Racionalni razlomački brojevi. Brojke

Definicija racionalnih brojeva:

Racionalan broj je broj koji se može prikazati kao razlomak. Brojnik takvog razlomka pripada skupu cijelih brojeva, a nazivnik pripada skupu prirodnih brojeva.

Zašto se brojevi nazivaju racionalnim?

Na latinskom ratio znači omjer. Racionalni brojevi se mogu prikazati kao omjer, tj. drugim riječima, kao razlomak.

Primjer racionalnog broja

Broj 2/3 je racionalan broj. Zašto? Ovaj broj je predstavljen kao razlomak, čiji brojnik pripada skupu cijelih brojeva, a nazivnik skupu prirodnih brojeva.

Više primjera racionalnih brojeva potražite u članku.

Jednaki racionalni brojevi

Različiti razlomci mogu predstavljati isti racionalni broj.

Razmotrimo racionalni broj 3/5. Ovaj racionalni broj je jednak

Smanjimo brojnik i nazivnik zajedničkim faktorom 2:

Dobili smo razlomak 3/5, što znači to

Racionalni brojevi

Četvrtine

1. Urednost. a I b postoji pravilo koje vam omogućuje da jedinstveno identificirate jedan i samo jedan od tri odnosa između njih: "< », « >" ili " = ". Ovo pravilo se zove pravilo naručivanja i formulira se na sljedeći način: dva nenegativna broja i povezani su istim odnosom kao dva cijela broja i ; dva nepozitivna broja a I b povezani su istim odnosom kao dva nenegativna broja i ; ako iznenada a nenegativan, ali b- negativan, dakle a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   Zbrajanje razlomaka

2. Operacija zbrajanja. Za sve racionalne brojeve a I b postoji tzv pravilo zbrajanja c. Štoviše, sam broj c nazvao iznos brojevima a I b i označava se s , a postupak nalaženja takvog broja naziva se zbrajanje. Pravilo zbrajanja ima sljedeći oblik: .
3. Operacija množenja. Za sve racionalne brojeve a I b postoji tzv pravilo množenja, koji im pridružuje neki racionalni broj c. Štoviše, sam broj c nazvao raditi brojevima a I b i označava se s , a naziva se i postupak pronalaženja takvog broja množenje. Pravilo množenja izgleda ovako: .
4. Tranzitivnost relacije reda. Za bilo koju trojku racionalnih brojeva a , b I c Ako a manje b I b manje c, To a manje c, i ako a jednaki b I b jednaki c, To a jednaki c. 6435">Komutativnost zbrajanja. Promjena mjesta racionalnih članova ne mijenja zbroj.
5. Asocijativnost zbrajanja. Redoslijed kojim se zbrajaju tri racionalna broja ne utječe na rezultat.
6. Prisutnost nule. Postoji racionalni broj 0 koji čuva svaki drugi racionalni broj kada se zbroji.
7. Prisutnost suprotnih brojeva. Svaki racionalni broj ima suprotan racionalni broj, koji kada se zbroji daje 0.
8. Komutativnost množenja. Promjena mjesta racionalnih faktora ne mijenja proizvod.
9. Asocijativnost množenja. Redoslijed kojim se množe tri racionalna broja ne utječe na rezultat.
10. Dostupnost jedinice. Postoji racionalni broj 1 koji čuva svaki drugi racionalni broj kada se pomnoži.
11. Prisutnost recipročnih brojeva. Svaki racionalni broj ima inverzni racionalni broj, koji kada se pomnoži s daje 1.
12. Distributivnost množenja u odnosu na zbrajanje. Operacija množenja usklađena je s operacijom zbrajanja kroz zakon distribucije:
13. Povezanost relacije reda s operacijom zbrajanja. Isti racionalni broj može se dodati lijevoj i desnoj strani racionalne nejednadžbe. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Arhimedov aksiom. Bez obzira na racionalni broj a, možete uzeti toliko jedinica da njihov zbroj premašuje a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Dodatna svojstva

Sva ostala svojstva svojstvena racionalnim brojevima ne izdvajaju se kao osnovna, jer se, općenito govoreći, više ne temelje izravno na svojstvima cijelih brojeva, već se mogu dokazati na temelju zadanih osnovnih svojstava ili izravno definicijom nekog matematičkog objekta. . Postoji mnogo takvih dodatnih svojstava. Ovdje ima smisla navesti samo neke od njih.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Prebrojivost skupa

Numeriranje racionalnih brojeva

Da biste procijenili broj racionalnih brojeva, morate pronaći kardinalnost njihovog skupa. Lako je dokazati da je skup racionalnih brojeva prebrojiv. Za to je dovoljno dati algoritam koji nabraja racionalne brojeve, tj. uspostavlja bijekciju između skupova racionalnih i prirodnih brojeva.

