แยกตัวประกอบตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ การสลายตัวของตัวเลขให้เป็นปัจจัยเฉพาะ วิธีการ และตัวอย่างการสลายตัว

แฟคตอริ่งหมายถึงอะไร? ทำอย่างไร? คุณสามารถเรียนรู้อะไรได้บ้างจากการแยกตัวประกอบตัวเลขให้เป็นปัจจัยเฉพาะ คำตอบสำหรับคำถามเหล่านี้มีภาพประกอบพร้อมตัวอย่างเฉพาะเจาะจง

คำจำกัดความ:

จำนวนที่มีตัวหารต่างกันสองตัวพอดีเรียกว่าจำนวนเฉพาะ

จำนวนที่มีตัวหารมากกว่าสองตัวเรียกว่าจำนวนประกอบ

แยกตัวประกอบจำนวนธรรมชาติหมายถึงการแสดงเป็นผลคูณของจำนวนธรรมชาติ

การแยกตัวประกอบจำนวนธรรมชาติให้เป็นตัวประกอบเฉพาะหมายถึงการแสดงเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะ

หมายเหตุ:

• ในการสลายตัวของจำนวนเฉพาะ ตัวประกอบตัวหนึ่งจะเท่ากับตัวหนึ่ง และตัวอีกตัวจะเท่ากับตัวมันเอง
• มันไม่สมเหตุสมผลเลยที่จะพูดถึงการแยกตัวประกอบเอกภาพ
• จำนวนประกอบสามารถแยกตัวประกอบออกเป็นตัวประกอบได้ ซึ่งแต่ละตัวจะแตกต่างจาก 1

เมื่อแยกตัวประกอบจำนวนมากให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ ให้ใช้สัญลักษณ์คอลัมน์:

	จำนวนเฉพาะที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 216 ลงตัวคือ 2 หาร 216 ด้วย 2 เราได้ 108.
	ผลลัพธ์หมายเลข 108 หารด้วย 2 มาทำการแบ่งกันเถอะ ผลลัพธ์ที่ได้คือ 54
	จากการทดสอบการหารด้วย 2 ลงตัว ตัวเลข 54 หารด้วย 2 ลงตัว หลังจากหารแล้ว เราได้ 27.
	เลข 27 ลงท้ายด้วยเลขคี่ 7 มัน หารด้วย 2 ไม่ลงตัว. จำนวนเฉพาะถัดไปคือ 3. หาร 27 ด้วย 3 เราได้ 9. จำนวนเฉพาะน้อยที่สุด จำนวนที่ 9 หารด้วย 3 ลงตัว สามตัวเป็นจำนวนเฉพาะ หารด้วยตัวมันเองและหนึ่งลงตัว ลองหาร 3 ด้วยตัวเอง. ในที่สุดเราก็ได้ที่ 1

• ตัวเลขจะหารด้วยจำนวนเฉพาะที่เป็นส่วนหนึ่งของการสลายตัวเท่านั้น
• ตัวเลขจะหารได้เฉพาะจำนวนประกอบที่มีการสลายตัวเป็นตัวประกอบเฉพาะอยู่ในนั้นเท่านั้น

ลองดูตัวอย่าง:

ค้นหาผลหารของการหารตัวเลข a ด้วยจำนวน b หากตัวเลขเหล่านี้ถูกแยกย่อยเป็นตัวประกอบเฉพาะดังนี้: a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; ข=2∙2∙3∙3∙5∙19

บรรณานุกรม

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburgd S.I. คณิตศาสตร์ 6. - อ.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. คณิตศาสตร์ ป.6. - โรงยิม. 2549.
3. เดปแมน ไอ.ยา., วิเลนคิน เอ็น.ยา. ด้านหลังหน้าหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ - อ.: การศึกษา, 2532.
4. Ruukin A.N., Tchaikovsky I.V. งานมอบหมายสำหรับหลักสูตรคณิตศาสตร์สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 5-6 - อ.: ZSh MEPhI, 2011.
5. Ruukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. คณิตศาสตร์ 5-6 คู่มือสำหรับนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 ของโรงเรียนโต้ตอบ MEPhI - อ.: ZSh MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. คณิตศาสตร์: ตำราเรียนคู่สนทนาสำหรับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5-6 - อ.: ศึกษาศาสตร์, ห้องสมุดครูคณิตศาสตร์, 2532.

1. พอร์ทัลอินเทอร์เน็ต Matematika-na.ru ()
2. พอร์ทัลอินเทอร์เน็ต Math-portal.ru ()

การบ้าน

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburgd S.I. คณิตศาสตร์ 6. - อ.: Mnemosyne, 2012. ลำดับที่ 127, ลำดับที่ 129, ลำดับที่ 141.
2. งานอื่นๆ: หมายเลข 133, หมายเลข 144

เครื่องคิดเลขออนไลน์นี้จะแยกตัวเลขออกเป็นตัวประกอบเฉพาะโดยการแจกแจงตัวประกอบเฉพาะ หากตัวเลขมีขนาดใหญ่ เพื่อความสะดวกในการนำเสนอ ให้ใช้ตัวคั่นตัวเลข

ได้รับผลลัพธ์แล้ว!

