คุณสมบัติของบิสเซกทริกซ์

คุณสมบัติของเส้นแบ่งครึ่ง: ในรูปสามเหลี่ยม เส้นแบ่งครึ่งจะแบ่งด้านตรงข้ามออกเป็นส่วนๆ ตามสัดส่วนของด้านที่อยู่ติดกัน

เส้นแบ่งครึ่งของมุมภายนอก เส้นแบ่งครึ่งของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมตัดกับส่วนขยายของด้านที่จุดหนึ่ง ซึ่งระยะทางถึงปลายด้านนี้เป็นสัดส่วนกับด้านประชิดของรูปสามเหลี่ยม ตามลำดับ ซี บี เอ ดี

สูตรสำหรับความยาวของเส้นแบ่งครึ่ง:

สูตรหาความยาวของส่วนที่เส้นแบ่งครึ่งใช้หารด้านตรงข้ามของรูปสามเหลี่ยม

สูตรการหาอัตราส่วนความยาวของส่วนที่แบ่งครึ่งด้วยจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่ง

ปัญหาที่ 1. เส้นแบ่งครึ่งด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมถูกหารด้วยจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งในอัตราส่วน 3:2 โดยนับจากจุดยอด หาเส้นรอบวงของสามเหลี่ยมถ้าความยาวของด้านของสามเหลี่ยมที่วาดเส้นแบ่งครึ่งนี้คือ 12 ซม.

วิธีแก้ปัญหา ลองใช้สูตรเพื่อค้นหาอัตราส่วนของความยาวของส่วนที่แบ่งครึ่งด้วยจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งในรูปสามเหลี่ยม:   a + c = = 18  P ∆ ABC = a + b + c = b +(a + c) = 12 + 18 = 30 คำตอบ: P = 30ซม.

ภารกิจที่ 2 เส้นแบ่งครึ่ง BD และ CE ∆ ABC ตัดกันที่จุด O AB=14, BC=6, AC=10 ค้นหา O D.

สารละลาย. ลองใช้สูตรหาความยาวของเส้นแบ่งครึ่ง: เรามี: BD = BD = = ตามสูตรสำหรับอัตราส่วนของส่วนที่แบ่งครึ่งด้วยจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่ง: l = 2 + 1 = รวม 3 ส่วน

นี่คือส่วนที่ 1  OD = คำตอบ: OD =

ปัญหาใน ∆ ABC จะวาดเส้นแบ่งครึ่ง AL และ BK จงหาความยาวของส่วน KL หาก AB = 15, AK =7.5, BL = 5 ที่ ∆ ABC จะมีเส้นแบ่งครึ่ง AD และผ่านจุด D จะมีเส้นขนานกับ AC และตัดกัน AB ที่จุด E จงหาอัตราส่วนของ พื้นที่ ∆ ABC และ ∆ BDE ถ้า AB = 5, AC = 7 จงหาเส้นแบ่งครึ่งของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีขายาว 24 ซม. และ 18 ซม. ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เส้นแบ่งครึ่งของมุมแหลมจะแบ่งขาตรงข้ามออกเป็นส่วนๆ ยาว 4 และ 5 ซม.

5. ในสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ฐานและด้านข้างเท่ากับ 5 และ 20 ซม. ตามลำดับ จงหาเส้นแบ่งครึ่งของมุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยม 6. ค้นหาเส้นแบ่งครึ่งของมุมฉากของสามเหลี่ยมที่มีขาเท่ากับ a และ b 7. จงคำนวณความยาวของเส้นแบ่งครึ่งของมุม A ของสามเหลี่ยม ABC โดยมีความยาวด้าน a = 18 ซม., b = 15 ซม., c = 12 ซม. 8. ในรูปสามเหลี่ยม ABC ความยาวของด้าน AB, BC และ AC อยู่ในค่า อัตราส่วน 2:4:5 ตามลำดับ หาอัตราส่วนที่เส้นแบ่งครึ่งของมุมภายในถูกหารที่จุดตัดกัน

คำตอบ: คำตอบ: คำตอบ: คำตอบ: คำตอบ: คำตอบ: คำตอบ: คำตอบ: คำตอบ: AP = 6 AP = 10 ซม. KL = CP =

ในบรรดาวิชาต่างๆ มากมายของโรงเรียนมัธยมศึกษา มีวิชาหนึ่งเช่น "เรขาคณิต" เชื่อกันว่าผู้ก่อตั้งวิทยาศาสตร์เชิงระบบนี้คือชาวกรีก ปัจจุบัน เรขาคณิตของกรีกถูกเรียกว่าประถมศึกษา เนื่องจากเธอเป็นผู้เริ่มศึกษารูปแบบที่ง่ายที่สุด: ระนาบ เส้นตรง และสามเหลี่ยม เราจะมุ่งความสนใจไปที่สิ่งหลังหรือเน้นไปที่เส้นแบ่งครึ่งของตัวเลขนี้ สำหรับผู้ที่ลืมไปแล้ว เส้นแบ่งครึ่งของรูปสามเหลี่ยมคือส่วนของเส้นแบ่งครึ่งของมุมหนึ่งของรูปสามเหลี่ยม ซึ่งแบ่งครึ่งและเชื่อมจุดยอดกับจุดที่อยู่ฝั่งตรงข้าม

เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมมีคุณสมบัติหลายประการที่คุณต้องรู้เมื่อแก้ไขปัญหาบางอย่าง:

