ่ธรรมดา ถ้า L เป็นตัวอักษร แล้ว L? จะแสดงชุดของคำทั้งหมดของตัวอักษร L - คำที่เกิดจากตัวอักษร เราจะถือว่าภาษาใดๆ มีตัวอักษรของตัวเอง ดังนั้น สำนวนทั้งหมดของภาษานี้ (เช่น ชื่อของวัตถุต่างๆ ข้อความเกี่ยวกับวัตถุเหล่านี้ ฯลฯ) จึงเป็นคำของตัวอักษรนี้ เช่น ข้อเสนอใดๆ เป็นภาษาอังกฤษเช่นเดียวกับข้อความใด ๆ ที่เขียนเป็นภาษาอังกฤษถือได้ว่าเป็นคำของตัวอักษรขยายจำนวน 54 ตัวอักษรซึ่งรวมถึงเครื่องหมายวรรคตอน การเว้นวรรคคำแทรก เครื่องหมายเส้นสีแดง และอาจเป็นสัญญาณที่มีประโยชน์อื่น ๆ สมมติว่าสำนวนของภาษาเป็นคำของตัวอักษรบางตัว เราจึงแยกสำนวน "หลายชั้น" เช่น ???f(x)dx ออกจากการพิจารณา อย่างไรก็ตาม ข้อจำกัดนี้ไม่สำคัญมากนัก เนื่องจากนิพจน์ใดๆ ดังกล่าวสามารถ "ขยาย" เป็นรูปแบบเชิงเส้นได้โดยใช้หลักเกณฑ์ที่เหมาะสม มีเซต M ใดบ้างที่อยู่ใน L? เรียกว่าชุดคำของตัวอักษร L ถ้าเราบอกว่า M เป็นชุดคำ เราก็หมายความว่าเป็นคำของตัวอักษรบางตัว ในปัจจุบัน ข้อสันนิษฐานข้างต้นเกี่ยวกับภาษาสามารถเรียบเรียงใหม่ได้ดังนี้ ในภาษาใดๆ ชุดของสำนวนใดๆ ก็คือชุดคำ

1.1.2. ข้อความจริงมากมาย

เราถือว่าเราได้รับเซตย่อย T ของเซต L? (โดยที่ L คือตัวอักษรของบางภาษาที่เรากำลังพิจารณา) ซึ่งเรียกว่าชุดของ "ข้อความที่เป็นจริง" (หรือเรียกง่ายๆ ว่า "ความจริง") เมื่อย้ายไปยังเซตย่อย T โดยตรงเราละเว้นขั้นตอนการใช้เหตุผลขั้นกลางต่อไปนี้: ขั้นแรกคำใดของตัวอักษร L ที่สร้างการแสดงออกของภาษาอย่างถูกต้องนั่นคือมีความหมายบางอย่างในการตีความภาษานี้ของเรา (เช่น 2 + 3, x + 3, x=y, x=3, 2=3, 2=2 เป็นนิพจน์ที่มีรูปแบบถูกต้อง ในขณะที่นิพจน์เช่น +=x ไม่ใช่) ประการที่สองนิพจน์ใดเป็นสูตร ได้แก่ อาจขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ (เช่น x=3, x=y, 2=3, 2=2) ประการที่สามสูตรใดเป็นสูตรปิด ได้แก่ ข้อความที่ไม่ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ (เช่น 2=3, 2=2) และสุดท้าย สูตรปิดใดที่เป็นข้อความจริง (เช่น 2=2)

1.1.3. คู่ภาษาพื้นฐาน

1.2. "พิสูจน์ไม่ได้"

“พิสูจน์ไม่ได้” แปลว่า ไม่มีหลักฐาน

1.3. การพิสูจน์

แม้ว่าคำว่า "การพิสูจน์" อาจเป็นหนึ่งในคำที่สำคัญที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์ (Bourbakis เริ่มต้นหนังสือ "รากฐานของคณิตศาสตร์" ด้วยคำว่า "ตั้งแต่สมัยกรีกโบราณ การพูดว่า 'คณิตศาสตร์' มีความหมายเหมือนกับ พูดว่า 'พิสูจน์'") แต่ไม่มีคำจำกัดความที่แน่นอนในตัวเอง โดยทั่วไป แนวคิดของการพิสูจน์ที่มีสาขาความหมายทั้งหมดเป็นของสาขาจิตวิทยามากกว่าคณิตศาสตร์ แต่อย่างไรก็ตาม การพิสูจน์เป็นเพียงข้อโต้แย้งที่เราพบว่าค่อนข้างน่าเชื่อเพื่อที่จะโน้มน้าวผู้อื่น

เมื่อเขียนลงไปแล้ว การพิสูจน์จะกลายเป็นคำในตัวอักษร P เหมือนกับตัวอักษรอื่นๆ ข้อความภาษาอังกฤษเป็นคำของตัวอักษร L ตัวอย่างที่ให้ไว้ข้างต้น เซตของการพิสูจน์ทั้งหมดเป็นเซตย่อย (และเซตย่อยที่ค่อนข้างครอบคลุม) ของเซต P? เราจะไม่พยายามให้คำจำกัดความที่ชัดเจนของแนวคิดของการพิสูจน์แบบ "ไร้เดียงสา" และ "สัมบูรณ์" ไปพร้อมๆ กัน หรือสิ่งที่เทียบเท่ากันคือเพื่อให้คำจำกัดความของเซตย่อยที่สอดคล้องกันของ P? แต่เราจะพิจารณาอะนาล็อกที่เป็นทางการของแนวคิดที่คลุมเครือนี้ ซึ่งในอนาคตเราจะยังคงใช้คำว่า "การพิสูจน์" อะนาล็อกนี้มีคุณสมบัติที่สำคัญมากสองประการที่แยกความแตกต่างจากแนวคิดที่ใช้งานง่าย (แม้ว่าแนวคิดในการพิสูจน์ที่ใช้งานง่ายยังคงสะท้อนถึงคุณสมบัติเหล่านี้บ้าง) ก่อนอื่น เรายอมรับว่ามีแนวคิดในการพิสูจน์ที่แตกต่างกัน กล่าวคือ ชุดย่อยของการพิสูจน์ใน P? เป็นที่ยอมรับได้ และยิ่งกว่านั้น ที่จริงแล้ว เราจะยอมรับว่าตัวอักษรของการพิสูจน์ P เองก็สามารถเปลี่ยนแปลงได้ . เราต้องการเพิ่มเติมว่าสำหรับแต่ละแนวคิดของการพิสูจน์นั้นจะต้องมีวิธีการที่มีประสิทธิภาพ กล่าวคือ อัลกอริธึม ซึ่งจำเป็นต้องกำหนดว่าคำที่กำหนดในตัวอักษร P เป็นการพิสูจน์หรือไม่ นอกจากนี้เรายังจะถือว่ามีอัลกอริธึมที่สามารถระบุคำสั่งที่พิสูจน์ได้เสมอ (ในหลาย ๆ สถานการณ์ ข้อความที่ได้รับการพิสูจน์เป็นเพียงข้อความสุดท้ายในลำดับขั้นตอนที่ประกอบขึ้นเป็นข้อพิสูจน์)

ดังนั้น คำจำกัดความสุดท้ายของเราจึงเป็นดังนี้:

(1) เรามีตัวอักษร L (ตัวอักษรภาษา) และตัวอักษร P (ตัวอักษรพิสูจน์)

(2) เราได้รับเซต P ซึ่งเป็นสับเซตของ P? และมีองค์ประกอบที่เรียกว่า “การพิสูจน์” ในอนาคต เราจะถือว่าเรายังมีอัลกอริธึมที่ช่วยให้เราสามารถกำหนดได้ว่าคำที่กำหนดเองของตัวอักษร P เป็นองค์ประกอบของเซต P หรือไม่ นั่นคือการพิสูจน์หรือไม่

(3) เรามีฟังก์ชันด้วยหรือไม่? (เพื่อค้นหาสิ่งที่พิสูจน์แล้วอย่างแน่นอน) ขอบเขตของใคร? เป็นไปตามเงื่อนไข P???P? และมีช่วงของค่าอยู่ใน P? เราถือว่าเรามีอัลกอริทึมที่คำนวณฟังก์ชันนี้ ( ค่าที่แน่นอนคำว่า "อัลกอริทึมคำนวณฟังก์ชัน" มีดังนี้: ค่าของฟังก์ชันได้มาโดยใช้อัลกอริทึมนี้ - ชุดของกฎการแปลงพิเศษ) เราจะบอกว่าธาตุ p? P เป็นการพิสูจน์คำว่า?(p) ของตัวอักษร L

ทรอยก้า<Р, Р, ?>เงื่อนไขที่เป็นไปตาม (1)-(3) เรียกว่าระบบนิรนัยเหนือตัวอักษร L

สำหรับผู้อ่านที่คุ้นเคยกับวิธีปกติในการกำหนด "การพิสูจน์" ในแง่ของ "สัจพจน์" และ "กฎการอนุมาน" ตอนนี้เราจะอธิบายว่าวิธีนี้ถือเป็นกรณีพิเศษของคำจำกัดความที่ให้ไว้ในส่วนที่ 1.3.2 ได้อย่างไร นั่นคือ การพิสูจน์มักจะถูกกำหนดให้เป็นลำดับของการแสดงออกทางภาษาดังกล่าว ซึ่งแต่ละลำดับอาจเป็นสัจพจน์หรือได้รับก่อนหน้านี้จากข้อความที่มีอยู่แล้วโดยใช้กฎการอนุมานข้อใดข้อหนึ่ง หากเราเพิ่มคำใหม่ * ลงในตัวอักษรของภาษาของเรา เราก็สามารถเขียนการพิสูจน์ดังกล่าวในรูปแบบของคำที่ประกอบด้วยผลลัพธ์จากการดัดแปลงตัวอักษร: ลำดับของนิพจน์จะกลายเป็นคำว่า C1*C2*...*Cn . ในกรณีนี้ ฟังก์ชันที่กำหนดสิ่งที่ได้รับการพิสูจน์แล้วนั้นมีความหมายในส่วนของคำนี้ต่อจากตัวอักษรตัวสุดท้าย * ในลำดับ อัลกอริทึมที่จำเป็นต้องมีอยู่ในส่วนที่ 1.3.2 คำจำกัดความ สามารถสร้างได้อย่างง่ายดายเมื่อเราได้กำหนดความหมายที่ยอมรับของคำว่า "สัจพจน์" และ "กฎของการอนุมาน" อย่างแม่นยำ