แยกตัวประกอบตัวเลขให้เป็นปัจจัยเฉพาะ - ทฤษฎี อัลกอริธึม ตัวอย่าง และคำตอบ

วิธีแยกตัวประกอบตัวเลขที่ง่ายที่สุดวิธีหนึ่งคือการตรวจสอบว่าตัวเลขหารด้วย 2, 3, 5,... หรือไม่ เป็นต้น กล่าวคือ ตรวจสอบว่าตัวเลขหารด้วยชุดของจำนวนเฉพาะหรือไม่ ถ้าเป็นจำนวน nหารด้วยจำนวนเฉพาะใดๆ ไม่ได้ลงตัว จนถึง จำนวนนี้จึงเป็นจำนวนเฉพาะ เพราะ ถ้าตัวเลขเป็นแบบประกอบ ก็จะมีตัวประกอบอย่างน้อยสองตัว และทั้งสองตัวต้องไม่มากกว่า

ลองจินตนาการถึงอัลกอริทึมสำหรับการแยกย่อยตัวเลข nเป็นปัจจัยสำคัญ มาเตรียมตารางเลขเด่นล่วงหน้ากัน ส- ให้เราแสดงชุดของจำนวนเฉพาะด้วย พี 1 , พี 2 , พี 3 , ...

อัลกอริทึมในการจำแนกตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ:

ตัวอย่างที่ 1 แยกตัวประกอบจำนวน 153 ให้เป็นจำนวนเฉพาะ

สารละลาย. เราก็เพียงพอแล้วที่จะมีตารางจำนวนเฉพาะจนถึง , เช่น. 2, 3, 5, 7, 11.

หาร 153 ด้วย 2. 153 หารด้วย 2 ลงตัวไม่ได้โดยไม่มีเศษ. ต่อไป ให้หาร 153 ด้วยองค์ประกอบถัดไปของตารางจำนวนเฉพาะ เช่น ที่ 3. 153:3=51. กรอกตาราง:

ต่อไปเราตรวจสอบว่าเลข 17 หารด้วย 3 ลงตัวหรือไม่ เลข 17 หารด้วย 3 ไม่ลงตัว หารด้วยเลข 5, 7, 11 ไม่ลงตัว ตัวหารถัดไปมีค่ามากกว่า - ดังนั้น 17 จึงเป็นจำนวนเฉพาะที่หารด้วยตัวมันเองเท่านั้น: 17:17 = 1 ขั้นตอนหยุดลงแล้ว กรอกตาราง:

เราเลือกตัวหารที่หารตัวเลข 153, 51, 17 โดยไม่มีเศษ เช่น ตัวเลขทั้งหมดอยู่ทางด้านขวาของตาราง เหล่านี้คือตัวหาร 3, 3, 17 ตอนนี้เลข 153 สามารถแสดงเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะได้: 153=3·3·17

ตัวอย่างที่ 2 แยกตัวประกอบจำนวน 137 ให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ

สารละลาย. เราคำนวณ - ซึ่งหมายความว่าเราต้องตรวจสอบการหารของเลข 137 ด้วยจำนวนเฉพาะไม่เกิน 11: 2,3,5,7,11 เมื่อหารเลข 137 ด้วยตัวเลขเหล่านี้ทีละตัว เราจะพบว่าเลข 137 ไม่สามารถหารด้วยตัวเลขใดๆ ในจำนวน 2,3,5,7,11 ลงตัวได้ ดังนั้น 137 จึงเป็นจำนวนเฉพาะ

เกิดอะไรขึ้น การแยกตัวประกอบ?นี่เป็นวิธีเปลี่ยนตัวอย่างที่ไม่สะดวกและซับซ้อนให้กลายเป็นตัวอย่างที่เรียบง่ายและน่ารัก) เทคนิคที่ทรงพลังมาก! พบได้ในทุกขั้นตอนทั้งคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษาและระดับสูง

การเปลี่ยนแปลงในภาษาคณิตศาสตร์ดังกล่าวเรียกว่าการแปลงนิพจน์ที่เหมือนกัน ส่วนใครที่ยังไม่ทราบก็เข้าไปดูตามลิงค์ครับ มีน้อยมาก เรียบง่ายและมีประโยชน์) ความหมายของการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์ใดๆ คือการบันทึกการแสดงออก ในรูปแบบอื่นในขณะที่ยังคงรักษาแก่นแท้ของมันไว้

ความหมาย การแยกตัวประกอบเรียบง่ายและชัดเจนมาก ได้จากชื่อนั่นเอง คุณอาจลืม (หรือไม่รู้) ว่าตัวคูณคืออะไร แต่คุณรู้ไหมว่าคำนี้มาจากคำว่า "คูณ"?) แฟคตอริ่งหมายถึง: เป็นตัวแทนการแสดงออกในรูปแบบของการคูณบางสิ่งบางอย่างด้วยบางสิ่งบางอย่าง ขอให้คณิตศาสตร์และภาษารัสเซียยกโทษให้ฉันด้วย...) เท่านั้นเอง

