วิธีสร้างมุมให้เท่ากับมุมที่กำหนด วิธีสร้างมุมให้เท่ากับมุมที่กำหนด

บ่อยครั้งที่จำเป็นต้องวาด (“สร้าง”) มุมที่จะเท่ากับมุมที่กำหนด และการก่อสร้างจะต้องทำโดยไม่ต้องใช้ไม้โปรแทรกเตอร์ แต่ใช้เพียงเข็มทิศและไม้บรรทัดเท่านั้น เมื่อรู้วิธีสร้างสามเหลี่ยมสามด้าน เราก็สามารถแก้ปัญหานี้ได้ ปล่อยให้มันเป็นเส้นตรง มน(รูปที่ 60 และ 61) จำเป็นต้องสร้างตรงจุด เคมุม, เท่ากับมุม บี- ซึ่งหมายความว่าจำเป็นตั้งแต่จุดนั้น เควาดเส้นตรงด้วยส่วนประกอบ มนมุมเท่ากับ บี.

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ทำเครื่องหมายในแต่ละด้าน มุมที่กำหนดทีละจุด เป็นต้น กและ กับและเชื่อมต่อ กและ กับเส้นตรง. เราได้สามเหลี่ยม เอบีซี- ให้เราสร้างเป็นเส้นตรงตอนนี้ มนสามเหลี่ยมนี้ถึงจุดยอดของมัน ในอยู่ที่จุด ถึง: ณ จุดนี้มุมจะถูกสร้างขึ้นเท่ากับมุม ใน- สร้างรูปสามเหลี่ยมโดยใช้ด้านทั้งสาม วีเอส, เวอร์จิเนียและ เครื่องปรับอากาศเรารู้วิธี: เราเลื่อน (รูปที่ 62) จากจุดนั้น ถึงส่วนของเส้น เคแอลเท่ากัน ดวงอาทิตย์- เราได้รับประเด็น ล- รอบๆ เคเนื่องจากใกล้กับจุดศูนย์กลาง เราจะอธิบายวงกลมที่มีรัศมี เวอร์จิเนียและรอบๆ ล –รัศมี SA- หยุดเต็ม รเราเชื่อมต่อทางแยกของวงกลมด้วย ถึงและ Z เราได้สามเหลี่ยม เคพีแอลเท่ากับรูปสามเหลี่ยม เอบีซี- มีมุมอยู่ในนั้น ถึง= ส.ค. ใน.

การก่อสร้างนี้จะดำเนินการได้เร็วและสะดวกยิ่งขึ้นหากจากด้านบน ในวางส่วนที่เท่ากัน (ด้วยการละลายของเข็มทิศหนึ่งครั้ง) และโดยไม่ต้องขยับขาให้อธิบายวงกลมรอบจุดที่มีรัศมีเท่ากัน ถึง,เหมือนอยู่ใกล้ศูนย์กลาง

วิธีแบ่งครึ่งมุม

สมมติว่าเราต้องแบ่งมุม ก(รูปที่ 63) ออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กันโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด โดยไม่ต้องใช้ไม้โปรแทรกเตอร์ เราจะแสดงวิธีการทำ

จากด้านบน กวางส่วนที่เท่ากันไว้ที่ด้านข้างของมุม เอบีและ เครื่องปรับอากาศ(แผนภาพที่ 64 ทำได้โดยการละลายเข็มทิศ) จากนั้นเราก็วางปลายเข็มทิศไว้ที่จุดต่างๆ ในและ กับและอธิบายส่วนโค้งที่มีรัศมีเท่ากันตัดกันที่จุดนั้น ดี.เชื่อมต่อตรง กและ D แบ่งมุม กครึ่งหนึ่ง

เรามาอธิบายว่าทำไมถึงเป็นเช่นนี้ ถ้าตรงประเด็น ดีเชื่อมต่อกับ ในและ C (รูปที่ 65) จากนั้นคุณจะได้สามเหลี่ยมสองอัน เอดีซีและ เอดีบี, ยซึ่งมีด้านร่วมกัน ค.ศ- ด้านข้าง เอบีเท่ากับด้านข้าง เครื่องปรับอากาศ, ก วดีเท่ากับ ซีดี.สามเหลี่ยมเท่ากันทั้งสามด้าน ซึ่งหมายความว่ามุมเท่ากัน แย่และ ดีเอซี,นอนอยู่ตรงข้ามด้านที่เท่ากัน วดีและ ซีดี- ดังนั้นตรง ค.ศแบ่งมุม คุณครึ่งหนึ่ง