• เส้นแบ่งครึ่งของมุมคือตำแหน่งของจุดที่อยู่ห่างจากด้านประชิดมุมเท่ากัน
• เส้นแบ่งครึ่งในรูปสามเหลี่ยมแบ่งด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมออกเป็นส่วนต่างๆ ที่เป็นสัดส่วนกับด้านที่อยู่ติดกัน ตัวอย่างเช่น จากรูปสามเหลี่ยม MKB โดยมีเส้นแบ่งครึ่งโผล่ออกมาจากมุม K โดยเชื่อมจุดยอดของมุมนี้กับจุด A บนฝั่งตรงข้าม MB เมื่อวิเคราะห์คุณสมบัตินี้และสามเหลี่ยมแล้ว เราจะได้ MA/AB=MK/KB
• จุดที่เส้นแบ่งครึ่งของมุมทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมตัดกันคือจุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยมเดียวกัน
• ฐานของเส้นแบ่งครึ่งของมุมภายนอกหนึ่งมุมและมุมภายในสองมุมนั้นอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน โดยที่เส้นแบ่งครึ่งของมุมภายนอกนั้นไม่ขนานกับด้านตรงข้ามของรูปสามเหลี่ยม
• ถ้าแบ่งครึ่งสองตัวของหนึ่งแล้วนี่

ควรสังเกตว่าหากได้รับเส้นแบ่งครึ่งสามเส้นการสร้างสามเหลี่ยมจากพวกมันแม้จะใช้เข็มทิศก็เป็นไปไม่ได้

บ่อยครั้งเมื่อแก้ไขปัญหาจะไม่ทราบเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม แต่จำเป็นต้องกำหนดความยาวของมัน ในการแก้ปัญหานี้ คุณจำเป็นต้องรู้มุมที่แบ่งครึ่งด้วยเส้นแบ่งครึ่งและด้านที่อยู่ติดกับมุมนี้ ในกรณีนี้ ความยาวที่ต้องการถูกกำหนดเป็นอัตราส่วนของสองเท่าผลคูณของด้านที่อยู่ติดกับมุมและโคไซน์ของมุมที่หารครึ่งหนึ่งของผลรวมของด้านที่อยู่ติดกับมุม ตัวอย่างเช่น ให้สามเหลี่ยม MKB เดียวกัน เส้นแบ่งครึ่งโผล่ออกมาจากมุม K และตัดกับด้านตรงข้ามของ MV ที่จุด A มุมที่เส้นแบ่งครึ่งโผล่ออกมาจะแสดงด้วย y ทีนี้มาเขียนทุกสิ่งที่พูดเป็นคำในรูปแบบของสูตร: KA = (2*MK*KB*cos y/2) / (MK+KB)

หากไม่ทราบค่าของมุมที่เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมปรากฏ แต่ทราบทุกด้านของมุมนั้น เราจะใช้ตัวแปรเพิ่มเติมในการคำนวณความยาวของเส้นแบ่งครึ่งซึ่งเราจะเรียกว่ากึ่งเส้นรอบวงและเขียนแทนด้วย ตัวอักษร P: P=1/2*(MK+KB+MB) หลังจากนี้ เราจะทำการเปลี่ยนแปลงบางอย่างในสูตรก่อนหน้านี้ซึ่งกำหนดความยาวของเส้นแบ่งครึ่ง กล่าวคือ ในตัวเศษของเศษส่วนเราใส่ผลคูณของความยาวของด้านที่อยู่ติดกับมุมเป็นสองเท่าด้วยกึ่งเส้นรอบรูป และผลหารโดยลบความยาวของด้านที่สามออกจากกึ่งเส้นรอบรูป เราจะปล่อยให้ตัวส่วนไม่เปลี่ยนแปลง ในรูปแบบของสูตร จะมีลักษณะดังนี้: KA=2*√(MK*KB*P*(P-MB)) / (MK+KB)

เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมหน้าจั่วพร้อมกับคุณสมบัติทั่วไปก็มีคุณสมบัติหลายอย่างเช่นกัน จำไว้ว่านี่คือสามเหลี่ยมชนิดใด สามเหลี่ยมดังกล่าวมีสองด้านเท่ากันและมีมุมเท่ากันติดกับฐาน ตามมาว่าเส้นแบ่งครึ่งที่อยู่ด้านข้างของสามเหลี่ยมหน้าจั่วจะเท่ากัน นอกจากนี้เส้นแบ่งครึ่งที่ลดระดับลงถึงฐานยังเป็นทั้งส่วนสูงและค่ามัธยฐาน

โซโรคินา วิกา

มีการพิสูจน์คุณสมบัติของเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมและพิจารณาการประยุกต์ใช้ทฤษฎีในการแก้ปัญหา

ดาวน์โหลด:

ดูตัวอย่าง:

คณะกรรมการการศึกษาของฝ่ายบริหารของ Saratov สถาบันการศึกษาอิสระเทศบาลเขต Oktyabrsky Lyceum หมายเลข 3 ตั้งชื่อตาม เอ.เอส. พุชกิน

เทศบาลเชิงปฏิบัติทางวิทยาศาสตร์

การประชุม

"ก้าวแรก"