ตัวอย่างเช่น คุณต้องขยายหมายเลข 12 คุณสามารถเขียนได้อย่างปลอดภัย:

ดังนั้นเราจึงนำเสนอตัวเลข 12 เป็นการคูณ 3 ด้วย 4 โปรดทราบว่าตัวเลขทางด้านขวา (3 และ 4) แตกต่างจากด้านซ้าย (1 และ 2) โดยสิ้นเชิง แต่เราเข้าใจดีว่า 12 และ 3 4 เดียวกัน.แก่นแท้ของเลข 12 จากการเปลี่ยนแปลง ยังไม่เปลี่ยนแปลง

เป็นไปได้ไหมที่จะสลาย 12 ที่แตกต่างกันออกไป? อย่างง่ายดาย!

12=3·4=2·6=3·2·2=0.5·24=........

ตัวเลือกการสลายตัวไม่มีที่สิ้นสุด

การแยกตัวประกอบตัวเลขเป็นสิ่งที่มีประโยชน์ ช่วยได้มาก เช่น เมื่อทำงานกับรูต แต่การแยกตัวประกอบนิพจน์พีชคณิตไม่เพียงมีประโยชน์เท่านั้น แต่ยังมีประโยชน์อีกด้วย จำเป็น!ตัวอย่างเช่น:

ลดความซับซ้อน:

ผู้ที่ไม่รู้วิธีแยกตัวประกอบการแสดงออกก็พักอยู่ข้างสนาม ผู้ที่รู้วิธี - ลดความซับซ้อนและรับ:

ผลลัพธ์ที่ได้นั้นน่าทึ่งมากใช่ไหม?) อย่างไรก็ตาม วิธีการแก้ปัญหานั้นค่อนข้างง่าย คุณจะเห็นเองด้านล่าง หรือตัวอย่างเช่น งานนี้:

แก้สมการ:

x 5 - x 4 = 0

มันถูกกำหนดไว้ในใจแล้วล่ะ การใช้การแยกตัวประกอบ เราจะแก้ตัวอย่างด้านล่างนี้ คำตอบ: x 1 = 0; x 2 = 1.

หรือสิ่งเดียวกัน แต่สำหรับคนที่อายุมากกว่า):

แก้สมการ:

ในตัวอย่างนี้ฉันแสดงให้เห็น วัตถุประสงค์หลักการแยกตัวประกอบ: ลดความซับซ้อนของนิพจน์เศษส่วนและการแก้สมการบางประเภท ต่อไปนี้เป็นกฎง่ายๆ ที่ควรจำ:

หากเรามีนิพจน์เศษส่วนที่น่ากลัวอยู่ตรงหน้า เราสามารถลองแยกตัวประกอบทั้งเศษและส่วนได้ บ่อยครั้งที่เศษส่วนจะลดลงและทำให้ง่ายขึ้น

หากเรามีสมการอยู่ตรงหน้า โดยทางขวาเป็นศูนย์ และทางซ้าย ผมไม่เข้าใจว่าอะไร เราสามารถลองแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายได้ บางครั้งก็ช่วยได้)

วิธีการพื้นฐานของการแยกตัวประกอบ

นี่คือวิธีการยอดนิยม:

4. การขยายตัวของตรีโกณมิติกำลังสอง

ต้องจำวิธีการเหล่านี้ ตามลำดับนั้นเลย มีการตรวจสอบตัวอย่างที่ซับซ้อน สำหรับวิธีการสลายตัวที่เป็นไปได้ทั้งหมดและควรตรวจสอบตามลำดับจะดีกว่าเพื่อไม่ให้สับสน... เรามาเริ่มกันตามลำดับ)

1. นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ

วิธีที่ง่ายและเชื่อถือได้ ไม่มีอะไรเลวร้ายมาจากเขา! จะดีหรือไม่เลยก็ได้) นั่นคือเหตุที่เขามาก่อน ลองคิดดูสิ

ทุกคนรู้ (ฉันเชื่อ!) กฎ:

ก(ข+ค) = ab+เอซี

หรือโดยทั่วไปมากขึ้น:

a(b+c+d+.....) = ab+ac+โฆษณา+....

ความเท่าเทียมกันทั้งหมดทำงานทั้งจากซ้ายไปขวาและในทางกลับกันจากขวาไปซ้าย คุณสามารถเขียน:

ab+ac = ก(ข+ค)

ab+ac+โฆษณา+.... = ก(ข+ค+ดี+.....)