การใช้งาน

12. สร้างมุม 45° โดยไม่ต้องใช้ไม้โปรแทรกเตอร์ ที่ 22°30’. ที่ 67°30'

วิธีแก้ปัญหา: หารมุมขวาครึ่ง เราจะได้มุม 45° เมื่อแบ่งมุม 45° ออกเป็นสองส่วน เราจะได้มุม 22°30’ เมื่อสร้างผลรวมของมุม 45° + 22°30’ เราจะได้มุม 67°30’

วิธีสร้างรูปสามเหลี่ยมโดยใช้สองด้านและมุมระหว่างสองด้าน

สมมติว่าคุณจำเป็นต้องค้นหาระยะทางระหว่างเหตุการณ์สำคัญสองเหตุการณ์บนพื้นโลก กและ ใน(ปีศาจ 66) คั่นด้วยหนองน้ำที่ไม่สามารถผ่านได้

ทำอย่างไร?

เราทำได้: เลือกจุดที่อยู่ห่างจากหนองน้ำ กับจากจุดที่มองเห็นเหตุการณ์สำคัญทั้งสองจุดและสามารถวัดระยะทางได้ เครื่องปรับอากาศและ ดวงอาทิตย์.มุม กับเราวัดโดยใช้อุปกรณ์โกนิโอเมตริกพิเศษ (เรียกว่า str o l b i e) ตามข้อมูลเหล่านี้ เช่น ตามด้านที่วัดได้ เอ.ซี.และ ดวงอาทิตย์และมุม กับระหว่างนั้น เรามาสร้างสามเหลี่ยมกัน เอบีซีที่ไหนสักแห่งบนภูมิประเทศที่สะดวกดังนี้ เช่น วัดด้านหนึ่งที่ทราบเป็นเส้นตรง (รูปที่ 67) เครื่องปรับอากาศ,สร้างมันให้ตรงจุด กับมุม กับ- อีกด้านหนึ่งของมุมนี้จะมีการวัดด้านที่ทราบ ดวงอาทิตย์.ส่วนปลายของด้านที่รู้จัก เช่น จุด กและ ในเชื่อมต่อกันด้วยเส้นตรง ผลลัพธ์ที่ได้คือรูปสามเหลี่ยมซึ่งด้านสองด้านและมุมระหว่างทั้งสองมีมิติระบุไว้ล่วงหน้า

จากวิธีการก่อสร้าง เห็นได้ชัดว่าสามารถสร้างสามเหลี่ยมได้เพียงรูปเดียวโดยใช้สองด้านและมุมระหว่างสามเหลี่ยมเหล่านั้น ดังนั้น หากด้านสองด้านของสามเหลี่ยมด้านหนึ่งเท่ากับสองด้านของอีกด้านหนึ่งและมุมระหว่างด้านเหล่านี้เท่ากัน สามเหลี่ยมดังกล่าวก็สามารถซ้อนทับกันได้ทุกจุด กล่าวคือ ด้านที่สามและมุมอื่นๆ จะต้องเท่ากันด้วย ซึ่งหมายความว่าความเท่ากันของด้านสองด้านของสามเหลี่ยมและมุมระหว่างสามเหลี่ยมทั้งสองสามารถใช้เป็นเครื่องหมายได้ ความเท่าเทียมกันโดยสมบูรณ์สามเหลี่ยมเหล่านี้ ในระยะสั้น:

สามเหลี่ยมจะเท่ากันทั้งสองด้านและอยู่ที่มุมระหว่างสามเหลี่ยมเหล่านั้น

ในปัญหาการก่อสร้างเราจะพิจารณาการก่อสร้าง รูปทรงเรขาคณิตซึ่งสามารถทำได้โดยใช้ไม้บรรทัดและเข็มทิศ

การใช้ไม้บรรทัดทำให้คุณสามารถ:

เส้นตรงโดยพลการ

เส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนด

เส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุด

เมื่อใช้เข็มทิศ คุณสามารถอธิบายวงกลมที่มีรัศมีที่กำหนดจากจุดศูนย์กลางที่กำหนดได้

การใช้เข็มทิศทำให้คุณสามารถวาดส่วนบนเส้นที่กำหนดจากจุดที่กำหนดได้

พิจารณางานก่อสร้างหลัก

ภารกิจที่ 1สร้างสามเหลี่ยมโดยให้ด้าน a, b, c (รูปที่ 1)

สารละลาย. ใช้ไม้บรรทัดวาดเส้นตรงตามต้องการแล้วกำหนดจุด B บนเส้นนั้น โดยการใช้ช่องเข็มทิศเท่ากับ a เราจะอธิบายวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง B และรัศมี a ให้ C เป็นจุดตัดกับเส้นตรง เมื่อเข็มทิศเปิดเท่ากับ c เราจะอธิบายวงกลมจากศูนย์กลาง B และเมื่อเข็มทิศเปิดเท่ากับ b เราจะอธิบายวงกลมจากศูนย์กลาง C โดยให้ A เป็นจุดตัดของวงกลมเหล่านี้ สามเหลี่ยมเอบีซีมีด้านเท่ากับ a, b, c

ความคิดเห็น เพื่อให้ส่วนตรงสามส่วนทำหน้าที่เป็นด้านของสามเหลี่ยม จำเป็นที่ส่วนที่ใหญ่ที่สุดจะต้องน้อยกว่าผลรวมของอีกสองส่วนที่เหลือ (และ< b + с).

ภารกิจที่ 2

สารละลาย. มุมที่มีจุดยอด A และรังสี OM แสดงในรูปที่ 2

มาดำเนินการกัน วงกลมตามอำเภอใจโดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดยอด A ของมุมที่กำหนด ให้ B และ C เป็นจุดตัดของวงกลมกับด้านข้างของมุม (รูปที่ 3, a) ด้วยรัศมี AB เราวาดวงกลมโดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด O - จุดเริ่มต้นของรังสีนี้ (รูปที่ 3, b) ให้เราแสดงจุดตัดของวงกลมนี้ด้วยรังสีนี้เป็น C 1 . ให้เราอธิบายวงกลมที่มีศูนย์กลาง C 1 และรัศมี BC จุด B 1 ของจุดตัดของวงกลมสองวงอยู่ที่ด้านข้างของมุมที่ต้องการ ตามมาจากความเท่าเทียมกัน Δ ABC = Δ OB 1 C 1 (เครื่องหมายที่สามของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม)

ภารกิจที่ 3สร้างเส้นแบ่งครึ่งของมุมนี้ (รูปที่ 4)

สารละลาย. จากจุดยอด A ของมุมที่กำหนด เช่นเดียวกับจากจุดศูนย์กลาง เราวาดวงกลมที่มีรัศมีตามใจชอบ ให้ B และ C เป็นจุดตัดกับด้านข้างของมุม จากจุด B และ C เราอธิบายวงกลมที่มีรัศมีเท่ากัน ให้ D เป็นจุดตัดกัน แตกต่างจาก A. เรย์ AD ตัดมุม A ตามมาจากความเท่าเทียมกัน Δ ABD = Δ ACD (เกณฑ์ที่สามสำหรับความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม)

ภารกิจที่ 4วาดเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากกับส่วนนี้ (รูปที่ 5)

สารละลาย. ด้วยการใช้การเปิดเข็มทิศแบบอิสระแต่เหมือนกัน (ขนาดใหญ่กว่า 1/2 AB) เราจะอธิบายส่วนโค้งสองส่วนที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด A และ B ซึ่งจะตัดกันที่จุด C และ D บางจุด เส้น CD เส้นตรงจะเป็นเส้นตั้งฉากที่ต้องการ จริงๆ แล้ว ดังที่เห็นได้จากการก่อสร้าง แต่ละจุด C และ D อยู่ห่างจาก A และ B เท่าๆ กัน ดังนั้นจุดเหล่านี้จึงต้องอยู่บนเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากกับส่วน AB

ภารกิจที่ 5แบ่งส่วนนี้ออกครึ่งหนึ่ง แก้ไขได้ในลักษณะเดียวกับปัญหาที่ 4 (ดูรูปที่ 5)

ภารกิจที่ 6ผ่านจุดที่กำหนด ให้ลากเส้นตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด

สารละลาย. มีสองกรณีที่เป็นไปได้:

1) จุดที่กำหนด O อยู่บนเส้นตรงที่กำหนด a (รูปที่ 6)

จากจุด O เราวาดวงกลมที่มีรัศมีตามใจตัดเส้น a ที่จุด A และ B จากจุด A และ B เราวาดวงกลมที่มีรัศมีเท่ากัน ให้ O 1 เป็นจุดตัดกัน แตกต่างจาก O เราจะได้ OO 1 ⊥ AB ที่จริงแล้ว จุด O และ O 1 นั้นมีระยะห่างเท่ากันจากปลายส่วน AB ดังนั้นจึงอยู่บนเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากกับส่วนนี้

การสร้างมุมเท่ากับมุมที่กำหนด ให้ไว้: มุม A A มุมที่สร้างขึ้น O. B C O D E พิสูจน์: A = O พิสูจน์: พิจารณาสามเหลี่ยม ABC และ ODE 1.AC = OE เช่นรัศมีของวงกลมหนึ่งวง 2.AB=OD เป็นรัศมีของวงกลมหนึ่งวง 3.ВС=DE เป็นรัศมีของวงกลมหนึ่งวง ABC = ODE (รางวัลที่ 3) A = O

ขอให้เราพิสูจน์ว่ารังสี AB เป็นเส้นแบ่งครึ่ง A P L A N 1. โครงสร้างเพิ่มเติม 2. ให้เราพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม ACB และ ADB 3. สรุป A B C D 1.AC = AD เป็นรัศมีของวงกลมหนึ่งวง 2.CB=DB คือรัศมีของวงกลมหนึ่งวง 3.AB – ด้านร่วม ACB = ADB ตามเกณฑ์ III ของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม Ray AB - เส้นแบ่งครึ่ง การสร้างเส้นแบ่งครึ่งของมุม

A N B A C 1 = 2 12 ในรูปสามเหลี่ยม r/b AMB ส่วน MC คือเส้นแบ่งครึ่ง ดังนั้นจึงเป็นความสูง จากนั้นและมน. M ลองพิสูจน์ว่า MN ลองดูตำแหน่งของวงเวียน AM=AN=MB=BN โดยมีรัศมีเท่ากัน MN-ด้านทั่วไป MВN= MAN บนทั้งสามด้าน สร้างเส้นตั้งฉาก ม

Q P BA ARQ = BPQ มีสามด้าน = 2 สามเหลี่ยม ARV r/b ส่วน PO คือเส้นแบ่งครึ่ง และดังนั้นจึงเป็นค่ามัธยฐาน จากนั้นจุด O อยู่ตรงกลางของ AB О ให้เราพิสูจน์ว่า O เป็นจุดกึ่งกลางของส่วน AB การสร้างจุดกึ่งกลางของส่วน

D C การสร้างรูปสามเหลี่ยมโดยใช้สองด้านและมุมระหว่างสองด้าน มุม hk h 1 ลองสร้างรังสี a กัน 2. แบ่งส่วน AB เท่ากับ P 1 Q 1 ไว้ 3. สร้างมุมเท่ากับมุมนี้ 4. ให้เรากันส่วน AC ไว้เท่ากับ P 2 Q 2 VA สามเหลี่ยม ABC คืออันที่ต้องการ ปรับเหตุผลโดยใช้เครื่องหมายแรก ให้ไว้: ส่วน P 1 Q 1 และ P 2 Q 2 Q1Q1 P1P1 P2P2 Q2Q2 a k

D C การสร้างรูปสามเหลี่ยมโดยใช้ด้านหนึ่งและมุมสองมุมที่อยู่ติดกัน มุม h 1 k 1 h2h2 1. สร้างรังสี a. 2. แบ่งส่วน AB เท่ากับ P 1 Q 1 3. สร้างมุมเท่ากับ h 1 k 1 ที่กำหนด 4. สร้างมุมเท่ากับ h 2 k 2 BA สามเหลี่ยม ABC คืออันที่ต้องการ ปรับเหตุผลโดยใช้เครื่องหมายที่สอง ให้ไว้: ส่วน P 1 Q 1 Q1Q1 P1P1 a k2k2 h1h1 k1k1 N

