Šta je nok i kako ga pronaći. Postovi označeni sa "najmanji zajednički imenilac"

Online kalkulator omogućava vam da brzo pronađete najveće zajednički djelitelj i najmanji zajednički višekratnik dva ili bilo kojeg drugog broja brojeva.

Kalkulator za pronalaženje GCD i LCM

Pronađite GCD i LOC

Pronađeno GCD i LOC: 5806

Kako koristiti kalkulator

• Unesite brojeve u polje za unos
• Ako unesete netačne znakove, polje za unos će biti istaknuto crvenom bojom
• kliknite na dugme "Pronađi GCD i LOC".

Kako unositi brojeve

• Brojevi se unose odvojeni razmakom, tačkom ili zarezom
• Dužina unesenih brojeva nije ograničena, tako da pronalaženje GCD i LCM dugih brojeva nije teško

Šta su GCD i NOC?

Najveći zajednički djelitelj nekoliko brojeva je najveći prirodni cijeli broj kojim su svi originalni brojevi djeljivi bez ostatka. Najveći zajednički djelitelj je skraćeno GCD.
Najmanji zajednički višekratnik nekoliko brojeva je najmanji broj koji je djeljiv sa svakim od originalnih brojeva bez ostatka. Najmanji zajednički višekratnik je skraćeno NOC.

Kako provjeriti da li je broj djeljiv sa drugim brojem bez ostatka?

Da biste saznali da li je jedan broj djeljiv drugim bez ostatka, možete koristiti neka svojstva djeljivosti brojeva. Zatim, njihovim kombinovanjem, možete provjeriti djeljivost nekih od njih i njihovih kombinacija.

Neki znakovi djeljivosti brojeva

1. Test djeljivosti broja sa 2
Da bismo utvrdili da li je broj djeljiv sa dva (da li je paran), dovoljno je pogledati posljednju cifru ovog broja: ako je jednak 0, 2, 4, 6 ili 8, onda je broj paran, što znači da je djeljiv sa 2.
primjer: utvrdi da li je broj 34938 djeljiv sa 2.
Rješenje: pogledajte posljednju cifru: 8 znači da je broj djeljiv sa dva.

2. Test djeljivosti broja sa 3
Broj je djeljiv sa 3 kada je zbir njegovih cifara djeljiv sa tri. Dakle, da biste utvrdili da li je broj djeljiv sa 3, morate izračunati zbir cifara i provjeriti da li je djeljiv sa 3. Čak i ako je zbir cifara vrlo velik, možete ponoviti isti postupak.
primjer: utvrdi da li je broj 34938 djeljiv sa 3.
Rješenje: Računamo zbir brojeva: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je djeljiv sa 3, što znači da je broj djeljiv sa tri.

3. Test djeljivosti broja sa 5
Broj je djeljiv sa 5 kada je njegova zadnja cifra nula ili pet.
primjer: utvrdi da li je broj 34938 djeljiv sa 5.
Rješenje: pogledajte posljednju cifru: 8 znači da broj NIJE djeljiv sa pet.

4. Test djeljivosti broja sa 9
Ovaj znak je vrlo sličan znaku djeljivosti sa tri: broj je djeljiv sa 9 kada je zbir njegovih cifara djeljiv sa 9.
primjer: utvrdi da li je broj 34938 djeljiv sa 9.
Rješenje: Računamo zbir brojeva: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je djeljiv sa 9, što znači da je broj djeljiv sa devet.

Kako pronaći GCD i LCM dva broja

Kako pronaći gcd dva broja

Najlakši način da izračunate najveći zajednički djelitelj dva broja je da pronađete sve moguće djelitelje tih brojeva i odaberete najveći.

Razmotrimo ovu metodu koristeći primjer pronalaženja GCD(28, 36):

1. Faktoriramo oba broja: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
2. Pronalazimo zajedničke faktore, odnosno one koje imaju oba broja: 1, 2 i 2.
3. Izračunavamo proizvod ovih faktora: 1 2 2 = 4 - ovo je najveći zajednički djelitelj brojeva 28 i 36.

Kako pronaći LCM dva broja

Postoje dva najčešća načina da se pronađe najmanji višekratnik od dva broja. Prva metoda je da možete zapisati prve višekratnike dva broja, a zatim među njima izabrati broj koji će biti zajednički za oba broja i istovremeno najmanji. A drugi je pronaći gcd ovih brojeva. Razmotrimo samo to.

Da biste izračunali LCM, morate izračunati proizvod originalnih brojeva, a zatim ga podijeliti s prethodno pronađenim GCD. Nađimo LCM za iste brojeve 28 i 36:

1. Pronađite proizvod brojeva 28 i 36: 28·36 = 1008
2. GCD(28, 36), kao što je već poznato, jednak je 4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Pronalaženje GCD i LCM za nekoliko brojeva

Najveći zajednički djelitelj se može naći za nekoliko brojeva, a ne samo za dva. U tu svrhu, brojevi koji se nalaze za najveći zajednički djelitelj se rastavljaju na proste faktore, zatim se pronalazi proizvod zajedničkih faktora primarni faktori ovi brojevi. Također možete koristiti sljedeću relaciju da pronađete gcd nekoliko brojeva: GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c).

Sličan odnos se primjenjuje na najmanji zajednički višekratnik: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

primjer: pronađite GCD i LCM za brojeve 12, 32 i 36.

1. Prvo, hajde da faktorizujemo brojeve: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
2. Nađimo zajedničke faktore: 1, 2 i 2.
3. Njihov proizvod će dati GCD: 1·2·2 = 4
4. Sada pronađimo LCM: da bismo to učinili, prvo pronađimo LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
5. Da biste pronašli LCM sva tri broja, morate pronaći GCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2· 2 3 = 12.
6. LCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.

Nastavimo razgovor o najmanjem zajedničkom višekratniku, koji smo započeli u dijelu “LCM – najmanji zajednički višekratnik, definicija, primjeri”. U ovoj temi ćemo pogledati načine kako pronaći LCM za tri ili više brojeva, te ćemo se osvrnuti na pitanje kako pronaći LCM negativnog broja.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM) putem GCD-a

Već smo uspostavili odnos između najmanjeg zajedničkog višekratnika i najvećeg zajedničkog djelitelja. Sada ćemo naučiti kako odrediti LCM kroz GCD. Prvo, hajde da shvatimo kako to učiniti za pozitivne brojeve.

Definicija 1

Najmanji zajednički višekratnik možete pronaći kroz najveći zajednički djelitelj koristeći formulu LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

Primjer 1

Morate pronaći LCM brojeva 126 i 70.

Rješenje

Uzmimo a = 126, b = 70. Zamijenimo vrijednosti u formulu za izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika kroz najveći zajednički djelitelj LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Pronalazi gcd brojeva 70 i 126. Za ovo nam je potreban Euklidov algoritam: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, dakle GCD (126 , 70) = 14 .

Izračunajmo LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

odgovor: LCM(126, 70) = 630.

Primjer 2

Nađi broj brojeva 68 i 34.

Rješenje

GCD u ovom slučaju nije teško pronaći, jer je 68 djeljivo sa 34. Izračunajmo najmanji zajednički višekratnik koristeći formulu: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

odgovor: LCM(68, 34) = 68.

U ovom primjeru koristili smo pravilo za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika pozitivnih cijelih brojeva a i b: ako je prvi broj djeljiv drugim, LCM tih brojeva će biti jednak prvom broju.

Pronalaženje LCM-a rastavljanjem brojeva u proste faktore

Pogledajmo sada metodu pronalaženja LCM-a, koja se zasniva na faktoringu brojeva u proste faktore.

Definicija 2

Da bismo pronašli najmanji zajednički višekratnik, moramo izvršiti nekoliko jednostavnih koraka:

• sastavljamo proizvod svih prostih faktora brojeva za koje trebamo pronaći LCM;
• isključujemo sve primarne faktore iz njihovih rezultirajućih proizvoda;
• proizvod koji se dobije nakon eliminacije zajedničkih prostih faktora biće jednak LCM datih brojeva.

Ova metoda pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika zasniva se na jednakosti LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Ako pogledate formulu, postat će jasno: proizvod brojeva a i b jednak je proizvodu svih faktora koji sudjeluju u dekompoziciji ova dva broja. U ovom slučaju, gcd dva broja jednak je proizvodu svih prostih faktora koji su istovremeno prisutni u faktorizaciji ova dva broja.

Primjer 3

Imamo dva broja 75 i 210. Možemo ih faktorirati na sljedeći način: 75 = 3 5 5 I 210 = 2 3 5 7. Ako sastavite proizvod svih faktora dva originalna broja, dobijate: 2 3 3 5 5 5 7.

Ako izuzmemo faktore zajedničke za oba broja 3 i 5, dobićemo proizvod sljedećeg oblika: 2 3 5 5 7 = 1050. Ovaj proizvod će biti naš LCM za brojeve 75 i 210.

Primjer 4

Pronađite LCM brojeva 441 I 700 , faktoring oba broja u proste faktore.

Rješenje

Nađimo sve proste faktore brojeva datih u uslovu:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Dobijamo dva lanca brojeva: 441 = 3 3 7 7 i 700 = 2 2 5 5 7.

Proizvod svih faktora koji su učestvovali u dekompoziciji ovih brojeva imaće oblik: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Hajde da pronađemo zajedničke faktore. Ovo je broj 7. Isključimo ga iz ukupan proizvod: 2 2 3 3 5 5 7 7. Ispostavilo se da je NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

odgovor: LOC(441, 700) = 44.100.

Hajde da damo još jednu formulaciju metode za pronalaženje LCM dekomponovanjem brojeva na proste faktore.

Definicija 3

Prethodno smo isključili iz ukupnog broja faktora koji su zajednički za oba broja. Sada ćemo to učiniti drugačije:

• Razložimo oba broja u proste faktore:
• dodaj proizvodu prostih faktora prvog broja faktore koji nedostaju drugog broja;
• dobijamo proizvod, koji će biti željeni LCM od dva broja.

Primjer 5

Vratimo se na brojeve 75 i 210, za koje smo već tražili LCM u jednom od prethodnih primjera. Podijelimo ih na jednostavne faktore: 75 = 3 5 5 I 210 = 2 3 5 7. Na proizvod faktora 3, 5 i 5 brojevi 75 dodajte faktore koji nedostaju 2 I 7 brojevi 210. Dobijamo: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Ovo je LCM brojeva 75 i 210.

Primjer 6

Potrebno je izračunati LCM brojeva 84 i 648.

Rješenje

Razložimo brojeve iz uslova u jednostavne faktore: 84 = 2 2 3 7 I 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Dodajmo proizvodu faktore 2, 2, 3 i 7 brojevi 84 nedostaju faktori 2, 3, 3 i
3 brojevi 648. Dobijamo proizvod 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Ovo je najmanji zajednički višekratnik 84 i 648.

odgovor: LCM(84, 648) = 4,536.

Pronalaženje LCM od tri ili više brojeva

Bez obzira s kojim brojevima imamo posla, algoritam naših akcija će uvijek biti isti: sekvencijalno ćemo pronaći LCM dva broja. Za ovaj slučaj postoji teorema.

Teorema 1

Pretpostavimo da imamo cijele brojeve a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k ovi brojevi se nalaze uzastopnim izračunavanjem m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).

Pogledajmo sada kako se teorema može primijeniti na rješavanje specifičnih problema.

Primjer 7

Morate izračunati najmanji zajednički višekratnik četiri broja 140, 9, 54 i 250 .

Rješenje

Hajde da uvedemo zapis: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Počnimo s izračunavanjem m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Primijenimo Euklidov algoritam da izračunamo GCD brojeva 140 i 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Dobijamo: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1.260. Dakle, m 2 = 1,260.

Sada izračunajmo koristeći isti algoritam m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Tokom proračuna dobijamo m 3 = 3 780.

Moramo samo izračunati m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Pratimo isti algoritam. Dobijamo m 4 = 94 500.

LCM od četiri broja iz primjera stanja je 94500.

odgovor: NOC (140, 9, 54, 250) = 94.500.

Kao što vidite, proračuni su jednostavni, ali prilično radno intenzivni. Da biste uštedjeli vrijeme, možete ići drugim putem.

Definicija 4

Nudimo vam sljedeći algoritam akcija:

• sve brojeve rastavljamo na proste faktore;
• proizvodu faktora prvog broja dodajemo faktore koji nedostaju iz proizvoda drugog broja;
• proizvodu dobijenom u prethodnoj fazi dodajemo faktore trećeg broja koji nedostaju itd.;
• rezultirajući proizvod će biti najmanji zajednički višekratnik svih brojeva iz uvjeta.

Primjer 8

Morate pronaći LCM od pet brojeva 84, 6, 48, 7, 143.

Rješenje

Razložimo svih pet brojeva u proste faktore: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Prosti brojevi, a to je broj 7, ne mogu se rastaviti u proste faktore. Takvi brojevi se poklapaju sa njihovom dekompozicijom na proste faktore.

Sada uzmimo proizvod prostih faktora 2, 2, 3 i 7 broja 84 i dodajmo im faktore koji nedostaju drugog broja. Razložili smo broj 6 na 2 i 3. Ovi faktori su već u proizvodu prvog broja. Stoga ih izostavljamo.

Nastavljamo sa sabiranjem množitelja koji nedostaju. Pređimo na broj 48, iz proizvoda čijih prostih faktora uzimamo 2 i 2. Zatim dodajemo prost faktor 7 iz četvrtog broja i faktore 11 i 13 od petog. Dobijamo: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048. Ovo je najmanji zajednički višekratnik od pet originalnih brojeva.

odgovor: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.

Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika negativnih brojeva

Da pronađemo najmanji zajednički višekratnik negativni brojevi, ovi brojevi se prvo moraju zamijeniti brojevima sa suprotan znak, a zatim izvršite proračune koristeći gore navedene algoritame.

Primjer 9

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) i LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Takve radnje su dozvoljene zbog činjenice da ako to prihvatimo a I − a– suprotni brojevi,
zatim skup višekratnika broja a odgovara skupu višekratnika broja − a.

Primjer 10

Potrebno je izračunati LCM negativnih brojeva − 145 I − 45 .

Rješenje

Zamenimo brojeve − 145 I − 45 na njihove suprotne brojeve 145 I 45 . Sada, koristeći algoritam, izračunavamo LCM (145, 45) = 145 45: GCD (145, 45) = 145 45: 5 = 1 305, nakon što smo prethodno odredili GCD pomoću Euklidovog algoritma.

Dobijamo da je LCM brojeva − 145 i − 45 jednaki 1 305 .

odgovor: LCM (− 145, − 45) = 1.305.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Pogledajmo tri načina da pronađemo najmanji zajednički višekratnik.

Pronalaženje faktorizacijom

Prva metoda je pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika rastavljanjem datih brojeva u proste faktore.

Recimo da treba da pronađemo LCM brojeva: 99, 30 i 28. Da bismo to uradili, razložimo svaki od ovih brojeva u proste faktore:

Da bi željeni broj bio djeljiv sa 99, 30 i 28, potrebno je i dovoljno da sadrži sve proste činioce ovih djelitelja. Da bismo to učinili, moramo uzeti sve proste faktore ovih brojeva na najveći mogući stepen i pomnožiti ih zajedno:

2 2 3 2 5 7 11 = 13.860

Dakle, LCM (99, 30, 28) = 13.860 Nijedan drugi broj manji od 13.860 nije djeljiv sa 99, 30 ili 28.

Da biste pronašli najmanji zajednički višekratnik datih brojeva, rastavite ih u njihove proste faktore, zatim uzmete svaki prosti faktor s najvećim eksponentom u kojem se pojavljuje i pomnožite te faktore zajedno.

Pošto relativno prosti brojevi nemaju zajedničke proste faktore, njihov najmanji zajednički višekratnik je jednak proizvodu ovih brojeva. Na primjer, tri broja: 20, 49 i 33 su relativno prosti. Zbog toga

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32.340.

Isto se mora učiniti kada se pronađe najmanji zajednički višekratnik različitih prostih brojeva. Na primjer, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Pronalaženje odabirom

Druga metoda je pronalaženje najmanje zajedničkog višekratnika odabirom.

Primjer 1. Kada se najveći od datih brojeva podijeli sa drugim datim brojem, tada je LCM ovih brojeva jednak najvećem od njih. Na primjer, data su četiri broja: 60, 30, 10 i 6. Svaki od njih je djeljiv sa 60, dakle:

LCM(60, 30, 10, 6) = 60

U drugim slučajevima, za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika, koristi se sljedeći postupak:

1. Od zadatih brojeva odredi najveći broj.
2. Zatim pronalazimo brojeve koji su višekratnici najvećeg broja množenjem prirodnim brojevima u rastućem redoslijedu i provjeravanjem da li je rezultirajući proizvod djeljiv s preostalim datim brojevima.

Primjer 2. Data su tri broja 24, 3 i 18. Određujemo najveći od njih - to je broj 24. Zatim nalazimo brojeve koji su višekratnici broja 24, provjeravajući da li je svaki od njih djeljiv sa 18 i 3:

24 · 1 = 24 - deljivo sa 3, ali nije deljivo sa 18.

24 · 2 = 48 - deljivo sa 3, ali nije deljivo sa 18.

24 · 3 = 72 - djeljivo sa 3 i 18.

Dakle, LCM (24, 3, 18) = 72.

Pronalaženje uzastopnim pronalaženjem LCM

Treća metoda je pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika sekvencijalnim pronalaženjem LCM.

LCM dva data broja jednak je umnošku ovih brojeva podijeljen sa njihovim najvećim zajedničkim djeliteljem.

Primjer 1. Pronađite LCM dva data broja: 12 i 8. Odredite njihov najveći zajednički djelitelj: GCD (12, 8) = 4. Pomnožite ove brojeve:

Proizvod dijelimo sa njihovim gcd-om:

Dakle, LCM (12, 8) = 24.

Da biste pronašli LCM od tri ili više brojeva, koristite sljedeću proceduru:

1. Prvo, pronađite LCM bilo koja dva od ovih brojeva.
2. Zatim, LCM pronađenog najmanjeg zajedničkog višekratnika i trećeg zadanog broja.
3. Zatim, LCM rezultirajućeg najmanjeg zajedničkog višekratnika i četvrtog broja, itd.
4. Stoga se potraga za LCM nastavlja sve dok postoje brojevi.

Primjer 2. Nađimo LCM tri data broja: 12, 8 i 9. Već smo pronašli LCM brojeva 12 i 8 u prethodnom primjeru (ovo je broj 24). Ostaje da pronađemo najmanji zajednički umnožak broja 24 i trećeg datog broja - 9. Odredite njihov najveći zajednički djelitelj: GCD (24, 9) = 3. Pomnožite LCM sa brojem 9:

Proizvod dijelimo sa njihovim gcd-om:

Dakle, LCM (12, 8, 9) = 72.

Razmotrimo rješavanje sljedećeg problema. Korak dječaka je 75 cm, a korak djevojčice je 60 cm.

Rješenje. Cijeli put kroz koji će djeca proći mora biti djeljiv sa 60 i 70, jer svako mora napraviti cijeli broj koraka. Drugim riječima, odgovor mora biti višekratnik i 75 i 60.

Prvo ćemo zapisati sve višekratnike broja 75. Dobijamo:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Zapišimo sada brojeve koji će biti višekratni od 60. Dobijamo:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Sada nalazimo brojeve koji se nalaze u oba reda.

• Uobičajeni višekratnici brojeva bi bili 300, 600, itd.

Najmanji od njih je broj 300. U ovom slučaju će se zvati najmanji zajednički višekratnik brojeva 75 i 60.

Da se vratimo na stanje zadatka, najkraća udaljenost na kojoj će momci napraviti cijeli broj koraka će biti 300 cm.

Određivanje najmanjeg zajedničkog višekratnika

• Najmanji zajednički višekratnik dva prirodni brojevi a i b je najmanji prirodni broj koji je višekratnik i a i b.

Da bismo pronašli najmanji zajednički višekratnik dva broja, nije potrebno zapisati sve višekratnike ovih brojeva u nizu.

Možete koristiti sljedeću metodu.

Kako pronaći najmanji zajednički višekratnik

Prvo morate ove brojeve faktorisati u proste faktore.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Zapišimo sada sve faktore koji se nalaze u proširenju prvog broja (2,2,3,5) i dodajmo mu sve faktore koji nedostaju iz proširenja drugog broja (5).

Kao rezultat, dobijamo niz prostih brojeva: 2,2,3,5,5. Proizvod ovih brojeva će biti najmanji zajednički faktor za ove brojeve. 2*2*3*5*5 = 300.

Opća shema za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika

• 1. Podijelite brojeve na proste faktore.
• 2. Zapišite osnovne faktore koji su dio jednog od njih.
• 3. Ovim faktorima dodajte sve one koji su u ekspanziji ostalih, ali ne i u odabranom.
• 4. Pronađite proizvod svih zapisanih faktora.

Ova metoda je univerzalna. Može se koristiti za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika bilo kojeg broja prirodnih brojeva.

Ali mnogi prirodni brojevi su također djeljivi sa drugim prirodnim brojevima.

Na primjer:

Broj 12 je djeljiv sa 1, sa 2, sa 3, sa 4, sa 6, sa 12;

Broj 36 je djeljiv sa 1, sa 2, sa 3, sa 4, sa 6, sa 12, sa 18, sa 36.

Brojevi kojima je broj djeljiv s cjelinom (za 12 to su 1, 2, 3, 4, 6 i 12) nazivaju se djelitelje brojeva. Delitelj prirodnog broja a- je prirodan broj koji se dijeli dati broj a bez traga. Prirodni broj koji ima više od dva djelitelja naziva se kompozitni .

Imajte na umu da brojevi 12 i 36 imaju zajedničke faktore. Ovi brojevi su: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Najveći djelitelj ovih brojeva je 12. Zajednički djelitelj ova dva broja a I b- ovo je broj kojim su oba data broja podijeljena bez ostatka a I b.

Uobičajeni višestruki nekoliko brojeva je broj koji je djeljiv sa svakim od ovih brojeva. Na primjer, brojevi 9, 18 i 45 imaju zajednički višekratnik 180. Ali 90 i 360 su također njihovi zajednički višekratnici. Među svim zajedničkim višekratnicima uvijek postoji najmanji, u ovom slučaju to je 90. Ovaj broj se zove najmanjizajednički višekratnik (CMM).

LCM je uvijek prirodan broj koji mora biti veći od najvećeg broja za koji je definiran.

Najmanji zajednički višekratnik (LCM). Svojstva.

komutativnost:

asocijativnost:

Konkretno, ako su i međusobno prosti brojevi, onda:

Najmanji zajednički višekratnik dva cijela broja m I n je djelitelj svih ostalih zajedničkih višekratnika m I n. Štaviše, skup zajedničkih višekratnika m, n poklapa se sa skupom višekratnika za LCM( m, n).

Asimptotika za može se izraziti u terminima nekih teoretskih funkcija brojeva.

dakle, Čebiševljeva funkcija. i:

Ovo slijedi iz definicije i svojstava Landauove funkcije g(n).

Što slijedi iz zakona raspodjele prostih brojeva.

Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM).

NOC( a, b) može se izračunati na nekoliko načina:

1. Ako je poznat najveći zajednički djelitelj, možete koristiti njegovu vezu sa LCM:

2. Neka je poznata kanonska dekompozicija oba broja na proste faktore:

Gdje p 1 ,...,p k- razni prosti brojevi, i d 1 ,...,d k I e 1 ,...,e k— nenegativni cijeli brojevi (mogu biti nule ako odgovarajući prosti broj nije u proširenju).

Zatim NOC ( a,b) se izračunava po formuli:

Drugim riječima, LCM dekompozicija sadrži sve proste faktore uključene u barem jednu od dekompozicija brojeva a, b, i uzima se najveći od dva eksponenta ovog množitelja.

Primjer:

Izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika nekoliko brojeva može se svesti na nekoliko uzastopnih izračunavanja LCM-a dva broja:

Pravilo. Da biste pronašli LCM niza brojeva, trebate:

- rastavljaju brojeve na proste faktore;

- prenesite najveću ekspanziju (proizvod faktora željenog proizvoda) u faktore željenog proizvoda veliki broj od datih), a zatim dodajte faktore iz proširenja drugih brojeva koji se ne pojavljuju u prvom broju ili se pojavljuju u njemu manje puta;

— rezultirajući proizvod prostih faktora će biti LCM datih brojeva.

Bilo koja dva ili više prirodnih brojeva imaju svoj LCM. Ako brojevi nisu višestruki jedan od drugog ili nemaju iste faktore u ekspanziji, onda je njihov LCM jednak proizvodu ovih brojeva.

Prosti faktori broja 28 (2, 2, 7) dopunjuju se faktorom 3 (broj 21), rezultirajući proizvod (84) će biti najmanji broj, koji je djeljiv sa 21 i 28.

Prosti faktori najvećeg broja 30 dopunjeni su faktorom 5 od broja 25, rezultirajući proizvod 150 veći je od najvećeg broja 30 i djeljiv je sa svim date brojeve bez traga. Ovo najmanje proizvoda od mogućih (150, 250, 300...), kojima su svi dati brojevi višekratnici.

Brojevi 2,3,11,37 su prosti brojevi, pa je njihov LCM jednak proizvodu datih brojeva.

Pravilo. Da biste izračunali LCM prostih brojeva, morate sve ove brojeve pomnožiti zajedno.

Druga opcija:

Da biste pronašli najmanji zajednički umnožak (LCM) nekoliko brojeva trebate:

1) predstavljaju svaki broj kao proizvod njegovih prostih faktora, na primjer:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) zapišite potencije svih prostih faktora:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) zapisati sve proste djelioce (množitelje) svakog od ovih brojeva;

4) izabrati najveći stepen svakog od njih, koji se nalazi u svim proširenjima ovih brojeva;

5) pomnožite ove moći.

Primjer. Pronađite LCM brojeva: 168, 180 i 3024.

Rješenje. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Pišemo najveće diplome sve proste djelitelje i pomnoži ih:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.