นั่นคือจุดรวมของการนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ

ด้านซ้าย ก - ตัวคูณทั่วไปสำหรับทุกเงื่อนไข คูณด้วยทุกสิ่งที่มีอยู่) ด้านขวาสุดคือ กตั้งอยู่แล้ว นอกวงเล็บ

เราจะพิจารณาการประยุกต์ใช้วิธีการในทางปฏิบัติโดยใช้ตัวอย่าง ในตอนแรก ตัวเลือกนั้นเรียบง่าย แม้จะดั้งเดิมก็ตาม) แต่ในตัวเลือกนี้ ผมจะทำเครื่องหมายจุดที่สำคัญมาก (เป็นสีเขียว) สำหรับการแยกตัวประกอบใดๆ

แยกตัวประกอบ:

อา+9x

ที่ ทั่วไปตัวคูณปรากฏในทั้งสองพจน์หรือไม่? เอ็กซ์ แน่นอน! เราจะเอามันออกจากวงเล็บ ลงมือทำกันเถอะ. เราจะเขียน X นอกวงเล็บทันที:

ขวาน+9x=x(

และในวงเล็บเราเขียนผลลัพธ์ของการหาร แต่ละเทอมบน X นี้เอง ตามลำดับ:

นั่นคือทั้งหมดที่ แน่นอนว่าไม่จำเป็นต้องบรรยายให้ละเอียดขนาดนี้ก็ทำที่ใจแล้ว แต่ขอแนะนำให้เข้าใจว่าอะไรคืออะไร) เราบันทึกไว้ในความทรงจำ:

เราเขียนตัวประกอบร่วมไว้นอกวงเล็บ ในวงเล็บเราเขียนผลลัพธ์ของการหารพจน์ทั้งหมดด้วยตัวประกอบร่วมนี้ ตามลำดับ

ดังนั้นเราจึงได้ขยายการแสดงออก อา+9xโดยตัวคูณ แปลงเป็นการคูณ x ด้วย (ก+9).ฉันสังเกตว่าในนิพจน์ดั้งเดิมมีการคูณด้วยแม้แต่สอง: a·x และ 9·xแต่มัน ไม่ได้แยกตัวประกอบ!เพราะนอกจากการคูณแล้ว สำนวนนี้ยังมีการบวกเครื่องหมาย “+” ด้วย! และในการแสดงออก x(ก+9) ไม่มีอะไรนอกจากการคูณ!

ยังไงล่ะ!? - ฉันได้ยินเสียงไม่พอใจของผู้คน - และในวงเล็บ!?)

ใช่ มีการบวกอยู่ในวงเล็บ แต่เคล็ดลับก็คือว่าถึงแม้วงเล็บจะไม่เปิด เราก็พิจารณามันด้วย เหมือนจดหมายฉบับหนึ่งและเราดำเนินการทั้งหมดด้วยวงเล็บทั้งหมด เช่นเดียวกับจดหมายฉบับหนึ่งในความหมายนี้ในการแสดงออก x(ก+9)ไม่มีอะไรนอกจากการคูณ นี่คือจุดรวมของการแยกตัวประกอบ

เป็นไปได้ไหมที่จะตรวจสอบว่าเราทำทุกอย่างถูกต้องหรือไม่? อย่างง่ายดาย! การคูณสิ่งที่คุณใส่ (x) กลับเข้าไปในวงเล็บแล้วดูว่าได้ผลหรือไม่ ต้นฉบับการแสดงออก? ถ้าได้ผล ทุกอย่างจะดีมาก!)

x(a+9)=ขวาน+9x

เกิดขึ้น.)

ไม่มีปัญหาในตัวอย่างนี้ แต่ถ้ามีหลายเทอมและถึงแม้จะมีสัญญาณต่างกัน... พูดง่ายๆ ก็คือ นักเรียนคนที่สามทุกคนจะวุ่นวายกัน) ดังนั้น:

หากจำเป็น ให้ตรวจสอบการแยกตัวประกอบด้วยการคูณผกผัน

แยกตัวประกอบ:

3ax+9x

เรากำลังมองหาปัจจัยร่วม ทุกอย่างชัดเจนด้วย X ก็เอาออกได้ มีอีกไหม ทั่วไปปัจจัย? ใช่! นี่คือสาม คุณสามารถเขียนนิพจน์ดังนี้:

3ax+3 3x

เป็นที่ชัดเจนว่าปัจจัยร่วมจะเป็นเช่นไร 3x- ที่นี่เรานำมันออกมา:

3ax+3 3x=3x(a+3)

กระจายออกไป.

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าคุณเอามันออกไป แค่ x?ไม่มีอะไรพิเศษ:

3ax+9x=x(3a+9)

นี่จะเป็นการแยกตัวประกอบด้วย แต่ในกระบวนการอันน่าทึ่งนี้ เป็นเรื่องปกติที่จะจัดวางทุกอย่างให้อยู่ในขอบเขตจำกัดในขณะที่ยังมีโอกาสอยู่ ในวงเล็บมีโอกาสที่จะเอาสามออกมา ปรากฎว่า:

3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)

สิ่งเดียวกันมีเพียงหนึ่งการกระทำพิเศษเท่านั้น) ข้อควรจำ:

เมื่อนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ เราก็พยายามนำตัวประกอบร่วมออก ขีดสุดตัวคูณทั่วไป

เรามาสนุกกันต่อไหม?)