Najjednostavniji od ovih algoritama izgleda ovako. Sastavlja se beskonačna tablica običnih razlomaka, na svakom ja-th line in each j th stupac u kojem se nalazi razlomak. Radi određenosti, pretpostavlja se da su reci i stupci ove tablice numerirani počevši od jedan. Ćelije tablice označene su s , gdje je ja- broj retka tablice u kojem se ćelija nalazi, i j- broj stupca.

Dobivena tablica prelazi se pomoću "zmije" prema sljedećem formalnom algoritmu.

Ova se pravila pretražuju od vrha prema dolje, a sljedeća pozicija odabire se na temelju prvog podudaranja.

U procesu takvog obilaska, svakom novom racionalnom broju pridružuje se drugi prirodni broj. To jest, razlomak 1/1 pridružuje se broju 1, razlomak 2/1 broju 2, itd. Treba napomenuti da su samo nesvodivi razlomci označeni brojevima. Formalni znak nesvodivosti je da je najveći zajednički djelitelj brojnika i nazivnika razlomka jednak jedan.

Slijedeći ovaj algoritam, možemo nabrojati sve pozitivne racionalne brojeve. To znači da je skup pozitivnih racionalnih brojeva prebrojiv. Lako je uspostaviti bijekciju između skupova pozitivnih i negativnih racionalnih brojeva jednostavnim pripisivanjem svakom racionalnom broju njegove suprotnosti. Da. skup negativnih racionalnih brojeva također je prebrojiv. Njihova je unija također prebrojiva po svojstvu prebrojivih skupova. Skup racionalnih brojeva također je prebrojiv kao unija prebrojivog skupa s konačnim.

Tvrdnja o prebrojivosti skupa racionalnih brojeva može izazvati određenu zabunu, jer se na prvi pogled čini da je on mnogo opsežniji od skupa prirodnih brojeva. Zapravo, to nije tako i ima dovoljno prirodnih brojeva da se nabroje svi racionalni.

Nedostatak racionalnih brojeva

Hipotenuza takvog trokuta ne može se izraziti nikakvim racionalnim brojem

Racionalni brojevi oblika 1 / n u cjelini n mogu se mjeriti proizvoljno male količine. Ova činjenica stvara pogrešan dojam da se racionalni brojevi mogu koristiti za mjerenje bilo koje geometrijske udaljenosti. Lako je pokazati da to nije istina.

Bilješke

Književnost

• I. Kushnir. Priručnik iz matematike za školarce. - Kijev: ASTARTA, 1998. - 520 str.
• P. S. Aleksandrov. Uvod u teoriju skupova i opću topologiju. - M.: poglavlje. izd. fizike i matematike lit. izd. "Znanost", 1977
• I. L. Hmjelnicki. Uvod u teoriju algebarskih sustava

Linkovi

Zaklada Wikimedia. 2010.

Tema racionalnih brojeva prilično je opsežna. O tome možete beskrajno razgovarati i pisati čitava djela, svaki put iznenađeni novim značajkama.

Kako bismo izbjegli pogreške u budućnosti, u ovoj lekciji ćemo malo dublje zaroniti u temu racionalnih brojeva, izvući iz nje potrebne informacije i krenuti dalje.

Što je racionalan broj

Racionalan broj je broj koji se može prikazati kao razlomak, gdje a— ovo je brojnik razlomka, b je nazivnik razlomka. Štoviše b ne smije biti nula jer dijeljenje s nulom nije dopušteno.

Racionalni brojevi uključuju sljedeće kategorije brojeva:

• cijeli brojevi (na primjer −2, −1, 0 1, 2 itd.)

• decimalni razlomci (na primjer 0,2 itd.)

• beskonačni periodični razlomci (na primjer 0, (3), itd.)

Svaki broj u ovoj kategoriji može se predstaviti kao razlomak.

Primjer 1. Cijeli broj 2 može se predstaviti kao razlomak. To znači da se broj 2 ne odnosi samo na cijele brojeve, već i na racionalne.

Primjer 2. Mješoviti broj može se prikazati kao razlomak. Ovaj se razlomak dobiva pretvaranjem mješovitog broja u nepravi razlomak

To znači da je mješoviti broj racionalan broj.

Primjer 3. Decimala 0,2 može se predstaviti kao razlomak. Ovaj razlomak dobiven je pretvaranjem decimalnog razlomka 0,2 u obični razlomak. Ako imate poteškoća u ovom trenutku, ponovite temu.

Budući da se decimalni razlomak 0,2 može prikazati kao razlomak, to znači da i on pripada racionalnim brojevima.

Primjer 4. Beskonačni periodički razlomak 0, (3) može se prikazati kao razlomak. Taj se razlomak dobiva pretvaranjem čistog periodičkog razlomka u obični razlomak. Ako imate poteškoća u ovom trenutku, ponovite temu.

Budući da se beskonačni periodički razlomak 0, (3) može prikazati kao razlomak, to znači da i on pripada racionalnim brojevima.

U budućnosti ćemo sve brojeve koji se mogu predstaviti kao razlomak sve češće nazivati ​​jednom frazom - racionalni brojevi.

Racionalni brojevi na koordinatnoj liniji

Gledali smo koordinatnu liniju kada smo proučavali negativne brojeve. Podsjetimo se da je ovo ravna linija na kojoj leži mnogo točaka. Kako slijedi:

Ova slika prikazuje mali fragment koordinatne linije od -5 do 5.

Označavanje cijelih brojeva oblika 2, 0, −3 na koordinatnom pravcu nije teško.

Stvari su puno zanimljivije s drugim brojevima: s običnim razlomcima, mješovitim brojevima, decimalama itd. Ovi brojevi leže između cijelih brojeva i tih brojeva ima beskonačno mnogo.

Na primjer, označimo racionalni broj na koordinatnoj liniji. Ovaj broj se nalazi točno između nule i jedan

Pokušajmo shvatiti zašto se razlomak odjednom nalazi između nule i jedan.

Kao što je gore spomenuto, između cijelih brojeva nalaze se drugi brojevi - obični razlomci, decimale, mješoviti brojevi itd. Na primjer, ako dio koordinatne linije povećate s 0 na 1, možete vidjeti sljedeću sliku

Može se vidjeti da između cijelih brojeva 0 i 1 postoje drugi racionalni brojevi, koji su poznati decimalni razlomci. Ovdje možete vidjeti naš razlomak koji se nalazi na istom mjestu kao decimalni razlomak 0,5. Pažljivo ispitivanje ove figure daje odgovor na pitanje zašto se razlomak nalazi baš tu.

Razlomak znači dijeljenje 1 s 2. A ako podijelimo 1 s 2, dobivamo 0,5

Decimalni razlomak 0,5 može se prerušiti u druge razlomke. Iz osnovnog svojstva razlomka znamo da ako se brojnik i nazivnik razlomka pomnože ili podijele istim brojem, tada se vrijednost razlomka ne mijenja.

Ako brojnik i nazivnik razlomka pomnožimo s bilo kojim brojem, na primjer s brojem 4, tada dobivamo novi razlomak, a taj je razlomak također jednak 0,5

To znači da se na koordinatnoj liniji razlomak može postaviti na isto mjesto gdje se razlomak nalazio

Primjer 2. Pokušajmo na koordinatu označiti racionalni broj. Ovaj broj se nalazi točno između brojeva 1 i 2

Vrijednost razlomka je 1,5

Povećamo li presjek koordinatne linije s 1 na 2, vidjet ćemo sljedeću sliku:

Može se vidjeti da između cijelih brojeva 1 i 2 postoje drugi racionalni brojevi, koji su poznati decimalni razlomci. Ovdje možete vidjeti naš razlomak koji se nalazi na istom mjestu kao decimalni razlomak 1,5.

Povećali smo određene segmente na koordinatnoj liniji kako bismo vidjeli preostale brojeve koji leže na tom segmentu. Kao rezultat toga, otkrili smo decimalne razlomke koji su imali jednu znamenku iza decimalne točke.

Ali to nisu bile jedine brojke koje leže u ovim segmentima. Na koordinatnoj liniji leži beskonačno mnogo brojeva.

Nije teško pogoditi da između decimalnih razlomaka koji imaju jednu znamenku iza decimalne točke postoje i drugi decimalni razlomci koji imaju dvije znamenke iza decimalne točke. Drugim riječima, stotinke segmenta.

Na primjer, pokušajmo vidjeti brojeve koji se nalaze između decimalnih razlomaka 0,1 i 0,2

Još jedan primjer. Decimalni razlomci koji imaju dvije znamenke iza decimalne točke i nalaze se između nule i racionalnog broja 0,1 izgledaju ovako:

Primjer 3. Označimo racionalni broj na koordinatnoj liniji. Ovaj racionalni broj bit će vrlo blizu nule

Vrijednost razlomka je 0,02

Povećamo li segment s 0 na 0,1, vidjet ćemo gdje se točno nalazi racionalni broj

Vidi se da se naš racionalni broj nalazi na istom mjestu kao i decimalni razlomak 0,02.

Primjer 4. Označimo na koordinatnoj liniji racionalni broj 0, (3)

Racionalni broj 0, (3) je beskonačni periodički razlomak. Njegov razlomački dio nikada ne završava, on je beskonačan

A kako broj 0,(3) ima beskonačno razlomljeni dio, to znači da nećemo moći pronaći točno mjesto na koordinatnoj liniji gdje se nalazi taj broj. Ovo mjesto možemo samo približno naznačiti.

Racionalni broj 0,33333... nalazit će se vrlo blizu običnog decimalnog razlomka 0,3

Ova slika ne pokazuje točno mjesto broja 0,(3). Ovo je samo ilustracija koja pokazuje koliko periodični razlomak 0.(3) može biti blizak običnom decimalnom razlomku 0.3.

Primjer 5. Označimo racionalni broj na koordinatnoj liniji. Ovaj racionalni broj nalazit će se u sredini između brojeva 2 i 3

Ovo je 2 (dva cijela broja) i (jedna sekunda). Razlomak se također naziva "pola". Stoga smo na koordinatnoj liniji označili dva cijela segmenta i još jedan pola segmenta.

Ako mješoviti broj pretvorimo u nepravi razlomak, dobit ćemo običan razlomak. Ovaj razlomak na koordinatnoj liniji nalazit će se na istom mjestu kao i razlomak

Vrijednost razlomka je 2,5

Ako povećamo presjek koordinatne linije sa 2 na 3, vidjet ćemo sljedeću sliku:

Vidi se da se naš racionalni broj nalazi na istom mjestu kao i decimalni razlomak 2,5

Minus ispred racionalnog broja

U prošloj lekciji koja se zvala naučili smo dijeliti cijele brojeve. I pozitivni i negativni brojevi mogu djelovati kao dividenda i djelitelj.

Razmotrimo najjednostavniji izraz

(−6) : 2 = −3

U ovom izrazu, dividenda (−6) je negativan broj.

Sada razmotrite drugi izraz

6: (−2) = −3

Ovdje je djelitelj (−2) već negativan broj. Ali u oba slučaja dobivamo isti odgovor -3.

Uzimajući u obzir da se svako dijeljenje može napisati kao razlomak, primjere o kojima smo raspravljali također možemo napisati kao razlomak:

Budući da je u oba slučaja vrijednost razlomka ista, minus u brojniku ili nazivniku može biti zajednički tako da se stavi ispred razlomka

Stoga između izraza i i možete staviti znak jednakosti jer imaju isto značenje

Ubuduće, kada radimo s razlomcima, ako naiđemo na minus u brojniku ili nazivniku, učinit ćemo taj minus zajedničkim stavljanjem ispred razlomka.

Suprotni racionalni brojevi

Poput cijelog broja, racionalan broj ima svoj suprotni broj.

Na primjer, za racionalan broj, suprotan broj je . Nalazi se na koordinatnoj liniji simetrično na mjesto u odnosu na ishodište koordinata. Drugim riječima, oba su broja jednako udaljena od ishodišta

Pretvaranje mješovitih brojeva u neprave razlomke

Znamo da da bismo mješoviti broj pretvorili u nepravi razlomak, moramo cijeli dio pomnožiti s nazivnikom razlomka i dodati ga brojniku razlomka. Rezultirajući broj bit će brojnik novog razlomka, ali nazivnik ostaje isti.

Na primjer, pretvorimo mješoviti broj u nepravi razlomak

Pomnožite cijeli dio s nazivnikom razlomka i dodajte brojnik razlomka:

Izračunajmo ovaj izraz:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

Dobiveni broj 5 bit će brojnik novog razlomka, ali će nazivnik ostati isti:

Ovaj postupak je u cijelosti napisan kako slijedi:

Da biste vratili izvorni mješoviti broj, dovoljno je odabrati cijeli dio u razlomku

Ali ova metoda pretvaranja mješovitog broja u nepravi razlomak primjenjiva je samo ako je mješoviti broj pozitivan. Ova metoda neće raditi za negativan broj.

Razmotrimo razlomak. Odaberimo cijeli dio ovog razlomka. Dobivamo

Da biste vratili izvorni razlomak, trebate pretvoriti mješoviti broj u nepravi razlomak. Ali ako se poslužimo starim pravilom, naime cijeli dio pomnožimo s nazivnikom razlomka i dobivenom broju dodamo brojnik razlomka, dobivamo sljedeću kontradikciju:

Dobili smo kusur, a trebali smo kusur.

Zaključujemo da je mješoviti broj netočno pretvoren u nepravi razlomak:

Da biste ispravno pretvorili negativni mješoviti broj u nepravilan razlomak, morate pomnožiti cijeli dio s nazivnikom razlomka, a iz dobivenog broja oduzeti brojnik razlomljenog dijela. U ovom slučaju sve će nam doći na svoje mjesto

Negativan mješoviti broj je suprotan mješovitom broju. Ako se pozitivan mješoviti broj nalazi na desnoj strani i izgleda ovako

Definicija racionalnih brojeva

Racionalni brojevi uključuju:

• Prirodni brojevi koji se mogu prikazati kao razlomak. Na primjer, $7=\frac(7)(1)$.
• Cijeli brojevi, uključujući nulu, koja se može prikazati kao pozitivan ili negativan razlomak ili kao nula. Na primjer, $19=\frac(19)(1)$, $-23=-\frac(23)(1)$.
• Obični razlomci (pozitivni ili negativni).
• Mješoviti brojevi koji se mogu prikazati kao nepravi razlomak. Na primjer, $3 \frac(11)(13)=\frac(33)(13)$ i $-2 \frac(4)(5)=-\frac(14)(5)$.
• Konačni decimalni i beskonačni periodički razlomak koji se može prikazati kao razlomak. Na primjer, $-7,73=-\frac(773)(100)$, $7,(3)=-7 \frac(1)(3)=-\frac(22)(3)$.

Napomena 1

Imajte na umu da beskonačni neperiodični decimalni razlomak ne pripada racionalnim brojevima, jer ne može se prikazati kao običan razlomak.

Primjer 1

Prirodni brojevi $7, 670, 21\456$ su racionalni.

Cijeli brojevi $76, –76, 0, –555\666$ su racionalni.

Obični razlomci $\frac(7)(11)$, $\frac(555)(4)$, $-\frac(7)(11)$, $-\frac(100)(234)$ – racionalni brojevi .

Dakle, racionalni brojevi se dijele na pozitivne i negativne. Broj nula je racionalan, ali nije ni pozitivan ni negativan racionalan broj.

Formulirajmo sažetiju definiciju racionalnih brojeva.

Definicija 3

Racionalno su brojevi koji se mogu prikazati kao konačni ili beskonačni periodički decimalni razlomak.

Mogu se izvući sljedeći zaključci:

• pozitivni i negativni cijeli brojevi i razlomci pripadaju skupu racionalnih brojeva;
• racionalni brojevi mogu se prikazati kao razlomak koji ima cijeli brojnik i prirodni nazivnik i racionalan je broj;
• racionalni brojevi mogu se prikazati kao bilo koji periodični decimalni razlomak koji je racionalan broj.

Kako odrediti je li broj racionalan

1. Broj je naveden kao numerički izraz koji se sastoji samo od racionalnih brojeva i znakova aritmetičkih operacija. U ovom slučaju vrijednost izraza bit će racionalan broj.
2. Kvadratni korijen prirodnog broja je racionalan broj samo ako korijen sadrži broj koji je potpuni kvadrat nekog prirodnog broja. Na primjer, $\sqrt(9)$ i $\sqrt(121)$ su racionalni brojevi, jer $9=3^2$ i $121=11^2$.
3. $n$-ti korijen cijelog broja je racionalan broj samo ako je broj ispod znaka korijena $n$-ta potencija nekog cijelog broja. Na primjer, $\sqrt(8)$ je racionalan broj, jer $8=2^3$.

Na brojevnoj su osi racionalni brojevi gusto raspoređeni: između svaka dva racionalna broja koji međusobno nisu jednaki može se smjestiti barem jedan racionalni broj (dakle, beskonačan skup racionalnih brojeva). Istodobno, skup racionalnih brojeva karakterizira prebrojiva kardinalnost (odnosno, svi elementi skupa mogu biti numerirani). Stari Grci su dokazali da postoje brojevi koji se ne mogu napisati razlomkom. Pokazali su da ne postoji racionalan broj čiji je kvadrat jednak $2$. Tada se pokazalo da racionalni brojevi nisu dovoljni za izražavanje svih veličina, što je kasnije dovelo do pojave realnih brojeva. Skup racionalnih brojeva je, za razliku od realnih brojeva, nul-dimenzionalan.

Kao što smo već vidjeli, skup prirodnih brojeva

je zatvoren za zbrajanje i množenje, te skup cijelih brojeva

zatvoreno za zbrajanje, množenje i oduzimanje. Međutim, nijedan od ovih skupova nije zatvoren za dijeljenje, budući da dijeljenje cijelih brojeva može rezultirati razlomcima, kao u slučajevima 4/3, 7/6, -2/5 itd. Skup svih takvih razlomaka čini skup racionalnih brojeva. Dakle, racionalni broj (racionalni razlomak) je broj koji se može prikazati u obliku , gdje su a i d cijeli brojevi, a d nije jednak nuli. Napravimo nekoliko komentara o ovoj definiciji.

1) Zahtijevali smo da d nije nula. Ovaj zahtjev (matematički napisan kao nejednakost) je neophodan jer je ovdje d djelitelj. Razmotrite sljedeće primjere:

Slučaj 1. .

Slučaj 2...

U slučaju 1, d je djelitelj u smislu prethodnog poglavlja, tj. 7 je točan djelitelj od 21. U slučaju 2, d je i dalje djelitelj, ali u drugom smislu, jer 7 nije točan djelitelj od 25. .

Ako se 25 naziva dividendom, a 7 djeliteljem, dobivamo kvocijent 3 i ostatak 4. Dakle, riječ djelitelj se ovdje koristi u općenitijem smislu i odnosi se na veći broj slučajeva nego u Pogl. I. Međutim, u slučajevima poput slučaja 1, koncept djelitelja uveden u Pogl. ja; stoga je potrebno, kao u pogl. I, isključujem mogućnost d = 0.

2) Imajte na umu da dok su izrazi racionalni broj i racionalni razlomak sinonimi, sama riječ razlomak se koristi za označavanje bilo kojeg algebarskog izraza koji se sastoji od brojnika i nazivnika, kao što je

3) Definicija racionalnog broja uključuje izraz “broj koji se može prikazati u obliku , gdje su a i d cijeli brojevi i . Zašto se ne može zamijeniti izrazom “broj oblika , gdje su a i d cijeli brojevi i Razlog tome je činjenica da postoji beskonačno mnogo načina za izražavanje istog razlomka (na primjer, 2/3 može također biti zapisan kao 4/6, 6 /9, ili ili 213/33, ili, itd.), a za nas je poželjno da naša definicija racionalnog broja ne ovisi o određenom načinu izražavanja.

Razlomak je definiran tako da se njegova vrijednost ne mijenja kada se brojnik i nazivnik pomnože istim brojem. Međutim, nije uvijek moguće samo promatranjem danog razlomka reći je li racionalan ili ne. Razmotrite, na primjer, brojke

Nijedan od njih u unosu koji smo odabrali nije u obliku , gdje su a i d cijeli brojevi.

Međutim, možemo izvesti niz aritmetičkih transformacija na prvom razlomku i dobiti

Dakle, dolazimo do razlomka jednakog izvornom razlomku, za koji . Broj je dakle racionalan, ali ne bi bio racionalan kad bi definicija racionalnog broja zahtijevala da broj ima oblik a/b, gdje su a i b cijeli brojevi. U slučaju pretvorbe razlomaka

dovesti do broja. U narednim poglavljima naučit ćemo da se broj ne može prikazati kao omjer dva cijela broja i stoga nije racionalan ili se kaže da je iracionalan.

4) Imajte na umu da je svaki cijeli broj racionalan. Kao što smo upravo vidjeli, to vrijedi u slučaju broja 2. U općem slučaju proizvoljnih cijelih brojeva, može se na sličan način svakom od njih dodijeliti nazivnik 1 i dobiti njihov prikaz kao racionalni razlomak.