เรื่อง: แบ่งครึ่งและคุณสมบัติของมัน

งานเสร็จโดย: นักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 8

โซโรคินา วิกตอเรียหัวหน้างานด้านวิทยาศาสตร์: ครูคณิตศาสตร์ระดับสูงสุดโปโปวา นีน่า เฟโดรอฟนา

ซาราตอฟ 2011

1. หน้าชื่อเรื่อง………………………………………………………...1
2. สารบัญ………………………………………………………2
3. บทนำและวัตถุประสงค์………………………………………………... ..3
4. การพิจารณาคุณสมบัติของเส้นแบ่งครึ่ง

• จุดที่สาม………………………………….3
• ทฤษฎีบท 1……………………………………………………………...4
• ทฤษฎีบท 2 ……………………………………………………………………… 4
• คุณสมบัติหลักของเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม:

1. ทฤษฎีบท 3 …………………………………………………………...4
2. ภารกิจที่ 1 ………………………………………………………… … ….7
3. ภารกิจที่ 2…………………………………………………………….8
4. ภารกิจที่ 3 ……………………………………………………………………….....9
5. ภารกิจที่ 4 ………………………………………………….9-10

• ทฤษฎีบท 4 ……………………………………………………… 10-11
• สูตรการหาเส้นแบ่งครึ่ง:

1. ทฤษฎีบท 5 ………………………………………………………….11
2. ทฤษฎีบท 6…………………………………………………………….11
3. ทฤษฎีบท 7 ………………………………………………………….12
4. ภารกิจที่ 5 …………………………………………...12-13

• ทฤษฎีบท 8…………………………………………………………….13
• ภารกิจที่ 6 ………………………………………………………...….14
• ภารกิจที่ 7 ………………………………………………………… 14-15
• การกำหนดทิศทางสำคัญโดยใช้เส้นแบ่งครึ่ง……………… 15

1. บทสรุปและบทสรุป…………………………………………..15
2. รายการอ้างอิง……………………………………..16

แบ่งครึ่ง

ในชั้นเรียนเรขาคณิต ขณะศึกษาหัวข้อสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน ฉันพบปัญหาในทฤษฎีบทเกี่ยวกับความสัมพันธ์ของเส้นแบ่งครึ่งกับด้านตรงข้าม ดูเหมือนว่าอาจมีสิ่งที่น่าสนใจในหัวข้อแบ่งครึ่ง แต่หัวข้อนี้สนใจฉันและฉันต้องการศึกษาให้ลึกซึ้งยิ่งขึ้น ท้ายที่สุดแล้ว เส้นแบ่งครึ่งนั้นอุดมไปด้วยคุณสมบัติที่น่าทึ่งซึ่งช่วยแก้ปัญหาต่างๆ

เมื่อพิจารณาหัวข้อนี้ คุณจะสังเกตเห็นว่าตำราเรียนเรขาคณิตพูดถึงคุณสมบัติของเส้นแบ่งครึ่งได้น้อยมาก แต่ในการสอบ เมื่อรู้แล้ว คุณจะสามารถแก้ปัญหาได้ง่ายขึ้นและเร็วขึ้นมาก นอกจากนี้ เพื่อที่จะผ่านการสอบ State และ Unified State Exam นักเรียนสมัยใหม่จำเป็นต้องศึกษาเนื้อหาเพิ่มเติมสำหรับหลักสูตรของโรงเรียนด้วยตนเอง นั่นคือเหตุผลที่ฉันตัดสินใจศึกษาหัวข้อการแบ่งครึ่งโดยละเอียด

Bisector (จากภาษาละติน bi- “double” และ sectio “การตัด”) ของมุม หมายถึง รังสีที่มีจุดเริ่มต้นที่จุดยอดของมุม โดยแบ่งมุมออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน เส้นแบ่งครึ่งของมุม (ร่วมกับส่วนขยาย) คือตำแหน่งของจุดที่อยู่ห่างจากด้านข้างของมุมเท่ากัน (หรือส่วนขยายของมุมนั้น))

จุดที่สาม

รูปที่ ฉ คือตำแหน่งของจุด (เซตของจุด) ที่มีคุณสมบัติบางอย่างเอ, หากตรงตามเงื่อนไขสองประการ:

1. จากการที่จุดนั้นเป็นของรูปฉ ตามมาว่ามีทรัพย์สินก;
2. จากการที่ตรงประเด็นเป็นที่พอใจในทรัพย์สินเอ, เป็นไปตามนั้นว่าเป็นของรูปนั้นเอฟ

จุดแรกที่พิจารณาในเรขาคณิตคือวงกลมเช่น ตำแหน่งของจุดซึ่งอยู่ห่างจากจุดคงที่จุดเดียวเท่ากัน อย่างที่สองคือเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของเซ็กเมนต์นั่นคือ ตำแหน่งของจุดที่อยู่ห่างจากส่วนท้ายเท่ากัน และในที่สุดตัวที่สาม - เส้นแบ่งครึ่ง - ตำแหน่งทางเรขาคณิตของจุดที่อยู่ห่างจากด้านข้างของมุมเท่ากัน

ทฤษฎีบท 1:

จุดเส้นแบ่งครึ่งอยู่ห่างจากด้านข้างเท่ากันเขาอยู่มุม

การพิสูจน์:

ให้ร - จุดเส้นแบ่งครึ่งก. ให้หลุดจากจุดนั้นP ตั้งฉากรถบ้านและ พีซีอยู่ที่ด้านข้างของมุม- จากนั้น วีเออาร์ = SAR โดยด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลม- ดังนั้น PB = PC

ทฤษฎีบท 2:

หากจุด P อยู่ห่างจากด้านข้างของมุม A เท่าๆ กัน แสดงว่าจุดนั้นอยู่บนเส้นแบ่งครึ่ง.