แยกตัวประกอบนิพจน์:

3akh+9х-8а-24

เราจะเอาอะไรไป? สามเอ็กซ์? ไม่... คุณทำไม่ได้ ฉันเตือนคุณว่าคุณสามารถเอาออกเท่านั้น ทั่วไปตัวคูณนั่นคือ ทั้งหมดเงื่อนไขของการแสดงออก นั่นเป็นเหตุผลที่เขา ทั่วไป.ที่นี่ไม่มีตัวคูณแบบนี้... อะไรนะ ไม่ต้องขยายมันหรอก!? ใช่แล้ว พวกเรามีความสุขมาก... พบกับ:

2. การจัดกลุ่ม

ที่จริงแล้ว การจัดกลุ่มแทบจะเรียกได้ว่าเป็นวิธีแยกตัวประกอบแบบอิสระไม่ได้ นี่เป็นวิธีหนึ่งในการออกจากตัวอย่างที่ซับซ้อน) คุณต้องจัดกลุ่มคำศัพท์เพื่อให้ทุกอย่างได้ผล สิ่งนี้สามารถแสดงได้เฉพาะตัวอย่างเท่านั้น ดังนั้นเราจึงมีนิพจน์:

3akh+9х-8а-24

จะเห็นได้ว่ามีตัวอักษรและตัวเลขอยู่บ้าง แต่... ทั่วไปไม่มีตัวคูณที่จะเป็นในทุกเงื่อนไข อย่าเสียหัวใจและ แบ่งการแสดงออกออกเป็นชิ้น ๆการจัดกลุ่ม เพื่อให้แต่ละชิ้นมีปัจจัยร่วมกันจึงมีบางอย่างที่ต้องเอาไป เราจะทำลายมันได้อย่างไร? ใช่ เราแค่ใส่วงเล็บ.

ฉันขอเตือนคุณว่าสามารถวางวงเล็บได้ทุกที่และตามที่คุณต้องการ เพียงสาระสำคัญของตัวอย่าง ยังไม่เปลี่ยนแปลงตัวอย่างเช่น คุณสามารถทำได้:

3akh+9х-8а-24=(3ах+9х)-(8а+24)

โปรดใส่ใจกับวงเล็บที่สอง! นำหน้าด้วยเครื่องหมายลบ และ 8กและ 24 กลับเป็นบวก! หากจะตรวจสอบ หากเราเปิดวงเล็บกลับ สัญญาณจะเปลี่ยน และเราก็จะได้ ต้นฉบับการแสดงออก. เหล่านั้น. สาระสำคัญของการแสดงออกจากวงเล็บไม่เปลี่ยนแปลง

แต่ถ้าคุณใส่วงเล็บโดยไม่ได้คำนึงถึงการเปลี่ยนเครื่องหมาย เช่น:

3akh+9х-8а-24=(3แอก+9x) -(8a-24 )

มันจะเป็นความผิดพลาด ทางด้านขวา - แล้ว อื่นการแสดงออก. เปิดวงเล็บแล้วทุกอย่างจะมองเห็นได้ ไม่ต้องตัดสินใจอะไรเพิ่มเติมแล้วใช่...)

แต่ลองกลับไปที่การแยกตัวประกอบกัน มาดูวงเล็บแรกกัน (3แอก+9x)และเราคิดว่ามีอะไรที่เราสามารถนำออกไปได้หรือไม่? เราได้แก้ตัวอย่างนี้ด้านบนแล้ว เรารับได้ 3x:

(3ax+9x)=3x(a+3)

ลองศึกษาวงเล็บที่สอง เราสามารถบวกแปดตรงนั้นได้:

(8a+24)=8(a+3)

การแสดงออกทั้งหมดของเราจะเป็น:

(3ax+9x)-(8a+24)=3x(a+3)-8(a+3)

แยกตัวประกอบ? เลขที่ ผลของการย่อยสลายควรจะเป็น การคูณเท่านั้นแต่สำหรับเราแล้ว เครื่องหมายลบจะทำลายทุกสิ่ง แต่... ทั้งสองคำมีปัจจัยร่วมกัน! นี้ (ก+3)- ไม่ใช่เพื่ออะไรที่ฉันบอกว่าวงเล็บทั้งหมดเป็นตัวอักษรตัวเดียว ซึ่งหมายความว่าสามารถถอดวงเล็บเหล่านี้ออกจากวงเล็บได้ ใช่แล้ว นั่นคือสิ่งที่ดูเหมือน)

เราทำตามที่อธิบายไว้ข้างต้น เราเขียนตัวประกอบร่วม (ก+3)ในวงเล็บที่สองเราเขียนผลลัพธ์ของการหารเงื่อนไขด้วย (ก+3):

3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)

ทั้งหมด! ไม่มีอะไรอยู่ทางขวานอกจากการคูณ! ซึ่งหมายความว่าการแยกตัวประกอบเสร็จสมบูรณ์แล้ว!) นี่คือ:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

ให้เราทบทวนสาระสำคัญของกลุ่มโดยย่อ

หากการแสดงออกไม่ ทั่วไปตัวคูณสำหรับ ทุกคนเราจะแบ่งนิพจน์ออกเป็นวงเล็บเพื่อให้ปัจจัยร่วมภายในวงเล็บ เคยเป็น.เรานำมันออกมาและดูว่าเกิดอะไรขึ้น หากคุณโชคดีและมีสำนวนที่เหมือนกันทุกประการเหลืออยู่ในวงเล็บ เราจะย้ายเครื่องหมายวงเล็บเหล่านี้ออกจากวงเล็บ

ฉันจะเสริมว่าการจัดกลุ่มเป็นกระบวนการที่สร้างสรรค์) มันไม่ได้ผลในครั้งแรกเสมอไป ไม่เป็นไร. บางครั้งคุณต้องสลับเงื่อนไขและพิจารณาตัวเลือกการจัดกลุ่มต่างๆ จนกว่าคุณจะพบตัวเลือกที่ประสบความสำเร็จ สิ่งสำคัญที่นี่คืออย่าเสียหัวใจ!)

ตัวอย่าง.

ตอนนี้เมื่อเพิ่มพูนความรู้ให้กับตัวเองแล้ว คุณสามารถแก้ตัวอย่างที่ยุ่งยากได้) ในตอนต้นของบทเรียนมีสามสิ่งนี้...

ลดความซับซ้อน:

โดยพื้นฐานแล้วเราได้แก้ไขตัวอย่างนี้แล้ว โดยที่เราไม่รู้ตัว) ฉันเตือนคุณว่า: หากเราได้รับเศษส่วนแย่มาก เราจะพยายามแยกตัวประกอบทั้งตัวเศษและส่วน ตัวเลือกการทำให้เข้าใจง่ายอื่น ๆ ไม่เลย

ตัวส่วนตรงนี้ไม่ได้ขยาย แต่ตัวเศษ... เราได้ขยายตัวเศษแล้วในระหว่างบทเรียน! แบบนี้:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

เราเขียนผลลัพธ์ของการขยายตัวเป็นตัวเศษของเศษส่วน:

ตามกฎของการลดเศษส่วน (คุณสมบัติหลักของเศษส่วน) เราสามารถหาร (ในเวลาเดียวกัน!) ตัวเศษและส่วนด้วยจำนวนหรือนิพจน์เดียวกันได้ เศษส่วนจากสิ่งนี้ ไม่เปลี่ยนแปลงเราก็หารทั้งเศษและส่วนด้วยพจน์ (3x-8)- และที่นี่และที่นั่นเราจะได้รับสิ่งเหล่านั้น ผลลัพธ์สุดท้ายของการทำให้เข้าใจง่าย:

ฉันอยากจะเน้นเป็นพิเศษ: การลดเศษส่วนนั้นเป็นไปได้ก็ต่อเมื่ออยู่ในตัวเศษและตัวส่วนเท่านั้น นอกเหนือจากการคูณนิพจน์ ไม่มีอะไร.นั่นคือสาเหตุที่การแปลงผลรวม (ผลต่าง) เป็น การคูณสำคัญมากสำหรับการลดความซับซ้อน แน่นอนว่าหากแสดงออกทางสำนวน แตกต่าง,แล้วไม่มีอะไรจะลดลง มันจะเกิดขึ้น. แต่การแยกตัวประกอบ ให้โอกาสโอกาสที่ปราศจากการสลายตัวไม่ได้อยู่ที่นั่น

ตัวอย่างที่มีสมการ:

แก้สมการ:

x 5 - x 4 = 0

เรานำปัจจัยร่วมออกมา x4ออกจากวงเล็บ เราได้รับ:

x 4 (x-1)=0

เราตระหนักว่าผลคูณของปัจจัยมีค่าเท่ากับศูนย์ จากนั้นและเมื่อนั้นเท่านั้นเมื่ออันใดอันหนึ่งเป็นศูนย์ หากมีข้อสงสัย ให้หาจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์สองสามจำนวนซึ่งเมื่อคูณแล้วจะได้ศูนย์) ดังนั้นเราจึงเขียนโดยใส่ตัวประกอบแรกก่อน:

ด้วยความเท่าเทียมเช่นนี้ ปัจจัยที่สองจึงไม่เกี่ยวข้องกับเรา ใครๆ ก็เป็นได้ แต่สุดท้ายก็ยังเป็นศูนย์ ศูนย์ให้เลขยกกำลังสี่เป็นจำนวนเท่าใด ศูนย์เท่านั้น! และไม่มีอย่างอื่น... ดังนั้น:

เราหาปัจจัยแรกแล้วพบหนึ่งราก ลองดูที่ปัจจัยที่สอง ตอนนี้เราไม่สนใจปัจจัยแรกอีกต่อไป):

ที่นี่เราพบวิธีแก้ปัญหา: x 1 = 0; x 2 = 1- รากใดๆ เหล่านี้ตรงกับสมการของเรา

หมายเหตุที่สำคัญมาก โปรดทราบว่าเราได้แก้สมการแล้ว ชิ้นต่อชิ้น!แต่ละปัจจัยมีค่าเท่ากับศูนย์ โดยไม่คำนึงถึงปัจจัยอื่น ๆยังไงก็ตามถ้าในสมการนี้ไม่มีปัจจัยสองอย่างเหมือนของเรา แต่มีสามห้าเท่าที่คุณต้องการเราจะแก้ คล้ายกัน.ชิ้นต่อชิ้น. ตัวอย่างเช่น:

(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0

ใครก็ตามที่เปิดวงเล็บแล้วคูณทุกอย่างจะติดอยู่ในสมการนี้ตลอดไป) นักเรียนที่ถูกต้องจะมองเห็นทันทีว่าไม่มีอะไรอยู่ทางซ้ายนอกจากการคูณ และมีศูนย์ทางด้านขวา และเขาจะเริ่มต้น (ในใจ!) เพื่อจัดวงเล็บทั้งหมดให้เป็นศูนย์ และเขาจะได้รับวิธีแก้ปัญหาที่ถูกต้อง (ใน 10 วินาที!): x 1 = 1; x 2 = -5; x 3 = 3; x 4 = -2.

เจ๋งเลยใช่ไหม?) วิธีแก้ปัญหาที่สวยงามเช่นนี้เป็นไปได้หากอยู่ทางด้านซ้ายของสมการ แยกตัวประกอบมีคำใบ้ไหม?)

ตัวอย่างสุดท้ายสำหรับผู้เฒ่า):

แก้สมการ:

มันค่อนข้างคล้ายกับอันที่แล้วคุณว่าไหม?) แน่นอน ถึงเวลาที่ต้องจำไว้ว่าในพีชคณิตชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ไซน์ ลอการิทึม และอื่นๆ สามารถซ่อนอยู่ใต้ตัวอักษรได้! การแยกตัวประกอบทำงานตลอดทั้งวิชาคณิตศาสตร์

เรานำปัจจัยร่วมออกมา แอลจี 4 xออกจากวงเล็บ เราได้รับ:

บันทึก 4 x=0

นี่คือหนึ่งราก ลองดูที่ปัจจัยที่สอง

นี่คือคำตอบสุดท้าย: x 1 = 1; x 2 = 10.

ฉันหวังว่าคุณจะตระหนักถึงพลังของการแยกตัวประกอบในการทำให้เศษส่วนง่ายขึ้นและการแก้สมการ)

ในบทเรียนนี้ เราได้เรียนรู้เกี่ยวกับการแยกตัวประกอบและการจัดกลุ่มทั่วไป ยังคงต้องเข้าใจสูตรสำหรับการคูณแบบย่อและตรีโกณมิติกำลังสอง

หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...

ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้

จำนวนประกอบใดๆ สามารถแยกตัวประกอบเป็นตัวประกอบเฉพาะได้ การสลายตัวอาจมีได้หลายวิธี วิธีใดวิธีหนึ่งให้ผลลัพธ์เดียวกัน

จะแยกตัวประกอบตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะด้วยวิธีที่สะดวกที่สุดได้อย่างไร? มาดูวิธีที่ดีที่สุดในการทำเช่นนี้โดยใช้ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง

ตัวอย่าง.

1) แยกตัวประกอบของ 1400 ให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ

1400 หารด้วย 2 ลงตัว 2 เป็นจำนวนเฉพาะ ไม่จำเป็นต้องแยกตัวประกอบ เราได้ 700 หารด้วย 2 เราได้ 350 เราก็หาร 350 ด้วย 2 เช่นกัน ผลลัพธ์ที่ได้คือ 175 หารด้วย 5 ได้ ผลลัพธ์คือ 35 - หารด้วย 5 อีกครั้ง รวม - 7 หารด้วยเท่านั้น 7. เราได้ 1, การหารจบลง.

จำนวนเดียวกันสามารถแยกตัวประกอบได้ต่างกัน:

สะดวกในการหาร 1400 ด้วย 10 เนื่องจาก 10 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ จึงจำเป็นต้องแยกตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะ: 10=2∙5 ผลลัพธ์คือ 140 เราหารมันอีกครั้งด้วย 10=2∙5 เราได้ 14 ถ้า 14 หารด้วย 14 ก็ควรแยกย่อยเป็นผลคูณของตัวประกอบเฉพาะ: 14=2∙7

สรุป: เมื่อแยกย่อยตัวเลข ไม่จำเป็นต้องแบ่งเป็นเฉพาะตัวประกอบเฉพาะเท่านั้น เราหารด้วยสิ่งที่สะดวกกว่า เช่น ด้วย 10 คุณแค่ต้องจำไว้ว่าต้องแยกตัวหารประกอบให้เป็นตัวประกอบง่ายๆ