C 1. มาสร้างรังสี a กันดีกว่า 2. กันส่วน AB ไว้เท่ากับ P 1 Q 1 3. สร้างส่วนโค้งโดยมีจุดศูนย์กลางที่จุด A และรัศมี P 2 Q 2 4. สร้างส่วนโค้งโดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด B และรัศมี P 3 Q 3 BA A Triangle ABC ตามหา ปรับเหตุผลโดยใช้เครื่องหมายที่สาม ให้ไว้: ส่วน P 1 Q 1, P 2 Q 2, P 3 Q 3 Q1Q1 P1P1 P3P3 Q2Q2 a P2P2 Q3Q3 การสร้างรูปสามเหลี่ยมโดยใช้สามด้าน

วัตถุประสงค์ของบทเรียน: เพื่อพัฒนาความสามารถในการสร้างมุมเท่ากับมุมที่กำหนด ภารกิจ: สร้างเงื่อนไขสำหรับการเรียนรู้อัลกอริธึมเพื่อสร้างมุมเท่ากับมุมที่กำหนดโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด สร้างเงื่อนไขสำหรับการเรียนรู้ลำดับของการกระทำเมื่อแก้ไขปัญหาการก่อสร้าง (การวิเคราะห์ การก่อสร้าง การพิสูจน์) พัฒนาทักษะการใช้คุณสมบัติของวงกลม สัญลักษณ์แห่งความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมเพื่อแก้ปัญหาการพิสูจน์ ให้โอกาสในการใช้ทักษะใหม่ ๆ ในการแก้ปัญหา

ในเรขาคณิต มีปัญหาการก่อสร้างที่สามารถแก้ไขได้ด้วยความช่วยเหลือของเครื่องมือสองอย่างเท่านั้น: เข็มทิศและไม้บรรทัดที่ไม่มีการแบ่งขนาด ไม้บรรทัดช่วยให้คุณสามารถวาดเส้นตรงได้ตามใจชอบตลอดจนสร้างเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุด เมื่อใช้เข็มทิศ คุณสามารถวาดวงกลมที่มีรัศมีตามใจชอบได้ เช่นเดียวกับวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง ณ จุดที่กำหนดและมีรัศมีเท่ากับส่วนที่กำหนด ฉัน สาม ฉัน สาม ฉัน สาม ฉัน สาม ฉัน สาม ฉัน สาม ฉัน สาม ฉัน สาม ฉัน สาม ฉัน สาม ฉัน สาม ฉัน สาม ฉัน สาม ฉัน สาม ฉัน สาม ฉัน สาม ฉัน

ให้ไว้: มุม A A สร้างแล้ว: มุม O B C O D E พิสูจน์: A = O พิสูจน์: พิจารณาสามเหลี่ยม ABC และ ODE 1.AC = OE เช่นรัศมีของวงกลมหนึ่งวง 2.AB=OD เป็นรัศมีของวงกลมหนึ่งวง 3.ВС=DE เป็นรัศมีของวงกลมหนึ่งวง ABC = ODE (รางวัลที่ 3) A = O ภารกิจที่ 2 จัดมุมจากรังสีที่กำหนดให้เท่ากับค่าที่กำหนด

ลองพิสูจน์ว่ารังสี AB เป็นเส้นแบ่งครึ่ง A 3 พิสูจน์: โครงสร้างเพิ่มเติม (เชื่อมต่อจุด B กับจุด D และ C) ลองพิจารณา ACB และ ADB: A B C D 1.AC = AD เป็นรัศมีของวงกลมหนึ่งวง 2.CB=DB คือรัศมีของวงกลมหนึ่งวง 3. AB – ด้านร่วม ACB = ADB ตามเกณฑ์ III ของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม เรย์ AB เป็นเส้นแบ่งครึ่ง 4 การวิจัย: ปัญหาย่อมมีทางแก้ไขเฉพาะตัวเสมอ

โครงการแก้ไขปัญหาการก่อสร้าง: การวิเคราะห์ (การวาดรูปที่ต้องการ, การสร้างการเชื่อมต่อระหว่างองค์ประกอบที่กำหนดและองค์ประกอบที่ต้องการ, แผนการก่อสร้าง) ก่อสร้างตามแผนที่วางไว้ พิสูจน์ว่าตัวเลขนี้เป็นไปตามเงื่อนไขของปัญหา การวิจัย (เมื่อใดและกี่วิธีแก้ปัญหา)