Kotanjant 1'den büyük olabilir mi? Temel trigonometrik özdeşlikler, formülasyonları ve türetilmesi

Ders: Rastgele bir açının sinüs, kosinüs, teğet, kotanjantı

Sinüs, keyfi bir açının kosinüsü

Trigonometrik fonksiyonların ne olduğunu anlamak için birim yarıçaplı bir daireye bakalım. Bu dairenin koordinat düzleminde orijinde bir merkezi vardır. Verilen fonksiyonları belirlemek için yarıçap vektörünü kullanacağız VEYAÇemberin merkezinden başlayan nokta ve Rçember üzerinde bir noktadır. Bu yarıçap vektörü eksenle bir alfa açısı oluşturur AH. Çemberin yarıçapı bire eşit olduğundan, o zaman VEYA = R = 1.

Eğer noktadan R eksene dik olanı indirin AH Böylece hipotenüsü bire eşit olan bir dik üçgen elde ederiz.

Yarıçap vektörü saat yönünde hareket ederse, bu yöne denir. olumsuz, saat yönünün tersine hareket ederse - pozitif.

Açının sinüsü VEYA, noktanın koordinatıdır R bir daire üzerinde vektör.

Yani, belirli bir alfa açısının sinüs değerini elde etmek için koordinatın belirlenmesi gerekir. sen yüzeyde.

Bu değer nasıl elde edildi? Bir dik üçgende herhangi bir açının sinüsünün karşı kenarın hipotenüse oranı olduğunu bildiğimiz için şunu elde ederiz:

Dan beri R=1, O günah(α) = y 0 .

Birim çemberde ordinat değeri -1'den küçük ve 1'den büyük olamaz; yani

Sinüs, birim çemberin birinci ve ikinci çeyreğinde pozitif, üçüncü ve dördüncü çeyreğinde ise negatif bir değer alır.

Açının kosinüsü yarıçap vektörünün oluşturduğu verilen daire VEYA, noktanın apsisidir R bir daire üzerinde vektör.

Yani, belirli bir alfa açısının kosinüs değerini elde etmek için koordinatın belirlenmesi gerekir. X yüzeyde.

Bir dik üçgende rastgele bir açının kosinüsü, bitişik kenarın hipotenüse oranıdır, şunu elde ederiz:

Dan beri R=1, O cos(α) = x 0 .

Birim çemberde apsis değeri -1'den küçük ve 1'den büyük olamaz yani

Kosinüs birim çemberin birinci ve dördüncü çeyreğinde pozitif, ikinci ve üçüncü çeyreğinde ise negatif bir değer alır.

Teğetkeyfi açı Sinüs/kosinüs oranı hesaplanır.

Bir dik üçgeni düşünürsek, bu karşı tarafın bitişik tarafa oranıdır. Birim çemberden bahsediyorsak, bu koordinatın apsise oranıdır.

Bu ilişkilere bakıldığında apsis değerinin sıfır olması yani 90 derecelik bir açıda olması durumunda teğetin var olamayacağı anlaşılmaktadır. Teğet diğer tüm değerleri alabilir.

Teğet birim çemberin birinci ve üçüncü çeyreğinde pozitif, ikinci ve dördüncü çeyreğinde ise negatiftir.

|BD| - A noktasında merkezi olan bir daire yayının uzunluğu.
α, radyan cinsinden ifade edilen açıdır.

Teğet ( ten rengi α) hipotenüs ile bir dik üçgenin kenarı arasındaki α açısına bağlı olan ve karşı kenarın uzunluğunun oranına eşit olan |BC| bitişik bacağın uzunluğuna |AB| .
Kotanjant ( ctg α) hipotenüs ile bir dik üçgenin kenarı arasındaki α açısına bağlı olan ve bitişik kenarı |AB|'nin uzunluğunun oranına eşit olan trigonometrik bir fonksiyondur. karşı bacağın uzunluğuna |BC| .

Teğet

Nerede N- tüm.

Batı literatüründe teğet şu şekilde ifade edilir:
.
;
;
.

Teğet fonksiyonunun grafiği, y = tan x

Kotanjant

Nerede N- tüm.

Batı literatüründe kotanjant şu şekilde ifade edilir:
.
Aşağıdaki gösterimler de kabul edilir:
;
;
.

Kotanjant fonksiyonunun grafiği, y = ctg x

Teğet ve kotanjantın özellikleri

Periyodiklik

Fonksiyonlar y = tgx ve y = ctg xπ periyodu ile periyodiktir.

Parite

Teğet ve kotanjant fonksiyonlar tektir.

Tanım ve değer alanları, artan, azalan

Teğet ve kotanjant fonksiyonlar kendi tanım alanlarında süreklidir (bkz. süreklilik kanıtı). Teğet ve kotanjantın temel özellikleri tabloda sunulmaktadır ( N- tüm).

Formüller

Sinüs ve kosinüs kullanan ifadeler

; ;
; ;
;

Toplam ve farktan teğet ve kotanjant formülleri

Geriye kalan formüllerin elde edilmesi kolaydır; örneğin

Teğetlerin çarpımı

Teğetlerin toplamı ve farkı için formül

Bu tablo, argümanın belirli değerleri için teğet ve kotanjant değerlerini sunar.

Karmaşık sayılar kullanan ifadeler

Hiperbolik fonksiyonlar aracılığıyla ifadeler

;
;

Türevler

; .

.
Fonksiyonun x değişkenine göre n'inci dereceden türevi:
.
Teğet formüllerinin türetilmesi > > >; kotanjant için > > >

İntegraller

Seri genişletmeler

Teğetin x'in kuvvetleri cinsinden açılımını elde etmek için, fonksiyonlara yönelik bir kuvvet serisindeki açılımın birkaç terimini almanız gerekir. günah x Ve çünkü x ve bu polinomları birbirine bölelim, . Bu, aşağıdaki formülleri üretir.

tarihinde.

.
Nerede Bn- Bernoulli sayıları. Bunlar ya yineleme ilişkisinden belirlenir:
;
;
Nerede .
Veya Laplace'ın formülüne göre:

Ters fonksiyonlar

Teğet ve kotanjantın ters fonksiyonları sırasıyla arktanjant ve arkkotanjanttır.

Arktanjant, arktg

, Nerede N- tüm.

Arkotanjant, arkctg

, Nerede N- tüm.

Referanslar:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühendisler ve üniversite öğrencileri için matematik el kitabı, “Lan”, 2009.
G. Korn, Bilim Adamları ve Mühendisler için Matematik El Kitabı, 2012.

Bu makale şunları içerir: sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant tabloları. İlk olarak, trigonometrik fonksiyonların temel değerlerinin bir tablosunu, yani 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 derecelik açıların sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant tablosunu sunacağız ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π radyan). Bundan sonra V. M. Bradis'in sinüs ve kosinüs tablosunun yanı sıra teğet ve kotanjant tablosunu vereceğiz ve trigonometrik fonksiyonların değerlerini bulurken bu tabloların nasıl kullanılacağını göstereceğiz.

Sayfada gezinme.

0, 30, 45, 60, 90, ... derecelik açılar için sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant tablosu

Kaynakça.

• Cebir: Ders Kitabı 9. sınıf için. ortalama okul / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky. - M .: Eğitim, 1990. - 272 s.: hasta - ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M. I. Cebir ve analizin başlangıcı: Ders kitabı. 10-11 sınıflar için. ortalama okul - 3. baskı. - M.: Eğitim, 1993. - 351 s.: hasta. - ISBN 5-09-004617-4.
• Cebir ve analizin başlangıcı: Proc. 10-11 sınıflar için. Genel Eğitim kurumlar / A.N. Kolmogorov, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsyn ve diğerleri; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. baskı - M.: Eğitim, 2004. - 384 s.: hasta - ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara girenler için bir el kitabı): Proc. ödenek.- M.; Daha yüksek okul, 1984.-351 s., hasta.
• Bradis V.M. Dört basamaklı matematik tabloları: Genel eğitim için. ders kitabı kuruluşlar. - 2. baskı. - M.: Bustard, 1999.- 96 s.: hasta. ISBN 5-7107-2667-2

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

• Gerekirse - yasaya, adli prosedüre uygun olarak, yasal işlemlerde ve/veya kamunun talepleri veya Rusya Federasyonu topraklarındaki hükümet yetkililerinin talepleri temelinde - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit etmemiz halinde, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.