พิสูจน์: PB = PC => VAR = CAP => BAP= CAP => AR เป็นเส้นแบ่งครึ่ง

ในบรรดาข้อเท็จจริงทางเรขาคณิตขั้นพื้นฐานนั้น มีทฤษฎีบทที่ว่าเส้นแบ่งครึ่งแบ่งด้านตรงข้ามโดยสัมพันธ์กับด้านตรงข้าม ข้อเท็จจริงนี้ยังคงอยู่ในเงามืดมาเป็นเวลานาน แต่มีปัญหาทุกที่ที่แก้ไขได้ง่ายกว่ามากหากคุณรู้สิ่งนี้และข้อเท็จจริงอื่น ๆ เกี่ยวกับเส้นแบ่งครึ่ง ฉันเริ่มสนใจ และฉันตัดสินใจที่จะสำรวจคุณสมบัติของแบ่งครึ่งนี้ให้ลึกซึ้งยิ่งขึ้น

คุณสมบัติหลักของเส้นแบ่งครึ่งมุมของสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบท 3 เส้นแบ่งครึ่งแบ่งด้านตรงข้ามของรูปสามเหลี่ยมโดยสัมพันธ์กับด้านที่อยู่ติดกัน.

หลักฐานที่ 1:

ให้ไว้: อัล - เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม ABC

พิสูจน์:

หลักฐาน: ให้ F เป็น จุดตัดของเส้นอัล และมีเส้นผ่านจุดนั้นใน ขนานกับด้านไฟฟ้ากระแสสลับ

จากนั้น BFA = FAC = BAF ดังนั้น บี.เอ.เอฟ. หน้าจั่วและเอบี = บีเอฟ จากความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยมเรามี ALC และ FLB

อัตราส่วน

ที่ไหน

หลักฐานที่ 2

ให้ F เป็นจุดตัดด้วยเส้นตรง AL และเส้นตรงที่ผ่านจุด C ขนานกับฐาน AB จากนั้นคุณสามารถทำซ้ำการใช้เหตุผล

หลักฐานที่ 3

ให้ K และ M เป็นฐานของเส้นตั้งฉากที่ตกลงบนเส้นตรง AL จากจุด B และ C ตามลำดับ สามเหลี่ยม ABL และ ACL มีความคล้ายคลึงกันในสองมุม นั่นเป็นเหตุผล
- และจากความคล้ายคลึงกันของ BKL และ CML ที่เรามี

จากที่นี่

หลักฐาน 4

ลองใช้วิธีหาพื้นที่ดู ลองคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมกัน ABL และ ACL สองทาง.

จากที่นี่.

หลักฐานที่ 5

ให้ α= คุณ,φ= บลา. โดยทฤษฎีบทของไซน์ในรูปสามเหลี่ยม ABL

และในสามเหลี่ยม ACL.

เพราะ ,

จากนั้นเมื่อแบ่งทั้งสองด้านของความเสมอภาคออกเป็นส่วนที่สอดคล้องกันของอีกฝ่าย เราก็จะได้.

ปัญหาที่ 1

ที่ให้ไว้: ในรูปสามเหลี่ยม ABC, VC คือเส้นแบ่งครึ่ง, BC = 2, KS = 1,

สารละลาย:

ปัญหาที่ 2

ที่ให้ไว้:

ค้นหาเส้นแบ่งครึ่งของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีขา 24 และ 18

สารละลาย:

ให้ด้าน AC = 18, ด้าน BC = 24,

เช้า. - เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม

จากการใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราพบว่า

AB นั้น = 30

ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา

ให้เราหาเส้นแบ่งครึ่งที่สองในทำนองเดียวกัน

คำตอบ:

ปัญหา 3

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ที่มีมุมฉาก B เส้นแบ่งครึ่งมุมก ข้ามด้านข้างบี.ซี.

ณ จุด D. เป็นที่ทราบกันว่า BD = 4, DC = 6

หาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเอดีซี

สารละลาย:

โดยสมบัติของเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม

ให้เราแสดงว่า AB = 2 x, AC = 3 x ตามทฤษฎีบท

พีทาโกรัส BC 2 + AB 2 = AC 2 หรือ 100 + 4 x 2 = 9 x 2

จากที่นี่เราพบว่า x = จากนั้น AB = , S ABC=

เพราะฉะนั้น,

ปัญหาที่ 4

ที่ให้ไว้:

ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วเอบีซี ด้านข้างเอบี เท่ากับ 10, ฐานแอร์คือ 12

เส้นแบ่งครึ่งของมุมเอ และ ซี ตัดกันที่จุดหนึ่งดี. ค้นหาบีดี

สารละลาย:

เนื่องจากเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมตัดกันที่

จุดหนึ่ง แล้ว BD คือเส้นแบ่งครึ่งของ B มาต่อเรื่อง BD กัน ถึงสี่แยกด้วยแอร์ที่จุดเอ็ม จากนั้น M คือจุดกึ่งกลางของ AC, BM AC นั่นเป็นเหตุผล

ตั้งแต่ซีดี - เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมบีเอ็มซีแล้ว

เพราะฉะนั้น,.

คำตอบ:

ทฤษฎีบท 4 เส้นแบ่งครึ่งทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง

อันที่จริง ก่อนอื่นให้เราพิจารณาจุด P ของจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งสองตัว เช่น AK 1 และ วีเค 2 - จุดนี้อยู่ห่างจากด้าน AB และ AC เท่าๆ กัน เนื่องจากมันอยู่บนเส้นแบ่งครึ่งA และอยู่ห่างจากด้าน AB และ BC เท่าๆ กัน โดยเป็นของเส้นแบ่งครึ่งB. นี่หมายความว่ามันอยู่ห่างจากด้าน AC และ BC เท่าๆ กัน และดังนั้นจึงเป็นของเส้นแบ่งครึ่ง SC ที่สาม 3 นั่นคือ ณ จุด P เส้นแบ่งครึ่งทั้งสามตัดกัน

สูตรการหาเส้นแบ่งครึ่ง
ทฤษฎีบท 5: (สูตรแรกสำหรับเส้นแบ่งครึ่ง): ถ้าในรูปสามเหลี่ยม ABC ส่วน AL เป็นเส้นแบ่งครึ่ง A จากนั้น AL² = AB·AC - LB·LC

การพิสูจน์: ให้ M เป็นจุดตัดของเส้น AL โดยมีวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม ABC (รูปที่ 41) มุม BAM เท่ากับมุม MAC ตามเงื่อนไข มุม BMA และ BCA เท่ากันทุกประการเนื่องจากมุมที่ถูกจารึกไว้มีคอร์ดเดียวกัน ซึ่งหมายความว่าสามเหลี่ยม BAM และ LAC มีความคล้ายคลึงกันในสองมุม ดังนั้น AL: AC = AB: AM ซึ่งหมายความว่า AL · AM = AB · AC AL · (AL + LM) = AB · AC AL² = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC Q.E.D.

ทฤษฎีบท 6: . (สูตรที่สองสำหรับเส้นแบ่งครึ่ง): ในรูปสามเหลี่ยม ABC โดยมีด้าน AB=a, AC=b และเท่ากับ 2α และเส้นแบ่งครึ่ง l ความเท่าเทียมกันถือเป็น:
l = (2ab / (a+b)) cosα

การพิสูจน์ : ให้ ABC เป็นสามเหลี่ยมที่กำหนด, AL แบ่งครึ่งของมัน, a=AB, b=AC, l=AL แล้วส ABC = S ALB + S ALC - ดังนั้น ab sin2α = อัล sinα + b l sinα 2ab sinα cosα = (a + b) l sinα l = 2 (ab / (a+b)) cosα ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบท 7: ถ้า a, b เป็นด้านของสามเหลี่ยม Y คือมุมระหว่างสองด้านนี้คือเส้นแบ่งครึ่งของมุมนี้ แล้ว.

ระดับเฉลี่ย

เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม. ทฤษฎีโดยละเอียดพร้อมตัวอย่าง (2019)

เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมและคุณสมบัติของมัน

คุณรู้ไหมว่าจุดกึ่งกลางของกลุ่มคืออะไร? แน่นอนคุณทำ แล้วศูนย์กลางของวงกลมล่ะ? เดียวกัน. จุดกึ่งกลางของมุมคืออะไร? คุณสามารถพูดได้ว่าสิ่งนี้จะไม่เกิดขึ้น แต่เหตุใดจึงสามารถแบ่งส่วนออกเป็นสองส่วนได้ แต่มุมไม่สามารถแบ่งได้ มันค่อนข้างเป็นไปได้ - แค่ไม่ใช่จุด แต่…. เส้น.

คุณจำเรื่องตลกได้ไหม: แบ่งครึ่งคือหนูที่วิ่งไปรอบ ๆ มุมและแบ่งครึ่งมุม ดังนั้นคำจำกัดความที่แท้จริงของเส้นแบ่งครึ่งจึงคล้ายกับเรื่องตลกนี้มาก:

เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม- นี่คือส่วนของเส้นแบ่งครึ่งของมุมของสามเหลี่ยมที่เชื่อมต่อจุดยอดของมุมนี้กับจุดที่อยู่ด้านตรงข้าม

กาลครั้งหนึ่งนักดาราศาสตร์และนักคณิตศาสตร์โบราณได้ค้นพบคุณสมบัติที่น่าสนใจมากมายของเส้นแบ่งครึ่ง ความรู้นี้ทำให้ชีวิตของผู้คนง่ายขึ้นมาก การสร้าง นับระยะทาง หรือแม้แต่ปรับการยิงปืนใหญ่กลายเป็นเรื่องง่ายขึ้น... ความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติเหล่านี้จะช่วยให้เราแก้ปัญหา GIA และงาน Unified State Examination ได้!