2) แยกตัวประกอบจำนวน 1620 ให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ

วิธีที่สะดวกที่สุดในการหาร 1620 คือ 10 เนื่องจาก 10 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ เราจึงแสดงเป็นผลคูณของตัวประกอบเฉพาะ: 10=2∙5 เราได้ 162 หารด้วย 2 ง่ายกว่า ผลลัพธ์คือ 81 เลข 81 หาร 3 ได้ แต่ด้วย 9 สะดวกกว่า เนื่องจาก 9 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ เราจึงขยายเป็น 9=3∙3 เราได้ 9. เรายังหารมันด้วย 9 แล้วขยายเป็นผลคูณของตัวประกอบเฉพาะ.

บ่อยครั้งที่ตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนเป็นนิพจน์พีชคณิตที่ต้องแยกตัวประกอบก่อนจากนั้นเมื่อพบตัวที่เหมือนกันแล้วให้หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยพวกมันนั่นคือลดเศษส่วน หนังสือเรียนพีชคณิตเกรด 7 ทั้งบทมีเนื้อหาเกี่ยวกับการแยกตัวประกอบพหุนาม การแยกตัวประกอบสามารถทำได้ 3 วิธีรวมไปถึงการผสมผสานวิธีการเหล่านี้เข้าด้วยกัน

1. การใช้สูตรคูณแบบย่อ

ดังที่ทราบกันดีว่า คูณพหุนามด้วยพหุนามคุณต้องคูณแต่ละพจน์ของพหุนามหนึ่งด้วยแต่ละพจน์ของพหุนามอีกตัวหนึ่ง แล้วบวกผลลัพธ์ที่ได้ มีกรณีการคูณพหุนามเกิดขึ้นบ่อยครั้งอย่างน้อย 7 (เจ็ด) กรณีซึ่งรวมอยู่ในแนวคิดนี้ ตัวอย่างเช่น,

ตารางที่ 1. การแยกตัวประกอบในวิธีที่ 1

2. นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ

วิธีการนี้เป็นไปตามการประยุกต์ใช้กฎการคูณแบบกระจาย ตัวอย่างเช่น,

เราหารแต่ละเทอมของนิพจน์ดั้งเดิมด้วยปัจจัยที่เรานำออกมา และเราจะได้นิพจน์ในวงเล็บ (นั่นคือ ผลลัพธ์ของการหารสิ่งที่เป็นด้วยสิ่งที่เรานำออกยังคงอยู่ในวงเล็บ) ก่อนอื่นคุณต้อง กำหนดตัวคูณได้อย่างถูกต้องซึ่งจะต้องนำออกจากวงเล็บ

ตัวประกอบร่วมอาจเป็นพหุนามในวงเล็บก็ได้:

เมื่อดำเนินการ "แยกตัวประกอบ" คุณต้องระมัดระวังเป็นพิเศษกับสัญญาณเมื่อนำตัวประกอบทั้งหมดออกจากวงเล็บ เพื่อเปลี่ยนเครื่องหมายของแต่ละเทอมในวงเล็บ (ข-ก)เรามาเอาตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บกันดีกว่า -1 และแต่ละพจน์ในวงเล็บจะหารด้วย -1: (ข - ก) = - (ก - ข) .

ถ้านิพจน์ในวงเล็บเป็นรูปยกกำลังสอง (หรือยกกำลังคู่ใดๆ) แสดงว่า สามารถเปลี่ยนตัวเลขในวงเล็บได้ อย่างอิสระโดยสมบูรณ์ เนื่องจาก minuses ที่นำออกจากวงเล็บจะยังคงกลายเป็นเครื่องหมายบวกเมื่อคูณ: (ข - ก) 2 = (ก - ข) 2, (ข - ก) 4 = (ก - ข) 4 และอื่น ๆ...

3. วิธีการจัดกลุ่ม

บางครั้งคำศัพท์บางคำในนิพจน์ไม่ได้มีปัจจัยร่วมกัน แต่มีเพียงบางคำเท่านั้น จากนั้นคุณสามารถลอง เงื่อนไขกลุ่ม ในวงเล็บเพื่อให้สามารถนำปัจจัยบางอย่างออกจากแต่ละปัจจัยได้ วิธีการจัดกลุ่ม- นี่คือการลบปัจจัยทั่วไปออกจากวงเล็บสองครั้ง

4. ใช้หลายวิธีพร้อมกัน

บางครั้งคุณไม่จำเป็นต้องใช้วิธีใดวิธีหนึ่ง แต่ต้องใช้หลายวิธีในการแยกตัวประกอบพหุนามในคราวเดียว

นี่คือบทสรุปของหัวข้อ "การแยกตัวประกอบ"- เลือกขั้นตอนถัดไป:

• ไปที่บทสรุปถัดไป: