Seri toplamı

İnternet sitesi bulmanı sağlar çevrimiçi dizi toplamı sayı dizisi. Sunucu, çevrimiçi bir sayı dizisi serisinin toplamını bulmanın yanı sıra çevrimiçi bulacak serinin kısmi toplamı. Bu analitik hesaplamalar için kullanışlıdır. çevrimiçi dizi toplamı dizinin limitine bir çözüm olarak gösterilmeli ve bulunmalıdır serinin kısmi toplamları. Diğer sitelerle karşılaştırıldığında, İnternet sitesi bulmanızı sağladığı için yadsınamaz bir avantaja sahiptir. çevrimiçi dizi toplamı sadece sayısal değil aynı zamanda işlevsel aralık orijinalin yakınsama alanını belirlememizi sağlayacak sıra En bilinen yöntemleri kullanarak. Teoriye göre satırlar Bir sayısal dizinin yakınsaklığı için gerekli koşul, ortak terimin limitinin sıfıra eşit olmasıdır sayı serisi değişken sonsuza eğilimli olduğundan. Ancak bu koşul bir sayı serisinin çevrimiçi yakınsaklığını belirlemek için yeterli değildir. seri yakınsaması çevrimiçiçeşitli yeterli yakınlaşma veya uzaklaşma işaretleri bulundu sıra. Bunlardan en ünlüsü ve en sık kullanılanı D'Alembert, Cauchy, Raabe işaretleridir. sayı serisi ve yakınsamanın tamamlayıcı işareti sayı serisi. Aralarında özel bir yer sayı serisi terimlerin işaretlerinin kesinlikle değiştiği ve mutlak değerlerin bulunduğu yerleri işgal eder sayı serisi monoton olarak azalır. Görünüşe göre bunun için sayı serisiÇevrimiçi serinin gerekli yakınsaklık işareti aynı zamanda yeterlidir, yani genel terimin limitinin sıfıra eşitliği sayı serisi değişken sonsuza eğilimli olduğundan. Sağlayan birçok farklı site var sunucular hesaplamak çevrimiçi seri toplamları ve ayrıca işlevlerin genişletilmesi sıra Bu işlevin tanım alanından bir noktada çevrimiçi olarak. Fonksiyonu genişletirsek dizi çevrimiçi bu sunucularda özellikle zor değil, o zaman hesaplamak çevrimiçi fonksiyonel serilerin toplamı Sayısal sayının aksine, her bir üyesi sıra, bir sayı değil bir fonksiyondur, gerekli teknik kaynakların bulunmaması nedeniyle neredeyse imkansız görünmektedir. İçin www.site böyle bir sorun yok.

Cevap: seri ıraksaktır.

Örnek No.3

$\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ serisinin toplamını bulun.

Toplamanın alt sınırı 1 olduğundan serinin ortak terimi toplam işaretinin altına yazılır: $u_n=\frac(2)((2n+1)(2n+3))$. Serinin n'inci kısmi toplamını yapalım, yani. Belirli bir sayı serisinin ilk $n$ terimlerini toplayalım:

$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\frac(2)(7\cdot 9 )+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3)). $$

Neden $\frac(2)(15)$ değil de tam olarak $\frac(2)(3\cdot 5)$ yazdığım, sonraki anlatımda netleşecektir. Ancak kısmi bir miktar yazmak bizi hedefimize bir nebze olsun yaklaştırmadı. $\lim_(n\to\infty)S_n$ bulmamız gerekiyor, ancak şunu yazarsak:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\ frac(2)(7\cdot 9)+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))\right), $$

o zaman biçim olarak tamamen doğru olan bu kayıt bize özünde hiçbir şey vermeyecektir. Limiti bulmak için kısmi toplam ifadesinin öncelikle basitleştirilmesi gerekir.

Bunun için serinin genel terimini temsil eden $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ kesirinin temel kesirlere ayrıştırılmasını içeren standart bir dönüşüm vardır. Rasyonel kesirleri temel kesirlere ayırma konusuna ayrı bir konu ayrılmıştır (örneğin, bu sayfadaki 3 numaralı örneğe bakın). $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ kesirini temel kesirlere genişletirsek, şunu elde ederiz:

$$ \frac(2)((2n+1)(2n+3))=\frac(A)(2n+1)+\frac(B)(2n+3)=\frac(A\cdot(2n) +3)+B\cdot(2n+1))((2n+1)(2n+3)). $$

Ortaya çıkan eşitliğin sol ve sağ taraflarındaki kesirlerin paylarını eşitliyoruz:

$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1). $$

$A$ ve $B$ değerlerini bulmanın iki yolu vardır. Parantezleri açıp terimleri yeniden düzenleyebilir veya $n$ yerine uygun bazı değerleri kullanabilirsiniz. Sadece çeşitlilik olsun diye, bu örnekte ilk yolu izleyeceğiz ve bir sonraki örnekte özel değerleri $n$ ile değiştireceğiz. Parantezleri açıp terimleri yeniden düzenlediğimizde şunu elde ederiz:

$$ 2=2An+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B. $$

Eşitliğin sol tarafında $n$'ın önüne sıfır gelir. İsterseniz, daha açık olması açısından eşitliğin sol tarafı $0\cdot n+ 2$ olarak gösterilebilir. Eşitliğin sol tarafında $n$'nin önünde sıfır olduğundan ve $n$ eşitliğinin sağ tarafında $2A+2B$'dan önce geldiğinden, ilk denklemi elde ederiz: $2A+2B=0$. Hemen bu denklemin her iki tarafını da 2'ye bölelim, ardından $A+B=0$ elde ederiz.

Eşitliğin sol tarafında serbest terim 2'ye eşit olduğundan ve eşitliğin sağ tarafında serbest terim $3A+B$'a eşit olduğundan, $3A+B=2$ olur. Yani bir sistemimiz var:

$$ \left\(\begin(aligned) & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \end(aligned)\right. $$

İspatı matematiksel tümevarım yöntemini kullanarak gerçekleştireceğiz. İlk adımda, $n=1$ için kanıtlanan eşitliğin $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ doğru olup olmadığını kontrol etmeniz gerekir. $S_1=u_1=\frac(2)(15)$ olduğunu biliyoruz, ancak $\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ ifadesi $\frac( değerini verir mi? 2 )(15)$, eğer bunun içine $n=1$ koyarsak? Hadi kontrol edelim:

$$ \frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2\cdot 1+3)=\frac(1) (3)-\frac(1)(5)=\frac(5-3)(15)=\frac(2)(15). $$

Yani $n=1$ için $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ eşitliği sağlanır. Bu, matematiksel tümevarım yönteminin ilk adımını tamamlar.

$n=k$ için eşitliğin sağlandığını varsayalım, yani. $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$. Aynı eşitliğin $n=k+1$ için de sağlanacağını kanıtlayalım. Bunu yapmak için $S_(k+1)$'ı düşünün:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1). $$

$u_n=\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)$ olduğundan, $u_(k+1)=\frac(1)(2(k+1)+ 1 )-\frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(2k+3)-\frac(1)(2(k+1)+3)$. Yukarıda yapılan varsayıma göre $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$, dolayısıyla $S_(k+1)=S_k+u_(k+1)$ formülü şu şekli alacaktır:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2k+3)-\ frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2(k+1)+3). $$

Sonuç: $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ formülü $n=k+1$ için doğrudur. Bu nedenle, matematiksel tümevarım yöntemine göre, $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ formülü N$ cinsinden herhangi bir $n\ için doğrudur. Eşitlik kanıtlandı.

Standart bir yüksek matematik dersinde, genellikle herhangi bir kanıt gerektirmeden, iptal eden terimlerin üstünü çizmekle yetinirler. Böylece, n'inci kısmi toplamın ifadesini elde ettik: $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. $\lim_(n\to\infty)S_n$ değerini bulalım:

Sonuç: verilen seri yakınsaktır ve toplamı $S=\frac(1)(3)$'dır.

Kısmi toplam formülünü basitleştirmenin ikinci yolu.

Açıkçası ben de bu yöntemi tercih ediyorum :) Kısmi tutarı kısaltarak yazalım:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)). $$

Daha önce $u_k=\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)$ elde etmiştik, dolayısıyla:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))=\sum\limits_(k=1)^(n)\left (\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\sağ). $$

$S_n$ toplamı sonlu sayıda terim içerir, dolayısıyla bunları istediğimiz gibi yeniden düzenleyebiliriz. Önce $\frac(1)(2k+1)$ formundaki tüm terimleri eklemek ve ancak daha sonra $\frac(1)(2k+3)$ formundaki terimlere geçmek istiyorum. Bu, kısmi tutarı şu şekilde sunacağımız anlamına gelir:

$$ S_n =\frac(1)(3)-\frac(1)(5)+\frac(1)(5)-\frac(1)(7)+\frac(1)(7)-\ frac(1)(9)+\frac(1)(9)-\frac(1)(11)+\ldots+\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)= \\ =\frac(1)(3)+\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+1 )-\left(\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+3)\right). $$

Elbette genişletilmiş gösterim son derece elverişsiz olduğundan yukarıdaki eşitlik daha kompakt bir şekilde yazılabilir:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\sum\limits_( k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3). $$

Şimdi $\frac(1)(2k+1)$ ve $\frac(1)(2k+3)$ ifadelerini tek forma dönüştürelim. Daha büyük bir fraksiyona indirgemenin uygun olduğunu düşünüyorum (daha küçük bir fraksiyon kullanmak mümkün olsa da, bu bir zevk meselesi). $\frac(1)(2k+1)>\frac(1)(2k+3)$ olduğundan (payda ne kadar büyük olursa kesir o kadar küçük olur), $\frac(1)(2k+) kesrini vereceğiz 3) $'ı $\frac(1)(2k+1)$ biçimine dönüştürün.

$\frac(1)(2k+3)$ kesirinin paydasındaki ifadeyi şu şekilde sunacağım:

$$ \frac(1)(2k+3)=\frac(1)(2k+2+1)=\frac(1)(2(k+1)+1). $$

Ve $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)$ toplamı artık şu şekilde yazılabilir:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1) ) )+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1). $$

Eğer eşitlik $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+ 1) $ herhangi bir soru sormuyor, o zaman devam edelim. Sorularınız varsa lütfen notu genişletin.

Dönüştürülen tutarı nasıl elde ettik? göster\gizle

Bir dizimiz vardı: $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2( k+1)+1)$. $k+1$ yerine yeni bir değişken ekleyelim - örneğin $t$. Yani $t=k+1$.

Eski değişken $k$ nasıl değişti? Ve 1'den $n$'a değişti. Yeni $t$ değişkeninin nasıl değişeceğini bulalım. Eğer $k=1$ ise $t=1+1=2$ olur. Eğer $k=n$ ise $t=n+1$ olur. Yani, $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)$ ifadesi artık şöyle olur: $\sum\limits_(t=2)^(n +1)\frac(1)(2t+1)$.

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1 )(2t+1). $$

$\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)$ toplamına sahibiz. Soru: Bu miktarda hangi harfin kullanıldığı önemli mi? :) $t$ yerine $k$ harfini yazarsak şunu elde ederiz:

$$ \sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1). $$

$\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+) eşitliğini bu şekilde elde ederiz 1) \frac(1)(2k+1)$.

Böylece kısmi toplam şu şekilde temsil edilebilir:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\toplam\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1 ). $$

$\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ ve $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1) toplamlarının toplamına dikkat edin. )(2k+1)$ yalnızca toplam limitlerinde farklılık gösterir. Bu sınırları aynı yapalım. $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ toplamından ilk elemanı “çıkarırsak” şunu elde ederiz:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(2\cdot 1+1)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1). $$

$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)$ toplamındaki son öğeyi "çıkarırsak" şunu elde ederiz:

$$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2(n+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+ 3 ).$$

O zaman kısmi toplamın ifadesi şu şekli alacaktır:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3)\right)=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)-\toplam\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2n+3)=\ frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Tüm açıklamaları atlarsanız, n'inci kısmi toplamın kısaltılmış formülünü bulma süreci aşağıdaki formu alacaktır:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)) = \sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\\ =\sum\limits_(k =1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\frac(1)(3) +\toplam\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2n+3)\sağ)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

$\frac(1)(2k+3)$ kesrini $\frac(1)(2k+1)$ biçimine indirdiğimizi hatırlatmak isterim. Elbette bunun tersini de yapabilirsiniz. $\frac(1)(2k+1)$ kesrini $\frac(1)(2k+3)$ olarak temsil edin. Kısmi toplamın son ifadesi değişmeyecektir. Bu durumda kısmi tutarı bulma sürecini bir notun altına gizleyeceğim.

Başka bir kesire dönüştürülürse $S_n$ nasıl bulunur? göster\gizle

$$ S_n =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 ) =\toplam\limits_(k=0)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\left(\sum\limits_(k= 1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2n+3)\right) =\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+ 3 ). $$

Yani, $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. $\lim_(n\to\infty)S_n$ sınırını bulun:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)\right)=\frac (1)(3)-0=\frac(1)(3). $$

Verilen seri yakınsar ve toplamı $S=\frac(1)(3)$.

Cevap: $S=\frac(1)(3)$.

Bir serinin toplamını bulma konusunun devamı ikinci ve üçüncü bölümlerde ele alınacaktır.

FEDERAL EĞİTİM AJANSI

Devlet eğitim kurumu

yüksek mesleki eğitim

"MATI" - RUSYA DEVLET TEKNOLOJİ ÜNİVERSİTESİ ADINI ADI K.E. TSİOLKOVSKİ

“Sistem Modelleme ve Bilgi Teknolojileri” Bölümü

Sayı serisi

Pratik alıştırmalar için yönergeler

"Yüksek Matematik" disiplininde

Tarafından düzenlendi: Egorova Yu.B.

Mamonov I.M.

Kornienko L.I.

Moskova 2005 tanıtımı

Kılavuzlar, Fakülte No. 14, uzmanlık alanları 071000, 130200, 220200'in tam zamanlı ve akşam öğrencileri için tasarlanmıştır.

1. Temel kavramlar

İzin vermek sen 1 , sen 2 , sen 3 , …, sen N, … sonsuz bir sayı dizisidir. İfade
isminde sonsuz sayı serisi, sayılar sen 1 , sen 2 , sen 3 , …, sen N- serinin üyeleri;
serisinin ortak terimi denir. Dizi genellikle kısaltılmış (daraltılmış) biçimde yazılır:

İlkinin toplamı N bir sayı serisinin üyeleri şu şekilde gösterilir: ve Çağrı yap N serinin kısmi toplamı:

Seri denir yakınsak Eğer o N-i kısmi miktar sınırsız artışla N son sınıra doğru yönelir, yani Eğer
Sayı isminde serinin toplamı.

Eğer N- serinin kısmi toplamı
sonlu bir limite yönelmiyorsa seriye denir farklı.

Örnek 1. Serinin toplamını bulun
.

Çözüm. Sahibiz
. Çünkü:

,

Buradan,

Çünkü
, o zaman seri yakınsar ve toplamı eşittir
.

2. Sayı serileri ile ilgili temel teoremler

Teorem 1. Seri yakınsarsa
o zaman seri yakınsar Belirli bir seriden ilkinin atılmasıyla elde edilen
üyeler (bu son satıra denir
-orijinal serinin geri kalanı). Ve tam tersi, yakınsama nedeniyle
Serinin geri kalanı bu serinin yakınsaklığını ifade etmektedir.

Teorem 2. Seri yakınsarsa
ve toplamı sayıdır , o zaman seri yakınsar
ve son satırın toplamı eşittir
.

Teorem 3. Seri yakınsarsa

sırasıyla S ve Q toplamlarına sahipse seri yakınsar ve son serinin toplamı şuna eşittir:
.

Teorem 4 (Seri yakınsamasının gerekli bir işareti). Eğer satır
birleşir, sonra
yani en
yakınsak bir serinin ortak teriminin limiti sıfırdır.

Sonuç 1. Eğer
o zaman seri ıraksar.

Sonuç 2. Eğer
ise, gerekli yakınsama kriterini kullanarak bir serinin yakınsaklığını veya ıraksamasını belirlemek imkansızdır. Bir seri yakınsak veya ıraksak olabilir.

Örnek 2. Serinin yakınsaklığını araştırın:

Çözüm. Serinin ortak terimini bulma
. Çünkü:

onlar.
ise seri ıraksar (yakınsaklık için gerekli koşul sağlanmamıştır).

3. Pozitif Terimli Serilerin Yakınsaklığının İşaretleri

3.1. Karşılaştırma işaretleri

Karşılaştırma kriterleri, belirli bir serinin yakınsaklığının, yakınsaması veya ıraksaması bilinen bir seriyle karşılaştırılmasına dayanmaktadır. Aşağıda listelenen seriler karşılaştırma amacıyla kullanılmıştır.

Sıra
azalan herhangi bir geometrik ilerlemenin terimlerinden oluşur, yakınsaktır ve toplamına sahiptir

Sıra
Artan geometrik ilerlemenin terimlerinden oluşan, ıraksaktır.

Sıra
ıraksaktır.

Sıra
Dirichlet serisi denir. >1 için Dirichlet serisi yakınsar,  için<1- расходится.

=1 satır olduğunda
harmonik denir. Harmonik seri ıraksaktır.

Teorem. Karşılaştırmanın ilk işareti. Pozitif terimli iki seri verilsin:

(2)

Ayrıca serinin (1) her bir üyesi, serinin (2) karşılık gelen üyesini aşmaz;
(N= 1, 2, 3,…). O zaman (2) serisi yakınsarsa, (1) serisi de yakınsar; (1) serisi ıraksarsa, (2) serisi de ıraksar.

Yorum. Bu kriter eşitsizlik durumunda geçerli kalır.
herkeste işe yaramıyor , ancak yalnızca belirli bir sayıdan başlayarak N= N yani hepsi için N N.

Örnek 3. Serinin yakınsaklığını araştırın

Çözüm. Belirli bir serinin üyeleri, serinin karşılık gelen üyelerinden daha azdır
sonsuz azalan geometrik ilerlemenin terimlerinden oluşur. Bu seri yakınsak olduğundan verilen seri de yakınsar.

Teorem. İkinci karşılaştırma işareti (karşılaştırma işaretinin sınırlayıcı biçimi). Sonlu ve sıfır olmayan bir limit varsa
, ardından her iki satır Ve aynı anda yakınsar veya uzaklaşır.

Örnek 4. Serinin yakınsaklığını araştırın

Çözüm. Seriyi harmonik seriyle karşılaştıralım
Serinin ortak terimlerinin oranının limitini bulalım:

Harmonik seri ıraksak olduğundan verilen seri de ıraksaktır.

Vesaire. – hakkında en az bilgi sayı serisi. Serinin ne olduğunu anlamak, detaylı olarak anlatabilmek ve “dizi yakınsak”, “dizi ıraksak”, “dizinin toplamı” gibi ifadelerden sonra gözlerinizi büyütmemek gerekiyor. Bu nedenle ruh haliniz tamamen sıfırsa lütfen bu yazıya 5-10 dakika ayırın. Aptallar için satırlar(kelimenin tam anlamıyla ilk 2-3 sayfa) ve sonra buraya geri dönün ve örnekleri çözmeye başlamaktan çekinmeyin!

Çoğu durumda bir serinin toplamını bulmanın kolay olmadığını ve bu sorunun genellikle şu şekilde çözüldüğünü belirtmek gerekir: fonksiyonel seri (Yaşayacağız, yaşayacağız :)). Yani örneğin popüler bir sanatçının miktarı üzerinden çıkış Fourier serisi. Bu bağlamda, pratikte neredeyse her zaman kurulumun yapılması gerekir. yakınsama gerçeği, ancak belirli bir sayı bulmak için değil (sanırım çoğu kişi bunu zaten fark etti). Ancak çok çeşitli sayı serileri arasında, dolu bir çaydanlığın bile kutsalların kutsalına sorunsuzca dokunmasına izin veren birkaç temsilci vardır. Giriş dersinde sonsuz azalan geometrik ilerlemenin bir örneğini verdim. miktarı iyi bilinen okul formülü kullanılarak kolayca hesaplanır.

Bu yazıda benzer örnekleri ele almaya devam edeceğiz, ayrıca toplamın kesin tanımını öğreneceğiz ve bu arada serilerin bazı özellikleri hakkında bilgi sahibi olacağız. Hadi ısınalım... ve gelişmelere hemen ısınalım:

örnek 1

Serinin toplamını bulun

Çözüm: Serimizi iki serinin toplamı olarak düşünelim:

Neden bunda Bunu yapmak mümkün mü? Gerçekleştirilen eylemler iki basit ifadeye dayanmaktadır:

1) Seri yakınsaksa , bu durumda karşılık gelen terimlerin toplamları veya farklarından oluşan seri de yakınsak olacaktır: . Bu durumda önemli olan şu ki, bahsettiğimiz şey yakınsak satırlar. Örneğimizde biz önceden biliyoruz, her iki geometrik ilerlemenin de yakınsayacağını, bu da hiç şüphesiz orijinal seriyi iki satıra ayırdığımız anlamına gelir.

2) İkinci özellik daha da açıktır. Sabit serinin dışına taşınabilir: ve bu onun yakınsamasını veya ıraksamasını ve nihai toplamı etkilemeyecektir. Neden sabiti ortaya çıkaralım? Evet, sırf "yolunuza çıkmasın" diye. Ancak bazen bunu yapmamak faydalıdır

Temiz örnek şuna benzer:

Sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamını bulmak için formülü iki kez kullanırız: ilerlemenin ilk terimi nerede ve ilerlemenin tabanıdır.

Cevap: seri toplamı

Çözümün başlangıcı biraz farklı bir tarzda tasarlanabilir; seriyi doğrudan yazın ve üyelerini yeniden düzenleyin:

Dövülmüş pist boyunca.

Örnek 2

Serinin toplamını bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Burada özel bir keyif yok ama bir gün deneyimsiz bir insanı şaşırtabilecek alışılmadık bir diziyle karşılaştım. Bu... aynı zamanda sonsuz azalan bir geometrik ilerlemedir! Gerçekten de miktar sadece birkaç dakika içinde hesaplanır: .

Ve şimdi daha ileri problemleri çözmek için gerekli olan, hayat veren bir matematiksel analiz nefesi:

Bir serinin toplamı nedir?

Yakınsaklık/ıraksaklığın ve bir serinin toplamının teorik olarak kesin bir tanımı, sözde kısmi miktarlar sıra. Kısmi, eksik anlamına gelir. Bir sayı serisinin kısmi toplamlarını yazalım :

Ve serinin “en” üyelerinin kısmi toplamı özel bir rol oynuyor:

Bir sayı serisinin kısmi toplamlarının limiti şuna eşitse: son sayı: , o zaman böyle bir dizi denir yakınsak ve sayının kendisi serinin toplamı. Limit sonsuzsa veya mevcut değilse seriye denir. farklı.

Demo satırına geri dönelim ve kısmi toplamlarını yazın:

Kısmi toplamların limiti tam olarak sonsuz azalan bir geometrik ilerlemedir ve toplamı şuna eşittir: . Derste benzer bir limite baktık sayı dizileri hakkında. Aslında formülün kendisi yukarıdaki teorik hesaplamaların doğrudan bir sonucudur (bkz. Matan'ın 2. cildi).

Böylece çizilmiş sorunumuzu çözmek için genel algoritma: Serinin n'inci kısmi toplamını oluşturmak ve limiti bulmak gerekir. Bunun pratikte nasıl yapıldığını görelim:

Örnek 3

Bir serinin toplamını hesaplayın

Çözüm: ilk adımda ayrıştırmanız gerekir serinin ortak terimi kesirlerin toplamına. Kullanırız belirsiz katsayılar yöntemi:

Sonuç olarak:

Bir kerede Bunun tersini yapmak, böylece şunları kontrol etmek faydalıdır:

Serinin genel terimi orijinal haliyle elde edilmiş, dolayısıyla kesirlerin toplamına ayrıştırma başarıyla gerçekleştirilmiştir.

Şimdi serinin kısmi toplamını yapalım. Genel olarak bu sözlü olarak yapılır, ancak bir kez nereden geldiğini mümkün olduğunca ayrıntılı olarak anlatacağım:

Nasıl yazılacağı tamamen açık, ancak önceki terim neye eşit? Serinin ortak teriminde YERİNE"en" yerine şunu koyarız:

Kısmi toplamın hemen hemen tüm koşulları birbirini başarıyla iptal eder:


Bir defterde kurşun kalemle böyle notlar alıyoruz. Çok uygun.

Temel limiti hesaplamak ve serinin toplamını bulmak için kalır:

Cevap:

Bağımsız bir çözüm için benzer bir seri:

Örnek 4

Bir serinin toplamını hesaplayın

Dersin sonunda nihai çözümün yaklaşık bir örneği.

Açıkçası, bir serinin toplamını bulmak başlı başına yakınsamasının kanıtıdır (buna ek olarak) karşılaştırma işaretleri, D'Alembert, Cauchy vb.), özellikle aşağıdaki görevin ifadesiyle ima edilmektedir:

Örnek 5

Bir serinin toplamını bulun veya diverjansını belirleyin

Sıradan bir üyenin ortaya çıkmasıyla bu yoldaşın nasıl davrandığını hemen anlayabilirsiniz. Kompleks yok. Kullanarak karşılaştırma için sınırlayıcı kriter Bu serinin seriye yakınlaşacağını (sözlü olarak bile) öğrenmek kolaydır. Ancak miktarın da fazla güçlük çekmeden hesaplandığı nadir bir durumla karşı karşıyayız.

Çözüm: Kesrin paydasını bir çarpıma dönüştürelim. Bunu yapmak için karar vermeniz gerekir ikinci dereceden denklem:

Böylece:

Faktörleri artan sırada düzenlemek daha iyidir: .

Bir ara kontrol yapalım:

TAMAM

Buna göre serinin genel terimi şu şekildedir:

Böylece:

Tembel olmayalım:

Kontrol edilmesi gereken şey buydu.

Serinin "sayacının" sayıdan "çalışmaya" başlamasına dikkat ederek, seri üyelerinin kısmi toplamını "en" olarak yazalım. Önceki örneklerde olduğu gibi, kobrayı uygun bir uzunluğa kadar uzatmak daha güvenlidir:

Ancak bir iki satır halinde yazarsak yine de terimler arasında gezinmek oldukça zor olacaktır (her dönemde 3 adet bulunmaktadır). Ve burada... geometri yardımımıza koşacak. Yılanı kendi melodimizle dans ettirelim:

Evet, aynen deftere bir terimin altına bir terim yazıp üzerini bu şekilde çiziyoruz. Bu arada kendi buluşum. Anladığınız gibi bu hayattaki en kolay görev değil =)

Çıkarma sonucunda şunu elde ederiz:

Ve son olarak serinin toplamı:

Cevap:

Örnek 8

Bir serinin toplamını hesaplayın

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir.

Elbette ele alınan sorun, çeşitliliği nedeniyle bizi memnun etmiyor - pratikte ya sonsuz derecede azalan bir geometrik ilerlemeyle ya da kesirli rasyonel ortak terimli ve paydada ayrıştırılabilir bir polinom içeren bir diziyle karşılaşıyoruz (bu arada, bu türlerin her biri değil) polinom serinin toplamını bulmayı mümkün kılar). Ancak yine de bazen alışılmadık örneklerle karşılaşıyorum ve yerleşik iyi geleneğe göre dersi bazı ilginç problemlerle bitiriyorum.

Sayı serisi, başka bir diziyle birlikte ele alınan bir dizidir (buna kısmi toplamlar dizisi de denir). Benzer kavramlar matematiksel ve karmaşık analizlerde kullanılır.

Bir sayı serisinin toplamı, SERIES.SUM işlevi kullanılarak Excel'de kolayca hesaplanabilir. Bu fonksiyonun nasıl çalıştığına dair bir örneğe bakalım ve ardından fonksiyonların bir grafiğini oluşturalım. Sermaye artışını hesaplarken sayı serilerini pratikte nasıl kullanacağımızı öğrenelim. Ama önce küçük bir teori.

Sayı serisi toplamı

Sayı serileri sayılara yaklaşım sistemi olarak düşünülebilir. Bunu belirlemek için şu formülü kullanın:

Serideki sayıların ilk sırası ve toplama kuralı şöyledir:

• ∑ - toplamın matematiksel işareti;
• a i - genel argüman;
• i bir değişkendir, sonraki her argümanı değiştirmek için bir kuraldır;
• ∞ sonsuzluk işaretidir, toplamanın gerçekleştirileceği “sınır”dır.

Gösterim şu anlama gelir: 1'den "artı sonsuza" kadar olan doğal sayılar toplanır. i = 1 olduğundan toplamın hesaplanması birden başlar. Burada başka bir sayı olsaydı (örneğin 2, 3), o zaman toplamaya ondan başlardık (2, 3'ten).

i değişkenine göre seri genişletilmiş olarak yazılabilir:

A 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + ... (“artı sonsuza” kadar).

Bir sayı serisinin toplamının tanımı “kısmi toplamlar” ile verilmektedir. Matematikte Sn ile gösterilirler. Sayı serimizi kısmi toplamlar şeklinde yazalım:

S 2 = a 1 + a 2

S 3 = a 1 + a 2 + a 3

S 4 = a 1 + a 2 + a 3 + a 4

Bir sayı serisinin toplamı, S n kısmi toplamlarının limitidir. Limit sonlu ise “yakınsak” bir seriden söz ederiz. Sonsuz - “farklı” hakkında.

Öncelikle sayı serilerinin toplamını bulalım:

Şimdi Excel'de seri üyelerinin değerlerinin bir tablosunu oluşturalım:

Genel ilk argümanı şu formülden alıyoruz: i=3.

Aşağıdaki i değerlerinin tümünü şu formülü kullanarak buluyoruz: =B4+$B$1. İmleci B5 hücresinin sağ alt köşesine yerleştirin ve formülü çarpın.

Değerleri bulalım. C4 hücresini aktif hale getirin ve şu formülü girin: =TOPLA(2*B4+1). C4 hücresini belirtilen aralığa kopyalayın.

Bağımsız değişkenlerin toplamının değeri şu fonksiyon kullanılarak elde edilir: =TOPLA(C4:C11). Kısayol tuşu kombinasyonu ALT+“+” (artı klavyede).

Excel'de SATIR.TOPLA işlevi

Excel'de bir sayı serisinin toplamını bulmak için SERIES.SUM matematik fonksiyonunu kullanın. Program aşağıdaki formülü kullanır:

İşlev argümanları:

• x – değişken değer;
• n – ilk argümanın derecesi;
• m, sonraki her terim için derecenin artırıldığı adımdır;
• a, x'in karşılık gelen kuvvetlerinin katsayılarıdır.

Fonksiyonun çalışması için önemli koşullar:

• tüm argümanlar gereklidir (yani hepsi doldurulmalıdır);
• tüm bağımsız değişkenler SAYISAL değerlerdir;
• katsayıların vektörünün sabit bir uzunluğu vardır (“sonsuzluk” sınırı çalışmaz);
• “katsayı” sayısı = argüman sayısı.

Excel'de bir serinin toplamını hesaplama

Aynı SERIES.SUM işlevi güç serileriyle (fonksiyonel serilerin çeşitlerinden biri) çalışır. Sayısal olanlardan farklı olarak argümanları işlevlerdir.

Fonksiyonel seriler genellikle finansal ve ekonomik alanda kullanılır. Bunun onların uygulama alanı olduğunu söyleyebiliriz.

Örneğin belli bir miktar parayı (a) belli bir süre (n) için bankaya yatırdılar. Yıllık yüzde x tutarında bir ödememiz var. İlk dönemin sonunda tahakkuk eden tutarı hesaplamak için formül kullanılır:

S1 = a(1 + x).

İkinci ve sonraki dönemlerin sonunda ifade şekli şu şekildedir:

S2 = a(1 + x)2; S 3 = a (1 + x) 2, vb.

Toplamı bulmak için:

S n = a (1 + x) + a (1 + x) 2 + a (1 + x) 3 + … + a (1 + x) n

Excel'deki kısmi toplamlar BS() işlevi kullanılarak bulunabilir.

Eğitim görevi için başlangıç ​​parametreleri:

Standart bir matematik fonksiyonu kullanarak dönem sonunda biriken tutarı buluyoruz. Bunu yapmak için D2 hücresinde şu formülü kullanırız: =B2*DERECE(1+B3;4)

Şimdi D3 hücresinde aynı sorunu yerleşik Excel işlevini kullanarak çözeceğiz: =BS(B3;B1;;-B2)

Sonuçlar olması gerektiği gibi aynı.

BS() fonksiyonunun argümanları nasıl doldurulur:

1. “Oran”, mevduatın yapıldığı faiz oranıdır. Yüzde formatı B3 hücresinde ayarlandığından, argüman alanında bu hücreye bir bağlantı belirledik. Bir sayı belirtilseydi yüzde biri (20/100) şeklinde yazılırdı.
2. “Takip”, faiz ödemelerinin dönem sayısıdır. Örneğimizde – 4 yıl.
3. "Plt" - periyodik ödemeler. Bizim durumumuzda hiçbiri yok. Bu nedenle argüman alanını doldurmuyoruz.
4. “Ps” - “şimdiki değer”, depozito miktarı. Bir süreliğine bu paradan ayrıldığımız için parametreyi “-” işaretiyle belirtiyoruz.

Böylece BS fonksiyonu fonksiyonel serilerin toplamını bulmamıza yardımcı oldu.

Excel'in farklı parametreleri bulmak için başka yerleşik işlevleri vardır. Tipik olarak bunlar yatırım projeleri, menkul kıymetler ve amortisman ödemeleriyle çalışmaya yönelik işlevlerdir.

Bir sayı serisinin toplamının fonksiyonlarını çizme

Sermaye artışını yansıtan bir fonksiyon grafiği oluşturalım. Bunu yapmak için, oluşturulan serilerin toplamı olan bir fonksiyonun grafiğini oluşturmamız gerekir. Örnek olarak, mevduatla ilgili aynı verileri alalım:

İlk satır bir yıl sonra biriken tutarı gösterir. İkincisinde - ikiye. Ve benzeri.

Kârı yansıtacağımız başka bir sütun oluşturalım:

Düşündüğümüz gibi formül çubuğunda.

Elde edilen verilere dayanarak bir fonksiyon grafiği oluşturacağız.

2 aralık seçelim: A5:A9 ve C5:C9. “Ekle” sekmesine - “Diyagramlar” aracına gidin. İlk grafiği seçin:

Sorunu daha da "uygulamalı" hale getirelim. Örnekte bileşik faizi kullandık. Önceki dönemde tahakkuk eden tutar üzerinden tahakkuk ettirilir.

Karşılaştırma için basit ilgiyi ele alalım. Excel'de basit faiz formülü: =$B$2*(1+A6*B6)

Elde edilen değerleri “Sermaye Büyümesi” grafiğine ekleyelim.

Yatırımcının ne gibi sonuçlar çıkaracağı açıktır.

Fonksiyonel bir serinin (basit faizli) kısmi toplamına ilişkin matematiksel formül: S n = a (1 + x*n), burada a, ilk yatırılan tutardır, x faizdir, n ise dönemdir.