1.4 ความพยายามที่จะกำหนดทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์อย่างแม่นยำ

1.4.1. ครั้งแรกลอง

"ภายใต้เงื่อนไขบางประการสำหรับคู่พื้นฐานของภาษาตัวอักษร L และระบบนิรนัย<Р, Р, ?>ส่วน L - มักจะมีคำใน T ที่ไม่มีข้อพิสูจน์เสมอ" ตัวเลือกนี้ยังดูคลุมเครือ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราสามารถคิดระบบนิรนัยจำนวนเท่าใดก็ได้ที่มีคำพิสูจน์ได้น้อยมาก เช่น ในนิรนัยว่างเปล่า ระบบ (โดยที่ P = ?) ไม่มีคำพูดใดที่มีหลักฐานเลย

1.4.2. ลองครั้งที่สอง

มีอีกวิธีที่เป็นธรรมชาติมากกว่า สมมติว่าเราได้รับภาษา - ในแง่ที่ว่าเราได้รับคู่พื้นฐานของภาษานี้ ตอนนี้เราจะมองหาระบบนิรนัยเหนือ L (โดยสัญชาตญาณ เรากำลังมองหาเทคนิคการพิสูจน์) ด้วยความช่วยเหลือซึ่งเราสามารถพิสูจน์ได้มากที่สุด คำเพิ่มเติมจาก T ในขีดจำกัด ทุกคำจากทฤษฎีบทของ T. Gödel อธิบายถึงสถานการณ์ที่ไม่มีระบบนิรนัย (โดยที่ทุกคำใน T พิสูจน์ได้) ไม่มีอยู่จริง ดังนั้นเราจึงขอสรุปข้อความดังนี้

"ภายใต้เงื่อนไขบางประการเกี่ยวกับคู่พื้นฐาน ไม่มีระบบนิรนัยที่ทุกคำจาก T มีการพิสูจน์"

อย่างไรก็ตาม ข้อความดังกล่าวเป็นเท็จอย่างเห็นได้ชัด เนื่องจากจำเป็นต้องใช้ระบบนิรนัยเท่านั้น โดยที่ P = L, P = P? u?(p) = p สำหรับ p ทั้งหมดจาก P?; แล้วแต่ละคำจาก L? สามารถพิสูจน์ได้เล็กน้อย ดังนั้นเราจึงต้องยอมรับข้อจำกัดบางประการเกี่ยวกับระบบนิรนัยที่เราใช้

1.5. ความสม่ำเสมอ

ค่อนข้างจะเป็นเรื่องธรรมดาที่จะเรียกร้องให้พิสูจน์ได้ว่ามีเพียง "ข้อความที่แท้จริง" เท่านั้น ซึ่งก็คือคำพูดจาก T เท่านั้นที่สามารถพิสูจน์ได้ เราจะบอกว่าระบบนิรนัย<Р, Р, ?>สอดคล้องกับคู่พื้นฐาน if?(P)?T. ในการอภิปรายต่อๆ ไปทั้งหมด เราจะสนใจเฉพาะระบบนิรนัยที่สอดคล้องกันเท่านั้น หากเราได้รับภาษา คงจะดึงดูดใจอย่างยิ่งที่จะค้นหาระบบนิรนัยที่สอดคล้องกันซึ่งทุกข้อความที่แท้จริงจะต้องมีการพิสูจน์ ทฤษฎีบทของเกอเดลฉบับที่เราสนใจระบุไว้อย่างชัดเจนว่าภายใต้เงื่อนไขบางประการเกี่ยวกับคู่พื้นฐาน เป็นไปไม่ได้ที่จะหาระบบนิรนัยเช่นนั้น

1.6. ความสมบูรณ์

ว่ากันว่าระบบนิรนัย<Р,Р,?>เสร็จสมบูรณ์ด้วยความเคารพต่อคู่พื้นฐาน โดยมีเงื่อนไขว่า?(P)?T. จากนั้น การกำหนดทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเรามีรูปแบบดังนี้:

ภายใต้เงื่อนไขบางประการเกี่ยวกับคู่พื้นฐาน ไม่มีระบบนิรนัยดังกล่าว<Р,Р,?>ส่วน L ซึ่งจะสมบูรณ์และค่อนข้างสม่ำเสมอ

บรรณานุกรม

เพื่อเตรียมงานนี้ มีการใช้วัสดุจากเว็บไซต์ http://filosof.historic.ru

ฉันยอมรับว่าฉันอ่านแนวคิดในการพิจารณาคำถามเกี่ยวกับการดำรงอยู่ของพระเจ้าจากด้านนี้จาก Anatoly Aleksandrovich Wasserman:
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D0%B9_%D0%90%D0 %BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87_%D0%92 %D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%B0%D0%BD#.D0.A0.D0.B5.D0.BB.D0.B8. D0.B3.D0.B8.D0.BE.D0.B7.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D0.B2.D0.B7.D0.B3.D0.BB.D1.8F.D0. B4.D1.8B

แต่ฉันอยากจะพัฒนาแนวคิดนี้และอธิบายรายละเอียดเพิ่มเติมอีกเล็กน้อย
ในศาสนา (เช่นเดียวกับในศาสนา) มีสัจพจน์บางประการของการก่อสร้าง อย่างน้อยก็ในกรณีในอุดมคติ หากนี่ไม่ใช่แค่ความเชื่อที่ไร้เหตุผล แต่เป็นทางเลือกที่มีสติและมีข้อมูลครบถ้วน ตัวอย่างเช่น สัจพจน์ของฟิสิกส์ถือได้ว่าเป็น "ธรรมชาติสามารถรู้ได้ด้วยเหตุผลและข้อสรุปเชิงตรรกะ กฎของฟิสิกส์ทุกข้อเหมือนกันทุกจุดในอวกาศและทุกเวลา" ตัวอย่างเช่น สัจพจน์ของศาสนาถือได้ว่าเป็นข้อความที่ว่า "พระเจ้าทรงดำรงอยู่และเป็นสาเหตุแรกของทุกสิ่ง" กล่าวอีกนัยหนึ่ง ไม่ต้องสงสัยเลยว่ารายละเอียดและสาขาต่างๆ มากมายสามารถลดลงเหลือเพียงข้อความที่สำคัญและพิสูจน์ไม่ได้หลายประการ ซึ่งเป็นสัจพจน์เหล่านั้น

ลองพิจารณาจากตำแหน่งเหล่านี้ ความเชื่อทางศาสนา- สัจพจน์ที่สำคัญที่สุดของศาสนา: “พระเจ้าดำรงอยู่และเป็นต้นเหตุแรกของทุกสิ่ง”
ตอนนี้ เรามาจำทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ที่สำคัญที่สุดทฤษฎีหนึ่งกัน นั่นคือทฤษฎีบทของโกเดล
http://elementy.ru/trefil/21142
ทฤษฎีบทของ Weak Gödel: "ระบบสัจพจน์ที่เป็นทางการใดๆ มีข้อสันนิษฐานที่ยังไม่ได้รับการแก้ไข" หรือ "หากระบบสัจพจน์เสร็จสมบูรณ์ ระบบจะไม่สอดคล้องกัน"
ทฤษฎีบทอันแข็งแกร่งของโกเดล: "ความสมบูรณ์เชิงตรรกะ (หรือความไม่สมบูรณ์) ของระบบสัจพจน์ใดๆ ไม่สามารถพิสูจน์ได้ภายในกรอบของระบบนี้ ในการพิสูจน์หรือหักล้างสัจพจน์นั้น จำเป็นต้องมีสัจพจน์เพิ่มเติม (เสริมสร้างความเข้มแข็งของระบบ)"

จำคำจำกัดความบางอย่างกัน ระบบสัจพจน์จะสมบูรณ์หากข้อความใดๆ ที่สร้างขึ้นสำหรับระบบสัจพจน์ที่กำหนดสามารถพิสูจน์ได้ (นั่นคือ เป็นจริงหรือเท็จ) สมมติฐานที่ไม่ได้รับการแก้ไขคือข้อความที่ไม่สามารถพิสูจน์ความจริงและความเท็จได้ นั่นคือข้อความนั้นไม่สามารถพิสูจน์ได้ในเชิงตรรกะ ระบบสัจพจน์จะขัดแย้งกันหากข้อความหนึ่งและข้อความเดียวกันสามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นจริงและเท็จ

จากทฤษฎีบทของเกอเดล ตามมาว่าหากแนวคิดเรื่องพระเจ้ารวมอยู่ในระบบสัจพจน์ ระบบนี้ก็ไม่สมบูรณ์ กล่าวคือ มีผลที่ตามมา (ปรากฏการณ์) ที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้ กล่าวคือ อาจมีหรือไม่มีก็ได้ สิ่งนี้ ไม่สามารถพิสูจน์ได้
แต่สิ่งนี้ขัดแย้งกับข้อกำหนดสองข้อต่อไปนี้ (เลือกข้อใดน่าเชื่อถือที่สุด): ธรรมชาติไม่มีปรากฏการณ์ที่ถือได้ว่ามีอยู่และไม่มีอยู่จริง; ตำแหน่งที่สองกล่าวว่า ตามคำนิยาม พระเจ้าคือต้นเหตุของทุกสิ่ง ดังนั้นพระเจ้าจึงนำไปสู่การดำรงอยู่ของบางสิ่ง (ข้อความ) หรือไม่มีอยู่จริง การอ้างถึงพระเจ้าสามารถพิสูจน์หรือหักล้างข้อความใดๆ ก็ได้ สิ่งนี้ขัดแย้งกับความไม่สมบูรณ์ของระบบ

หรืออย่างอื่น. หากเรารวมแนวคิดของพระเจ้าไว้ในระบบสัจพจน์และถือว่ามันสมบูรณ์ (ข้อความใด ๆ ในระบบสัจพจน์ที่สมบูรณ์สามารถพิสูจน์ได้) ดังนั้นตามทฤษฎีบทของเกอเดล ระบบสัจพจน์ดังกล่าวจะขัดแย้งกัน กล่าวคือ จะมีปรากฏการณ์เกิดขึ้น ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ว่าทั้งสองมีอยู่และไม่มีอยู่จริง

ไม่มีประโยชน์ที่จะรวมพระเจ้าไว้ในระบบสัจพจน์ที่ขัดแย้งกัน เนื่องจากมันขัดแย้งกัน กล่าวคือ มีปรากฏการณ์ที่สามารถพิสูจน์ได้ว่ามีอยู่จริงและไม่มีอยู่จริง ซึ่งตามที่ระบุไว้นั้นขัดแย้งกับธรรมชาติและแนวความคิดของพระเจ้า

ท้ายที่สุด หากแนวคิดเรื่องพระเจ้าไม่รวมอยู่ในระบบสัจพจน์ ก็ไม่สามารถพิจารณาเป็นพื้นฐานพื้นฐานของจักรวาลได้ ซึ่งทุกสิ่งที่มีอยู่ตามมา ซึ่งขัดแย้งกับคำจำกัดความของพระเจ้าโดยสำคัญ

เพื่อความถูกต้องของการพิสูจน์นี้ จำเป็นต้องยอมรับความถูกต้องของกฎของตรรกะทางคณิตศาสตร์ (ตรรกะเชิงประพจน์ + แคลคูลัสภาคแสดง) ซึ่งทำให้สามารถสร้างกฎแห่งผลที่ตามมา ความจริง ความเท็จ ความไม่สอดคล้องกัน ความสอดคล้องของข้อความและอื่น ๆ ได้ คุณสมบัติและความสัมพันธ์ระหว่างข้อความ

หากเราถือว่าตรรกะทางคณิตศาสตร์ไม่สามารถใช้ได้กับการศึกษาคำถามเกี่ยวกับการดำรงอยู่ของพระเจ้า ผลที่ตามมาก็คือเป็นไปไม่ได้ที่จะศึกษาคำถามนี้โดยใช้เหตุผลโดยใช้เหตุผล กล่าวอีกนัยหนึ่ง เหตุผลที่สม่ำเสมอมักมาพร้อมกับคำตอบเชิงลบสำหรับคำถามเกี่ยวกับการดำรงอยู่ของพระเจ้าเสมอ

จะเกิดอะไรขึ้นในท้ายที่สุด... แน่นอนว่าแม้แต่บุคคลที่มีเหตุผลที่อยู่ห่างไกลก็ตระหนักถึงความถูกต้องของกฎแห่งตรรกะซึ่งหมายความว่าเขามักจะสรุปได้ว่าพระเจ้าในคำจำกัดความของ "สาเหตุของทุกสิ่ง" ไม่มีอยู่จริง . แน่นอนว่าบุคคลที่ไร้เหตุผลซึ่งอ้างว่าพระเจ้าสามารถรับรู้ได้ผ่านความรู้สึกเท่านั้น (ไม่ใช่เหตุผล) สามารถพูดเช่นนั้นได้ แต่ไม่มีทางที่จะโน้มน้าวความรู้สึกอื่นใดให้เชื่อได้ นอกจากนี้ แนวคิดเรื่องพระเจ้ายังเป็นแนวคิดที่ถูกสร้างขึ้นด้วยเหตุผล การเสนอให้แปลแนวคิดเรื่องเหตุผลเป็นความรู้สึกอย่างไรและแม้แต่ในลักษณะที่สามารถสื่อถึงบุคคลอื่นได้ก็ไม่ชัดเจน ขอย้ำอีกครั้งว่าแม้แต่คนที่มีเหตุผลก็ยังบอกว่ามันเป็นไปไม่ได้: แปลแนวคิดนามธรรมของเหตุผลเป็นความรู้สึกและรู้สึก

ท้ายที่สุด มีอีกทางเลือกหนึ่ง: “พระเจ้าไม่ใช่ต้นเหตุของทุกสิ่ง” ดังนั้นความขัดแย้งดังกล่าวจะไม่เกิดขึ้น อย่างไรก็ตาม นี่เป็นการบั่นทอนจุดยืนของศาสนาอย่างมีนัยสำคัญ เนื่องจากเป็นความจริงที่ว่าพระเจ้าทรงสร้างทุกสิ่งอย่างแม่นยำ พระเจ้าเป็นจุดเริ่มต้นของการเริ่มต้นทั้งหมด นั่นคือรากฐานสำหรับข้อความมากมายของศาสนาและ เหตุผลในข้อพิพาท

ป.ล. เป็นที่น่าสังเกตอีกสิ่งหนึ่งที่น่าสนใจสำหรับนักฟิสิกส์ ใน คำจำกัดความนี้พระเจ้าไม่ตรัสสิ่งใดเกี่ยวกับความมีเหตุผลของพระองค์ นั่นคือเราสามารถเสริมว่า “พระเจ้าทรงเป็นเหตุแห่งสรรพสิ่ง” แต่นี่เป็นคำจำกัดความที่แคบลง ซึ่งไม่จำเป็นสำหรับการพิสูจน์ในตอนแรก หากไม่มีสติปัญญา แนวคิดเรื่อง "พระเจ้า" ก็ถูกแทนที่ด้วย "ความเป็นเอกเทศและ" ได้อย่างง่ายดาย บิ๊กแบง- สาเหตุของทุกสิ่งที่มีอยู่" และคำตอบก็จะเหมือนเดิม: ภาวะเอกฐานและบิ๊กแบงไม่ใช่ต้นเหตุของทุกสิ่งที่มีอยู่
การดำเนินการที่เป็นนามธรรมยิ่งกว่านั้น เราสามารถพูดได้ว่าไม่ใช่ปรากฏการณ์หรือสาเหตุเดียวที่สามารถเป็นสาเหตุที่แท้จริงของทุกสิ่งได้ นั่นคือ สาเหตุที่แท้จริงไม่มีอยู่ในหลักการ การใช้เหตุผลภายในกรอบของสัจพจน์ใด ๆ เราสามารถสรุปได้ว่าต้นตอของทุกสิ่งไม่มีอยู่จริง พูดง่ายๆ ก็คือ ไม่ว่าเราจะเข้าใจจักรวาลโดยพื้นฐานแค่ไหน คำถามก็จะยังคงอยู่ในจิตวิญญาณของ: “บิ๊กแบงมาจากไหน เอกภาวะมาจากไหน จักรวาลที่เต้นรัวมาจากไหน มาจากไหน ลิขสิทธิ์มาจากเหตุใดจักรวาลจึงมีอยู่เสมอ” และอื่น ๆ สาเหตุของทุกสิ่งไม่สามารถพบได้ในหลักการ ไม่มีอยู่ในวัตถุ ปรากฏการณ์ หรือแนวคิดใดๆ ดังนั้นสำหรับบุคคลแล้ว สิ่งนี้ก็เท่ากับไม่มีตัวตนอยู่ ตามทฤษฎี เราสามารถสันนิษฐานได้ว่ามีคนสังเกตการณ์ภายนอกอยู่นอกเอกภพของเรา ซึ่งจะตอบคำถามว่าทุกสิ่งมาจากไหน (สัจพจน์เพิ่มเติมเดียวกันนั้น ซึ่งเป็นส่วนขยายในทฤษฎีบทของโกเดล) แต่แล้วคำถามก็จะเกิดขึ้นเมื่อผู้สังเกตการณ์ภายนอก ผู้สังเกตการณ์ของเขา จักรวาลและต้นตอของเรื่องทั้งหมดนี้มาจาก

ระบบสัจพจน์ทางคณิตศาสตร์ใดๆ ที่เริ่มต้นจากความซับซ้อนระดับหนึ่ง อาจขัดแย้งภายในหรือไม่สมบูรณ์

ในปี 1900 การประชุม World Conference of Mathematicians จัดขึ้นที่ปารีส ซึ่ง David Hilbert (1862-1943) นำเสนอในรูปแบบของวิทยานิพนธ์ที่สำคัญที่สุด 23 ข้อในความเห็นของเขา ปัญหาที่นักทฤษฎีแห่งศตวรรษที่ 20 ที่กำลังจะมาถึงต้องแก้ไข หมายเลขสองในรายการของเขาคือหนึ่งในนั้น งานง่ายๆคำตอบที่ดูเหมือนชัดเจนจนกว่าคุณจะเจาะลึกลงไปอีกเล็กน้อย การพูด ภาษาสมัยใหม่มันเป็นคำถาม: คณิตศาสตร์สามารถพึ่งตนเองได้หรือไม่? ภารกิจที่สองของฮิลเบิร์ตคือความต้องการพิสูจน์ระบบอย่างเคร่งครัด สัจพจน์- ข้อความพื้นฐานที่ใช้เป็นพื้นฐานในวิชาคณิตศาสตร์โดยไม่มีการพิสูจน์ - สมบูรณ์แบบและสมบูรณ์นั่นคือช่วยให้สามารถอธิบายทุกสิ่งที่มีอยู่ทางคณิตศาสตร์ได้ จำเป็นต้องพิสูจน์ว่ามีความเป็นไปได้ที่จะกำหนดระบบสัจพจน์ว่าประการแรกพวกเขาจะสอดคล้องกันและประการที่สองจากพวกเขาสามารถสรุปข้อสรุปเกี่ยวกับความจริงหรือความเท็จของข้อความใด ๆ

ลองยกตัวอย่างจากเรขาคณิตของโรงเรียน มาตรฐาน ระนาบแบบยุคลิด(เรขาคณิตระนาบ) เราสามารถพิสูจน์ได้อย่างไม่มีเงื่อนไขว่าข้อความ “ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ 180°” เป็นจริง และข้อความ “ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมเท่ากับ 137°” เป็นเท็จ โดยพื้นฐานแล้ว หากพูดในเรขาคณิตแบบยุคลิด ข้อความใดๆ จะเป็นเท็จหรือจริง และไม่มีทางเลือกที่สาม และในตอนต้นของศตวรรษที่ 20 นักคณิตศาสตร์เชื่ออย่างไร้เดียงสาว่าควรสังเกตสถานการณ์เดียวกันนี้ในระบบที่มีความสอดคล้องเชิงตรรกะ

จากนั้นในปี 1931 เคิร์ต โกเดล นักคณิตศาสตร์สวมแว่นชาวเวียนนาก็หยิบมันขึ้นมาและตีพิมพ์ บทความสั้น ๆซึ่งพลิกคว่ำโลกทั้งใบของสิ่งที่เรียกว่า "ตรรกะทางคณิตศาสตร์" หลังจากคำนำทางคณิตศาสตร์และทฤษฎีที่ซับซ้อนและยาวนาน เขาได้กำหนดสิ่งต่อไปนี้อย่างแท้จริง ลองใช้ข้อความเช่น: “ข้อสันนิษฐานหมายเลข 247 ในระบบสัจพจน์นี้พิสูจน์ไม่ได้ในเชิงตรรกะ” และเรียกมันว่า “ข้อความ A” ดังนั้น Gödel จึงพิสูจน์สิ่งต่อไปนี้ คุณสมบัติที่น่าทึ่ง ใดๆระบบสัจพจน์:

“ถ้าคุณสามารถพิสูจน์คำสั่ง A ได้ คุณก็จะสามารถพิสูจน์คำสั่งที่ไม่ใช่ A ได้”

กล่าวอีกนัยหนึ่ง หากสามารถพิสูจน์ความถูกต้องของข้อความ “สมมติฐาน 247 ได้” ไม่ พิสูจน์ได้" จึงจะสามารถพิสูจน์ความถูกต้องของข้อความ "สมมติฐาน 247 ได้" พิสูจน์ได้- นั่นคือการกลับไปสู่การกำหนดปัญหาที่สองของฮิลเบิร์ตหากระบบสัจพจน์สมบูรณ์ (นั่นคือข้อความใด ๆ ในนั้นสามารถพิสูจน์ได้) ก็แสดงว่าขัดแย้งกัน

วิธีเดียวที่จะออกจากสถานการณ์นี้คือการยอมรับ ระบบไม่สมบูรณ์สัจพจน์ นั่นคือเราต้องทนกับความจริงที่ว่าในบริบทของระบบตรรกะใด ๆ เราจะยังคงมีข้อความ "ประเภท A" ที่ชัดเจนว่าจริงหรือเท็จ - และเราสามารถตัดสินได้เพียงความจริงเท่านั้น ข้างนอกกรอบของสัจพจน์ที่เรานำมาใช้ หากไม่มีข้อความดังกล่าว สัจพจน์ของเราขัดแย้งกัน และภายในกรอบของมันจะมีสูตรที่สามารถพิสูจน์และหักล้างได้อย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้

ดังนั้นถ้อยคำ อันดับแรก,หรือ อ่อนแอ ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดล: “ระบบสัจพจน์ที่เป็นทางการใดๆ มีข้อสันนิษฐานที่ยังไม่ได้รับการแก้ไข” แต่โกเดลไม่ได้หยุดเพียงแค่นั้น คิดค้นและพิสูจน์ ที่สอง,หรือ แข็งแกร่ง ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดล: “ความสมบูรณ์เชิงตรรกะ (หรือความไม่สมบูรณ์) ของระบบสัจพจน์ใดๆ ไม่สามารถพิสูจน์ได้ภายในกรอบของระบบนี้ เพื่อพิสูจน์หรือหักล้างมัน จำเป็นต้องมีสัจพจน์เพิ่มเติม (เสริมสร้างความเข้มแข็งของระบบ)”

มันจะปลอดภัยกว่าถ้าคิดว่าทฤษฎีบทของGödelมีลักษณะเป็นนามธรรมและไม่เกี่ยวข้องกับเรา แต่เป็นเพียงพื้นที่ของตรรกะทางคณิตศาสตร์ที่ยอดเยี่ยมเท่านั้น แต่ในความเป็นจริงกลับกลายเป็นว่าพวกมันเกี่ยวข้องโดยตรงกับโครงสร้างของสมองมนุษย์ โรเจอร์ เพนโรส นักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ชาวอังกฤษ (เกิดปี 1931) แสดงให้เห็นว่าทฤษฎีบทของเกอเดลสามารถใช้เพื่อพิสูจน์การมีอยู่ของความแตกต่างพื้นฐานระหว่างสมองมนุษย์และคอมพิวเตอร์ ความหมายของเหตุผลของเขานั้นเรียบง่าย คอมพิวเตอร์ดำเนินการตามหลักตรรกะอย่างเคร่งครัดและไม่สามารถระบุได้ว่าข้อความ A เป็นจริงหรือเท็จหากข้อความนั้นนอกเหนือไปจากสัจพจน์ และข้อความดังกล่าวตามทฤษฎีบทของ Gödel ก็มีอยู่อย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ บุคคลที่ต้องเผชิญกับข้อความ A ที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้และหักล้างไม่ได้ในเชิงตรรกะนั้นสามารถระบุความจริงหรือความเท็จได้ตลอดเวลาโดยอาศัยประสบการณ์ในชีวิตประจำวัน อย่างน้อยที่สุดในแง่นี้ สมองของมนุษย์ก็เหนือกว่าคอมพิวเตอร์ที่ถูกจำกัดโดยวงจรตรรกะล้วนๆ สมองของมนุษย์สามารถเข้าใจความจริงอันลึกซึ้งที่มีอยู่ในทฤษฎีบทของโกเดลได้ แต่สมองของคอมพิวเตอร์ไม่เคยสามารถทำได้ ดังนั้นสมองของมนุษย์จึงเป็นอะไรก็ได้นอกจากคอมพิวเตอร์ เขามีความสามารถ การตัดสินใจและการทดสอบทัวริงจะผ่าน

ฉันสงสัยว่าฮิลเบิร์ตรู้ไหมว่าคำถามของเขาจะพาเราไปได้ไกลแค่ไหน?

เคิร์ต โกเดล, 1906-78

ชาวออสเตรีย แล้วก็นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน เกิดที่เมืองบรุนน์ (ปัจจุบันคือเบอร์โน สาธารณรัฐเช็ก) เขาสำเร็จการศึกษาจากมหาวิทยาลัยเวียนนาซึ่งเขายังคงเป็นอาจารย์ในภาควิชาคณิตศาสตร์ (ตั้งแต่ปี 2473 - ศาสตราจารย์) ในปี พ.ศ. 2474 เขาได้ตีพิมพ์ทฤษฎีบทซึ่งต่อมาได้รับชื่อของเขา เนื่องจากเป็นคนไม่ฝักใฝ่ฝ่ายใด เขามีช่วงเวลาที่ยากลำบากอย่างยิ่งกับการฆาตกรรมเพื่อนและเพื่อนร่วมงานในแผนกของเขาโดยนักศึกษานาซี และตกอยู่ในภาวะซึมเศร้าลึก อาการกำเริบซึ่งหลอกหลอนเขาไปตลอดชีวิต ในช่วงทศวรรษที่ 1930 เขาอพยพไปอยู่ที่สหรัฐอเมริกา แต่กลับมาที่ออสเตรียบ้านเกิดของเขาและแต่งงานกัน ในปี 1940 ในช่วงที่สงครามลุกลาม เขาถูกบังคับให้หลบหนีไปอเมริกาโดยผ่านสหภาพโซเวียตและญี่ปุ่น เขาทำงานที่ Princeton Institute for Advanced Study มาระยะหนึ่งแล้ว น่าเสียดายที่จิตใจของนักวิทยาศาสตร์ไม่สามารถยืนหยัดได้ และเขาก็เสียชีวิตไป คลินิกจิตเวชหิวไม่ยอมกินเพราะเชื่อว่าคนเหล่านั้นตั้งใจจะวางยาพิษ

หนึ่งในทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงที่สุดในตรรกะทางคณิตศาสตร์มีทั้งโชคดีและโชคร้ายในเวลาเดียวกัน ในที่นี้มีความคล้ายคลึงกับทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษของไอน์สไตน์ ในด้านหนึ่ง เกือบทุกคนเคยได้ยินบางอย่างเกี่ยวกับพวกเขา ในทางกลับกันใน การตีความพื้นบ้านทฤษฎีของไอน์สไตน์ดังที่ทราบกันดีว่า “บอกว่าทุกสิ่งในโลกล้วนสัมพันธ์กัน”- และทฤษฎีบทของเกอเดลเกี่ยวกับความไม่สมบูรณ์ (ต่อไปนี้จะเรียกง่ายๆ ว่า TGN) ในสูตรพื้นบ้านอิสระแบบเดียวกันโดยประมาณ “พิสูจน์ว่ามีสิ่งที่จิตใจมนุษย์ไม่อาจเข้าใจได้”- ดังนั้น บางคนจึงพยายามปรับให้เป็นข้อโต้แย้งต่อต้านลัทธิวัตถุนิยม ในขณะที่คนอื่นๆ พิสูจน์ด้วยความช่วยเหลือว่าไม่มีพระเจ้า สิ่งที่น่าตลกไม่ใช่เพียงว่าทั้งสองฝ่ายไม่สามารถถูกในเวลาเดียวกันได้เท่านั้น แต่ยังไม่มีใครสนใจที่จะคิดว่าทฤษฎีบทนี้กล่าวถึงอะไรจริงๆ

แล้วไงล่ะ? ด้านล่างฉันจะพยายามบอกคุณเกี่ยวกับเรื่องนี้ "บนนิ้ว" แน่นอนว่าการนำเสนอของฉันจะต้องไม่เข้มงวดและเป็นไปตามสัญชาตญาณ แต่ฉันจะขอให้นักคณิตศาสตร์อย่าตัดสินฉันอย่างเคร่งครัด เป็นไปได้ว่าสำหรับผู้ที่ไม่ใช่นักคณิตศาสตร์ (ซึ่งอันที่จริง ฉันเป็นคนหนึ่ง) จะมีสิ่งใหม่และมีประโยชน์ในสิ่งที่อธิบายไว้ด้านล่าง

ตรรกะทางคณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์ที่ค่อนข้างซับซ้อน และที่สำคัญที่สุดคือยังไม่คุ้นเคยมากนัก ต้องใช้ความระมัดระวังและกลยุทธ์ที่เข้มงวด ซึ่งเป็นสิ่งสำคัญที่จะไม่สับสนระหว่างสิ่งที่ได้รับการพิสูจน์จริงกับสิ่งที่ "ชัดเจนอยู่แล้ว" อย่างไรก็ตาม ฉันหวังว่าเพื่อให้เข้าใจ "โครงร่างการพิสูจน์ TGN" ต่อไปนี้ ผู้อ่านจะต้องการความรู้ด้านคณิตศาสตร์/วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ระดับมัธยมปลาย ทักษะการคิดเชิงตรรกะ และเวลา 15-20 นาทีเท่านั้น

ทำให้ง่ายขึ้นบ้าง TGN อ้างว่าเพียงพอแล้ว ภาษาที่ซับซ้อนมีข้อความที่พิสูจน์ไม่ได้ แต่ในวลีนี้เกือบทุกคำต้องการคำอธิบาย

เริ่มต้นด้วยการพยายามหาว่าข้อพิสูจน์คืออะไร เรามาลองแก้โจทย์เลขคณิตของโรงเรียนกันดีกว่า ตัวอย่างเช่น สมมติว่าคุณต้องพิสูจน์ความถูกต้องของสูตรง่ายๆ ต่อไปนี้: “ ” (ฉันขอเตือนคุณว่าสัญลักษณ์อ่านว่า “สำหรับใดๆ” และเรียกว่า “ปริมาณสากล”) คุณสามารถพิสูจน์ได้โดยการแปลงมันเหมือนกัน เช่น:

การเปลี่ยนจากสูตรหนึ่งไปอีกสูตรหนึ่งเกิดขึ้นตามสูตรที่แน่นอน กฎที่ทราบ- การเปลี่ยนจากสูตรที่ 4 ไปเป็นสูตรที่ 5 เกิดขึ้นเพราะทุกจำนวนมีค่าเท่ากับตัวมันเอง - นี่คือสัจพจน์ของเลขคณิต และขั้นตอนการพิสูจน์ทั้งหมดจึงแปลสูตรเป็นค่าบูลีน TRUE ผลลัพธ์อาจเป็น LIE ก็ได้ หากเราหักล้างสูตรบางอย่าง ในกรณีนี้ เราจะพิสูจน์การปฏิเสธของมัน เราสามารถจินตนาการถึงโปรแกรม (และโปรแกรมดังกล่าวได้ถูกเขียนขึ้นจริง ๆ ) ที่จะพิสูจน์ข้อความที่คล้ายกัน (และซับซ้อนกว่า) โดยปราศจากการแทรกแซงของมนุษย์

เรามาระบุสิ่งเดียวกันอย่างเป็นทางการอีกหน่อย สมมติว่าเรามีชุดที่ประกอบด้วยสตริงของอักขระของตัวอักษรบางตัวและมีกฎที่เราสามารถเลือกชุดย่อยของสิ่งที่เรียกว่าจากสตริงเหล่านี้ งบ- นั่นคือวลีที่มีความหมายตามหลักไวยากรณ์ ซึ่งแต่ละวลีเป็นจริงหรือเท็จ เราสามารถพูดได้ว่ามีฟังก์ชันที่เชื่อมโยงข้อความสั่งกับค่าใดค่าหนึ่งจากสองค่า: TRUE หรือ FALSE (นั่นคือ การแมปข้อความเหล่านั้นให้เป็นชุดบูลีนที่มีองค์ประกอบสองค่า)

ลองเรียกคู่ดังกล่าวว่า - ชุดของคำสั่งและฟังก์ชันจากถึง - “ภาษาแห่งถ้อยคำ”- โปรดทราบว่าในชีวิตประจำวัน แนวคิดเรื่องภาษาค่อนข้างกว้างกว่า เช่น วลีภาษารัสเซีย "มานี่สิ!"ไม่เป็นความจริงหรือเท็จ กล่าวคือ จากมุมมองของตรรกะทางคณิตศาสตร์ มันไม่ใช่ข้อความ

สำหรับสิ่งต่อไปนี้ เราต้องการแนวคิดของอัลกอริทึม ฉันจะไม่ให้คำจำกัดความอย่างเป็นทางการที่นี่ - นั่นจะทำให้เราหลงทางไปไกลมาก ฉันจะจำกัดตัวเองให้ไม่เป็นทางการ: "อัลกอริทึม"คือลำดับของคำสั่งที่ชัดเจน (“โปรแกรม”) นั้น ในจำนวนขั้นตอนที่จำกัดแปลงแหล่งข้อมูลให้เป็นผลลัพธ์ สิ่งที่เป็นตัวเอียงมีความสำคัญโดยพื้นฐาน - หากโปรแกรมวนซ้ำข้อมูลเริ่มต้นบางส่วน โปรแกรมจะไม่อธิบายอัลกอริทึม เพื่อความเรียบง่ายและการประยุกต์ใช้ในกรณีของเรา ผู้อ่านสามารถพิจารณาว่าอัลกอริธึมคือโปรแกรมที่เขียนด้วยภาษาการเขียนโปรแกรมใดๆ ที่เขารู้จัก ซึ่งสำหรับข้อมูลอินพุตใดๆ จากคลาสที่กำหนด รับประกันว่าจะทำงานให้เสร็จสิ้นโดยสร้างผลลัพธ์แบบบูลีน

ลองถามตัวเองดู: สำหรับทุกฟังก์ชันจะมี "อัลกอริธึมการพิสูจน์" (หรือพูดง่ายๆ ก็คือ "นิรนัย") เทียบเท่ากับฟังก์ชันนี้ กล่าวคือ การแปลงแต่ละคำสั่งให้เป็นค่าบูลีนที่เหมือนกันทุกประการ คำถามเดียวกันนี้สามารถสรุปได้กระชับมากขึ้นดังนี้: ทุกฟังก์ชันอยู่เหนือชุดคำสั่ง คำนวณได้- ตามที่คุณเดาแล้วจากความถูกต้องของ TGN ตามมาว่าไม่ ไม่ใช่ทุกฟังก์ชัน - มีฟังก์ชันประเภทนี้ที่คำนวณไม่ได้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ไม่ใช่ทุกคำพูดที่แท้จริงที่สามารถพิสูจน์ได้

เป็นไปได้มากว่าข้อความนี้จะทำให้เกิดการประท้วงภายในตัวคุณ นี่เป็นเพราะสถานการณ์หลายประการ ประการแรกเมื่อเราถูกสอน คณิตศาสตร์ของโรงเรียนจากนั้นบางครั้งมีความรู้สึกผิด ๆ เกี่ยวกับตัวตนที่เกือบจะสมบูรณ์ของวลี "ทฤษฎีบทเป็นจริง" และ "ทฤษฎีบทสามารถพิสูจน์หรือตรวจสอบได้" แต่ถ้าคุณลองคิดดูมันก็ไม่ชัดเจนเลย ทฤษฎีบทบางทฤษฎีได้รับการพิสูจน์ค่อนข้างง่าย (เช่น โดยการลองใช้ตัวเลือกจำนวนเล็กน้อย) ในขณะที่บางทฤษฎีก็ยากมาก ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาทฤษฎีบทสุดท้ายอันโด่งดังของแฟร์มาต์:

ข้อพิสูจน์นี้พบเพียงสามศตวรรษครึ่งหลังจากสูตรแรก (และยังห่างไกลจากระดับประถมศึกษา) จำเป็นต้องแยกแยะระหว่างความจริงของข้อความและความพิสูจน์ได้ ไม่ได้ติดตามจากทุกที่ว่าไม่มีข้อความที่เป็นความจริงแต่พิสูจน์ไม่ได้ (และไม่สามารถตรวจสอบได้ทั้งหมด)

ข้อโต้แย้งตามสัญชาตญาณประการที่สองต่อ TGN นั้นละเอียดอ่อนกว่า สมมติว่าเรามีประโยคที่พิสูจน์ไม่ได้ (ภายในกรอบของประโยคนิรนัยนี้) อะไรขัดขวางไม่ให้เรายอมรับว่ามันเป็นสัจพจน์ใหม่ ดังนั้นเราจะทำให้ระบบหลักฐานของเราซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย แต่ก็ไม่น่ากลัว ข้อโต้แย้งนี้จะถูกต้องโดยสมบูรณ์หากมีข้อความที่พิสูจน์ไม่ได้จำนวนจำกัด ในทางปฏิบัติ สิ่งต่อไปนี้สามารถเกิดขึ้นได้: หลังจากตั้งสมมุติฐานใหม่แล้ว คุณจะสะดุดกับข้อความใหม่ที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้ หากคุณยอมรับว่าเป็นสัจพจน์อื่น คุณจะสะดุดกับสัจพจน์ที่สาม และไม่มีที่สิ้นสุด พวกเขาบอกว่าการหักเงินจะยังคงอยู่ ไม่สมบูรณ์- นอกจากนี้เรายังสามารถบังคับอัลกอริธึมการพิสูจน์ให้เสร็จสิ้นในจำนวนขั้นตอนที่จำกัดพร้อมกับผลลัพธ์บางอย่างสำหรับคำพูดของภาษาใดๆ ก็ตาม แต่ขณะเดียวกันเขาจะเริ่มโกหก - นำไปสู่ความจริงด้วยคำพูดที่ไม่ถูกต้องหรือโกหก - สำหรับผู้ที่ซื่อสัตย์ ในกรณีเช่นนี้พวกเขาบอกว่าการหักเงิน ขัดแย้งกัน- ดังนั้นอีกสูตรหนึ่งของ TGN จึงมีเสียงดังนี้: "มีภาษาเชิงประพจน์ซึ่งการนิรนัยที่สอดคล้องกันโดยสมบูรณ์เป็นไปไม่ได้" - ดังนั้นชื่อของทฤษฎีบท

บางครั้งเรียกว่า "ทฤษฎีบทของเกอเดล" ข้อความก็คือว่าทฤษฎีใดๆ มีปัญหาที่ไม่สามารถแก้ไขได้ภายในกรอบของทฤษฎีนั้นเอง และจำเป็นต้องมีการสรุปทั่วไป ในแง่หนึ่งนี่เป็นเรื่องจริง แม้ว่าการกำหนดนี้มีแนวโน้มที่จะปิดบังปัญหามากกว่าที่จะชี้แจงให้ชัดเจน

ฉันจะสังเกตด้วยว่าถ้าเรากำลังพูดถึงฟังก์ชั่นปกติที่แสดงเซต ตัวเลขจริงเข้าไปแล้ว "ความสามารถในการคำนวณไม่ได้" ของฟังก์ชันจะไม่ทำให้ใครแปลกใจ (อย่าสับสน "ฟังก์ชันที่คำนวณได้" และ "ตัวเลขที่คำนวณได้" - สิ่งเหล่านี้ต่างกัน) นักเรียนคนไหนรู้ดีว่าในกรณีของฟังก์ชัน คุณจะต้องโชคดีมากที่มีการโต้แย้งเพื่อให้กระบวนการคำนวณการแทนทศนิยมที่แน่นอนของค่าของฟังก์ชันนี้เสร็จสมบูรณ์ในจำนวนขั้นตอนที่จำกัด แต่เป็นไปได้มากว่าคุณจะคำนวณโดยใช้อนุกรมอนันต์ และการคำนวณนี้จะไม่นำไปสู่ผลลัพธ์ที่แน่นอน แม้ว่าจะใกล้เคียงกันเท่าที่คุณต้องการก็ตาม เพียงเพราะค่าไซน์ของอาร์กิวเมนต์ส่วนใหญ่นั้นไม่มีเหตุผล TGN เพียงบอกเราว่าแม้ในบรรดาฟังก์ชันที่มีอาร์กิวเมนต์เป็นสตริงและมีค่าเป็นศูนย์หรือหนึ่ง ก็ยังมีฟังก์ชันที่ไม่สามารถคำนวณได้แม้ว่าจะมีโครงสร้างในลักษณะที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง

เพื่อวัตถุประสงค์เพิ่มเติม เราจะอธิบาย "ภาษาของเลขคณิตแบบเป็นทางการ" พิจารณาคลาสของสตริงข้อความที่มีความยาวจำกัด ประกอบด้วยตัวเลขอารบิก ตัวแปร (ตัวอักษรของอักษรละติน) ที่รับค่าธรรมชาติ การเว้นวรรค เครื่องหมายทางคณิตศาสตร์ ความเท่าเทียมกันและอสมการ ปริมาณ (“ที่มีอยู่”) และ (“สำหรับใดๆ”) และ , บางที , สัญลักษณ์อื่นๆ บางอย่าง (จำนวนและองค์ประกอบที่แน่นอนนั้นไม่สำคัญสำหรับเรา) เห็นได้ชัดว่าไม่ใช่ทุกบรรทัดที่มีความหมาย (เช่น " " เป็นเรื่องไร้สาระ) ชุดย่อยของนิพจน์ที่มีความหมายจากคลาสนี้ (นั่นคือ สตริงที่เป็นจริงหรือเท็จจากมุมมองของเลขคณิตธรรมดา) จะเป็นชุดคำสั่งของเรา

ตัวอย่างของคำสั่งทางคณิตศาสตร์ที่เป็นทางการ:

ฯลฯ ตอนนี้ขอเรียก "สูตรที่มีพารามิเตอร์อิสระ" (FSP) ว่าสตริงที่กลายเป็นคำสั่งหากแทนที่จำนวนธรรมชาติเป็นพารามิเตอร์นี้ ตัวอย่างของ FSP (พร้อมพารามิเตอร์):

ฯลฯ กล่าวอีกนัยหนึ่ง FSP เทียบเท่ากับฟังก์ชันอาร์กิวเมนต์ธรรมชาติที่มีค่าบูลีน

ให้เราแสดงชุดของ FSP ทั้งหมดด้วยตัวอักษร เป็นที่ชัดเจนว่าสามารถสั่งซื้อได้ (เช่นก่อนอื่นเราเขียนสูตรตัวอักษรหนึ่งตัวเรียงตามตัวอักษรตามด้วยตัวอักษรสองตัว ฯลฯ ไม่สำคัญสำหรับเราว่าการเรียงลำดับจะเกิดขึ้นตามตัวอักษรตัวใด) ดังนั้น FSP ใด ๆ จะสอดคล้องกับหมายเลขในรายการสั่งซื้อและเราจะแสดงแทนมัน

ตอนนี้เรามาดูภาพร่างการพิสูจน์ TGN ในสูตรต่อไปนี้:

• สำหรับภาษาเชิงประพจน์ของเลขคณิตแบบทางการนั้นไม่มีระบบนิรนัยที่สอดคล้องกันอย่างสมบูรณ์

เราจะพิสูจน์มันด้วยความขัดแย้ง

สมมติว่ามีการหักเงินดังกล่าวอยู่ ให้เราอธิบายอัลกอริทึมเสริมต่อไปนี้ ซึ่งกำหนดค่าบูลีนให้กับจำนวนธรรมชาติดังนี้:

พูดง่ายๆ ก็คือ อัลกอริธึมจะให้ผลลัพธ์เป็นค่า TRUE ถ้าหากผลลัพธ์ของการแทนที่หมายเลขของตัวเองใน FSP ในรายการของเราให้ข้อความที่เป็นเท็จ

เรามาถึงที่เดียวที่ฉันจะขอให้ผู้อ่านเชื่อคำพูดของฉัน

เห็นได้ชัดว่าภายใต้สมมติฐานข้างต้น FSP ใดๆ สามารถเปรียบเทียบได้กับอัลกอริธึมที่มีตัวเลขธรรมชาติที่อินพุตและค่าบูลีนที่เอาต์พุต การสนทนาไม่ชัดเจน:

การพิสูจน์บทแทรกนี้จะต้องมีการกำหนดแนวคิดของอัลกอริทึมที่เป็นทางการ แทนที่จะใช้สัญชาตญาณเป็นอย่างน้อย อย่างไรก็ตาม หากคุณลองคิดดูสักนิด มันก็ค่อนข้างเป็นไปได้ ในความเป็นจริงอัลกอริธึมถูกเขียนในภาษาอัลกอริธึมซึ่งมีภาษาที่แปลกใหม่เช่น Brainfuck ซึ่งประกอบด้วยคำที่มีอักขระเดี่ยวแปดคำซึ่งอย่างไรก็ตามสามารถใช้อัลกอริทึมใดก็ได้ คงจะแปลกถ้าภาษาที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้นของสูตรเลขคณิตแบบทางการที่เราอธิบายไว้กลับกลายเป็นว่าแย่ลง - แม้ว่าจะไม่เหมาะกับการเขียนโปรแกรมทั่วไปอย่างไม่ต้องสงสัยก็ตาม

ผ่านที่ลื่นนี้ไปก็ถึงจุดสิ้นสุดอย่างรวดเร็ว

ข้างต้นเราได้อธิบายอัลกอริทึมแล้ว ตามบทแทรก ฉันขอให้คุณเชื่อ มี FSP ที่เทียบเท่ากัน มันมีตัวเลขอยู่ในรายการ - พูด, . ลองถามตัวเองว่าเท่ากับอะไร? ให้นี่คือความจริง จากนั้น ตามการสร้างอัลกอริธึม (และด้วยเหตุนี้ฟังก์ชันจึงเทียบเท่ากับอัลกอริธึม) ซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์ของการแทนตัวเลขลงในฟังก์ชันจะเป็น FALSE ตรงกันข้ามจะถูกตรวจสอบในลักษณะเดียวกัน: จาก FALSE เป็นไปตาม TRUE เรามาถึงความขัดแย้งแล้ว ซึ่งหมายความว่าสมมติฐานเดิมนั้นไม่ถูกต้อง ดังนั้นจึงไม่มีระบบนิรนัยที่สอดคล้องกันสำหรับการคำนวณแบบเป็นทางการ Q.E.D.

เป็นการเหมาะสมที่จะระลึกถึงเอพิเมนิเดส (ดูภาพเหมือนในชื่อ) ซึ่งดังที่ทราบกันดีว่าประกาศว่าชาวครีตันทุกคนเป็นคนโกหกโดยตัวเขาเองเป็นชาวเครตัน ในสูตรที่กระชับมากขึ้น คำกล่าวของเขา (เรียกว่า "ความขัดแย้งของคนโกหก") สามารถระบุได้ดังนี้: "ฉันกำลังโกหก" มันเป็นข้อความประเภทนี้เองที่ประกาศความเท็จซึ่งเราใช้เพื่อการพิสูจน์

โดยสรุป ฉันต้องการทราบว่า TGN ไม่ได้อ้างว่ามีอะไรน่าประหลาดใจเป็นพิเศษ ในท้ายที่สุดทุกคนคุ้นเคยกับความจริงที่ว่าตัวเลขทั้งหมดไม่สามารถแสดงเป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็มสองตัวได้ (โปรดจำไว้ว่าคำสั่งนี้มีหลักฐานที่สง่างามมากซึ่งมีอายุมากกว่าสองพันปี?) และไม่ใช่ว่าทุกจำนวนจะเป็นรากของพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์ตรรกยะเช่นกัน และตอนนี้ปรากฎว่าไม่ใช่ว่าทุกฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ธรรมชาติจะคำนวณได้

ภาพร่างของการพิสูจน์ที่ให้ไว้มีไว้สำหรับเลขคณิตอย่างเป็นทางการ แต่ก็เห็นได้ง่ายว่า TGN สามารถใช้ได้กับภาษาเชิงประพจน์อื่นๆ อีกหลายภาษา แน่นอนว่าไม่ใช่ทุกภาษาจะเป็นแบบนี้ ตัวอย่างเช่น ลองกำหนดภาษาดังต่อไปนี้:

• “วลีใด ๆ ภาษาจีนเป็น ข้อความที่แท้จริงหากมีอยู่ในสมุดใบเสนอราคาของสหายเหมาเจ๋อตง และไม่ถูกต้องหากไม่มีอยู่”

จากนั้นอัลกอริธึมการพิสูจน์ที่สมบูรณ์และสอดคล้องกันที่สอดคล้องกัน (ใคร ๆ ก็สามารถเรียกมันว่า "นิรนัยแบบดันทุรัง") จะมีลักษณะดังนี้:

• “พลิกดูหนังสือคำพูดของสหายเหมาเจ๋อตุงจนกว่าคุณจะพบคำพูดที่คุณกำลังมองหา หากพบก็ถือว่าถูกต้อง แต่ถ้าสมุดใบเสนอราคาหมดและไม่พบใบแจ้งยอดก็ถือว่าไม่ถูกต้อง”

สิ่งที่ช่วยให้เราประหยัดที่นี่คือสมุดใบเสนอราคาใดๆ ก็มีขอบเขตแน่นอน ดังนั้นกระบวนการ "พิสูจน์" จะต้องสิ้นสุดลงอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ ดังนั้น TGN จึงใช้ไม่ได้กับภาษาของข้อความที่ดันทุรัง แต่เรากำลังพูดถึงภาษาที่ซับซ้อนใช่ไหม?

ในหัวข้อ: “ทฤษฎีบทของ GODEL”

เคิร์ท โกเดล

Kurt Gödel ผู้เชี่ยวชาญด้านตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ เกิดเมื่อวันที่ 28 เมษายน พ.ศ. 2449 ในเมืองบรุนน์ (ปัจจุบันคือเบอร์โน สาธารณรัฐเช็ก) เขาสำเร็จการศึกษาจากมหาวิทยาลัยเวียนนา ซึ่งเขาปกป้องวิทยานิพนธ์ระดับปริญญาเอกของเขา และเป็นผู้ช่วยศาสตราจารย์ในปี พ.ศ. 2476-2481 หลังจาก Anschluss เขาอพยพไปอยู่ที่สหรัฐอเมริกา ตั้งแต่ปี 1940 ถึง 1963 Gödel ทำงานที่ Princeton Institute of Advanced Studies Gödel เป็นปริญญาเอกกิตติมศักดิ์จากมหาวิทยาลัย Yale และ Harvard ซึ่งเป็นสมาชิกของ US National Academy of Sciences และ American Philosophical Society

ในปี 1951 Kurt Gödel ได้รับรางวัลวิทยาศาสตร์สูงสุดในสหรัฐอเมริกา - รางวัล Einstein Prize ในบทความที่อุทิศให้กับเหตุการณ์นี้ John von Neumann นักคณิตศาสตร์คนสำคัญอีกคนหนึ่งในสมัยของเราเขียนว่า "การมีส่วนร่วมของ Kurt Gödel ต่อตรรกะสมัยใหม่ถือเป็นเรื่องที่ยิ่งใหญ่อย่างแท้จริง ที่นี่เป็นมากกว่าอนุสาวรีย์ นี่เป็นเหตุการณ์สำคัญที่แยกสองยุคออกจากกัน... อาจกล่าวได้ว่างานของ Gödel ได้เปลี่ยนแปลงแนวคิดเชิงตรรกะในฐานะวิทยาศาสตร์ไปอย่างสิ้นเชิง โดยไม่มีการกล่าวเกินจริงใดๆ”

อันที่จริง แม้แต่รายการความสำเร็จอันแห้งแล้งของโกเดลในด้านตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ก็แสดงให้เห็นว่าผู้เขียนของพวกเขาได้วางรากฐานสำหรับส่วนต่างๆ ทั้งหมดของวิทยาศาสตร์นี้: ทฤษฎีแบบจำลอง (1930; ทฤษฎีบทที่เรียกว่าทฤษฎีบทเกี่ยวกับความสมบูรณ์ของแคลคูลัสเพรดิเคตแคบ ซึ่งแสดงให้เห็นหรือพูดคร่าวๆ ความเพียงพอของวิธีการของ "ตรรกะที่เป็นทางการ" "เพื่อพิสูจน์ประโยคจริงทั้งหมดที่แสดงในภาษาของมัน) ตรรกะเชิงสร้างสรรค์ (พ.ศ. 2475-2476 ผลลัพธ์เกี่ยวกับความเป็นไปได้ในการลดคลาสบางประโยคของตรรกะคลาสสิกให้เป็นอะนาล็อกตามสัญชาตญาณซึ่งวาง รากฐานสำหรับการใช้ "ปฏิบัติการแช่" อย่างเป็นระบบที่ช่วยลดความหลากหลายดังกล่าว ระบบลอจิคัลซึ่งกันและกัน) เลขคณิตแบบเป็นทางการ (ค.ศ. 1932–1933; ผลลัพธ์เกี่ยวกับความเป็นไปได้ของการลดเลขคณิตแบบคลาสสิกให้เป็นเลขคณิตตามสัญชาตญาณ ซึ่งแสดงให้เห็นในแง่หนึ่งถึงความสอดคล้องของอันแรกเทียบกับอันที่สอง) ทฤษฎีของอัลกอริทึมและฟังก์ชันแบบเรียกซ้ำ (1934; คำจำกัดความ ของแนวคิดของฟังก์ชันแบบเรียกซ้ำทั่วไปซึ่งมีบทบาทชี้ขาดในการสร้างอัลกอริทึมที่แก้ไม่ได้ของปัญหาที่สำคัญที่สุดในคณิตศาสตร์จำนวนหนึ่งในด้านหนึ่ง และในการนำปัญหาเชิงตรรกะ-คณิตศาสตร์ไปใช้บนคอมพิวเตอร์อิเล็กทรอนิกส์ อื่นๆ) ทฤษฎีเซตสัจพจน์ (1938; การพิสูจน์ความสอดคล้องสัมพัทธ์ของสัจพจน์ของตัวเลือกและสมมติฐานความต่อเนื่องของคันทอร์จากสัจพจน์) ทฤษฎีเซตซึ่งวางรากฐานสำหรับผลลัพธ์ที่สำคัญชุดหนึ่งเกี่ยวกับความสอดคล้องสัมพัทธ์และความเป็นอิสระของทฤษฎีเซต หลักการ)

ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดล

การแนะนำ

ในปีพ.ศ. 2474 มีบทความขนาดค่อนข้างเล็กปรากฏในวารสารวิทยาศาสตร์ของเยอรมันเรื่องหนึ่งซึ่งมีชื่อที่ค่อนข้างน่ากลัวว่า "On Forwardly Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems" ผู้เขียนเป็นนักคณิตศาสตร์อายุยี่สิบห้าปีจากมหาวิทยาลัยเวียนนา Kurt Gödel ซึ่งต่อมาทำงานที่ Princeton Institute for Advanced Studies งานนี้มีบทบาทสำคัญในประวัติศาสตร์ของตรรกะและคณิตศาสตร์ การตัดสินใจของมหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ดในการมอบปริญญาเอกกิตติมศักดิ์ให้Gödel (พ.ศ. 2495) อธิบายว่าเธอเป็นหนึ่งในนั้น ความสำเร็จที่ยิ่งใหญ่ที่สุดตรรกะสมัยใหม่

อย่างไรก็ตาม ณ เวลาที่ตีพิมพ์ ไม่มีทั้งชื่อผลงานของGödel เนื้อหาไม่มีความหมายใดๆ สำหรับนักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ Principia Mathematica กล่าวถึงในชื่อหนังสือเป็นบทความสามเล่มที่ยิ่งใหญ่โดย Alfred North Whitehead และ Bertrand Russell เกี่ยวกับตรรกะทางคณิตศาสตร์และรากฐานของคณิตศาสตร์ ความคุ้นเคยกับตำรานี้ไม่ใช่เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการทำงานในสาขาคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ให้ประสบความสำเร็จ ความสนใจในประเด็นต่างๆ ที่ได้รับการกล่าวถึงในงานของ Gödel ยังคงเป็นของนักวิทยาศาสตร์กลุ่มเล็กๆ เสมอมา ในเวลาเดียวกัน การให้เหตุผลโดย Gödel ในการพิสูจน์ของเขานั้นผิดปกติมากในช่วงเวลานั้น การที่จะเข้าใจสิ่งเหล่านี้ได้อย่างถ่องแท้ต้องอาศัยความเชี่ยวชาญเป็นพิเศษในหัวข้อนี้และความคุ้นเคยกับวรรณกรรมที่เกี่ยวข้องกับปัญหาเฉพาะเหล่านี้

ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ข้อแรก

ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ข้อแรกของเกอเดลเห็นได้ชัดว่าเป็นผลลัพธ์ที่สำคัญที่สุดในตรรกะทางคณิตศาสตร์ ดูเหมือนว่านี้:

สำหรับทฤษฎีที่เป็นทางการและคำนวณได้ที่สอดคล้องกันโดยพลการ ซึ่งสามารถพิสูจน์งบทางคณิตศาสตร์พื้นฐานได้ สามารถสร้างคำสั่งทางคณิตศาสตร์ที่แท้จริงได้ ซึ่งความจริงไม่สามารถพิสูจน์ได้ภายในกรอบของทฤษฎี กล่าวอีกนัยหนึ่ง ทฤษฎีที่มีประโยชน์อย่างสมบูรณ์ใดๆ เพียงพอที่จะเป็นตัวแทนทางคณิตศาสตร์ไม่สามารถมีความสอดคล้องและสมบูรณ์ได้

ในที่นี้คำว่า "ทฤษฎี" หมายถึงข้อความจำนวนอนันต์ ซึ่งบางข้อความเชื่อว่าเป็นจริงโดยไม่มีการพิสูจน์ (ข้อความดังกล่าวเรียกว่าสัจพจน์) ในขณะที่ข้อความอื่นๆ (ทฤษฎีบท) สามารถอนุมานได้จากสัจพจน์และดังนั้นจึงเชื่อ (พิสูจน์แล้ว) ) เป็นจริง วลี “พิสูจน์ได้ทางทฤษฎี” หมายถึง “ได้มาจากสัจพจน์และพื้นฐานของทฤษฎี (สัญลักษณ์คงที่ของตัวอักษร) โดยใช้ตรรกะมาตรฐาน (ลำดับที่หนึ่ง)” ทฤษฎีมีความสอดคล้อง (สอดคล้องกัน) หากไม่สามารถพิสูจน์ข้อความที่ขัดแย้งกันในนั้นได้ วลี “สามารถสร้างขึ้นได้” หมายความว่ามีขั้นตอนทางกล (อัลกอริทึม) บางอย่างที่สามารถสร้างข้อความตามสัจพจน์ พื้นฐาน และตรรกะลำดับที่หนึ่งได้ “เลขคณิตเบื้องต้น” ประกอบด้วยการดำเนินการบวกและการคูณจำนวนธรรมชาติ ผลลัพธ์ที่เป็นจริงแต่พิสูจน์ไม่ได้มักเรียกทฤษฎีหนึ่งๆ ว่า "ลำดับโกเดล" แต่มีข้อความอื่นๆ อีกจำนวนไม่สิ้นสุดในทฤษฎีที่มีคุณสมบัติเหมือนกัน นั่นคือ ความจริงที่พิสูจน์ไม่ได้ภายในทฤษฎี

การสันนิษฐานว่าทฤษฎีนี้สามารถคำนวณได้หมายความว่าโดยหลักการแล้วสามารถนำไปปฏิบัติได้ อัลกอริธึมคอมพิวเตอร์ (โปรแกรมคอมพิวเตอร์) ซึ่ง (หากได้รับอนุญาตให้คำนวณในเวลานานตามอำเภอใจ จนถึงอนันต์) จะคำนวณรายการทฤษฎีบททั้งหมดของทฤษฎี ในความเป็นจริง การคำนวณเฉพาะรายการสัจพจน์ก็เพียงพอแล้ว และทฤษฎีบททั้งหมดสามารถรับได้อย่างมีประสิทธิภาพจากรายการดังกล่าว

ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ข้อแรกมีชื่อว่า "ทฤษฎีบทที่ 6" ในรายงานของเกอเดลเมื่อปี 1931 เรื่องข้อเสนอที่ไม่สามารถตัดสินใจได้อย่างเป็นทางการใน Principia Mathematica และระบบที่เกี่ยวข้อง I- ในการบันทึกต้นฉบับของ Gödel ดูเหมือนว่า:

“ข้อสรุปทั่วไปเกี่ยวกับการมีอยู่ของข้อเสนอที่ตัดสินใจไม่ได้คือ:

ทฤษฎีบทที่ 6 .

สำหรับแต่ละคลาสแบบเรียกซ้ำที่สอดคล้องกัน ω kสูตร มีการเรียกซ้ำสัญญาณ ร เช่นนั้นเช่นกัน (โวลต์พล ร), ก็ไม่เช่นกัน ¬( โวลต์พล ร)ไม่ได้อยู่ใน FLG (เค)(โดยที่ v อยู่ตัวแปรฟรี ร ) ».

การกำหนด ชั้นมาจากเขา โฟลเกรังสเมงเก– ลำดับมากมาย พลมาจากเขา ลักษณะทั่วไป– ลักษณะทั่วไป

พูดคร่าวๆ ก็คือคำพูดของGödel ชกล่าวว่า: "ความจริง ชไม่สามารถพิสูจน์ได้" ถ้า ชสามารถพิสูจน์ได้ภายในกรอบของทฤษฎี ดังนั้น ในกรณีนี้ ทฤษฎีก็จะมีทฤษฎีบทที่ขัดแย้งกับตัวเอง ดังนั้น ทฤษฎีจึงขัดแย้งกัน แต่ถ้า ชพิสูจน์ไม่ได้ก็จริง ดังนั้นทฤษฎีจึงไม่สมบูรณ์ (คำกล่าว ชไม่สามารถอนุมานได้)

นี่คือคำอธิบายเป็นภาษาอังกฤษธรรมดา ภาษาธรรมชาติและดังนั้นจึงไม่เข้มงวดทางคณิตศาสตร์เลย เพื่อให้เป็นข้อพิสูจน์ที่เข้มงวด Gödel ได้กำหนดหมายเลขข้อความโดยใช้ ตัวเลขธรรมชาติ- ในกรณีนี้ ทฤษฎีที่อธิบายตัวเลขก็อยู่ในชุดข้อความเช่นกัน คำถามเกี่ยวกับความพิสูจน์ได้ของข้อความสามารถแสดงได้ในกรณีนี้ในรูปแบบของคำถามเกี่ยวกับคุณสมบัติของจำนวนธรรมชาติ ซึ่งจะต้องคำนวณได้หากทฤษฎีเสร็จสมบูรณ์ ในแง่เหล่านี้ คำกล่าวของโกเดลบอกว่าไม่มีตัวเลขที่มีคุณสมบัติเฉพาะบางอย่าง ตัวเลขที่มีคุณสมบัตินี้จะเป็นข้อพิสูจน์ถึงความไม่สอดคล้องกันของทฤษฎี หากมีตัวเลขดังกล่าว แสดงว่าทฤษฎีไม่สอดคล้องกันซึ่งขัดต่อสมมติฐานเดิม ดังนั้น สมมติว่าทฤษฎีมีความสอดคล้อง (ตามสมมติฐานของทฤษฎีบท) ปรากฎว่าไม่มีจำนวนดังกล่าว และคำกล่าวของเกอเดลก็เป็นจริง แต่ภายในกรอบของทฤษฎีจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะพิสูจน์ ( ดังนั้นทฤษฎีจึงไม่สมบูรณ์) ประเด็นทางแนวคิดที่สำคัญคือจำเป็นต้องสันนิษฐานว่าทฤษฎีนี้สอดคล้องกันเพื่อที่จะประกาศว่าคำกล่าวของเกอเดลเป็นจริง

ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ประการที่สองของเกอเดล

ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ประการที่สองของเกอเดลอ่านได้ดังนี้:

สำหรับทฤษฎี T ที่สามารถนับได้อย่างเป็นทางการใดๆ (นั่นคือ สร้างขึ้นอย่างมีประสิทธิภาพ) รวมถึงข้อความความจริงทางคณิตศาสตร์พื้นฐานและข้อความพิสูจน์ได้อย่างเป็นทางการบางข้อความ ทฤษฎีที่กำหนด T จะรวมข้อความแสดงความสอดคล้องของมัน หากและเฉพาะในกรณีที่ทฤษฎี T ไม่สอดคล้องกัน

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความสอดคล้องของทฤษฎีที่สมบูรณ์เพียงพอไม่สามารถพิสูจน์ได้ด้วยทฤษฎีนี้ อย่างไรก็ตาม อาจกลายเป็นว่าความสอดคล้องของทฤษฎีหนึ่งๆ สามารถสร้างขึ้นได้โดยใช้อีกทฤษฎีที่เป็นทางการที่ทรงพลังกว่าอีกทฤษฎีหนึ่ง แต่แล้วคำถามก็เกิดขึ้นเกี่ยวกับความสอดคล้องของทฤษฎีที่สองนี้ ฯลฯ

หลายคนพยายามใช้ทฤษฎีบทนี้เพื่อพิสูจน์ว่ากิจกรรมอันชาญฉลาดไม่สามารถลดทอนลงในการคำนวณได้ ตัวอย่างเช่น ย้อนกลับไปในปี 1961 จอห์น ลูคัส นักตรรกวิทยาชื่อดังได้เสนอโปรแกรมที่คล้ายกันขึ้นมา เหตุผลของเขากลายเป็นเรื่องที่ค่อนข้างอ่อนแอ อย่างไรก็ตาม เขากำหนดงานให้กว้างขึ้น โรเจอร์ เพนโรสใช้แนวทางที่แตกต่างออกไปเล็กน้อย ซึ่งมีระบุไว้ในหนังสือโดยสิ้นเชิง "ตั้งแต่ต้น"

การอภิปราย

ผลที่ตามมาของทฤษฎีบทส่งผลต่อปรัชญาของคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะรูปแบบนิยมที่ใช้ตรรกะที่เป็นทางการเพื่อกำหนดหลักการ เราสามารถเรียบเรียงทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ข้อแรกได้ดังนี้: “ เป็นไปไม่ได้ที่จะค้นพบระบบสัจพจน์ที่ครอบคลุมทุกด้านที่สามารถพิสูจน์ได้ ทั้งหมดความจริงทางคณิตศาสตร์ และไม่ใช่เรื่องโกหกแม้แต่เรื่องเดียว- ในทางกลับกัน จากมุมมองของพิธีการที่เข้มงวด การปฏิรูปนี้ไม่สมเหตุสมผลมากนัก เนื่องจากถือว่าแนวคิดของ "ความจริง" และ "ความเท็จ" ได้รับการนิยามในความหมายที่สมบูรณ์มากกว่าในความหมายที่สัมพันธ์กันสำหรับแต่ละเรื่องโดยเฉพาะ ระบบ.