ความรู้แรกที่จะช่วยในเรื่องนี้คือ เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

ยังไงก็ตาม คุณจำคำศัพท์เหล่านี้ทั้งหมดได้ไหม? คุณจำได้ไหมว่าพวกเขาแตกต่างกันอย่างไร? เลขที่? ไม่น่ากลัว. ลองคิดดูตอนนี้

ดังนั้น, ฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว- นี่คือด้านที่ไม่เท่ากับด้านอื่น ดูจากภาพแล้วคุณคิดว่าเป็นด้านไหน? ถูกต้อง - นี่คือด้านข้าง

ค่ามัธยฐานคือเส้นที่ลากจากจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมและแบ่งด้านตรงข้าม (เหมือนเดิม) ออกเป็นครึ่งหนึ่ง

สังเกตว่าเราไม่ได้พูดว่า "ค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว" คุณรู้ไหมว่าทำไม? เพราะค่ามัธยฐานที่ลากจากจุดยอดของสามเหลี่ยมจะตัดด้านตรงข้ามของสามเหลี่ยมใดๆ

ความสูงคือเส้นที่ลากจากด้านบนและตั้งฉากกับฐาน คุณสังเกตเห็น? เรากำลังพูดถึงสามเหลี่ยมใดๆ อีกครั้ง ไม่ใช่แค่หน้าจั่ว ความสูงของสามเหลี่ยมใดๆ จะตั้งฉากกับฐานเสมอ

แล้วคุณคิดออกหรือยัง? เกือบ. เพื่อให้เข้าใจดีขึ้นและจดจำตลอดไปว่าเส้นแบ่งครึ่ง ค่ามัธยฐาน และส่วนสูงคืออะไร คุณต้องเปรียบเทียบกันและเข้าใจว่าพวกมันคล้ายกันอย่างไรและต่างกันอย่างไร ในขณะเดียวกัน เพื่อให้จดจำได้ดีขึ้น ควรอธิบายทุกสิ่งด้วย "ภาษามนุษย์" จะดีกว่า จากนั้นคุณจะใช้งานภาษาคณิตศาสตร์ได้อย่างง่ายดาย แต่ในตอนแรกคุณไม่เข้าใจภาษานี้และคุณต้องเข้าใจทุกสิ่งในภาษาของคุณเอง

แล้วมันคล้ายกันยังไงล่ะ? เส้นแบ่งครึ่ง ค่ามัธยฐาน และระดับความสูง - พวกมันทั้งหมด "ออกมา" จากจุดยอดของสามเหลี่ยมและชิดกับด้านตรงข้ามและ "ทำอะไรบางอย่าง" ไม่ว่าจะด้วยมุมที่พวกมันออกมาหรือกับด้านตรงข้าม ฉันคิดว่ามันง่ายใช่มั้ย?

พวกเขาแตกต่างกันอย่างไร?

• เส้นแบ่งครึ่งจะแบ่งมุมที่มันโผล่ออกมาครึ่งหนึ่ง
• ค่ามัธยฐานแบ่งด้านตรงข้ามออกเป็นสองส่วน
• ความสูงจะตั้งฉากกับด้านตรงข้ามเสมอ

แค่นั้นแหละ. มันง่ายที่จะเข้าใจ และเมื่อเข้าใจแล้วก็จะจำได้

ตอนนี้คำถามต่อไป เหตุใดในกรณีของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว เส้นแบ่งครึ่งจึงมีทั้งค่ามัธยฐานและระดับความสูง?

คุณสามารถดูรูปนั้นและตรวจดูให้แน่ใจว่าค่ามัธยฐานแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูปที่มีขนาดเท่ากันทุกประการ นั่นคือทั้งหมด! แต่นักคณิตศาสตร์ไม่ชอบที่จะเชื่อสายตาตัวเอง พวกเขาจำเป็นต้องพิสูจน์ทุกอย่าง คำว่าน่ากลัว? ไม่มีอะไรแบบนั้น - มันง่าย! ดูสิ: ทั้งสองมีด้านเท่ากัน และโดยทั่วไปมีด้านเหมือนกันและ (- เส้นแบ่งครึ่ง!) ปรากฎว่าสามเหลี่ยมสองรูปมีด้านเท่ากันสองด้านและมีมุมระหว่างสามเหลี่ยมเหล่านั้น เราจำสัญญาณแรกของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมได้ (หากจำไม่ได้ ดูในหัวข้อ) และสรุปได้ว่า ดังนั้น = และ

ถือว่าดีอยู่แล้ว - หมายความว่ากลายเป็นค่ามัธยฐาน

แต่มันคืออะไร?

มาดูรูปกันดีกว่า - . และเราก็เข้าใจแล้ว เหมือนกัน! สุดท้ายนี้ ไชโย! และ.

คุณพบว่าหลักฐานนี้หนักไปหน่อยหรือไม่? ดูภาพ - สามเหลี่ยมสองอันที่เหมือนกันพูดเพื่อตัวมันเอง

ไม่ว่าในกรณีใด โปรดจำไว้อย่างมั่นคง:

ตอนนี้มันยากขึ้น: เราจะนับ มุมระหว่างเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมใดๆ !อย่ากลัวเลย มันไม่ได้ยุ่งยากขนาดนั้น ดูที่รูปภาพ:

มานับกัน คุณจำได้ไหมว่า ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ?

ลองใช้ข้อเท็จจริงที่น่าทึ่งนี้มาใช้

ในด้านหนึ่งจาก:

นั่นคือ.

ตอนนี้เรามาดูที่:

แต่แบ่งครึ่งแบ่งครึ่ง!

มาจำเกี่ยวกับ:

ตอนนี้ผ่านตัวอักษร

\มุม AOC=90()^\circ +\frac(\มุม B)(2)

มันไม่น่าแปลกใจเหรอ? มันกลับกลายเป็นว่า มุมระหว่างเส้นแบ่งครึ่งของสองมุมจะขึ้นอยู่กับมุมที่สามเท่านั้น!

เราดูที่เส้นแบ่งครึ่งสองตัว แล้วถ้ามีสามคนล่ะ??!! พวกมันทั้งหมดจะตัดกันที่จุดเดียวหรือเปล่า?

หรือมันจะเป็นเช่นนี้?

คุณคิดว่า? นักคณิตศาสตร์จึงคิดและคิดและพิสูจน์:

ไม่ดีเหรอ?

คุณต้องการที่จะรู้ว่าทำไมสิ่งนี้ถึงเกิดขึ้น?

ดังนั้น...สามเหลี่ยมมุมฉากสองอัน: และ พวกเขามี:

• ด้านตรงข้ามมุมฉากทั่วไป
• (เพราะมันเป็นเส้นแบ่งครึ่ง!)

ซึ่งหมายความว่า - ตามมุมและด้านตรงข้ามมุมฉาก ดังนั้นขาที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยมเหล่านี้จึงเท่ากัน! นั่นคือ.

เราพิสูจน์ว่าจุดนั้นอยู่ห่างจากด้านข้างของมุมเท่ากัน (หรือเท่ากัน) จุดที่ 1 จัดการแล้ว ตอนนี้เรามาดูจุดที่ 2 กันดีกว่า

ทำไม 2 ถึงเป็นจริง?

และมาเชื่อมต่อจุดและ

ซึ่งหมายความว่ามันอยู่บนเส้นแบ่งครึ่ง!

นั่นคือทั้งหมด!

ทั้งหมดนี้สามารถนำมาใช้ในการแก้ปัญหาได้อย่างไร? ตัวอย่างเช่น ในปัญหา มักมีวลีต่อไปนี้: “วงกลมแตะด้านของมุม...” คุณต้องหาอะไรบางอย่าง

แล้วคุณจะตระหนักได้อย่างรวดเร็วว่า

และคุณสามารถใช้ความเท่าเทียมกันได้

3. เส้นแบ่งครึ่งสามเส้นในสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง

จากคุณสมบัติของเส้นแบ่งครึ่งให้เป็นตำแหน่งของจุดที่มีระยะห่างเท่ากันจากด้านข้างของมุม ข้อความต่อไปนี้:

มันจะออกมาได้อย่างไร? แต่ดูสิ เส้นแบ่งครึ่งสองตัวจะตัดกันอย่างแน่นอนใช่ไหม?

และเส้นแบ่งครึ่งที่สามอาจเป็นดังนี้:

แต่ในความเป็นจริงแล้ว ทุกอย่างดีขึ้นมาก!

ลองดูจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งสองตัว ลองเรียกมันว่า

เราใช้อะไรที่นี่ทั้งสองครั้ง? ใช่ วรรค 1, แน่นอน! ถ้าจุดอยู่บนเส้นแบ่งครึ่ง จุดนั้นก็จะอยู่ห่างจากด้านข้างของมุมเท่ากัน

และมันก็เกิดขึ้น

แต่จงดูความเท่าเทียมกันทั้งสองนี้ให้ดี! ท้ายที่สุดแล้ว มันตามมาจากพวกเขา และด้วยเหตุนี้ .

และตอนนี้มันจะเข้ามามีบทบาท จุดที่ 2: ถ้าระยะทางด้านข้างของมุมเท่ากัน จุดจะอยู่ที่เส้นแบ่งครึ่ง...มุมอะไร? ดูภาพอีกครั้ง:

และเป็นระยะทางถึงด้านข้างของมุม และพวกมันเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าจุดอยู่บนเส้นแบ่งครึ่งของมุม เส้นแบ่งครึ่งที่สามผ่านจุดเดียวกัน! เส้นแบ่งครึ่งทั้งสามตัดกันที่จุดเดียว! และเป็นของขวัญเพิ่มเติม -

รัศมี จารึกไว้วงกลม

(เพื่อความแน่ใจ โปรดดูหัวข้ออื่น)

ตอนนี้คุณจะไม่มีวันลืม:

จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมคือจุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้

มาดูทรัพย์สินต่อไปกันดีกว่า... ว้าว แบ่งครึ่งมีคุณสมบัติมากมายใช่ไหมคะ? และนี่ก็เยี่ยมมาก เพราะยิ่งมีคุณสมบัติมากเท่าไร เครื่องมือในการแก้ปัญหาเส้นแบ่งครึ่งก็จะมากขึ้นเท่านั้น

4. เส้นแบ่งครึ่งและความขนาน, เส้นแบ่งครึ่งของมุมที่อยู่ติดกัน

ความจริงที่ว่าเส้นแบ่งครึ่งแบ่งมุมในบางกรณีทำให้เกิดผลลัพธ์ที่ไม่คาดคิดโดยสิ้นเชิง ตัวอย่างเช่น,

กรณีที่ 1

เยี่ยมมากใช่มั้ย? มาทำความเข้าใจว่าทำไมถึงเป็นเช่นนั้น

ในอีกด้านหนึ่งเราวาดเส้นแบ่งครึ่ง!

แต่ในทางกลับกัน มีมุมที่วางขวางอยู่ (จำหัวข้อเรื่องไว้)

และตอนนี้ปรากฎว่า; โยนออกตรงกลาง: ! - หน้าจั่ว!

กรณีที่ 2

ลองนึกภาพสามเหลี่ยม (หรือดูภาพ)

มาต่อด้านเกินจุดกันเถอะ ตอนนี้เรามีสองมุม:

• - มุมภายใน
• - มุมด้านนอกอยู่ด้านนอกใช่ไหม?

ดังนั้นตอนนี้มีคนต้องการวาดไม่ใช่หนึ่งตัว แต่มีสองเส้นแบ่งครึ่งพร้อมกัน: ทั้งเพื่อและเพื่อ อะไรจะเกิดขึ้น?

มันจะได้ผลไหม? สี่เหลี่ยม!

น่าประหลาดใจที่เป็นเช่นนั้นจริงๆ

ลองคิดดูสิ

คุณคิดว่าจำนวนเงินเท่าไหร่?

แน่นอน - ท้ายที่สุดแล้วพวกเขาทั้งหมดรวมกันสร้างมุมจนกลายเป็นเส้นตรง

ทีนี้จำมันไว้ และเป็นเส้นแบ่งครึ่ง แล้วดูว่าภายในมุมนั้นเป๊ะๆ ครึ่งจากผลรวมของมุมทั้งสี่: และ - - นั่นคือแน่นอน คุณยังสามารถเขียนมันเป็นสมการได้:

เหลือเชื่อแต่เป็นความจริง:

มุมระหว่างเส้นแบ่งครึ่งของมุมภายในและภายนอกของรูปสามเหลี่ยมจะเท่ากัน

กรณีที่ 3

คุณเห็นไหมว่าทุกอย่างเหมือนกันที่นี่กับมุมภายในและภายนอก?

หรือลองคิดอีกครั้งว่าทำไมสิ่งนี้ถึงเกิดขึ้น?

อีกครั้งสำหรับมุมที่อยู่ติดกัน

(สอดคล้องกับฐานขนานกัน)

และอีกครั้งที่พวกเขาแต่งหน้า ครึ่งหนึ่งพอดีจากผลรวม

บทสรุป:หากปัญหามีเส้นแบ่งครึ่ง ที่อยู่ติดกันมุมหรือเส้นแบ่งครึ่ง ที่เกี่ยวข้องมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานหรือสี่เหลี่ยมคางหมูแล้วในปัญหานี้ แน่นอนสามเหลี่ยมมุมฉากมีส่วนเกี่ยวข้องหรืออาจเป็นสี่เหลี่ยมทั้งหมดด้วยซ้ำ

5. เส้นแบ่งครึ่งและฝั่งตรงข้าม

ปรากฎว่าเส้นแบ่งครึ่งของมุมของสามเหลี่ยมแบ่งด้านตรงข้ามไม่เพียงแค่ในทางใดทางหนึ่งเท่านั้น แต่ด้วยวิธีที่พิเศษและน่าสนใจมาก:

นั่นคือ:

ข้อเท็จจริงที่น่าทึ่งใช่ไหม?

ตอนนี้เราจะพิสูจน์ข้อเท็จจริงนี้ แต่เตรียมตัวให้พร้อม: มันจะยากขึ้นกว่าเดิมเล็กน้อย

อีกครั้ง - ออกจาก "อวกาศ" - รูปแบบเพิ่มเติม!

ตรงไปเลย.

เพื่ออะไร? เราจะเห็นตอนนี้

ลองทำเส้นแบ่งครึ่งต่อไปจนกว่าจะตัดกับเส้นตรง

นี่เป็นภาพที่คุ้นเคยใช่ไหม? ใช่ ใช่ ใช่ เช่นเดียวกับในจุดที่ 4 กรณีที่ 1 - ปรากฎว่า (- เส้นแบ่งครึ่ง)

นอนขวาง

ดังนั้นเช่นกัน

ทีนี้ลองดูสามเหลี่ยมและ

คุณจะพูดอะไรเกี่ยวกับพวกเขาได้บ้าง?

พวกเขามีความคล้ายคลึงกัน ใช่ มุมของมันเท่ากับมุมแนวตั้ง ดังนั้นในสองมุม

ตอนนี้เรามีสิทธิ์เขียนความสัมพันธ์ของฝ่ายที่เกี่ยวข้องแล้ว

และตอนนี้มีสัญกรณ์สั้น ๆ :

โอ้! ทำให้ฉันนึกถึงบางสิ่งบางอย่างใช่มั้ย? นี่ไม่ใช่สิ่งที่เราต้องการพิสูจน์ใช่ไหม? ใช่ ใช่ นั่นแหละ!

คุณจะเห็นว่า "การเดินอวกาศ" นั้นยิ่งใหญ่เพียงใด - การสร้างเส้นตรงเพิ่มเติม - หากปราศจากมันก็จะไม่มีอะไรเกิดขึ้น! ดังนั้นเราจึงได้พิสูจน์แล้ว

ตอนนี้คุณสามารถใช้งานได้อย่างปลอดภัย! ลองดูคุณสมบัติอีกอย่างหนึ่งของเส้นแบ่งครึ่งของมุมของสามเหลี่ยม - ไม่ต้องกังวล ส่วนที่ยากที่สุดจบลงแล้ว - มันจะง่ายขึ้น

เราเข้าใจแล้ว

ทฤษฎีบท 1:

ทฤษฎีบท 2:

ทฤษฎีบท 3:

ทฤษฎีบท 4:

ทฤษฎีบท 5:

ทฤษฎีบท 6: